Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

download Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

of 16

  • date post

    24-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    292
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Algebra TP - Cap 2 - Determinantes

Captulo 2 - Determinantes

Contedo 2.1 Clculo de determinantes de 2 e 3 ordens 2.2 Teorema de Laplace 2.3 Clculo de determinantes usando propriedades 2.4 Exerccios de concluso do captulo

ISEP ALGAN EMECAN

1

2.1 Clculo de determinantes de 2 e 3 ordensExerccios resolvidos1. Calcule o valor dos seguintes determinantes: 2 1 a) = 3 -5 Resoluo: a) Determinante de 2 ordem. Regra prtica.

3 1 2 b) = 1 1 0 2 4 1

=

2 1 = 2 ( 5 ) 3 1 = 13 . 3 5

b) Determinante de 3 ordem. Regra de Sarrus.

3 -1 2 = 1 -1 0 = 3 ( 1) 1 + 1 4 2 + 2 ( 1) 0 1 ( 1) 1 3 4 0 2 ( 1) 2 = 10 2 4 1 3 -1 2 1 -1 0

Exerccios propostos1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:

2 3 1.1 1 = 4 5

1 2 1 1.2 2 = 2 0 3 1 1 1

1 4 0 1.3 3 = 3 1 2 1 0 1

Solues: 1.1 1 = 22 . 1.2 2 = 7 1.3 3 = 3

ISEP ALGAN EMECAN

2

Exerccios suplementares1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:

1 2 1.1 1 = 3 4

1 0 0 1.2 2 = 0 1 0 0 0 1

2 0 0 1.3 3 = 0 2 0 0 0 2

Solues: 1.1 1 = 2 . 1.2 2 = 1 1.3 3 = 8

ISEP ALGAN EMECAN

3

2.2 Teorema de LaplaceExerccios resolvidos1. Calcule, aplicando o teorema de Laplace, o valor do seguinte determinante:

1 2 1 0 2 3 1 1 = . 1 1 4 2 1 1 1 0Resoluo:

Aplicando o Teorema de Laplace 4 coluna vem: = 0 A14 + ( 1) A24 + 2 A34 + 0 A44 . Clculo dos complementos algbricos Aij e dos menores complementares M ij : 1 2 1

A24 = ( 1)

2+ 4

M 24 = M 24 sendo M 24 = 1 1 4 = 11 1 1 11 2 1 1 = 11

A34 = ( 1)

3+ 4

M 34 = M 34 sendo M 34 = 2 1

3

1 1

Assim, = 11 + 2 11 = 33 .

Exerccios propostos1 0 4 1 2 1. Considere a matriz A = 3 . 2 3 4

1.1 Indique o menor complementar e o complemento algbrico do elemento a32 de A . 1.2 Calcule o valor de = A utilizando o teorema de Laplace.

ISEP ALGAN EMECAN

4

1 1 2 3 0 3 2 0 2. Seja o determinante = . Calcule o valor de , aplicando o teorema de 2 1 3 0 4 2 1 1 Laplace:2.1 2 linha; 2.2 4 coluna.

5 0 1 3 2 3 1 1 3. Calcule o valor do determinante = aplicando o teorema de Laplace. 4 1 2 1 3 3 1 1

Solues: 1.1 M 32 = 2.1 = 105 3. = 33

4 1

0 3+ 2 e A32 = ( 1) M 32 3

1.2 = 6

2.2 = 105

Exerccios suplementares nx + nz 1. Considere a matriz A = x + y ny 2nx n3 x n2 x . n3 x

ny y ny nx

1.1 Indique o menor complementar e o complemento algbrico do elemento a32 de A . 1.2 Calcule o valor do complemento algbrico do elemento a31 de A . 2. Calcule o valor dos seguintes determinantes aplicando o teorema de Laplace:

2.1 1 =

1 2 3 4

0 1

2 5 2 3

2.2 2 = 1 0 2

2 1 0 2 2.3 3 = 2 2 0 1

0 1 1 3

3 4 1 1

ISEP ALGAN EMECAN

5

Solues: nx + nz x+ y n3 x n x2

1.1 M 32 = 2.1 1 = 2

e

A32 = ( 1)

