Diataraktiko— upologismo— dÔo brìqwn gia fermionik‹ reÔmata · MAÛOS 2015. PANEPISTHMIO...

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαταρακτικοί υπολογισμοί

δύο βρόχων

για φερμιονικά ρεύματα

Γρηγόρης Σπανούδης

ΜΑΪΟΣ 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαταρακτικοί υπολογισμοί

δύο βρόχων

για φερμιονικά ρεύματα

Γρηγόρης Σπανούδης

Επιβλέπων Καθηγητής: Χαράλαμπος Παναγόπουλος

Η Ατομική Διπλωματική Εργασία υποβλήθηκε προς μερική εκπλήρωση

των απαιτήσεων απόκτησης του πτυχίου Φυσικής του Τμήματος

Φυσικής του Πανεπιστημίου Κύπρου

ΜΑΪΟΣ 2015

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Η παρούσα διπλωματική εργασία εντάσσεται στην περιοχή των Ισχυρών

Αλληλεπιδράσεων και της θεωρίας που τις διέπει, της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής.

Επικεντρώνεται στην μελέτη των μονήρων και μη μονήρων ως προς τη γεύση των

quarks φερμιονικών ρευμάτων και τις αντίστοιχες συναρτήσεις

επανακανονικοποίησής τους. Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται κάποιοι από τους

αλγεβρικούς υπολογισμούς που απαιτούνται για την κατασκευή της διαφοράς των

συναρτήσεων αυτών. Τα φερμιονικά ρεύματα (Scalar, Pseudoscalar, Vector,

Axial-Vector και Tensor) εμπλέκονται άμεσα στον υπολογισμό αδρονικών

ιδιοτήτων, όπως μάζες, κατανομή φορτίου, δομή spin. Επίσης, οι υπολογισμοί

γίνονται στην 2η διαταρακτική τάξη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα

για τη βελτιωμένη διακριτοποιημένη δράση με γκλουόνια τύπου Symanzik και

φερμιόνια τύπου Staggered με doubly stout links (διπλά �εύσωμους� γκλουονικούς

συνδέσμους). Ακριβεστερα, εκτελούνται οι αλγεβρικοί υπολογισμοί της ενεργού

κορυφής αλληλεπίδρασης και συγκεκριμένα των έξι συνεισφορών, οι οποίες

εμφανίζονται στα διαγράμματα Feynman δύο βρόχων που ενέχονται στην πιο πάνω

διαφορά.

Η εργασία αποτελείται από συνολικά έξι κεφάλαια. Στα πρώτα πέντε κεφάλαια,

γίνεται μια εκτενής περιγραφή του θεωρητικού υποβάθρου των υπολογισμών αυτών.

Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στην Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, με

αναφορά στην κανονική κβάντωση των πεδίων, ενώ στο δεύτερο κεφάλαιο

περιγράφεται η κβάντωση των πεδίων με τη χρήση συναρτησιακών ολοκληρωμάτων.

Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ομαλοποίηση της Θεωρίας των Κβαντικών

Πεδίων με τη χρήση χωροχρονικού πλέγματος. Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται

στη διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα. Το πέμπτο

κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στα φερμιονικά ρεύματα και την επανακανονικοποίησή

τους. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι υπολογισμοί που αναφέραμε, καθώς και

η διαδικασία που ακολουθήθηκε. Στον επίλογο δίνονται κάποιες πιθανές

μελλοντικές προεκτάσεις της εργασίας. Τέλος, η εργασία κλείνει με τρία

παραρτήματα, στα οποία παραπέμπει το κυρίως κείμενο της εργασίας.

i

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή της παρούσας

διπλωματικής εργασίας Δρ. Χάρη Παναγόπουλο, Καθηγητή του τμήματος Φυσικής

του Πανεπιστημίου Κύπρου, για την καθοδήγηση και τη βοήθειά του σε κάθε φάση

της δημιουργίας της.

Θα ήθελα, ακόμη, να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στην οικογένειά μου για

τη διαρκή υποστήριξη, που επέτρεψε την επιτυχή διεκπεραίωση των προπτυχιακών

μου σπουδών.

ii

Περιεχόμενα

Περίληψη i

Ευχαριστίες ii

Κατάλογος Σχημάτων v

Κατάλογος Πινάκων vi

1 Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 1

1.1 Η έννοια του πεδίου και η αναγκαιότητά του στη Σχετικιστική

Κβαντομηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Γενικός Φορμαλισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 O φορμαλισμός της Κβάντωσης των Πεδίων . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Συμμετρίες και Νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Οι δράσεις των πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Η δράση Klein - Gordon για το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο . . . 11

1.3.2 Η δράση Dirac για τα ελεύθερα φερμιόνια . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής (QED) για τιςηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.4 Η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD) για τιςισχυρές αλληλεπιδράσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Οι διαδότες των πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Η κβάντωση του ελεύθερου πραγματικού βαθμωτού πεδίου

Klein - Gordon και ο αντίστοιχος διαδότης του . . . . . . . . 20

1.4.2 Η κβάντωση του ελεύθερου φερμιονικού πεδίου Dirac και οαντίστοιχος διαδότης του . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.3 Η κβάντωση του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου και οι

αντίστοιχοι διαδότες τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5 Η έννοια της επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων 43

2.1 Η έννοια του Συναρτησιακού Ολοκληρώματος (Path Integral) και ηεφαρμογή του στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

Περιεχόμενα iv

2.2.1 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Klein - Gordon . 48

2.2.2 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Dirac . . . . . . . 52

2.2.3 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του φωτονικού διαδότη . . . . 54

2.2.4 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του γκλουονικού διαδότη . . . 60

2.3 Στροφή Wick από τον Minkowski στον Ευκλείδιο χώρο . . . . . . . 63

3 Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο πλέγμα 69

3.1 Η αναγκαιότητα της χρήσης χωροχρονικού πλέγματος στην Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων και η διαδικασία υπολογισμού συναρτήσεων Greenσ' αυτό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Klein - Gordon στο πλέγμα . . . . . . . 71

3.3 Το φερμιονικό πεδίο Dirac στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1 Naive (�αφελή�) φερμιόνια και το πρόβλημα του διπλασιασμού 75

3.3.2 Φερμιόνια Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.3 Φερμιόνια Staggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.5 Κβαντική Χρωμοδυναμική στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.6 Βελτιωμένες δράσεις της QCD στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . 103

3.6.1 Βελτιωμένη γκλουονική δράση τύπου Symanzik . . . . . . . . 104

3.6.2 Βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Wilson . . . . . . . . . 107

3.6.3 Βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Staggered . . . . . . . . 110

4 Διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο

πλέγμα 111

4.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Κορυφές αλληλεπίδρασης της QCD στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . 113

4.3 Διαγράμματα Feynman του φερμιονικού διαδότη 1 και 2 βρόχων στηνQCD στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5 Φερμιονικά ρεύματα (fermion bilinears) στην QCD 117

5.1 Ο ορισμός και η σημασία των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών

(fermion bilinears) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Μονήρεις (singlet) και μη μονήρεις (non-singlet) ως προς τη γεύση(�avor) τοπικοί διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές στην QCD . . . . . 121

5.3 Επανακανονικοποίηση (Renormalization) των διγραμμικών

φερμιονικών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.1 Εφαρμογή του σχήματος επανακανονικοποίησης RI' στο πλέγμα123

5.3.2 Εφαρμογή του σχήματος επανακανονικοποίησης MS στοπλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3.3 Συναρτήσεις επανακανονικοποίησης των διγραμμικών

φερμιονικών τελεστών στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4 Ορισμός των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στη βάση των

φερμιονίων Staggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6 Αλγεβρικοί υπολογισμοί για την κατασκευή της διαφοράς

ZsingletΓ − Znon−singlet

Γ 132

Περιεχόμενα v

6.1 Διαγράμματα Feynman που συνεισφέρουν στον υπολογισμό μας . . . 133

6.2 Κορυφές αλληλεπίδρασης που ενέχονται στους υπολογισμούς μας . . 134

6.3 Υπολογισμός ενεργού κορυφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Επίλογος 141

Παραρτήματα 142

A Υπολογισμός μέσων τιμών πολυωνύμων με γκαουσιανό

βάρος 142

A.1 Μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος142

A.2 Μέση τιμή μιγαδικού πολυωνύμου μεταβλητών Grassmann μεγκαουσιανό βάρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

B Πρόγραμμα στην Mathematica για την επιβολή του

μετασχηματισμού pµ → pµ + π/a 152

Γ Αποτελέσματα υπολογισμών των έξι συνεισφορών της

ενεργού κορυφής 164

Βιβλιογραφία 172

Κατάλογος Σχημάτων

1.1 Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2) → −(x1 − x2) σεχωροειδή και χρονοειδή διαστήματα για τη μελέτη της διατήρησης της

αιτιότητας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Υπολογισμός του διαδότη ενός μη σχετικιστικού κβαντικού

σωματιδίου με τη χρήση συναρτησιακού ολοκληρώματος (PathIntegral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Διακριτοποίηση του χρόνου στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα (PathIntegral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Απεικόνιση των συνδέσμων (links) στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Απεικόνιση της στοιχειώδους πλακέτας (plaquette) στο μν - επίπεδο 90

3.3 Απεικόνιση των βρόχων 6 συνδέσμων στο πλέγμα . . . . . . . . . . . 104

3.4 Απεικόνιση ενός staple γύρω από τον σύνδεσμο Uµ(na) . . . . . . . 109

4.1 H κορυφή αλληλεπίδρασης VψAψ για naive φερμιόνια Wilson καιVχAχγια naive φερμιόνια Staggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 H κορυφή αλληλεπίδρασης VAAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3 Διαγράμματα 1 βρόχου φερμιονικού διαδότη . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Διαγράμματα 2 βρόχων φερμιονικού διαδότη . . . . . . . . . . . . . 116

5.1 Απεικόνιση των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών (fermionbilinears) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.1 Διαγράμματα Feynman που συνεισφέρουν στην ZsingletΓ − Znon−singlet

Γ 133

6.2 Ενεργός Κορυφή Αλληλεπίδρασης που συνεισφέρει στην ZsingletΓ −

Znon−singletΓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3 Ο διαδότης Stree και η κορυφή αλληλεπίδρασης VχAχ με doubly stoutlinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4 Οι κορυφές αλληλεπίδρασης VχΓχ με doubly stout links . . . . . . . . 137

6.5 Η κορυφή αλληλεπίδρασης VχV Aχ με doubly stout links . . . . . . . . 138

vi

Κατάλογος Πινάκων

5.1 Κβαντικοί αριθμοί των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών και η

αντιστοίχισή τους με μεσόνια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

vii

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγικά στοιχεία από την

Θεωρία Κβαντικών Πεδίων

1.1 Η έννοια του πεδίου και η αναγκαιότητά

του στη Σχετικιστική Κβαντομηχανική

Πεδίο είναι ο ορισμός μιας φυσικής ποσότητας σε κάθε σημείο του χώρου και

χρόνου. Αυτό είναι χρήσιμο σε συστήματα άπειρων βαθμών ελευθερίας, καθώς και

στην κατασκευή φυσικών νόμων που να είναι τοπικοί. Η έννοια της ποσότητας

αυτής πρωτοεμφανίστηκε στα πλαίσια της δημουργίας μιας θεωρίας που να εξηγεί

τις ηλεκτρομαγνητικές αλλά και βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων, σε

κλασικό επίπεδο, καθώς οι δυνάμεις αυτές δεν απαιτούσαν την επαφή των

σωματιδίων αλλά δρούσαν εξ αποστάσεως. Αυτό σήμαινε ότι οι δυνάμεις αυτές

εξαρτώνται από την απόσταση μεταξύ των αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. ΄Ετσι,

εισήχθηκε η ποσότητα του πεδίου ως ο χώρος που μεσολαβεί μεταξύ δύο

αλληλεπιδρώντων σωματιδίων, ο οποίος �μεταφέρει� τη δύναμη από το ένα

σωματίδιο στο άλλο. Μάλιστα, η ποσότητα αυτή έπρεπε να είναι ορισμένη παντού

στο χώρο, έτσι ώστε τα σωματίδια, όπου και να βρίσκονται, να μπορούν να

αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους μέσω των πεδίων. Η εισαγωγή της έννοιας του

πεδίου, λοιπόν, δημιούργησε μια νέα θεωρία, τη Θεωρία Κλασικών Πεδίων, στην

οποία τα πεδία παίζουν το ρόλο του φορέα αλληλεπίδρασης μεταξύ των σωματιδίων.

Ενώ η κλασική θεωρία χειρίζεται σωματίδια και πεδία ως δύο εντελώς

διαφορετικά πράγματα, η κβαντική θεωρία έχει αντίθετη άποψη. Πρώτη ένδειξη

1

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικά στοιχεία από την Θεωρία Κβαντικών Πεδίων 2

ήταν η κυματική μορφή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, που προέκυψε από τις

κλασικές εξισώσεις Maxwell, στην οποία η ταχύτητα διάδοσης του κύματος

συνέπιπτε με την ταχύτητα του φωτός. ΄Ετσι για πρώτη φορά σωματίδιο, το

φωτόνιο, μπορούσε να περιγραφεί ως κύμα, το οποίο μάλιστα δεν ήταν τίποτα άλλο

από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. ΄Ομως, αυτό δεν ήταν αρκετό για την υιοθέτηση

της περιγραφής των σωματιδίων ως πεδία. Θα μπορούσε το κάθε ένα από τα

σωματίδια να περιγραφεί σαν ένα πεδίο; Το φωτόνιο φαίνεται πως θα μπορούσε, το

ηλεκτρόνιο όμως; Η μελέτη των σωματιδίων σε μικρές κλίμακες διαστάσεων έφερε

τη γένεση της Κβαντικής Μηχανικής, στην οποία το κάθε σωματίδιο παύει να έχει

την κλασική έννοια αλλά αποκτά κυματικές ιδιότητες (όπως ακριβώς το φωτόνιο)

που επιτρέπουν στα παρατηρήσιμα μεγέθη (π.χ. θέση σωματιδίου) να μην μπορούν

να καθοριστούν με πλήρη βεβαιότητα (Αρχή αβεβαιότητας Heisenberg). Αυτό

επέβαλε την εισαγωγή των κανόνων των πιθανοτήτων, την κβάντωση των

σωματιδίων και την υιοθέτηση της έννοιας της κυματοσυνάρτησης, η οποία

σχετίζεται με την πιθανότητα μέτρησης παρατηρήσιμων μεγεθών, ενώ η ίδια δεν

αποτελεί φυσικό μέγεθος. Η έννοια της κυματοσυνάρτησης ήταν αρκετή για την

περιγραφή μη σχετικιστικών στοιχειωδών σωματιδίων, διατηρώντας την κλασική

διάκριση μεταξύ σωματιδίου και πεδίου. ΄Ομως δεν μπορούσε να περιγράψει

ικανοποιητικά τα σχετικιστικά στοιχειώδη σωματίδια. Κι εδώ είναι που κάνει την

επανεμφάνιση του το πεδίο κατέχοντας πρόσθετες ιδιότητες από αυτές της

κλασικής περιγραφής του. Αφού ένα στοιχειώδες σωματίδιο δεν έχει πάντοτε

καθορισμένη θέση, αλλά μπορεί να αποτελεί ένα �απλωμένο� κύμα στο χώρο των

θέσεων, τότε μπορεί να οριστεί σε κάθε σημείο του χώρου. ΄Αρα, μπορεί να

περιγραφεί ως πεδίο. ΄Ετσι, στη θεωρία της Σχετικιστικής Κβαντομηχανικής η

κυματοσυνάρτηση αντικαθίσταται με το πεδίο.

Η Σχετικιστική Κβαντομηχανική μελετά τη μηχανική σωματιδίων σε πολύ

μικρές κλίμακες διαστάσεων (κβαντομηχανικές) και πολύ υψηλές ενέργειες

(σχετικιστικές). Δηλαδή, στοχεύει στο συνδυασμό των αρχών της

Κβαντομηχανικής με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Στην απόπειρα αυτή

γίνεται αντιληπτό ότι απαιτείται όχι μόνο η εισαγωγή της έννοιας του πεδίου, το

οποίο περιγράφει, πλέον, τις καταστάσεις των σχετικιστικών σωματιδίων, αλλά και

η κβάντωση της ποσότητας αυτής, όπως ακριβώς γίνεται στην Κβαντομηχανική με

την κβάντωση των μη σχετικιστικών σωματιδίων. Οδηγούμαστε έτσι στη Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων. Η θεωρία αυτή περιγράφει τις τρεις από τις τέσσερεις

θεμελιώδεις δυνάμεις της Φύσης, την ηλεκτρομαγνητική, ισχυρή και ασθενή

δύναμη, ενώ η βαρυτική, η οποία έχει μικρότερη ισχύ σε σχέση με τις άλλες στο


υποατομικό επίπεδο των στοιχειωδών σωματιδίων, δεν μπόρεσε να ερμηνευτεί μέσω

της θεωρίας αυτής.

Η αναγκαιότητα του πεδίου στη Σχετικιστική Κβαντομηχανική έγκειται σε

τρεις λόγους. Πρώτα απ' όλα, δεν μπορούμε να μιλήσουμε για σχετικιστικές

κβαντομηχανικές μονοσωματιδιακές καταστάσεις. Σύμφωνα με τη σχετικιστική

σχέση ενέργειας � ορμής E2 = (pc)2 + (mc2)2, εμφανίζονται καταστάσεις με

αρνητικές ενέργειες, με τη θεμελειώδη κατάσταση να μην έχει κατώτατο ενεργειακό

φράγμα. Οι καταστάσεις αυτές ερμηνεύτηκαν ως καταστάσεις πολλών σωματιδίων

και αντισωματιδίων, αίροντας το πρόβλημα αυτό. ΄Ομως, η ερμηνεία αυτή έδωσε τη

δυνατότητα της ταυτόχρονης δημιουργίας ζεύγους σωματιδίου � αντισωματιδίου,

από το �κενό� της θεωρίας, ανά πάσα στιγμή, χρησιμοποιώντας μέρος της

ενέργειας του συστήματος. Ακόμη κι αν η ενέργεια του συστήματος δεν είναι

αρκετή τότε μπορεί να δημιουργηθεί το ζεύγος σωματιδίου � αντισωματιδίου, ως

�εικονικά� σωματίδια, δηλαδή με πολύ μικρό χρόνο ζωής, που θα έχουν την

απαιτούμενη ενέργεια λόγω της αρχής της αβεβαιότητας ∆E · ∆t ≥ ~/2. Αυτάισχύουν αντίστοιχα και στην περίπτωση της εξαΰλωσης σωματιδίου �

αντισωματιδίου. ΄Αρα, η κάθε κατάσταση σχετικιστικών σωματιδίων μπορεί να

περιέχει άπειρα σωματίδια και αντισωματίδια, τα οποία δημιουργούνται ή

εξαϋλώνονται ανά πάσα στιγμή. Επομένως, ο αριθμός των σωματιδίων της κάθε

κατάστασης είναι μεταβλητός. Γι' αυτό, η έννοια της κυματοσυνάρτησης, η οποία

περιγράφει καταστάσεις με σταθερό αριθμό σωματιδίων, κρίνεται ανεπαρκής.

Αντίθετα, η έννοια του πεδίου μπορεί να περιγράψει τέτοιες καταστάσεις, γι' αυτό

και θεωρείται αναγκαία η εισαγωγή της στη θεωρία της Σχετικιστικής

Κβαντομηχανικής.

΄Ενας δεύτερος λόγος αναγκαιότητας του πεδίου είναι η εξήγηση της σχέσης

σπιν και στατιστικής μεταξύ μη διακρίσιμων σωματιδίων. Στην Κβαντική

Μηχανική, η περιγραφή της κατάστασης δύο πανομοιότυπων σωματιδίων γίνεται

μέσω της κατασκευής συμμετρικής ή αντισυμμετρικής κυματοσυνάρτησης,

επιβάλλοντας έτσι την στατιστική των σωματιδίων με το χέρι. Αν η κατάσταση

αναφέρεται σε μποζόνια, τα οποία έχουν ακέραιο σπιν, η ανταλλαγή δύο σωματιδίων

αφήνει την κατάσταση αμετάβλητη και άρα η κυματοσυνάρτηση κατασκευάζεται έτσι

ώστε να είναι συμμετρική. Αν η κατάσταση αναφέρεται σε φερμιόνια, τα οποία

έχουν ημιακέραιο σπιν, η ανταλλαγή δύο σωματιδίων αλλάζει την κατάσταση κατά

ένα πρόσημο και άρα η κυματοσυνάρτηση κατασκευάζεται έτσι ώστε να είναι

αντισυμμετρική. Με την εισαγωγή της έννοιας του πεδίου δε χρειάζεται να


καθορίσουμε τη στατιστική των σωματιδίων με το χέρι. Αντίθετα, η σχέση σπιν και

στατιστικής πηγάζει από το φορμαλισμό της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων.

Τέλος, ένας τρίτος λόγος αναγκαιότητας του πεδίου είναι η διατήρηση της

αιτιότητας. Υπολογίζοντας το διαδότη ενός ελεύθερου σχετικιστικού σωματιδίου

από το χωροχρονικό σημείο (~x0, t0) στο (~x, t), σύμφωνα με τη θεωρία της

Κβαντικής Μηχανικής, παρατηρούμε παραβίαση της αιτιότητας.

K(~x, t; ~x0, t0) = 〈~x, t|~x0, t0〉 = 〈~x| e−(i/~)H(t−t0)|~x0〉

Αντικαθιστώντας H =√

(pc)2 + (mc2)2, η οποία είναι η σχετικιστική μορφή της

χαμιλτονιανής, ο διαδότης μετατρέπεται σε:

K(~x, t; ~x0, t0) = 〈~x | e−(i/~) (t−t0)√

(pc)2+(mc2)2| ~x0〉

=

∫d3p e−(i/~) (t−t0)

√(pc)2+(mc2)2〈~x | ~p〉〈~p | ~x0〉

Από την Κβαντική Μηχανική γνωρίζουμε ότι 〈~x | ~p〉 =[1/(2π~)3/2

]e(i/~) ~p·~x, άρα

K(~x, t; ~x0, t0) =

∫d3p

(2π~)3e− (i/~) (t−t0)

√(pc)2+(mc2)2 + (i/~) ~p·(~x−~x0)

=1

(2π~)3

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θ e(i/~) p |~x−~x0| cos θ

∫ ∞0

dp p2 e − (i/~) (t−t0)√

(pc)2+(mc2)2

= − i

(2π~)2 |~x− ~x0|

[∫ ∞0

dp p e(i/~)(p|~x−~x0| −(t−t0)

√(pc)2+(mc2)2

)−∫ ∞

0

dp p e − (i/~)(p|~x−~x0| +(t−t0)

√(pc)2+(mc2)2

)]Εκτελούμε την εξής αλλαγή μεταβλητών p → −p στο δεύτερο ολοκλήρωμα καικαταλήγουμε στην παρακάτω μορφή του διαδότη:

K(~x, t; ~x0, t0) = − i

(2π~)2 |~x− ~x0|

∫ ∞−∞

dp p e(i/~)(p|~x−~x0| −(t−t0)

√(pc)2+(mc2)2

)Το ολοκλήρωμα που προέκυψε μπορεί να επιλυθεί με τη βοήθεια της μεθόδου της

στάσιμης φάσης θεωρώντας |~x − ~x0| � c(t − t0). Η συνάρτηση φάσης

p |~x − ~x0| − (t − t0)√

(pc)2 + (mc2)2 έχει στάσιμο σημείο στο


ps = (imc |~x− ~x0|)/(√|~x− ~x0|2 −

(c(t− t0)

)2). Επομένως,

K(~x, t; ~x0, t0) ≈( mc

2π~)(3/2)

c(t− t0) (|~x− ~x0|2 −(c(t− t0))2

)−(5/4)e−(mc/~)

√|~x−~x0|2−

(c(t−t0)

)2

≈( mc

2π~)(3/2)

c(t− t0) |~x− ~x0|−(5/2) e−(mc/~)|~x−~x0| (1.1)

Το αποτέλεσμα αυτό μας λέει ότι ο διαδότης K(~x, t; ~x0, t0) από το χωροχρονικό

σημείο (~x0, t0) στο (~x, t), αν και μικρός είναι πεπερασμένος στο όριο

|~x− ~x0| � c(t− t0), δηλαδή έξω από το φωτεινό κώνο, η οποία είναι απαγορευμένη

περιοχή λόγω αιτιότητας. ΄Αρα η κβαντομηχανική περιγραφή των σχετικιστικών

σωματιδίων υποπίπτει σε παραβίαση της αιτιότητας. Η εισαγωγή του πεδίου

σωματιδίων και αντισωματιδίων αίρει το πρόβλημα αυτό, καθώς ο διαδότης ενός

σωματιδίου σε χωροειδή διαστήματα (x > ct) δεν ξεχωρίζει από το διαδότη ενός

αντισωματιδίου με αντίστροφη χωροχρονική φορά. Αυτό συνεπάγεται ότι, κατά τη

μελέτη της εξάρτησης μιας παρατήρησης σε ένα χωροχρονικό σημείο με μια

παρατήρηση σε ένα άλλο χωροχρονικό σημείο, τα πλάτη πιθανότητας διάδοσης ενός

σωματιδίου και ενός αντισωματιδίου ανάμεσα στα δύο αυτά σημεία

αλληλοεξουδετερώνονται σε χωροειδή διαστήματα, διατηρώντας την αιτιότητα.

Η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, λοιπόν, μπόρεσε να εξηγήσει τη δυνατότητα

μετάβασης μεταξύ καταστάσεων με διαφορετικό αριθμό σωματιδίων, συνέβαλε στην

εξήγηση της σχέσης σπιν και στατιστικής και έλυσε το πρόβλημα της αιτιότητας

εισάγοντας αντισωματίδια. Το πιο σημαντικό, όμως, είναι ότι έδωσε τα κατάλληλα

εργαλεία για τον υπολογισμό ενεργών διατομών σκέδασης, των χρόνων ζωής των

σωματιδίων και άλλων παρατηρήσιμων ποσοτήτων. Η πειραματική επαλήθευση των

πιο πάνων μεγεθών έδωσε υπόσταση στη θεωρία αυτή, δημιουργώντας ένα

ουσιαστικό λόγο για την περαιτέρω μελέτη της.

1.2 Γενικός Φορμαλισμός

1.2.1 O φορμαλισμός της Κβάντωσης των Πεδίων

Η κβάντωση των κλασικών πεδίων ακολουθεί πιστά την κβάντωση των

κλασικών σωματιδίων, που συναντούμε στη θεωρία της Κβαντικής Μηχανικής.

Εκεί η κβάντωση γίνεται μέσω της μετατροπής της γενικευμένης συντεταγμένης

qi(t) του κάθε σωματιδίου και της συζυγούς ορμής του pi(t), σε ερμιτιανούς


τελεστές ενός χώρου Hilbert, οι οποίοι ικανοποιούν τις εξής μεταθετικές σχέσεις

(στην εικόνα Heisenberg):

[qi(t), pj(t)] = i~ δij[qi(t),qj(t)] = [pi(t), pj(t)] = 0

(1.2)

κατ' αντιστοιχία των κλασικών σχέσεων:

{qi(t), pj(t)}PB = δij

{qi(t), qj(t)}PB = {pi(t), pj(t)}PB = 0

όπου { }PB είναι οι αγκύλες Poisson. Αντίστοιχα όλα τα παρατηρίσιμα μεγέθη

μετατρέπονται σε ερμιτιανούς τελεστές, αφού αποτελούν συναρτήσεις των qi(t) και

pi(t).

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, γίνεται και η κβάντωση των πεδίων. Εδώ,

εκτός από τα συνήθη παρατηρήσιμα μεγέθη, και τα πεδία μετατρέπονται σε

ερμιτιανούς τελεστές ενός χώρου Fock, ο οποίος περιλαμβάνει άπειρους χώρους

Hilbert διότι αναπαριστά καταστάσεις με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Η

κβάντωση αυτή ονομάζεται δεύτερη κβάντωση. Στο �πρόγραμμα� αυτό της

κβάντωσης των πεδίων, το πεδίο φ(~x, t) παίζει το ρόλο της συντεταγμένης qi(t),

ενώ το ρόλο της συζυγούς ορμής έχει το συζυγές πεδίο π(~x, t), το οποίο ορίζεται

με τη χρήση του φορμαλισμού της Θεωρίας Κλασικών Πεδίων. Σημαντική διαφορά

μεταξύ Κβαντικής Μηχανικής και Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων είναι ότι το πεδίο

αποτελεί μια χωροχρονική συνάρτηση, ενώ η συντεταγμένη ενός σωματιδίου είναι

μόνο χρονική. Δηλαδή, το πεδίο είναι μια συνεχής συνάρτηση του χώρου, ενώ

αντίθετα η συντεταγμένη ενός σωματιδίου ορίζεται σε ένα μόνο σημείο του χώρου.

Γι' αυτό και στην περίπτωση του πεδίου, ο διακριτός δείκτης i αντικαθίσταται από

τη συνεχή μεταβλητή x. Σ' ένα τέτοιο συνεχές σύστημα, όπως είναι το πεδίο, οι

μεταθετικές σχέσεις (1.2) χρειάζονται την απαραίτητη γενίκευση.

Για σκοπούς πληρότητας, ας ορίσουμε πρώτα το συζυγές πεδίο π(~x, t), προτού

γράψουμε τις μεταθετικές σχέσεις των πεδίων. Για να καταστεί σαφής ο

παραλληλισμός μεταξύ της κβάντωσης πεδίου και σωματιδίου, θεωρούμε το πεδίο

ως ένα σύστημα με πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας διαιρώντας τον

τριδιάστατο χώρο σε κελιά όγκου ∆Vi και ορίζοντας τη συντεταγμένη φi(t) από τη


μέση τιμή του φ(~x, t) στο i-οστό κελί:

φi(t) ≡1

∆Vi

∫(ith cell)

d3x φ(~x, t)

Αντίστοιχα, η ποσότητα φi(t) ορίζεται ως η μέση τιμή της παραγώγου ∂φ(~x, t)/∂t

και η Li, ως η μέση τιμή της λαγκρανζιανής πυκνότητας στο i-οστό κελί. Με τουςορισμούς αυτούς η λαγκρανζιανή γράφεται ως:

L =

∫d3xL →

∑i

∆ViLi

Σύμφωνα με την Κλασική Μηχανική, η συζυγής ορμή θα είναι:

pi(t) =∂L

∂φi(t)= ∆Vi

∂Li∂φi(t)

≡ ∆Vi πi(t)

όπου πi(t) είναι η συζυγής πυκνότητα ορμής. Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχές

σύστημα, η συζυγής πυκνότητα ορμής, ορίζεται ως:

π(~x, t) =∂L(φ, ∂µφ)

∂φ(~x, t)(1.3)

η οποία είναι το συζυγές πεδίο του φ(~x, t). Οι αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις (1.2)

για το πιο πάνω διακριτό σύστημα θα είναι:

[φi(t), pj(t)] = i~ δij[φi(t), φj(t)] = [pi(t), pj(t)] = 0

ή συναρτήσει του πi(t)

[φi(t), πj(t)] =i~δij∆Vi

[φi(t), φj(t)] = [πi(t), πj(t)] = 0

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχές σύστημα, οι πιο πάνω σχέσεις μετατρέπονται σε:

[φ(~x, t), π(~y, t)] = i~ δ3(~x− ~y)

[φ(~x,t), φ(~y, t)] = [π(~x, t), π(~y, t)] = 0(1.4)

όπου πήραμε το όριο ∆Vi → 0. Γενικεύοντας τα πιο πάνω αποτελέσματα για φυσικά

συστήματα που περιγράφονται από περισσότερα του ενός ανεξάρτητα πεδία φr(~x, t),


τα συζυγή πεδία ορίζονται ως:

πr(~x, t) =∂L

∂φr(~x, t)(1.5)

και οι αντίστοιχες μεταθετικές σχέσεις, ως:

[φr(~x, t), πs(~y, t)] = i~ δrs δ3(~x− ~y)

[φr(~x, t), φs(~y, t)] = [πr(~x, t), πs(~y, t)] = 0(1.6)

Ο πιο πάνω φορμαλισμός χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κβάντωσης

των πεδίων των μποζονίων, τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την ανταλλαγή

σωματιδίων. Για την περιγραφή της κβάντωσης των πεδίων των φερμιονίων,

ακολουθείται ένας παρόμοιος φορμαλισμός, στον οποίο όμως, χρειάζεται η

αντικατάσταση των μεταθετικών σχέσεων με τις αντίστοιχες αντιμεταθετικές

σχέσεις, διότι τα φερμιονικά πεδία είναι αντισυμμετρικά ως προς την ανταλλαγή

σωματιδίων.

1.2.2 Συμμετρίες και Νόμοι διατήρησης

Η σχέση συνεχών συμμετριών και νόμων διατήρησης στη Θεωρία Κλασικών

Πεδίων περιγράφεται μέσω ενός θεωρήματος, του θεωρήματος της Noether. Το

θεώρημα αυτό συνεχίζει να ισχύει και στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, καθώς ο

ορισμός των διατηρούμενων ποσοτήτων μένει ο ίδιος, με τη μόνη διαφορά της

μετατροπής των συναρτήσεων των πεδίων σε τελεστές. Σύμφωνα με το θεώρημα

αυτό, όταν ένα φυσικό σύστημα υποβάλλεται σε συνεχή μετασχηματισμό, ο οποίος

αποτελεί συμμετρία, δηλαδή οι εξισώσεις κίνησεις του συστήματος μένουν

αναλλοίωτες, τότε υπάρχει μια ορισμένη ποσότητα, η οποία καλείται ρεύμα της

Noether, που είναι συνάρτηση του συστήματος και η οποία διατηρείται. Η ποσότητα

αυτή έχει τεράστια σημασία, διότι δεν αποτελεί έναν απλό σταθερό αριθμό που

διατηρείται καθολικά στο σύμπαν, αλλά μια ποσότητα που εξαρτάται από τις

χωροχρονικές συντεταγμένες και άρα διατηρείται τοπικά, δηλαδή σε κάθε σημείο

του σύμπαντος. Ως εκ τούτου, η ποσότητα αυτή είναι χρήσιμη για τη μελέτη

τοπικών φαινομένων. ΄Ενα τέτοιο θεώρημα που επιτρέπει την περιγραφή

παρατηρούμενων τοπικών κανόνων στη φύση μέσω των απαιτήσεων συμμετρίας μιας

τοπικής λαγκρανζιανής πυκνότητας (αφού αυτή δίνει τις εξισώσεις κίνησης) είναι

οπωσδήποτε ένας χρήσιμος οδηγός για την εισαγωγή όρων αλληλεπίδρασης (που


πηγάζουν από τα διατηρούμενα ρεύματα) στη λαγκρανζιανή πυκνότητα,

δημιουργώντας έτσι νέες θεωρίες. Γι' αυτό και μας ενδιαφέρει η εφαρμογή του στη

Θεωρία Κβαντικών Πεδίων.

΄Ενας συνεχής απειροελάχιστος μετασχηματισμός του πεδίου φ(x) (στο εξής

x ≡ xµ = (~x, t)) μπορεί να γραφτεί με τη γενική μορφή:

φ(x)→ φ′(x) = φ(x) + α∆φ(x)

όπου α είναι απειροελάχιστη σταθερά και ∆φ(x) κάποια παραμόρφωση του πεδίου.

΄Ενας τέτοιος γενικός μετασχηματισμός πεδίου για να αποτελεί συμμετρία, πρέπει η

λαγκρανζιανή πυκνότητα του συστήματος να μένει αναλλοίωτη ή να μεταβάλλεται

κατά μία ολική παράγωγο, έτσι ώστε οι εξισώσεις Euler - Lagrange του συστήματος

να παραμένουν αμετάβλητες. Δηλαδή,

L(x)→ L′(x) = L(x) + α∂µJµ(x) (1.7)

όπου Jµ(x): τυχαία συνάρτηση. Επίσης, ένας τυχαίος συνεχής απειροελάχιστος

μετασχηματισμός της λαγκρανζιανής πυκνότητας έχει την παρακάτω γενική μορφή:

L(φ(x), ∂µφ(x))→ L′(φ(x), ∂µφ(x)) = L(φ(x), ∂µφ(x)) + α∆L(φ(x), ∂µφ(x))

= L+ α∂L∂φ

∆φ+ α∂L

∂(∂µφ)∂µ(∆φ)

= L+ α∂µ(∂L

∂(∂µφ)∆φ) + α

[∂L∂φ− ∂µ(

∂L∂(∂µφ)

)]∆φ

Ο δεύτερος όρος μηδενίζεται λόγω της εξίσωσης Euler - Lagrange. Επομένως,

L′(φ(x), ∂µφ(x)) = L(φ(x), ∂µφ(x)) + α∂µ(∂L

∂(∂µφ)∆φ)

Εξισώνοντας την πιο πάνω σχέση με την (1.7), προκύπτει:

∂µjµ(x) = 0 για jµ(x) =

∂L∂(∂µφ)

∆φ− Jµ(x) (1.8)

Η ποσότητα jµ(x) είναι το αποκαλούμενο ρεύμα της Noether. Είναι διατηρούμενο

διότι ικανοποιεί την εξίσωση συνέχειας. Κατά συνέπεια, όπως ισχύει για κάθε


διατηρούμενο ρεύμα, το αντίστοιχο φορτίο Q:

Q ≡∫all space

j0d3x (1.9)

διατηρείται, δηλαδή ικανοποιεί την εξίσωση dQ/dt = 0. Το φορτίο αυτό, για κάθε

συμμετρία είναι διαφορετικό διατηρούμενο μέγεθος. ΄Αρα, για κάθε συμμετρία της L,έχουμε κι ένα νόμο διατήρησης.

΄Ενα σημαντικό παράδειγμα εφαρμογής του θεωρήματος Noether είναι το εξής:

΄Οταν το σύστημα υποβάλλεται σε μετασχηματισμούς χωροχρονικής μετατόπισης

τότε οι διατηρούμενες ποσότητες είναι η ορμή και η ενέργεια του συστήματος, δύο

πολύ σημαντικά μεγέθη, τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στη μελέτη της κβάντωσης

των πεδίων. ΄Ενας τέτοιος μετασχηματισμός συνοψίζεται στην πιο κάτω έκφραση:

xµ → x′µ = xµ − αµ

ο οποίος επιφέρει τον εξής μετασχηματισμό για το πεδίο:

φ(x)→ φ′(x) = φ(x′ + α) = φ(x′) + αµ∂µφ(x′)

Η λαγκρανζιανή πυκνότητα είναι βαθμωτή ποσότητα, όπως το πεδίο, γι' αυτό και

μετασχηματίζεται με τον ίδιο τρόπο.

L → L′ = L+ αµ∂µL = L+ αν∂µ(δµνL)

΄Αρα, Jµν = δµνL και τα διατηρούμενα ρεύματα είναι:

jµν =∂L

∂(∂µφ)∂νφ− δµνL (1.10)

Επομένως, τα διατηρούμενα μεγέθη των πιο πάνω ρευμάτων θα είναι αφ' ενός η

χαμιλτονιανή του συστήματος, η οποία ορίζεται ως:

H =

∫d3x j00 =

∫d3x [π(x)φ(x)− L] ≡

∫d3x H (1.11)


όπου H ονομάζεται χαμιλτονιανή πυκνότητα, και αφ' ετέρου οι τρεις συνιστώσες τηςφυσικής ορμής του συστήματος, οι οποίες ορίζονται ως:

P i =

∫d3x j0i = −

∫d3x π(x)∂i φ(x)

⇒ ~P = −∫d3x π(x)~∇ φ(x) (1.12)

1.3 Οι δράσεις των πεδίων

Οι δράσεις των πεδίων διαδραματίζουν ένα πολύ σημαντικό ρόλο στη Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων εκπεφρασμένη με Συναρτησιακά Ολοκληρώματα, τα οποία θα

εξετάσουμε στο Κεφάλαιο 2. Για το λόγο αυτό, είναι χρήσιμο να ορίσουμε τις

δράσεις των ελεύθερων αλλά και αλληλεπιδρώντων πεδίων.

1.3.1 Η δράση Klein - Gordon για το ελεύθερο βαθμωτό

πεδίο

Η εξίσωση Klein � Gordon που περιγράφει ένα ελεύθερο πραγματικό βαθμωτό

πεδίο είναι η ακόλουθη:

[ �+ (mc

~)2 ] φ(x) = 0 (1.13)

όπου � =∑3

µ=0 ∂µ∂µ είναι ο τελεστής D' Alembert. Η εξίσωση αυτή προέκυψε

από τις αντικαταστάσεις E → i~ ∂/∂t και ~p → −i~~∇, όπως ακριβώς και στηνκβαντομηχανική εξίσωση του Schrödinger μιας και η εξίσωση αυτή διαχειρίζεται

ισότιμα το χώρο και το χρόνο. Η μόνη ριζική διαφορά είναι η εγκατάλειψη της μη

σχετικιστικής σχέσης ενέργειας - ορμής E = −→p 2/(2m) και η υιοθέτηση της

σχετικιστικής σχέσης E2 = (~pc)2 + (mc2)2. Αρχικά, η πιο πάνω εξίσωση είχε

προταθεί ως σχετικιστική διόρθωση της ελεύθερης εξίσωσης Schrödinger με φ(x)

να είναι η κυματοσυνάρτηση ενός σχετικιστικού σωματιδίου, στα πλαίσια μιας

θεωρίας κβαντικού σχετικιστικού σωματιδίου. Απορρίφθηκε, όμως, λόγω των

παρακάτω προβλημάτων: είναι διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο

με αποτέλεσμα η αρχική συνθήκη φ(~x, t0), να μην είναι αρκετή για την πλήρη

περιγραφή του συστήματος. Επίσης, έχει αρνητικές ενέργειες χωρίς κατώτατο

φράγμα και αρνητικές πυκνότητες πιθανότητας. Στη συνέχεια, όμως,


επανερμηνεύθηκε χρησιμοποιώντας την πολυσωματιδιακή ερμηνεία των

καταστάσεων και τελικά επέζησε ως θεωρία κλασικού ελεύθερου πραγματικού

βαθμωτού πεδίου.

Σε μονάδες όπου ~ = c = 1, η Λαγκρανζιανή πυκνότητα του βαθμωτού πεδίου

έχει την εξής μορφή:

LK−G =1

2∂µφ∂µφ−

1

2m2φ2 (1.14)

καθώς η εξίσωση Euler - Lagrange της λαγκρανζιανής αυτής δίνει την επιθυμητή

εξίσωση Klein � Gordon.

∂L∂φ− ∂ν(

∂L∂(∂νφ)

) = 0

⇒ −m2φ− ∂ν [∂

∂(∂νφ)(1

2∂ρφ g

ρµ∂µφ)] = 0⇒ −m2φ− ∂ν(1

2δνρ g

ρµ∂µφ+1

2∂ρφ g

ρµδµν) = 0

⇒ −m2φ− ∂ν(1

2∂νφ+

1

2∂νφ) = 0⇒ (∂µ∂µ +m2)φ = 0

⇒ (�+m2)φ(x) = 0

Η αντίστοιχη δράση του πεδίου Klein � Gordon είναι:

S =

∫d4x L =

∫d4x (

1

2∂µφ ∂µφ−

1

2m2φ2)

=1

2

∫d4x ∂µ(φ∂µφ)− 1

2

∫d4x φ(x)(�+m2)φ(x)

Το πρώτο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα κατά μήκος

του τετραδιάστατου χωροχρονικού διαστήματος ολοκλήρωσης. Επειδή το πεδίο φ(x)

είναι μηδέν στην αρχή και στο τέλος της περιοχής ολοκλήρωσης, τότε το ολοκλήρωμα

εν τέλει μηδενίζεται. Επομένως,

SK−G = −1

2

∫d4x φ(x)(�+m2)φ(x) (1.15)


1.3.2 Η δράση Dirac για τα ελεύθερα φερμιόνια

Η ελεύθερη εξίσωση Dirac που περιγράφει το σπινοριακό πεδίο των ελεύθερων

φερμιονίων είναι η ακόλουθη:

(i/∂ −m)ψ(x) = 0 (1.16)

όπου /∂ = γµ∂µ και γµείναι οι 4x4 πίνακες Dirac που ικανοποιούν την

αντιμεταθετική σχέση {γµ, γν} = 2 gµν . Η εξίσωση αυτή προήλθε από την

προσπάθεια βελτίωσης της εξίσωσης Klein - Gordon, ούτως ώστε να εξαλειφθούν

τα προαναφερθέντα προβλήματα που παρουσίαζε, στα πλαίσια της περιγραφής μιας

θεωρίας κβαντικού σχετικιστικού σωματιδίου. Η νέα αυτή εξίσωση που προέκυψε

είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς το χρόνο, έχει θετικές πυκνότητες

πιθανότητας ενώ εμφανίζονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες χωρίς κατώτατο

φράγμα. ΄Ετσι, αν και έλυνε τα δύο από τα τρία προβλήματα της εξίσωσης Klein -

Gordon, εντούτοις απορρίφθηκε και αυτή η εξίσωση ως περιγραφή θεωρίας

κβαντικού σωματιδίου. ΄Ομως, επέζησε ως θεωρία κλασικού πεδίου

χρησιμοποιώντας την πολυσωματιδιακή ερμηνεία των καταστάσεων, με τη

θεμελιώδη κατάσταση να έχει πλήρως συμπληρωμένες τις αρνητικές ενεργειακές

στάθμες (θάλασσα Dirac), λύνοντας έτσι το πρόβλημα της ανυπαρξίας ενεργειακού

φράγματος, καθώς επίσης και την εισαγωγή των αντισωματιδίων για να αίρουν τις

αρνητικές ενέργειες. Καταστάσεις σωματιδίων με αρνητική ενέργεια που διαδίδονται

στο χωροχρόνο κατά την αντίστροφη φορά ισοδυναμούν με καταστάσεις

αντισωματιδίων με θετική ενέργεια που διαδίδονται στο χωροχρόνο κατά την ορθή

φορά. Σημαντική ιδιότητα της εξίσωσης Dirac είναι ότι εμπλέκει ένα πεδίο με

τέσσερεις συνιστώσες κι επομένως είναι ιδανική για ένα σπινοριακό πεδίο όπως είναι

τα φερμιόνια.

Η Λαγκρανζιανή πυκνότητα του φερμιονικού πεδίου έχει την εξής μορφή:

LF = ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x) (1.17)

όπου ψ(x) ≡ ψ+(x)γ0είναι το συζυγές πεδίο του ψ(x). ΄Οντως, η εξίσωση Euler -

Lagrange της λαγκρανζιανής αυτής δίνει την επιθυμητή εξίσωση Dirac για το πεδίο

ψ(x).

∂L∂ψ− ∂µ(

∂L∂(∂µψ)

) = 0⇒ (i/∂ −m)ψ(x) = 0


Επίσης, προκύπτει μία εξίσωση Euler - Lagrange για το συζυγές πεδίο ψ(x).

∂L∂ψ− ∂ν(

∂L∂(∂νψ)

) = 0⇒ −mψ − ∂ν(iψγµδµν) = 0

⇒ −i∂µψγµ +mψ = 0⇒ ψ(i←−∂µγ

µ +m) = 0

⇒ ψ(x)(i←−/∂ +m) = 0 (1.18)

Η εξίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την (1.16).

Η αντίστοιχη δράση του πεδίου Dirac είναι:

SF =

∫d4x L =

∫d4x ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x) (1.19)

1.3.3 Η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής (QED)

για τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις

Η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική (QED) περιλαμβάνει τις αλληλεπιδράσεις των

ηλεκτρονίων μέσω της ανταλλαγής φωτονίων. H δράση της QED αποτελείται από

δύο μέρη: τη δράση των φωτονίων και τη δράση των ηλεκτρονίων. Επίσης, η QED

είναι μια θεωρία βαθμίδος, δηλαδή η δράση της μένει αναλλοίωτη κάτω από τους

τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U(1). ΄Αρα, τόσο η

δράση των φωτονίων όσο και η δράση των ηλεκτρονίων θα πρέπει ξεχωριστά η κάθε

μια να μένει αναλλοίωτη κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς.

Ας ξεκινήσουμε πρώτα από τη δράση των ηλεκτρονίων. Σύμφωνα με το

υποκεφάλαιο 1.2.2, η δράση των ελεύθερων ηλεκτρονίων είναι:

SEL =

∫d4x ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x)

αφού τα ηλεκτρόνια είναι φερμιόνια. Η δράση αυτή μένει αναλλοίωτη κάτω από τους

ολικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας:

ψ(x)→ Gψ(x)

ψ(x)→ ψ(x)G−1

όπου G είναι ένα στοιχείο της αβελιανής ομάδας U(1), δηλαδή G = eiΛ με Λ να

είναι ανεξάρτητη του x. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο κάτω από τους τοπικούς


μετασχηματισμούς βαθμίδας, δηλαδή G(x) = eiΛ(x). Για να πετύχουμε τοπικά

αναλλοίωτη δράση, αντικαθιστούμε την κανονική τετραδιάστατη παράγωγο ∂µ με τη

συναλλοίωτη παράγωγο Dµ, η οποία ορίζεται ως:

Dµ = ∂µ + ieAµ (1.20)

με e να είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου. Η νέα αυτή παράγωγος περιλαμβάνει το

φωτονικό πεδίο Aµ δίνοντας έτσι όρο σύζευξης του φωτονικού με το πεδίο των

ηλεκτρονίων. Δεδομένου ότι, κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδος

ισχύει Aµ(x) → Aµ(x) − 1/e ∂µΛ(x) συμπεραίνουμε ότι Dµ → G(x)DµG−1(x). Η

καινούργια πλέον δράση των ηλεκτρονίων θα είναι:

SEL =

∫d4x ψ(x)(iγµDµ −m)ψ(x) (1.21)

η οποία είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς:

ψ(x)→ G(x)ψ(x)

ψ(x)→ ψ(x)G−1(x)

Aµ(x)→Aµ(x)− 1

e∂µΛ(x)

(1.22)

Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή της δράσης των φωτονίων, η οποία στην

πραγματικότητα θα περιλαμβάνει μόνο ένα κινητικό όρο, αφού όρος σύζευξης

φωτονίων � ηλεκτρονίων έχει ήδη προστεθεί στη δράση των ηλεκτρονίων, ενώ τα

φωτόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, καθώς δεν έχουν ηλεκτρικό φορτίο.

Επίσης, δε θα περιλαμβάνει ούτε καν όρο μάζας, γιατί ένας τέτοιος όρος δεν είναι

τοπικά αναλλοίωτος. Επομένως, η δράση των φωτονίων θα είναι η έκφραση:

SPH = −1

4

∫d4x FµνF

µν (1.23)

όπου Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, η οποία συμπίπτει με την κλασική δράση Maxwell για

το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η πιο πάνω δράση είναι αναλλοίωτη κάτω από τους

τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδος του φωτονικού πεδίου, όπως απορρέει από

τους μετασχηματισμούς (1.22) .

