Bé gi¸o dôc ®µo t¹o céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc

§Ò chÝnh thøc ®Ò thi tuyÓn sinh

Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2013 M«n thi: TOAN

(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin) Thêi gian lµm bµi :150 phót

---------------------------------------- Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a,b,c,x,y,z là các số thực khác 0

thỏa mãn 0zc

yb

xa

và 1cz

by

ax

.Chứng minh rằng 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

Câu 2.(1,5 điểm)Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn 3x3zz2yy1x 222 Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 6 thì số:

6)....(2n)5)(n(n2).(4n2.6.10....1a n

là một số chính phương

Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng

43

2cca1

2bbc1

2aab1

Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P

thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng 1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC. 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy

Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp 2014;...;4;3;2;1 thỏa mãn điều kiện A

có ít nhất hai phần tử và nếu Ayx

y:thìy,xA,yA,x2

----------------------------------HÕt-----------------------------------

Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh

Hướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng 2 -2014 Ngày thi 6/6/2014

Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a,b,c,x,y,z là các số thực khác 0

thỏa mãn 0zc

yb

xa

và 1cz

by

ax

.Chứng minh rằng 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

Hướng dẫn

1(*)abc

bxzayzcxy2cz

by

ax

1acxz

bcyz

abxy2

cz

by

ax1

cz

by

ax1

cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

Từ ycxbxzayz0xyz

cxybxzayz0zc

yb

xa

thay vào (*) ta có ĐPCM

Câu 2.(1,5 điểm)Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn 3x3zz2yy1x 222

Hướng dẫn

Áp dụng Bất đảng thức 2

BAAB22

ta có đúng với mọi A,B

321

22

21321

222222222

xzzyyxxzzyyx

Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi

2z

0y1x

3x3zz2yy1x

2z0y1x

3x3zz2yy1x

3xz2zy1yx

3x3zz2yy1x

x3z

z2y

y1x

222

2

2

2

222

22

22

22

222

2

2

2

ĐKXĐ : 2;1;3 zyx Câu 3 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 6 thì số:

6)....(2n)5)(n(n2).(4n2.6.10....1a n

là một số chính phương

Hướng dẫn

22

n

n

55

)4)(3)(2)(1(1...4.3.2.1.2

)!4)(3)(2)(1(....3.2.1..21

2....6.4.2)!4.(2

1(2n)!

4)!-1).(n-...(2n.(1.3.5...21a

nna

nnnnn

nnnnnn

n

n

n

nn

Câu 4(1,5 điểm) Cho x;y;z là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng

43

2cca1

2bbc1

2aab1

Hướng dẫn Đặt

xzc

zyb

yxa ;,

Thì

2xyyzxz1

2xzyzxy1

2yzxzxy1xzyzxyP3

2xyyzxzxy1

2xzyzxyzx1

2yzxzxyyz1P3

2xyyzxzxy

2xzyzxyzx

2yzxzxyyz

2cca1

2bbc1

2aab1P

Áp dụng Bất đẳng thức CBA

1C1

B1

A1

Ta có 43

493P

49

4xz4yz4xy9xzyzxyP3

Dấu “=” xảy ra khi 1zyx1xyz

xzyz2xyxz2yzxy2xzyzxy

Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho MN//AP.Chứng minh rằng

1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC. 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy

Q

K

D

H

a) Đăt AB = a ta có AC = 2a . Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác

NBM (g.g) suy ra 2

.2aDPBN

ADBN

DPBM

mà OB.OD=2

2a

tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c). từ đó tính được 045NOP 2. Theo a ta có

DPOD

OPON

DPOB

góc PON = góc ODP=450

tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c). suy ra góc DOP= góc ONP nên DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN 3. Đặt giao điểm cua MN và BC là Qvà AP là K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD )1(;

KAQN

KPQM

KAKP

QNQM

ADDP

KAKP

BNBM

QNQM

ta có. Giar

sử MP cắt AN tại I . K I cắt MN tại H Áp dụng định lí ta lét KAHN

PKHM

(2)

Từ 91) và (2) Suy raQNQM

HNHM

Q trùng H, vậy BD, PM, AN đồng quy

Câu 6(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp 2014;...;4;3;2;1 Thỏa mãn điều kiện A có ít

nhất hai phần tử và nếu Ayx

y:thìy,xA,yA,x2