Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005

Determinantes

Def. Uma permutacao dos elementos do conj. N = {1, 2, . . . , n} e

uma sequencia α1α2 . . . αn de n elementos distintos de N .

Ex. 123456 e 216354 sao duas permutacoes do conj. {1, 2, . . . , 6}.

Obs. O numero de permutacoes do conj. N = {1, 2, . . . , n} e n!.

As n! permutacoes podem ser obtidas a partir da permutacao

12 . . . n por sucessivas trocas de elementos adjacentes.

1

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

1 2

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

1 2 3

8>>>>>>><>>>>>>>:1 2 3 4

1 2 4 3

1 4 2 3

4 1 2 3

1 3 2

8>>>>>>><>>>>>>>:4 1 3 2

1 4 3 2

1 3 4 2

1 3 2 4

3 1 2

8>>>>>>><>>>>>>>:3 1 2 4

3 1 4 2

3 4 1 2

4 3 1 2

2 1

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

3 2 1

8>>>>>>><>>>>>>>:4 3 2 1

3 4 2 1

3 2 4 1

3 2 1 4

2 3 1

8>>>>>>><>>>>>>>:2 3 1 4

2 3 4 1

2 4 3 1

4 2 3 1

2 1 3

8>>>>>>><>>>>>>>:4 2 1 3

2 4 1 3

2 1 4 3

2 1 3 4

1

Def. Numa dada permutacao α1 . . . αi . . . αj . . . αn, os elementos

αi e αj fazem uma inversao se αi > αj.

Ex. Na permutacao 216354 os elementos 2 e 1 fazem uma inversao.

O elemento 6 faz inversao com 3, 5 e 4. O elemento 3 apenas faz

inversao com 6.

Obs. O numero de inversoes na permutacao α1α2 . . . αn e dado por

∑n−1i=1 no

¯ de elementos menores do que αi que estao a sua direita.

Ex. O no¯ de inversoes na permutacao 216354 e 5.

Def. Uma permutacao e par ou ımpar consoante e par ou ımpar

o no¯ de inversoes na permutacao.

Ex. A permutacao 216354 e ımpar.

Obs. Uma permutacao muda de paridade quando se troca um par

de elementos adjacentes.

Considere a permutacao P = α1 . . . αiαi+1 . . . αn.

Se αi < αi+1, o no¯ de inversoes em α1 . . . αi+1αi . . . αn e mais uma

do que em P .

Se αi > αi+1, o no¯ de inversoes em α1 . . . αi+1αi . . . αn e menos

uma do que em P .

Como as n! permutacoes de {1, 2, . . . , n} podem ser obtidas a

2

partir da permutacao 12 . . . n por trocas sucessivas de pares de ele-

mentos adjacentes, tem-se o seguinte resultado.

Lema Das n! permutacoes dos elementos do conj. {1, 2, . . . , n}

metade sao ımpares e metade sao pares.

Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n.

Def. Um termo da matriz A e o produto de n elementos de A em

que figura um representante de cada linha e coluna.

Ex. Se A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, a12a21a33, a11a23a32, a11a22a33 sao

termos da matriz A.

Def. O termo a1α1a2α2

. . . anαne par se a permutacao α1α2 . . . αn e

par. Caso contrario diz-se que o termo e ımpar.

Ex. Os termos a12a21a33 e a11a23a32 sao ımpares e o termo a11a22a33

e par.

A matriz A =

a11 a12

a21 a22

so tem um termo par: a11a22 e um

termo ımpar: a12a21.

Def. O determinante da matriz An×n e a soma dos n! termos de

3

A, figurando os ımpares com sinal “-”, i.e.,

det A = |A| =∑

α

δαa1α1a2α2

. . . anαn,

em que δα =

−1 se α = α1α2 . . . αn e ımpar

1 caso contrario.

Ex. det

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a12a21.

det

1 2

−1 5

= 1× 5− 2× (−1) = 7.