Συμπερασματικά, η δράση της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής είναι:

SQED = SPH + SEL = −1

4

∫d4x FµνF

µν +

∫d4x ψ(x)(iγµDµ −m)ψ(x) (1.24)


΄Ετσι δημιουργήσαμε μια τοπικά αναλλοίωτη δράση κάτω από τους μετασχηματισμούς

βαθμίδας της αβελιανής ομάδας U(1). Θα πρέπει, όμως, να ελέγξουμε αν όντως η

λαγκρανζιανή της πιο πάνω δράσης δίνει τις σωστές εξισώσεις κίνησης. Οι πρώτες

δύο εξισώσεις Euler - Lagrange που προκύπτουν είναι:

∂L∂ψ− ∂µ(

∂L∂(∂µψ)

) = 0⇒ (i/∂ − e /A−m)ψ(x) = 0 (1.25)

και

∂L∂ψ− ∂µ(

∂L∂(∂µψ)

) = 0⇒ ψ(x)(i←−/∂ + e /A+m) = 0 (1.26)

όπου /A = γµAµ. Οι εξισώσεις αυτές είναι ισοδύναμες και αποτελούν την εξίσωση

Dirac συζευγμένη με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η τελευταία εξίσωση Euler -

Lagrange είναι:

∂L∂Aµ

− ∂ν(∂L

∂(∂νAµ)) = 0⇒ −∂(ψeγρgρσA

σψ)

∂Aµ+

1

4∂ν [

∂(gρρ′gσσ′Fρ′σ′F ρσ)

∂(∂νAµ)] = 0

⇒ −ψeγρgρµψ +1

2∂ν [Fρσ

∂F ρσ

∂(∂νAµ)] = 0⇒ −ψeγρgρµψ + ∂νFνµ = 0

⇒ −ψeγρgρµgµσψ − gµσ∂νFµν = 0⇒ ∂νFσν = −ψeγσψ

⇒ ∂µFµν = eψγνψ (1.27)

η οποία είναι η συμπτυγμένη γραφή των εξισώσεων Maxwell σε μονάδες c = µ0 = 1,

καθώς η ποσότητα eψγνψ ισούται με το τετραδιάνυσμα ρεύματος jν = (eρ, e~j). ΄Αρα,

η πιο πάνω δράση, δίνει όντως τις σωστές εξισώσεις κίνησης κι επομένως περιγράφει

τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις.

1.3.4 Η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD)

για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις

Η Κβαντική Χρωμοδυναμική (QCD) περιλαμβάνει τις αλληλεπιδράσεις των

quark μέσω της ανταλλαγής γκλουονίων. Η δράση της QCD αποτελείται από δύο

μέρη: τη δράση των γκλουονίων και τη δράση των quark. Επίσης, η QCD είναι μια

θεωρία βαθμίδος, δηλαδή η δράση της μένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς

μετασχηματισμούς βαθμίδας της μη αβελιανής ομάδας SU(3). ΄Αρα, τόσο η δράση

των γκλουονίων όσο και η δράση των quark θα πρέπει ξεχωριστά η κάθε μια να

μένει αναλλοίωτη κάτω από τέτοιους μετασχηματισμούς.


Ξεκινούμε χρησιμοποιώντας ως πρότυπο τη δράση της QED. Στις μη αβελιανές

θεωρίες βαθμίδος SU(N), αντί ενός ελεύθερου πεδίου Dirac, έχουμε Ν τέτοια πεδία

με ίδια μάζα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση τα quark και αντιquark, συναντώται

σε N = 3 διαφορετικά είδη, στα οποία προσδίδουμε διαφορετικό �χρώμα� για να τα

διακρίνουμε. ΄Ετσι το πεδίο ψ αντικαθίσταται από το διάνυσμα-στήλη 3x1˜ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

και το πεδίο ψ από το διάνυσμα-γραμμή 1x3

˜ψ =

(ψ1 ψ2 ψ3

). Αντίστοιχα και

το γκλουονικό πεδίο μετατρέπεται σε πίνακα 3 x 3Ãµ, ούτως ώστε να μπορέσει να

συζευχθεί με δύο αλληλεπιδρώντα quark. Η δράση των quark θα πάρει τη μορφή:

SQ =

∫d4x

˜ψ(x)(iγµDµ −m)

˜ψ(x) (1.28)

όπου Dµ = ∂µ + igÃµ και g: σταθερά σύζευξης ισχυρής αλληλεπίδρασης. Η Sq είναι

αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς:

˜ψ(x)→

˜G(x)

˜ψ(x)

˜ψ(x)→

˜ψ(x)

˜G−1(x)

Ãµ(x)→

˜G(x)

Ãµ(x)

˜G−1(x)− i

g ˜G(x)∂µ

˜G−1(x)

(1.29)

όπου˜G(x) είναι ένα στοιχείο της μη αβελιανής ομάδας SU(3), δηλαδή

˜G(x) = ei˜

Λ(x)

με˜Λ(x) ερμιτιανός πίνακας που ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU(3). Ο

μετασχηματισμός (1.29) για τα γκλουόνια είναι ανάλογος της φωτονικής έκφρασης

(1.22). Πράγματι, αν η ποσότητα˜G(x) = ei˜

Λ(x)είναι πίνακας 1x1, τότε οι σχέσεις

(1.29) μετατρέπονται στις (1.22).

Τώρα, η δράση των γκλουονίων θα μοιάζει με αυτή των φωτονίων αλλά θα

έχει κάποιες σημαντικές διαφορές. Πρώτα απ' όλα, αφού το πεδίο μετατράπηκε σε

πίνακα τότε και ο αντίστοιχος τανυστής του θα είναι και αυτός πίνακας˜Fµν .

Απαιτούμε ο τανυστής˜Fµν να είναι τουλάχιστον συναλλοίωτος κάτω από τους

τοπικούς μετασχηματισμούς της SU(3), δηλαδή˜Fµν → G(x)

˜FµνG

−1(x), κατ'

αναλογία με το φωτονικό πεδίο. Μ' αυτό τον τρόπο η γκλουονική δράση μπορεί να

κατασκευαστεί από το ίχνος της ποσότητας˜Fµν

˜F µν , μιας και είναι η απλούστερη

βαθμωτή ποσότητα, που είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς

μετασχηματισμούς βαθμίδας. Για να είναι συναλλοίωτος ο τανυστής˜Fµν , χρειάζεται

να διαφοροποιήσουμε λίγο τον ορισμό του, σε σχέση με το φωτονικό τανυστή. Κι

εδώ υπεισέρχεται η δεύτερη σημαντική διαφορά με το φωτονικό πεδίο. Η ύπαρξη


του χρώματος δημιούργησε διαφορετικά είδη γκλουονίων, τα οποία μπορούν να

αλληλεπιδράσουν και μεταξύ τους. Επομένως, η δράση των γκλουονίων δεν

περιέχει μόνο ένα κινητικό όρο αλλά και όρο αλληλεπίδρασης. Λαμβάνοντας όλα τα

πιο πάνω υπόψη, η γκλουονική δράση παίρνει τη μορφή:

SG = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) (1.30a)

όπου

˜Fµν = ∂µ

Ãν − ∂ν

Ãµ + ig[

Ãµ,

Ãν ] (1.30b)

Εδώ σημειώνουμε ότι αφού η ποσότητα −i/g˜G(x)∂µ

˜G−1(x) είναι ερμιτιανός πίνακας

με ίχνος μηδέν, τότε η υπόθεση ότι και το γκλουονικό πεδίοÃµ είναι ερμιτιανός

πίνακας με ίχνος μηδέν είναι αυτοσυνεπής. ΄Αρα το πεδίοÃµ, ανήκει στην άλγεβρα

Lie της SU(3). Επομένως, μπορεί να γραφτεί ως:

Ãµ(x) =

8∑a=1

Aaµ(x)λa

2(1.31)

όπου Aaµ(x) αποτελούν οκτώ διαφορετικά γκλουονικά πεδία που αντιστοιχούν

στους οκτώ γεννήτορες λa της SU(3), οι οποίοι είναι οι 3 x 3 πίνακες Gell-Mann.

Αντίστοιχα και ο τανυστής˜Fµν ανήκει στην άλγεβρα Lie της SU(3) και μπορεί να

γραφτεί ως:

˜Fµν(x) =

8∑a=1

F aµν(x)

λa

2(1.32a)

όπου

F aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ − gfabcAbµ Acν (1.32b)

Η έκφραση (1.32b) προκύπτει από την αντικατάσταση της (1.31) μέσα στην (1.30b)

και τις σχέσεις μετάθεσης και ορθογωνιότητας των πινάκων Gell-Mann:

[λa, λb] = 2i8∑c=1

fabc λc (1.33a)

tr(λa λb) = 2δab (1.33b)


Αντικαθιστώντας τη σχέση (1.32a) στην γκλουονική δράση προκύπτει:

SG = −1

4

∫d4x F a

µνFµνa (1.34)

που μοιάζει με τη φωτονική δράση.

Συμπερασματικά, η δράση της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής είναι:

SQCD = SG + SQ = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) +

∫d4x

˜ψ(x)(iγµDµ −m)

˜ψ(x)

(1.35)

Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα quark έχουν έξι διαφορετικές γεύσεις, τότε η συνολική

δράση της QCD γράφεται:

SQCD = −1

2

∫d4x tr(

˜Fµν

˜F µν) +

6∑f=1

∫d4x

˜ψf (x)(iγµDµ −mf )

˜ψf (x)

= −1

4

8∑a=1

∫d4x F a

µνFµνa +

6∑f=1

3∑a,b=1

4∑α,β=1

∫d4x (ψaf )α [iγµ(Dµ)ab −mfδ

ab]αβ (ψbf )β

(1.36)

1.4 Οι διαδότες των πεδίων

Η μελέτη παρατηρήσιμων ιδιοτήτων των στοιχειωδών σωματιδίων, μέσω της

Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων, βασίζεται στον υπολογισμό στοιχείων πινάκων και

συναρτήσεων συσχέτισης σύνθετων τελεστών των κβαντικών πεδίων. Μία από τις

συναρτήσεις συσχέτισης είναι και ο διαδότης των κβαντικών πεδίων, ο οποίος είναι

πολύ σημαντικός και η μορφή του οποίου είναι βοηθητική για την κατασκευή των

υπόλοιπων και πιο σύνθετων συναρτήσεων συσχετισμού. Στη συγκεκριμένη

περίπτωση, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η κατασκευή της συνάρτησης

συσχετισμού των φερμιονικών τελεστών που δρουν σε αδρονικές καταστάσεις, η

οποία θα μας δώσει σημαντικές αδρονικές ιδιότητες. ΄Αρα, για να το καταφέρουμε

αυτό, πρέπει να ορίσουμε τους διαδότες των κβαντικών πεδίων, πράγμα που

προϋποθέτει την κβάντωση των πεδίων.


1.4.1 Η κβάντωση του ελεύθερου πραγματικού

βαθμωτού πεδίου Klein - Gordon και ο

αντίστοιχος διαδότης του

Η κβάντωση του ελεύθερου πραγματικού βαθμωτού πεδίου Klein - Gordon

γίνεται στη βάση του φορμαλισμού που περιγράφτηκε στο υποκεφάλαιο 1.2.1.

Πρώτα, όμως χρειάζεται να βρούμε την κλασική μορφή του πεδίου, μέσω της

επίλυσης της εξίσωσης Klein - Gordon (1.13) (σε μονάδες ~ = c = 1) κι έπειτα να

το κβαντώσουμε. Επειδή η κβάντωση του κλασικού πεδίου στο χώρο των θέσεων

είναι μη τετριμένη, αυτό που πράττει κανείς, συνήθως, είναι η κβάντωση του πεδίου

στο χώρο των ορμών. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Fourier, το πεδίο

γράφεται στη μορφή:

φ(~x, t) =

∫d3p

(2π)3ei ~p·~x φ(~p, t) (1.37)

(με φ∗(~p, t) = φ(−~p, t) έτσι ώστε φ(~x, t) να είναι πραγματικό). Τότε, η εξίσωση

Klein - Gordon παίρνει την πιο κάτω μορφή:

(∂2

∂t2+ |~p|2 +m2) φ(~p, t) = 0 (1.38)

η οποία για κάθε τιμή του ~p, δίνει μια εξίσωση κλασικού απλού αρμονικού ταλαντωτή

με συχνότητα ταλάντωσης:

ωp = +√|~p|2 +m2 (1.39)

΄Ετσι, η κβάντωση του πεδίου ανάγεται πλέον, στην κβάντωση άπειρων ασύζευκτων

κλασικών αρμονικών ταλαντωτών. Από την Κβαντική Μηχανική, γνωρίζουμε

ακριβώς πώς να το κάνουμε αυτό.

Η χαμιλτονιανή ενός κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή στην εικόνα Schrödinger

είναι:

H =1

2π2 +

1

2ω2φ2

όπου τα φ και π ικανοποιούν τη μεταθετική σχέση [φ, π] = i. Η διαδικασία εύρεσης

των ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων της πιο πάνω χαμιλτονιανής υπαγορεύει την

εισαγωγή δύο τελεστών: του τελεστού αναβίβασης a† και του τελεστού


καταβίβασης a, οι οποίοι ορίζονται από τις πιο κάτω σχέσεις:

φ ≡ 1√2ω

(a+ a†) (1.40a)

π ≡ −i√ω

2(a− a†) (1.40b)

Η μεταθετική σχέση των φ και π, με τους πιο πάνω ορισμούς μετατρέπεται σε:

[a, a†] = 1 (1.41)

Αντίστοιχα, η χαμιλτονιανή παίρνει τη μορφή:

H = ω(a†a+1

2) = ω(aa† − 1

2) (1.42)

Αν |n〉 είναι ιδιοκατάσταση της πιο πάνω χαμιλτονιανής με ιδιοτιμή En,

(H|n〉 = En|n〉), τότε αποδεικνύεται ότι και οι καταστάσεις a†|n〉 και a|n〉 είναιιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής με ιδιοτιμές En + ω και En − ω αντίστοιχα.

Δηλαδή,

H(a†|n〉) = (En + ω)(a†|n〉), H(a|n〉) = (En − ω)(a|n〉)

Γι' αυτό και οι τελεστές αυτοί ονομάζονται τελεστής αναβίβασης και καταβίβασης

αντίστοιχα, καθώς δημιουργούν καινούργιες ιδιοκαταστάσεις με αυξημένες ή

μειωμένες ιδιοτιμές αντίστοιχα. Τώρα, για να υπάρξει θεμελιώδης κατάσταση |0〉,ορίζεται ένα κατώτατο όριο κάτω από το οποίο, ο τελεστής καταβίβασης δεν μπορεί

να δημιουργήσει άλλη ιδιοκατάσταση, δηλαδή a|0〉 = 0. Η ιδιοτιμή της είναι

E0 = ω/2. Οι υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις δημιουργούνται με την αλλεπάλληλη

δράση των τελεστών αναβίβασης στη θεμελιώδη κατάσταση, |n〉 = (a†)n|0〉. Με τηβοήθεια των μεταθετικών σχέσεων:

[H, a†] = ωa†, [H, a] = −ωa

βρίσκουμε τις ιδιοτιμές των πιο πάνω ιδιοκαταστάσεων ίσες με En = (n + 1/2)ω

(H|n〉 = (n+ 1/2)ω|n〉).

Με την πιο πάνω διαδικασία πετύχαμε την κβάντωση ενός μόνο απλού

αρμονικού ταλαντωτή. Για την κβάντωση άπειρων ανεξάρτητων αρμονικών

ταλαντωτών, χρησιμοποιούμε την ίδια διαδικασία, αλλά τώρα ο κάθε ταλαντωτής, θα


έχει τη δική του ορμή p, συχνότητα ταλάντωσης ωp και τελεστή αναβίβασης a†p και

καταβίβασης ap. Σε αναλογία με τις σχέσεις (1.40), γράφουμε:

φ(~p) =1√2ωp

(ap + a†p)

π(~p) = −i√ωp2

(ap − a†p)

Επιστρέφοντας πίσω στο χώρο των θέσεων, τα πεδία φ και π, παίρνουν την πιο κάτω

μορφή τελεστών (στην εικόνα Schrödinger):

φ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2ωp

(apei~p·~x + a†pe

−i~p·~x) (1.43)

π(~x) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√ωp2

(apei~p·~x − a†pe−i~p·~x) (1.44)

Οι πιο πάνω σχέσεις μπορούν να γραφτούν στις εξής πιο χρήσιμες σχέσεις:

φ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2ωp

(ap + a†−p)ei~p·~x (1.45)

π(~x) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√ωp2

(ap − a†−p)ei~p·~x (1.46)

Με τους πιο πάνω ορισμούς, οι μεταθετικές σχέσεις (1.4) (σε μονάδες ~ = c = 1),

επιφέρουν τις μεταθετικές σχέσεις:

[ap, a†q] = (2π)3δ(3)(~p− ~q) (1.47a)

[ap, aq] = [a†p, a†q] = 0 (1.47b)

Σε μια κβαντική θεωρία, αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι η εύρεση των

ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων του τελεστή της Χαμιλτονιανής, όπως ακριβώς γίνεται

και στην Κβαντική Μηχανική. Για να κατασκευάσουμε τον τελεστή αυτό, αρκεί να

βρούμε την κλασική χαμιλτονιανή και να την κβαντώσουμε με την αντικατάσταση των

τελεστών των πεδίων φ(~x) και π(~x) με τις σχέσεις που βρήκαμε πιο πάνω. Ορίζουμε

πρώτα την κλασική συζυγή πυκνότητα ορμής του πεδίου, σύμφωνα με τις σχέσεις

(1.3) και (1.14):

π(~x, t) = φ(~x, t) (1.48)


΄Ετσι, η κλασική χαμιλτονιανή του πεδίου, σύμφωνα με τις (1.11) και (1.14), παίρνει

τη μορφή:

H =

∫d3x

1

2[π(~x, t)2 + (~∇φ(~x, t))2 +m2φ(~x, t)2] (1.49)

(Εδώ, σημειώνουμε ότι τα πεδία στην κλασική χαμιλτονιανή είναι

χωροχρονοεξαρτημένα, ενώ οι τελεστές των πεδίων που ορίσαμε πιο πάνω είναι

μόνο χωρικά εξαρτημένοι. Αυτό συμβαίνει διότι οι τελεστές είναι γραμμένοι στην

εικόνα Schrödinger. Γι' αυτό κι εμείς θα θεωρήσουμε ότι τα μεγέθη μας είναι

χρονικά ανεξάρτητα, θα κβαντώσουμε το σύστημα στην εικόνα Schrödinger και στη

συνέχεια θα μετατρέψουμε τα κβαντισμένα μεγέθη σε χρονοεξαρτημένα μέσω της

μετάβασης στην εικόνα Heisenberg.) Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (1.45) - (1.46)

στην κλασική χαμιλτονιανή και βρίσκουμε:

H =

∫d3x

∫d3p d3q

(2π)6ei(~p+~q)·~x

1

4

[−√ωpωq(ap − a†−p)(aq − a

†−q)

+−~p · ~q +m2

√ωpωq

(ap + a†−p)(aq + a†−q)]

Χρησιμοποιώντας τη σχέση δ(3)(~p + ~q) =∫d3x [1/(2π)3] ei(~p+~q)·~x, η χαμιλτονιανή

μετατρέπεται σε:

H =

∫d3p

(2π)3

1

4

[−√ωpω−p(ap − a†−p)(a−p − a†p) +

|~p|2 +m2

√ωpω−p

(ap + a†−p)(a−p + a†p)]

=

∫d3p

(2π)3

ωp2

(apa†p + a†pap) (1.50)

ο οποίος είναι ο κβαντισμένος τελεστής της Χαμιλτονιανής στην εικόνα Schrödinger.

Από την πιο πάνω έκφραση, εξάγονται οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις:

[H, a†p] = ωpa†p, [H, ap] = −ωpap (1.51)

Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.47a), η χαμιλτονιανή Klein - Gordon, μπορεί να

γραφτεί και ως:

H =

∫d3p

(2π)3ωp(a

†pap +

1

2[ap, a

†p]) (1.52)

Ο δεύτερος όρος ισούται με (1/2)(2π)3δ3(0), το οποίο είναι ένας άπειρος αριθμός.

Αυτό είναι αποδεκτό, θεωρώντας ότι αποτελεί το άθροισμα των θεμελιωδών


ενεργειών όλων των κβαντικών αρμονικών ταλαντωτών (ωp/2), το αποκαλούμενο

�κενό� της θεωρίας. Επειδή τα πειράματα μετρούν μόνο ενεργειακές διαφορές από

τη θεμελιώδη κατάσταση της χαμιλτονιανής, ο όρος αυτός μπορεί να αγνοηθεί από

όλους μας τους υπολογισμούς. ΄Αρα,

H =

∫d3p

(2π)3ωpa

†pap (1.53)

και

[ap, a†p] = 0 (1.54)

Με τη βοήθεια της χαμιλτονιανής (1.53) και των μεταθετικών σχέσεων (1.51)

μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής

Klein - Gordon. Η θεμελιώδης κατάσταση (ή το �κενό�) |0〉 για την οποία ισχύειap|0〉 = 0 ∀p έχει ιδιοενέργεια E = 0 αφού αγνοήσαμε την άπειρη σταθερά. ΄Ολες οι

υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις μπορούν να κατασκευαστούν από τη δράση των

τελεστών αναβίβασης στο κενό. ΄Αρα, η κατάσταση a†p|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της Hμε ιδιοτιμή ίση με ωp. Επίσης, η κατάσταση a

†pa†q|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H με

ιδιοτιμή ίση με ωp + ωq. Γενικεύοντας, η κατάσταση a†p1· · · a†pn|0〉 είναι

ιδιοκατάσταση της H με ιδιοτιμή ίση με ωp1 + · · ·+ ωpn .

Αφού βρήκαμε τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, σειρά έχουν οι

ιδιοκαταστάσεις της ορμής. Η κλασική ολική ορμή του συστήματος δίνεται από τη

σχέση (1.12). Αντικαθιστώντας τους τελεστές φ(~x) και π(~x) (σχέσεις (1.45) -

(1.46)), ο τελεστής ολικής ορμής του συστήματος παίρνει τη μορφή:

~P =

∫d3p

(2π)3~p a†pap (1.55)

ο οποίος μοιάζει με αυτόν της χαμιλτονιανής, όπου αγνοήσαμε την άπειρη σταθερά.

Ισχύουν, επίσης, οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις, κατ' αντιστοιχία με τις (1.51)

για τη χαμιλτονιανή:

[~P, a†q] = ~qa†q, [~P, aq] = −~qaq (1.56)


Δρώντας με τον τελεστή της ολικής ορμής στις ιδιοκαταστάσεις της χαμιλτονιανής

παρατηρούμε ότι αποτελούν και ιδιοκαταστάσεις της ορμής.

~P |0〉 = 0, ~P (a†q|0〉) = ~q(a†q|0〉)

΄Αρα, όταν ο τελεστής αναβίβασης a†p δρα στην κατάσταση κενού δημιουργεί μια

καινούργια κατάσταση a†p|0〉 με ορμή ~p και ενέργεια ωp =√|~p|2 +m2. Ομοίως η

κατάσταση a†p1· · · a†pn|0〉 έχει ορμή ~p1 + · · ·+ ~pn και ενέργεια ωp1 + · · ·+ωpn . Οι πιο

πάνω καταστάσεις ικανοποιούν τη σχετικιστική σχέση ενέργειας - ορμής κι έχουν

και διακριτές τιμές των φυσικών παρατηρήσιμων μεγεθών. Επομένως είναι φυσικό να

καλούμε αυτές τις καταστάσεις �σχετικιστικά σωματίδια�. Συγκεκριμένα, σωματίδια

με καθορισμένη ορμή κι όχι θέση. ΄Ετσι, από εδώ και πέρα θα χρησιμοποιούμε το

συμβολισμό Ep αντί του ωp για τις ιδιοενέργειες.

΄Ενα σημαντικό ερώτημα που γεννάται από τον πιο πάνω ισχυρισμό μας είναι

πόσα σωματίδια περιέχει η κάθε κατάσταση. Αν γράψουμε την κάθε ιδιοτιμή ορμής

~p ως άθροισμα από μονοσωματιδιακές ορμές, δηλαδή ~p =∑

i n(p)i ~pi, όπου n

(p)i είναι

ο αριθμός κατάληψης των σωματιδίων για κάθε μονοσωματιδιακή ορμή, τότε ο

αριθμός των σωματιδίων που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιμή της ορμής θα είναι

Np =∑

i n(p)i . Κατά τον ίδιο τρόπο, αν ο τελεστής της ολικής ορμής γραφτεί ως

~P =∫

[d3p/(2π)3]Np ~p (κατ' αντιστοιχία της έκφρασης για την ιδιοτιμή ορμής),

όπου Np είναι ο τελεστής αρίθμησης των σωματιδίων που αντιστοιχούν στην κάθε

ορμή ~p, τότε ο τελεστής αρίθμησης του συνολικού αριθμού των σωματιδίων θα

είναι N =∫

[d3p/(2π)3]Np. ΄Αρα, εν τέλει, ο τελεστής αρίθμησης του συνολικού

αριθμού σωματιδίων κάθε κατάστασης ορίζεται:

N =

∫d3p

(2π)3a†pap (1.57)

Οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστού αυτού είναι οι ίδιες με αυτές της χαμιλτονιανής και

ολικής ορμής, καθώς μετατίθεται μαζί τους.

[H,N ] = [~P,N ] = 0

Με τη βοήθεια των μεταθετικών σχέσεων:

[N, a†p] = a†p, [N, ap] = −ap (1.58)


βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του τελεστή N .

N |0〉 = 0, N(a†p|0〉) = 1(a†p|0〉), N(a†p1· · · a†pn|0〉) = n(a†p1

· · · a†pn|0〉)

΄Αρα, κάθε φορά που ο τελεστής αναβίβασης a†p δρα σε μια ιδιοκατάσταση ορμής

και ενέργειας, τότε αυξάνεται ο αριθμός των σωματιδίων της κατάστασης κατά 1.

Αντίστοιχα, κάθε φορά που ο τελεστής καταβίβασης ap δρα σε μια ιδιοκατάσταση

ορμής και ενέργειας, τότε μειώνεται ο αριθμός των σωματιδίων της κατάστασης κατά

1. Επομένως, οι τελεστές αυτοί, δικαιολογημένα ονομάστηκαν τελεστής δημιουργίας

και καταστροφής αντίστοιχα, αφού ο ένας δημιουργεί και ο άλλος εξαφανίζει ένα

σωματίδιο με καθορισμένη ορμή.

Ο φορμαλισμός αυτός, επίσης, επιτρέπει τον ορισμό της στατιστικής των

σωματιδίων. Η μεταθετική σχέση [a†p, a†q] = 0 συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο

σωματιδίων a†pa†q|0〉 είναι ταυτόσημη με την a†qa

†p|0〉 υποδηλώνοντας ότι τα

σωματίδια είναι μη διακρίσιμα. Ακόμη, η πιο πάνω μεταθετική σχέση για q = p

συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο σωματιδίων a†pa†p|0〉, η οποία υποδηλώνει την

ύπαρξη δύο σωματιδίων στην ίδια ενεργειακή κατάσταση, μπορεί να υπάρξει.

Γενικεύοντας, η δράση του τελεστή a†p άπειρες φορές στην κατάσταση κενού

επιτρέπεται με αποτέλεσμα η κάθε ενεργειακή κατάσταση να μπορεί να καταληφθεί

από 0 έως άπειρα σωματίδια. Τα δύο πιο πάνω συμπεράσματα αποτελούν αρχές της

στατιστικής Bose - Einstein και υποδηλώνουν, ακριβώς, ότι το πεδίο Klein -

Gordon αναφέρεται σε μποζόνια.

Για να είναι ορθοκανονικοποιημένες, οι καταστάσεις ορμής ενός σωματιδίου

|p〉 = a†p|0〉 που βρήκαμε, χρειάζεται να ορίσουμε τη σχέση ορθοκανονικότητας ως:

〈p|q〉 = (2π)3δ(3)(~p− ~q) (1.59)

Πράγματι,

〈p|q〉 = 〈0|apa†q|0〉 = 〈0|[ap, a†q] + a†qap|0〉 = (2π)3δ(3)(~p− ~q)〈0|0〉

Θεωρούμε ότι η κατάσταση κενού είναι εξ ορισμού κανονικοποιημένη 〈0|0〉 = 1 και

άρα καταλήγουμε στην σχέση (1.59). ΄Ομως, αφού μιλάμε για σχετικιστικό σωματίδιο

τότε η κάτασταση ορμής ενός σωματιδίου κάτω από τους μετασχηματισμούς Lorentz


ενέργειας - ορμής:

p′x = γ(px − βEp), p′y = py

p′z = pz, E ′p = γ(Ep − βpx)

πρέπει να παραμένει αμετάβλητη. Το ίδιο και η σχέση ορθοκανονικότητας.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της δέλτα συνάρτησης του Dirac:

δ(f(x)− f(x0)) =1

|f ′(x0)|δ(x− x0)

παρατηρούμε ότι η ποσότητα δ(3)(~p − ~q) δεν είναι αναλλοίωτη κάτω από

μετασχηματισμούς Lorentz. Πράγματι,

δ(p′x − q′x) =1

|dp′xdpx|δ(px − qx)

⇒ δ(px − qx) = γ(1− βdEpdpx

)δ(p′x − q′x) = γ(1− β pxEp

)δ(p′x − q′x)

=γ

Ep(Ep − βpx)δ(p′x − q′x) = δ(p′x − q′x)

E ′pEp

Επίσης,

δ(py − qy) = δ(p′y − q′y), δ(pz − qz) = δ(p′z − q′z)

΄Αρα,

δ(3)(~p− ~q) = δ(3)(~p′ − ~q′)E ′pEp

Αντίθετα, η ποσότητα Ep δ(3)(~p− ~q) είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς

Lorentz, σύμφωνα με την παραπάνω σχέση. ΄Αρα επαναορίζουμε τη σχέση

ορθοκανονικότητας ως

〈p|q〉 = 2Ep(2π)3δ(3)(~p− ~q) (1.60)

(Ο παράγοντας 2 δεν είναι απαραίτητος, όμως είναι βολική σύμβαση). Επομένως, η

κατά Lorentz αναλλοίωτη κατάσταση ορμής ενός σωματιδίου είναι:

|p〉 =√

2Epa†p|0〉 (1.61)


Με το νέο ορισμό των ιδιοκαταστάσεων ορμής κρίνεται αναγκαίος και ο

επαναορισμός του μοναδιαίου τελεστή 1 συναρτήσει των ιδιοκαταστάσεων ορμής.

1 =

∫d3p

(2π)3

1

2Ep|p〉〈p| (1.62)

Πράγματι,

〈p′|1|p′′〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2Ep〈p′|p〉〈p|p′′〉 = 2Ep′(2π)3δ(3)(~p′ − ~p′′) = 〈p′|p′′〉

Ορίζουμε, τώρα, τις ιδιοκαταστάσεις θέσης |x〉 λαμβάνοντας υπόψη τηνΚβαντομηχανική σχέση 〈p|x〉 = e−i~p·~x:

|x〉 = 1|x〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2Ep|p〉〈p|x〉 =

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−i~p·~x|p〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

e−i~p·~xa†p|0〉

Παρατηρούμε ότι υπολογίζοντας τη δράση του τελεστή του πεδίου Klein - Gordon

φ(~x) στην κατάσταση κενού, προκύπτει ο πιο πάνω ορισμός της ιδιοκατάστασης

θέσης.

φ(~x)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

(ei~p·~xap + e−i~p·~xa†p)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

e−i~p·~xa†p|0〉 = |x〉

΄Αρα, η δράση του τελεστή του πεδίου πάνω στην κατάσταση κενού δημιουργεί ένα

σωματίδιο με καθορισμένη θέση x.

Αφού βρήκαμε και τις ιδιοκαταστάσεις θέσης, μπορούμε πια τώρα να ορίσουμε

και το διαδότη του πεδίου Klein - Gordon. Πρώτα, όμως πρέπει να γράψουμε όλους

τους τελεστές στην εικόνα Heisenberg ούτως ώστε όλα τα μεγέθη να μετατραπούν

σε χρονοεξαρτημένα. ΄Ετσι, λοιπόν, ο τελεστής του πεδίου και του συζυγούς πεδίου,

στην εικόνα Heisenberg, γράφονται:

φ(~x, t) = eiHtφ(~x)e−iHt

π(~x, t) = eiHtπ(~x)e−iHt

Τώρα με τη βοήθεια των σχέσεων:

Hap = ap(H − Ep), Ha†p = a†p(H + Ep)


που προκύπτουν από τις μεταθετικές σχέσεις (1.51), εξάγονται οι εξής σχέσεις:

eiHtape−iHt = ape

−iEpt, eiHta†pe−iHt = a†pe

iEpt

΄Αρα, τα πεδία γράφονται:

φ(~x, t) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

(ape−ip·x + a†pe

ip·x) (1.63)

π(~x, t) =

∫d3p

(2π)3(−i)

√Ep2

(ape−ip·x − a†peip·x) (1.64)

όπου x = xµ, p = pµ και p0 ≡ Ep στις εκθετικές συναρτήσεις. Οι ιδιοκαταστάσεις

θέσης στην εικόνα Heisenberg είναι |~x, t〉 = φ(~x, t)|0〉.

΄Οπως γνωρίζουμε από την Κβαντική Μηχανική, ο διαδότης ενός μη

σχετικιστικού σωματιδίου έχει την εξής μορφή:

K(~x2, t2; ~x1, t1) = 〈~x2, t2|~x1, t1〉

για t2 > t1. Στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων ο διαδότης θα έχει την ανάλογη μορφή.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των ιδιοκαταστάσεων θέσης με τη χρήση του τελεστή

του πεδίου, ο διαδότης του πεδίου Klein-Gordon παίρνει την εξής μορφή:

DK−G(x1 − x2) =

{〈0|φ(x2)φ(x1)|0〉 για x0

2 > x01

〈0|φ(x1)φ(x2)|0〉 για x01 > x0

2

= θ(x01 − x0

2)〈0|φ(x2)φ(x1)|0〉+ θ(x02 − x0

1)〈0|φ(x1)φ(x2)|0〉

≡ 〈0|T [φ(x1)φ(x2)]|0〉 (1.65)

όπου το σύμβολο Τ σημαίνει διάταξη των τελεστών πεδίου κατά φθίνοντα χρόνο. Ο

πιο πάνω είναι ο διαδότης του πεδίου Klein-Gordon μεταξύ δύο χωρικών σημείων

και ονομάζεται διαδότης Feynman. Εκτελώντας τις πράξεις καταλήγουμε:

DK−G(x1 − x2) =

{θ(x0

1 − x02)〈0|

[∫ d3p1d3p2

(2π)6

1

2√Ep1Ep2

(ap1e−ip1·x1 + a†p1

eip1·x1) · (ap2e−ip2·x2 + a†p2

eip2·x2)]|0〉

+θ(x02 − x0

1)〈0|[∫ d3p1d

3p2

(2π)6

1

2√Ep1Ep2

(ap2e−ip2·x2 + a†p2

eip2·x2) · (ap1e−ip1·x1 + a†p1

eip1·x1)]|0〉}


= θ(x01 − x0

2)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−ip(x1−x2) + θ(x0

2 − x01)

∫d3p

(2π)3

1

2Epeip(x1−x2)

=

{θ(x0

1 − x02)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−iEp(x0

1−x02)e+i~p(~x1−~x2)

+θ(x02 − x0

1)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe+iEp(x0

1−x02)e−i~p(~x1−~x2)

}Εφαρμόζοντας την εξής αλλαγή μεταβλητών ~p→ −~p στο δεύτερο ολοκλήρωμα, τότε:

DK−G(x1 − x2) =

{θ(x0

1 − x02)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe−iEp(x0

1−x02)e+i~p(~x1−~x2)+

θ(x02 − x0

1)

∫d3p

(2π)3

1

2Epe+iEp(x0

1−x02)e+i~p(~x1−~x2)

}

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε το ολοκλήρωμα∫∞−∞ dp

0[(e−ip

0(x01−x0

2))/(

(p0)2−E2p +

iε)], το οποίο στο μιγαδικό επίπεδο ολοκλήρωσης και στο όριο ε → 0 ισούται με

−2πi[(e−iEp(x0

1−x02))/(

2Ep)]όταν η περιοχή ολοκλήρωσης είναι το κάτω μιγαδικό

ημι-επίπεδο, ενώ ισούται με −2πi[(eiEp(x0

1−x02))/(

2Ep)]όταν η περιοχή ολοκλήρωσης

είναι το άνω μιγαδικό ημι-επίπεδο. Επομένως, αντικαθιστώντας το ολοκλήρωμα μέσα

στο διαδότη, ο τελευταίος παίρνει τη μορφή:

DK−G(x1 − x2) =

{θ(x0

1 − x02)

∫d3p

(2π)3

∫dp0

2π

i

(p0)2 − E2p + iε

e−ip0(x0

1−x02)ei~p(~x1−~x2)

+θ(x02 − x0

1)

∫d3p

(2π)3

∫dp0

2π

i

(p0)2 − E2p + iε

e−ip0(x0

1−x02)ei~p(~x1−~x2)

}=

∫d4p

(2π)4

i

(p0)2 − E2p + iε

e−ip(x1−x2)

⇒ DK−G(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (1.66)

Γενικεύοντας, η συνάρτηση Green του πεδίου Klein-Gordon για Ν χωροχρονικά

σημεία είναι:

DK−G(x1, x2, · · · , xN) = 〈0|T [φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xN)]|0〉 (1.67)

όπου ακολουθείται η ίδια διαδικασία με πιο πάνω, η οποία, όμως, γίνεται πιο σύνθετη

εξαιτίας του υπολογισμού της δράσης Ν τελεστών πεδίου.

΄Ενα ακόμη θέμα, που ερμηνεύει ορθά ο φορμαλισμός των κβαντικών πεδίων,

όπως αναφέραμε και στο υποκεφάλαιο 1.1, είναι η αιτιότητα. Κατ' αρχάς, όταν

μιλάμε για αιτιότητα, αυτό που πρέπει να μας ενδιαφέρει είναι αν η παρατήρηση σε


ένα χωροχρονικό σημείο επηρεάζει την παρατήρηση σε ένα άλλο σημείο, η διαφορά

των οποίων είναι χωροειδής (spacelike) κι όχι αν ένα σωματίδιο μπορεί να διαδοθεί

σε χωροειδή διαστήματα. Δηλαδή μας ενδιαφέρει αν η πιθανότητα μέτρησης

κάποιου φυσικού μεγέθους στο σημείο x1, επηρεάζεται από τη μέτρηση του

μεγέθους στο σημείο x2, όταν (x1 − x2)2 < 0 και x01 > x0

2. Στην Κβαντική

Μηχανική, η πιθανότητα αυτή δίνεται μέσω του διαδότη ενός σωματιδίου μεταξύ

των δύο σημείων, διότι οι μετρήσεις γίνονται για ένα συγκεκριμένο σωματίδιο κι

έτσι η μόνη περίπτωση να παρθεί μέτρηση και στα δύο σημεία είναι η διάδοση του

σωματιδίου. Αντίθετα, στη θεωρία κβαντικών πεδίων, λόγω της πολυσωματιδιακής

θεμελιώδους κατάστασης, οι μετρήσεις που γίνονται στα δύο σημεία δεν

αντιστοιχούν κατ' ανάγκη στο ίδιο σωματίδιο και άρα η μέτρηση ενός φυσικού

μεγέθους στα δύο σημεία δε συνεπάγεται και διάδοση κάποιου σωματιδίου μεταξύ

των δύο σημείων. Επομένως, η παραβίαση ή όχι της αιτιότητας δεν μπορεί να

μελετηθεί μέσω του διαδότη. Χρειάζεται η σύγκριση των μετρήσεων ενός φυσικού

μεγέθους μεταξύ των δύο προαναφερθέντων σημείων. Χρησιμοποιώντας το πεδίο

ως το φυσικό μέγεθος που θα προσπαθήσουμε να μετρήσουμε, τότε ο υπολογισμός

του μεταθέτη [φ(x1), φ(x2)] είναι ο πλέον κατάλληλος για τη μελέτη της εξάρτησης

των μετρήσεων του πεδίου στα δύο σημεία. Αν ο μεταθέτης αυτός μηδενίζεται σε

χωροειδή διαστήματα, τότε οι δύο μετρήσεις, με οποιαδήποτε σειρά κι αν

εκτελεστούν, δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα και άρα η μία μέτρηση δεν επηρεάζει την

άλλη. Αντίστοιχα, ο κάθε μεταθέτης που περιέχει οποιαδήποτε συνάρτηση του

φ(x), συμπεριλαμβανομένου και του π(x), επίσης θα μηδενίζεται. Επομένως, για να

διατηρείται η αιτιότητα, φτάνει να αποδείξουμε το μηδενισμό του πιο πάνω μεταθέτη

σε χωροειδή διαστήματα.

[φ(x1), φ(x2)] =

∫d3pd3q

(2π)6

1√4EpEq

[(ape−ip·x1 + a†pe

ip·x1), (aqe−iq·x2 + a†qe

iq·x2)]

=

∫d3p

(2π)3

1

2Ep(e−ip·(x1−x2) − eip·(x1−x2))

= D(x1 − x2)−D(x2 − x1)

όπου D(x1 − x2) =∫

(d3p/(2π)3)(1/2Ep)e−ip·(x1−x2)

είναι ο διαδότης ενός

σωματιδίου από το σημείο x2 στο x1 για x02 > x0

1. Οι διαδότες D(x1 − x2) και

D(x2 − x1) είναι αναλλοίωτοι κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. ΄Ετσι, όταν

(x1 − x2)2 < 0, μπορούμε να εκτελέσουμε τον εξής συνεχή μετασχηματισμό

(x1 − x2)→ −(x1 − x2) στον D(x2 − x1), όπου μια τέτοια συνεχής μετάβαση είναι

επιτρεπτή σε χωροειδή διαστήματα όπως φαίνεται και από το σχήμα (1.1)(α). Αυτό


Σχήμα 1.1: (α) Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2) → −(x1 − x2)σε χωροειδή διαστήματα.

(β) Ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1 − x2)→ −(x1 − x2) δεν υπάρχει σεχρονοειδή διαστήματα.

έχει ως αποτέλεσμα, ο D(x2 − x1) να μετατραπεί σε D(x1 − x2), εξακολουθώντας

να είναι αναλλοίωτος κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Αντίθετα, όταν

(x1 − x2)2 > 0, δεν υπάρχει συνεχής μετασχηματισμός Lorentz

(x1 − x2) → −(x1 − x2) διότι μια τέτοια συνεχής μετάβαση δεν είναι επιτρεπτή σε

χρονοειδή διαστήματα σύμφωνα με το σχήμα (1.1)(β). Το συμπέρασμα από όλα

αυτά είναι ότι σε χωροειδή διαστήματα οι δύο πιο πάνω διαδότες

αλληλοεξουδετερώνονται με αποτέλεσμα ο μεταθέτης [φ(x1), φ(x2)] να δίνει 0,

διατηρώντας έτσι την αιτιότητα.

1.4.2 Η κβάντωση του ελεύθερου φερμιονικού πεδίου

Dirac και ο αντίστοιχος διαδότης του

Η κβάντωση του ελεύθερου φερμιονικού πεδίου Dirac ακολουθεί την ίδια

διαδικασία με αυτήν του πεδίου Klein - Gordon, με μια σημαντική διαφορά. Οι

μεταθετικές σχέσεις (1.4) μετατρέπονται σε αντιμεταθετικές γιατί αν κρατήσουμε


τις σχέσεις όπως είναι τότε προκύπτει παραβίαση της αιτιότητας. ΄Ετσι, ισχύει:

{ψα(x), ψ†β(y)} = δ(3)(x− y)δαβ

{ψα(x), ψβ(y)} = {ψ†α(x), ψ†β(y)} = 0(1.68)

όπου αντικαταστήσαμε φ(x) = ψ(x) και π(x) = iψ†(x) (προκύπτει από τη σχέση

(1.3)). Τώρα, η κλασική έκφραση που δίνει το πεδίο ψ(x), μπορεί να βρεθεί από τη

λύση της εξίσωσης Dirac. Αφού, όμως, το πεδίο ψ(x) ικανοποιεί και την εξίσωση

Klein - Gordon, τότε και πάλι προκύπτουν κλασικές εξισώσεις απλού αρμονικού

ταλαντωτή. ΄Ομως, στην περίπτωση αυτή το πεδίο δεν έχει μόνο μία συνιστώσα,

αλλά τέσσερεις. Επειδή το πεδίο Dirac, κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz

συμπεριφέρεται ως δισπίνορας, τότε μπορεί να πάρει δύο τιμές �σπιν�. ΄Αρα, για

κάθε τιμή της ορμής αλλά και κάθε τιμή του �σπιν� προκύπτει μία κλασική εξίσωση

απλού αρμονικού ταλαντωτή με συχνότητα ωp = +√|~p|2 +m2. ΄Ετσι, η κβάντωση

του πεδίου μετατρέπεται στην κβάντωση άπειρων ανεξάρτητων αρμονικών

ταλαντωτών, όπως ακριβώς και στην περίπτωση του πεδίου Klein - Gordon, αλλά

τώρα ο κάθε ταλαντωτής, θα έχει τη δική του ορμή p, το δικό του �σπιν� s,

συχνότητα ταλάντωσης ωp και τελεστή αναβίβασης bsp†και καταβίβασης asp.

(Συμβολίζονται με διαφορετικό γράμμα οι δύο τελεστές διότι το πεδίο Dirac

περιλαμβάνει και αντισωματίδια.) Επίσης, από τη στιγμή που το πεδίο ψ(x) είναι

πίνακας, τότε και ο κάθε τελεστής από τους προαναφερθέντες θα συνοδεύεται από

έναν πίνακα 4 x 4. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα πιο πάνω, το πεδίο ψ(~x)

παίρνει την εξής μορφή γενίκευσης της (1.43), στην εικόνα Schrödinger:

ψ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspus(p)e+i~p·~x + bsp

†vs(p)e−i~p·~x] (1.69)

όπου Ep = ωp. Απαιτώντας, οι μερικές λύσεις us(p)e−ip

µxµ με θετικές ενέργειες

i∂/∂t = Ep(Ep > 0) και vs(p)eipµxµ με αρνητικές ενέργειες i∂/∂t = −Ep(Ep > 0)

να ικανοποιούν την εξίσωση Dirac (στην εικόνα Heisenberg), τότε οι πίνακες us(p)

και vs(p) παίρνουν την πιο κάτω μορφή:

us(p) =

(√Ep − ~p · ~σ ξs√Ep + ~p · ~σ ξs

), vs(p) =

( √Ep − ~p · ~σ ns

−√Ep + ~p · ~σ ns

)

όπου ~σ = (σ1, σ2, σ3) πίνακες Pauli και ξs, ns σπίνορες που ικανοποιούν τις σχέσεις

ορθοκανονικότητας ξr†ξs = δrs και nr†ns = δrs. Αντίστοιχα, το συζυγές πεδίο


ψ(~x) = ψ†(~x)γ0ορίζεται:

ψ(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[asp†us(p)e−i~p·~x + bspv

s(p)e+i~p·~x] (1.70)

όπου us = us†γ0και vs = vs†γ0. Με τους πιο πάνω ορισμούς, οι αντιμεταθετικές

σχέσεις (1.68), επιφέρουν τις εξής:

{arp, asq†} = {brp, bsq

†} = (2π)3δ(3)(~p− ~q)δrs (1.71a)

{arp, asq} = {arp†, asq

†} = 0 (1.71b)

{brp, bsq} = {brp†, bsq

†} = 0 (1.71c)

{arp, bsq} = {arp†, bsq

†} = 0 (1.71d)

{arp, bsq†} = {arp

†, bsq} = 0 (1.71e)

Ακολουθώντας τα βήματα της κβάντωσης του πεδίου Klein - Gordon, σειρά

έχει η εύρεση των τελεστών της χαμιλτονιανής και της φυσικής ορμής του

συστήματος, καθώς και των αντίστοιχων ιδιοκαταστάσεων τους. Η κλασική

χαμιλτονιανή, σύμφωνα με τη σχέση (1.11), παίρνει την πιο κάτω μορφή:

H =

∫d3x[ψ(x)(−iγi∂i +m)ψ(x)] (1.72)

(Η εύρεση του τελεστή της χαμιλτονιανής γίνεται πάντα στην εικόνα Schrödinger).

Ας βρούμε πρώτα την έκφραση (−iγi∂i +m)ψ(~x). Αντικαθιστούμε τη σχέση (1.68)

για το πεδίο:

(−iγi∂i +m)ψ(~x) = (−γipi +m)

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspus(p) + bs−p

†vs(−p)]ei~p·~x

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις:

(−γipi +m)us(p) = Epγ0us(p) και (−γipi +m)vs(−p) = −Epγ0vs(−p)

η πιο πάνω σχέση μετατρέπεται σε:

(−iγi∂i +m)ψ(~x) =

∫d3p

(2π)3

√Ep2γ0

2∑s=1

[asp us(p)− bs−p

†vs(−p)]ei~p·~x


΄Αρα, ο τελεστής της χαμιλτονιανής γράφεται:

H =

∫d3x

∫d3pd3q

(2π)6

√Eq4Ep

∑r,s

[as−p†us(−p) + bsp v

s(p)]γ0[arq ur(q)− br−q

†vr(−q)]ei(~p+~q)·~x

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις:∫d3x ei(~p+~q)·~x = (2π)3δ(3)(~p+ ~q),

us†(±p)ur(±p) = vs†(±p)vr(±p) = 2Epδrs, us†(±p)vr(∓p) = vs†(±p)ur(∓p) = 0

η χαμιλτονιανή παίρνει την τελική μορφή:

H =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[as−p†as−p − bspbsp

†] =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[asp†asp − bspbsp

†]

Από την πιο πάνω έκφραση, εξάγονται οι ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις:

[H, as†p] = Epas†p, [H, asp] = −Epasp

[H, bs†p] = Epbs†p, [H, bsp] = −Epbsp

(1.73)

Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.71a), η χαμιλτονιανή Klein - Gordon, μπορεί να

γραφτεί και ως:

H =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[asp†asp + bsp

†bsp − {bsp, bsp†}] (1.74)

Ο τελευταίος όρος ισούται με −(2π)3δ3(0), το οποίο είναι ένας άπειρος αριθμός.

΄Οπως και στην περίπτωση του πεδίου Klein - Gordon, μπορούμε να αγνοήσουμε τον

όρο αυτό από όλους μας τους υπολογισμούς, καθώς στα πειράματα μετράμε μόνο

ενεργειακές διαφορές από τη θεμελειώδη κατάσταση. ΄Αρα,

H =

∫d3p

(2π)3Ep∑s

[asp†asp + bsp

†bsp] (1.75)

Ανάλογα, ο τελεστής της ολικής ορμής του συστήματος παίρνει την εξής μορφή:

~P =

∫d3p

(2π)3~p∑s

[asp†asp + bsp

†bsp] (1.76)

η οποία προκύπτει από τις (1.12), (1.69), (1.70) και (1.71a), αγνοώντας την άπειρη


σταθερά. Οι δύο τελεστές της φυσικής ορμής και χαμιλτονιανής, όπως είναι εμφανές

έχουν τις ίδιες ιδιοκαταστάσεις, όπως ακριβώς στην περίπτωση του πεδίου Klein -

Gordon. Η θεμελιώδης κατάσταση (ή το �κενό�) |0〉 των τελεστών αυτών, για τηνοποία ισχύει asp|0〉 = 0 και bsp|0〉 = 0 ∀p, s, έχει ιδιοενέργεια E = 0 και ιδιοτιμή

ορμής ~p = 0. ΄Ολες οι υπόλοιπες ιδιοκαταστάσεις μπορούν να κατασκευαστούν

από τη δράση των τελεστών αναβίβασης στο κενό. Με τη χρήση των μεταθετικών

σχέσεων (1.73) για τη χαμιλτονιανή, αλλά και τις αντίστοιχες σχέσεις για τη φυσική

ορμή μπορούν να προσδιοριστούν οι ιδιοτιμές του κάθε τελεστή. ΄Αρα, η κατάσταση

as†p|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H και ~P με ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep και ιδιοτιμήορμής ίση με ~p. Ομοίως, η κατάσταση as1†p1

· · · asn†pn|0〉 είναι ιδιοκατάσταση τηςH και ~P με ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep1 + · · · + Epn και ιδιοτιμή ορμής ίση με

~p1 + · · · + ~pn. Επίσης, η κατάσταση bs†p|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H και ~P με

ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep και ιδιοτιμή ορμής ίση με ~p. Ομοίως, η κατάσταση

bs1†p1· · · bsn†pn|0〉 είναι ιδιοκατάσταση της H και ~P με ιδιοτιμή ενέργειας ίση με Ep1 +

· · ·+Epn και ιδιοτιμή ορμής ίση με ~p1 + · · ·+ ~pn. Επομένως, και ο τελεστής asp†και

ο bsp†δημιουργούν καταστάσεις σχετικιστικών σωματιδίων με την ίδια ενέργεια και

ίδια ορμή. Οι καταστάσεις που δημιουργούνται από τον asp†ονομάζονται σωματίδια,

ενώ οι καταστάσεις που δημιουργούνται από τον bsp†ονομάζονται αντισωματίδια.

