cvic1l01.pdf
3
Pˇ r´ ıklady na 1. a 2. t´ yden Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu 1. Naleznˇ ete obsah oblasti ohraniˇ cen´ e xy = 4, x + y = 5. 2. Naleznˇ ete obsah oblasti ohraniˇ cen´ e y = ln x, y = ln 2 x. 3. Naleznˇ ete obsah elipsy s poloosami a, b. 4. Naleznˇ ete obsah oblasti ohraniˇ cen´ e kardioidou r = a(1 + cos ϕ), a> 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. 5. Naleznˇ ete obsah oblasti ohraniˇ cen´ elemnisk´atou r = 4 sin 2 ϕ,0 ≤ ϕ ≤ 2π. 6. Naleznˇ ete obsah oblasti ohraniˇ cen´ e x 4 + y 4 = x 2 + y 2 . 7. Odvo ˇ dte vztahy pro objem koule, kuˇ zelu, jehlanu. 8. Spoˇ ctˇ ete objem tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ ı oblouku kardioidy r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ (0,π) kolem osy x. 9. Spoˇ ctˇ ete objem ˇ c´astitˇ elesa x 2 +4y 2 ≤ a 2 leˇ z´ ıc´ ıho mezi rovinami z =0 a y = z. 10. Odvo ˇ dte vztah pro d´ elku kruˇ znice. 11. Spoˇ ctˇ ete d´ elku kˇ rivky y = arcsin x + √ 1 - x 2 , x ∈ (-1, 1). 12. Spoˇ ctˇ ete d´ elku evolventy kruhu x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t - t cos t), t ∈ [0, 2π]. 13. Odvo ˇ dte vzorec pro povrch koule. 14. Naleznˇ ete povrch rotaˇ cn´ ıho tˇ elesa vznikl´ eho rotac´ ı kˇ rivky y = x 3 , |x|≤ 1 kolem osy x. 15. Naleznˇ ete polohu tˇ eˇ ziˇ stˇ e homogenn´ ıho ˇ ctvrtkruhu o polomˇ eru r. 16. Naleznˇ ete polohu tˇ eˇ ziˇ stˇ e poloviny homogenn´ ı asteroidy x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t ∈ [0,π]. 1
Transcript of cvic1l01.pdf
Prıklady na 1. a 2. tyden
Aplikace urciteho integralu
1. Naleznete obsah oblasti ohranicene xy = 4, x + y = 5.
2. Naleznete obsah oblasti ohranicene y = ln x, y = ln2 x.
3. Naleznete obsah elipsy s poloosami a, b.
4. Naleznete obsah oblasti ohranicene kardioidou r = a(1 + cosϕ), a > 0,0 ≤ ϕ ≤ 2π.
5. Naleznete obsah oblasti ohranicene lemniskatou r = 4 sin2 ϕ, 0 ≤ ϕ ≤2π.
6. Naleznete obsah oblasti ohranicene x4 + y4 = x2 + y2.
7. Odvodte vztahy pro objem koule, kuzelu, jehlanu.
8. Spoctete objem telesa vznikleho rotacı oblouku kardioidy r = a(1 +cos ϕ), ϕ ∈ (0, π) kolem osy x.
9. Spoctete objem casti telesa x2 + 4y2 ≤ a2 lezıcıho mezi rovinami z = 0a y = z.
10. Odvodte vztah pro delku kruznice.
11. Spoctete delku krivky y = arcsin x +√
1 − x2, x ∈ (−1, 1).
12. Spoctete delku evolventy kruhu x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t −t cos t), t ∈ [0, 2π].
13. Odvodte vzorec pro povrch koule.
14. Naleznete povrch rotacnıho telesa vznikleho rotacı krivky y = x3, |x| ≤1 kolem osy x.
15. Naleznete polohu teziste homogennıho ctvrtkruhu o polomeru r.
16. Naleznete polohu teziste poloviny homogennı asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, t ∈ [0, π].
1
17. Naleznete polohu teziste homogennı polokoule x2 +y2 +z2 ≤ a2, x > 0.
18. Urcete moment setrvacnosti oblouku asteroidy (viz vyse, t ∈ [0, π/2])vzhledem k souradnicovym osam.
19. Prımocary pohyb telesa je dany funkcı s = ct3, kde s(t) je delka drahyza cas t. Odpor prostredı je umerny ctverci rychlosti. Vypocıtejtepraci, kterou vykonajı trecı sıly, pokud teleso projde drahu od s = 0do s = a.
20. Pri pruchodu radioaktivnıho zarenı vrstvou latky o tloustce h pokleslajeho intenzita na polovinu puvodnı hodnoty. Jaka bude intenzita tohotozarenı po pruchodu vrstvou o tloustce H? (Ulohu reste za predpokladu,ze intenzita zarenı absorbovaneho tenkou vrstvou latky je prımo umernatloustce vrstvy a intenzite dopadajıcıho zarenı).
Newtonuv integral, konvergence integralu
Spoctete
21.∫
∞
2
1
x2dx
22.∫
∞
0
e−3xdx
23.∫
1
0
x ln xdx
24.∫
∞
0
e−ax cos bxdx
25.∫ π
2
0
tg xdx
2
Zjistete, zda konvergujı integraly
26.∫
∞
0
xpdx, p ∈ R
27.∫
∞
1
xpdx, p ∈ R
28.∫
10
0
xpdx, p ∈ R
29.∫
∞
0
x3
2
1 + x2dx
30.∫
1
0
1√
x(1 − x2)dx
31.∫
2
0
1
ln xdx
32.∫ π
2
0
ln sin x
xpdx, p ∈ R
33.∫
∞
0
arctg x
x3
2
dx
3
