Critérios de paralelismo e de perpendicularidade

Critério  de  paralelismo  entre  rectas  e  planos  Como construir uma recta paralela ao plano ? β

Traçamos  uma  recta  qualquer  no  plano            .    β

Imaginamos  outro  plano  dis2nto  de              que  contenha  a  recta    s.      

β Nesse  plano,  traçamos  uma  recta  r  paralela  a  s.  

Então:      r  //  β

 Assim,  podemos  enunciar  o  seguinte  critério:    Se  uma  recta  r  não  con2da  num  plano          ,  é  paralela  a  uma  recta  s,  desse  plano,  então  é  paralela  ao  plano.  

r

s

β

β

Também  é  verdade  que:  Se  uma  recta  r  (não  con2da  no  plano  beta)  é  paralela  a  esse  plano,  existe  pelo  menos  uma  recta,  s,    paralela  a  r.  

ββ //// rentãosesrSe ⊂

Critério  de  paralelismo  entre  rectas  e  planos  

Exercício:

A  figura  representa  um  paralelepípedo  rectângulo.  B  

C  

Jus2fica  que  a  recta  EF  é  paralela  à  face  [ABCD].  

Critério  de  paralelismo  entre  planos  Como construir um plano paralelo a um plano dado?

Traça-se uma recta paralela ao plano . γ

Há uma infinidade de planos que contêm r.

Mas, só um deles é paralelo a . É aquele que contém outra recta, s, também paralela a e concorrente com r.

γ

γ

Então:

δγ //

gama−γdelta−δ

α

β

r s

βαββ

αα

//////,,

entãoserescomeconcorrentérsrSe ⊂⊂

Dois planos distintos e são paralelos se num deles existem duas rectas concorrentes e paralelas ao outro plano.

α β

Critério  de  paralelismo  entre  planos  

É fácil verificar que:

α

β

Se um plano é paralelo a outro, todas as rectas de um deles são paralelas ao outro.

A figura representa o tronco de uma pirâmide. As rectas AB e CD contidas no plano CAB são paralelas ao plano EFG. Podes concluir que os planos considerados são paralelos?

Exercício:

Observa a figura

A recta r está contida no plano , é paralela ao plano e, no entanto os planos alfa e beta não são paralelos.

β α

As rectas r e s são paralelas, estão contidas no plano , cada uma delas é paralela ao plano e, no entanto, os planos alfa e beta não são paralelos.

βα

As rectas AB e BC são concorrentes em B, estão contidas no plano e são paralelas ao plano . Os planos são paralelos.

γπ πγ e

Critério  de  perpendicularidade    entre  recta  e  plano.  

α

r

s

tesets αα ⊂⊂ ,

tSe uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então é perpendicular ao plano.

são concorrentes.

α⊥⊥⊥ rentãosretrSePara que uma recta seja perpendicular a um plano basta que seja perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano que passem pelo seu pé (ponto   onde   a   recta   encontra   um   plano  chama-se pé  da  recta).

Critério  de  perpendicularidade    entre  recta  e  plano.  

A recta AC é perpendicular à recta CD do plano BCD e, no entanto, não é perpendicular ao plano, pois teria que ser perpendicular a duas rectas concorrentes e não a uma só.

Podemos afirmar que a recta AB é perpendicular ao plano BCD porque é perpendicular a duas rectas concorrentes do plano: BE e BC.

Exemplo:  

Critério  de  perpendicularidade    entre  planos.  

Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano, então os dois planos são perpendiculares.

αβαβ ⊥⊥⊂ entãorerSe

Reparem que estes dois planos dividem o espaço em 4 regiões. A cada uma chama-se DIEDRO. DIEDRO é cada uma das quatro regiões em que fica dividido o espaço quando dois planos se intersectam.     Se os quatro diedros forem iguais ,

os planos dizem-se PERPENDICULARES.

Caso contrário, os planos são OBLÍQUOS.

Justifica as afirmações: a) A recta AB é paralela ao plano CDE da base.

b) A recta BC é perpendicular aos planos das bases.

c) O plano BCD é perpendicular ao plano CDE. d) O plano ABC é paralelo ao plano EFG.

Na figura está representado um prisma hexagonal recto e regular.

Os  planos                                        são  perpendiculares  ao  plano      ,, δγβ e α