΄Οπως και στο πεδίο Klein - Gordon, έτσι κι εδώ ο φορμαλισμός επιτρέπει τον

ορισμό της στατιστικής των σωματιδίων. Η αντιμεταθετική σχέση {arp†, asq†} = 0

συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο σωματιδίων a†pra†qs|0〉 είναι ταυτόσημη με την

−a†qsa†pr|0〉 υποδηλώνοντας ότι τα σωματίδια είναι μη διακρίσιμα και αντισυμμετρικά

ως προς την ανταλλαγή τους. Ακόμη, η πιο πάνω αντιμεταθετική σχέση για q = p

συνεπάγεται ότι η κατάσταση δύο σωματιδίων a†pra†ps|0〉, η οποία υποδηλώνει την

ύπαρξη δύο σωματιδίων με διαφορετικό σπιν στην ίδια ενεργειακή κατάσταση,

μπορεί να υπάρξει. Αντίθετα, αν επιπλέον r = s τότε η κατάσταση δύο σωματιδίων

a†psa†ps|0〉, η οποία υποδηλώνει την ύπαρξη δύο σωματιδίων, με ίδιο σπιν, στην ίδια

ενεργειακή κατάσταση, δεν μπορεί να υπάρξει. Συνοψίζοντας, η κάθε ενεργειακή

κατάσταση μπορεί να καταληφθεί από 0 έως 2 σωματίδια, αφού ο συνολικός

αριθμός των διαφορετικών σπιν είναι 2. Τα δύο πιο πάνω συμπεράσματα αποτελούν

αρχές της στατιστικής Fermi - Dirac και υποδηλώνουν, ακριβώς, ότι το πεδίο Dirac

αναφέρεται σε φερμιόνια.

Για να είναι αναλλοίωτες κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz, οι

ιδιοκαταστάσεις ορμής των φερμιονίων και αντιφερμιονίων ορίζονται κατ' αναλογία


των ιδιοκαταστάσεων ορμής του πεδίου Klein - Gordon ως:

|p, s〉fermion =√

2Epa†p

s|0〉 (1.77a)

|p, s〉antifermion =√

2Epb†p

s|0〉 (1.77b)

οι οποίες ικανοποιούν την εξής σχέση ορθοκανονικότητας:

〈p, r|q, s〉 = 2Ep(2π)3δ(3)(~p− ~q)δrs (1.78)

(η οποία ισχύει και για τις ιδιοκαταστάσεις ορμής των φερμιονίων και των

αντιφερμιονίων). Τώρα, οι ιδιοκαταστάσεις θέσης του πεδίου Dirac, προκύπτουν

από τη δράση των τελεστών του πεδίου στην κατάσταση κενού, όπως ακριβώς στο

πεδίο Klein - Gordon. Η κατάσταση:

ψα(~x)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[asp†usα(p)e−i~p·~x + bspv

sα(p)e+i~p·~x]|0〉

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

(usα(p)e+i~p·~xasp†|0〉) (1.79)

δίνει ένα φερμιόνιο με καθορισμένη θέση x, ενώ η κατάσταση:

ψα(~x)|0〉 =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspusα(p)e+i~p·~x + bsp

†vsα(p)e−i~p·~x]|0〉

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

(vsα(p)e−i~p·~xbsp†|0〉) (1.80)

δίνει ένα αντιφερμόνιο με καθορισμένη θέση x.

Στην εικόνα Heisenberg, τα πεδία ορίζονται:

ψα(x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[aspusα(p)e−ip·x + bsp

†vsα(p)e+ip·x] (1.81)

ψα(~x) =

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[asp†usα(p)e+ip·x + bspv

sα(p)e−ip·x] (1.82)

Επίσης, ο διαδότης Feynman του φερμιονικού πεδίου Dirac μεταξύ δύο χωρικών

σημείων θα έχει την εξής μορφή, κατ' αντιστοιχία με το διαδότη για το πεδίο Klein


- Gordon:

DFαβ(x1 − x2) =

{〈0|ψα(x1)ψβ(x2)|0〉 για x0

1 > x02

−〈0|ψβ(x2)ψα(x1)|0〉 για x02 > x0

1

= θ(x01 − x0

2)〈0|ψα(x1)ψβ(x2)|0〉 − θ(x02 − x0

1)〈0|ψβ(x2)ψα(x1)|0〉

≡ 〈0|T [ψα(x1)ψβ(x2)]|0〉 (1.83)

όπου η χρονική διάταξη που υποδηλώνεται από το σύμβολο Τ συμπεριλαμβάνει και

το πρόσημο. Εδώ σημειώνουμε ότι στην πιο πάνω κατασκευή του διαδότη Dirac,

λαμβάνεται υπόψη η ύπαρξη του αντισωματιδίου. ΄Ενα σχετικιστικό σωματίδιο για

να μεταβεί από ένα χωρικό σημείο ~x2 στο ~x1, μπορεί να το κάνει με δύο τρόπους:

είτε το σωματίδιο να διαδοθεί από το χωροχρονικό σημείο x2 στο x1 με x01 > x0

2,

είτε το αντισωματίδιό του να διαδοθεί από το χωροχρονικό σημείο x1 στο x2 με

x02 > x0

1. Το αρνητικό πρόσημο που εισάγεται στο διαδότη του αντισωματιδίου

οφείλεται στις αντιμεταθετικές σχέσεις που ικανοποιούν τα πεδία. Εκτελώντας τις

πράξεις καταλήγουμε:

DFαβ(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i(/p+m)αβ

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (1.84)

ο οποίος προκύπτει με όμοιο τρόπο, όπως και ο διαδότης Klein - Gordon.

Τέλος, η αιτιότητα εξετάζεται μέσω του αντιμεταθέτη {ψα(x1), ψβ(x2)}. ΄Οπωςκαι στο πεδίο Klein - Gordon, αυτό που επιζητούμε είναι οι μετρήσεις ενός

παρατηρήσιμου μεγέθους σε δύο διαφορετικά χωροχρονικά σημεία να μην

επηρεάζουν η μία την άλλη, σε χωροειδή διαστήματα. ΄Αρα, ο μεταθέτης

[O(x1), O(x2)], όπου O(x): κάποιο παρατηρήσιμο μέγεθος, πρέπει να μηδενίζεται

για (x1 − x2)2 < 0. Επειδή όλοι οι τελεστές των παρατηρήσιμων μεγεθών είναι

διγραμμικοί (bilinear), δηλαδή κατασκευάζονται από ζυγό αριθμό σπινοριακών

πεδίων, όπως η Χαμιλτονιανή (1.75), τότε και ο πιο πάνω αντιμεταθέτης αν

μηδενίζεται έξω από το φωτεινό κώνο, μπορεί να δώσει την επιθυμητή μεταθετική

σχέση των παρατηρήσιμων μεγεθών. Η αντιμεταθετική αυτή σχέση βέβαια θα

σημαίνει ότι το φερμιονικό πεδίο δεν είναι παρατηρήσιμο. Κάτι τέτοιο συνάδει με το

γεγονός ότι κανείς δεν έχει δει ποτέ ένα φυσικό μετρήσιμο σύστημα να αλλάζει


πρόσημο όταν περιστρέφεται κατά 360o.

{ψα(x1), ψβ(x2)} =

∫d3p d3q

(2π)6

1√4EpEq

2∑s,r=1

{aspu

sα(p)e−ip·x1 + bsp

†vsα(p)eip·x1 ,

arq†urβ(q)e+iq·x2 + brqv

rβ(q)e−iq·x2

}=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

2∑s=1

[(us(p)us(p))αβ e−ip(x1−x2) + (vs(p)vs(p))αβ e

+ip(x1−x2)]

=

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

[(/p+m)αβ e−ip(x1−x2) + (/p−m)αβ e

+ip(x1−x2)]

= (i/∂x1+m)αβ

∫d3p

(2π)3

1√2Ep

(e−ip(x1−x2) − e+ip(x1−x2))

= (i/∂x1+m)αβ (D(x1 − x2)−D(x2 − x1))

όπουD(x1−x2) =∫

(d3p/(2π)3)(1/2Ep)e−ip·(x1−x2)

είναι ο διαδότης ενός σωματιδίου

του πεδίου Klein - Gordon από το σημείο x2 στο x1 για x02 > x0

1. ΄Οπως αναφέραμε

και στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, ο συνεχής μετασχηματισμός Lorentz (x1−x2)→−(x1− x2), μετατρέπει τον D(x2− x1) σε D(x1− x2) σε χωροειδή διαστήματα, ενώ

σε χρονοειδή δεν υφίσταται τέτοιος μετασχηματισμός. ΄Αρα σε χωροειδή διαστήματα

οι διαδότες D(x1 − x2) και D(x2 − x1) αλληλοεξουδετερώνονται με αποτέλεσμα ο

αντιμεταθέτης {ψα(x1), ψβ(x2)} να δίνει 0, διατηρώντας έτσι την αιτιότητα.

1.4.3 Η κβάντωση του φωτονικού και γκλουονικού

πεδίου και οι αντίστοιχοι διαδότες τους

Η κβάντωση του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου αποτελούν τις

δυσκολότερες περιπτώσεις κβάντωσης πεδίων. Ο λόγος είναι ότι τα πεδία αυτά

ικανοποιούν μία επιπλέον συμμετρία, τη συμμετρία βαθμίδος. Αυτό επιτρέπει τον μη

μοναδικό ορισμό των πεδίων διότι δίνει τη δυνατότητα επιλογής κάποιας συνθήκης,

που ονομάζεται βαθμίδα και αντιστοιχεί σ' ένα μετασχηματισμό συμβατό με τη

συμμετρία αυτή. ΄Ετσι, όταν για παράδειγμα προσπαθήσουμε να κβαντώσουμε το

φωτονικό πεδίο Aµ(x), όπως είναι ορισμένο με τις τέσσερεις συνιστώσες του,

παρατηρούμε ότι δεν είναι όλες οι συνιστώσες δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας. Αν

αναλύσουμε το φωτονικό πεδίο σε επίπεδα κύματα, τότε παρατηρούμε ότι

αποτελείται μόνο από εγκάρσια κύματα, δηλαδή κύματα με διάνυσμα πόλωσης


κάθετο στο κυματάνυσμα διάδοσης. Με άλλα λόγια, παρατηρούμε δύο μόνο φυσικές

καταστάσεις πόλωσης, το οποίο συνεπάγεται δύο δυναμικές μεταβλητές. ΄Αρα, ο

ορισμός του φωτονικού πεδίου περιέχει δύο �κάλπικες� μεταβλητές που πρέπει με

κάποιο τρόπο να εξαφανιστούν. Αυτό μπορεί να γίνει μέσω της επιλογής βαθμίδας

που να εξαφανίζει τις δύο από τις τέσσερεις μεταβλητές. ΄Ομως δεν υπάρχει

μοναδικός τρόπος επιλογής δύο ανεξάρτητων επίπεδων διανυσμάτων πόλωσης για

ένα δοσμένο κυματάνυσμα, καθώς όλες οι συνιστώσες του πεδίου αντιμετωπίζονται

ισότιμα. Αλλά, κάτι που πρέπει να ληφθεί οπωσδήποτε υπ' όψιν είναι η

συναλλοιώτητα της βαθμίδος κατά Lorentz, αφού τα πεδία είναι σχετικιστικά. Μία

ακόμη λεπτομέρεια είναι ότι η χρονική συνιστώσα του πεδίου A0(x) δεν έχει

συζυγές πεδίο διότι η ποσότητα (∂L/∂A0) δεν εξαρτάται από το χρόνο. Συνεπώς

το πεδίο A0(x) θα πρέπει να μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των υπολοίπων

βαθμών ελευθερίας. Επομένως, η όλη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης του

φωτονικού και γκλουονικού πεδίου είναι οπωσδήποτε πιο σύνθετη από αυτές των

πεδίων Klein - Gordon και Dirac. ΄Ομως, η κβάντωση των πεδίων μπορεί να γίνει

και με μια πιο εύκολη μέθοδο, χρησιμοποιώντας συναρτησιακά ολοκληρώματα. Η

μέθοδος αυτή περιγράφεται στο επόμενο κεφάλαιο. Λόγω της συνθετότητας,

λοιπόν, της κανονικής κβάντωσης του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου θα

παραλείψουμε το στάδιο αυτό καθώς και την εξαγωγή των αντίστοιχων διαδοτών

τους ( η κανονική κβάντωση του φωτονικού πεδίου περιγράφεται αναλυτικά στο

κεφάλαιο 14 της πηγής [2]) και θα επαναφέρουμε το θέμα αυτό στο κεφάλαιο 2,

όπου θα επιχειρήσουμε τη συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων.

1.5 Η έννοια της επανακανονικοποίησης

Ο φορμαλισμός της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων, αν και πετυχαίνει τη σωστή

περιγραφή ελεύθερων σχετικιστικών στοιχειωδών σωματιδίων, εντούτοις όταν

εφαρμοστεί σε αλληλεπιδρώντα σωματίδια εμφανίζει ένα σημαντικό πρόβλημα:

εμπεριέχει απειρισμούς. Κατά τον υπολογισμό όρων υψηλότερης τάξης στη θεωρία

διαταραχών (διαγράμματα Feynman με βρόχους) που οφείλονται σε όρους

αλληλεπίδρασης παρατηρούμε αποκλίσεις στην υπεριώδη περιοχή, δηλαδή στην

περιοχή υψηλών ενεργειών ή ισοδύναμα μικρών χωροχρονικών αποστάσεων. Αυτό

είναι αναμενόμενο από τη στιγμή που η θεωρία περιέχει άπειρους βαθμούς

ελευθερίας, επιβάλλοντας τη συνεχή άθροιση άπειρων εσωτερικών καταστάσεων

στους βρόχους αλληλεπίδρασης. Καθώς, όμως, οι απειρισμοί αντιστοιχούν στις


τιμές φυσικών μεγεθών του συστήματος, τότε γεννάται η εσφαλμένη εντύπωση ότι

η Θεωρία Κβαντικών Πεδίων δεν είναι παρά ένα καθαρά μαθηματικό κατασκεύασμα,

χωρίς φυσική σημασία. Κρίνεται, λοιπόν, αναγκαία η χρήση μιας μεθόδου, η οποία

θα αίρει τους απειρισμούς και θα τους απαλείφει από τα φυσικά μεγέθη. Η μέθοδος

αυτή καλείται επανακανονικοποίηση (renormalization).

Κεντρική ιδέα της μεθόδου της επανακανονικοποίησης είναι η απορρόφηση των

απειρισμών από μη μετρήσιμες παραμέτρους της θεωρίας και ο επαναπροσδιορισμός

τους ώστε να δίνουν πεπερασμένες τιμές, αναπαριστώντας έτσι τις φυσικές

παραμέτρους της θεωρίας ( π.χ. σταθερές σύζευξης, μάζες). Οι αρχικές μάζες και

σταθερές σύζευξης που υπάρχουν στη δράση δεν αποτελούν πειραματικά

μετρήσιμες ποσότητες διότι δε λαμβάνουν υπ' όψιν τις κβαντικές διακυμάνσεις του

κενού, δηλαδή τις αλληλεπιδράσεις με τα σωματίδια που γεννιούνται ανά πάσα

στιγμή από το κενό. Οι παράμετροι αυτές ονομάζονται �απογυμνωμένες�

παράμετροι (bare) κι αφού δεν είναι μετρήσιμες μπορούν να αποκλίνουν. Οι

αποκλίσεις των παραμέτρων αυτών επιλέγονται έτσι ώστε να αναιρούνται από το

αποκλίνον άθροισμα των διαγραμμάτων Feynman. Στη συνέχεια, ορίζονται οι

φυσικές παράμετροι με τη μετατροπή των απογυμνωμένων παραμέτρων σε

πεπερασμένες. Η μετατροπή αυτή δε γίνεται με μοναδικό τρόπο, καθώς υπάρχει

αυθαιρεσία στην πεπερασμένη τιμή που μπορεί να λάβει η κάθε απογυμνωμένη

παράμετρος. ΄Ολες οι διαφορετικές δυνατότητες επανακανονικοποίησης ονομάζονται

σχήματα επανακανονικοποίησης. Το φυσικό περιεχόμενο της θεωρίας δεν αλλάζει

όταν αλλάζουμε σχήμα επανακανονικοποίησης. Η εξάρτηση των φυσικών

παραμέτρων από το σχήμα επανακανονικοποίησης περιγράφεται από τις εξισώσεις

της ομάδας επανακανονικοποίησης. Επίσης, η επανακανονικοποίηση μπορεί να γίνει

και με έναν άλλο τρόπο: η εισαγωγή κατάλληλων όρων στη δράση, που να είναι

ορισμένοι με τέτοιο τρόπο ώστε να �σκοτώνουν� το αποκλίνον άθροισμα των

διαγραμμάτων Feynman, επιφέρουν την κατ' ευθείαν επανακανονικοποίηση των

φυσικών παραμέτρων μέσα στη δράση.

Για να μπορούμε να υλοποιήσουμε τη διαδικασία της επανακανονικοποίησης

πρέπει η θεωρία να είναι επανακανονικοποιήσιμη. Βασικό κριτήριο για κάτι τέτοιο

είναι το πλήθος των παραμέτρων που χρειάζεται να επαναπροσδιοριστούν να είναι

περιορισμένο προκειμένου να είναι πεπερασμένα όλα τα μετρήσιμα μεγέθη. Αν

ισχύει το αντίθετο, τότε η θεωρία, δεν μπορεί να επανακανονικοποιηθεί. Κάποιες

επανακανονικοποιήσιμες θεωρίες είναι οι εξής: φ4, QED, Yukawa, άμαζη μη


αβελιανή θεωρία βαθμίδος, κ.ά. Κάποιες μη επανακανονικοποιήσιμες θεωρίες είναι η

Βαρύτητα, η Υπερβαρύτητα, οι αλληλεπιδράσεις τεσσάρων φερμιονίων, κ.ά.

Η επανακανονικοποίηση, λοιπόν, αποτελεί ένα όμορφο μαθηματικό

κατασκεύασμα που αίρει τους απειρισμούς της θεωρίας. Επίσης, δε δίνει απλά μια

πεπερασμένη τιμή στις παραμέτρους της θεωρίας αλλά αναδεικνύει και μια φυσική

τους ιδιότητα, μέσω του ορισμού τους σε συγκεκριμένη ενεργειακή κλίμακα, η

οποία ονομάζεται κλίμακα επανακανονικοποίησης (renormalization scale). Για

παράδειγμα, προκύπτει ότι η επανακανονικοποιημένη σταθερά σύζευξης τείνει στο

μηδέν σε μεγάλες ενεργειακές κλίμακες, ενώ αντιθέτως αποκτά μεγάλες τιμές σε

χαμηλές ενέργειες. Κατά συνέπεια, η επανακανονικοποίηση της QCD μπορεί να

γίνει διαταρακτικά σε υψηλές ενέργειες ενώ η επανακανονικοποίηση της QCD σε

χαμηλές ενέργειες πρέπει να γίνει μη διαταρακτικά.

Κεφάλαιο 2

Η συναρτησιακή μορφή της

Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων

2.1 Η έννοια του Συναρτησιακού

Ολοκληρώματος (Path Integral) και η

εφαρμογή του στην Κβαντική Μηχανική

Συναρτησιακό ολοκλήρωμα είναι ένα πολλαπλό ολοκλήρωμα, στο οποίο η

ολοκλήρωση δε γίνεται αθροίζοντας μια συνάρτηση f(x) κάτω από ένα συνεχές

φάσμα τιμών της μεταβλητής x, όπως γίνεται στο κανονικό ολοκλήρωμα, αλλά

αθροίζοντας ένα συναρτησιακό G[f(x)] κάτω από ένα συνεχές φάσμα συναρτήσεων

f(x). Δηλαδή, αντί του συνηθισμένου ολοκληρώματος∫dxf(x), το συναρτησιακό

ολοκλήρωμα ορίζεται ως:∫Df G[f ] ≡

∫ ∏x

df(x) G[f(x)]

Στις περισσότερες περιπτώσεις η μεταβλητή x διακριτοποιείται σε xi κι έτσι ο πιο

πάνω ορισμός μετατρέπεται σε:∫Df G[f ] ≡

∫ ∏i

dfi G[f1, f2, · · · ]

όπου fi = f(xi). ΄Ενα τέτοιο ολοκλήρωμα είναι χρήσιμο για την αναπαράσταση

διαδοτών και συναρτήσεων συσχετισμού για συστήματα πολλών συνεχών βαθμών

43

Κεφάλαιο 2. Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων 44

ελευθερίας q(t), καθώς αποδεικνύεται απλούστερο από τη λύση πολύπλοκων

διαφορικών εξισώσεων. Μία από τις σημαντικότερες εφαρμογές του συναρτησιακού

ολοκληρώματος αποτελεί η χρήση του στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων, αφού το

κάθε πεδίο εξαρτάται από άπειρους συνεχείς βαθμούς ελευθερίας. Μάλιστα είναι

προτιμητέα η συναρτησιακή από την κανονική κβάντωση των πεδίων για τους εξής

λόγους: Πρώτο, το συναρτησιακό ολοκλήρωμα, ενώ βασίζεται στις βασικές αρχές

της Κβαντικής Μηχανικής, δεν εμφανίζει το φορμαλισμό των τελεστών. Τα πεδία

αντιμετωπίζονται ως συναρτήσεις κάνοντας έτσι πιο εύκολη τη διαχείρισή τους.

Δεύτερο, το συναρτησιακό ολοκλήρωμα χρησιμοποιεί ως θεμελιώδη ποσότητα τη

λαγκρανζιανή κι όχι τη χαμιλτονιανή κι έτσι ο φορμαλισμός αυτός διατηρεί

καταφανή τη συμμετρία Lorentz. Τρίτο, σε αντίθεση με την κανονική κβάντωση

στις θεωρίες βαθμίδος ο έλεγχος της ανεξαρτησίας φυσικών μεγεθών από την

επιλογή βαθμίδος είναι πιο άμεσος με τη χρήση συναρτησιακού ολοκληρώματος.

Τέταρτο, ο συναρτησιακός φορμαλισμός, εμφανίζει μια πολύ στενή αναλογία με τη

Στατιστική Μηχανική, γεγονός που επιτρέπει τη χρήση των τεχνασμάτων της

Στατιστικής Μηχανικής στην Θεωρία Κβαντικών Πεδίων. Πέμπτο, το

συναρτησιακό ολοκλήρωμα δίνει ένα σχετικά εύκολο τρόπο να εξάγουμε τους

διαδότες του φωτονικού και γκλουονικού πεδίου, σε αντίθεση με τον περίπλοκο

τρόπο της κανονικής κβάντωσης. Τέλος, η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων

χρησιμοποιείται και για μη διαταρακτικούς υπολογισμούς στις θεωρίες

αλληλεπιδράσεων.

Η πιο απλή εφαρμογή του συναρτησιακού ολοκληρώματος είναι στην Κβαντική

Μηχανική και τον υπολογισμό του διαδότη ενός σωματιδίου μεταξύ δύο

χωροχρονικών σημείων. Αυτό που κάνει στην προκειμένη περίπτωση το

συναρτησιακό ολοκλήρωμα είναι να υπολογίζει την πιθανότητα μετάβασης του

σωματιδίου από το ένα χωροχρονικό σημείο στο άλλο, αθροίζοντας όλα τα δυνατά

μονοπάτια μεταξύ των δύο σημείων (βλ. σχήμα (2.1)), με το κατάλληλο στατιστικό

βάρος, το οποίο επιτυγχάνεται με τη διακριτοποίηση του χρόνου. Ο διαδότης ενός

μη σχετικιστικού σωματιδίου από το σημείο (q0, t0) στο (qf , tf ) είναι, στην εικόνα

Heisenberg:

K(qf , tf ; q0, t0) =< q, t|q0, t0 >

Εισάγοντας στο διαδότη το μοναδιαίο τελεστή εκπεφρασμένο συναρτήσει του ket

|q1, t1 > (όπου t0 < t1 < tf και q1 = q(t1), q0 ≤ q1 ≤ qf ), το οποίο είναι οποιαδήποτε


Σχήμα 2.1: Πιθανά μονοπάτια διάδοσης ενός σωματιδίου από το χωροχρονικό

σημείο (q0, t0) στο (qf , tf )

ενδιάμεση κατάσταση του σωματιδίου τότε:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫dq1 < qf , tf |q1, t1 >< q1, t1|q0, t0 >

Δηλαδή, ο διαδότης ενός σωματιδίου K(qf , tf ; q0, t0) από το (q0, t0) στο (qf , tf )

ισούται με το γινόμενο των διαδοτών K(q1, t1; q0, t0) · K(qf , tf ; q1, t1), αθροισμένο

ως προς όλα τα ενδιάμεσα σημεία (q1, t1). Ακολούθως, διαιρούμε το διάστημα του

χρόνου [t0, tf ] σε (N+1) ίσα διαστήματα πλάτους∆t = ti+1−ti. Τότε ο διαδότης απότην αρχική στην τελική κατάσταση θα ισούται με το άθροισμα συνεισφορών απ' όλα

τα δυνατά διακριτοποιημένα μονοπάτια μεταξύ των δύο σημείων, όπου η συνεισφορά

του κάθε μονοπατιού θα ισούται με το γινόμενο Ν+1 επιμέρους διαδοτών (βλ. σχήμα

(2.2)). ΄Αρα, ο διαδότης γράφεται:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫dq1 · · ·

∫dqN < qf , tf |qN , tN >< qN , tN |qN−1, tN−1 > · · · < q1, t1|q0, t0 >

=

∫ N∏i=1

dqi < qf , tf |qN , tN >< qN , tN |qN−1, tN−1 > · · · < q1, t1|q0, t0 >

όπου dqi =∏n

a=1 dqai , n: ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων και t0 < t1 < · · · <

tN < tf . Ο διαδότης μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων (qi, ti) και (qi+1, ti+1) με


Σχήμα 2.2: ΄Ενα διακριτοποιημένο δυνατό μονοπάτι διάδοσης ενός σωματιδίου

από το χωροχρονικό σημείο (q0, t0) στο (qf , tf )

0 ≤ i ≤ N μπορεί να γραφεί με τη χρήση της σχέσης μετάβασης από την εικόνα

Heisenberg στην εικόνα Schrödinger |q, t >= e(i/~)Ht|q > σε:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) =< qi+1, ti+1|qi, ti >=< qi+1|e−(i/~)H(ti+1−ti)|qi >

=< qi+1|e−(i/~)H∆t|qi >

Αντικαθιστούμε τον τελεστή της χαμιλτονιανής με την εξής σχέση:

H(q, p) =1

2m

n∑a=1

pa 2 + V (Q)

όπου pa: ο τελεστής της συζυγούς ορμής της συνιστώσας a του τελεστή Q που

αντιστοιχεί στην ιδιοκατάσταση θέσης |q >. ΄Αρα,

exp

(− i

~H∆t

)= exp

[− i

~

(1

2m

n∑a=1

pa 2 + V (Q)

)∆t

]≈

n∏a=1

exp

(− i

~1

2mpa 2∆t

)exp

(− i

~V (Q)∆t

)


Επομένως,

K(qi+1, ti+1; qi, ti) =< qi+1|n∏a=1

exp

(− i

~1

2mpa 2∆t

)|qi > exp

(− i

~V (qi)∆t

)

Εισάγοντας το μοναδιαίο τελεστή συναρτήσει των ιδιοκαταστάσεων ορμής |pi >, οδιαδότης μετατρέπεται σε:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) =

∫dpi

n∏a=1

exp

(− i

~1

2mpai

2∆t

)< qi+1|pi >< pi|qi > exp

(− i

~V (qi)∆t

)

όπου dpi =∏n

a=1 dpai . Χρησιμοποιώντας τη σχέση < q|p >= (2π~)(−n/2) e(i/~)~p·~q,

τότε:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) = exp

(− i

~V (qi)∆t

) n∏a=1

∫dpai2π~

exp

(− i∆t

2~mpai

2 +i

~(qai+1 − qai )pai

)

Χρησιμοποιώντας, επίσης, το γκαουσιανό ολοκλήρωμα∫dx e−ax

2+bx =√π/a eb

2/4a,

ο διαδότης γράφεται:

K(qi+1, ti+1; qi, ti) =

(m

2πi~∆t

)n/2exp

{i

~∆t

[1

2m

n∑a=1

(qai+1 − qai

∆t

)2

− V (qi)

]}(2.1)

Από την πιο πάνω σχέση, ο συνολικός διαδότης από το (q0, t0) στο (qf , tf )


K(qf , tf ; q0, t0) =

∫ ( N∏i=1

n∏a=1

dqai

) N∏i=1

K(qi+1, ti+1; qi, ti)

=

∫ ( N∏i=1

n∏a=1

dqai

)(m

2πi~∆t

)(N+1)(n/2)

exp

{i

~∆t

N∑i=0

[1

2m

n∑a=1

(qai+1 − qai

∆t

)2

− V (qi)

]}

Στο όριο του συνεχούς, δηλαδή ∆t→ 0 και N →∞, ο διαδότης παίρνει τη μορφή:

K(qf , tf ; q0, t0) = N limN→∞

(∫ N∏i=1

n∏a=1

dqai

)exp

[i

~

∫ tf

t0

dt

(1

2m

n∑a=1

qa2(t)− V(q(t)

))]


όπου

N = lim∆t→0,N→∞

(m

2πi~∆t

)(N+1)n/2

Με τους ορισμούς:

Dq ≡ N limN→∞

N∏i=1

n∏a=1

dqai και L(q, q) ≡ 1

2m

n∑a=1

qa2(t)− V(q(t)

)ο διαδότης παίρνει την τελική μορφή:

K(qf , tf ; q0, t0) =

∫ q(tf )

q(t0)

Dq eiS(q)/~ (2.2)

όπου S(q) =∫ tft0dtL(q, q). Επομένως, στη διάδοση ενός σωματιδίου μεταξύ δύο

χωροχρονικών σημείων συνεισφέρουν όλα τα δυνατά μονοπάτια με βάρος eiS/~. Κάτι

ανάλογο με τον πιο πάνω τύπο ισχύει και για το διαδότη ενός πεδίου τον οποίο θα

εξετάσουμε στο επόμενο υποκεφάλαιο.

2.2 Η συναρτησιακή κβάντωση των πεδίων

2.2.1 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Klein

- Gordon

Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη του πεδίου Klein - Gordon,

επιτυγχάνεται γενικεύοντας τη διαδικασία της συναρτησιακής κβάντωσης του μη

σχετικιστικού κβαντικού σωματιδίου, που περιγράψαμε στο προηγούμενο

υποκεφάλαιο. Πρώτα, όμως, απαιτείται η μετατροπή της έκφρασης του διαδότη

Klein - Gordon στο κβαντομηχανικό της ανάλογο. Την έκφραση αυτή θα την

επαναφέρουμε στην πραγματική της πεδιακή μορφή αφού εκτελέσουμε τη διαδικασία

της συναρτησιακής κβάντωσης. Η συνάρτηση Green του πεδίου Klein - Gordon για

Ν χωροχρονικά σημεία, που δίνεται από τη σχέση (1.67), θα έχει την εξής

αντίστοιχη μορφή σε όρους Κβαντικής Μηχανικής:

< E0|T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|E0 > (2.3)


όπου εκτελέσαμε τις αντικαταστάσεις |0 >→ |E0 > και φ(x) → Qa(t) (με a να

είναι ο διακριτοποιημένος δείκτης που αντιστοιχεί σε ένα σημείο του χώρου), διότι η

κατάσταση κενού είναι η θεμελιώδης ιδιοκατάσταση ενέργειας και ο τελεστής πεδίου

δρα ως χρονικά εξαρτώμενος τελεστής θέσης (στην εικόνα Heisenberg). Η έκφραση

αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με:

limt0→ i∞tf→−i∞

< qf , tf |T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|q0, t0 >

< qf , tf |q0, t0 >(2.4)

όπου q0 = {qa0} και qf = {qaf} αντιστοιχούν στις αρχικές και τελικές τιμές του πεδίουσε κάθε σημείο του χώρου, αντίστοιχα, ενώ οι χρόνοι παίρνουν φανταστικές τιμές,

μέσω στροφής τους κατά 90o στο μιγαδικό επίπεδο. Πράγματι, χρησιμοποιώντας

τις σχέσεις μετάβασης από την εικόνα Heisenberg στην εικόνα Schrödinger, αλλά

και εισάγοντας, στη σχέση (2.4), δύο φορές το μοναδιαίο τελεστή υπό τη μορφή

αθροίσματος ενός πλήρους σετ από ιδιοκαταστάσεις ενέργειας 1 =∑

κ |Ek >< Ek|,η σχέση παίρνει την πιο κάτω μορφή:


∑κ,κ′ e

−iEκ′ tf eiEκt0 < qf |Eκ′ >< Eκ′|T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|Eκ >< Eκ|q0 >∑κ,κ′ e

−iEκ′ tf eiEκt0 < qf |Eκ′ >< Eκ′ |Eκ >< Eκ|q0 >

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις < qf |Eκ′ >= ψκ′(qf ), < Eκ|q0 >= ψκ∗(q0) και

< Eκ′|Eκ >= δκ′κ, καταλήγουμε στην εξής έκφραση:


∑κ,κ′ e

−iEκ′ tf eiEκt0 ψκ′(qf )ψκ∗(q0) < Eκ′ |T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|Eκ >∑

κ e−iEκtf eiEκt0 ψκ(qf )ψκ

∗(q0)

Στο όριο t0 → i∞ και tf → −i∞, οι όροι e−iEκ′ tf , e−iEκtf και eiEκt0 μηδενίζονται

εκτός όταν κ = κ′ = 0 δηλαδή στη θεμελιώδη ενέργεια, την οποία θεωρούμε

μηδενική. ΄Ετσι, εν τέλει η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται στη ζητούμενη (2.3).

Σημειώνουμε βέβαια ότι στο τελευταίο βήμα, κάναμε τις εξής υποθέσεις:

θεωρήσαμε ότι υπάρχει ένα ενεργειακό χάσμα μεταξύ θεμελιώδους και πρώτης

διεγερμένης κατάστασης κι επίσης οι ψ0(q), ψ0∗(q0) είναι διάφορες του μηδενός.

Αφού αποδείξαμε την ισότητα της σχέσης (2.3) με τη σχέση (2.4), σκοπός μας

τώρα είναι να εκφράσουμε την τελευταία υπό μορφή συναρτησιακού ολοκληρώματος.

Κατ' αρχάς, ο παρονομαστής είναι το ανάλογο του γνωστού διαδότη του μη

σχετικιστικού κβαντικού σωματιδίου. Επομένως, παίρνει τη μορφή της σχέσης

(2.2). Ο αριθμητής, με τη διακριτοποίηση του χρόνου, την εισαγωγή του μοναδιαίου


τελεστή αριστερά από κάθε τελεστή Qai(ti), εκπεφρασμένου συναρτήσει ενός

πλήρους σετ από ιδιοκαταστάσεις θέσης 1 =∫dqai |qai , ti >< qai , ti| και τη χρήση

των σχέσεων μετάβασης από την εικόνα Heisenberg στην εικόνα Schrödinger όπως

αυτές ορίστηκαν για τα kets στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, αλλά και την

αντίστοιχη σχέση για τον τελεστή: Qai(ti) = eiHtiQaie−iHti , μπορεί να γραφτεί ως:

∫ N∏i=1

dqi [qa1(t1) · · · qaN (tN)] < qf , tf |q1, t1 >< q1, t1|q2, t2 > · · · < qN , tN |q0, t0 >

(2.5)

όπου qai(ti) είναι οι ιδιοτιμές του τελεστή Qai και t1 > t2 > · · · > tN .

Χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.1), από το προηγούμενο υποκεφάλαιο, ο αριθμητής

του κβαντομηχανικού ανάλογου παίρνει την κάτωθι μορφή(για ~ = 1):

∫ ( N∏i=1

n∏a=1

dqai

)(m

2πi∆t

)(N+1)(n/2)

[qa1(t1) · · · qaN (tN)]·

exp

{i∆t

N∑i=0

[1

2m

n∑a=1

(qai+1 − qai

∆t

)2

− V (qi)

]}

Στην έκφραση αυτή, V (qi) είναι το μέρος της Χαμιλτονιανής που δεν περιέχει

χρονικές παραγώγους, περιέχει όμως όρους με χωρικές παραγώγους.

Ακολουθώντας, από εδώ και πέρα, τα ίδια βήματα με αυτά του προηγούμενου

υποκεφαλαίου, καταλήγουμε στην εξής σχέση:

< E0|T [Qa1(t1)Qa2(t2) · · ·QaN (tN)]|E0 >=

∫ q(−i∞)

q(i∞)Dq qa1(t1) · · · qaN (tN) eiS(q)∫ q(−i∞)

q(i∞)Dq eiS(q)

(2.6)

όπου S(q) =∫ −i∞i∞ dtL(q, q). Επαναφέροντας, τώρα, τη συνάρτηση Green στην

πεδιακή της μορφή, η συναρτησιακή της αναπαράσταση τελικά θα είναι:

DK−G(x1, x2, · · · , xN) =

∫Dφ φ(x1)φ(x2) · · ·φ(xN)eiSK−G(φ)∫

Dφ eiSK−G(φ)(2.7)

όπου Dφ =∏

x dφ(x) και SK−G(φ): η δράση Klein - Gordon όπως δίνεται από τη

σχέση (1.15). Αντίστοιχα, οποιαδήποτε συνάρτηση Green, η οποία περιέχει τελεστές


του πεδίου Klein � Gordon O(φ) έχει την εξής συναρτησιακή μορφή:

< O(φ) >=

∫Dφ O(φ)eiSK−G(φ)∫Dφ eiSK−G(φ)

(2.8)

Ας υπολογίσουμε το διαδότη Klein - Gordon δύο σημείων:

DK−G(x1 − x2) =< 0|T [φ(x1)φ(x2)]|0 >=

∫Dφ φ(x1)φ(x2)eiSK−G(φ)∫

Dφ eiSK−G(φ)(2.9)

Ο πιο πάνω διαδότης έχει τη μορφή μέσης τιμής πραγματικού πολυωνύμου με

γκαουσιανό βάρος, όταν διακριτοποιήσουμε το χωροχρόνο, δηλαδή x → xi και

εκτελέσουμε στροφή Wick από τον Minkowski στον Ευκλείδιο χώρο, όπου οι

φανταστικοί χρόνοι, οι οποίοι προέκυψαν πιο πάνω, μετατρέπονται σε πραγματικούς

ευκλείδιους χρόνους, μέσω της σχέσης t = −itE ( Η στροφή Wick αναφέρεται

αναλυτικότερα στο υποκεφάλαιο 2.3).

DK−G(x1 − x2) =

∫ ∏i dφ(xi) [φ(x1)φ(x2)] exp

(− 1

2

∑i,j φ(xi) Kij φ(xj)

)∫ ∏

i dφ(xi) exp

(− 1

2

∑i,j φ(xi) Kij φ(xj)

)(2.10)

με Kij = (∂µ∂µ + m2)ij, όπου η φανταστική μονάδα i απαλείφεται εξαιτίας της

μετατροπής του διαφορικού ολοκλήρωσης των χρόνων σε διαφορικό ευκλείδιων

χρόνων. Επομένως, σύμφωνα με το Παράρτημα A1, ο διαδότης θα ισούται με:

DK−G(x1 − x2) = (K−1)1,2 (2.11)

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχή χωροχρόνο Minkowski, ισχύει η παρακάτω σχέση:

(∂µ∂µ +m2) DK−G(x1 − x2) = −iδ(4)(x1 − x2) (2.12)

όπου κρατήσαμε πραγματικές τιμές για το χρόνο, εξ ου και η προσθήκη του

παράγοντα −i δίπλα από τη συνάρτηση δέλτα, ούτως ώστε να αποφύγουμε τηχρήση φανταστικών τιμών του χρόνου μέσα σ' αυτήν. Χρησιμοποιώντας


μετασχηματισμούς Fourier, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται σε:∫d4p

(2π)4(∂µ∂µ +m2)

(DK−G(p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)

⇒∫

d4p

(2π)4

[(−ipµ)(−ipµ) +m2

](DK−GF (p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)

⇒ (−p2 +m2)DK−G(p) = −i

⇒ DK−G(p) =i

p2 −m2(2.13)

Επομένως, ο διαδότης Klein-Gordon δύο σημείων στο χώρο των θέσεων (με

κατάλληλες συνοριακές συνθήκες) είναι:

DK−G(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (2.14)

όπου το iε προστέθηκε στον παρονομαστή για την αποφυγή ύπαρξης πόλων πάνω

στον πραγματικό άξονα. Η πιο πάνω σχέση είναι όντως η ίδια με τη σχέση (1.66)

που προέκυψε από τη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης.

2.2.2 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη Dirac

Η συναρτησιακή αναπαράσταση του διαδότη του πεδίου Dirac γίνεται με τον ίδιο

τρόπο όπως στο πεδίο Klein - Gordon. ΄Ετσι, η φερμιονική συνάρτηση Green για

N = 2` χωροχρονικά σημεία, κατ' αντιστοιχία με το πεδίο Klein - Gordon, παίρνει

την παρακάτω συναρτησιακή μορφή:

GFα1···α`;β1···β`(x1, · · · , x`; y1, · · · , y`) = < 0|T

[ψα1(x1) · · ·ψα`(x`)ψβ1(y1) · · · ψβ`(y`)

]|0 >

=

∫DψDψ

[ψα1(x1) · · ·ψα`(x`)ψβ1(y1) · · · ψβ`(y`)

]eiSF (ψ,ψ)∫

DψDψ eiSF (ψ,ψ)(2.15)

όπου ψ: μεταβλητές Grassmann, DψDψ =∏

x,y

∏4α,β=1 dψβ(y)dψα(x) και

SF (ψ, ψ): η δράση Dirac όπως δίνεται από τη σχέση (1.19). Επίσης, οποιαδήποτε

συνάρτηση Green που περιέχει τελεστές των φερμιονικών πεδίων O(ψ, ψ) έχει την

εξής συναρτησιακή μορφή:

< O(ψ, ψ) >=

∫DψDψ O(ψ, ψ) eiSF (ψ,ψ)∫

DψDψeiSF (ψ,ψ)(2.16)


Ας υπολογίσουμε το διαδότη Dirac δύο σημείων:

DFαβ(x1 − x2) =< 0|T

[ψα(x1)ψβ(x2)

]|0 >

=

∫DψDψ ψα(x1)ψβ(x2) eiSF (ψ,ψ)∫

DψDψ eiSF (ψ,ψ)(2.17)

Ο πιο πάνω διαδότης έχει τη μορφή μέσης τιμής μιγαδικού πολυωνύμου μεταβλητών

Grassmann με γκαουσιανό βάρος, όταν διακριτοποιήσουμε το χωροχρόνο, δηλαδή

x→ xi και εκτελέσουμε στροφή Wick (t = −itE)

DFαβ(x1 − x2) =∫ ∏

i,j

∏4γ,δ=1 dψγ(xi)dψδ(xj)

[ψα(x1)ψβ(x2)

]exp

(−∑

i,j

∑4γ,δ=1 ψγ(xi)Kγδ(xi, xj)ψδ(xj)

)∫ ∏

i,j

∏4γ,δ=1 dψγ(xi)dψδ(xj) exp

(−∑

i,j

∑4γ,δ=1 ψγ(xi)Kγδ(xi, xj)ψδ(xj)

)(2.18)

με Kγδ(xi, xj) = −(iγµ∂µ−m)γδ, όπου η φανταστική μονάδα i απαλείφεται εξαιτίας

της στροφήςWick, όπως και στην περίπτωση του πεδίου Klein - Gordon. Επομένως,

σύμφωνα με το Παράρτημα Α2, ο διαδότης θα ισούται με:

DFαβ(x1 − x2) = K−1

αβ (x1, x2) (2.19)

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχή χωροχρόνο, ισχύει η παρακάτω σχέση:

−(iγµ∂µ −m)αβDFβγ(x1 − x2) = −iδ(4)(x1 − x2)δαγ (2.20)

όπου κρατήσαμε πραγματικές τιμές για το χρόνο. Χρησιμοποιώντας

μετασχηματισμούς Fourier, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται σε:

−∫

d4p

(2π)4(iγµ∂µ −m)αβ

(DFβγ(p) e

−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)δαγ

−∫

d4p

(2π)4

[iγµ(−ipµ)−m

]αβ

(DFβγ(p) e

−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2)δαγ[

− (γµpµ −m)DF (p)

]αγ

= −iδαγ


Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη εξ αριστερών με (γµpµ +m)βα.[−((γµpµ)2 −m2

)DF (p)

]βγ

= −i(γµpµ +m)βγ

⇒ −(p2 −m2)DFβγ(p) = −i(γµpµ +m)βγ

⇒ DFβγ(p) =

i(/p+m)βγ

p2 −m2(2.21)

Επομένως, ο φερμιονικός διαδότης Dirac δύο σημείων στο χώρο των θέσεων (με

κατάλληλες συνοριακές συνθήκες) είναι:

DFαβ(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

i(/p+m)αβ

p2 −m2 + iεe−ip(x1−x2) (2.22)


στον πραγματικό άξονα. Η πιο πάνω σχέση είναι όντως η ίδια με τη σχέση (1.84)

που προέκυψε από τη διαδικασία της κανονικής κβάντωσης.

2.2.3 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του φωτονικού

διαδότη

Η κβάντωση του φωτονικού πεδίου, όπως αναφέραμε στο υποκεφάλαιο 1.4.3,

δεν ακολουθεί εντελώς την ίδια διαδικασία με αυτήν των πεδίων Klein - Gordon και

Dirac λόγω της ανάγκης επιλογής κάποιας συγκεκριμένης βαθμίδας. Το ίδιο ισχύει

και για τη συναρτησιακή κβάντωση, μόνο που σ' αυτήν την περίπτωση υπάρχει η

ελευθερία επιλογής οποιασδήποτε βαθμίδας επιθυμούμε. Για να φανεί καλύτερα η

προαναφερόμενη ανάγκη, ας εφαρμόσουμε την ίδια διαδικασία συναρτησιακής

κβάντωσης με αυτήν των πεδίων Klein - Gordon και Dirac, εντοπίζοντας το

πρόβλημα που δημιουργείται. Aκολούθως θα δώσουμε την επιτυχή λύση που

πρότειναν οι Faddeev και Popov.

Η φωτονική συνάρτηση Green για Ν χωροχρονικά σημεία, κατ' αντιστοιχία με

το πεδίο Klein - Gordon, παίρνει την παρακάτω συναρτησιακή μορφή:

[DPH(x1, x2, · · · , xN)

]µ1µ2···µN

=< 0|T [Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)]|0 >

=

∫DA [Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)] eiSPH(A)∫

DA eiSPH(A)(2.23)


όπου DA =∏

x

∏3µ=0 dAµ(x) και SPH(A): η φωτονική δράση όπως δίνεται από τη

σχέση (1.23). Η πιο πάνω συνάρτηση Green παρουσιάζει το εξής πρόβλημα: όταν

αναφερόμαστε στο συνεχή χωροχρόνο το συναρτησιακό ολοκλήρωμα∫DA eiSPH(A)

δε δίνει πεπερασμένη τιμή κι επομένως η συνάρτηση Green, όπως είναι ορισμένη δεν

μπορεί να δώσει ορθά αποτελέσματα. Ας το δούμε αναλυτικότερα. Για ευκολία θα

εξετάσουμε το φωτονικό διαδότη δύο σημείων:

DPHµν (x1 − x2) =

∫DA [Aµ(x1)Aν(x2)] eiSPH(A)∫

DA eiSPH(A)

Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες, η δράση SPH(A) μπορεί να γραφεί

ως:

SPH(A) =1

2

∫d4xAµ(x) (∂ρ∂

ρgµν − ∂µ∂ν) Aν(x)

΄Ετσι ο φωτονικός διαδότης δύο σημείων έχει τη μορφή μέσης τιμής πραγματικού

πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος, όταν διακριτοποιήσουμε το χωροχρόνο, δηλαδή

x→ xi και εκτελέσουμε στροφή Wick (t = −itE).

DPHµν (x1 − x2) =∫ ∏

i

∏3ρ=0 dAρ(xi) [Aµ(x1)Aν(x2)] exp

(− 1

2

∑i,j

∑µ,ν Aµ(xi) K

µνij Aν(xj)

)∫ ∏

i

∏3ρ=0 dAρ(xi) exp

(− 1

2

∑i,j

∑µ,ν Aµ(xi) K

µνij Aν(xj)

)με Kµν

ij = −(∂ρ∂ρgµν − ∂µ∂ν)ij, όπου η φανταστική μονάδα i απαλείφεται εξαιτίας

της στροφής του Wick. Επομένως, σύμφωνα με το Παράρτημα A1, ο διαδότης θα

ισούται με:


(K−1µν

)1,2

(2.24)

Επιστρέφοντας πίσω στο συνεχή χωροχρόνο, ισχύει η παρακάτω σχέση:

−(∂ρ∂ρgµν − ∂µ∂ν)DPH

νσ (x1 − x2) = −iδ(4)(x1 − x2) δµσ (2.25)


όπου κρατήσαμε πραγματικές τιμές για το χρόνο. Χρησιμοποιώντας

μετασχηματισμούς Fourier, η πιο πάνω έκφραση μετατρέπεται σε:

−∫

d4p

(2π)4(∂ρ∂

ρgµν − ∂µ∂ν)(DPHνσ (p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2) δµσ

⇒ −∫

d4p

(2π)4

[(−ipρ)(−ipρ)gµν − (−ipµ)(−ipν)

](DPHνσ (p) e−ip(x1−x2)

)= −i

∫d4p

(2π)4e−ip(x1−x2) δµσ

⇒ (p2gµν − pµpν)DPHνσ (p) = −iδµσ (2.26)

΄Ετσι καταλήξαμε στην πιο πάνω εξίσωση, η οποία δεν έχει λύση, καθώς ο πίνακας

4 × 4 (p2gµν − pµpν) δεν είναι αντιστρέψιμος. Πράγματι, ο πίνακας αυτός έχει τοιδιοδιάνυσμα pν με ιδιοτιμή 0, πράγμα που σημαίνει ότι η ορίζουσα του είναι μηδενική

και ως εκ τούτου ο πίνακας είναι μη αντιστρέψιμος. Συνεπώς, όταν το φωτονικό πεδίο

παίρνει τη μορφή Aµ(p) ∼ pµΛ(p) στο χώρο των ορμών ή αντίστοιχαAµ(x) ∼ ∂µΛ(x)

στο χώρο των θέσεων, όπου Λ(x), Λ(p): τυχαίες βαθμωτές συναρτήσεις, τότε η

φωτονική δράση μηδενίζεται. Επειδή το φωτονικό πεδίο Aµ(x) άλλα και η δράση του

Sph(A) υπακούουν στη συμμετρία βαθμίδος, τότε το διαφορικό ολοκλήρωσης DAμπορεί να σπάσει σε δύο ολοκληρώματα:

DA = DA gaugeinequivalent

DA gaugeequivalent

όπου DA gaugeequivalent

περιλαμβάνει όλους τους μετασχηματισμούς βαθμίδος μιας

συνάρτησης πεδίου, ενώ DA gaugeinequivalent

περιλαμβάνει όλες τις συναρτήσεις πεδίου

που δε σχετίζονται μεταξύ τους μέσω μετασχηματισμών βαθμίδος. Αυτό σ' ένα

διανυσματικό χώρο συναρτήσεων, όπου το κάθε σημείο του χώρου αντιστοιχεί σε

μια διάταξη Aµ(x), αναπαρίσταται μέσω τροχιών που η κάθε μια τους περιλαμβάνει

όλες τις ισοδύναμες διατάξεις που σχετίζονται μεταξύ τους με μετασχηματισμό

βαθμίδος. Στις τροχιές αυτές περιλαμβάνεται και το σύνολο διατάξεων

Aµ(x) = −(1/e)∂µΛ(x), το οποίο αποτελεί μετασχηματισμό βαθμίδος της

Aµ(x) = 0. Το σύνολο αυτό μηδενίζει τη φωτονική δράση, σύμφωνα με τα

παραπάνω, δίνοντας στην ολοκληρωτέα συνάρτηση eiSPH(A)την τιμή 1. Επειδή αυτό

συμβαίνει για κάθε συνάρτηση βαθμίδας Λ(x), δηλαδή για όλα τα σημεία

ολοκλήρωσης της συγκεκριμένης τροχιάς, τα οποία είναι άπειρα, τότε το

συναρτησιακό ολοκλήρωμα∫DA gauge

equivalenteiSPH(A)

απειρίζεται. Αυτό έχει ως

συνέπεια και το ολικό συναρτησιακό ολοκλήρωμα∫DA eiSPH(A)

να απειρίζεται, με

αποτέλεσμα ο ορισμός της συναρτησιακής μορφής του φωτονικού διαδότη να είναι,


όντως, προβληματικός. ΄Αρα, αυτό που χρειάζεται ο συναρτησιακός φωτονικός

διαδότης είναι η βελτίωση του ορισμού του. Μία βελτίωση που να απομονώνει το

κομμάτι του συναρτησιακού ολοκληρώματος που περιλαμβάνει μία μόνο φυσική

διάταξη από κάθε τροχιά, αποφεύγοντας έτσι την απευθείας προσμέτρηση των

άπειρων ισοδύναμων φυσικών διατάξεων που οδηγεί σε ένα αποκλίνον

συναρτησιακό ολοκλήρωμα.