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

− − − + + +

det

0 −1 2

3 1 −2

5 3 0

= 0× 1× 0 + (−1)× (−2)× 5 + 2× 3× 3

−2×1×5−0×(−2)×3−(−1)×3×0 = 18

4

Props. dos determinantes de An×n.

1. Se todos os elementos de uma fila sao nulos, o determinante e

zero.

2. Se multiplicar os elementos de uma fila por um escalar λ o

determinante vem multiplicado por λ. (... det λA = λn det A.)

3. Quando se troca duas filas paralelas o determinante muda de

sinal.

A =

1 2

3 2

B =

3 2

1 2

4. Se duas filas sao proporcionais o determinante e zero.

. Se ha filas iguais, o resultado anterior implica que o determi-

nante e zero.

. A =

...

ai1 ai2 . . . ain

...

λai1 λai2 . . . λain

...

, det A = λ det

...

ai1 ai2 . . . ain

...

ai1 ai2 . . . ain

...

︸ ︷︷ ︸0

5. O determinante de uma matriz 4lar e igual ao termo principal.

5

6. Se os elementos da linha i (coluna j) forem escritos na forma

aij = bij + cij, j = 1, . . . , n,

det A = det

a11 a12 . . . a1n

...

bi1 bi2 . . . bin

...

an1 an2 . . . ann

+ det

a11 a12 . . . a1n

...

ci1 ci2 . . . cin

...

an1 an2 . . . ann

det A =∑

α δαa1α1a2α2

. . . aiαi︸︷︷︸ . . . anαn=

=∑

α δαa1α1a2α2

. . . (biαi+ ciαi

) . . . anαn=

=∑

α(δαa1α1a2α2

. . . biαi. . . anαn

+δαa1α1a2α2

. . . ciαi. . . anαn

) =

=∑

α

δαa1α1a2α2

. . . biαi. . . anαn

︸ ︷︷ ︸+

∑α

δαa1α1a2α2

. . . ciαi. . . anαn

︸ ︷︷ ︸=

= det B + det C

det

1 −1 3

2 4 5

3 3 8

= det

1 −1 3

2 4 5

2 + 1 4− 1 5 + 3

= det

1 −1 3

2 4 5

2 4 5

+

det

1 −1 3

2 4 5

1 −1 3

= 0

6

7. Se a uma fila adicionarmos um multiplo de uma fila paralela,

o determinante nao se altera. (Este resultado decorre directa-

mente das propriedades 4 e 6.)

det

1 2 −2 0

2 3 −4 1

−1 −2 0 2

0 2 5 3

= det

1 2 −2 0

0 −1 0 1

0 0 −2 2

0 2 5 3

=

det

1 2 −2 0

0 −1 0 1

0 0 −2 2

0 0 5 5

= det

1 2 −2 0

0 −1 0 1

0 0 −2 2

0 0 0 10

= 20.

Tem-se pois o seguinte

Algoritmo para o calculo do determinante da matriz A

. Seja A′ a matriz em escada que se obtem aplicando o metodo

de Gauss (fase descendente) a A.

. det A = δ× termo principal de A′, em que

7

δ =

1 se e par o no de trocas de linhas

realizadas ao passar de A para A′,

−1 caso contrario.

8. det A = det A>.

9. det(AB) = det A det B.

Note que det(A + B) pode nao coincidir com det A + det B.

A =

1 1

0 1

, B =

1 0

1 1

.

10. A e invertıvel sse det A 6= 0, e det A−1 = 1detA .

det(AA−1) = 1 = det A det A−1 ⇒ det A−1 = 1det A .

Def. O menor complementar do elemento (i, j) da matriz A, que

se representa por Aij, e o determinante da submatriz que se obtem

eliminando a linha i e a coluna j de A.

Ex. A =

2 4 −2

1 3 0

−1 2 5

.

A11 = det

3 0

2 5

= 15, A21 = det

4 −2

2 5

= 24.

8

Def. Chama-se complemento algebrico ou co-factor do elemento

(i, j) da matriz A a ∆ij = (−1)i+jAij.

