Ε.Μ.Π., Σχολή Η.Μ. & Μ.Υ. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.Ετος 2010-2011Ηµερ/νια : 09-06-2011 3ο Σύνολο Αναλυτ. Ασκήσεων Παραδοτέο : 20-06-2011

Οι αναλυτικές σειρές ασκήσεων είναι ατοµικές, και οι λύσεις που ϑα δώσετε πρέπει να αν-τιπροσωπεύουν µόνο την προσωπική σας εργασία. Αν χρησιµοποιήσετε κάποια άλλη πηγήεκτός του ϐιβλίου για την λύση σας, πρέπει να το αναϕέρετε. Παραδίδονται γραπτώς καιπροσωπικώς στην Γραµµατεία Εργ. Ροµποτικής (Αιθ. 2.1.12, παλαιό Κτ.Ηλεκτρ.) 9.00-14.30. Εξηγείστε την εργασία σας.

Ασκηση 3.1 (Γενικευµένη Γραµµική Φάση): Πρόβληµα 5.43 (µόνο µέρος ΙΙΙ) από ϐιβλίο [1].

Ασκηση 3.2: (Σχεδιασµός FIR συστήµατος)΄Ενα ιδανικό σύστηµα διακριτού-χρόνου µετασχηµατισµού Hilbert δηµιουργεί ιδανική µετατόπισηφάσης −90 µοίρες (−π/2 ακτίνια) για 0 < ω < π και µετατόπιση φάσης +90 µοίρες (+π/2

ακτίνια) για −π < ω < 0. Το µέτρο της απόκρισης συχνότητας είναι σταθερό (µονάδα) για τιςτιµές 0 < ω < π και −π < ω < 0. Συστήµατα σαν αυτό ονοµάζονται ideal 90­degree phaseshifters.(α) Βρείτε µία εξίσωση για την ιδανική απόκριση συχνότητας Hd(e

jω) ενός ιδανικού διακριτού-χρόνου µετασχηµατισµού Hilbert ο οποίος περιλαµβάνει σταθερή (µη-µηδενική) καθυστέρησηοµάδας. Σχεδιάστε την απόκριση φάσης του συστήµατος για −π < ω < π.(ϐ) Υποθέστε ότι ϑέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο παραθύρωσης για τον σχεδιασµότης προσέγγισης γραµµικής φάσης για τον ιδανικό Hilbert µετασχηµατισµό. ΧρησιµοποιήστεHd(e

jω) από το ερώτηµα (α) για την εύρεση της ιδανικής κρουστικής απόκρισης hd[n], εάν τοFIR σύστηµα είναι τέτοιο ώστε h[n] = 0 για n < 0 και n > M .(γ) Ποιά είναι η καθυστέρηση του συστήµατος εάν M = 21; Σχεδιάστε το µέτρο της απόκρ-ισης συχνότητας της FIR προσέγγισης, ϑεωρώντας τετραγωνικό παράθυρο.

Ασκηση 3.3: AR(2)΄Εστω ότι µας δίνεται µια AR(2) στοχαστική διαδικασία που δηµιουργείται από την εξίσωσηδιαϕορών

y[n] = y[n− 1] +1

2y[n− 2] + w[n]

όπου w[n] είναι λευκός ϑόρυβος µε µηδενική µέση τιµή και µεταβλητότητα σ2w = 1.

(α) Να ϐρείτε την κρουστική απόκριση h[n] του φίλτρου που συνθέτει το σήµα y[n] από τοw[n].

(ϐ) Να ϐρείτε το φάσµα ισχύος Py(ejω) του y[n].

(γ) Να ϐρείτε την αυτοσυσχέτιση ry[k] του y[n].

Ασκηση 3.4 (Τυχαία διακριτά σήµατα, Φασµατική Παραγοντοποίηση. Θεωρία : ϐιβλίο [2],κεϕ. 3)΄Εστω ότι µας δίνεται µια διακριτού χρόνου πραγµατική στοχαστική διαδικασία x[n] µε µη-δενική µέση τιµή και αυτοσυσχέτιση:

rx[k] = 5

(1

3

)|k|

+ 2

(1

3

)|k−1|

+ 2

(1

3

)|k+1|

(α) Βρείτε ένα ΓΧΑ φίλτρο το οποίο µε είσοδο λευκό ϑόρυβο v[n] µοναδιαίας µεταβλητότηταςσ2v = 1 ϑα δώσει µια στοχαστική ανέλιξη µε τη δεδοµένη αυτοσυσχέτιση.

(ϐ) Βρείτε ένα ευσταθές και αιτιατό ΓΧΑ φίλτρο το οποίο όταν διεγείρεται από το x[n] παράγειλευκό ϑόρυβο µηδενικής µέσης τιµής και µοναδιαίας µεταβλητότητας.

Ασκηση 3.5 (Wiener φίλτρο, Θεωρία : ϐιβλίο [2], κεϕ. 7):∆ίνεται το ϑορυβώδες τυχαίο σήµα (δηλ. µια στοχαστική ανέλιξη διακριτού χρόνου)

y[n] = x[n] + v[n], x[n] = cos(ωon+ ϕ),

όπου ϕ είναι µία τυχαία µεταβλητή οµοιόµορϕα κατανεµηµένη στο διάστηµα [−π, π] και v[n]είναι λευκός ϑόρυβος ασυσχέτιστος µε την ηµιτονοειδή ανέλιξη. Γνωρίζουµε ότι η σηµατο-ϑορυβική σχέση (SNR), δηλ. ο λόγος της ισχύος του καθαρού σήµατος x[n] δια της ισχύοςτου ϑορύβου v[n] εκϕρασµένος σε κλίµακα decibel (dB) είναι

SNR = 10 log10 (ισχύς σήµατος/ισχύς ϑορύβου) = 6.9897 dB.

(α) Βρείτε την ισχύ, S, του τυχαίου ηµιτονοειδούς σήµατος x[n] = cos(ωon + ϕ) χωρίς τοϑόρυβο. Επίσης, ϐρείτε την ισχύ, N , του ϑορύβου v[n] .(ϐ) Βρείτε τις τιµές της αυτοσυσχέτισης ry[k] = Ey[n]y[n− k] για k = 0, 1, 2.(γ) Με ϐάση τα ανωτέρω, και υποθέτοντας ότι

ωo = π/3,

να σχεδιάσετε ένα ϐέλτιστο γραµµικό φίλτρο Wiener µε συνάρτηση µεταϕοράς

W (z) = w[0] + w[1]z−1

για γραµµική πρόβλεψη ενός ϐήµατος και τάξης p = 2 του σήµατος x[n] από το ϑορυβώδεςσήµα y[n]. ∆ηλαδή, εδώ το επιθυµητό σήµα είναι d[n] = x[n+1]. Να ϐρείτε τους συντελεστέςγραµµικής πρόβλεψης w[0], w[1].

[1] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer with J.R. Buck, Discrete­time Signal Processing,Prentice­Hall, 1999.[2] M. H. Hayes, Statistical Digital Processing and Modeling, Wiley, 1996.