Τη λύση στο πρόβλημα αυτό έδωσαν οι Faddeev και Popov. Για να

απομονώσουν το κομμάτι του συναρτησιακού ολοκληρώματος, το οποίο μετρά ένα

μόνο μετασχηματισμό βαθμίδος μιας συνάρτησης πεδίου, εισήγαγαν στο

συναρτησιακό ολοκλήρωμα, με ένα έξυπνο κόλπο, συναρτήσεις δέλτα κάποιας

βαθμίδας. Επίσης, στη διαδικασία αυτή ήταν απαραίτητη η ολοκλήρωση του

απομονωμένου αυτού συναρτησιακού ολοκληρώματος, ως προς όλες τις

συναρτήσεις βαθμίδος Λ(x), το οποίο και επιτυγχάνει το κόλπο αυτό. Ξεκίνησαν

επιλέγοντας μια βαθμίδα G(AΛ) = 0, όπου G(AΛ): κάποια συνάρτηση του

μετασχηματισμένου πεδίου AµΛ(x) = Aµ(x) − (1/e)∂µΛ(x), έτσι ώστε να

απομονώσουν ένα μετασχηματισμό βαθμίδας. Επέβαλαν τη βαθμίδα αυτή στο

συναρτησιακό ολοκλήρωμα μέσω της συνάρτησης δέλτα δ(G(AΛ)

).

Χρησιμοποίησαν την ταυτότητα:

1 =

∫DΛ(x)δ

(G(AΛ)

)det

(δG(AΛ)

δΛ

)(2.27)

η οποία αποτελεί τη συνεχή γενίκευση της ταυτότητας:

1 =

(∏i

∫dλi

)δ(n)(g(a)) det

(∂gi∂λj

)

για n-διάστατα διανύσματα, και την εισήγαγαν στον αριθμητή και παρονομαστή της

συνάρτησης Green Ν σημείων:∫DA

∫DΛ(x) δ

(G(AΛ)

)det(δG(AΛ)/δΛ

)[Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)

]eiSPH(A)∫

DA∫DΛ(x) δ

(G(AΛ)

)det(δG(AΛ)/δΛ

)eiSPH(A)

Η απλούστερη βαθμίδα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι η γενικευμένη βαθμίδα

Lorentz:

G(A) = ∂µAµ(x)− ω(x)

όπου ω(x) μπορεί να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή συνάρτηση. Αντικαθιστώντας στην


ορίζουσα det(δG(AΛ)/δΛ

)παρατηρούμε ότι είναι ανεξάρτητη τόσο από το A, όσο

και από το Λ.

det

(δG(AΛ)

δΛ

)= det

(− 1

e∂µ∂µ

)Επομένως, μπορεί να γραφεί έξω από το συναρτησιακό ολοκλήρωμα και του

αριθμητή και του παρονομαστή. ΄Αρα, η ορίζουσα απαλείφεται. Στη συνέχεια

εστιάζουμε την προσοχή μας σε γινόμενα φωτονικών πεδίων

Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN) (ή και των παραγώγων τους) που να μένουν

αναλλοίωτα κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος, δηλαδή

Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN) = Aµ1

Λ(x1)Aµ2

Λ(x2) · · ·AµNΛ(xN). ( Η ιδιότητα αυτή

πρέπει να ισχύει για γινόμενα που αντιστοιχούν σε μετρήσιμα φυσικά μεγέθη.)

Αφού και η φωτονική δράση μένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς

βαθμίδος, δηλαδή SPH(A) = SPH(AΛ), τότε μπορούμε να εκτελέσουμε την εξής

αλλαγή μεταβλητών A → AΛκι έτσι DA = DAΛ. Συνεπώς, το πεδίο AΛ(x) έγινε

πλέον μια βουβή μεταβλητή ολοκλήρωσης και ως εκ τούτου μπορούμε να τη

μετονομάσουμε πίσω σε A(x). ΄Αρα ο διαδότης γράφεται:∫DΛ

∫DA δ

(∂µAµ(x)− ω(x)

)[Aµ1(x1)Aµ2(x2) · · ·AµN (xN)

]eiSPH(A)∫

DΛ∫DA δ

(∂µAµ(x)− ω(x)

)eiSPH(A)

Με τον τρόπο αυτό πετύχαμε, η ολοκληρωτέα συνάρτηση να είναι ανεξάρτητη του

Λ(x) και άρα μπορεί να γραφεί έξω από το ολοκλήρωμα ως προς Λ και στον

αριθμητή και στον παρονομαστή. ΄Ετσι εξαφανίζεται και η ολοκλήρωση ως προς Λ.

Τώρα, το μόνο που μας μένει είναι ο χειρισμός της συνάρτησης δ(∂µAµ(x)− ω(x)

).

Αφού η ω(x) μπορεί να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή συνάρτηση, σύμφωνα με τον

ορισμό της γενικευμένης βαθμίδας Lorentz, τότε και τα συναρτησιακά

ολοκληρώματα του αριθμητή και παρονομαστή του διαδότη, τα οποία την περιέχουν,

πρέπει να μην εξαρτώνται από αυτήν. Ο τρόπος να την απαλείψουμε είναι ο εξής:

αντικαθιστούμε, πρώτα τη συνάρτηση δ(∂µAµ(x) − ω(x)

)με έναν

κανονικοποιημένο γραμμικό συνδυασμό από τέτοιες συναρτήσεις διαφορετικών

συναρτήσεων ω(x). Αυτό επιτρέπεται καθώς το συναρτησιακό ολοκλήρωμα πρέπει

να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα για κάθε συνάρτηση ω(x), άρα το ίδιο ισχύει και για το

γραμμικό συνδυασμό τους. Αφού η ω(x) είναι συνεχής συνάρτηση τότε ο

γραμμικός συνδυασμός που θα πάρουμε θα είναι συναρτησιακό ολοκλήρωμα ως

προς όλα τα ω(x). Το τελευταίο κόλπο που χρησιμοποίησαν οι Faddeev και Popov

ήταν να προσδώσουν σε κάθε συνάρτηση δέλτα του γραμμικού συνδυασμού,


γκαουσιανό βάρος με κέντρο το ω = 0, το οποίο και επιτρέπεται να εφαρμοστεί

χωρίς περιορισμό. Δηλαδή, η συνάρτηση δ(∂µAµ(x)− ω(x)

)μετατρέπεται σε:

N(α)

∫Dω exp

(− i∫d4x

ω2(x)

2α

)δ(∂µAµ(x)− ω(x)

)όπου N(α) =

∏x

√iπ/2α είναι σταθερά κανονικοποίησης και α: οποιαδήποτε

πεπερασμένη σταθερά. Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα ως προς ω απαλείφεται μαζί

με τη συνάρτηση δέλτα δίνοντας:

N(α) exp

(− i∫d4x

1

2α

(∂µAµ(x)

)2)

Η σταθερά κανονικοποίησης αφού βρίσκεται και στον αριθμητή και στον

παρονομαστή της συνάρτησης Green απαλείφεται. Επομένως, η φωτονική

συνάρτηση Green παίρνει τελικά τη μορφή:

[DPH(x1, · · ·xN)

]µ1···µN

=

∫DA

[Aµ1(x1) · · ·AµN (xN)

]ei[SPH(A)+SGF (A)

]∫DAei

[Sph(A)+SGF (A)

] (2.28)

όπου SGF (A) = −(1/2α)∫d4x

(∂µAµ(x)

)2είναι η λεγόμενη �Gauge Fixing� δράση.

Αυτή είναι η σωστή φωτονική συνάρτησηGreen Ν σημείων για το συνεχή χωροχρόνο

και για τη μελέτη διαταρακτικών υπολογισμών. Αντίστοιχα, οποιαδήποτε συνάρτηση

Green που περιέχει φωτονικά πεδία O(A), η οποία όμως είναι αναλλοίωτη κάτω από

μετασχηματισμούς βαθμίδος, έχει την εξής συναρτησιακή μορφή:

< O(A) gaugeinvariant

>=

∫DA O(A) ei

[SPH(A)+SGF (A)

]∫DA ei

[SPH(A)+SGF (A)

] (2.29)

Με το νέο αυτό συναρτησιακό ορισμό της φωτονικής συνάρτησης Green ας

ξαναγράψουμε το διαδότη δύο σημείων. Η δράση SGF (A), με τη χρήση ολοκλήρωσης

κατά παράγοντες, μπορεί να γραφεί ως:

SGF (A) = − 1

2α

∫d4x

(∂µAµ(x)∂νAν(x)

)=

1

2

∫d4x Aµ(x)

(1

α∂µ∂ν

)Aν(x)

Αθροίζουμε τη δράση αυτή με τη φωτονική δράση και ακολουθώντας τα ίδια βήματα

με προηγουμένως καταλήγουμε στη σχέση (2.24) με


Kµν(xi, xj) = −(∂ρ∂ρgµν − ∂µ∂ν + (1/α)∂µ∂ν). Αντικαθιστώντας το καινούργιο

Kµν(xi, xj) στην (2.25) και εκτελώντας τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς

Fourier, η εξίσωση (2.26) μετατρέπεται σε:[p2gµν −

(1− 1

α

)pµpν

]DPHνσ (p) = −iδµσ

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη εξ αριστερών με[(1/p2)gρµ− (1−α)(pρpµ/p

4)]:[

1

p2gρµ − (1− α)

pρpµp4

][p2gµν −

(1− 1

α

)pµpν

]DPHνσ (p)

= −i[

1

p2gρµ − (1− α)

pρpµp4

]δµσ

⇒ DPHµν (p) = − i

p2

(gµν − (1− α)

pµpνp2

)(2.30)

Επομένως, ο φωτονικός διαδότης δύο σημείων στο χώρο των θέσεων (με κατάλληλες

συνοριακές συνθήκες) είναι:


∫d4p

(2π)4

−ip2 + iε

(gµν − (1− α)

pµpνp2 + iε

)e−ip(x1−x2) (2.31)


στον πραγματικό άξονα.

2.2.4 Η συναρτησιακή αναπαράσταση του γκλουονικού

διαδότη

Η κβάντωση του γκλουονικού πεδίου ακολουθεί την ίδια διαδικασία με αυτήν

του φωτονικού πεδίου, καθώς παρουσιάζει το ίδιο πρόβλημα απειρισμού του

συναρτησιακού ολοκληρώματος∫DA eiSG(A), όπου DA =

∏x

∏8a=1

∏3µ=0 dA

aµ(x)

και SG(A) : η γκλουονική δράση όπως δίνεται από τη σχέση (1.34). ΄Οπως και στο

φωτονικό πεδίο, ξεκινάμε πρώτα από τον πιο κάτω ορισμό της γκλουονικής

συνάρτησης Green για Ν χωροχρονικά σημεία, κατ' αντιστοιχία του πεδίου Klein -

Gordon:

[DG(x1, x2, · · · , xN)

]µ1µ2···µN

=< 0|T [Aa1µ1

(x1)Aa2µ2

(x2) · · ·AaNµN (xN)]|0 >

=

∫DA [Aa1

µ1(x1)Aa2

µ2(x2) · · ·AaNµN (xN)] eiSG(A)∫DA eiSG(A)

(2.32)


Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο των Faddeev και Popov, εισάγοντας στον

αριθμήτη και παρονομαστή της συνάρτησης Green την ταυτότητα που δίνεται από τη

σχέση (2.27), όπου στην περίπτωση αυτή:

AaµΛ(x) = Aaµ(x) +

1

g∂µΛa(x) + fabcAbµ(x)Λc(x) και

G(A) = ∂µAaµ(x)− ωa(x)

με ωa(x) να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή συνάρτηση. Η διαφορά της περίπτωσης της

γκλουονικής συνάρτησης Green με αυτήν της φωτονικής συνάρτησης Green είναι το

γεγονός ότι η ορίζουσα det(δG(AΛ)/δΛ

)εξαρτάται από το γκλουονικό πεδίο Aaµ(x)

και συνεπώς δεν μπορεί να γραφεί έξω από το συναρτησιακό ολοκλήρωμα.

det

(δG(AΛ)

δΛ

)= det

(δ(∂µAaµ

Λ(x)− ωa(x))

δΛa(x)

)=

1

gdet[∂µ∂µ + gfabc

(∂µAbµ(x) + Abµ(x)∂µ

)δac]

Οι Faddeev και Popov αντιμετώπισαν αυτήν την ορίζουσα γράφοντάς την ως

συναρτησιακό ολοκλήρωμα ενός νέου σετ από πεδία Grassmann. Αυτό προέκυψε

λόγω του γνωστού γκαουσιανού ολοκληρώματος με μεταβλητές Grassmann (βλ.

Παράρτημα Α2), το οποίο γνωρίζουμε ότι δίνει μία ορίζουσα στη δύναμη +1, όπως

ακριβώς και στην περίπτωση αυτή. Επομένως,

det

(δ(G(AΛ)

)δΛ

)=

∫Dc Dc exp

[−∫d4x c

(δ(G(AΛ)

)δΛ

)c

]=

∫Dc Dc exp

[i

∫d4x c

(− g

δ(G(AΛ)

)δΛ

)c

]όπου Dc Dc =

∏x,y

∏8a,b=1 dc

b(y) dca(x) και ο παράγοντας (−i/g) έχει απορροφηθεί

στον ορισμό των c και c. ΄Αρα, η ορίζουσα εν τέλει γράφεται:

det

(δ(G(AΛ)

)δΛ

)=

∫Dc Dc eiSFP (A,c,c) (2.33)

όπου

SFP (A, c, c) =

∫d4x c

(− g

δ(G(AΛ)

)δΛ

)c

=

∫d4x

[ca(x)

[− ∂µ∂µδac − gfabc

(∂µAbµ(x) + Abµ(x)∂µ

)]cc(x)

](2.34)


είναι η λεγόμενη δράση �Faddeev - Popov�. Τα νέα αυτά πεδία c και c, ενώ εξ

ορισμού θεωρήσαμε ότι είναι μεταβλητές Grassmann, άρα ικανοποιούν

αντιμεταθετικές σχέσεις, ωστόσο συμπεριφέρονται σαν βαθμωτά πεδία κάτω από

μετασχηματισμούς Lorentz, πράγμα που υποδηλώνεται από το γεγονός ότι δεν

έχουν δείκτη Dirac όπως το σπινοριακό φερμιονικό πεδίο. Αυτό συνεπάγεται

λανθασμένη σχέση μεταξύ σπιν και στατιστικής. Το γεγονός αυτό όμως δεν

δημιουργεί καμμία αντίφαση δεδομένου ότι τα πεδία αυτά δεν ανταποκρίνονται σε

φυσικά σωματίδια. Τα πεδία c και c χρησιμοποιούνται ως επιπλέον σωματίδια στον

υπολογισμό διαγραμμάτων Feynman. ΄Ετσι τους δόθηκε η ονομασία πεδία -

φαντάσματα. Με την εισαγωγή των πεδίων - φαντασμάτων, η γκλουονική

συνάρτηση Green για Ν χωροχρονικά σημεία μετατρέπεται σε:

[DG(x1, · · · , xN)

]µ1···µN

=∫DΛ

∫DA

∫Dc Dc [Aa1

µ1(x1) · · ·AaNµN (xN)] ei

(SG(A)+SFP (A,c,c)

)δ(∂µAaµ

Λ(x)− ωa(x))

∫DΛ

∫DA

∫Dc Dc ei

(Sg(A)+SFP (A,c,c)

)δ(∂µAaµ

Λ(x)− ωa(x))

(2.35)

Από εδώ και πέρα, ο χειρισμός του διαδότη θα είναι ακριβώς ο ίδιος με αυτόν του

φωτονικού πεδίου. Ακολουθώντας, λοιπόν, τα ίδια βήματα με αυτά του

προηγούμενου υποκεφαλαίου, ο γκλουονικός διαδότης θα πάρει την εξής μορφή:

[DG(x1, · · · , xN)

]µ1···µN

=

∫DA Dc Dc [Aa1

µ1(x1) · · ·AaNµN (xN)] ei

(SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

)∫DA Dc Dc ei

(SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

)όπου SGF (A) = −(1/2α)

∫d4x

(∂µAaµ(x)

)2. Από τη στιγμή που προσθέσαμε τα

πεδία - φαντάσματα στο διαδότη προκύπτουν κάποιοι επιπλέον όροι, όπως κορυφές

αλληλεπίδρασης μεταξύ γκλουονίων και πεδίων - φαντασμάτων καθώς και διαδότες

των πεδίων - φαντασμάτων. Γενικότερα, οποιαδήποτε συνάρτηση Green που περιέχει

γκλουονικά πεδία και πεδία - φαντάσματα O(A, c, c), η οποία όμως είναι αναλλοίωτη

κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος, έχει την εξής συναρτησιακή μορφή:

< O(A, c, c) gaugeinvariant

>=

∫DA Dc Dc O(A, c, c) ei

[SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

]∫DA Dc Dc ei

[SG(A)+SGF (A)+SFP (A,c,c)

](2.36)

Ας υπολογίσουμε τον γκλουονικό διαδότη δύο σημείων στη χαμηλότερη τάξη


της θεωρίας διαταραχών (δηλαδή, αγνοώντας μη τετραγωνικούς όρους στη δράση).

Στην τάξη αυτή, τα πεδία φαντάσματα δεν συνεισφέρουν.

DGµν(x1 − x2) =< Aaµ(x1)Abν(x2) >=

∫DA [Aaµ(x1)Abν(x2)] ei

(S

(0)G (A)+SGF (A)

)∫DA ei

(S

(0)G (A)+SGF (A)

)(2.37)

Οι δράσεις S(0)G (A) και SGF (A) μπορούν να γραφούν κατ' αντιστοιχία από τις δράσεις

του φωτονικού διαδότη, στην παρακάτω μορφή:

S(0)G (A) =

1

2

∫d4x Aaµ(x) (∂ρ∂

ρgµνδab − ∂µ∂νδab) Abν(x)

και

SGF (A) =1

2

∫d4x Aaµ(x)

(1

α∂µ∂νδab

)Abν(x)

Ακολουθώντας τα ίδια βήματα με το φωτονικό διαδότη δύο σημείων, καταλήγουμε:

DGµν(x1 − x2) =

∫d4p

(2π)4

−iδab

p2 + iε

(gµν − (1− α)

pµpνp2 + iε

)e−ip(x1−x2) (2.38)


στον πραγματικό άξονα.

2.3 Στροφή Wick από τον Minkowski στον

Ευκλείδιο χώρο

Η συναρτησιακή μορφή της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων παρουσιάζει μια στενή

σχέση με τη Στατιστική Μηχανική. Οι συναρτήσεις Green των πεδίων θυμίζουν τις

συναρτήσεις συσχέτισης της Στατιστικής Μηχανικής, καθώς έχουν την ίδια γενική

δομή ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς όλες τις δυνατές διατάξεις ενός

εκθετικού στατιστικού βάρους. Γι ' αυτό άλλωστε για τον υπολογισμό των

συναρτησιακών διαδοτών, όπως είδαμε στα προηγούμενα υποκεφάλαια,

δανειζόμαστε το κόλπο του υπολογισμού συναρτήσεων συσχέτισης της

Στατιστικής Μηχανικής, που πραγματοποιείται με την παραγώγιση ως προς κάποια

εξωτερική πηγή, όπως την πίεση ή το μαγνητικό πεδίο. ΄Ομως, στις συναρτήσεις


συσχέτισης της Στατιστικής Μηχανικής το στατιστικό βάρος είναι φθίνον

εκθετικό, ενώ στο συναρτησιακό διαδότη της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων το

στατιστικό βάρος είναι μιγαδικό εκθετικό. Το γεγονός αυτό καθιστά αδιανόητη την

προσομοίωση μιας τέτοιας θεωρίας. Αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί με την

κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών που θα μετατρέψει το μιγαδικό σε φθίνον εκθετικό.

Η στροφή Wick, την οποία χρησιμοποιήσαμε στα προηγούμενα υποκεφάλαια, είναι

μια μέθοδος που εκτελεί επιτυχώς την μετατροπή αυτή, μέσω της στροφής του

χρόνου στο μιγαδικό επίπεδο, ενώ μετατρέπει ταυτόχρονα τον τετραδιάστατο

Minkowski χώρο σε τετραδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Σύμφωνα με αυτήν,

εκτελούμε τον εξής μετασχηματισμό t = x0 → −ixE4 , όπου xE4 παίρνει πραγματικέςτιμές και αποτελεί την τέταρτη συνιστώσα του τετραδιανύσματος θέσης του

ευκλείδειου χώρου (xE ≡ xEµ , όπου µ = 1, 2, 3, 4). Η στροφή Wick είναι πολύ

σημαντική διότι οι διαδότες στον τετραδιάστατο ευκλείδειο χώρο δεν έχουν πόλους

στον παρονομαστή αν η μάζα είναι μηδέν (αλλιώς έχουμε πόλο, αλλά μόνο για

μηδενική ορμή, δηλαδή σε ένα σημείο μόνο, αντίθετα με το χώρο Minkowski, όπου

οι παρονομαστές μηδενίζονται σε μια ολόκληρη επιφάνεια p2 − m2 = 0) και άρα η

ολοκλήρωσή τους δε χρειάζεται να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο και μπορεί να γίνει με

αριθμητική ολοκλήρωση. Το συναρτησιακό ολοκλήρωμα προϋποθέτει

διακριτοποίηση του χωροχρόνου και δημιουργία πλέγματος, το οποίο στον ευκλείδιο

χώρο ξέρουμε πώς να το χειριστούμε. Επομένως, η στροφή Wick είναι απαραίτητη

για τη μελέτη της Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων με συναρτησιακό ολοκλήρωμα.

Η μετάβαση από τονMinkowski στον ευκλείδειο χώρο, μέσω της στροφήςWick,

επιφέρει τις εξής γενικές αλλαγές:

x0 = x0 → −ixE4 (2.39a)

xi = −xi → xEi (για i = 1,2,3) (2.39b)

∂0 = ∂0 → i∂E4 (2.39c)

∂i = −∂i → −∂Ei (για i = 1,2,3) (2.39d)∫d4x→ −i

∫d4xE (2.39e)

p0 = i∂0 → ipE4 = −∂E4 (2.39f)

pi = i∂i → −pEi = −i∂Ei (για i = 1,2,3) (2.39g)∫d4p→ −i

∫d4pE (2.39h)

Τώρα, για να επιτευχθεί η μετατροπή του μιγαδικού εκθετικού eiS σε φθίνον


εκθετικό e−SEκαι να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε τα τεχνάσματα της

Στατιστικής Μηχανικής, οι ευκλείδειες δράσεις των πεδίων ορίζονται έτσι ώστε να

ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:

iS = −SE (2.40)

Λαμβάνοντας υπόψη τους μετασχηματισμούς (2.39) καθώς και τη σχέση (2.40),

ορίζουμε τις ευκλείδειες δράσεις των πεδίων. Κατ' αρχάς, ξεκινάμε από την

παραγωγή της έκφρασης για την ευκλείδεια δράση του πεδίου Klein - Gordon. Θα

χρειαστούμε, όμως, πρώτα και τους εξής μετασχηματισμούς:

φ(x) ≡ φ(xµ)

(για μ= 0,1,2,3)→

φE(x) ≡ φ(xEµ )

(για μ= 1,2,3,4)(2.41a)

� =3∑

µ=0

∂µ∂µ → −�E = −4∑

µ=1

∂Eµ ∂Eµ (2.41b)

Συνεπώς, η ευκλείδεια δράση Klein - Gordon παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SEK−G(φE) = −iSK−G(φ) =1

2

∫d4xEφE(x)(−�E +m2)φE(x) (2.42)

Ακολούθως, για τον ορισμό της ευκλείδειας δράσης Dirac θα χρειαστούμε επιπλέον

τους εξής μετασχηματισμούς:

{γµ, γν} = 2gµν1

(για μ, ν= 0,1,2,3)→{γEµ , γEν } = 2δµν1

(για μ, ν= 1,2,3,4)(2.43a)

όπου gµν : η μετρική Minkowski ενώ δµν : η μετρική Ευκλείδη. Για να ισχύει η πιο

πάνω σχέση, εκτελούμε τις ακόλουθες αλλαγές στους πίνακες Dirac.

γ0 → γE4 (2.43b)

γi → iγEi (για i= 1,2,3) (2.43c)

Αντίστοιχα, το πεδίο Dirac μετασχηματίζεται ως:

ψ(x) ≡ ψ(xµ)

(για μ=0,1,2,3)→

ψE(x) ≡ ψ(xEµ )

(για μ=1,2,3,4)(2.43d)


και το συζυγές πεδίο ως:

ψ(x) ≡ ψ(xµ) = ψ†(xµ)γ0 → ψE(x) ≡ ψ(xEµ ) = ψ†(xEµ )γE4 (2.43e)

Επομένως, η ευκλείδεια δράση του φερμιονικού πεδίου παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SEF (ψE, ψE) = −iSF (ψ, ψ) =

∫d4xEψE(x)(γEµ ∂

Eµ +m)ψE(x) (2.44)

Στη συνέχεια, για τον ορισμό της ευκλείδειας φωτονικής δράσης χρειαζόμαστε τους

εξής ακόμη μετασχηματισμούς:

A0(x) = A0(x)→ iAE4 (x) (2.45a)

Ai(x) = −Ai(x)→ −AEi (x) (για i=1,2,3) (2.45b)

οι οποίοι μπορούν να γίνουν εύκολα αντιληπτοί στην απλή περίπτωση που το πεδίο

ισούται με Aµ(x) = ∂µΛ(x), το οποίο αποτελεί τη διάταξη που αντιστοιχεί στους

μετασχηματισμούς βαθμίδος του Aµ(x) = 0. Επιπρόσθετα, ισχύει:

FµνFµν

(για μ, ν=0,1,2,3)→

FEµνF

Eµν

(για μ, ν=1,2,3,4)(2.45c)

όπου FEµν = ∂Eµ A

Eν − ∂Eν AEµ . ΄Αρα η φωτονική ευκλείδεια δράση παίρνει την πιο κάτω

μορφή:

SEPH(AE) = −iSph(A) =1

4

∫d4xEFE

µνFEµν (2.46)

Επίσης, η ευκλείδεια δράση της QED, σύμφωνα με το μετασχηματισμό της

συναλλοίωτης παραγώγου:

D0 → iDE4 (2.47a)

Di → DEi (για i=1,2,3) (2.47b)

ορίζεται ως:

SEQED(AE, ψE, ψE) = −iSQED(A,ψ, ψ)

=1

4

∫d4xEFE

µνFEµν +

∫d4xEψE(x)(γEµD

Eµ +m)ψE(x)

(2.48)


Κατ' αντιστοιχία με τη φωτονική ευκλείδεια δράση, ορίζεται και η γκλουονική

ευκλείδεια δράση κάτω από τους εξής μετασχηματισμούς:

A0a(x) = A0a(x)→ iAa4

E(x) (2.49a)

Aia(x) = −Aia(x)→ −Aai

E(x) (για i=1,2,3) (2.49b)

FµνaF µνa

(για μ, ν=0,1,2,3)→

FµνaEFµν

aE

(για μ, ν=1,2,3,4)(2.49c)

όπου FµνaE = ∂Eµ A

aνE − ∂Eν A

aµE − gfabcA

bµEAcν

E. ΄Αρα η γκλουονική ευκλείδεια

δράση παίρνει την πιο κάτω μορφή:

SEG(AE) = −iSG(A) =1

4

∫d4xEFµν

aEFµνaE (2.50)

Επίσης, η ευκλείδεια δράση της QCD, σύμφωνα με το μετασχηματισμό της

συναλλοίωτης παραγώγου, που είναι ο ίδιος με αυτόν του φωτονικού πεδίου της

σχέσης (2.47), ορίζεται ως:

SEQCD(AE, ψE, ψE) = −iSQCD(A,ψ, ψ)

=1

4

8∑a=1

∫d4xEFµν

aEFµνaE+

6∑f=1

3∑a,b=1

4∑α,β=1

∫d4xE (ψaf )

Eα [(γEµ )αβ(DE

µ )ab +mf δαβ δab] (ψbf )

Eβ

(2.51)

Ακόμη, η ευκλείδεια �Gauge Fixing� δράση, με τις παραπάνω αντικαταστάσεις

γράφεται ως:

SEGF (AE) = −iSGF (A) =1

2α

∫d4xE

(∂Eµ A

Eµ (x)

)2(2.52)

για την περίπτωση του φωτονικού πεδίου, ενώ αντίστοιχα για το γκλουονικό πεδίο:

SEGF (AE) = −iSGF (A) =1

2α

∫d4xE

(∂Eµ A

aµE(x)

)2(2.53)


Τέλος, η ευκλείδεια δράση �Faddeev - Popov�, για την οποία ισχύει ο πιο κάτω

μετασχηματισμός του πεδίου - φαντάσματος:

c(x) ≡ c(xµ)

(για μ= 0,1,2,3)→

cE(x) ≡ c(xEµ )

(για μ= 1,2,3,4)(2.54a)

c(x) ≡ c(xµ)

(για μ= 0,1,2,3)→

cE(x) ≡ c(xEµ )

(για μ= 1,2,3,4)(2.54b)

παίρνει την εξής μορφή:

SEFP (AE, cE, cE) = −iSFP (A, c, c)

=

∫d4xE

[caE(x)

(δ(∂Eµ A

aµ

Λ(x)

δΛa(x)

)caE(x)

]=

∫d4xE

[caE(x)

(−[∂Eµ ∂

Eµ δ

ac + gfabc(∂Eµ A

bµ

E(x) + Abµ

E(x)∂Eµ

)])ccE(x)

](2.55)

Αφού ορίσαμε τις ευκλείδειες δράσεις, σειρά έχουν οι ευκλείδειοι διαδότες δύο

σημείων. Με χρήση του μετασχηματισμού:

p2 = pµpµ → −pE2

= −pEµ pEµ (2.56)

ο ευκλείδειος διαδότης Klein - Gordon παίρνει την κάτωθι μορφή:

DK−GE(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2 +m2eip

E(xE1 −xE2 ) (2.57)

όπου ο όρος iε δεν χρειάζεται πλεόν καθώς δεν εμφανίζεται πόλος στον παρονομαστή.

Αυτό ισχύει για όλες τις ευκλείδειες δράσεις. Αντίστοιχα, ο ευκλείδειος φερμιονικός,

φωτονικός και γκλουονικός διαδότης παίρνουν την πιο κάτω μορφή:

DFαβ

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

(−iγEµ pEµ +m)αβ

pE2 +m2eip

E(xE1 −xE2 ) (2.58)

DPHµν

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

1

pE2

(δµν − (1− α)

pEµ pEν

pE2

)eip

E(xE1 −xE2 ) (2.59)

DGµν

E(x1 − x2) =

∫d4pE

(2π)4

δab

pE2

(δµν − (1− α)

pEµ pEν

pE2

)eip

E(xE1 −xE2 ) (2.60)

Κεφάλαιο 3

Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο

πλέγμα

3.1 Η αναγκαιότητα της χρήσης

χωροχρονικού πλέγματος στην Θεωρία

Κβαντικών Πεδίων και η διαδικασία

υπολογισμού συναρτήσεων Green σ' αυτό

Η χρήση του συναρτησιακού ολοκληρώματος στην Θεωρία Κβαντικών Πεδίων,

όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, αποτελεί μια καλή και εύκολη μέθοδο για

τον υπολογισμό διαδοτών και συναρτήσεων Green των πεδίων. ΄Ομως, ένα

συναρτησιακό ολοκλήρωμα έχει μια καλά ορισμένη έννοια μόνο για πεπερασμένο

αριθμό μεταβλητών ολοκλήρωσης. Αντίθετα, οι συναρτησιακές εκφράσεις της

Θεωρίας Κβαντικών Πεδίων περιέχουν άπειρους βαθμούς ελευθερίας που σημαίνει

ότι τα συναρτησιακά ολοκληρώματα θα περιέχουν άπειρες μεταβλητές ολοκλήρωσης

και ενδέχεται να αποκλίνουν. Για να αποκτήσουν, λοιπόν, τα συναρτησιακά

ολοκληρώματα καλά ορισμένη έννοια χρειάζεται η εισαγωγή μιας διαδικασίας

�ομαλοποίησης�. Στη διαδικασία αυτή ενέχεται μια βοηθητική ποσότητα

(ομαλοποιητής), και το συναρτησιακό ολοκλήρωμα αποκτά πεπερασμένες τιμές

ενόσω ο ομαλοποιητής δεν παίρνει την οριακή του τιμή, δηλαδή την τιμή εκείνη που

αντιστοιχεί σε φυσικά αποτελέσματα. Μια μέθοδος ομαλοποίησης είναι η

διακριτοποίηση του χωροχρόνου, δηλαδή η εισαγωγή χωροχρονικού πλέγματος

69

Κεφάλαιο 3. Θεωρία Κβαντικών Πεδίων στο πλέγμα 70

σταθεράς a όπου a: ο ομαλοποιητής. Η μέθοδος αυτή είναι και η προτιμητέα,

καθώς δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους πέρα από τη θεωρία

διαταραχών (π.χ. αριθμητική ολοκλήρωση) για τον υπολογισμό συναρτησιακών

ολοκληρωμάτων.

Η διαδικασία υπολογισμού συναρτήσεων Green στο χωροχρονικό πλέγμα

χωρίζεται σε δύο στάδια. Πρώτο στάδιο, είναι η ομαλοποίηση (regularization) όπου

εισάγουμε το χωροχρονικό πλέγμα σταθεράς a στη συνάρτηση Green μέσω της

αντικατάστασης xµ → nµa όπου nµ ∈ Z. Αυτό θεραπεύει τους υπεριώδεις

απειρισμούς. Τα συναρτησιακά ολοκληρώματα, τότε, αποκτούν διακριτό αριθμό

μεταβλητών ολοκλήρωσης, που όμως το αποτέλεσμά τους θα έχει ισχυρή εξάρτηση

από τον ομαλοποιητή a. Δεύτερο στάδιο είναι η μετατροπή της πλεγματικής δομής

πίσω στον συνεχή χωροχρόνο. Δηλαδή, παίρνουμε το όριο a → 0, εξαφανίζοντας

έτσι τον ομαλοποιητή από τις συναρτήσεις Green. ΄Ομως παρατηρείται και πάλι ότι

τα συναρτησιακά ολοκληρώματα απειρίζονται. Για να αποκτήσουν πεπερασμένη τιμή

οι συναρτήσεις Green στο όριο του συνεχούς, χρειάζεται να ακολουθήσουμε τη

μέθοδο της επανακανονικοποίησης, την οποία αναφέραμε στο υποκεφάλαιο 1.5.

Αυτό έχει ως συνέπεια, οι απογυμνωμένες παράμετροι της θεωρίας, όπως η

σταθερά σύζευξης και οι μάζες των σωματιδίων, αλλά και τα ίδια τα πεδία να

γίνονται εξαρτημένα από τον ομαλοποιητή a.

Ο υπολογισμός συναρτήσεων Green στο πλέγμα, γίνεται συνήθως στο χώρο

των όρμων διότι εκεί ο υπολογισμός είναι λιγότερο πολύπλοκος. Η μετάβαση στο

χώρο των ορμών πετυχαίνεται μέσω μετασχηματισμών Fourier και τη χρήση του

αντιστρόφου πλέγματος. Οι συναρτήσεις Green, τότε, μετατρέπονται σε

ολοκληρώματα ορμών με περιορισμένο διάστημα ολοκλήρωσης, τα όρια του οποίου

είναι της τάξης του αντιστρόφου της σταθεράς πλέγματος a−1 . Συγκεκριμένα, μια

συνάρτηση f(x) που είναι ορισμένη σε τετραδιάστατο πλέγμα, δηλαδή με x = na

όπου n ∈ Z, έχει τον εξής μετασχηματισμό Fourier:

f(na) =

∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4fa(p)e

ipna (3.1)

όπου τα όρια του p είναι [−π/a, π/a] (είναι συνεχής ο χώρος των ορμών) δηλαδή η

πρώτη ζώνη Brillouin του αντίστροφου πλέγματος, καθώς λόγω περιοδικότητας

fa(p) = fa(p + 2π/a) δε χρειάζεται να οριστεί σε όλο τον χώρο του αντιστρόφου

πλέγματος. Αντίστοιχα, μια συνάρτηση fa(p) ορισμένη στο τετραδιάστατο


αντίστροφο πλέγμα έχει τον εξής μετασχηματισμό Fourier:

fa(p) = a4

+∞∑n=−∞

f(na)e−ipna (3.2)

λόγω του ότι ο χώρος των θέσεων είναι διακριτός. Κατά τον υπολογισμό

συναρτήσεων Green στο πλέγμα συναντούμε συχνά τη συνάρτηση δέλτα του

Kronecker. Η συνάρτηση αυτή, κατά τη μετάβαση στο χώρο των ορμών,


δnm =

∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4a4eip(n−m)a (3.3)

όπου θέσαμε f(na) = δnm και fa(p) = a4e−ipma στις (3.1) - (3.2) εξαιτίας της σχέσης∑+∞n=−∞ δnme

−ipna = e−ipma. Επίσης, θέτοντας fa(p) = δ(4)P (p) (όπου ο δείκτης P

προέρχεται από τη λέξη �Periodic� - περιοδική) και f(na) = 1/(2π)4στις (3.1) -

(3.2) προκύπτει ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης δέλτα ορισμένης στο

χώρο των ορμών και στην πρώτη ζώνη Brillouin:

δ(4)P (p) = a4

+∞∑n=−∞

1

(2π)4e−ipna (3.4)

Η συνάρτηση αυτή έχει μη μηδενική τιμή στις τιμές της ορμής p = 2π`/a, όπου

` ∈ Z γι' αυτό και ονομάζεται περιοδική συνάρτηση δέλτα. Η πιο πάνω σχέση είναιχρήσιμη κατά τον υπολογισμό των συναρτήσεων Green στο χώρο των ορμών.

3.2 Το ελεύθερο βαθμωτό πεδίο Klein - Gordon

στο πλέγμα

Η συνάρτηση Green του πεδίου Klein - Gordon για Ν χωροχρονικά σημεία,

όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, γράφεται σε συναρτησιακή μορφή στον

ευκλείδιο συνεχή χώρο ως:

DK−GE(x1, · · · , xN) = < φE(x1) · · ·φE(xN) > =

∫DφE[φE(x1) · · ·φE(xN)]e−S

EK−G(φE)∫

DφEe−SEK−G(φE)


όπου SEK−G(φE) δίνεται από τη σχέση (2.42). Για να μετατρέψουμε το συνεχή

χωροχρόνο σε χωροχρονικό πλέγμα σταθεράς a, πρέπει να εκτελέσουμε τις πιο

κάτω αντικαταστάσεις:

xEµ → nµa, (µ = 1, 2, 3, 4) (3.5a)

φE(x)→ φ(na), (x ≡ xEµ , n ≡ nµ) (3.5b)∫d4xE → a4

∑n

(3.5c)

�EφE(x)→ ∂µ∂µφ(na) =1

a2

4∑µ=1

[φ(na+ µa) + φ(na− µa)− 2φ(na)] (3.5d)

όπου µ είναι μοναδιαίο διάνυσμα στην μ-διεύθυνση.

DφE →∏n

dφ(na) (3.5e)

Τότε η συνάρτηση Green μετατρέπεται σε:

< φ(n1a) · · ·φ(nNa) > =

∫ ∏` dφ(`a)[φ(n1a) · · ·φ(nNa)]e−S

LK−G(φ)∫ ∏

` dφ(`a)e−SLK−G(φ)

(3.6a)

όπου

SLK−G(φ) = −1

2a2∑n,µ

[φ(na)

(φ(na+ µa) + φ(na− µa)

)]+

1

2a2(8 +m2a2)

∑n

[φ(na)φ(na)

] (3.6b)

Εδώ σημειώνουμε ότι η πλεγματική μορφή της δράσης (3.6b) δεν είναι μοναδική.

Απλά επιλέξαμε την πιο απλή. Η μόνη απαίτηση που πρέπει να έχει κάθε δράση

στο πλέγμα είναι να μετατρέπεται στην σωστή συνεχή έκφρασή της, στο όριο του

συνεχούς a→ 0.

Στη συνέχεια, μετατρέπουμε τις μεταβλητές και παραμέτρους του συναρτησιακού

ολοκληρώματος σε αδιάστατες, απορροφώντας έτσι τον ομαλοποιητή a μέσα σ'αυτές.

Η παράμετρος μάζαςm έχει διαστάσεις αντιστρόφου μήκους σε μονάδες [~] = [c] = 1,

ενώ προκειμένου η ευκλείδια δράση Klein - Gordon να είναι αδιάστατη, το πεδίο φ

έχει και αυτό διαστάσεις αντιστρόφου μήκους. ΄Ετσι ορίζουμε τις νέες αδιάστατες


ποσότητες φn και m ως:

φn ≡ a φ(na) (3.7a)

m ≡ a m (3.7b)

Η συνάρτηση Green παίρνει την εξής μορφή:

D(n1, · · · , nN ; m) = < φn1 · · · φnN > =

∫ ∏` dφ` [φn1 · · · φnN ] e−S

LK−G(φ)∫ ∏

` dφ` e−SLK−G(φ)

(3.8a)

όπου

SLK−G(φ) =1

2

∑n,m

φnKnmφm (3.8b)

με

Knm = −∑µ>0

[δm,n+µ + δm,n−µ − 2δmn] + m2δmn (3.8c)

΄Ετσι, η συνάρτηση Green έγινε ανεξάρτητη του a κι επομένως μπορεί να επιλυθεί για

οποιαδήποτε τιμή του a. Συγκεκριμένα, πήρε μορφή μέσης τιμής ενός πραγματικού

πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος, της οποίας το αποτέλεσμα είναι γνωστό (βλ.

Παράρτημα Α1). Ο τελικός υπολογισμός της συνάρτησης Green θα επιτευχθεί αφού

επαναφέρουμε σ' αυτήν τις πραγματικές μεταβλητές και παραμέτρους, και άρα τον

ομαλοποιητή a, και πάρουμε το όριο του συνεχούς a→ 0. ΄Αρα,

DK−GE(x1, · · · , xN) = lima→0

1

aND(

xE1a, · · · , x

EN

a; am) (3.9)

Στην πραγματικότητα, ο υπολογισμός της συνάρτησης Green στο όριο του

συνεχούς δεν μπορεί να γίνει αναλυτικά. ΄Ομως, μπορεί να γίνει αριθμητικά.

Χρησιμοποιώντας αριθμητική ολοκλήρωση στη σχέση (3.6) και μικραίνοντας

συνεχώς τη σταθερά πλέγματος a, το όριο του συνεχούς θεωρείται η τιμή του a

στην οποία η συνάρτηση Green παύει να αλλάζει με περαιτέρω μείωση του a.

Ας δούμε το διαδότη δύο σημείων DK−GE(x1 − x2) =< φE(x1)φE(x2) >. Στο

πλέγμα, αλλά και με αδιάστατες μεταβλητές και παράμετρους, παίρνει τη μορφή:

D(n,m; m) =< φnφm >= K−1nm (3.10)


Το πιο πάνω στοιχείο του αντιστρόφου πίνακα K−1μπορεί να βρεθεί από την

εξίσωση:

∑`

Kn` K−1`m = δnm (3.11)

η οποία μπορεί να επιλυθεί ευκολότερα στο χώρο των ορμών. Χρησιμοποιούμε τον

ορισμό της συνάρτησης δέλτα του Kronecker (3.3) για να μεταβούμε στο χώρο των

ορμών. Για να έχουμε αδιάστατες μεταβλητές, ορίζουμε p ≡ a p διότι η ορμή έχει

διαστάσεις αντιστρόφου μήκους. Επομένως, η συνάρτηση δέλτα του Kronecker

μετατρέπεται στην ίδια σχέση με τις αλλάγές p → p και a → 1. Τότε, η σχέση

(3.8c) παίρνει την πιο κάτω μορφή:

Knm =

∫ π

−π

d4p

(2π)4K(p) eip(n−m) (3.12a)

όπου

K(p) = 44∑

µ=1

sin2 pµ2

+ m2 (3.12b)

Στη συνέχεια κάνουμε το εξής ansatz:

K−1nm =

∫ π

−π

d4p

(2π)4D(p) eip(n−m)

το οποίο αντικαθιστούμε στην εξίσωση (3.11). Επίσης, χρησιμοποιούμε την

έκφραση (3.4) για την περιοδική συνάρτηση δέλτα με τις αλλαγές p→ p και a→ 1,

απαλείφοντας το άθροισμα ως προς `. Τελικά D(p) = K−1(p) κι επομένως:

D(n,m; m) = K−1nm =

∫ π

−π

d4p

(2π)4

eip(n−m)

4∑4

µ=1 sin2 pµ2

+ m2(3.13)

΄Ετσι, ο διαδότης δύο σημείων στο συνεχές θα είναι:

DK−GE(x1 − x2) = lima→0

1

a2D(

xE1a,xE2a

; am) (3.14a)

όπου

D(xE1a,xE2a

; am) = a2

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4D(pE)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.14b)


με

D(pE) =1

p2 +m2(3.14c)

και

p2 =4∑

µ=1

p2µ, pµ =

2

asin

(pEµ a

2

)(3.14d)

Στο όριο a → 0, τα όρια του ολοκληρώματος [−π/a, π/a] μετατρέπονται σε

(−∞,+∞), ενώ p2 → pE2εξαιτίας της sin

(pEµ a

2

)a→0−−→

pEµ a

2. Εν τέλει στο όριο

του συνεχούς, ο διαδότης μετατρέπεται στη γνωστή ευκλείδια συνάρτηση (2.57)

που βρήκαμε στο υποκεφάλαιο 2.3.

Η περίπτωση του πεδίου Klein - Gordon στο πλέγμα είναι η πιο απλή για δύο

λόγους: Πρώτο, η πλεγματική της δράση που κατασκευάσαμε είναι η αναμενόμενη

δράση κατά τη μετάβαση σε διακριτές μεταβλητές, χωρίς να χρειάζεται προσθήκη

όρων, οι οποίοι στο όριο του συνεχούς μηδενίζονται. Δεύτερο, πρόκειται για μια

ελεύθερη θεωρία, χωρίς όρους αλληλεπίδρασης κι επομένως η μάζα m που

χρησιμοποιείται στη δράση είναι και η φυσική μάζα του συστήματος. Συνεπώς, η

μάζα μπορεί να πάρει συγκεκριμένη τιμή, η οποία παραμένει σταθερή κατά τη

μετάβαση a → 0, ενώ αντίστοιχα, η αδιάστατη παράμετρος μάζας m παίρνει

μεταβλητές τιμές, και άρα στο όριο του συνεχούς ρυθμίζεται (για κάποια μικρή τιμή

του a) έτσι ώστε να δίνει τη σωστή τιμή της m. Οι υπόλοιπες θεωρίες δεν πληρούν

τα πιο πάνω (είτε και τα δύο είτε ένα εκ των δύο) κι επομένως είναι περισσότερο

περίπλοκες.

3.3 Το φερμιονικό πεδίο Dirac στο πλέγμα

3.3.1 Naive (�αφελή�) φερμιόνια και το πρόβλημα του

διπλασιασμού

Η διαδικασία που ακολουθείται για την εύρεση του φερμιονικού διαδότη στο

πλέγμα είναι η ίδια με αυτήν του πεδίου Klein - Gordon. Μόνο που σε αυτήν την

περίπτωση δημιουργείται ένα πρόβλημα, το λεγόμενο πρόβλημα διπλασιασμού, το


οποίο μας εξαναγκάζει να παρεκκλίνουμε λίγο από τον απλό φορμαλισμό του πεδίου

Klein - Gordon στο πλέγμα. Ας ξεκινήσουμε εντοπίζοντας τις δυσκολίες που

συναντούμε κατά τη διακριτοποίηση της φερμιονικής συνάρτησης Green. Η

συνάρτηση Green του πεδίου Dirac για Ν χωροχρονικά σημέια, όπως είδαμε στο

προηγούμενο κεφάλαιο, γράφεται σε συναρτησιακή μορφή στον ευκλείδιο συνεχή

χώρο ως:

[DF (x1, · · · , x`; y1, · · · , y`)

]Eα1···α`;β1···β`

= < ψEα1(x1) · · ·ψEα`(x`)ψ

Eβ1

(y1) · · · ψEβ`(y`) >

=

∫DψEDψE

[ψEα1

(x1) · · ·ψEα`(x`)ψEβ1

(y1) · · · ψEβ`(y`)]e−S

EF (ψE ,ψE)∫

DψEDψE e−SEF (ψE ,ψE)

όπου SEF (ψE, ψE) δίνεται από τη σχέση (2.44). Για να μετατρέψουμε το συνεχή

χωροχρόνο σε χωροχρονικό πλέγμα σταθεράς a, πρέπει να εκτελέσουμε τις πιο κάτω

αντικαταστάσεις:

xEµ → nµa, yEµ → mµa, (µ = 1, 2, 3, 4) (3.15a)

ψEα (x)→ ψα(na), (x ≡ xEµ , n ≡ nµ) (3.15b)

ψEβ (y)→ ψβ(ma), (y ≡ yEµ ,m ≡ mµ) (3.15c)∫d4xE → a4

∑n

(3.15d)

∂Eµ ψEα (x)→ ∂µψα(na) =

1

2a[ψα(na+ µa)− ψα(na− µa)] (3.15e)

όπου µ είναι μοναδιαίο διάνυσμα στην μ-διεύθυνση.