Ex. ∆11 = (−1)2A11 = 15, ∆21 = (−1)3A21 = −24.

Teor. (de Laplace)

det A = ai1∆i1 + ai2∆i2 + · · ·+ ain∆in

= a1j∆1j + a2j∆2j + · · ·+ anj∆nj.

Ex. det

2 3 −1

4 5 7

0 −2 1

= 2 det

5 7

−2 1

− 3 det

4 7

0 1

−

1 det

4 5

0 −2

= 2× 19− 3× 4− (−8) = 34.

Este processo e particularmente util quando a matriz tem muitos

zeros.

det

0 5 3 2

1 4 0 0

2 3 1 0

0 0 2 0

= −2 det

0 5 2

1 4 0

2 3 0

= −2× 2 det

1 4

2 3

=

−2× 2× (−5) = 20.

Def. Chama-se adjunta da matriz A a matriz transposta dos

9

co-factores, i.e., adjA = [∆ij]>.

Ex. A =

2 0 3

0 3 2

−2 0 −4

, det A = −6.

∆11 = −12 ∆12 = −4 ∆13 = 6

∆21 = 0 ∆22 = −2 ∆23 = 0

∆31 = −9 ∆32 = −4 ∆33 = 6

adjA =

−12 0 −9

−4 −2 −4

6 0 6

.

A adjA =

2 0 3

0 3 2

−2 0 −4

−12 0 −9

−4 −2 −4

6 0 6

=

−6 0 0

0 −6 0

0 0 −6

︸ ︷︷ ︸||

det A I.

Teor. A adjA = adjA A = det A I.

Se A e invertıvel, A−1 = 1det A adjA.

10

Ex.

2 0 3

0 3 2

−2 0 −4

−1

= 1−6

−12 0 −9

−4 −2 −4

6 0 6

=

2 0 32

23

13

23

−1 0 −1

.

Sejam x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) vectores de R3.

Def. O produto externo de x e y e o vector de R3

x× y = (x2y3 − x3y2,−x1y3 + x3y1, x1y2 − x2y1)

= “ det

e1 e2 e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

”, i.e.,

det

x2 x3

y2 y3

1

0

0

−det

x1 x3

y1 y3

0

1

0

+det

x1 x2

y1 y2

0

0

1

.

Ex. (1,−2, 0)× (1, 0, 1) = “ det

e1 e2 e3

1 −2 0

1 0 1

” = (−2,−1, 2).

Props.

· y × x = −(x× y).

· x× (y + z) = (x× y) + (x× z).

11

· λ(x× y) = λx× y = x× λy.

· x× y = ~0 sse x = λy, para algum escalar λ.

Def. O produto misto

z|x× y = z1 det

x2 x3

y2 y3

− z2 det

x1 x3

y1 y3

+ z3 det

x1 x2

y1 y2

= det

z1 z2 z3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

.

Prop. x|x × y = y|x × y = 0, i.e., x × y e ortogonal a x e y.

Assim, se {x, y} e linearmente independente, x × y e ortogonal ao

plano gerado por x e y.

V ⊥

x

x× y

y

V

‖x × y‖2 = ‖x‖2‖y‖2 − (x|y)2 = ‖x‖2‖y‖2 − ‖x‖2‖y‖2 cos2 θ =

‖x‖2‖y‖2(1− cos2 θ) = ‖x‖2‖y‖2sin2θ.

... ‖x× y‖ = ‖x‖‖y‖|sinθ|.

12

x

y

hθ

‖x× y‖ = ‖x‖ ‖y‖|sinθ|︸ ︷︷ ︸h

, i.e.,

‖x× y‖ = area do paralelogramo de lados x e y.

x× y

z

y

x

projx×yz

‖x× y‖

|x× y|z| = ‖x× y‖ ‖z‖| cos θ|︸ ︷︷ ︸‖projx×yz‖

, i.e.,

|x× y|z| = volume do paralelipıpedo definido por x, y e z.

|x× y|z| = 0 sse x, y, z sao complanares.

13