3+ 2

M 32

1.2 A31 = 0 2.3 3 = 22

2.2 2 = 0

ISEP ALGAN EMECAN

6

2.3 Clculo de determinantes usando propriedadesExerccios resolvidos

1 1 1. Considere o seguinte determinante 0 1

2 3 7 8 3 2 6 11

4 9 . 4 6

1.1 Sem calcular o valor do determinante, represente um determinante de 3 ordem de

valor igual ao determinante dado.1.2 Calcule o valor do determinante, aplicando apenas propriedades. Resoluo: 1.1 Se aplicarmos o Teorema de Laplace a qualquer uma das filas do determinante dado,

obtm-se sempre uma soma de vrios determinantes e no um nico como pretendido. Ento, vamos aplicar as propriedades dos determinantes de forma a obtermos uma fila com apenas um elemento no nulo. Aplicando a 8 propriedade: 1 1 0 1 2 3 7 8 3 2 6 11 4 9 4 6 1 0 = 0 0 2 5 3 4 3 5 2 8 4 5 5 5 5 5 5 5 1+1 3 2 4 = 3 2 4 = 1 ( 1) 4 4 8 2 4 8 2 2

L2 L2 L1 L4 L L1

4

5 5 5 Ento 3 2 4 4 8 21.2 Vamos anular todos os elementos que esto acima ou abaixo da diagonal principal, para

um determinante de 3 ordem de valor igual ao determinante dado.

depois utilizando a 9 propriedade fazermos o produto dos elementos da diagonal principal, obtendo o valor pretendido. Anulando coluna a coluna, comeamos da esquerda para a direita e nunca passamos coluna seguinte sem anularmos todos os elementos da coluna anterior. O elemento redutor sempre o elemento da coluna que estamos a trabalhar e que se encontra na diagonal principal. Na 1 coluna o elemento redutor 1.

ISEP ALGAN EMECAN

7

1 1 0 1

2 7 3

3 8 2

4 9 4 6L2 L2 L1 L4 L4 L1

1 2 3 4 = 0 5 5 5 = 0 3 2 4 0 4 8 2

6 11

O elemento redutor agora 5. Para reduzir a zero os elementos a32 e a42 teramos de trabalhar com nmeros fraccionrios. Para evitar isso, dividimos a 2 linha por 5. Dividindo tambm a 4 linha por 2 vem:

1 0 = 5 2 0 0

2 1 3 2

3 1 2 4

4 1 4 1

L3 L3 3 L2 L4 L4 2 L2

1 0 = 10 0 0

2 3 4 1 1 1 = 0 1 1 0 2 1

Na 3 coluna o elemento redutor -1. Fica ento:1 = 10 0 0 0 2 1 0 3 1 4 1 1L4 L4 + 2 L3

1 = 10 0 0 0

2 1 0

3 1 0

4 1 1 1 =

0 1

0 1

2 1

Utilizando agora a 9 propriedade (o determinante de uma matriz triangular superior ou inferior igual ao produto dos elementos da diagonal principal) fica:

= 10 11 ( 1) 1 = 10 .

2. Mostre utilizando apenas propriedades, que nulo o seguinte determinante

1 5 4 2 1 2 1 3 5 1 4 9 11 1 3 . 0 2 1 0 0 1 1 1 1 1Resoluo:

Aplicando a 8 propriedade vem: 1 5 4 2 1 2 1 3 5 1 4 9 11 1 3 0 2 1 0 0 1 1 1 1 1 duas linhas iguais.ISEP ALGAN EMECAN 8

L2 L2 + 2 L1

1 4 = 4 0 1

5 4 2 1 9 11 1 3 9 11 1 3 = 0 , porque o determinante tem 2 1 0 0 1 1 1 1

1 b 1 3. Resolva a seguinte equao: 1 1 b = 0 . b 1 1Resoluo:

Pela regra de Sarrus obtemos

1 b 1 1 1 b = 0 b3 3b + 2 = 0 , ou seja, temos que b 1 1

determinar as razes de um polinmio do 3 grau. Para evitarmos este mtodo, vamos obter uma matriz diagonal para podermos aplicar a 9 propriedade resoluo do determinante.

1 b 1 1 1 b b 1 1

C1C1+C2

1+ b = 2 b +1

b 1 1

1 b 1

C1C1+C3

b+2 = b+2 b+2

b 1 1

1 1 b 1 b = (b + 2) 1 1 b = 1 1 1 1

Vamos agora anular abaixo da diagonal: = (b + 2) 1 b 1 1 1 b 1 1 1 = (b + 2)L2 L2 L1 L3 L3 L1

1 b 1 0 1 b b 1 0 1 b 0

= (b + 2)C3 C2

1 1 b 0 b 1 1 b = 0 0 1 b

= ( b + 2 )( b 1)(1 b )A equao a resolver ento:

( b + 2 )( b 1)(1 b ) = 0 b = 2 b = 1 (raiz dupla).