DψE DψE →∏n,α

dψα(na)∏m,β

dψβ(ma) (3.15f)

Τότε η συνάρτηση Green μετατρέπεται σε:

< ψα1(n1a) · · ·ψα`(nà)ψβ1(m1a) · · · ψβ`(mà) >=∫ ∏n,α dψα(na)

∏m,β dψβ(ma)[ψα1(n1a) · · ·ψα`(nà)ψβ1(m1a) · · · ψβ`(mà)]e−S

LF (ψE ,ψE)∫ ∏

n,α dψα(na)∏

m,β dψβ(ma)e−SLF (ψE ,ψE)

(3.16a)


όπου

SLF (ψ, ψ) = a4∑n,µα,β

ψα(na)(γEµ)αβ

1

2a

[ψβ(na+ µa)− ψβ(na− µa)

]+ a4 m

∑n,α

[ψα(na)ψα(na)

] (3.16b)

Στη συνέχεια, μετατρέπουμε τις μεταβλητές και παραμέτρους του συναρτησιακού

ολοκληρώματος σε αδιάστατες, απορροφώντας έτσι τον ομαλοποιητή a μέσα σ'αυτές.

Η παράμετρος μάζαςm έχει διαστάσεις αντιστρόφου μήκους σε μονάδες [~] = [c] = 1,

ενώ προκειμένου η ευκλείδια δράση Dirac να είναι αδιάστατη, τα πεδία ψ και ψ έχουν

διαστάσεις μήκους−3/2. ΄Ετσι ορίζω τις νέες αδιάστατες ποσότητες ψα(n), ˜ψα(n) και

m ως:

ψα(n) ≡ a3/2 ψα(na) (3.17a)

˜ψα(n) ≡ a3/2 ψα(na) (3.17b)

m ≡ a m (3.17c)

Η συνάρτηση Green παίρνει την εξής μορφή:

[D(n1, · · · , n`,m1, · · · ,m`; m)

]α1···α`;β1···β`

= < ψα1(n1) · · · ψα`(n`) ˜ψβ1(m1) · · · ˜ψβ`(m`) >

=

∫ ∏n,α d

˜ψα(n)∏

n,β dψβ(m)[ψα1(n1) · · · ψα`(n`) ˜ψβ1(m1) · · · ˜ψβ`(m`)]e−SLF (ψ, ˜ψ)∫ ∏

n,α d˜ψα(n)

∏n,β dψβ(m)e−S

LF (ψ, ˜ψ)

(3.18a)

όπου

SLF (ψ, ˜ψ) =∑n,mα,β

˜ψα(n)Kαβ(n,m)ψβ(m) (3.18b)

με

Kαβ(n,m) =∑µ

[1

2

(γEµ)αβ

(δm,n+µ − δm,n−µ)

]+ m δmn δαβ (3.18c)

Η πιο πάνω έκφραση είναι της ίδιας μορφής με τη μέση τιμή ενός μιγαδικού

πολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος, της οποίας το

αποτέλεσμα είναι γνωστό (βλ. Παράρτημα Α2). Ο τελικός υπολογισμός της


συνάρτησης Green θα επιτευχθεί αφού επαναφέρουμε σ' αυτήν τις πραγματικές

μεταβλητές και παραμέτρους, και άρα τον ομαλοποιητή a, και πάρουμε το όριο του

συνεχούς a→ 0. ΄Αρα,

[DF (x1, · · · , x`; y1, · · · , y`)

]Eα1···α`;β1···β`

=

lima→0

1

a3`

[D(

xE1a, · · · , x

E`

a,yE1a, · · · , y

E`

a; am)

]α1···α`;β1···β`

(3.19)

Ας δούμε το διαδότη δύο σημείων DFαβ

E(x1 − x2) =< ψEα (x1)ψEβ (x2) >. Στο

πλέγμα, αλλά και με αδιάστατες μεταβλητές και παράμετρους, παίρνει τη μορφή:

Dαβ(n,m; m) =< ψα(n) ˜ψβ(m) >= K−1αβ (n,m) (3.20)

Το πιο πάνω στοιχείο του αντιστρόφου πίνακα K−1μπορεί να βρεθεί από την

εξίσωση:

∑λ,`

K−1αλ (n, `) Kλβ(`,m) = δαβδnm (3.21)

η οποία μπορεί να επιλυθεί ευκολότερα στο χώρο των ορμών. Χρησιμοποιώντας την

ίδια διαδικασία με το προηγούμενο υποκεφάλαιο, η λύση της εξίσωσης που προκύπτει

είναι:

Dαβ(n,m; m) = K−1αβ (n,m) =

∫ π

−π

d4p

(2π)4

(−i)∑4

µ=1

[(γEµ)αβ

sin(pµ)]∑4

µ=1 sin2 pµ + m2eip(n−m)

(3.22)

΄Ετσι, ο διαδότης δύο σημείων στο συνεχές θα είναι:

DFαβ

E(x1 − x2) = lim

a→0

1

a3Dαβ(

xE1a,xE2a

; am) (3.23a)

όπου

Dαβ(xE1a,xE2a

; am) = a3

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dαβ(pE)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.23b)

με

Dαβ(pE) =(−i)

∑4µ=1

[(γEµ)αβpµ]

+mδαβ

p2 +m2(3.23c)


και

p2 =4∑

µ=1

p2µ, pµ =

1

asin(pEµ a) (3.23d)


(−∞,+∞), ενώ η ποσότητα pµ δεν μπορεί να αντικατασταθεί με την pEµ , όπως

γίνεται στην περίπτωση του πεδίου Klein - Gordon, διότι εδώ το όρισμα του

ημιτόνου στην (3.23d) είναι το διπλάσιο της (3.14d), κι αυτό κάνει μεγάλη διαφορά.

΄Οταν a → 0, η συνάρτηση pµ μπορεί να προσεγγίζει την pEµ μόνο για τιμές της p

Eµ

κοντά στο 0. ΄Ομως, η συνάρτηση pµ, στο όριο αυτό, παίρνει πεπερασμένη τιμή, όχι

μόνο για pEµ → 0, αλλά και στα σημεία που ορίζουν τα όρια της πρώτης ζώνης

Brillouin (δηλαδή pEµ → ±π/a). Συνεπώς, ο διαδότης Dirac δύο σημείων στο

πλέγμα, στο όριο του συνεχούς, δέχεται συνεισφορές από συνολικά δεκαέξι σημεία

του αντιστρόφου πλέγματος, εκ των οποίων μόνο ένα σημείο, αυτό που βρίσκεται

στο κέντρο της ζώνης Brillouin, ανταποκρίνεται στον σωστό συνεχή διαδότη και

άρα είναι το μόνο που έχει συνεχές ανάλογο. Τότε λέμε ότι ο διαδότης που

φτιάξαμε αναφέρεται σε δεκαέξι φερμιόνια κι όχι σε ένα, όπως θα έπρεπε. Το

πρόβλημα αυτό ονομάζεται πρόβλημα διπλασιασμού γιατί για κάθε επιπλέον

διάσταση του χωροχρονικού πλέγματος διπλασιάζει τον αριθμό των φερμιονίων που

συνεισφέρουν στο διαδότη. Επομένως, ο διαδότης Dirac στο πλέγμα, που ορίσαμε

πιο πάνω, χρήζει βελτίωσης ώστε να αποφεύγεται το πρόβλημα που αναφέραμε.

Αρκετές προτάσεις έχουν γίνει στη βιβλιογραφία για την αντιμετώπιση του

προβλήματος του διπλασιασμού, με τις διασημότερες να είναι τα φερμιόνια Wilson

και φερμιόνια Staggered, τα οποία θα μελετήσουμε στα επόμενα υποκεφάλαια.

3.3.2 Φερμιόνια Wilson

Για να αποφύγουμε το πρόβλημα του διπλασιασμού στο διαδότη των φερμιονίων,

μπορούμε να ορίσουμε μια διαφορετική δράση του πεδίου Dirac στο πλέγμα. Μια

δράση που να δίνει την ίδια συνάρτηση στο συνεχές όριο και να είναι με τέτοιο

τρόπο ορισμένη ώστε η πεπερασμένη τιμή που δίνει η pµ στα άκρα της πρώτης ζώνης

Brillouin να αίρεται από κάποιο μη πεπερασμένο όρο, ο οποίος μηδενίζεται στο κέντρο

της ζώνης Brillouin. Μια διαφορετική δράση Dirac στο πλέγμα μπορεί να είναι η


ακόλουθη:

SLF(W )

(ψ, ψ) = SLF (ψ, ψ)− a3 r

2

∑n,α,µ

[ψα(na)

(ψα(na+ µa) + ψα(na− µa)− 2ψα(na)

)]= −a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)ψβ(na+ µa)

+ ψα(na)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)ψβ(na− µa)

]+ a3(ma+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.24)

όπου r: σταθερά Wilson (r 6= 0). Τα φερμιόνια της νέας αυτής δράσης ονομάζονται

φερμιόνια Wilson. Ο νέος όρος στη δράση, γραμμένος συναρτήσει των συνεχών

μεταβλητών, είναι ανάλογος του a κι επομένως μηδενίζεται στο όριο a → 0, όπως

ακριβώς επιδιώκαμε. Πράγματι,

−a3 r

2

∑n,α,µ

[ψ(na)

(ψα(na+ µa) + ψα(na− µa)− 2ψα(na)

)]→

−a3 r

2

1

a4

∫d4xψ(x)a2�ψ(x) = −ar

2

∫d4xψ(x)�ψ(x)

Η δράση Wilson συναρτήσει αδιάστατων μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως:

SLF(W )

(ψ, ψ) =∑n,mα,β

˜ψα(n)K(W )αβ (n,m)ψβ(m) (3.25a)

όπου

K(W )αβ (n,m) = −1

2

∑µ

[(rδαβ −

(γEµ)αβ

)δm,n+µ +

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)δm,n−µ

]+ (m+ 4r) δmn δαβ

(3.25b)

Η πιο πάνω δράση οδηγεί στην εξής μορφή του διαδότη δύο σημείων στο συνεχές

(ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με το προηγούμενο υποκεφάλαιο):

DFαβ

E(x1 − x2) = lim

a→0

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dαβ(pE)eip

E(xE1 −xE2 ) (3.26a)


όπου

Dαβ(pE) =(−i)

∑4µ=1

[(γEµ)αβpµ]

+m(W )(pE)δαβ

p2 +m(W )(pE)2 (3.26b)

με pµ να δίνεται από την (3.23d) και

m(W )(pE) = m+2r

ap2 (3.26c)

(Η συνάρτηση p2δίνεται από την (3.14d)). Από την (3.26c) παρατηρούμε ότι

m(W )(pE) → m στο όριο a → 0, για όλες τιμές της pEµ εκτός από τις τιμές κοντά

στα άκρα της πρώτης ζώνης Brillouin (pEµ → ±π/a), στις οποίες απειρίζεται. Μετον τρόπο αυτό, αίρεται η συνεισφορά των φερμιονίων από τα άκρα της πρώτης

ζώνης Brillouin κι επομένως ο διαδότης Wilson, στο όριο του συνεχούς, δίδει το

σωστό διαδότη ενός φερμιονίου. Βέβαια, αίροντας το πρόβλημα του διπλασιασμού,

δημιουργήσαμε ένα άλλο πρόβλημα: τη ρήξη της χειραλικής συμμετρίας, ακόμα και

για m = 0. Κάτω από μετασχηματισμούς χειρός ψ → eiθγE5 ψ και ψ → ψeiθγ

E5 , όπου

θ μια παράμετρος και γE5 = γE1 γE2 γ

E3 γ

E4 ο ερμιτιανός πίνακας για τον οποίο ισχύει η

αντιμεταθετική σχέση {γE5 , γEµ } = 0, η δράση Wilson δε διατηρείται για m = 0.

3.3.3 Φερμιόνια Staggered

Μια άλλη μέθοδος για την αποφυγή του προβλήματος του διπλασιασμού είναι η

χρήση φερμιονίων staggered, τα οποία μάλιστα διατηρούν τη χειραλική συμμετρία

για m = 0. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην εξάλειψη των ανεπιθύμητων

συνεισφορών των φερμιονίων στα άκρα της πρώτης ζώνης Brillouin (pµ = ±π/a)μέσω της σμίκρυνσης της ζώνης ώστε να μην περιέχει τα σημεία αυτά. Αυτό μπορεί

να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας ως ενεργή σταθερά πλέγματος τη διπλάσια της

κανονικής. Για να είναι υλοποιήσιμο αυτό θα πρέπει να αυξήσουμε τα είδη βαθμών

ελευθερίας, τα οποία δεν θα ορίζονται πλέον σε κάθε σημείο του πλέγματος, αλλά

ανά τακτά σημεία. Η θεώρηση αυτή συνοψίζεται σε δύο απαιτήσεις: Πρώτο πρέπει

να μπορούμε να κατανέμουμε τους βαθμούς ελευθερίας του κάθε φερμιονίου στο

πλέγμα με τέτοιο τρόπο ώστε η ενεργός σταθερά πλέγματος που προκύπτει για

κάθε διαφορετικό είδος βαθμού ελευθερίας να είναι διπλάσια της κανονικής.

Δεύτερο, στο όριο του συνεχούς η δράση πρέπει να παίρνει την επιθυμητή συνεχή

μορφή.


΄Οσον αφορά την πρώτη απαίτηση, χρειάζεται να υπολογίσουμε τον αριθμό των

διαφορετικών ειδών βαθμών ελευθερίας που απαιτούνται για το διπλασιαμό της

σταθεράς πλέγματος. ΄Ενα d- διάστατο χωροχρονικό πλέγμα μπορεί να διαιρεθεί σε

στοιχειώδεις υπερκύβους με μοναδιαίο μήκος. Αν τώρα στην κάθε κορυφή του

στοιχειώδους υπερκύβου κατανείμουμε από ένα διαφορετικό είδος βαθμού

ελευθερίας και επαναλάβουμε τη δομή αυτή περιοδικά σ' όλο το πλέγμα τότε η

κοντινότερη απόσταση δύο βαθμών ελευθερίας όμοιου είδους είναι δύο φορές τη

σταθερά του πλέγματος. Ο αριθμός των κορυφών του υπερκύβου είναι 2d κι

επομένως τόσος πρέπει να είναι και ο αριθμός των διαφορετικών ειδών βαθμών

ελευθερίας. Για την περίπτωση του τετραδιάστατου χωροχρονικού πλέγματος,

χρειαζόμαστε 24 = 16 διαφορετικά είδη βαθμών ελευθερίας. Το φερμιονικό πεδίο

Dirac έχει ήδη τέσσερεις συνιστώσες εξ ορισμού. ΄Αρα, χρειαζόμαστε συνολικά

τέσσερα διαφορετικά είδη φερμιονικών πεδίων με τέσσερεις συνιστώσες το καθένα

που δίνουν συνολικά 4× 4 = 16 φερμιονικούς βαθμούς ελευθερίας. Αν τα φερμιόνια

είναι quarks τότε τα τέσσερα διαφορετικά είδη φερμιονικών πεδίων θα μπορούσαν

να είναι quarks με διαφορετικές γεύσεις - �avors. Χρησιμοποιώντας, λοιπόν, το

ανάλογο των γεύσεων - �avors των quarks ορίζουμε τα τέσσερα διαφορετικά είδη

φερμιονίων, προσδίδοντάς τους διαφορετική γεύση - taste. Προσοχή, όμως, να μην

συγχέεται η γεύση- taste με την πραγματική γεύση- �avor των quarks, διότι

αφενός μιλάμε γενικότερα για φερμιόνια κι όχι μόνο για quarks, και αφετέρου οι

γεύσεις - �avors των quarks είναι συνολικά έξι κι όχι τέσσερεις. Επίσης οι μάζες

των quarks με φυσικά �avors διαφέρουν, ενώ όπως θα διαφανεί στην κατάστρωση

των φερμιονίων Staggered, οι μάζες για διαφορετικά tastes θα είναι αναγκαστικά οι

ίδιες. ΄Ετσι, ο κάθε φερμιονικός βαθμός ελευθερίας συμβολίζεται ως ψtα, όπου

t = 1, 2, 3, 4 αντιστοιχεί στη γεύση - taste και α = 1, 2, 3, 4 αντιστοιχεί στη

συνιστώσα Dirac. Εδώ, βέβαια, εισάγοντας τη γεύση - taste, από ένα πραγματικό

είδος φερμιονίου δημιουργήσαμε τέσσερα διαφορετικά και ως εκ τούτου η δράση

που θα κατασκευάσουμε θα είναι δράση τεσσάρων συνολικά ειδών φερμιονίων.

Οπότε τώρα ερχόμαστε στη δεύτερη απαίτηση όπου το όριο του συνεχούς πρέπει

να δίνει τη σωστή συνεχή δράση. ΄Ομως, η συνεχής δράση περιλαμβάνει ένα είδος

μόνο φερμιονίου. ΄Αρα, πρέπει η μετάβαση στο συνεχές όριο να δίνει άθροισμα από

τέσσερεις ελεύθερες φερμιονικές δράσεις, μια για κάθε γεύση - taste, ανεξάρτητες

μεταξύ τους, που η κάθε μια να έχει τη μορφή της ζητούμενης συνεχούς δράσης.


Δηλαδή,

SLF(Stag) →

∫d4x

∑α,β,t

ψtα(x)[(γEµ )αβ∂µ +mδαβ]ψtβ(x) (3.27)

Για να πάρουμε φυσικά αποτελέσματα με συνεισφορά ενός μόνο φερμιονίου πρέπει,

στα συναρτησιακά ολοκληρώματα που υπολογίζουμε να αντικατασταθεί η ορίζουσα

του φερμιονικού πίνακα (βλ. εξ. Α.25,πίνακας Κ) με την τέταρτή της ρίζα. Η

πραγματοποίηση της πιο πάνω διαδικασίας δεν είναι τόσο εύκολη όσο ακούγεται.

Στην πραγματικότητα, οι κορυφές ενός στοιχειώδους υπερκύβου καταλαμβάνονται

από γραμμικούς συνδυασμούς των πεδίων ψtα επιλεγμένους με τέτοιο τρόπο ώστε να

δίνουν το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Ξεκινούμε από την απλή δράση για ένα ελεύθερο φερμιονικό πεδίο στο πλέγμα,

όπως ορίστηκε στη σχέση (3.16b), αλλά με τη μορφή πινάκων:

SLF (ψ, ψ) = a4∑n,µ ˜

ψ(na)γEµ1

2a

[˜ψ(na+ µa)−

˜ψ(na− µa)

]+ a4 m

∑n

[˜ψ(na)

˜ψ(na)

] (3.28)

Σκοπός μας είναι να μειώσουμε τις συνιστώσες του κάθε πεδίου από τέσσερεις σε

μία, ούτως ώστε κάθε σημείο του πλέγματος να περιλαμβάνει ένα βαθμό ελευθερίας.

Σ' αυτό, βέβαια, στέκονται εμπόδιο οι τετραδιάστατοι πίνακες Dirac γEµ . ΄Αρα, πρέπει

μ' ένα έξυπνο τρόπο οι πίνακες Dirac να εξαφανιστούν από την δράση. Ορίζουμε

κάποιους νέους πίνακες 4× 4: γn και εκτελούμε την εξής αλλαγή βάσης:

˜ψ(na) = γnχ(na),

˜ψ(na) = χ(na)γ†n

(3.29)

Για να εξαφανίσουμε όλους τους 4 × 4 πίνακες, απαιτούμε να ισχύουν οι πιο κάτω

σχέσεις:

γ†nγEµ γn±µ = ηµ(n)1, γ†nγn = 1 (3.30)


όπου ηµ(n) σταθερές. Για να ικανοποιείται η πιο πάνω συνθήκη, ο πίνακας γn ορίζεται

ως:

γn = (γE1 )n1(γE2 )n2(γE3 )n3(γE4 )n4 (3.31)

όπου n = (n1, n2, n3, n4), ni ∈ Z και ηµ(na) = (−1)∑ν<µ nν , η1(na) = 1 (3.32)

Συνεπώς, η δράση μπορεί να γραφεί, συναρτήσει των νέων πεδίων χ(na) και χ(na),

ως:

SLF(Stag)

(χ, χ) = a4∑n,µ

χ(na)ηµ(na)1

2a

[χ(na+ µa)− χ(na− µa)

]+ a4 m

∑n

[χ(na)χ(na)

] (3.33)

Τώρα, αφού οι πίνακες Dirac έχουν εξαφανιστεί τότε τα νέα πεδία χ(na) και χ(na)

μπορούν να είναι πίνακες με οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. ΄Ετσι, επιλέγουμε

1 × 1 πετυχαίνοντας το επιθυμητό αποτέλεσμα της κατανομής ενός μόνο βαθμού

ελευθερίας σε κάθε κορυφή του στοιχειώδους υπερκύβου. Επειδή δύο διαδοχικοί

υπερκύβοι απέχουν δύο φορές τη σταθερά πλέγματος, τα επιθυμητά πεδία ψtα μπορούν

να προκύψουν ως γραμμικοί συνδυασμοί των χ(na) που είναι ορισμένοι στις κορυφές

του ίδιου υπερκύβου (βλ. εξ. 3.35). Συνεπώς, κάθε υπερκύβος με τις 16 συνιστώσες

του αναφέρεται σε ένα φερμιονικό πεδίο ψtα, κι έτσι με τον τρόπο αυτό τα φερμιόνια

έχουν οριστεί σε ένα πλέγμα ενεργής σταθεράς πλέγματος 2a.

Ορίζουμε, τώρα, έναν στοιχειώδη υπερκύβο στο τετραδιάστατο χωροχρονικό

πλέγμα που ξεκινά από το σημείο N = (N1, N2, N3, N4), του οποίου οι συνιστώσες

είναι άρτιοι ακέραιοι αριθμοί (Nµ ∈ 2Z). Τότε οι συντεταγμένες των δεκαέξι

κορυφών του υπερκύβου προσδιορίζονται από το τετραδιάνυσμα n = N + C, όπου

C = (C1, C2, C3, C4), Cµ = 0 ή 1. Συνεπώς, το πεδίο χ(na), ορίζεται σε κάθε

σημείο του υπερκύβου ως χ(na) = χ((N + C)a

). ΄Ενας συνήθης συμβολισμός για

το πεδίο χ(na), τον οποίο και θα υιοθετήσουμε στη συνέχεια της εργασίας είναι ο

εξής:

χC(Na) ≡ 1

4χ((N + C)a

)(3.34)

Ομοίως ορίζεται και το συζυγές πεδίο χC(Na). ΄Εχοντας περιορίσει κατά το 1/4

τις συνιστώσες του χ είναι φανερό ότι το φυσικό πεδίο ψ δεν μπορεί πλέον να

προσδιοριστεί μέσω της σχέσης (3.29). Απαιτείται ένας νέος ορισμός του πεδίου


ψ, με τρόπο ώστε η δράση (3.33) να οδηγήσει στο σωστό όριο του συνεχούς. Ο

ορισμός αυτός του ψtα(Na), παίρνοντας κατάλληλους γραμμικούς συνδυασμούς των

χC(Na) είναι:

ψtα(Na) = N0

∑C

(γC)αt χC(Na) (3.35)

όπου N0: σταθερά κανονικοποίησης, η οποία ισούται με 1/2 έτσι ώστε η δράση να

παίρνει την εξής διακριτή μορφή:

SLF(Stag)

= a4∑N,tα,β

ψtα(Na)∑µ

[ 1

2a(γEµ )αβ

(ψtβ(Na+ µa)− ψtβ(Na− µa)

)]+ a4 m

∑N,α,t

ψtα(Na)ψtα(Na) + O(a5)

(3.36)

η οποία στο όριο a→ 0 δίνει την επιθυμητή συνεχή δράση.

Η συναρτήση Green 2` σημείων με τη χρήση φερμιονίων Staggered δίνεται από

την πιο κάτω σχέση:

< ψt1α1(N1a) · · ·ψt`α`(Nà) ψ

t′1β1

(M1a) · · · ψt′`β`

(Mà) > =

(1

2

)2` ∑C1,··· ,C`D1,··· ,D`

[(γC1)α1t1 · · · (γC`)α`t` ]·

< χC1(N1a) · · ·χC`(Nà) χD1(M1a) · · · χD`(Mà) > [(γ∗D1)β1t′1· · · (γ∗D`)β`t′` ]

(3.37a)

όπου

< χC1(N1a) · · ·χC`(Nà)χD1(M1a) · · · χD`(Mà) >=∫DχDχ χC1(N1a) · · ·χC`(Nà)χD1(M1a) · · · χD`(Mà) e−S

LF

(Stag)(χ,χ)∫

DχDχ e−SLF(Stag)

(χ,χ)

(3.37b)

με

DχDχ =∏C,N

dχC(Na)∏D,M

dχD(Ma) (3.37c)

Ας υπολογίσουμε το φερμιονικό διαδότη δύο σημείων στο πλέγμα:

< ψtα(Na)ψt′

β (Ma) >=1

4

∑C,D

(γC)αt < χC(Na)χD(Ma) > (γ∗D)βt′ (3.38)


Η συνάρτηση < χC(Na)χD(Ma) > είναι η ίδια συνάρτηση με την < χ(na)χ(ma) >

/16, γραμμένη με άλλο συμβολισμό. Συνεπώς, μπορεί να υπολογιστεί από την δράση

(3.33), καθώς παίρνει τη μορφή μέσης τιμής πολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με

γκαουσιανό βάρος. Η δράση (3.33), με τη χρήση των μετασχηματισμών Fourier:

χ(na) =

∫ π/a

π/a

d4pE

(2π)4χ(pE)eip

Ena

χ(na) =

∫ π/a

π/a

d4pE

(2π)4χ(pE)e−ip

Ena

αλλά και της περιοδικής συνάρτησης δέλτα (3.4) και του εξής διαφορετικού ορισμού

ηµ(na) = eiπµn, όπου µ =∑µ−1

ν=1 ν, παίρνει την εξής μορφή:

SLF(Stag)

=

∫ π/a

−π/a

d4pE1(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4pE2(2π)4

χ(pE1 )K(pE1 , pE2 )χ(pE2 ) (3.39a)

όπου

K(pE1 , pE2 ) = (2π)4

[i∑µ

1

asin(pE1 µa)δ

(4)P

(pE1 − pE2 +

πµ

a

)+mδ

(4)P (pE1 − pE2 )

](3.39b)

Σύμφωνα με το παράρτημα Α2, ο αντίστροφος πίνακας του K(pE1 , pE2 ) στο χώρο των

θέσεων δίνει τη συνάρτηση < χ(na)χ(ma) >. Επομένως,

< χ(na)χ(ma) >=

∫ π/a

−π/a

d4pE1(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4pE2(2π)4

eipE1 nae−ip

E2 maD(pE1 , p

E2 ) (3.40a)

όπου

D(pE1 , pE2 ) = (2π)4

−i∑

µ p1µδ(4)P (pE1 − pE2 + πµ

a) +mδ

(4)P (pE1 − pE2 )

p21 +m2

(3.40b)

με p21 και p1µ να δίνονται από τη σχέση (3.23d). Επιστρέφοντας πίσω στον

συμβολισμό < χC(Na)χD(Ma) >, η έκφραση παίρνει την μορφή:

< χC(Na)χD(Ma) >=1

16

∫ π/a

−π/a

d4pE1(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4pE2(2π)4

eipE1 (N+C)a e−ip

E2 (M+D)a D(pE1 , p

E2 )

(3.41)


΄Ετσι, ο διαδότης δύο σημείων παίρνει την τελική μορφή:

< ψtα(Na)ψt′

β (Ma) >=1

64

∫ π/a

−π/a

d4pE1(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4pE2(2π)4

eipE1 Na e−ip

E2 Ma D(pE1 , p

E2 )∑

C,D

(γC)αt ei(pE1 Ca) e−ip

E2 Da (γ∗D)βt′

(3.42)

ο οποίος στο όριο του συνεχούς δίνει την γνωστή ευκλείδεια συνάρτηση (2.58) που

βρήκαμε στο υποκεφάλαιο 2.3, πολλαπλασιασμένη με δtt′.

3.4 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική στο πλέγμα

Οι θεωρίες που ορίσαμε μέχρις στιγμής στο πλέγμα ήταν ελεύθερες θεωρίες,

δίχως όρους αλληλεπίδρασης. Στο παρόν αλλά και στο επόμενο υποκεφάλαιο θα

μελετήσουμε τις θεωρίες βαθμίδος, ορισμένες στο πλέγμα. Στις θεωρίες αυτές,

ισχύει η συμμετρία βαθμίδος, την οποία απαιτούμε να ισχύει και στην πλεγματική

μορφή τους. Θα ξεκινήσουμε, λοιπόν, από τον ορισμό της Κβαντικής

Ηλεκτροδυναμικής (QED) στο πλέγμα.

Η ευκλείδεια δράση της QED, όπως ορίσαμε στη σχέση (2.48), χωρίζεται σε

δύο μέρη: την δράση των φωτονίων SEPH(A) και την δράση των ηλεκτρονίων

SEEL(A,ψ, ψ). Η δράση των ηλεκτρονίων θα μοιάζει με αυτή των ελεύθερων

φερμιονίων στο πλέγμα, εισάγοντας όμως τον κατάλληλο όρο αλληλεπίδρασης,

όπως άλλωστε γίνεται και στη συνεχή μορφή της δράσης. Επομένως, θα

ακολουθήσουμε τη διαδικασία που χρησιμοποιήσαμε στο υποκεφάλαιο 1.3.3 για την

εξαγωγή της δράσης των ηλεκτρονίων στο συνεχές προσαρτησμένη στο πλέγμα.

Ξεκινούμε, λοιπόν, με τη δράση Wilson των ελεύθερων φερμιονίων (3.24), διότι ο

τρόπος που ορίζεται είναι πιο κοντά στη συνεχή μορφή της δράσης, παρά η δράση

Staggered. Αργότερα, βέβαια, θα ορίσουμε και την αντίστοιχη δράση της QED στο

πλέγμα με τη χρήση φερμιονίων Staggered. Πρώτα εκτελούμε μια μετατόπιση στις

μεταβλητές του αθροίσματος της (3.24), έτσι ώστε η φερμιονική δράση Wilson να


πάρει τη μορφή:

SLF(W )

(ψ, ψ) = −a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)ψβ(na+ µa)

+ ψα(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)ψβ(na)

]+ a3(ma+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.43)

Στη συνέχεια, απαιτούμε η δράση να μένει αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς

μετασχηματισμούς βαθμίδος της ομάδας U(1). Οι μετασχηματισμοί αυτοί, ορισμένοι

στο πλέγμα έχουν την κάτωθι μορφή:

ψα(na)→ G(na)ψα(na)

ψα(na)→ ψα(na)G−1(na)(3.44)

όπου G(na) = eiΛ(na). Η πιο πάνω δράση, όπως και στην περίπτωση της συνεχούς

δράσης των ελεύθερων ηλεκτρονίων, δε μένει αναλλοίωτη κάτω από τους (3.44),

εξαιτίας της παρουσίας των όρων ψα(na)ψβ((n + µ)a

)και ψα

((n + µ)a

)ψβ(na), οι

οποίοι μετασχηματίζονται ως ψα(na)G−1(na)G((n + µ)a

)ψβ((n + µ)a

)και

ψα((n + µ)a

)G−1

((n + µ)a

)G(na)ψβ(na) αντίστοιχα. Επειδή τα δύο πεδία δεν

είναι ορισμένα στο ίδιο σημείο του πλέγματος, δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την

απαιτούμενη συνθήκη αναλλοιώτητας της δράσης. Για να πετύχουμε τοπικά

αναλλοίωτη δράση, εισάγουμε τις ποσότητες Un,n+µ και Un+µ,n ανάμεσα στα δύο

πεδία των πιο πάνω εκφράσεων, αντίστοιχα, και απαιτούμε οι ποσότητες αυτές να

είναι συναλλοίωτες κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς της U(1), που

ορίσαμε πιο πάνω. Δηλαδή,

Un,n+µ → G(na)Un,n+µG−1((n+ µ)a

)Un+µ,n → G

((n+ µ)a

)Un+µ,nG

−1(na)(3.45)

Οι ποσότητες αυτές ορίζονται μόνο στους συνδέσμους που ενώνουν δύο γειτονικά

σημεία του πλέγματος, γι' αυτό και πήραν την ονομασία σύνδεσμοι (links).

Σχηματικά απεικονίζονται στο σχήμα 3.1. Επίσης, αφού G(na) και G−1((n + µ)a

)είναι στοιχεία της άλγεβρας της U(1), τότε η υπόθεση ότι και ο σύνδεσμος Un,n+µ

είναι στοιχείο της U(1) είναι αυτοσυνεπής. Επομένως, μπορεί να γραφεί στην εξής


Σχήμα 3.1: Απεικόνιση των συνδέσμων (links) στο πλέγμα

μορφή:

Un,n+µ = eiφµ(na) (3.46)

όπου φµ(na) ∈ [0, 2π]. ΄Ετσι, η δράσηWilson των ηλεκτρονίων της QED στο πλέγμα

θα πάρει τη μορφή:

SLEL(W )

(U, ψ, ψ) = −a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)Un,n+µψβ(na+ µa)

+ ψα(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)U †n,n+µψβ(na)

]+ a3(m0a+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.47)

όπου η μάζα των ηλεκτρονίων συμβολίζεται με m0 διότι δεν είναι η φυσική μάζα

των ηλεκτρονίων αλλά η αντίστοιχη απογυμνωμένη παράμετρος. Απαιτώντας η πιο

πάνω δράση να δίνει στο όριο του συνεχούς, το κομμάτι της (2.48) που αντιστοιχεί

στα ηλεκτρόνια, βρίσκουμε τη σχέση μεταξύ των συνδέσμων με το φωτονικό πεδίο

Aµ(na). Οι σύνδεσμοι, σύμφωνα με την (3.46) εξαρτώνται από τη φάση φµ(na), η

οποία πρέπει να είναι αδιάστατη. Από την άλλη το πεδίο Aµ(na) έχει διαστάσεις

αντιστρόφου μήκους. ΄Αρα κάνουμε το εξής Ansatz: φµ(na) = caAµ(na), όπου c:

σταθερά. Για a→ 0, ο σύνδεσμος ισούται περίπου με:

Un,n+µ ≈ 1 + icaAµ(na)

Η έκφραση (3.47) δίνει το κομμάτι της (2.48) που αντιστοιχεί στα ηλεκτρόνια, στο

όριο του συνεχούς , αν θέσουμε c = e0, όπου e0 δεν είναι το φυσικό φορτίο του

ηλεκτρονίου αλλά η αντίστοιχη απογυμνωμένη παράμετρος. Επομένως,

Uµ(na) ≡ Un,n+µ = eie0aAµ(na) (3.48)


Με τον ορισμό αυτό εξακολουθεί να ισχύει η (3.45) κάτω από μετασχηματισμούς

βαθμίδος και συγκεκριμένα G(na)Uµ(na)G−1((n+ µ)a

)= eie0aA

Λµ(na), όπου AΛ

µ(na)

είναι μια διακριτή εκδοχή του AEµ (xE) − 1e0∂Eµ Λ(xE). Συνεπώς, ικανοποιείται και ο

σωστός μετασχηματισμός βαθμίδος στο πλέγμα για το φωτονικό πεδίο.

Για να ολοκληρώσουμε την κατασκευή της δράσης της QED στο πλέγμα,

πρέπει να κατασκευάσουμε και τη φωτονική δράση στο πλέγμα. Πρέπει και αυτή να

είναι αναλλοίωτη κάτω από τοπικούς μετασχηματισμούς της U(1) κι επίσης να είναι

συνάρτηση μόνο των συνδέσμων. Τέτοιες συναρτήσεις που να πληρούν τα δύο πιο

πάνω μπορούν εύκολα να κατασκευαστούν παίρνοντας το γινόμενο των συνδέσμων

γύρω από ένα κλειστό βρόχο στο πλέγμα. Κάθε βρόχος στο πλέγμα, ονομάζεται

Wilson loop. Εξαιτίας της τοπικότητας της συμμετρίας βαθμίδος που ικανοποιεί η

συνεχής φωτονική δράση (2.46) είναι προτιμητέοι οι μικρότεροι πιθανοί βρόχοι. Ο

απλούστερος βρόχος είναι η στοιχειώδης πλακέτα (plaquette) που απεικονίζεται

στο σχήμα 3.2

Σχήμα 3.2: Απεικόνιση της στοιχειώδους πλακέτας (plaquette) στο μν - επίπεδο

και η οποία ορίζεται ως:

Uµν(na) = Uµ(na)Uν(n+ µ)a

)U †µ((n+ ν)a

)U †ν(na) (3.49)

όπου οι σύνδεσμοι στο βρόχο πολλαπλασιάζονται κατά την αντίστροφη φορά των

δεικτών του ρολογιού. Τοποθετώντας την (3.48) μέσα στην (3.49) βρίσκουμε:

Uµν(na) = eie0a2Fµν(na) (3.50)

όπου Fµν(na) = (1/a)

[(Aν((n + µ)a

)− Aν(na)

)−(Aµ((n + ν)a

)− Aµ(na)

)]είναι η διακριτή μορφή του συνεχούς ηλεκτρομαγνητικού τανυστή. Στη συνέχεια


παρατηρούμε ότι η έκφραση:

1

e20

∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(Uµν(na) + U †µν(na)

)]

μετατρέπεται, στο όριο a→ 0, στην πιο κάτω διακριτή μορφή της φωτονικής δράσης

(2.46):

1

4a4∑n,µ,ν

Fµν(na)Fµν(na)

΄Αρα,

SLPH(U) =1

e20

∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(Uµν(na) + U †µν(na)

)]=

1

e20

∑plaquette

Re(1− Uplaquette) (3.51)

όπου Uplaquette = Uµν(na) και∑

plaquette =∑

n,µ,νµ<ν

Από τις σχέσεις (3.47) και (3.51), η συνολική δράση της QED, με τη χρήση

φερμιονίων Wilson, γράφεται:

SL QED(compact)

(U, ψ, ψ) =1

e20

∑plaquette

Re(1− Uplaquette)

− a3 1

2

∑n,mα,β

[ψα(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)Uµ(na)ψβ(na+ µa)

+ ψα(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)U †µ(na)ψβ(na)

]+ a3(m0a+ 4r)

∑n,α

ψα(na)ψα(na)

(3.52)

Αυτή ονομάζεται δράση συμπαγούς QED, διότι το πεδίο τιμών των U είναι

συμπαγές. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε διαταρακτικές μεθόδους της QED στο

πλέγμα τότε χρειάζεται να προσθέσουμε στη δράση τον Gauge �xing όρο, τον

οποίο αναφέραμε στο υποκεφάλαιο 2.2.3. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετάβασης

από το συνεχές στο πλέγμα, που ορίσαμε στα προηγούμενα υποκεφάλαια, η


ευκλείδεια Gauge �xing δράση (2.52) μετατρέπεται σε:

SLGF (A) =1

2α

a2

4

∑n,µ,ν

[Aµ(n+ µ)a

)− Aµ

(n− µ)a

)][Aν(n+ ν)a

)− Aν

(n− ν)a

)](3.53)

Αφού ορίσαμε τη δράση της QED στο πλέγμα, μπορούμε πλέον να ορίσουμε

τις συναρτήσεις Green της θεωρίας αυτής. Η δράση εκτός από τα φερμιονικά πεδία

περιέχει και τις μεταβλητές των συνδέσμων (που εξαρτώνται από το φωτονικό

πεδίο) κι επομένως το μέτρο ολοκλήρωσης των συναρτήσεων Green στο πλέγμα θα

έχει τη γενική μορφή DUDψDψ. Εδώ όμως πρέπει να προσέξουμε η συμμετρίαβαθμίδος, που επιβάλλουμε στη δράση της QED να μην παραβιάζεται από τη

διαδικασία της ολοκλήρωσης. ΄Αρα πρέπει να ορίσουμε ένα αναλλοίωτο, κάτω από

μετασχηματισμούς βαθμίδος της ομάδας U(1), μέτρο ολοκλήρωσης. Τα διαφορικά

ολοκλήρωσης DψDψ έχουν οριστεί σε προηγούμενα υποκεφάλαια και είναι

αναλλοίωτα κάτω από τους μετασχηματισμούς της U(1). ΄Αρα, μας μένει ο ορισμός

του διαφορικού DU . Στην περίπτωση της QED, το μέτρο ολοκλήρωσης DU είναιτετριμένο διότι οι σύνδεσμοι είναι στοιχεία της ομάδας U(1) και άρα

παραμετρικοποιούνται από μία μόνο πραγματική φάση φµ(na), που παίρνει τιμές στο

κλειστό διάστημα [0, 2π] ενός επίπεδου χώρου. Επομένως, το αναλλοίωτο, κάτω

από μετασχηματισμούς βαθμίδος, μέτρο ολοκλήρωσης DU ορίζεται ως:

DU ≡∏n,µ

dφµ(na) (3.54)

΄Ετσι, οι συναρτήσεις Green της QED, με τη χρήση φερμιονίων Wilson, ορίζονται

ως:

< O(U, ψ, ψ) >=

∫DUDψDψO(U, ψ, ψ)e−S

LQED(U,ψ,ψ)∫

DUDψDψe−SLQED(U,ψ,ψ)(3.55)

ή συναρτήσει του φωτονικού πεδίου Aµ(na) (καθώς φµ(na) ∼ Aµ(na)):

< O(A,ψ, ψ) >=

∫DADψDψO(A,ψ, ψ)e−S

LQED(A,ψ,ψ)∫

DADψDψe−SLQED(A,ψ,ψ)(3.56)

όπου DA =∏

n,µ dAµ(na).


Αντίστοιχα, ο ορισμός της δράσης της συμπαγούς QED στο πλέγμα, με τη

χρήση φερμιονίων Staggered θα είναι:

SL QED(compact)

(U, χ, χ) =1

e20

∑plaquette

Re(1− Uplaquette)

+ a4∑n,µ

1

2aηµ(na)χ(na)[Uµ(na)χ(na+ µa)

− U †µ(na− µa)χ(na− µa)] + a4m0

∑n

χ(na)χ(na)

(3.57)

ενώ οι συνάρτησεις Green της δράσης αυτής ορίζονται ως:

< O(A,χ, χ) >=

∫DADχDχO(A,χ, χ)e−S

LQED(A,χ,χ)∫

DADχDχe−SLQED(A,χ,χ)(3.58)

Ας υπολογίσουμε το φωτονικό διαδότη δύο σημείων στο πλέγμα:

< Aµ(na)Aν(ma) >=

∫ ∏`,ρ dAρ(`a)[Aµ(na)Aν(ma)]e−[SLPH(A)+SLGF (A)]∫ ∏

`,ρ dAρ(`a)e−[SLPH(A)+SLGF (A)]

όπου SLPH(A), SLGF (A) δίνονται από τις σχέσεις (3.51) και (3.53) αντίστοιχα.

Εκτελώντας διαταρακτικό ανάπτυγμα ως προς a και κρατώντας μόνο όρους μέχρι

O(a2) (οι οποίοι είναι μηδενικής τάξης ως προς e0), η δράση SLPH(A) γράφεται:

SLPH(A) =a2

2

∑n,mµ,ν

Aµ(na)Kphµ,ν(n,m)Aν(ma) (3.59a)

όπου

Kphµ,ν(n,m) =

∑ρ

[δn,mδµ,ν − δn−ρ,mδµ,ν − δn−ρ+µ,mδρ,ν

+ δn−ρ,mδρ,ν − δn+ρ,mδµ,ν + δn,mδµ,ν

+ δn+µ,mδρ,ν − δn,mδρ,ν ]

(3.59b)

Επίσης, η δράση SLGF (A), μπορεί να γραφτεί στην εξής πιο χρήσιμη μορφή:

SLGF (A) =a2

2

∑n,mµ,ν

Aµ(na)KGFµ,ν (n,m)Aν(ma) (3.60a)


όπου

KGFµ,ν (n,m) =

1

α[δn,m − δn−ν,m − δn+µ,m + δn+µ−ν,m] (3.60b)

΄Ετσι ο διαδότης παίρνει τη μορφή μέσης τιμής ενός πραγματικού πολυωνύμου με

γκαουσιανό βάρος κι επομένως σύμφωνα με το Παράρτημα Α1:

< Aµ(na)Aν(ma) >= K−1µν (n,m) (3.61)

με Kµν(n,m) = Kphµν(n,m) +KGF

µν (n,m). Το στοιχείο K−1µν (n,m) μπορεί να βρεθεί

από την εξίσωση:

∑ρ,`

K−1µρ (n, `) Kρν(`,m) = δµνδnm (3.62)


ίδια διαδικασία με το υποκεφάλαιο 3.2, η λύση της εξίσωσης που προκύπτει είναι:

Dµν(na,ma) = K−1µν (n,m) =

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dµν(p

E)eipE(n−m)a (3.63a)

όπου

Dµν(pE) =

1

p2

(δµν − (1− α)

pµpνp2

)(3.63b)

με p2και pµ να δίνονται από τη σχέση (3.14d). ΄Ετσι, ο διαδότης δύο σημείων στο

συνεχές θα είναι:

DPHµν

E(x1 − x2) = lim

a→0Dµν(x

E1 , x

E2 ) (3.64)


(−∞,+∞), ενώ p2 → pE2. Εν τέλει στο όριο του συνεχούς, ο διαδότης

μετατρέπεται στη γνωστή ευκλείδια συνάρτηση (2.59) που βρήκαμε στο

υποκεφάλαιο 2.3.


3.5 Κβαντική Χρωμοδυναμική στο πλέγμα

Η θεωρία της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής (QCD) στο πλέγμα μπορεί να

προκύψει χρησιμοποιώντας ως πρότυπο αυτήν της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής,

κάνοντας τις κατάλληλες προσθήκες ή αλλαγές, όπως είναι ο δείκτης του χρώματος

στο φερμιονικό και γκλουονικό πεδίο και ο δείκτης της γεύσης στο φερμιονικό

πεδίο των quark. ΄Οπως και στην συνεχή δράση της QCD, τα πεδία αντικαθίστανται

από πίνακες 3 × 3, καθώς η QCD ικανοποιεί τη συμμετρία βαθμίδος της ομάδας

SU(3). Συνεπώς, ο σύνδεσμος στην θεωρία αυτή ορίζεται ως:

˜Uµ(na) = ei˜

φµ(na) (3.65a)

όπου

˜φµ(na) = g0a

˜Aµ(na) = g0a

8∑a=1

Aaµ(na)T a (3.65b)

με g0: η απογυμνωμένη σταθερά σύζευξης της ισχυρής αλληλεπίδρασης και

T a = λa/2 ( λa: πίνακες Gell - Mann) να είναι οι γεννήτορες της SU(3) σε

προσαρτησμένη (adjoint) αναπαράσταση (όπως και στην περίπτωση των συνεχών

γκλουονικών πεδίων). Τότε η φερμιονική δράση Wilson των quark της QCD

γράφεται:

SLQ(W )

(U, ψ, ψ) = −a3 1

2

∑f,nα,βa,b

[(ψaf )α(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)˜Uabµ (na)(ψbf )β(na+ µa)

+ (ψaf )α(na+ µa)

(rδαβ +

(γEµ)αβ

)˜U †µ

ab(na)(ψbf )β(na)

]+ a3

∑f,n,α,a

((m0)f a+ 4r

)(ψaf )α(na)(ψaf )α(na)

(3.66)


Η πιο πάνω δράση είναι αναλλοίωτη κάτω από τους τοπικούς μετασχηματισμούς της

SU(3), γραμμένους σε διακριτή μορφή:

˜ψ(na)→

˜G(na)

˜ψ(na)

˜ψ(na)→

˜ψ(na)

˜G−1(na)

˜Uµ(na)→

˜G(na)

˜Uµ(na)

˜G−1(na+ µa)

˜U †µ(na)→

˜G(na+ µa)

˜U †µ(na)

˜G−1(na)

(3.67)

όπου˜G(na) = ei˜

Λ(na).

Επίσης, η στοιχειώδης πλακέτα, γενικεύοντας την (3.49), θα έχει τη μορφή:

˜Uµν(na) =

˜Uµ(na)

˜Uν(n+ µ)a

)˜U †µ((n+ ν)a

)˜U †ν(na) (3.68)

όπου οι σύνδεσμοι στο βρόχο πολλαπλασιάζονται κατά την αντίστροφη φορά των

δεικτών του ρολογιού. Τοποθετώντας την (3.65) μέσα στην (3.68) βρίσκουμε:

˜Uµν(na) = eig0a2

˜Fµν(na) (3.69)

όπου˜Fµν(na) ≈ (1/a)

[(Ãν((n+ µ)a

)−

Ãν(na)

)−(

Ãµ((n+ ν)a

)−

Ãµ(na)

)]+

ig0[Ãµ(na),

Ãν(na)] είναι η διακριτή μορφή του συνεχούς τανυστή (1.30b). Στην

πραγματικότητα η πιο πάνω σχέση μεταξύ˜Fµν(na) και

Ãµ(na) δεν είναι ακριβής.

Επειδή, οι μεταβλητές των συνδέσμων που εμφανίζονται στην (3.68) είναι πίνακες

που δεν μετατίθενται, τότε η ακριβής σχέση μεταξύ˜Fµν(na) και

Ãµ(na) προκύπτει

από τη χρήση της σχέσης Baker - Campbell - Hausdor�:

eAeB = eA+B+ 12

[A,B]+···

η οποία περιέχει άπειρους όρους. ΄Ετσι, αυτό που κάναμε ήταν να πάρουμε

διαταρακτικό ανάπτυγμα ως προς a, στο όρισμα του εκθετικού, και να κρατήσουμε

μόνο όρους τάξης O(a). Αφού ορίσαμε και την πλακέτα, τότε η γκλουονική δράση

στο πλέγμα, κατ' αντιστοιχία με τη φωτονική δράση, θα έχει την παρακάτω μορφή:

SLG(U) = c tr∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(˜Uµν(na) +

˜U †µν(na)

)]


όπου c: σταθερά. Στην QCD επιβάλλεται η χρήση του ίχνους καθώς η πλακέτα είναι

πίνακας. Η δράση αυτή δίνει στο όριο a→ 0 την συνεχή ευκλείδια δράση:

SEG(A) =1

2tr

∫d4x

˜Fµν

˜Fµν

μόνο για c = 2/g20. ΄Αρα, η γκλουονική δράση στο πλέγμα γράφεται:

SLG(U) =2

g20

∑n,µ,νµ<ν

[1− 1

2

(˜Uµν(na) +

˜U †µν(na)

)]=

2

g20

∑plaquette

Re[tr(1−

˜Uplaquette)

](3.70)

όπου˜Uplaquette =

˜Uµν(na).

Από τις σχέσεις (3.66) και (3.70), η συνολική δράση της QCD, με τη χρήση

φερμιονίων Wilson, γράφεται:

SL QCD(compact)

(U, ψ, ψ) =2

g20

∑plaquette

Re[tr(1− Uplaquette)

]− a3 1

2

∑f,nα,βa,b

[(ψaf )α(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)Uabµ (na)(ψbf )β(na+ µa)


(rδαβ +

(γEµ)αβ

)U †µ

ab(na)(ψbf )β(na)

]+ a3

∑f,n,α,a

((m0)fa+ 4r


(3.71)

όπου παραλείψαμε την περισπωμένη από τους συνδέσμους, θεωρώντας ότι αφού

μιλάμε για QCD εννοείται ότι οι σύνδεσμοι είναι πίνακες. (Από εδώ και πέρα, για

ευκολία στο συμβολισμό θα γράφουμε όλους τους πίνακες της QCD χωρίς

περισπωμένη.) Η πιο πάνω ονομάζεται δράση συμπαγούς QCD, διότι εκτείνεται σε

πεπερασμένο χωροχρόνο, αφού ορίζεται στο πλέγμα. Αν όμως χρησιμοποιήσουμε

διαταρακτικές μεθόδους της QCD στο πλέγμα τότε χρειάζεται να προσθέσουμε στη

δράση τους όρους Gauge �xing και Faddeev - Popov, τους οποίους αναφέραμε στο

υποκεφάλαιο 2.2.4. Η ευκλείδεια Gauge �xing δράση της QCD στο πλέγμα έχει

την ίδια μορφή με την (3.53) με την προσθήκη του δείκτη χρώματος a σ' όλα τα


φωτονικά πεδία (για να μετατραπούν σε γκλουονικά).

SLGF (A) =1

2α

a2

4

∑n,µ,ν,a

[Aaµ(n+ µ)a

)− Aaµ

(n− µ)a

)][Aaν(n+ ν)a

)− Aaν

(n− ν)a

)](3.72)

Η ευκλείδεια δράση Faddeev - Popov (2.3), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις

μετάβασης από το συνεχές στο πλέγμα, που ορίσαμε στα προηγούμενα

υποκεφάλαια, μετατρέπεται σε:

SLFP (A) = a4∑n

[ca(na)

(δ(∑

µ(AaµΛ(na)− AaµΛ(na− µa)

)δΛa(na)

)ca(na)

](3.73)

Για να ορίσουμε την ποσότητα δ(∑

µ(AaµΛ(na) − Aaµ

Λ(na − µa))/δΛa(na),

χρησιμοποιούμε τους μετασχηματισμούς βαθμίδος του συνδέσμου:

Uµ(na)→ UΛµ (na) = G(na)Uµ(na)G−1(na+ µa)

και την ακόλουθη σχέση:

U(φ+ δφ

)= U

(φ)(

1 + iδφaµ(na)Eab(φ)T b)

=(1 + iδφaµ(na)Eba(φ)T b

)U(φ) (3.74)

όπου δφ μικρό, T b οι γεννήτορες της SU(3) στην adjoint αναπαράσταση, δφaµ(na) =

g0aδAaµ(na) και

Eab(φ) =

(eiφµ(na) − 1

iφµ(na)

)ab(3.75)

Αν θεωρήσουμε έναν απειροελάχιστο μετασχηματισμό βαθμίδoς

G(na) = 1 + iδΛa(na)T a, τον οποίο αντικαθιστούμε στο μετασχηματισμένο

σύνδεσμο UΛµ (na) και χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3.74) τότε μπορούμε να

ορίσουμε το διαφορικό του γκλουονικού πεδίου:

δAaµ(na) =1

g0a

∑b

[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abδΛb(na)−

[E−1

(g0aAµ(na)

)]baδΛb(na+ µa)

](3.76)


Τότε:

δ

(∑µ

(AaµΛ(na)− Aaµ

Λ(na− µa)

)=

1

g0a

∑b,µ,m

{[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abδm,n −

[E−1

(g0aAµ(na)

)]baδm,n+µ

]−[[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]abδm,n−µ −

[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]baδm,n

]}δΛb(ma)

(3.77)

Επομένως, η δράση Faddeev - Popov στο πλέγμα ορίζεται ως ακολούθως:

SLFP (A) =a2∑n,µ

ca(na)

{[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abcb(na)−

[E−1

(g0aAµ(na)

)]bacb((n+ µ)a)

]−[[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]abcb((n− µ)a)−

[E−1

(g0aAµ(na− µa)

)]bacb(na)

]}=− a2

∑n,µ

(ca((n+ µ)a)− ca(na)

)[[E−1

(g0aAµ(na)

)]abcb(na)−

[E−1

(g0aAµ(na)

)]bacb((n+ µ)a)

](3.78)

Αφού ορίσαμε τη δράση της QCD στο πλέγμα, μπορούμε πλέον να ορίσουμε

τις συναρτήσεις Green της θεωρίας αυτής. Το μέτρο ολοκλήρωσης θα έχει την

ίδια γενική μορφή DUDψDψ με αυτό της QED, αλλά ο ορισμός του διαφορικούDU θα είναι διαφορετικός διότι τώρα απαιτούμε το μέτρο ολοκλήρωσης να είναιαναλλοίωτο κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος της ομάδας SU(3). Συνεπώς, οι

σύνδεσμοι, οι οποίοι είναι πίνακες παραμετρικοποιούνται αντίστοιχα από μία φάση

- πίνακα φµ(na), η οποία σε adjoint αναπαράσταση θα αποτελείται συνολικά από 8

διαφορετικές φάσεις φaµ(na) ενός μη επίπεδου χώρου. Επομένως, το αναλλοίωτο,

κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδος, μέτρο ολοκλήρωσης DU μπορεί να οριστείμε τη βοήθεια της μετρικής του χώρου αυτού. Ο ορισμός του στοιχειώδους μήκους

στο χώρο της ομάδας SU(3) είναι:

d2s = tr(dU †µ(na)dUµ(na)) (3.79)


όπου dUµ(na) = U(φ+ dφ)−U(φ). Συναρτήσει των συντεταγμένων {φaµ(na)} τουχώρου αυτού, το στοιχειώδες μήκος έχει την παρακάτω μορφή:

d2s =∑a,b

gab(φ)dφaµ(na)dφbµ(na) (3.80)

όπου g(φ) η μετρική της ομάδας SU(3). Εξισώνοντας τις σχέσεις (3.79) και (3.80),

τότε:

dUµ(na) =√

det(g(φ)

)∏a

dφaµ(na) (3.81)

Η μετρική μπορεί να βρεθεί από τις σχέσεις (3.74), (3.75), (3.79) και (3.80) ως

ακολούθως:

gab(φ)dφaµ(na)dφbµ(na) = tr[U(φ)idφaµ(na)Eac

(φ)T c(−i)dφbµ(na)Ebd

(φ)T dU †

(φ)]

=1

2Eac(φ)Ecb†(φ)dφaµ(na)dφbµ(na)

=

(1− cosφµ(na)

φ2µ(na)

)abdφaµ(na)dφbµ(na)

όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση ορθογωνιότητας tr(T aT b) = δab/2. ΄Αρα,

g(φ) =

(1− cosφµ(na)

φ2µ(na)

)(3.82)

Τότε το μέτρο ολοκλήρωσης DU θα έχει την εξής μορφή:

DU = e−Smeas(φ)∏n,µ,a

dφaµ(na) (3.83)

όπου

Smeas(φ) = −1

2

∑n,µ

tr ln

[2(1− cosφµ(na)

)φ2µ(na)

](3.84)

Ο παράγοντας 2 προστίθεται έτσι ώστε με ανάπτυγμα του συνημιτόνου, ο

λογάριθμος να ξεκινά με τον μοναδιαίο πίνακα. Αυτό θα δώσει μία ασήμαντη

σταθερά στα συναρτησιακά ολοκληρώματα του αριθμητή και παρονομαστή των

συναρτήσεων Green και άρα θα απαλείφεται. Η δράση Smeas μπορεί να γραφεί και


στην εξής μορφή, συναρτήσει του γκλουονικού πεδίου:

Smeas(A) = −1

2

∑n,µ

tr ln

[1 + 2

∞∑`=1

(−1)`

(2`+ 2)!

(g0aAµ(na)

)2`]

(3.85)

΄Ετσι, οι συναρτήσεις Green της QCD, με τη χρήση φερμιονίων Wilson, ορίζονται

ως:

< O(A,ψ, ψ) >=

∫DADψDψO(A,ψ, ψ)e−S

LQCD(A,ψ,ψ)−Smeas(A)∫

DADψDψe−SLQCD(A,ψ,ψ)−Smeas(A)(3.86)

όπου DA =∏

n,µ,a dAaµ(na).

Αντίστοιχα, ο ορισμός της δράσης της συμπαγούς QCD στο πλέγμα, με τη

χρήση φερμιονίων Staggered θα είναι:

SL QCD(compact)

(U, χ, χ) =2

g20

∑plaquette


]+ a4

∑f,na,b

1

2aηµ(na)χaf (na)

[Uabµ (na)χbf (na+ µa)

− U †µab

(na− µa)χbf (na− µa)] + a4∑f,n,a

(m0)f χaf (na)χaf (na)

(3.87)

ενώ οι συνάρτησεις Green της δράσης αυτής ορίζονται ως:

< O(A,χ, χ) >=

∫DADχDχO(A,χ, χ)e−S

LQCD(A,χ,χ)∫

DADχDχe−SLQCD(A,χ,χ)(3.88)

Ας υπολογίσουμε τον γκλουονικό διαδότη δύο σημείων στο πλέγμα, στη

χαμηλότερη τάξη της θεωρίας διαταραχών (δηλαδή μέχρι μηδενικής τάξης όρους ως

προς g0). Στην τάξη αυτή οι δράσεις SLFP (A, c, c) και Smeas(A) δεν συνεισφέρουν.

< Aaµ(na)Abν(ma) >=

∫ ∏`,ρ,c dA

cρ(`a)[Aaµ(na)Abν(ma)]e−[SLG(A)+SLGF (A)]∫ ∏`,ρ dAρ(`a)e−[SLG(A)+SLGF (A)]


όπου SLG(A), SLGF (A) δίνονται από τις σχέσεις (3.70) και (3.72) αντίστοιχα.

Κρατώντας μόνο όρους μέχρι O(a2), η δράση SLG(A) γράφεται:

SLG(A) =a2

2

∑n,mµ,νa,b

Aaµ(na)KGµ,ν(n,m)Abν(ma) (3.89a)

όπου

KGµ,ν(n,m) =

∑ρ

[δn,mδµ,ν − δn−ρ,mδµ,ν − δn−ρ+µ,mδρ,ν

+ δn−ρ,mδρ,ν − δn+ρ,mδµ,ν + δn,mδµ,ν

+ δn+µ,mδρ,ν − δn,mδρ,ν ] δab

(3.89b)

Επίσης, η δράση SLGF (A), μπορεί να γραφτεί στην εξής πιο χρήσιμη μορφή:

SLGF (A) =a2

2

∑n,mµ,νa,b

Aaµ(na)KGFµ,ν (n,m)Abν(ma) (3.90a)

όπου

KGFµ,ν (n,m) =

1

α[δn,m − δn−ν,m − δn+µ,m + δn+µ−ν,m] δab (3.90b)

΄Ετσι ο διαδότης παίρνει τη μορφή μέσης τιμής ενός πραγματικού πολυωνύμου με

γκαουσιανό βάρος κι επομένως σύμφωνα με το Παράρτημα Α1:

< Aaµ(na)Abν(ma) >= K−1µν (n,m) (3.91)

με Kµν(n,m) = KGµν(n,m) +KGF

µν (n,m). Το στοιχείο K−1µν (n,m) μπορεί να βρεθεί

από την εξίσωση:

∑ρ,`

K−1µρ (n, `) Kρν(`,m) = δµνδnm (3.92)


ίδια διαδικασία με το υποκεφάλαιο 3.2, η λύση της εξίσωσης που προκύπτει είναι:

Dµν(na,ma) = K−1µν (n,m) =

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4Dµν(p

E)eipE(n−m)a (3.93a)


όπου

Dµν(pE) =

1

p2

(δµν − (1− α)

pµpνp2

)δab (3.93b)

με p2και pµ να δίνονται από τη σχέση (3.14d). ΄Ετσι, ο διαδότης δύο σημείων στο

συνεχές θα είναι:

DGµν

E(x1 − x2) = lim

a→0Dµν(x

E1 , x

E2 ) (3.94)


(−∞,+∞), ενώ p2 → pE2. Εν τέλει στο όριο του συνεχούς, ο διαδότης

μετατρέπεται στη γνωστή ευκλείδεια συνάρτηση (2.60) που βρήκαμε στο

υποκεφάλαιο 2.3.

3.6 Βελτιωμένες δράσεις της QCD στο πλέγμα

Οι δράσεις των πεδίων στο πλέγμα που κατασκευάσαμε στα προηγούμενα

υποκεφάλαια, όπως αναφέραμε, δεν είναι μοναδικές. Κατάλληλες παραλλαγές των

δράσεων αυτών, οι οποίες στο όριο του συνεχούς δίνουν τη σωστή συνεχή δράση

είναι επιτρεπτές. Μάλιστα στην περίπτωση της δράσης της QCD, κάποιες

παραλλαγές δίνουν και καλύτερα αποτελέσματα. Αυτό συμβαίνει επειδή η δράση της

πλεγματικής QCD που κατασκευάσαμε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο περιλαμβάνει

σφάλματα διακριτοποίησης. Συγκεκριμένα, τα σφάλματα αυτά είναι της τάξης O(a)

για τα φερμιόνια Wilson και τάξης O(a2) για τα γκλουόνια και φερμιόνια

Staggered. Αυτά, βέβαια, εξαφανίζονται στο όριο του συνεχούς όταν η σταθερά

πλέγματος a → 0. ΄Ομως, σε έναν αριθμητικό υπολογισμό, το όριο του συνεχούς

πραγματοποιείται για μια πολύ μικρή αλλά πεπερασμένη τιμή του a κι επομένως τα

σφάλματα διακριτοποίησης επιζούν. ΄Ενας κομψός τρόπος προσέγγισης του

προβλήματος είναι η συστηματική ελάττωση των σφαλμάτων διακριτοποίησης.

Δηλαδή, μπορούμε για παράδειγμα να προσθέσουμε επιπλέον όρους στη δράση και

συνδυάζοντας τους συντελεστές τους κατάλληλα να μειώσουμε το σφάλμα

διακριτοποίησης κατά μία ή περισσότερες τάξεις. ΄Ετσι, μια τέτοια δράση θα δίνει

ακριβέστερα αποτελέσματα από την αρχική γι' αυτό και ονομάζεται βελτιωμένη

δράση. Στα επόμενα υποκεφάλαια θα εξετάσουμε τις δημοφιλέστερες βελτιωμένες

δράσεις τόσο για τα γκλουόνια όσο και για τα φερμιόνια (Wilson και Staggered)

που υπάρχουν στη βιβλιογραφία.


3.6.1 Βελτιωμένη γκλουονική δράση τύπου Symanzik

Κατά τον αριθμητικό υπολογισμό της γκλουονικής δράσης στο πλέγμα, στο όριο

του συνεχούς, όπως αναφέραμε, παρουσιάζονται σφάλματα διακριτοποίησης τάξης

O(a2). Η βελτιωμένη δράση Symanzik καταφέρνει να μειώσει τα σφάλματα αυτά

από τάξη O(a2) σε O(a4). Αυτό επιτυγχάνεται με την εισαγωγή διορθωτικών όρων

τάξης O(a2) στην γκλουονική δράση του πλέγματος που να απαλείφουν τα σφάλματα

διακριτοποίησης της ίδιας τάξης. Για την κατασκευή μιας τέτοιας δράσης, γράφουμε

αρχικά μια ενεργή δράση που περιγράφει τη συμπεριφορά της γκλουονικής δράσης

στο πλέγμα για πεπερασμένο a και στην προσέγγισή του στο όριο του συνεχούς.

Επομένως,

SeffG (A) = S(0)G (A) + a2S

(2)G (A) + a4S

(4)G + · · · (3.95)

όπου S(0)G (A) είναι η συνεχής δράση της QCD που ορίζεται από τη σχέση (2.50),

ενώ S(k)G (A) =

∫d4xL(k)

G (A) για k = 1, 2, · · · είναι οι συνεχείς εκφράσεις τωνσφαλμάτων διακριτοποίησης. Απαιτώντας η ενεργή δράση να είναι αδιάστατη, οι

όροι L(k)G (A) πρέπει να έχουν διαστάσεις μήκος−(4+k). Επίσης, απαιτούμε οι όροι

αυτοί να διατηρούν όλες τις συμμετρίες της QCD. Συνεπώς, τέτοιοι όροι μπορούν

να προκύψουν μόνο από γινόμενα γκλουονικών πεδίων. Ο όρος L(2)G (A), ο οποίος

επιζητούμε να απαλειφθεί από την πλεγματική δράση, πρέπει να έχει διαστάσεις

μήκος−6. Η απλούστερη κατασκευή τέτοιων όρων εμπλέκει γινόμενα έξι

συνδέσμων. ΄Ετσι, οι διορθωτικοί όροι της γκλουονικής δράσης θα αποτελούνται

από βρόχους έξι συνδέσμων. Μάλιστα οι όροι αυτοί μπορούν να έχουν την ίδια

μορφή με την αρχική γκλουονική δράση στο πλέγμα, αντικαθιστώντας την πλακέτα

με τους ανάλογους βρόχους, αλλά πρέπει να συνοδεύονται από τους κατάλληλους

συντελεστές. Οι δυνατοί βρόχοι έξι συνδέσμων που μπορούμε να κατασκευάσουμε

στο πλέγμα είναι οι απεικονιζόμενοι στο πιο κάτω σχήμα:

Σχήμα 3.3: Απεικόνιση των βρόχων 6 συνδέσμων στο πλέγμα


οι οποίοι ορίζονται ως:

Urectangle = Uµ(na)Uµ(na+ µa)Uν(na+ 2µa)

U †µ(na+ µa+ νa)U †µ(na+ νa)U †ν(na)(3.96a)

Uchair = Uµ(na)Uν(na+ µa)Uρ(na+ µa+ νa)

U †µ(na+ νa+ ρa)U †ρ(na+ νa)U †ν(na)(3.96b)

Uparallelogram = Uµ(na)Uρ(na+ µa)Uν(na+ µa+ ρa)

U †µ(na+ ρa+ νa)U †ρ(na+ νa)U †ν(na)(3.96c)

Η γκλουονική δράση Symanzik έχει την εξής μορφή:

SLG(Sym) =2

g20

[c0

∑plaquette


]+ c1

∑rectangle

Re[tr(1− Urectangle)

]+ c2

∑chair

Re[tr(1− Uchair)

]+ c3

∑parallelogram

Re[tr(1− Uparallelogram)

]](3.97)

όπου οι συντελεστές ci μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα, αρκεί να ικανοποιούν την

εξής συνθήκη κανονικοποίησης, η οποία εξασφαλίζει τη σωστή κλασική δράση στο

όριο του συνεχούς:

c0 + 8c1 + 16c2 + 8c3 = 1 (3.98)

Οι πιο συνήθεις επιλογές τιμών για τους συντελεστές ci, που χρησιμοποιούνται σε

αριθμητικές προσομοιώσεις, είναι οι ακόλουθες:

1. Wilson: c0 = 1, c1 = c2 = c3 = 0 (3.99)

2. Tree - level Symanzik: c0 =5

3, c1 = − 1

12, c2 = c3 = 0 (3.100)

3. Tadpole improved Lücher - Weisz (TILW):c1

c0

= −(1 + 0.4805α)

20u20

,

c2 = 0,c3

c0

= −0.03325α

u20

,1

c0

= 1 + 8

(c1

c0

+c3

c0

)όπου u0 =

(1

3tr < Uplaquette >

) 14

και α = − log(u40)

3.06839

(3.101)

4. Iwasaki: c0 = 3.648, c1 = −0.331, c2 = c3 = 0 (3.102)

5. DBW2: c0 = 12.2688, c1 = −1.4086, c2 = c3 = 0 (3.103)


Ας υπολογίσουμε τον γκλουονικό διαδότη Symanzik, στη χαμηλότερη τάξη της

θεωρίας διαταραχών. Κρατώντας μόνο όρους μέχρι O(a2) στη δράση Symanzik και

χρησιμοποιώντας και την gauge �xing δράση (οι υπόλοιπες δράσεις δε συνεισφέρουν

στην τάξη αυτή), τότε η συνολική δράση των γκλουονίων θα έχει την εξής μορφή:

SLG(0)

(Sym) =1

2

∫ π/a

−π/a

d4pE

(2π)4

∑µ,ν

Aaµ(pE)

[Gµν(p

E)−(

1− 1

α

)pµpν

]Aaν(−pE)

(3.104a)

όπου

Gµν(pE) = pµpν +

∑ρ

(p2µδµν − pµpρδρν)dµρ (3.104b)

με

dµν = (1− δµν)[C0 − C1a

2p2 − C2a2(p2

µ + p2ν)]

(3.104c)

και p2, pµ δίνονται από τη σχέση (3.14d). Επίσης, οι σταθερές Ci σχετίζονται με τις

ci ως εξής:

C0 = c0 + 8c1 + 16c2 + 8c3 = 1, C1 = c2 + c3, C2 = c1 − c2 − c3 (3.105)

όπου μπορούμε να επιλέξουμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, c2 = 0. Εδώ να

σημειώσουμε ότι ο σύνδεσμος, στη θεωρία διαταραχών, ορίζεται στο κέντρο του,

δηλαδή γράφεται ως:

Uµ(na) = exp

[ig0aAµ

(na+ µ

a

2

)](3.106)

Τότε ο γκλουονικός διαδότης στο χώρο των ορμών δίνεται από την πιο κάτω

γραμμική εξίσωση:

∑ρ

[Gµρ(p

E)−(

1− 1

α

)pµpρ

]Dgρν

(Sym)(pE) = δµν (3.107)

Η λύση μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη: το αποκλίνον και το πεπερασμένο μέρος.

Αυτό επιτυγχάνεται γράφοντας τον γκλουονικό διαδότη Symanzik ως:

Dgµν

(Sym)(pE) = C−1

0 Dgµν

(Plaquette)(pE) + ∆Dg

µν

(Sym)(pE) (3.108)


όπου Dgµν

(Plaquette)(pE) δίνεται από τη σχέση (3.93b). Είναι φανερό ότι οι διαδότες

Dgµν

(Sym)(pE) και Dg

µν

(Plaquette)(pE) παρουσιάζουν την ίδια �υπέρυθρη� απόκλιση

(infrared singularity). Επομένως, για την επανακανονικοποίηση συναρτήσεων

Green, οι οποίες χρησιμοποιούν την γκλουονική δράση Symanzik, οι πλέον

αποκλίνουσες συνεισφορές θα περιέχουν μόνο την ποσότητα:

C−10 Dg

µν

(Plaquette)(pE).

3.6.2 Βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Wilson

Κατά τον αριθμητικό υπολογισμό της φερμιονικής δράσης Wilson στο πλέγμα,

στο όριο του συνεχούς, όπως αναφέραμε, παρουσιάζονται σφάλματα διακριτοποίησης

τάξης O(a). Ο όρος Clover καταφέρνει να μειώσει τα σφάλματα αυτά από τάξη

O(a) σε O(a2). Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο με αυτή της γκλουονικής δράσης

Symanzik, ο διορθωτικός όρος που εισάγουμε στη δράση Wilson πρέπει να έχει

διαστάσεις μήκος−5και να διατηρεί όλες τις συμμετρίες της QCD. Υποψήφιοι όροι

που πληρούν τα πιο πάνω κριτήρια είναι οι ακόλουθοι, γραμμένοι στο συνεχές:

L(1)1 (x) = ψ(x)σµνFµν(x)ψ(x),

L(1)2 (x) = ψ(x)

−→Dµ(x)

−→Dµ(x)ψ(x) + ψ(x)

←−Dµ(x)

←−Dµ(x)ψ(x),

L(1)3 (x) = mtr[Fµν(x)Fµν(x)],

L(1)4 (x) = m

(ψ(x)γµ

−→Dµ(x)ψ(x)− ψ(x)γµ

←−Dµ(x)ψ(x)

),

L(1)5 (x) = m2ψ(x)ψ(x)

Με τη χρήση της εξίσωσης του πεδίου (γµ−→Dµ +m)ψ = 0, προκύπτουν δύο σχέσεις

μεταξύ των πιο πάνω όρων:

L(1)1 − L

(1)2 + 2L(1)

5 = 0, L(1)4 + 2L(1)

5 = 0

Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, μπορώ να απαλείψω τους όρους L(1)2 και L(1)

4 .

Επίσης, οι όροι L(1)3 και L(1)

5 περιλαμβάνονται ήδη στην αρχική δράση Wilson.

Συνεπώς, ο μόνος όρος που επιζεί είναι ο L(1)1 , τον οποίο και προσθέτουμε στη

δράση Wilson. Επομένως, η δράση Wilson με την προσθήκη του όρου Clover


γράφεται:

SLF(Clover)

(U, ψ, ψ) = SLF(W )

(U, ψ, ψ) +i

4cSW a5

∑n,f,µ,ν

ψf (na)σµνFµν(na)ψf (na)

(3.109a)

όπου cSW : ελεύθερη παράμετρος, σµν =i

2[γµ, γν ] και

Fµν(na) =1

8a2(Qµν(na)−Qνµ(na)) (3.109b)

με

Qµν(na) = Uµ,ν(na)Uν,−µ(na)U−µ,−ν(na)U−ν,µ(na) (3.109c)

Η πιο πάνω δράση εξακολουθεί να παραβιάζει όλες τις χειραλικές συμμετρίες,

όπως και η αρχική δράση Wilson. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, κατά τη διαδικασία

επανακανονικοποίησης του πεδίου και των παραμέτρων της δράσης αυτής, να

επιβάλλεται η εισαγωγή ενός επιπρόσθετου όρου αρνητικής μάζας στη δράση. Ο

όρος αυτός καθιστά δύσκολη την επίτευξη μικρών τιμών της φυσικής μάζας των

φερμιονίων. Μια βελτίωση της δράσης που μειώνει τον αρνητικό όρο μάζας και τα

σφάλματα παραβίασης της χειραλικής συμμετρίας είναι η δράση SLiNC (Stout Link

Non-pertubative Clover). Η δράση αυτή προκύπτει από την αντικατάσταση των

συνδέσμων στον όρο Wilson με συνδυασμό από συνδέσμους και την κατάλληλη

επιλογή της σταθεράς cSW . Ο όρος Clover μένει ως έχει καθώς ήδη με την ύπαρξή

του μειώνει αρκετά τον αρνητικό όρο μάζας σε σχέση με την αρχική δράση Wilson.

΄Ετσι, η δράση SLiNC έχει την πιο κάτω μορφή:

SLF(SLiNC)

(U, ψ, ψ) = −a3 1

2

∑f,nα,βa,b

[(ψaf )α(na)

(rδαβ −

(γEµ)αβ

)(Uµ)ab(na)(ψbf )β(na+ µa)


(rδαβ +

(γEµ)αβ

)(U †µ)ab(na)(ψbf )β(na)

]+ a3

∑f,n,α,a

((m0)f a+ m a+ 4r


+i

4cSWa

5∑n,f,µ,ν

ψf (na)σµνFµν(na)ψf (na)

(3.110a)


όπου

am =1

2κc− 4 (3.110b)

είναι ο επιπρόσθετος αρνητικός όρος μάζας με κc να είναι η κρίσιμη hopping

παράμετρος. Επίσης,

Uµ(na) = eiQµ(na)Uµ(na) (3.110c)

είναι ο λεγόμενος stout link (�εύσωμος� σύνδεσμος) όπου:

Qµ(na) =ω

2i

[Vµ(na)U †µ(na)− Uµ(na)V †µ (na)− 1

3tr[Vµ(na)U †µ(na)− Uµ(na)V †µ (na)

]](3.110d)

με Vµ(na) να αποτελεί το άθροισμα όλων των staples (τρεις διαδοχικοί σύνδεσμοι

διατεταγμένοι σε σχήμα Π) γύρω από τον σύνδεσμο Uµ(na), δηλαδή

Vµ(na) =±4∑ρ=±1

Uρ(na)Uµ(na+ ρa)U †ρ(na+ µa) (3.110e)

΄Ενα παράδειγμα staple γύρω από τον σύνδεσμο Uµ(na) δίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Σχήμα 3.4: Απεικόνιση ενός staple γύρω από τον σύνδεσμο Uµ(na)

Η πιο πάνω δράση με τα stout links είναι ιδανική για τη μελέτη διαταρακτικών

υπολογισμών της QCD, καθώς μπορεί εύκολα να γραφεί ως δυναμοσειρά του g.


3.6.3 Βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Staggered

Κατά τον αριθμητικό υπολογισμό της φερμιονικής δράσης Staggered στο

πλέγμα, στο όριο του συνεχούς, όπως αναφέραμε, παρουσιάζονται σφάλματα

διακριτοποίησης τάξης O(a2). ΄Ετσι, η δράση αυτή δίχως βελτίωση έχει την ίδια

ακρίβεια με τις βελτιωμένες δράσεις Clover και SLiNC των φερμιονίων Wilson.

΄Ομως, εξαιτίας της παρουσίας τεσσάρων διαφορετικών tastes των φερμιονίων

Staggered, η δράση καλείται να ικανοποιεί μία επιπλέον συμμετρία στο χώρο των

tastes, καθώς στην πραγματικότητα τα φερμιόνια δεν έχουν taste. Η απλή δράση

Staggered παραβιάζει τη συμμετρία αυτή, παρουσιάζοντας μίξη των tastes. Μία

βελτίωση στη δράση Staggered, που μειώνει τα φαινόμενα παραβίασης της

συμμετρίας του taste είναι η εισαγωγή stout links, όπως ακριβώς γίνεται και στη

δράση SLiNC. Τότε η δράση Staggered γράφεται:

SLF

(Staggered1 stout) (U, χ, χ) = +a4

∑f,na,b

1

2a

[χaf (na)ηµ(na)Uab

µ (na)χbf (na+ µa)

− χaf (na+ µa)ηµ(na+ µa)(U †µ)ab(na)χbf (na)]

+ a4∑f,n,a

(m0)f χaf (na)χaf (na)

(3.111)

όπου Uµ(na) είναι ο stout link που δίνεται από τις σχέσεις (3.110c) - (3.110e). Μια

επέκταση της βελτίωσης αυτής είναι η χρήση διπλών stout links:

˜Uµ(na) = eiQµ(na)Uµ(na) (3.112)

όπου Qµ(na) δίνεται από την (3.110d), αλλά χρησιμοποιώντας Uµ(na) στη θέση των

συνδέσμων, όπως και στην κατασκευή του Vµ(na), και χρησιμοποιώντας διαφορετική

παράμετρο ω στον ορισμό των Qµ(na) και Qµ(na) (ω1, ω2 αντίστοιχα).

΄Αλλες βελτιώσεις της δράσης Staggered αποτελούν οι HYP smearing, HEX

smearing και ASQTAD (βλέπε π.χ. [16], [17]).

Κεφάλαιο 4

Διαταρακτική μελέτη της

Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο

πλέγμα

4.1 Εισαγωγή

Η ανάγκη για μελέτη μη διαταρακτικών φαινομένων της θεωρίας της Κβαντικής

Χρωμοδυναμικής, όπως ο περιορισμός των quark (con�nement), οι μάζες των

αδρονίων, κ.ά. αποτέλεσε την αιτία της δημιουργίας της Κβαντικής

Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα. Παρ' όλ' αυτά, η διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής

Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα παραμένει μέχρι σήμερα στο προσκήνιο των ερευνών.

Αν και είναι πιο σύνθετη από τη διαταρακτική μελέτη στο συνεχές εξαιτίας της

ύπαρξης κορυφών αλληλεπίδρασης στο πλέγμα που δεν έχουν συνεχές ανάλογο

εντούτοις παρατηρείται ότι είναι πολύ χρήσιμη, ακόμη και για υπολογισμούς σε

χαμηλότερες ενέργειες.

Η διαταρακτική μελέτη της Κβαντικής Χρωμοδυναμικής στο πλέγμα, πέρα από

τον άμεσο έλεγχο ορθότητας μη διαταρακτικών υπολογισμών σε ασθενά

συζευγμένα συστήματα των quark, αποτελεί ένα δυναμικό εργαλείο για την

εφαρμογή της διαδικασίας της επανακανονικοποίησης. Οι επανακανονικοποιημένες

παράμετροι και συναρτήσεις της δράσης της QCD στο πλέγμα μπορούν να

υπολογιστούν σχετικά ευκολότερα στη θεωρία διαταραχών. Η θεωρία διαταραχών

στο πλέγμα προσφέρεται για την εφαρμογή διαφορετικών σχημάτων

111

Κεφάλαιο 4. Διαταρακτική μελέτη της ΚΧΔ στο πλέγμα 112

επανακανονικοποίησης. Για να συγκρίνουμε τις προσομοιώσεις στο πλέγμα με τα

πειραματικά αποτελέσματα, οι παράμετροι, όπως η σταθερά σύζευξης και οι

σταθερές επανακανονικοποίησης πρέπει να συνδέονται με τις ισοδύναμες

παραμέτρους στο MS σχήμα επανακανονικοποίησης, καθώς σ' αυτό το σχήμα είναι,

τυπικά, εκπεφρασμένα τα πειραματικά αποτελέσματα. Συνεπώς, η διαδικασία της

μετατροπής των παραμέτρων και συναρτήσεων επανακανονικοποίησης στο MS

σχήμα είναι ευκολότερη όταν εκτελεστεί διαταρακτικά.

Η θεωρία διαταραχών στην Θεωρία Κβαντικών Πεδίων υπαγορεύει τον

χωρισμό της δράσης σε δύο μέρη: το πρώτο το οποίο περιλαμβάνει τετραγωνικούς

όρους ως προς τα πεδία ολοκλήρωσης και το δεύτερο το οποίο περιλαμβάνει τους

όρους αλληλεπίδρασης. Δηλαδή, SE = SE(2) + SEint. Τότε το συναρτησιακό

ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή∫DφEe−S

E(2)

(φ)e−SEint(φ). Στη συνέχεια εφαρμόζεται

ανάπτυγμα Taylor του εκθετικού e−SEint(φ)

ως προς τη σταθερά σύζευξης g.

Δηλαδή, αν SEint(φ) = gV (φ) τότε e−SEint(φ) =

∑∞k=0

(−g)kk!

V k(φ). Θεωρώντας ότι η

σταθερά g είναι μικρή, μπορούμε να αγνοήσουμε μεγάλες δυνάμεις του g από το

ανάπτυγμα. ΄Ετσι, τώρα, στον υπολογισμό των συναρτήσεων Green πρέπει να

ληφθούν υπόψη και αυτοί οι επιπλέον όροι, πράγμα το οποίο μπορεί να γίνει με τη

βοήθεια των εξισώσεων (A.6 - 8). Η διαδικασία αυτή δημιουργεί τις λεγόμενες

κορυφές αλληλεπίδρασης μεταξύ των πεδίων της θεωρίας. Επίσης, οι διαδότες των

πεδίων θα περιλαμβάνουν πλέον όχι μόνο την άπλη μετάβαση ενός σωματιδίου από

ένα χωροχρονικό σημείο σε άλλο, αλλά και όλες τις πιθανές ενδιάμεσες

αλληλεπιδράσεις με άλλα σωματίδια που υπαγορεύουν οι κορυφές αλληλεπίδρασης.

΄Ολες αυτές οι πιθανές καταστάσεις, για σκοπούς ευκολίας συμβολίζονται με

διαγράμματα, τα λεγόμενα διαγράμματα Feynman. Στη θεωρία διαταραχών στο

πλέγμα, δημιουργούνται και επιπλέον κορυφές αλληλεπίδρασης δίνοντας

περισσότερα διαγράμματα Feynman σε κάθε διαταρακτική τάξη, τα οποία δεν

υπάρχουν στο όριο του συνεχούς.

Στο κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε κάποιες από τις κορυφές αλληλεπίδρασης

της πλεγματικής QCD τόσο με φερμιόνια Wilson όσο και με φερμιόνια Staggered

(στην απλή πλεγματική δράση της QCD) και θα επισημάνουμε τα διαγράμματα

Feynman μέχρι δύο βρόχων που συνεισφέρουν στον υπολογισμό του ολικού

φερμιονικού διαδότη.


4.2 Κορυφές αλληλεπίδρασης της QCD στο

πλέγμα

Το διαταρακτικό ανάπτυγμα ως προς go της δράσης της QCD στο πλέγμα,

τόσο με φέρμιόνια Wilson όσο και με φερμιόνια Staggered, εμφανίζει όρους

σύζευξης μεταξύ του φερμιονικού πεδίου, του γκλουονικού πεδίου και του πεδίου

φαντάσματος, δηλαδή όρους μη μηδενικής τάξης ως προς go, οι οποίοι περιέχουν

κάποια δύναμη των πιο πάνω πεδίων. Συγκεκριμένα, η φερμιονική δράση, πέρα από

τον τυπικό όρο ψψ (μηδενικής τάξης ως προς go, ο οποίος αντιστοιχεί στο διαδότη

ελεύθερων φερμιονίων), περιέχει όρους αλληλεπίδρασης ενός ζεύγους φερμιονίου -

αντιφερμιονίου με 1 γκλουόνιο (VψAψ), με 2 γκλουόνια (VψAAψ) μέχρι άπειρα

γκλουόνια, εξαιτίας της παρουσίας των γκλουονικών συνδέσμων, των οποίων ο

ορισμός είναι εκθετικό ως προς go. Επίσης, η γκλουονική δράση, πέρα από τον

τυπικό όρο AA (μηδενικής τάξης ως προς go, ο οποίος αντιστοιχεί στον απλό

γκλουονικό διαδότη), περιέχει όρους αλληλεπίδρασης 3 γκλουονίων μεταξύ τους

(VAAA), 4 γκλουονίων (VAAAA) μέχρι απείρων γκλουονίων, για τον ίδιο λόγο με πιο

πάνω. Ακόμη, η δράση Faddeev − Popov, πέρα από τον τυπικό όρο cc (μηδενικήςτάξης ως προς go, ο οποίος αντιστοιχεί στο διαδότη του ελεύθερου πεδίου

φαντάσματος), περιλαμβάνει όρους αλληλεπίδρασης ενός ζεύγους πεδίου

φαντάσματος - αντιφαντάσματος με 1 γκλουόνιο (VcAc), με 2 γκλουόνια, μέχρι

άπειρα γκλουόνια. Τέλος, η δράση Smeasure εμφανίζει όρους αλληλεπίδρασης μεταξύ

2 γκλουονίων (VAAmeas), 4 γκλουονίων, κ.ο.κ μέχρι άπειρα γκλουόνια. Η gauge

�xing δράση δεν περιέχει όρους αλληλεπίδρασης. ΄Οπως γίνεται αντιληπτό, οι όροι

αλληλεπίδρασης που πηγάζουν από τη δράση της QCD στο πλέγμα είναι άπειροι.

΄Ομως, στα πλαίσια μιας διαταρακτικής μελέτης κης τάξης ως προς go, κρατούνται

μόνο όροι τάξης μικρότερης ή ίσης του κ με αποτέλεσμα ο αριθμός των όρων

αλληλεπίδρασης που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή συναρτήσεων Green να

είναι περιορισμένος. Από τις πιο πάνω κορυφές μόνο οι VψAψ, VcAc, VAAA και

VAAAA έχουν συνεχές ανάλογο, όπως και οι διαδότες των πεδίων τάξης O(g0o):

ψψ, cc, AA. Αυτό είναι εμφανές από τη συνεχή δράση.

΄Οπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, οι όροι αλληλεπίδρασης έχουν πάρει την

ονομασία κορυφές αλληλεπίδρασης, εξαιτίας της σχηματικής τους απεικόνισης.

Παρακάτω παρατίθενται κάποιες από τις κορυφές της QCD, μαζί με την αντίστοιχη

σχηματική απεικόνισή τους. Οι κορυφές και οι διαδότες που περιέχουν φερμιόνια

δίνονται τόσο με τη χρήση φερμιονίων Wilson όσο και με φερμιόνια Staggered.


Σχήμα 4.1: H κορυφή αλληλεπίδρασης VψAψ για naive φερμιόνιαWilson καιVχAχγια naive φερμιόνια Staggered

Σχήμα 4.2: H κορυφή αλληλεπίδρασης VAAA

4.3 Διαγράμματα Feynman του φερμιονικού

διαδότη 1 και 2 βρόχων στην QCD στο

πλέγμα

Διαγράμματα Feynman είναι η σχηματική απεικόνιση όλων των ενδιάμεσων

καταστάσεων αλληλεπίδρασης σωματιδίων που συνεισφέρουν στον υπολογισμό μιας

συνάρτησης Green στη θεωρία διαταραχών. Τα διαγράμματα αυτά αποτελούνται

πάντα από εξωτερικές γραμμές (δηλαδή τα άκρα του διαγράμματος), οι οποίες

αντιστοιχούν στα πεδία που εμφανίζονται στη συνάρτηση Green και εσωτερικές

γραμμές που σχηματίζουν βρόχους. Οι εξωτερικές γραμμές συμβολίζουν

πραγματικά σωματίδια ενώ οι εσωτερικές συμβολίζουν εικονικά σωματίδια που

ξεπηδούν από το κενό, αλληλεπιδρούν με τα πραγματικά σωματίδια αλλά και μεταξύ

τους και στο τέλος εξαϋλώνονται. Ο τρόπος που κατασκευάζεται ένα διάγραμμα

είναι η ένωση κορυφών αλληλεπίδρασης κάποιας τάξης ως προς go με διαδότες


μηδενικής τάξης ως προς go, δημιουργώντας εσωτερικούς βρόχους. Ανάλογα με τον

αριθμό των βρόχων, το κάθε διάγραμμα αντιστοιχεί σε κάποια διαταρακτική τάξη

του go. Τυπικά, ένας βρόχος αντιστοιχεί σε διαταρακτική τάξη g2o , οι δύο βρόχοι σε

διαταρακτική τάξη g4o , κ.ο.κ. Το άθροισμα όλων των διαγραμμάτων Feynman με `

βρόχους, πολλαπλασιασμένα με κάποιο συνδυαστικό παράγοντα, ο οποίος δίνεται

από το θεώρημα του Wick (βλ. μεταθέσεις στο άθροισμα (A.31) ), δίνει τη

συνάρτηση Green στην 2` τάξη ως προς go της θεωρίας διαταραχών.

Μια ειδική κατηγορία των διαγραμμάτων Feynman που χρησιμοποιείται συχνά

για τον υπολογισμό συναρτήσεων επανακανονικοποίησης των πεδίων είναι τα

�ακρωτηριασμένα� (amputated) 1 PI (one particle irreducible) διαγράμματα. Τα

διαγράμματα αυτά προκύπτουν από την αποκοπή των άκρων του διαγράμματος που

αντιστοιχούν σε ολικούς διαδότες των εξωτερικών πεδίων με τέτοιο τρόπο ώστε τα

διαγράμματα που θα προκύψουν να είναι 1PI, δηλαδή να εξακολουθούν να

παραμένουν συνδεδεμένα μετά από την αποκοπή μιας γραμμής. Ο λόγος που γίνεται

κάτι τέτοιο είναι ότι το κομμάτι του διαγράμματος που αποκόπτεται είναι κοινό στις

συναρτήσεις Green με ίδια εξωτερικά πεδία και ως εκτούτου αποδεικνύεται ότι

απαλείφεται από τους υπολογισμούς.

Για τον υπολογισμό ακρωτηριασμένων συναρτήσεων Green τελεστών που είναι

κατασκευασμένοι από φερμιονικά μόνο πεδία των quark (όπως είναι ο φερμιονικός

διαδότης), χρειάζεται η κατασκευή των διαγραμμάτων Feynman με εξωτερικές

γραμμές τα φερμιονικά πεδία. Παρακάτω, παρατίθενται τα ακρωτηριασμένα 1PI

διαγράμματα Feynman ενός και δύο βρόχων του φερμιονικού διαδότη, τα οποία

χρειάζονται για τον υπολογισμό της συνάρτησης επανακανονικοποίησης Zψ του

φερμιονικού πεδίου, κάποια από τα οποία είναι χρήσιμα για το υπόλοιπο της

εργασίας. Η κυματιστή (ευθεία, διακεκομμένη) γραμμή στα διαγράμματα

αντιπροσωπεύει γκλουόνια (φερμιόνια, πεδία φαντάσματα). Το γεμάτο κουτί

συμβολίζει κορυφές που προέρχονται από τη δράση Smeasure. O γεμάτος κύκλος

είναι φερμιονικός αντισταθμιστικός όρος μάζας (mass counterterm), ο οποίος

προέρχεται από διαδικασία επανακανονικοποίησης.

1 2

Σχήμα 4.3: Διαγράμματα 1 βρόχου φερμιονικού διαδότη


262423

65 873 4

28

9 10 12 13 14

15 16 17 19 20

21 22 25

27

18

11

Σχήμα 4.4: Διαγράμματα 2 βρόχων φερμιονικού διαδότη

Κεφάλαιο 5

Φερμιονικά ρεύματα (fermion

bilinears) στην QCD

Μια πληθώρα από αδρονικές ιδιότητες, όπως οι μάζες και σταθερές σκέδασης

των αδρονίων, μπορούν να υπολογιστούν στην QCD στο πλέγμα με τη χρήση

στοιχείων πινάκων και συναρτήσεων Green σύνθετων τελεστών,

κατασκευασμένους από πεδία των quark. Τέτοιοι σύνθετοι τελεστές που έχουν

μελετηθεί από αριθμητικές προσομοιώσεις είναι οι τοπικοί και μη τοπικοί

διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές (ή αλλιώς φερμιονικά ρεύματα), οι τελεστές

τεσσάρων φερμιονίων, κ.ά. Οι πιο απλές φυσικές ποσότητες που περιλαμβάνουν

φερμιόνια και οι οποίες μπορούν να υπολογιστούν στο πλέγμα είναι οι μάζες των

μεσονίων. Αυτές μπορούν να εξαχθούν από την κατάλληλη κατασκευή τοπικών

διγραμμικών τελεστών που να δίνουν τους σωστούς κβαντικούς αριθμούς για κάθε

μεσόνιο.

5.1 Ο ορισμός και η σημασία των διγραμμικών

φερμιονικών τελεστών (fermion bilinears)

Οι διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές (fermion bilinears), όπως λέει και το όνομά

τους είναι τελεστές που αποτελούνται από δύο φερμιονικά πεδία και συγκεκριμένα

από ζεύγος φερμιονίου - αντιφερμιονίου. ΄Εχουν την εξής γενική μορφή:

OΓ = ψΓψ (5.1)

117

Κεφάλαιο 5. Φερμιονικά ρεύματα (fermion bilinears) στην QCD 118

όπου Γ είναι, για κάθε τελεστή, ένας διαφορετικός πίνακας 4 × 4, έτσι ώστε η

συνολική έκφραση κάθε OΓ να έχει διαφορετική συμπεριφορά κάτω από συνεχείς

και διακριτούς μετασχηματισμούς Lorentz O(3,1). ΄Ετσι μπορούμε να

κατασκευάσουμε συνολικά δεκαέξι διαφορετικούς πίνακες Γ, οι οποίοι είναι

1, γ5, γµ, γ5γµ, σµν[από εδώ και πέρα μέχρι το τέλος της εργασίας όλες οι

ποσότητες (πίνακες γ, ορμές, κ.λ.π.) στις οποίες αναφερόμαστε είναι ορισμένες

στον ευκλείδειο χώρο. ΄Ετσι μπορούμε να παραλείψουμε το γράμμα Ε, που δηλώνει

ότι πρόκειται για ποσότητα ορισμένη στον ευκλείδειο χώρο, θεωρώντας ότι

εννοείται.], όπου σµν = 1

2i[γµ, γν ] και µ, ν = 1, 2, 3, 4. Ο τελεστής ψ1ψ ονομάζεται

βαθμωτός (scalar) διότι κάτω από συνεχείς μετασχηματισμούς Lorentz αλλά και

μετασχηματισμούς parity και χρονικής αντιστροφής, συμπεριφέρεται ως βαθμωτή

ποσότητα. Αντίστοιχα, ο τελεστής ψγµψ συμπεριφέρεται ως διάνυσμα (vector) και

ο ψσµνψ ως τανυστής (tensor), γι' αυτό και πήραν την ανάλογη ονομασία. Οι

τελεστές ψγ5ψ και ψγ5γµψ ονομάστηκαν ψευδοβαθμωτός (pseudoscalar) και

ψευδοδιάνυσμα (pseudovector ή axial vector) αντίστοιχα διότι ενώ κάτω από

συνεχείς μετασχηματισμούς Lorentz συμπεριφέρονται ως βαθμωτός και διάνυσμα

αντίστοιχα, κάτω από μετασχηματισμούς parity και χρονικής αντιστροφής

παρουσιάζουν αντίθετη συμπεριφορά από την αναμενόμενη (υπάρχει μια αλλαγή

προσήμου). Επίσης, κάτω από μετασχηματισμούς συζυγίας φορτίου (C), ο scalar, ο

pseudoscalar και axial vector παραμένουν αναλλοίωτοι, ενώ ο vector και tensor

αλλάζουν πρόσημο. Συνοψίζοντας, στον πίνακα (5.1) φαίνονται οι κβαντικοί

αριθμοί της στροφορμής J, parity P και συζυγίας φορτίου C των διγραμμικών

φερμιονικών τελεστών. Σχηματικά, οι τελεστές OΓ συμβολίζονται ως:

Σχήμα 5.1: Απεικόνιση των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών (fermion

bilinears)

όπου η γραμμή είναι ο φερμιονικός διαδότης και το × ο πίνακας Γ.

΄Οπως γνωρίζουμε, ένα οποιοδήποτε μεσόνιο αποτελείται από ένα ζεύγος

quark και αντι-quark, όμοιας ή διαφορετικής γεύσης. Ταυτόχρονα το κάθε μεσόνιο

έχει τους δικούς του κβαντικούς αριθμούς. Συνεπώς οι καταστάσεις των μεσονίων

μπορούν να προκύψουν από τους διγραμμικούς φερμιονικούς τελεστές, τους

οποίους αναφέραμε προηγουμένως. Επομένως, η κατάσταση ενός μεσονίου θα έχει


Κατάσταση JPC Γ Μεσόνια

Scalar 0++1 f0, a0, K

∗0 , · · ·

Pseudoscalar 0−+ γ5 π±, π0, n,K±, K0, · · ·Vector 1−− γµ ρ±, ρ0, ω,K∗, φ, · · ·Axial vector 1++ γµγ5 a1, f1, · · ·Tensor 1+− σµν h1, b1, · · ·

Πίνακας 5.1: Κβαντικοί αριθμοί των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών και η

αντιστοίχισή τους με μεσόνια

τη μορφή Om(tE)|0 >, όπου:

Om(tE) =∑~x

ψf1(~x, tE)Γ(m)ψf2(~x, tE) (5.2)

είναι τοπικοί διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές.[Στην πραγματικότητα, η κατάσταση

που αντιστοιχεί σ' ένα μεσόνιο, όντας δέσμια, είναι πιο πολύπλοκη από την (5.2),

όμως η (5.2) αναμένεται να έχει μια σημαντική επικάλυψη με την κατάσταση αυτή.]

Στον πίνακα (5.1) φαίνονται και οι κβαντικοί αριθμοί των μεσονίων καθώς και η

αντιστοίχιση των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών με τα μεσόνια.