Exerccios propostos1. Sem efectuar clculos, diga qual o valor dos seguintes determinantes, indicando as

propriedades utilizadas: 1 2 1 1.1 1 = 0 0 0 9 7 3 1 2. Sabendo que 2 0 2 1 3 1 0 0 1.2 2 = 0 2 0 0 0 3 1 0 0 1.3 3 = 10 2 0 20 30 3

3 4 = 5 , diga, justificando qual o valor dos determinantes: 5

ISEP ALGAN EMECAN

9

1 2.1 1 = 2 0

2 6 1 8 3 10

1 2.2 2 = 2 0

2 3 1 4 6 10

2 2.3 3 = 4 0

4 6 2 8 6 10

2.4 4 =

2 1 1 2 3 0

3 4 5

2 2.5 5 = 0 1

1 3 2

4 5 3

3. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:

1 2 5 3.1 1 = 1 0 2 1 2 34 0 3.4 4 = 2 0 0 2 2 1 1 3 2 1 1 1 0 1

1 1 2 1 3.2 2 = 2 1 0 1 1 2 5.5 5 = 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0

0 3 2 1 1 1 3 1 0 0 2 1 2 0 0 0 2 1

2 1 0 2 3.3 3 = 2 2 0 1

0 1 1 3

3 4 1 1

2 2 3 6 3 2 6 0 2 e B = 4 4 2 . Sabendo que = A = 10 e que = B = 24 , 4. Seja A = 1 2 2 1 1 4 4 4 diga qual o valor de:4.1 3 = A B 4.2 4 = B A 4.3 5 = A1 4.4 car ( B )

5 0 1 3 2 3 1 1 5. Seja = . 4 1 2 1 3 3 1 15.1 Calcule o valor do determinante aplicando propriedades. 5.2 Com base no determinante dado encontre: 5.2.1 um determinante de 5 ordem sem elementos nulos e de valor igual a ; 5.2.2 um determinante de 3 ordem, cujos elementos da 2 linha sejam todos iguais a

1 e de valor igual a 2 .

ISEP ALGAN EMECAN

10

6. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas propriedades:

a b c 6.1 1 = c a b b a cx +1 7. Decomponha o determinante = 2x 2x8. Resolva as equaes:

6.2 2 =

a a a a x x x

b b b b

c d c d c d c d

3 4 x2

num produto de factores.

8.1

x 1 2 3

x x 1 2

x x x 1

x x =0 x x

8.2

x +1 x 6

1 x 1 x + 2 x +1 = 0 1 x 11

Solues: 1.1 1 = 0 2.1 1 = 10 3.1 1 = 4 4.1 3 = 240 1.2 2 = 6 2.2 2 = 10 3.2 2 = 30 4.2 4 = 240 2.3 3 = 40 3.3 3 = 22 4.3 5 = 1.3 3 = 6 2.4 4 = 5 3.4 4 = 22 2.5 5 = 5 3.5 5 = 7 4.4 car ( B ) = 3

1 10

5.1 = 33

5.2.1 Por ex.

1 5 2 4 3

2 5 2 4 3

4 2 2 5 1 3 5 1 1 3 2 1 6 1 16.2 2 = 8abcd

5.2.2 Por ex.

0 1 0

10 1

24 1

5 3 13 5

6.1 1 = ( a + b + c )( a b )( c b ) 7. = x ( x 1)( x 2 )( x + 2 ) 8.1 x = 0 x = 1

8.2 x = 5 x = 3 x = 1

ISEP ALGAN EMECAN

11

Exerccios suplementares

1. Sabendo que

x y z 3 0 2 = 1 calcule o valor de: 1 1 1

x 1.1 1 = 3x + 3 x +1

y z 3 y 3z + 2 y +1 z +1

x 1 y 1 z 1 4 1 3 1.2 2 = 1 1 1

2. Decomponha os determinantes seguintes num produto de factores:

a a 2.1 1 = a + b b a a+c b a

2a

x 1 1 x 2.2 2 = x 1 2 1

2 2 y y

y y 2 x

3. Com base no determinante 1 dado e sem o resolver, encontre um outro determinante 2 ,

apenas com elementos inteiros tal que 2 = k 1 , com k real, e determine o v