Η μάζα ενός οποιουδήποτε σωματιδίου μπορεί να προκύψει από τον υπολογισμό

του διαδότη του. Στην περίπτωση των μεσονίων, ο διαδότης τους υπολογίζεται από

την εξής συνάρτηση Green C(m)(tE) =< Om(tE)Om(0) >. Χρησιμοποιώντας τη

σχέση μετάβασης από την εικόνα Heisenberg στην εικόνα Schrödinger Om(tE) =

eHteOm(0)e−Ht

E, η συνάρτηση Green παίρνει τη μορφή:

C(m)(tE) =< 0|Om(0)e−HtEOm(0)|0 >

Εισάγοντας το μοναδιαίο τελεστή συναρτήσει των ιδιοκαταστάσεων ενέργειας 1 =∑n |n >< n|, η συνάρτηση Green τελικά γράφεται:

C(m)(tE) =∑n

< 0|Om(0)|n >< n|Om(0)|0 > e−EntE

= Ane−EntE (5.3)

Για tE →∞ επιζεί μόνο η χαμηλότερη ιδιοενέργεια των μεσονίων πάνω από το κενόEn=0, η οποία αντιστοιχεί σε ορμή ίση με 0, και συνεπώς, σύμφωνα με την σχέση


E2p = |~p|2 +m2, η En=0 θα ισούται με τη μάζα m του μεσονίου. ΄Αρα,

C(m)(tE →∞) = A0e−mtE (5.4)

Τότε από το γράφημα της meff = f(tE), όπου:

meff =1

δtEln

[C(m)(tE)

C(m)(tE + δtE)

]∼ d

dtElnC(m)(tE) (5.5)

μπορεί να βρεθεί η μάζα του μεσονίου εκεί που η meff αποκτά σταθερή τιμή, καθώς

tE → ∞. Επομένως, για την εξαγωγή της μάζας ενός μεσονίου αρκεί να

υπολογίσουμε τη συνάρτηση Green C(m)(tE) του αντίστοιχου μεσονίου στο

πλέγμα. Η συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφεί ως ένα άθροισμα από αναμενόμενες

τιμές του γινομένου δύο διαδοτών από εξωτερικά πεδία των quark, υπολογισμένες

με το γκαουσιανό στατιστικό βάρος e−SG(U), όπου SG(U) η γκλουονική δράση στο

πλέγμα. Για παράδειγμα, το πιόνιο π+με τον αντίστοιχό του διγραμμικό φερμιονικό

τελεστή Oπ+(tE) =∑

~xE da(~xE, tE)γ5u

a(~xE, tE), όπου u και d είναι το �up� και

�down� quark και a: δείκτης χρώματος, έχει την εξής συνάρτηση Green στο

πλέγμα:

Cπ+

(m4a) = −∑~n,~m

∫DUe−SG(U) det[Ku

~n,0;~m,m4] det[Kd

~m,m4;~n,0]tr[γ5K−1~n,0;~m,m4

uγ5K

−1~m,m4;~n,0

d]∫

DUe−SG(U) det[Ku~n,0;~m,m4

] det[Kd~m,m4;~n,0]

όπου ~n = (n1, n2, n3), tE = m4a και K−1ο διαδότης των quark. ΄Ομως, για την

εξαγωγή της σωστής φυσικής μάζας των μεσονίων απαιτείται η

επανακανονικοποίηση των τοπικών διγραμμικών φερμιονικών τελεστών OΓ έτσι

ώστε οι συναρτήσεις Green C(m)(tE) να δίνουν πεπερασμένο αποτέλεσμα. Η

μέθοδος υπολογισμού των συναρτήσεων επανακανονικοποίησης των τοπικών

διγραμμικών φερμιονικών τελεστών περιγράφεται στο υποκεφάλαιο 5.3. Η πιο πάνω

εφαρμογή των διγραμμικών τελεστών είναι από τις πιο χρήσιμες και δεν απαιτεί

κανονικοποίηση των τελεστών, αφού ενδιαφέρει μόνο ο εκθέτης (mtE) και όχι ο

πολλαπλασιαστικός παράγοντας A0. Σε πλείστες άλλες εφαρμογές, όμως, η σωστή

κανονικοποίηση είναι απαραίτητη, όπως π.χ. στον υπολογισμό των συναρτήσεων

δομής (structure functions).


5.2 Μονήρεις (singlet) και μη μονήρεις

(non-singlet) ως προς τη γεύση (�avor)

τοπικοί διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές

στην QCD

Οι τοπικοί διγραμμικοί φερμιονικοί τελεστές, κατασκευασμένοι από πεδία των

quark, χωρίζονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τη γεύση που έχουν τα πεδία των

quark και αντι-quark που περιέχουν: τους μονήρεις (�avor singlet) και μη μονήρεις

(�avor non-singlet). O μονήρης τελεστής αποτελεί ένα γραμμικό συνδυασμό από

τους αντίστοιχους τοπικούς διγραμμικούς φερμιονικούς τελεστές με ίδια γεύση

ανάμεσα στο quark και αντι-quark του κάθε τελεστή. Ορίζεται ως:

OsingletΓ =∑f

ψfΓψf (5.6)

Ο μη μονήρης (non-singlet) τελεστής αποτελεί έναν μόνο τοπικό διγραμμικό

φερμιονικό τελεστή με διαφορετική γεύση - �avor ανάμεσα στο quark και

αντι-quark του τελεστή. Ορίζεται ως:

Onon−singletΓ (f1, f2) = ψf1Γψf2 (5.7)

Από τα διαγράμματα Feynman 2 - loop του υποκεφαλαίου 4.3, αυτά με κλειστό

φερμιονικό βρόχο, αν εμφανίζουν τον πίνακα Γ στο βρόχο αυτό μηδενίζονται για non-

singlet τελεστές για σκοπούς διατήρησης της γεύσης - �avor του βρόχου. Αντίθετα,

τα υπόλοιπα διαγράμματα παίρνουν την ίδια έκφραση και για τους singlet και για τους

non-singlet τελεστές.

Οι μονήρεις τελεστές σχετίζονται με ένα πλήθος από αδρονικές ιδιότητες,

όπως τοπολογικές ποσότητες και τη δομή spin των αδρονίων. Τα στοιχεία πινάκων

τέτοιων τελεστών είναι εμφανώς δύσκολο να μελετηθούν μέσω αριθμητικών

προσομοιώσεων, λόγω της παρουσίας αποσυνδεδεμένων φερμιονικών γραμμών στα

διαγράμματα Feynman, γεγονός το οποίο απαιτεί την εκτίμηση του πλήρους

φερμιονικού διαδότη. Τα τελευταία χρόνια έχει σημειωθεί κάποια πρόοδος στην

αριθμητική μελέτη των τελεστών αυτών. Για ορισμένους τελεστές μια μη

διαταρακτική εκτίμηση της επανακανονικοποίησής τους έχει επιτευχθεί με τη χρήση

της σχέσης Feynman - Hellmann. Η θεωρία διαταραχών μπορεί να αποτελέσει ένα


σημαντικό εργαλείο ελέγχου ορθότητας των εκτιμήσεων αυτών, ενώ ταυτόχρονα

παρέχει αποτελέσματα για τους τελεστές, οι οποίοι είναι δύσκολο να

επανακανονικοποιηθούν μη διαταρακτικά. Αντίθετα, για την επανακανονικοποίηση

των μη μονήρων τελεστών μπορεί κανείς να λάβει ευκολότερα αρκετά ακριβείς μη

διαταρακτικές εκτιμήσεις. Επομένως, η διαταρακτική μελέτη της διαφοράς μεταξύ

της συνάρτησης επανακανονικοποίησης των μονήρων και μη μονήρων τελεστών

αποτελεί έναν ακριβέστερο τρόπο να υπολογίσουμε την επανακανονικοποίηση των

μονήρων, χρησιμοποιώντας την ήδη γνωστή μη διαταρακτική συνάρτηση

επανακανονικοποίησης των μη μονήρων τελεστών. Η διαταρακτική μελέτη της

επανακανονικοποίησης της διαφοράς αυτής είναι και ο σκοπός της παρούσας

εργασίας, χρησιμοποιώντας βελτιωμένες δράσεις των φερμιονίων Staggered στον

υπολογισμό των σχετικών συναρτήσεων Green. Ο υπολογισμός αυτός

παρουσιάζεται στο επόμενο κεφάλαιο, για τη διαταρακτική τάξη O(g4), δηλαδή για

συναρτήσεις Green των διαγραμμάτων Feynman με δύο βρόχους.

5.3 Επανακανονικοποίηση (Renormalization)

των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών

Η επανακανονικοποίηση των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών είναι μια

απαραίτητη διαδικασία για την εξαγωγή φυσικών αποτελεσμάτων στο πλέγμα. Τα

πιο διαδεδομένα σχήματα επανακανονικοποίησης που χρησιμοποιούνται ευρύτατα για

τον υπολογισμό συναρτήσεων επανακανονικοποίησης στο πλέγμα είναι το RI' και

MS σχήματα. Το MS σχήμα χρησιμοποιείται στο πλέγμα λόγω της εύκολης

σύγκρισης αποτελεσμάτων του με τους διαταρακτικούς υπολογισμούς στο συνεχές,

καθώς χρησιμοποιείται και στην διαστασιακή ομαλοποίηση (dimensional

regularization). Επίσης, το RI' σχήμα χρησιμοποιείται στο πλέγμα διότι

εφαρμόζεται πιο άμεσα σε μια ομαλοποιημένη θεωρία στο πλέγμα. Και τα δύο

σχήματα επανακανονικοποίησης είναι ανεξάρτητα της μάζας. Στα παρακάτω

υποκεφάλαια περιγράφεται πρώτα ο ορισμός των δύο σχημάτων

επανακανονικοποίησης στο πλέγμα και στη συνέχεια περιγράφεται ο τρόπος με τον

οποίο μπορούν να κατασκευαστούν οι συναρτήσεις επανακανονικοποίησηςτων

διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στα δύο σχήματα. Προτού όμως ορίσουμε τα

δύο σχήματα, επιβάλλεται ο ορισμός των επανακανονικοποιημένων ποσοτήτων

συναρτήσει των απογυμνωμένων ποσοτήτων που χρησιμοποιούν τα δύο σχήματα

για να ορίσουν τις συναρτήσεις επανακανονικοποίησης. ΄Ετσι ορίζουμε το


επανακανονικοποιημένο γκλουονικό πεδίο (AaµR) , πεδίο φάντασμα (caR) και

φερμιονικό πεδίο (ψR) και την επανακανονικοποιημένη σταθερά σύζευξης gR και

παράμετρο βαθμίδας αR από τις παρακάτω σχέσεις:

Aaµo = (ZX,YA )1/2AaµR, cao = (ZX,Y

c )1/2caR, ψo = (ZX,Yψ )1/2ψR

go = µεZX,Yg gR, αo = (ZX,Y

α )−1ZX,YA αR

(5.8)

όπου το σύμβολο � o � υποδηλώνει τις απογυμνωμένες παραμέτρους, X την

ομαλοποίηση, Y το σχήμα επανακανονικοποίησης που χρησιμοποιείται, Z η

συνάρτηση επανακανονικοποίησης των παραμέτρων και μ είναι η κλίμακα μάζας, η

οποία εισάγεται για να εξασφαλίσει ότι η go έχει τη σωστή διαστατικότητα στις

d = 4 − 2ε διαστάσεις, δηλαδή στη διαστασιακή ομαλοποίηση. Για συναρτήσεις

Green μέχρι δύο βρόχων με εξωτερικά σωματίδια ένα ζεύγος φερμιονίου -

αντιφερμιονίου, οι συναρτήσεις επανακανονικοποίησης ZL,YA , ZL,Y

c , ZL,Yα και ZL,Y

g

στο πλέγμα απαιτούνται να υπολογιστούν μέχρι ένα μόνο βρόχο (O(g2)), ενώ η

ZL,Yψ μέχρι δύο βρόχους (O(g4)).

5.3.1 Εφαρμογή του σχήματος επανακανονικοποίησης

RI' στο πλέγμα

Το σχήμα επανακανονικοποίησης RI' ορίζεται με την επιβολή ενός συνόλου από

συνθήκες επανακανονικοποίησης στα στοιχεία πινάκων, σε μια κλίμακα µ, η οποία,

όπως και στο MS σχήμα, ισούται με:

µ = µ

(4π

eγE

)1/2

(5.9)

όπου γE είναι η σταθερά Euler.

Η συνάρτηση επανακανονικοποίησης του φερμιονικού πεδίου Zψ ορίζεται μέσω

της πιο κάτω συνθήκης κανονικοποίησης:

limaL→0

[ZL,RI′

ψ (aLµ)ΣLψ(q, aL)

]q2=µ2,m=0

= limaL→0

[ΣLψtree

(q, aL)

]q2=µ2,m=0

(5.10)

όπου aL είναι η σταθερά πλέγματος, ΣLψ(q, aL) η ακρωτηριασμένη (amputated)

απογυμνωμένη συνάρτηση Green του φερμιονικού διαδότη, λαμβάνοντας υπόψη και

εσωτερικούς βρόχους, και ΣLψtree

(q, aL) ο αντίστροφος ακρωτηριασμένος


απογυμνωμένος φερμιονικός διαδότης στη μηδενική τάξη ως προς go, δηλαδή δίχως

εσωτερικούς βρόχους, ο οποίος ονομάζεται tree level. Η πιο πάνω συνθήκη

προέρχεται από την απαίτηση η επανακανονικοποιημένη ακρωτηριασμένη συνάρτηση

Green του φερμιονικού διαδότη να ισούται με τον αντίστροφο ακρωτηριασμένο

απογυμνωμένο φερμιονικό διαδότη tree level στο όριο aL → 0, για m = 0 και στην

μεγάλη ενεργειακή κλίμακα q2 = µ2.

Παρομοίως, η συνάρτηση επανακανονικοποίησης του πεδίου φαντάσματος Zc,

ορίζεται από την συνθήκη:

limaL→0

[ZL,RI′

c (aLµ)ΣLc (q, aL)

]q2=µ2,m=0

= limaL→0

[ΣLc tree(q, aL)

]q2=µ2,m=0

(5.11)

όπου ΣLc (q, aL) είναι η ακρωτηριασμένη απογυμνωμένη συνάρτηση Green του

διαδότη για το πεδίο φάντασμα και ΣLc tree(q, aL) ο αντίστροφος ακρωτηριασμένος

απογυμνωμένος διαδότης tree level του πεδίου φαντάσματος.

Οι ZL,RI′

A και ZL,RI′α εξάγονται από τον γκλουονικό διαδότη:

DGµν

L(q, aL) =

1

q2

[δµν − qµqν/q2

ΠT (aLq)+ αo

qµqν/q2

ΠL(aLq)

]όπου ΠT,L(aLq) = 1 + O(g2

o) είναι διορθώσεις ανώτερης τάξης ως προς go στον

διαδότη tree level. Οι συνθήκες κανονικοποίησης είναι οι εξής:

limaL→0

[ZL,RI′

A (aLµ) ΠT (aLq)

]q2=µ2,m=0

= 1 (5.12)

limaL→0

[Zα

L,RI′(aLµ) ΠL(aLq)

]q2=µ2,m=0

= 1 (5.13)

Οι συνθήκες αυτές προέρχονται από την απάιτηση η επανακανονικοποιημένη

συνάρτηση Green του γκλουονικού διαδότη να ισούται με τον αντίστροφο

απογυμνωμένο γκλουονικό διαδότη tree level στο όριο aL → 0, για m = 0 και στην

ενεργειακή κλίμακα q2 = µ2. Η ZL,RI′α σύμφωνα με την πιο πάνω σχέση θα ισούται

με 1 στην πρώτη διαταρακτική τάξη.


Η συνάρτηση επανακανονικοποίησης της σταθεράς σύζευξης υπολογίζεται μέσω

της συνθήκης:

limaL→0

[ZL,RI′

ψ (aLµ)(ZL,RI′

A (aLµ))1/2

ZL,RI′

g (aLµ)GLAψψ(q, aL)

]q2=µ2,m=0

= G�niteAψψ

(5.14a)

ή

limaL→0

[ZL,RI′

c (aLµ)(ZL,RI′

A (aLµ))1/2

ZL,RI′

g (aLµ)GLAcc(q, aL)

]q2=µ2,m=0

= G�niteAcc

(5.14b)

όπου GLAψψ

και GLAcc είναι οι συναρτήσεις Green της 1 PI ακρωτηριασμένης

κορυφής γκλουονίου - φερμιονίου - αντιφερμιονίου και γκλουονίου - πεδίων

φαντασμάτων. Οι πιο πάνω συνθήκες προέρχονται από τη διαστασιακή ομαλοποίηση

και προκύπτουν από την απαίτηση οι GAψψ και GAcc διαιρεμένες με την

απογυμνωμένη σταθερά σύζευξης να δίνουν πεπερασμένο αποτέλεσμα, ίδιο με αυτό

που προκύπτει στο σχήμα MS.

5.3.2 Εφαρμογή του σχήματος επανακανονικοποίησης

MS στο πλέγμα

Το σχήμα επανακανονικοποίησης MS στο πλέγμα ορίζεται με τη βοήθεια των

συναρτήσεων επανακανονικοποίησης και των επανακανονικοποιημένων ποσοτήτων

του RI' σχήματος. Κάθε συνάρτηση επανακανονικοποίησης στο πλέγμα ZL,YO

μπορεί να εκφραστεί ως δυναμοσειρά της επανακανονικοποιημένης σταθεράς

σύζευξης gY . Η συσχέτιση μεταξύ της επανακανονικοποιημένης σταθεράς σύζευξης

των δύο σχημάτων gRI′ και gMS είναι τετριμμένη και δίνεται από τη σχέση:

gRI′ = gMS +O(g9MS

) (5.15)

Η σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις επανακανονικοποίησης των πεδίων στο MS

σχήμα με αυτές του RI' μπορεί να αποδοθεί ως εξής:

ZL,MSO = ZL,RI′

O /CO(gMS, αMS) (5.16)


όπου O = ψ, c, A και CO(gMS, αMS) ονομάζεται παράγοντας μετατροπής. Επειδή οι

επανακανονικοποιημένες συναρτήσεις Green είναι ανεξάρτητες της ομαλοποιήσης, ο

υπολογισμός των παραγόντων μετατροπής μπορεί να γίνει ευκολότερα στη

διαστασιακή ομαλοποίηση. Αποτελέσματα μέχρι και τριών βρόχων για τους

παράγοντες αυτούς υπάρχουν στο [18]. Συνεπώς,

CO(gMS, αMS) =ZDR,RI′

O

ZDR,MSO

(5.17)

Επίσης, η επανακανονικοποιημένη παράμετρος βαθμίδας στοMS σχήμα ορίζεται από

τη σχέση:

αRI′ =αMS

CA(gMS, αMS)(5.18)

5.3.3 Συναρτήσεις επανακανονικοποίησης των

διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στο πλέγμα

Οι επανακανονικοποιημένοι φερμιονικοί τελεστές στο πλέγμα ορίζονται από τη

σχέση:

OYΓ = ZX,YΓ OΓ◦ (5.19)

όπου ZX,YΓ η συνάρτηση επανακανονικοποίησης του κάθε φερμιονικού τελεστή.

Στο σχήμα επανακανονικοποίησης RI', οι συναρτήσεις επανακανονικοποίησης

ZL,RI′

Γ μπορούν να εξαχθούν μέσω των αντίστοιχων ακρωτηριασμένων

απογυμνωμένων συναρτήσεων Green 2 σημείων ΣLΓ(qaL). Οι συναρτήσεις ΣL

Γ(qaL)

των τελεστών OΓ μπορούν να γραφούν στην ακόλουθη μορφή:

ΣLS(qaL) = 1 Σ

(1),LS (qaL) (5.20a)

ΣLP (qaL) = γ5 Σ

(1),LP (qaL) (5.20b)

ΣLV (qaL) = γµ Σ

(1),LV (qaL) +

qµ/q

q2Σ

(2),LV (qaL) (5.20c)

ΣLAV (qaL) = γ5 γµ Σ

(1),LAV (qaL) + γ5

qµ/q

q2Σ

(2),LAV (qaL) (5.20d)

ΣLT (qaL) = σµν Σ

(1),LT (qaL) +

/q

q2(γµqν − γνqµ)Σ

(2),LT (qaL) (5.20e)


όπου S, P, V, AV, T αντιστοιχούν στους τελεστές: Γ = 1, γ5, γµ, γ5γµ, σµν και

Σ(1),LΓ = 1 + O(g2

◦), Σ(2),LΓ = O(g2

◦). Η συνθήκη επανακανονικοποίησης που δίνει

τις συναρτήσεις ZL,RI′

Γ είναι:

limaL→0

[ZL,RI′

ψ (aLµ)ZL,RI′

Γ (aLµ)Σ(1),LΓ (qaL)

]q2=µ2,m=0

= 1 (5.21)

Η πιο πάνω συνθήκη προέρχεται από την απαίτηση η επανακανονικοποιημμένη

απογυμνωμένη συνάρτηση Green των φερμιονικών τελεστών ψΓψ να δίνει τον

τελεστή Γ στο όριο aL → 0 για m = 0 και στην κλίμακα q2 = µ2. Παρόλο, που η

συνθήκη δεν περιλαμβάνει τις Σ(2),LΓ (qaL), εντούτοις η ZL,RI′

Γ δίνει πεπερασμένη

τιμή σ' ολόκληρη τη συνάρτηση Green ΣLΓ(qaL). Μια εναλλακτική συνθήκη για τον

υπολογισμό των συναρτήσεων επανακανονικοποίησης των διγραμμικών φερμιονικών

τελεστών, η οποία είναι και πιο κατάλληλη για μη διαταρακτική

επανακανονικοποίηση, αποτελεί η εξής:

limaL→0

[ZL,RI′(alter)ψ Z

L,RI′(alter)Γ tr

(ΓΣL

Γ(qaL)

)/tr

(ΓΓ

)]q2=µ2,m=0

= 1 (5.22)

όπου χρησιμοποιείται ολόκληρη η έκφραση της συνάρτησης Green ΣLΓ(qaL).

Η μετατροπή των συναρτήσεων επανακανονικοποίησης των τελεστών OΓ από

το RI' στο MS σχήμα γίνεται, όπως και με τα πεδία, μέσω των παραγόντων

μετατροπής CΓ(gMS, αMS) = ZDR,RI′

Γ

/ZDR,MS

Γ , υπολογισμένους στην διαστασιακή

ομαλοποίηση. Δηλαδή,

ZL,MSΓ =

ZL,RI′

Γ

CΓ(gMS, αMS)(5.23)

Για τους τελεστές pseudoscalar και axial vector, ο πιο πάνω ορισμός δεν είναι

επαρκής εξαιτίας της παρουσίας του πίνακα γ5, ο οποίος στις d διαστάσεις δε

γενικεύεται με ένα μοναδικό τρόπο με αποτέλεσμα σε κάποιες περιπτώσεις να

παραβιάζονται οι ταυτότητες του Ward που συμπεριλαμβάνουν pseudoscalar και

axial vector τελεστές. Για να λάβουμε τους σωστούς επανακανονικοποιημένους

pseudoscalar και axial vector τελεστές, χρειάζεται να εισάγουμε στην πιο πάνω

συνθήκη, τους επιπρόσθετους πεπερασμένους παράγοντες ZP5 (gMS) και ZAV

5 (gMS)


υπολογισμένους στη διαστασιακή ομαλοποίηση:

ZL,MSP =

ZL,RI′

P

CS(gMS, αMS)ZP5 (gMS)

, ZL,MSAV =

ZL,RI′

AV

CV (gMS, αMS)ZAV5 (gMS)

(5.24)

Οι παράγοντες ZP5 και Z

AV5 δίνονται από τις σχέσεις:

ZP5 =

GMSS γ5

GMSP

, ZAV5 =

G(1)V

MS

G(1)AV

MS(5.25)

όπου GMSΓ και G

(1)Γ

MSοι αντίστοιχες επανακανονικοποιημένες συναρτήσεις Green

των τελεστών OΓ (ΣΓ και Σ(1)Γ ). ΄Εδώ σημειώνουμε ότι ο ZAV

5 για το μονήρη ως

προς τη γεύση τελεστή διαφέρει από αυτόν για τον μη μονήρη. Επίσης, οι

επανακανονικοποιημένες συναρτήσεις Green GMSΓ εξαρτώνται από τις αντίστοιχες

συναρτήσεις στο RI' σχήμα από τις ακόλουθες σχέσεις:

GMSS,V,T =

GRI′S,V,T

CψCS,V,T, GMS

P,AV =GRI′P,AV

CψCP,AVZP,AV5

Για τον υπολογισμό της διαφοράς των συναρτήσεων επανακανονικοποίησης

μέχρι δύο βρόχων μεταξύ singlet και non-singlet διγραμμικών φερμιονικών

τελεστών (που είναι και ο σκοπός της παρούσας εργασίας) χρειαζόμαστε μόνο τις

tree level τιμές των Zψ, ZA, Zc, Zα, Zg, CΓ, ZP5 και Z

AV5 , οι οποίες είναι 1. Ο λόγος

για το πιο πάνω είναι ότι η διαφορά αυτή πρωτοεμφανίζεται στους δύο βρόχους κι

επομένως η συνάρτηση Green των φερμιονικών τελεστών μέχρι δύο βρόχους θα

δίνει από μόνη της τη σωστή εξάρτηση από τη σταθερά σύζευξης g. Επίσης, από τη

στιγμή που το CΓ = 1, η διαφορά των συναρτήσεων επανακανονικοποίησης μέχρι

δύο βρόχων θα είναι ανεξάρτητη από το σχήμα επανακανονικοποίησης.

5.4 Ορισμός των διγραμμικών φερμιονικών

τελεστών στη βάση των φερμιονίων

Staggered

Για τον υπολογισμό των συναρτήσεων Green των διγραμμικών φερμιονικών

τελεστών, χρησιμοποιώντας φερμιόνια τύπου Staggered, απαιτείται ο ορισμός των


τελεστών στη βάση των πεδίων χC(Na). ΄Ετσι, χρησιμοποιώντας τη σχέση (3.35)

μεταξύ του πεδίου χC(Na) και του φυσικού πεδίου ψtα(Na), ορίζουμε την αντίστροφη

σχέση:

χC(Na) =1

2

∑α,t

(γ∗C)α,tψtα(Na) (5.26)

όπου γC δίνεται από τη σχέση (3.31). Πράγματι, αντικαθιστώντας την (3.35) στο

δεξί μέλος της πιο πάνω σχέσης και χρησιμοποιώντας τη σχέση:

tr[γ†CγD] = 4δC,D (5.27)

προκύπτει το πεδίο χC(Na). Στα φερμιόνια Staggered, ο ορισμός των διγραμμικών

φερμιονικών τελεστών στη φυσική βάση διαφέρει λίγο από τον συνήθη. Ο λόγος

είναι η ύπαρξη της γεύσης taste, η οποία μετατρέπει τους τελεστές σε:

OΓ,ξ(Na) =∑α,βt,t′

ψtα(Na)(Γ⊗ ξ)αt,βt′ψt′

β (Na) (5.28)

όπου Γ και ξ είναι 4 × 4 πίνακες που δρουν στους δείκτες Dirac και taste των

ψtα(Na), ψt′

β (Na) αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μετάβασης στη βάση

Staggered (3.35), καθώς και την αντίστοιχη σχέση για το συζυγές πεδίο

ψtα(Na) = (1/2)∑

C χC(Na)(γ†C)t,α προκύπτει ότι:

OΓ,ξ(Na) =∑C,D

χC(Na)(Γ⊗ ξ)CDχD(Na) (5.29)

όπου (Γ⊗ ξ)CD = (1/4)tr[γ†CΓγDξ

>]. Ο πιο πάνω ορισμός των διγραμμικών

τελεστών έχει ένα μειονέκτημα. Επιφέρει ρήξη της συμμετρίας βαθμίδος εξαιτίας

του ορισμού των πεδίων χ και χ σε διαφορετικά σημεία του υπερκύβου. Για να

επαναφέρουμε τη συμμετρία βαθμίδος, εισάγουμε στους τελεστές το μέσο όρο από

γινόμενα των γκλουονικών συνδέσμων κατά μήκος όλων των πιθανών μικρότερων

μονοπατιών που συνδέουν τα σημεία (N + C)a και (N + D)a μεταξύ τους, τον

οποίο συμβολίζουμε με UC,D. ΄Αρα,

OgaugeΓ,ξ (Na) =∑C,D

χC(Na)(Γ⊗ ξ)CDUC,D(Na)χD(Na) (5.30)

Στην παρούσα εργασία η επικέντρωσή μας είναι στους taste - singlet τελεστές και

συνεπώς επιλέγουμε ξ = 1. Τώρα, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις γµγC = ηµ(C)γC+µ


(η οποία προκύπτει από την (3.30)), την (3.32) και tr[γ†CγD] = 4δC,D, υπολογίζουμε

την ποσότητα (Γ⊗ 1)CD για όλους τους τελεστές Γ:

(1⊗ 1)CD = δC,D

(γµ ⊗ 1)CD = δC,D+2 µ ηµ(D)

(σµν ⊗ 1)CD =1

iδC,D+2 µ+2 ν ην(D) ηµ(D +2 ν), µ 6= ν

(γ5γµ ⊗ 1)CD = δC,D+2 µ+2 (1,1,1,1) ηµ(D) η1(D +2 µ) η2(D +2 µ) η3(D +2 µ) η4(D +2 µ)

(γ5 ⊗ 1)CD = δC,D+2 (1,1,1,1) η1(D) η2(D) η3(D) η4(D)

(5.31)

όπου το σύμβολο a+2 b συμβολίζει το υπόλοιπο της διαίρεσης του αθροίσματος a+b

με το 2 (δηλαδή, a+2 b = (a+b) modulo 2), το οποίο εξασφαλίζει την περιοδικότητα

του πλέγματος. Οι τελεστές OΓ, τότε, παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

OS(Na) =∑D

χD(Na) χD(Na)

OV (Na) =∑D

χD+2 µ(Na) UD+2 µ,D χD(Na) ηµ(D)

OT (Na) =1

i

∑D

χD+2 µ+2 ν(Na) UD+2 µ+2 ν,D χD(Na) ην(D) ηµ(D +2 ν)

OAV (Na) =∑D

χD+2 µ+2 (1,1,1,1)(Na) UD+2 µ+2 (1,1,1,1),D χD(Na) ηµ(D)·

η1(D +2 µ) η2(D +2 µ) η3(D +2 µ) η4(D +2 µ)

OP (Na) =∑D

χD+2 (1,1,1,1)(Na) UD+2 (1,1,1,1),D χD(Na) n1(D) n2(D) n3(D) n4(D)

(5.32)

όπου ο Scalar δεν περιέχει γκλουονικούς συνδέσμους, ο Vector περιλαμβάνει έναν

γκλουονικό σύνδεσμο:

UD+2 µ,D =

{U †µ((N +D)a

), αν (D +2 µ)i ≥ Di (i = 1, 2, 3, 4)

Uµ((N +D)a

), αν (D +2 µ)i ≤ Di

ο Tensor το μέσο όρο από όλους τους δυνατούς συνδυασμούς από δύο γκλουονικούς

συνδέσμους, για παράδειγμα:

UD+2µ+2 ν,D =1

2[U †ν((N +D +2 µ)a

)U †µ((N +D)a

)+ {µ↔ ν}], αν(D +2 µ+2 ν)i ≥ Di


και ομοίως για τις υπόλοιπες περιπτώσεις, ο Axial Vector το μέσο όρο από τρεις

γκλουονικούς συνδέσμους και ο Pseudoscalar από τέσσερεις.

Κεφάλαιο 6

Αλγεβρικοί υπολογισμοί για την

κατασκευή της διαφοράς

ZsingletΓ − Znon−singletΓ

Στα προηγούμενα κεφάλαια δόθηκε ένα πλήρες θεωρητικό υπόβαθρο με τα

απαραίτητα στοιχεία για τη μελέτη και σημασία της επανακανονικοποίησης των

τοπικών διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στην Κβαντική Χρωμοδυναμική στο

πλέγμα. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται τα στάδια και υλοποιούνται κάποιοι από

τους απαιτούμενους υπολογισμούς για την κατασκευή της διαφοράς των

συναρτήσεων επανακανονικοποίησης μονήρων και μη μονήρων ως προς τη γεύση

διγραμμικών φερμιονικών τελεστών. Οι υπολογισμοί εκτελούνται για διαγράμματα

δύο βρόχων και στη χαμηλότερη τάξη της πλεγματικής σταθεράς a. Η δράση που

χρησιμοποιείται είναι η βελτιωμένη γκλουονική δράση Symanzik και η βελτιωμένη

δράση των φερμιονίων Staggered με διπλά stout links. Τα stout links, εκτός από

τη φερμιονική δράση, χρησιμοποιούνται και στους διγραμμικούς φερμιονικούς

τελεστές. Εδώ τονίζουμε ότι τα αποτελέσματά μας θα εξαρτώνται από τέσσερις

stout παράμετρους (2 από τη δράση (ωA1 , ωA2) και 2 από τους τελεστές (ωO1 , ωO2)

λόγω του γεγονότος ότι είναι διπλοί stout links). Εξαιτίας της παρουσίας των

stout links και των γκλουονίων Symanzik, οι κορυφές που χρησιμοποιούνται για τη

δημιουργία των απαιτούμενων διαγραμμάτων Feynman είναι εξαιρετικά μεγάλες σε

μήκος (η πιο μεγάλη φτάνει μέχρι και 800 000 όρους). Γι ' αυτό και οι υπολογισμοί

μας γίνονται με τη βοήθεια προγραμμάτων γραμμένα στην γλώσσα

προγραμματισμού Mathematica. Τα προγράμματα αυτά περιλαμβάνουν διάφορες

απλοποιήσεις, τις οποίες επιβάλλουμε στις μαθηματικές μας εκφράσεις με

132

Κεφάλαιο 6. Αλγεβρικοί υπολογισμοί για την κατασκευή της διαφοράς


Γ 133

αυτοματοποιημένο τρόπο. Δηλαδή, τα προγράμματα αυτά κάνουν τη δουλειά που θα

κάναμε στο χαρτί, η οποία δεδομένου του τεράστιου αριθμού των όρων της κάθε

έκφρασης δε θα τέλειωνε ποτέ! Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι η παρούσα εργασία

αποτελεί την πρώτη προσπάθεια υπολογισμού συναρτήσεων επανακανονικοποίησης

των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών, σε επίπεδο δύο βρόχων, χρησιμοποιώντας

φερμιόνια Staggered με stout links.

6.1 Διαγράμματα Feynman που συνεισφέρουν

στον υπολογισμό μας

Η διαφορά των συναρτήσεων επανακανονικοποίησης μονήρων και μη μονήρων

ως προς τη γεύση διγραμμικών φερμιονικών τελεστών παίρνει μη μηδενική τιμή για

πρώτη φορά στα διαγράμματα δύο βρόχων. Συγκεκριμένα, υπάρχουν δέκα

διαγράμματα Feynman δύο βρόχων που συνεισφέρουν στη διαφορά αυτή, τα οποία

και εικονίζονται πιο κάτω. ΄Ολα τα διαγράμματα περιλαμβάνουν έναν διγραμμικό

Σχήμα 6.1: Διαγράμματα Feynman που συνεισφέρουν στην ZsingletΓ −Znon−singletΓ

φερμιονικό τελεστή μέσα σ' έναν κλειστό φερμιονικό βρόχο, εξαιτίας του

γεγονότος ότι τέτοια διαγράμματα μηδενίζονται στην περίπτωση του μη μονήρους

ως προς τη γεύση τελεστή, δίνοντας έτσι μια μη μηδενική διαφορά. Τα διαγράμματα

αυτά υπολογίζονται σε δύο στάδια. Πρώτα αποκόπτεται από το κάθε διάγραμμα ο

κλειστός φερμιονικός βρόχος μαζί με τις δύο γκλουονικές γραμμές που τον

συνδέουν με το υπόλοιπο διάγραμμα και υπολογίζονται ως ξεχωριστά διαγράμματα

ενός βρόχου. Το άθροισμα από όλα τα αποκομμένα αυτά διαγράμματα ονομάζεται

ενεργός κορυφή. Στη συνέχεια, υπολογίζεται ο εναπομείνας βρόχος, μαζί με τις



Γ 134

εξωτερικές φερμιονικές γραμμές, όπου προσαρτείται η ενεργός κορυφή που

αναφέραμε προηγουμένως. ΄Ετσι τα δέκα διαγράμματα δύο βρόχων μπορούν να

αναπαρασταθούν πιο συνοπτικά ως δύο διαγράμματα, που περιέχουν μία ενεργό

κορυφή με έξι συνιστώντα διαγράμματα ενός βρόχου. Προσοχή, όμως, στην

Σχήμα 6.2: Ενεργός Κορυφή Αλληλεπίδρασης που συνεισφέρει στην ZsingletΓ −Znon−singletΓ

κατασκευή της ενεργού κορυφής θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την κάθε

συνιστώσα με τον κατάλληλο συνδυαστικό παράγοντα, ο οποίος αντιστοιχεί στον

αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να κατασκευάσουμε το κάθε

συνιστών διάγραμμα. Ταυτόχρονα, στον παράγοντα αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη

και η περίπτωση αναπαραγωγής ίδιου τελικού διαγράμματος από διαφορετικές

συνιστώσες της ενεργού κορυφής, ώστε να μην προσμετρηθεί το διάγραμμα αυτό

εις διπλούν. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στον υπολογισμό των πιο πάνω έξι

συνιστωσών της ενεργού κορυφής για κάθε διγραμμικό φερμιονικό τελεστή.

6.2 Κορυφές αλληλεπίδρασης που ενέχονται

στους υπολογισμούς μας

Για τον υπολογισμό της ενεργού κορυφής που περιγράψαμε στο προηγούμενο

υποκεφάλαιο απαιτείται πρώτα ο υπολογισμός των επιμέρους συστατικών της. Τα



Γ 135

συστατικά αυτά είναι οι κορυφές αλληλεπίδρασης VχAχ, VχAAχ, VχΓχ, VχΓAχ, VχΓAAχ

(όπου Γ: δίνεται στον ορισμό των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών) και ο

φερμιονικός διαδότης tree level Stree. Από τις πιο πάνω κορυφές, όσες δεν

περιέχουν τον τελεστή Γ είναι κορυφές που προέρχονται από τη φερμιονική δράση

Staggered, ενώ οι κορυφές που περιέχουν τον τελεστή Γ προέρχονται από τον

ορισμό των διγραμμικών φερμιονικών τελεστών στη βάση Staggered. Και στις δύο

περιπτώσεις εμπλέκονται doubly stout links με συνεισφορές μέχρι δύο γκλουονίων,

καθώς στους υπολογισμούς μας δεν εμφανίζονται κορυφές με περισσότερα

γκλουόνια. Συνεπώς,στους ορισμούς των Qµ(na) και Qµ(na) που εμφανίζονται

στον doubly stout link (σχ. (3.110d)) μπορούμε να διώξουμε κατ' ευθείαν τον όρο

με το ίχνος διότι είναι αντισυμμετρικός ως προς την ανταλλαγή δεικτών µ � ρ για

όρους μέχρι δύο γκλουονίων. Στη συνέχεια του υποκεφαλαίου περιγράφεται

σύντομα η διαδικασία εξαγωγής των εκφράσεων των κορυφών αυτών, καθώς

επίσης, για κάποιες από αυτές δίνεται και η υπολογισμένη έκφραση.

Οι κορυφές VχAχ, VχAAχ και ο διαδότης Stree, όπως αναφέραμε και

προηγουμένως, υπολογίζονται από τη φερμιονική δράση:

SLF = a4∑n,µ

1

2aχ(na)ηµ(na)

[˜Uµ(na)χ(na+ µa)− ˜U †µ(na− µa)χ(na− µa)

]+ a4

∑n

m0χ(na)χ(na)

όπου στο double stout link˜Uµ(na) εκτελούμε διαταρακτικό ανάπτυγμα ως προς go

και κρατούμε όρους μέχρι τάξεως g2o , οι οποίοι αντιστοιχούν σε αριθμό γκλουονίων

μέχρι 2. Με την εκτέλεση μετασχηματισμών Fourier των πεδίων:

χ(na) =

∫ π/a

−π/a

d4k

(2π)4χ(k)eikna

χ(na) =

∫ π/a

−π/a

d4k

(2π)4˜χ(k)e−ikna

Acµ(na) =

∫ π/a

−π/a

d4k

(2π)4Acµ(k)eikna

(όπου Aµ(k) ≡ Acµ(k)T c) και χρησιμοποιώντας τη σχέση ηµ(na) = eiπµn και τη

σχέση (3.4) καταλήγουμε στην εξής έκφραση:



Γ 136

S =

∫ π/a

−π/a

d4k1

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k2

(2π)4˜χ(k1) S−1

tree χ(k2)

+∑c1,µ1

∫ π/a

−π/a

d4k1

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k2

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k3

(2π)4Ac1µ1

(k1) ˜χ(k2) VχAχ χ(k3)

+∑c1,c2µ1,µ2

∫ π/a

−π/a

d4k1

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k2

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k3

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k4

(2π)4Ac1µ1

(k1)Ac2µ2(k2)˜χ(k3)VχAAχχ(k4)

όπου οι ποσότητες Stree και VχAχ δίδονται στο Σχήμα 6.3.

Σχήμα 6.3: Ο διαδότης Stree και η κορυφή αλληλεπίδρασης VχAχ με doubly stout

links

Η κορυφή VχAAχ δεν παρατίθεται εξαιτίας των πολλών όρων που την απαρτίζουν

(245 όροι).

Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε και για την εξαγωγή των εκφράσεων των

κορυφών VχΓχ, VχΓAχ, VχΓAAχ. Οι κορυφές αυτές, όπως αναφέραμε και

προηγουμένως, υπολογίζονται από τους διγραμμικούς φερμιονικούς τελεστές OΓ



Γ 137

στη βάση Staggered (5.32), όπου και πάλι στο˜Uµ(na) κρατούμε όρους μέχρι 2

γκλουόνια. Εδώ σημειώνουμε ότι προκειμένου να απλοποιήσουμε τους

υπολογισμούς για τη συνάρτηση επανακανονικοποίησης ZOΓ, αντί να

χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του τελεστή OΓ σ' έναν μόνο υπερκύβο του

πλέγματος παίρνουμε άθροισμα του τελεστή ορισμένου σε κάθε υπερκύβο του

πλέγματος a4∑

N OΓ(Na). Με τον τρόπο αυτό τα διαγράμματα Feynman γίνονται

πιο απλά αφού η συνάρτηση Green που θα προκύψει θα εξαρτάται από μία μόνο

ορμή. Η αλλαγή αυτή μπορεί να εφαρμοστεί λόγω διατήρησης της ορμής.

Εκτελώντας και πάλι μετασχηματισμούς Fourier των πεδίων και χρησιμοποιώντας

τις σχέσεις ηµ(na) = eiπµn, (3.4) και

a4∑Nµ∈2Z

ei(Na)k =1

16(2π)4

∑C

δ(4)P (k +

πC

a) (6.1)

καταλήγουμε στην εξής έκφραση:

OΓ =

∫ π/a

−π/a

d4k1

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k2

(2π)4˜χ(k1) VχΓχ χ(k2)

+∑c1,σ1

∫ π/a

−π/a

d4k1

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k2

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k3

(2π)4Ac1σ1

(k1) ˜χ(k2) VχΓAχ χ(k3)

+∑c1,c2σ1,σ2

∫ π/a

−π/a

d4k1

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k2

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k3

(2π)4

∫ π/a

−π/a

d4k4

(2π)4Ac1σ1

(k1)Ac2σ2(k2)˜χ(k3)VχΓAAχχ(k4)

όπου η ποσότητα VχΓχ δίδεται στο Σχήμα 6.4.

Σχήμα 6.4: Οι κορυφές αλληλεπίδρασης VχΓχ με doubly stout links



Γ 138

Η κορυφή VχΓAχ δεν μπορεί να υπάρξει για τον τελεστή Scalar, καθώς εκ κατασκεύης

δεν περιέχει γκλουόνια. Στο Σχήμα 6.5, δίδεται μόνο η κορυφή για τον τελεστή

Vector, καθώς για τους υπόλοιπους τελεστές οι όροι είναι πολλοί:

Σχήμα 6.5: Η κορυφή αλληλεπίδρασης VχV Aχ με doubly stout links

Η κορυφή VχΓAAχ δεν μπορεί να υπάρξει για τον τελεστή Scalar για τον ίδιο ακριβώς

λόγο, όπως και η πιο πάνω κορυφή. Η κορυφή αυτή εξαιτίας πολλών όρων (w

800000 όροι) δεν υπολογίστηκε ως ξεχωριστό αντικείμενο. Επειδή στην ενεργό

κορυφή εμφανίζεται με τις φερμιονικές γραμμές ενωμένες, υπολογίσαμε κατ' ευθείαν

το πλήρες διάγραμμα, το οποίο κατέστη πιο εύκολο από την αποσυναρμολόγησή του,

τον ξεχωριστό υπολογισμό των συστατικών του και ύστερα την επανένωσή τους.

6.3 Υπολογισμός ενεργού κορυφής

Με την κατασκευή των συστατικών στοιχείων (κορυφές αλληλεπίδρασης,

διαδότες) έγινε το πρώτο βήμα για τον υπολογισμό της ενεργού κορυφής. Τώρα, το

μόνο που μένει είναι η συναρμολόγηση των διαφόρων κομματιών ώστε να

προκύψουν τα έξι διαγράμματα του υποκεφαλαίου 6.1. Η συνένωση των κορυφών

αλληλεπίδρασης μεταξύ τους γίνεται διαμέσω φερμιονικών διαδοτών. Εδώ

σημειώνουμε ότι η μάζα του φερμιονίου επιλέγεται να είναι μηδενική εξαιτίας του

γεγονότος ότι οι υπολογισμοί μας αφορούν επανακανονικοποίηση που δίνεται σε

δύο σχήματα ανεξάρτητα της μάζας. Δύο άκρα που �συστέλλονται� παίρνουν την

ίδια ορμή και το ίδιο χρώμα. Για την απλοποίηση των πολλών όρων που



Γ 139

προκύπτουν, χρησιμοποιούμε κάποιους μετασχηματισμούς των ορμών. Και στα έξι

διαγράμματα γίνεται χρήση του μετασχηματισμού p → p + π/a, όπου p : εσωτερική

ορμή που εμφανίζεται σε μέρος ή σ' ολόκληρο τον κλειστό φερμιονικό βρόχο. Ο

μετασχηματισμός αυτός αφήνει αναλλοίωτο τον παρονομαστή των φερμιονικών

διαδοτών, ο οποίος αποτελεί κοινό παράγοντα σε κάθε διάγραμμα και έχει την εξής

μορφή: 2a

∑µ sin2(apµ) ή

(2a

∑µ sin2(apµ)

)2

ή(2a

∑µ sin2(apµ − ak1µ)

)(2a

∑µ sin2(apµ)

), ενώ τον αριθμητή αφήνει όπως είναι ή

του αλλάζει πρόσημο, όταν παρουσιάζει όρους με εκθετικές ή/και τριγωνομετρικές

συναρτήσεις των a(pµ + k1µ) ή a(pµ). Εξαιτίας της ολοκλήρωσης ως προς την

εσωτερική ορμή p, ένας όρος με περιττό αριθμό από τέτοιες εκθετικές ή

τριγωνομετρικές συναρτήσεις οδηγεί σε περιττό ολοκλήρωμα και άρα αποτέλεσμα 0.

Επίσης, αν ένας όρος περιλαμβάνει άρτιο αριθμό από τέτοιες εκθετικές ή

τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ορμής p, τότε υπάρχει πάλι ο κίνδυνος να

οδηγήσει σε περιττό ολοκλήρωμα αν ο αριθμός των συναρτήσεων αυτών της ορμής

στην ίδια κατεύθυνση είναι περιττός. Συνεπώς, ένας τέτοιος όρος θα μηδενίζεται

εκτός από την περίπτωση που οι κατευθύνσεις των ορμών p που περιέχει, είναι ανά

ζεύγη όμοιες. Αυτή την ιδιότητα επιβάλλαμε στους όρους κάθε διαγράμματος, μέσω

προγράμματος στη Mathematica, προκειμένου να απαλείψουμε τους περισσότερους

από αυτούς. Ο κώδικας του προγράμματος που κατασκευάσαμε παρατίθεται στο

Παράρτημα Β μαζί με επεξήγηση των συμβολισμών. ΄Αλλοι μετασχηματισμοί που

χρησιμοποιήθηκαν είναι ο p → −p για το πρώτο διάγραμμα, εξαιτίας του

αναλλοίωτου κοινού παράγοντα

[1/

(2a

∑µ sin2(apµ)

)]2

, τον οποίο χειριστήκαμε

με παρόμοιο τρόπο όπως πιο πάνω. Ακόμη το πρώτο διάγραμμα κάτω από τους

μετασχηματισμούς k1 � k2, µ1 � µ2 και c1 � c2 μένει αναλλοίωτο, ενώ το

δεύτερο, τρίτο, τέταρτο και πέμπτο διάγραμμα μένουν τα ίδια κάτω από τους

μετασχηματισμούς p → −p, k1 � k2, µ1 � µ2, c1 � c2 και

p → −p + π/a, k1 � k2, µ1 � µ2, c1 � c2. Επιπρόσθετα στα διαγράμματα 3 και 4

γίνονται απλοποιήσεις χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό p → −p + k1, ο οποίος

αφήνει αναλλοίωτο τον παρονομαστή

(2a

∑µ sin2(apµ − ak1µ)

)(2a

∑µ sin2(apµ)

).

Αποτελέσματα των υπολογισμών μας για τις έξι συνιστώσες της ενεργού

κορυφής παρατίθενται στο παράρτημα Γ. Εκεί δίνονται κάποιοι από τους όρους των

διαγραμμάτων αυτών εξαιτίας του μεγάλου πλήθους τους. Το πρώτο διάγραμμα

δίνει 207 όρους εκ των οποίων όλοι οι όροι αναφέρονται στον τελεστή Vector. Οι

υπόλοιποι τελεστές δίνουν μηδενική συνεισφορά. Το δεύτερο διάγραμμα δίνει 13075



Γ 140

όρους εκ των οποίων οι 1303 αναφέρονται στον τελεστή Vector και 11772 στον

Axial Vector. Το τρίτο διάγραμμα προκύπτει από την εφαρμογή του

μετασχηματισμού k1 � k2, µ1 � µ2, c1 � c2 στο δεύτερο διάγραμμα. Το τέταρτο

διάγραμμα δίνει 33476 όρους εκ των οποίων οι 440 αναφέρονται στον τελεστή

Vector και 33036 στον Axial Vector. Το πέμπτο διάγραμμα, όπως και το τρίτο,

προκύπτει από την εφαρμογή του μετασχηματισμού k1 � k2, µ1 � µ2, c1 � c2 στο

τέταρτο διάγραμμα. Το έκτο διάγραμμα δίνει μηδενική συνεισφορά για όλους τους

τελεστές. Τα αποτελέσματα αυτά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι ήταν αναμενόμενα.

Αν αναλογιστούμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα που θα είχαμε με την χρήση της

naive φερμιονικής δράσης Wilson, για τα 3 πρώτα διαγράμματα, τότε θα προέκυπτε

ίχνος από πίνακες γάμμα λόγω του κλειστού φερμιονικού βρόχου και για m = 0

μόνο ο Vector και ο Axial Vector, θα έδιναν μη μηδενικό ίχνος. Για τα υπόλοιπα 3

διαγράμματα είναι λίγο δύσκολο να προβλέψουμε το αποτέλεσμα πριν τον

υπολογισμό καθώς τέτοιες κορυφές δεν εμφανίζονται στα φερμιόνια Wilson. ΄Ομως

για το τελευταίο διάγραμμα μπορούμε να πούμε κάτι. Γνωρίζουμε ότι η κορυφή δύο

γκλουονίων που πηγάζει από τον τελεστή περιλαμβάνει άρτιο αριθμό από

συνδέσμους για τον Tensor και Pseudoscalar, ενώ περιττό αριθμό για τον Vector

και Axial Vector. Εκτελώντας μετασχηματισμούς Fourier θα δώσει αντίστοιχα

άρτιο και περιττό αριθμό από εκθετικά της ορμής p. Αφού η κορυφή ενώνεται με

ένα φερμιονικό διαδότη, ο οποίος περιλαμβάνει ημίτονο της ορμής p στον αριθμητή

τότε για τον Tensor και Pseudoscalar θα δώσει περιττό αριθμό συναρτήσεων του p

κι επομένως θα μηδενίζονται. Επίσης, ο Axial Vector, αν και θα δίνει άρτιο αριθμό

συναρτήσεων του p, εντούτοις θα είναι περιττός ο αριθμός ως προς την ίδια

κατεύθυνση του p και συνεπώς θα μηδενίζεται. Ο Vector δεν μπορεί να προβλεφθεί

με το ίδιο σκεπτικό , όμως, αποδεικνύεται τελικά ότι μηδενίζεται και αυτός.

Κάποιο άλλο σχόλιο που μπορούμε να κάνουμε για τα αποτελέσματά μας είναι

ότι το κάθε διάγραμμα από μόνο του μπορεί να δώσει IR αποκλίσεις (στην υπέρυθρη

περιοχή), εξαιτίας της ένωσης της κάθε συνιστώσας της ενεργού κορυφής με δύο

γκλουονικούς διαδότες (στα τελικά διαγράμματα). Τότε το ολοκλήρωμα ως προς την

γκλουονική ορμή k θα δώσει δυνάμεις του k−4. Δεδομένου ότι η κάθε συνιστώσα

της ενεργού κορυφής περιέχει μη μηδενικούς όρους τάξεως k0, το ολοκλήρωμα ως

προς k, θα αποκλίνει. ΄Ομως, αναμένουμε ότι όταν αθροίσουμε και τα έξι διαγράμματα

της ενεργού κορυφής, το αποτέλεσμα δεν θα οδηγήσει σε IR αποκλίσεις. Από τη

συμμετρία βαθμίδος, αναμένουμε ο κάθε όρος να περιέχει δύο τουλάχιστον δυνάμεις

της ορμής k του γκλουονίου. Από την άλλη δεν υπάρχουν IR αποκλίσεις στην

εσωτερική ορμή p του κάθε διαγράμματος της ενεργού κορυφής.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Κλείνοντας, παραθέτω κάποιες πιθανές μελλοντικές προεκτάσεις της εργασίας.

Αφού υπολογίστηκε η ενεργός κορυφή τότε θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για

τον υπολογισμό των συναρτήσεων Green των 10 διαγραμμάτων Feynman που

παρουσιάστηκαν στο υποκεφάλαιο 6.1 και κατόπιν να υπολογιστεί η διαφορά των

συναρτήσεων επανακανονικοποίησης ZsingletΓ − Znon−singlet

Γ . Μία άλλη προέκταση

είναι ο υπολογισμός όλων των διαγραμμάτων Feynman 2 βρόχων που εμπλέκουν

διγραμμικούς φερμιονικούς τελεστές χρησιμοποιώντας την ίδια μεθοδολογία.

Ακόμη, θα μπορούσε να γίνει ο ίδιος υπολογισμός για άλλες βελτιωμένες δράσεις

Staggered, όπως για παράδειγμα η HYP smearing, HEX smearing και Asqtad.

141

Παράρτημα A

Υπολογισμός μέσων τιμών

πολυωνύμων με γκαουσιανό

βάρος

A.1 Μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών

μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος

Ο υπολογισμός μιας μέσης τιμής πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος βασίζεται

στον υπολογισμό των αντίστοιχων γκαουσιανών συναρτησιακών ολοκληρωμάτων.

΄Ενα γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα με πεπερασμένο αριθμό από πραγματικές

μεταβλητές ολοκλήρωσης έχει την εξής μορφή:

I(K) =

∫ N∏i=1

dxi exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm

)(A.1)

όπου K είναι ένας συμμετρικός πίνακας NxN με ιδιοτιμές λi τέτοιες ώστε Re(λi) ≥0, λi 6= 0. Αν διαγωνιοποιήσουμε τον K τότε επιζούν μόνο τα στοιχεία με ίδιο

δείκτη. Επομένως,

I(K) =

∫ N∏i=1

dxi

N∏n=1

exp

(− 1

2Knnx

2n

)=

N∏i=1

[ ∫dxi exp

(− 1

2Kiix

2i

)]

= (2π)N/2( N∏

i=1

Kii

)−1/2

= (2π)N/2(detK)−1/2 (A.2)

142

Παράρτημα A. Υπολογισμός μέσων τιμών πολυωνύμων με γκαουσιανό βάρος 143

Συγκεκριμένα, οι μέσες τιμές πολυωνύμων με γκαουσιανό βάρος μπορούν να

προκύψουν από ένα γενικευμένο γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα που

ονομάζεται συναρτησιακός γεννήτορας γκαουσιανού τύπου. Αυτός ορίζεται ως

εξής:

Z(K, J) =

∫ N∏i=1

dxi exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm +N∑n=1

Jnxn

)(A.3)

όπου J είναι ένα διάνυσμα N x 1, το οποίο ονομάζεται εξωτερική πηγή. Η μέθοδος

που ακολουθείται για την επίλυση του ολοκληρώματος αυτού απαιτεί την εύρεση του

ελαχίστου της ολοκληρωτέας συνάρτησης. ΄Αρα,

d

dxk

( N∑n,m=1

xnKnmxm −N∑n=1

Jnxn

)= 0

Η λύση είναι xi (min) =∑N

j=1(K−1)ij Jj. Στη συνέχεια, εκτελείται η εξής αλλαγή

μεταβλητών:

xi =N∑j=1

(K−1)ij Jj + yi (A.4)

Τότε το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε:

Z(K, J) = exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)∫ N∏i=1

dyi exp

(− 1

2

N∑n,m=1

ynKnmym

)

= exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)I(K)

= (2π)N/2(detK)−1/2 exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)(A.5)

Η μέση τιμή πολυωνύμου πραγματικών μεταβλητών με γκαουσιανό βάρος

ορίζεται ως:

< xk1xk2 · · ·xk` >≡ N∫ ( N∏

i=1

dxi

)[xk1xk2 · · · xk` ] exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm

)(A.6)


όπου N = 1/I(K) είναι η σταθερά κανονικοποίησης έτσι ώστε < 1 >= 1. Ο

υπολογισμός της πιο πάνω έκφρασης μπορεί να προκύψει από την αλεπάλληλη

παραγώγιση του συναρτησιακού γεννήτορα ως προς τις μεταβλητές Ji. Πράγματι,

παραγωγίζοντας μια φορά ως προς κάποιο Jk:

∂

∂JkZ(K, J) =

∫ ( N∏i=1

dxi

)xk exp

(− 1

2

N∑n,m=1

xnKnmxm +N∑n=1

Jnxn

)

Συνεπώς, η επαναλαμβανόμενη παραγώγιση ως προς όλες τις μεταβλητές Ji,

επιφέρουν την εξής σχέση:

< xk1 · · ·xk` >= N ∂

∂Jk1

· · · ∂

∂Jk`Z(K, J)

∣∣J=0

=∂

∂Jk1

· · · ∂

∂Jk`exp

(1

2

N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)∣∣J=0

(A.7)

H σχέση αυτή υπολογίζεται με το θεώρημα του Wick. Σύμφωνα με το θεώρημα

αυτό, κάθε ζεύγος δεικτών kpkq από τους k1, · · · , k` (` πρέπει να είναι άρτιος, διότιη συνάρτηση συσχέτισης δίνει 0 αν ` είναι περιττός) του πολυωνύμου xk1 · · ·xk`συσχετίζεται με το στοιχείο πίνακα (K−1)kpkq . Λαμβάνοντας υπόψη όλους τους

δυνατούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να συνδυάσουμε όλους τους δείκτες

k1, · · · , k` σε ζεύγη, η μέση τιμή του πολυωνύμου xk1 · · ·xk` με το γκαουσιανό βάρος

exp

(− 1

2

∑Nn,m=1 xnKnmxm

)θα ισούται τελικά με:

< xk1 · · ·xk` >=∑

όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί

όλων των δεικτών k1, · · · , k`σε ζεύγη

K−1kp1kp2

· · ·K−1kp`−1

kp`(A.8)

A.2 Μέση τιμή μιγαδικού πολυωνύμου

μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό

βάρος

Στις θεωρίες πεδίου που περιέχουν φερμιονικά πεδία, οι συναρτήσεις

συσχέτισης (ή συναρτήσεις Green) των φερμιονικών πεδίων είναι αντισυμμετρικές

ως προς την ανταλλαγή δύο ορισμάτων τους. Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε

συναρτησιακό γεννήτορα τέτοιων συναρτήσεων συσχέτισης, θα πρέπει να


εισάγουμε μεταβλητές που αντιμετατίθενται μεταξύ τους. Οι μεταβλητές αυτές

ονομάζονται μεταβλητές Grassmann, οι οποίες έχουν εντελώς διαφορετική άλγεβρα

από τις συνηθισμένες μεταβλητές. Γι' αυτό και χρειάζεται να ορίσουμε την

παραγώγιση και την ολοκλήρωση τέτοιων μεταβλητών.

΄Αλγεβρα Grassmann ορίζεται ο γραμμικός χώρος Α (στον πραγματικό ή

μιγαδικό χώρο) ο οποίος προκύπτει από το σετ γεννητόρων θi που ικανοποιούν την

αντιμεταθετική σχέση:

{θi, θj} = θiθj + θjθi = 0, ∀i, j (A.9)

Από τον πιο πάνω ορισμό προκύπτει η σχέση θ2i = 0, η οποία επιτρέπει μόνο τη

δημιουργία συναρτήσεων μέχρι πρώτου βαθμού ως προς θi. Επίσης, αρνητικές

δυνάμεις των θi δεν μπορούν να υπάρξουν διότι στην άλγεβρα αυτή δεν μπορεί να

οριστεί αντίστροφος αριθμός Grassmann θinvi του θi τέτοιος ώστε

θinvi θi = θiθinvi = 1, εξαιτίας της πιο πάνω αντιμεταθετικής σχέσης.

Πριν προχωρήσουμε, είναι χρήσιμο να ορίσουμε το parity σε μια τέτοια άλγεβρα.

Το parity στην άλγεβρα Grassmann ορίζεται ως:

P (θi) = −θi (A.10)

Γενικεύοντας, όταν το parity δράσει σε πολυώνυμο με ` μεταβλητές Grassmann,

τότε:

P (θi1 · · · θi`) = (−1)` θi1 · · · θi` (A.11)

Με τους ορισμούς αυτούς, συμπεραίνουμε ότι το parity μοιράζει τον χώρο Α σε δύο

υποχώρους: τον υποχώρο A+με θετικό parity, στον οποίο ισχύουν μεταθετικές

σχέσεις των στοιχείων του και τον υποχώρο A− με αρνητικό parity, στον οποίο

ισχύουν αντιμεταθετικές σχέσεις των στοιχείων του.

Τώρα, μπορούμε να ορίσουμε και την παραγώγιση ως προς μεταβλητές

Grassmann. Οι κανόνες παραγώγισης είναι οι ακόλουθοι:

1. Υπάρχουν δύο είδη παραγώγων: η αριστερή παράγωγος ∂/∂θi, η οποία δρα στο

στοιχείο που βρίσκεται εκ δεξιών της και η δεξιά παράγωγος←−∂ /∂θi, η οποία δρα


στο στοιχείο που βρίσκεται εξ αριστερών της, όπως παρακάτω:

∂

∂θiθj = δij (A.12)

θj

←−∂

∂θi= δij (A.13)

Ο λόγος που υπάρχουν και οι δύο αυτές παράγωγοι είναι οι αντιμεταθετικές

σχέσεις των θi που επιτρέπουν στις δύο παραγώγους να μην ισούνται σε κάποιες

περιπτώσεις. Επειδή, η παράγωγος πάντα δρα στο δίπλα της στοιχείο, τότε για να

παραγωγιστεί το κάθε στοιχείο μιας συνάρτησης πρέπει να μεταφερθεί δίπλα από

την παράγωγο μέσω των μεταθετικών ή αντιμεταθετικών σχέσεων που ικανοποιεί

με τα άλλα στοιχεία της συνάρτησης. Στις συνηθισμένες μεταβλητές, τα στοιχεία

μιας συνάρτησης ικανοποιούν πάντα μεταθετικές σχέσεις και ως εκτούτου τα δύο

είδη παραγώγων θα ισούνται πάντοτε. ΄Αρα, δεν υπάρχει λόγος χρησιμοποίησης και

των δύο ειδών παραγώγους στις συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών. Αντίθετα,

στις μεταβλητές Grassmann, όπως είδαμε και πιο πάνω υπάρχουν δύο υπόχωροι

που ικανοποιούν ο ένας μεταθετικές και ο άλλος αντιμεταθετικές σχέσεις.

Συνεπώς, στην παραγώγιση τέτοιων συναρτήσεων παίζει σημαντικό ρόλο ποια είναι

η σειρά των μεταβλητών με την οποία είναι γραμμένος ο κάθε όρος της συνάρτησης,

καθώς θα δώσει διαφορετικά αποτελέσματα. Αντίστοιχα, για τον ίδιο ακριβώς

λόγο, παίζει σημαντικό ρόλο και ποιο είδος παραγώγου χρησιμοποιούμε (αριστερή ή

δεξιά). Για παράδειγμα:

∂

∂θi(θiθj) = θj

(θiθj)

←−∂

∂θi= (−θjθi)

←−∂

∂θi= −θj

Επομένως, είναι απαραίτητος ο ορισμός και των δύο παραγώγων.

2. ΄Εστω f(θ) και g(θ) συναρτήσεις των μεταβλητών Grassmann θi, τότε ο κανόνας

παραγώγισης αθροίσματος θα είναι:

∂

∂θi

(λ1f(θ) + λ2g(θ)

)= λ1

∂

∂θif(θ) + λ2

∂

∂θig(θ) (A.14)

(λ1f(θ) + λ2g(θ)

)←−∂∂θi

= λ1f(θ)

←−∂

∂θi+ λ2g(θ)

←−∂

∂θi(A.15)


όπου λ1, λ2 ∈ R ή C. Επίσης, ο κανόνας παραγώγισης γινομένου θα είναι:

∂

∂θi

(f(θ)g(θ)

)=

∂

∂θif(θ)g(θ) + P

(f(θ)

) ∂∂θi

g(θ) (A.16)

(f(θ)g(θ)

)←−∂∂θi

= f(θ)

←−∂

∂θiP(g(θ)

)+ f(θ)g(θ)

←−∂

∂θi(A.17)

Στη συνέχεια, ορίζουμε την ολοκλήρωση ως προς μεταβλητές Grassmann. Η

ολοκλήρωση ως προς τέτοιες μεταβλητές είναι λιγο παράξενη, καθώς όπως

προείπαμε οι συναρτήσεις της άλγεβρας αυτής περιλαμβάνουν όρους μόνο μέχρι

πρώτης τάξης ως προς θi κι επομένως το ολοκλήρωμα κάποιων συναρτήσεων, με τη

συνηθισμένη του έννοια, δεν μπορεί να οριστεί. Αλλά, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι

ο ορισμός του συναρτησιακού ολοκληρώματος ως προς μεταβλητές Grassmann, το

οποίο συναντούμαι στην θεωρία φερμιονικών πεδίων, και άρα χρειαζόμαστε τον

ορισμό του αναλόγου∫∞−∞ dx. ΄Αρα, στην περίπτωση αυτή, οι κανόνες

ολοκλήρωσης είναι οι ακόλουθοι:

1. Απουσία δέσμιων συνοριακών συνθηκών, το ολοκλήρωμα μιας ολικής παραγώγου

μηδενίζεται. ∫dθi

∂

∂θif(θ) = 0 (A.18)

2. Το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος ως προς κάποια μεταβλητή είναι ανεξάρτητο

της μεταβλητής και άρα η παράγωγός του μηδενίζεται.

∂

∂θi

∫dθif(θ) = 0 (A.19)

3. ΄Ενας παράγοντας, του οποίου η παράγωγος μηδενίζεται, μπορεί να γραφεί έξω

από το ολοκλήρωμα.∫dθi(f(θ) c

)=

(∫dθif(θ)

)c, αν

∂

∂θic = 0 (A.20)

4. Ο κανόνας ολοκλήρωσης αθροίσματος είναι:∫dθi(λ1f(θ) + λ2g(θ)

)= λ1

∫dθif(θ) + λ2

∫dθig(θ) (A.21)


5. Μια μετατόπιση της μεταβλητής ολοκλήρωσης πρέπει να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα

με το αρχικό ολοκλήρωμα λόγω της συμμετρίας που ισχύει στον αντίστοιχο

μετασχηματισμό του φερμιονικού πεδίου. Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε το

ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης με μία μόνο μεταβλητή Grassmann. Δηλαδή,∫dθf(θ) =

∫dθ(a+ bθ)

όπου a ∈ A− και b ∈ A+, καθώς η συνάρτηση περιέχει όρους μέχρι πρώτης τάξης

ως προς θ. Το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος θα εξαρτάται από τα a και b

γραμμικά. Εκτελώντας την αλλαγή μεταβλητών θ → θ+ n, όπου n ∈ A−, απαιτούμετο αποτέλεσμα του ολοκληρώματος να μένει αναλλοίωτο. Συνεπώς, προκύπτει η

εξής ισότητα: ∫dθ(a+ bθ) =

∫dθ((a+ bn) + bθ

)Αυτή η μετατόπιση της μεταβλητής ολοκλήρωσης άλλαξε τον σταθερό όρο της

ολοκληρωτέας συνάρτησης, αλλά άφησε αμετάβλητο τον γραμμικό όρο. Η μόνη

γραμμική συνάρτηση των a και b που έχει αυτή την ιδιότητα είναι μια σταθερά

(συμβατικά επιλέγεται 1) επί το b. ΄Αρα, ορίζουμε:∫dθ(a+ bθ) = b (A.22)

Από την τελευταία σχέση, παρατηρούμε ότι b είναι η παράγωγος της (a+bθ) ως προς

θ. ΄Αρα, συμπεραίνουμε ότι παραγώγιση και ολοκλήρωση ταυτίζονται στην άλγεβρα

Grassmann. Πράγματι, η παράγωγος, όπως ορίζεται πιο πάνω, ικανοποιεί και τις

πέντε συνθήκες. Επομένως, ∫dθif(θ) ≡ ∂

∂θif(θ) (A.23)

Αφού ορίσαμε την άλγεβρα των μεταβλητών Grassmann, μπορούμε πλέον να

ορίσουμε και το γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα με μιγαδικές μεταβλητές

Grassmann. ΄Ενα γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα, λοιπόν, με πεπερασμένο

αριθμό από μιγαδικές μεταβλητές Grassmann ολοκλήρωσης έχει την εξής μορφή:

IG(K) =

∫ N∏i=1

dθidθi exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)(A.24)


όπου K είναι ένας συμμετρικός πίνακας NxN , όπως ακριβώς και στην περίπτωση

των πραγματικών μεταβλητών του παραρτήματος Α1. Αν διαγωνιοποιήσουμε τον K

τότε επιζούν μόνο τα στοιχεία με ίδιο δείκτη. Επομένως,

IG(K) =

∫ N∏i=1

dθidθi

N∏n=1

exp

(− θnKnnθn

)=

N∏i=1

[ ∫dθidθi exp

(− θiKiiθi

)]

=N∏i=1

[∂

∂θi

∂

∂θiexp

(− θiKiiθi

)]

Το εκθετικό μπορεί να γραφεί ως σειρά Taylor, όπου οι όροι δεύτερης τάξης και άνω

ως προς θ και θ είναι μηδενικοί.΄Αρα, exp

(− θiKiiθi

)= 1− θiKiiθi. Τότε,

IG(K) =N∏i=1

Kii = + detK (A.25)

O συναρτησιακός γεννήτορας γκαουσιανού τύπου για τη μέση τιμή γκαουσιανού

πολυωνύμου μεταβλητών Grassmann με γκαουσιανό βάρος, ορίζεται ως εξής:

ZG(K, J, J) =

∫ N∏i=1

dθidθi exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm +N∑n=1

Jnθn + θnJn

)(A.26)

όπου J είναι ένα διάνυσμα N x 1. Στη συνέχεια ακολουθούμε την ίδια μέθοδο

επίλυσης του ολοκληρώματος, με αυτήν στο παράρτημα Α1. ΄Ετσι βρίσκουμε το

ελάχιστο της ολοκληρωτέας συνάρτησης ως προς θi και θi. ΄Αρα,

θi (min) =N∑j=1

Jj(K−1)ji, θi (min) =

N∑j=1

(K−1)ijJj

Στη συνέχεια, εκτελούνται οι εξής αλλαγές μεταβλητών:

θi =N∑j=1

(K−1)ij Jj + θ′i, θi =N∑j=1

Jj(K−1)ji + θ′i (A.27)

Τότε το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε:

ZG(K, J, J) = exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)∫ N∏i=1

dθ′idθ′i exp

(−

N∑n,m=1

θ′nKnmθ′m

)


= exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)IG(K) = (detK) exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)(A.28)

Η μέση τιμή του μιγαδικού πολυωνύμου με γκαουσιανό βάρος ορίζεται ως:

< θk1 θq1 · · · θk` θq` >≡ N∫ N∏

i=1

dθidθi[θk1 θq1 · · · θk` θq` ] exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)(A.29)

όπου N = 1/IG(K) είναι η σταθερά κανονικοποίησης. Ο υπολογισμός της πιο πάνω

έκφρασης μπορεί να προκύψει από την αλεπάλληλη παραγώγιση του συναρτησιακού

γεννήτορα ως προς τις μεταβλητές Ji και Ji. Πράγματι, παραγωγίζοντας μια φορά

ως προς κάποιο Jq με τη χρήση αριστερής παραγώγου:

∂

∂JqZG(K, J, J) =

∫ N∏i=1

dθidθi θq exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)

Αντίστοιχα, παραγωγίζοντας μια φορά ως προς κάποιο Jk με τη χρήση δεξιάς

παραγώγου:

ZG(K, J, J)

←−∂

∂Jk=

∫ N∏i=1

dθidθi θk exp

(−

N∑n,m=1

θnKnmθm

)

Συνεπώς, η επαναλαμβανόμενη παραγώγιση ως προς όλες τις μεταβλητές Ji και Ji,

επιφέρουν την εξής σχέση:

< θk1 θq1 · · · θk` θq` > = N[∂

∂Jq1· · · ∂

∂Jq`ZG(K, J, J)

←−∂

∂Jk1

· · ·←−∂

∂Jk`

]J=J=0

=

{∂

∂Jq1· · · ∂

∂Jq`

[exp

( N∑n,m=1

Jn(K−1)nmJm

)] ←−∂

∂Jk1

· · ·←−∂

∂Jk`

}J=J=0

(A.30)

H σχέση αυτή υπολογίζεται με το θεώρημα του Wick για φερμιόνια, η οποία θα

ισούται τελικά με:


< θk1 θq1 · · · θk` θq` >=∑

όλες οι μεταθέσεις των δεικτών

k1, · · · , k` που γίνονταιζεύγη με τους q1, · · · , q`

εkp1 ···kp` K−1kp1q1· · ·K−1

kp`q`(A.31)

όπου:

εkp1 ···kp` =

{+1, όταν ο αριθμός των εναλλαγών των δεικτών είναι άρτιος

−1, όταν ο αριθμός των εναλλαγών των δεικτών είναι περιττός

Παράρτημα B

Πρόγραμμα στην Mathematica για

την επιβολή του

μετασχηματισμού pµ→ pµ + π/a

Το παρακάτω πρόγραμμα, το οποίο είναι γραμμένο στη γλώσσα

προγραμματισμού Mathematica, περιλαμβάνει την συνάρτηση matchsemiperiodic, η

οποία εκτελεί την πιο κάτω διαδικασία: παίρνει ένα ολοκλήρωμα ως προς την ορμή

p = (p1, p2, p3, p4), του οποίου ο παρονομαστής είναι αναλλοίωτος κάτω από τον

μετασχηματισμό:

pµ → pµ + π/a (B.1)

όπου µ : οποιαδήποτε κατεύθυνση, και του οποίου ο αριθμητής περιλαμβάνει μόνο

συναρτήσεις της ορμής p που έχουν τις εξής μορφές: sin(c1(apν) + c2

)ή/και

cos(c1(apν) + c2

)ή/και exp

(c1(apν) + c2

)και συνταιριάζει τις κατευθύνσεις των

ημιτόνων ή/και συνημιτόνων ή/και εκθετικών έτσι ώστε να μετατρέψει το

ολοκλήρωμα σε άρτιο, κάτω από τον πιο πάνω μετασχηματισμό. Το συνταίριασμα

αυτό γίνεται μέχρι και για 8 διαφορετικούς δείκτες που αντιστοιχούν στην

κατεύθυνση της ορμής. Περισσότεροι από 8 δείκτες δεν εμφανίζονται στους όρους

μας.

Πρόγραμμα matchsemiperiodic.m:

152

Παράρτημα Β. Πρόγραμμα στην Mathematica για την επιβολή τουμετασχηματισμού pµ → pµ + π/a 153

(* This function takes an integrand over p[1] whose

denominators are invariant under: p[1]_mu -> p[1]_mu + pi

(where mu is any particular direction), and whose

numerators have p-dependent parts made up exclusively of

s2[2p[1] + a_., b_] and/or c2[2p[1] + a_., b_] and/or

e2[2p[1] + a_., b_] and matches the directions of sines

and/or cosines and/or exponentials, so as to lead to an

even integrand under p[1]_mu -> p[1]_mu + pi *)

matchsemiperiodic[expr_] := matchsemiperiodic1[expr /.

s2[a_,b_] :> sce2[1,a,b] /. c2[a_,b_] :> sce2[2,a,b] /.

e2[a_,b_] :> sce2[3,a,b]] /.

sce2[1,a_,b_] :> s2[a,b] /. sce2[2,a_,b_] :> c2[a,b] /.

sce2[3,a,b] :> e2[a,b]

matchsemiperiodic1[expr_Plus]:= matchsemiperiodic1 /@ expr

matchsemiperiodic1[expr_Times]:= Select[expr,FreeQ[#,sce2]&]

* matchsemiperiodic1[Select[expr,!(FreeQ[#,sce2])&]] /;

Apply[Or, (FreeQ[#1, sce2]&) /@ Apply[List, expr]]

matchsemiperiodic1[expr_Times]:= Select[expr,FreeQ[#,p]&]

* matchsemiperiodic1[Select[expr,!(FreeQ[#,p])&]] /;

Apply[Or, (FreeQ[#1, p]&) /@ Apply[List, expr]]

matchsemiperiodic1[a_. sce2[j_,b_,c_]^i_] :=

sce2[j,b,c]^2 matchsemiperiodic1[a sce2[j,b,c]^(i-2)]

matchsemiperiodic1[expr_] := expr /; FreeQ[expr,sce2] ||

FreeQ[expr,p]

matchsemiperiodic1[a_. sce2[j_,b_,c_] sce2[k_,d_,c_]] :=

sce2[j,b,c] sce2[k,d,c] matchsemiperiodic1[a]

matchsemiperiodic1[sce2[a_,_,_]] =0

matchsemiperiodic1[sce2[a_,_,_] sce2[b_,_,_]sce2[c_,_,_]]

=0

matchsemiperiodic1[sce2[a_,_,_] sce2[b_,_,_] sce2[c_,_,_]

sce2[d_,_,_] sce2[e_,_,_]] =0


sce2[d_,_,_] sce2[e_,_,_] sce2[f_,_,_] sce2[g_,_,_]] =0


sce2[d_,_,_] sce2[e_,_,_] sce2[f_,_,_] sce2[g_,_,_]

sce2[h_,_,_] sce2[i_,_,_]] =0


matchsemiperiodic1[sce2[i1_,a_,b_] sce2[i2_,c_,d_]] :=

sce2[i1,a,b] sce2[i2,c,b] delm[b,d]

matchsemiperiodic1[sce2[i1_,a_,b_] sce2[i2_,c_,d_]

sce2[i3_,e_,f_] sce2[i4_,g_,h_]] :=

sce2[i1,a,b] sce2[i2,c,d] sce2[i3,e,f] sce2[i4,g,h] *

(delm[b,d]*delm[f,h] + delm[b,f]*delm[d,h] +

delm[b,h]*delm[d,f] - 2*delm[b,d,f,h])

matchsemiperiodic1[sce2[i1_,a_,b_] sce2[i2_,c_,d_]

sce2[i3_,e_,f_] sce2[i4_,g_,h_] sce2[i5_,i_,j_]

sce2[i6_,k_,l_]] :=

sce2[i1,a,b] sce2[i2,c,d] sce2[i3,e,f] sce2[i4,g,h]

sce2[i5,i,j] sce2[i6,k,l] *

( delm[b,d]*delm[f,h]*delm[j,l]

+ delm[b,d]*delm[f,j]*delm[h,l]

+ delm[b,d]*delm[f,l]*delm[j,h]

+ delm[b,f]*delm[d,h]*delm[j,l]

+ delm[b,f]*delm[d,j]*delm[h,l]

+ delm[b,f]*delm[d,l]*delm[j,h]

+ delm[b,h]*delm[d,f]*delm[j,l]

+ delm[b,h]*delm[d,j]*delm[f,l]

+ delm[b,h]*delm[d,l]*delm[j,f]

+ delm[b,j]*delm[d,f]*delm[h,l]

+ delm[b,j]*delm[d,h]*delm[f,l]

+ delm[b,j]*delm[d,l]*delm[f,h]

+ delm[b,l]*delm[d,f]*delm[h,j]

+ delm[b,l]*delm[d,h]*delm[f,j]

+ delm[b,l]*delm[d,j]*delm[f,h]

- 2*delm[b,d,f,h]*delm[j,l]

- 2*delm[b,d,f,j]*delm[h,l]

- 2*delm[b,d,h,j]*delm[f,l]

- 2*delm[b,f,h,j]*delm[d,l]

- 2*delm[d,f,h,j]*delm[b,l]

- 2*delm[b,d,f,l]*delm[h,j]

- 2*delm[b,d,h,l]*delm[f,j]

- 2*delm[b,f,h,l]*delm[d,j]

- 2*delm[d,f,h,l]*delm[b,j]

- 2*delm[b,d,j,l]*delm[f,h]

- 2*delm[b,f,j,l]*delm[d,h]

- 2*delm[d,f,j,l]*delm[b,h]

- 2*delm[b,h,j,l]*delm[d,f]

- 2*delm[d,h,j,l]*delm[b,f]

- 2*delm[f,h,j,l]*delm[b,d]

+ 16 delm[b,d,f,h,j,l] )

matchsemiperiodic1[sce2[i1_,a_,r1_]sce2[i2_,b_,r2_]

sce2[i3_,c_,r3_]sce2[i4_,d_,r4_]sce2[i5_,e_,r5_]


sce2[i6_,f_,r6_]sce2[i7_,g_,r7_]sce2[i8_,h_,r8_]] :=

sce2[i1,a,r1]sce2[i2,b,r2]sce2[i3,c,r3]sce2[i4,d,r4]

sce2[i5,e,r5]sce2[i6,f,r6]sce2[i7,g,r7]sce2 [i8,h,r8] *

Plus @@ ({delm[r1, r8]*delm[r2, r7]*delm[r3, r6]*delm[r4, r5]

+ delm[r1, r7]*delm[r2, r8]*delm[r3, r6]*delm[r4, r5]























































+ delm[r1, r2]*delm[r3, r4]*delm[r5, r6]*delm[r7, r8],

delm[r5, r8]*delm[r6, r7]*delm[r1, r2, r3, r4]

+ delm[r5, r7]*delm[r6, r8]*delm[r1, r2, r3, r4]






























































+ delm[r1, r2]*delm[r3, r4]*delm[r5, r6, r7, r8],

delm[r1, r6, r7, r8]*delm[r2, r3, r4, r5]

+ delm[r1, r5, r7, r8]*delm[r2, r3, r4, r6]


































+ delm[r1, r2, r3, r4]*delm[r5, r6, r7, r8],

delm[r7, r8]*delm[r1, r2, r3, r4, r5, r6]

+ delm[r6, r8]*delm[r1, r2, r3, r4, r5, r7]


























+ delm[r1, r2]*delm[r3, r4, r5, r6, r7, r8],

delm[r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, r8]} * {1,-2,4,16,-272})


Υπόμνημα:

s2[a, b] = sin(ab/2)

c2[a, b] = cos(ab/2)

e2[a, b] = exp(ab/2)

delm[a, b, · · · ] = δa,b,···

sce2[1, a, b] = s2[a, b]

sce2[2, a, b] = c2[a, b]

sce2[3, a, b] = e2[a, b]

Παράρτημα Γ

Αποτελέσματα υπολογισμών των

έξι συνεισφορών της ενεργού

κορυφής

Στο παράρτημα αυτό παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα υπολογισμού των έξι

συνεισφορών της ενεργού κορυφής. Εξαιτίας των πολλών όρων που προκύπτουν,

για κάποιες συνεισφορές παρουσιάζονται μόνο μερικοί επιλεγμένοι όροι.

1.

Vector:∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4

(− 1

8g2(2π)4δ

(4)P (k1 + k2)δc1,c2

1

1/a4∑

ν1,ν2sin2(apν1) sin2(apν2)

sin2(apµ)

)·{

1

2

[δσ1,σ2,µ

(sin2(apµ)− (−1)µ·

∑ρ1ρ1 sin2(apρ1)

)− δσ1,σ2(−1)µ·σ1 sin2(apσ1)

]+ 2

(4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)[(ω1 + ω2)

(− δσ1,σ2,µ sin2(apµ) + δσ1,σ2 sin2(apσ1)(−1)µ·σ1

)

164

Παράρτημα Γ. Αποτελέσματα υπολογισμών των έξι συνεισφορών της ενεργούκορυφής 165

+ 4(ω21 + ω2

2 + 3ω1ω2) sin(ak1σ1

2) sin(

ak1σ2

2) sin2(apσ2)(−1)(σ2+µ)·σ1

]− 4

∑ρ1

(4−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)

)δσ2,µ sin(

ak1σ1

2) sin(

ak1µ

2) sin2(apρ1)(−1)(µ+ρ1)·σ1·

(ω21 + ω2

2 − 3ω1ω2)− 4∑ρ1

sin(ak1σ1

2) sin(

ak1σ2

2) sin2(apσ2)(−1)(σ2+µ)·σ1

+ 4∑ρ1

δσ1,σ2,µ sin2(apρ1)(−1)µ·ρ1 −∑ρ1,ρ2

cos(ak1ρ1)δσ1,σ2,µ sin2(apρ2)(−1)µ·ρ2

+ 2∑ρ1

δσ2,µ sin(ak1σ1

2) sin(

ak1µ

2) sin2(apρ1)(−1)(µ+ρ1)·σ1

+ 2

[(ω2

1 + ω22 + 4ω1ω2)

(δσ1,σ2,µ sin2(apµ)− δσ1,σ2 sin2(apσ1)(−1)µ·σ1

)− 16 ω1ω2(ω1 + ω2) sin(

ak1σ1

2) sin(

ak2σ1

2) sin2(apσ2)(−1)(σ2+µ)·σ1

]·[

16 +∑ρ1

cos(ak1ρ1)

(− 8 +

∑ρ2

cos(ak1ρ2)

)]+∑ρ1

(16 ω1ω2(ω1 + ω2)δσ2,µ sin(

ak1σ1

2) sin(

ak1µ

2) sin2(apρ1)(−1)(µ+ρ1)·σ1

− δσ1,σ2,µ sin2(apρ1)(−1)µ·ρ1(ω21 + ω2

2 + 4ω1ω2)

)·[

16 +∑ρ2

cos(ak1ρ2)

(− 8 +

∑ρ3

cos(ak1ρ3)

)]+∑ρ1

(1 + cos(ak1µ)− 2 cos(ak1ρ1

)

)sin2(apρ1)(−1)(µ+ρ1)·σ1(ω1 + ω2)·[

ω1 + ω2 − 4ω1ω2

(4−

∑ρ2

cos(ak1ρ2

))]·[

i sin(a

2(k1σ1

+ k1σ2))− 2 sin(

ak1σ1

2) sin(

ak1σ2

2)

]− 8ω1ω2

[64−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

(48−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)[12−

∑ρ3

cos(ak1ρ3)])]·[

(ω1 + ω2)

(δσ1,σ2,µ sin2(apµ)− δσ1,σ2,µ sin2(apσ2)(−1)µ·σ1

)− 4ω1ω2 sin(

ak1σ1

2) sin(

ak1σ2

2) sin2(apσ2)(−1)(σ2+µ)·σ1

]+ 4ω1ω2

∑ρ1

sin2(apρ1)

(δσ1,σ2,µ(−1)µ·ρ1(ω1 + ω2)

− 4δσ2,µ sin(ak1σ1

2) sin(

ak1µ

2)(−1)(µ+ρ1)·σ1ω1ω2

)·[

64− 48 cos(ak1ρ1) +

∑ρ2,ρ3

cos(ak1ρ2) cos(ak1ρ3

)

(12−

∑ρ4

cos(ak1ρ4)

)]


+ 8ω21ω

22

(δσ1,σ2,µ sin2(apµ)− δσ1,σ2 sin2(apσ1)(−1)µ·σ1

)·[

256−∑ρ1

cos(ak1ρ1)

(256−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)[96−

∑ρ3

cos(ak1ρ3)(16−

∑ρ4

cos(ak1ρ4))])]

− 4∑ρ1

ω21ω

22δσ1,σ2,µ sin2(apρ1)(−1)µ·ρ1

[256−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)

(256−

∑ρ3

cos(ak1ρ3)[96−

∑ρ4

cos(ak1ρ4)(16−

∑ρ5

cos(ak1ρ5))])]

+ 4ω21ω

22

∑ρ1

(1 + cos(ak1µ)− 2 cos(ak1ρ1

)

)sin2(apρ1)(−1)(µ+ρ1)·σ1·[

16 +∑ρ2

cos(ak1ρ2)

(− 8 +

∑ρ3

cos(ak1ρ3)

)]·

[i sin

(a2

(k1σ1+ k1σ2

))− 2 sin(ak1σ1

2) sin(

ak1σ2

2)

]}(Γ.1)

2.

Vector:∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4

(− 1

16g2(2π)4δ

(4)P (k1 + k2)δc1,c2

1

1/a4∑


1

1/a2∑

ν3sin2

(a(pν3 − k1ν3

))) ·{4i sin(apµ)e−iapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)δσ2,µ(−1)σ1·µ

[sin

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)sin(apµ) + sin

(a(pµ −

k1µ

2)

)sin(apσ1)

]− 2i sin(apµ)eiapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pσ2 −

k1σ2

2)

)(−1)σ1·(σ2+µ)[

sin(apσ2) sin

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)+ sin(apσ1) sin

(a(pσ2 −

k1σ2

2)

)]


+ 8i sin(apµ)e−iapµ cos2

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)δσ1,σ2 sin(apσ1) sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)(−1)σ1·µ

+ cos2

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)δσ1,σ2 sin(apµ)

∑ρ1

sin(apρ1)(−1)σ1·µ+ρ1·σ1

[2 sin(apµ) sin

(a(pρ1 − k1ρ1

)

)− sin(apρ1) sin

(a(pµ − k1µ)

)]+ 4 cos2

(a(pµ −

k1µ

2)

)δσ1,σ2,µ sin2(apµ)

∑ρ1

sin(apρ1) sin

(a(pρ1 − k1ρ1

)

)(−1)ρ1·µ

+ ie−iapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2

∑ρ1

sin2(apρ1) sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)(−1)σ1·µ

((−1)ρ1·σ1 − (−1)ρ1·µ

)+ (ω1 + ω2)

[− 16i sin(apµ)e−iapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)δσ2,µ(−1)σ1·µ

[sin(apµ) sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)+ sin(apσ1) sin

(a(pµ − k1µ)

)(4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)]+ 16i sin(apµ)eiapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pσ2 −

k1σ2

2)

)(−1)σ1·(σ2+µ)[

sin(apσ2) sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)+ sin(apσ1) sin

(a(pσ2 − k1σ2

)

)](4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)− 32i sin(apµ)eiapµ cos2

(a(pσ1 −

k1σ1

2)


(a(pσ1 − k1σ1

)

)(−1)σ1·µ

(4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)+ · · ·

]

+ (ω21 + ω2

2)

[16i sin(apµ)e−iapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)δσ2,µ(−1)σ1·µ

sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)(16−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)(8−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)))(

sin(apµ) + sin(apσ1)

)− 8i sin(apµ)eiapµ cos

(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pσ2 −

k1σ2

2)

)(−1)σ1·(σ2+µ)[

sin(apσ1) sin

(a(pσ2 − k1σ2

)

)+ sin(apσ2) sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)](

16−∑ρ1

cos(ak1ρ1)(8−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)))

+ 32i sin(apµ)eiapµ cos2

(a(pσ1 −

k1σ1

2)


(a(pσ1 − k1σ1

)

)(−1)σ1·µ

(16−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)(8−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)))

+ · · ·

]

+ 2ω1ω2


(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)δσ2,µ(−1)σ1·µ


sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)(16−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)(8−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)))(

sin(apµ) + sin(apσ1)

)+ · · ·+ ω1ω2


(a(pσ1 −

k1σ1

2)

)cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)δσ2,µ(−1)σ1·µ

sin(apµ) sin

(a(pσ1 − k1σ1

)

)[256−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

(256−

∑ρ2

cos(ak1ρ2)

[96−

∑ρ3

cos(ak1ρ3)(16−

∑ρ4

cos(ak1ρ4))])]]

+ · · ·

]}(Γ.2)

Axial-Vector:∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4

(− 1

16g2(2π)4δ

(4)P (k1 + k2)δc1,c2

1

1/a4∑


1

1/a2∑

ν3sin2

(a(pν3 − k1ν3

))ηµ1(µ1)

)·

{− 4i cos(apµ4) cos

(a(pµ2 − k1µ2

)

)cos

(a(pµ4 − k1µ4

)

)δσ1,µ4δσ2,µ2 sin2(apµ2) sin2(apµ3)− 4 cos(apµ2) cos(apµ4)

cos

(a(pµ3 − k1µ3

)

)cos

(a(pµ4 − k1µ4

)

)δσ1,µ4δσ2,µ3 sin3(apµ3)

+ 4i cos(apµ4) cos

(a(pµ3 − k1µ3

)

)cos

(a(pµ4 − k1µ4

)

)δσ1,µ4δσ2,µ3 sin(apµ2) sin3(apµ3)

+ · · ·+ (ω1 + ω2)

[− 16 cos(apµ4) cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)

)δσ1,µ4 sin2(apµ3)[

− i cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)δσ2,µ2 sin2(apµ2)

(4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)

− 4 cos(apµ2) cos

(a(pµ3 −

k1µ3

2)

)δσ2,µ3 sin(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)]+ · · ·

]

+ (ω21 + ω2

2)

[4i∑ρ2,ρ3

cos(ak1ρ2) cos(ak1ρ3

) cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)

)δσ1,µ4δσ2,µ2 sin(apµ2) sin(apµ4)

∑ρ1

sin(apρ1) sin(2apµ3) sin

(a(pρ1 − k1ρ1

)

)(−1)ρ1·µ4 + · · ·

]+ ω1ω2

[− 1024i cos(apµ4) cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)

)δσ1,µ4δσ2,µ2 sin2(apµ2)

sin2(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)+ · · ·

]}(Γ.3)


* µ1 : είναι η κατεύθυνση που εμπλέκεται στον ορισμό του τελεστή axial-vector

µ2 − µ4 : είναι οι υπόλοιπες 3 κατευθύνσεις σε αύξουσα σειρά

(π.χ. αν µ1 = 2 τότε µ2 = 1, µ3 = 3, µ4 = 4)

3.

Η συνεισφορά αυτή είναι η ίδια με την 2 με τον εξής μετασχηματισμό: k1 � k2,

σ1 � σ2, c1 � c2.

4.

Vector:∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4

(1

16g2(2π)4δ

(4)P (k1 + k2 +

πµ

a)δc1,c2

1

1/a2∑

ν1sin2(apν1)

1

1/a2∑

ν2sin2

(a(pν2 − k1ν2

))) sin(apµ)

{cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)[2δσ1,σ2,µ sin

(a(pµ − k1µ)

)sin

(a(pµ −

k1µ

2)

)− 2 sin

(a(pσ2 −

k1σ2

2)

)sin(

πµ · σ2

2)δσ1,µ sin

(a(pσ2 − k1σ2

)

)(−1)µ·σ2

+ 4

(δσ1,σ2,µ sin

(a(pµ − k1µ)

)sin

(a(pµ −

k1µ

2)

)

− sin

(a(pσ2 −

k1σ2

2)

)sin(

πµ · σ2

2)δσ1,µ sin

(a(pσ2 − k1σ2

)

)(−1)µ·σ2

)(

(ωA1 + ωA2)

(− 4− 2 cos(ak1µ) +

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)


+ 2ωA1ωA2

(4(2 + cos(ak1µ)

)2 −∑ρ1

cos(ak1ρ1)(8− 4 cos(ak1µ) +

∑ρ2

cos(ak1ρ2))))]

+ 2(ωO1 + ωO2)

[− sin

(2a(pµ −

k1µ

2)

)δσ1,σ2,µ sin

(a(pµ − k1µ)

)(4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)+ cos

(a(pµ −

k1µ

2)

)cos

(a(pσ2 −

k1σ2

2− πµ · σ2

2)

)δσ1,µ sin

(a(pσ2 − k1σ2

)

)(−1)µ·σ2

(4−

∑ρ1

cos(ak1ρ1)

)+ · · ·

]+O(ωA1ωO1) +O(ωA2ωO1) +O(ωA1ωO2) +O(ωA2ωO2)

+O(ωA1ωA2ωO1) +O(ωA1ωA2ωO2) +O(ωA1ωO1ωO2) +O(ωA2ωO1ωO2)

+ (ωA1ωA2ωO1ωO2)

[− 4

∑ρ1

cos(ak1ρ1)∑ρ2

cos(ak1ρ2)∑ρ3

cos(ak1ρ3)

cos

(a(pσ2 −

k1σ2

2+πµ · σ2

2)

)sin(a

k1σ2

2) sin(apσ2) sin

(a(pµ − k1µ)

)(−1)µ·σ2 + · · ·

]}(Γ.4)

Axial-Vector:∫ π/a

−π/a

d4p

(2π)4

(1

384g2δc1,c2

1

1/a2∑

ν1sin2(apν1)

1

1/a2∑

ν2sin2

(a(pν2 − k1ν2

))){

8

(cos(apµ4) + 2 cos

(a(pµ4 − k1µ4

)

))cos

(a(pµ3 − k1µ3

)

)cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)

)δσ1,µ2δσ2,µ4(2π)4δ

(4)P (k1 + k2 +

πµ2

a) sin(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)− 16 cos(apµ2) cos(apµ4) cos

(a(pµ3 −

k1µ3

2)

)cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)


(4)P (k1 + k2 +

πµ3

a) sin(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)+ · · ·

+ 2(ωA1 + ωA2)


(a(pµ3 − k1µ3

)

)cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)


(4)P (k1 + k2 +

πµ2

a) sin(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)+ · · ·

]+ ωA1ωA2

[256 cos(apµ4) cos

(a(pµ3 − k1µ3

)

)cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)


(4)P (k1 + k2 +

πµ2

a) sin(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)+ · · ·

]+ 2(ωO1 + ωO2)


(a(pµ3 − k1µ3

)

)cos

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)


cos

(a(pµ4 −

k1µ4

2)


(4)P (k1 + k2 +

πµ2

a) sin(apµ3) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)+ · · ·

]+O(ωA1ωO1) +O(ωA2ωO1) +O(ωA1ωO2) +O(ωA2ωO2) +O(ωA1ωA2ωO1)

+O(ωA1ωA2ωO2) +O(ωA1ωO1ωO2) +O(ωA2ωO1ωO2) + (ωA1ωA2ωO1ωO2)[− 32

∑ρ1

cos(apρ1)∑ρ2

cos(apρ2)∑ρ3

cos(apρ3)∑ρ4

cos(apρ4)δσ1,µ2δσ2, µ4

(2π)4δ(4)P (k1 + k2 +

π(µ3 + µ4)

a) sin(apµ3) sin(apµ4) sin

(a(pµ2 − k1µ2

)

)sin

(a(pµ3 − k1µ3

)

)sin

(a(pµ2 −

k1µ2

2)

)sin

(a(pµ4 −

k1µ4

2)

)+ · · ·

]}(Γ.5)

* µ1 : είναι η κατεύθυνση που εμπλέκεται στον ορισμό του τελεστή axial-vector

µ2 − µ4 : είναι οι υπόλοιπες 3 κατευθύνσεις σε αύξουσα σειρά

5.

Η συνεισφορά αυτή είναι η ίδια με την 4 με τον εξής μετασχηματισμό: k1 � k2,

σ1 � σ2, c1 � c2.

6.

Η συνεισφορά αυτή είναι μηδενική για όλους τους τελεστές.

Βιβλιογραφία

[1] J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics. International

series in pure and applied physics, McGraw - Hill Book Company, 1964.

[2] J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields. International

series in pure and applied physics, McGraw - Hill Book Company, 1965.

[3] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory.

Westview Press Reading (Mass.), 1995.

[4] H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories. An Introduction. World Scienti�c

Lecture Notes in Physics, World Scienti�c, 3rd ed., 2005.

[5] M. Kaku, Quantum Field Theory. A Modern Introduction. Oxford University

Press, 1993.

[6] H. van Hees, Introduction to Relativistic Quantum Field Theory.

2003. (http://faculty.ksu.edu.sa/djdou/Lectures%20Notes%20PHY555/

Introduction%20to%20Q.F.T.pdf).

[7] J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Clarendon

Press, 3rd ed., 1996.

[8] H. Kawai, R. Nakayama and K. Seo, �Comparison of the Lattice Λ parameter

with the continuum Λ parameter in massless QCD,� Nucl. Phys. B189 (1981)

40.

[9] C. Gattinger and C. Lang, Quantum Chromodynamics on the Lattice. An

Introductory Presentation. Lecture Notes in Physics, Springer, 2010.

[10] R. Horsley, H. Perlt, P.E.L. Rakow, G. Schierholz and A. Schiller, �One - loop

renormalisation of quark bilinears for overlap fermions with improved gauge

actions,� Nucl. Phys. B693 (2004) 3, Erratum-ibid. B713 (2005) 601.

172

Βιβλιογραφία 173

[11] R. Horsley, H. Perlt, P.E.L. Rakow, G. Schierholz and A. Schiller,

�Perturbative determination of cSW for plaquette andSymanzik gauge action

and stout link clover fermions,� Phys. Rev. D.78 (2008) 054504 [arXiv:

0807.0345v1] .

[12] M. Constantinou, M. Costa and H. Panagopoulos, �Perturbative

renormalization functions of local operators for staggered fermions with stout

improvement,� Phys. Rev. D.88 (2013) 034504 [arXiv: 1305.1870v2].

[13] M. Constantinou, M. Hadjiantonis and H. Panagopoulos, �Renormalization

of �avor singlet and nonsinglet fermion bilinear operators,� Proceedings,

�Lattice 2014�, Columbia University, USA. PoS(LATTICE2014)298 [arXiv:

1411.6990v1].

[14] A. Skouroupathis and H. Panagopoulos, �Two-loop renormalization of scalar

and pseudoscalar fermion bilinears on the lattice,� Phys. Rev. D76 (2007)

094514, Erratum-ibid. D78 (2008) 119901 [arXiv: 0707.2906].

[15] A. Skouroupathis and H. Panagopoulos, �Two-loop renormalization of vector,

axial-vector and tensor fermion bilinears on the lattice,� Phys. Rev. D79

(2009) 094508 [arXiv: 0811.4264].

[16] J. Kim, W. Lee and S. R. Sharpe, �One-loop matching factors for staggered

bilinear operators with improved gauge actions,� Phys. Rev. D81 (2010 )

114503 [arXiv: 1004.4039].

[17] S. Capitani, S. Durr and C. Hoelbling, �Rationale for UV-�ltered clover

fermions,� JHEP 0611 (2006) 028 [arXiv: hep-lat/0607006].

[18] J. A. Gracey, �Three loop anomalous dimension of non-singlet quark

currents in the RI' scheme,� Nucl. Phys. B662 (2003) 247 [arXiv:

hep-lat/0304113].

Diataraktiko— upologismo— dÔo brìqwn gia fermionik‹ reÔmata · MAÛOS 2015. PANEPISTHMIO...

Documents

Transcript of Diataraktiko— upologismo— dÔo brìqwn gia fermionik‹ reÔmata · MAÛOS 2015. PANEPISTHMIO...