CPV INSPER -...

1CPV INSPERNOV2013

MATEMÁTICA

17. ConsidereoquadriláteroconvexoABCDmostradonafigura,emqueAB=4cm,AD=3cmem(A) = 90º.

SeadiagonalBDestácontidanabissetrizdoânguloABC eBD=BC,entãoamedidadoladoCD,emcentímetros,vale

a) 2 2. b) 10. c) 11. d) 2 3. e) 15.

Resolução:

Como o ΔABDéretângulo decatetos3e4,ahipotenusa

BD = 5 e cos α = 45

AplicandooTeoremadosCossenosnoΔBCD,temos:

x2 = 25 + 25 – 2 . 5 . 5 . cos α Þ x = 10 cos α =

45 Alternativa B

18. Noplanocartesianodafigura,feitoforadeescala,oeixoxrepresentaumaestradajáexistente,ospontosA(8;2)eB(3;6)representamduascidadesearetar,deinclinação45º,representaumaestradaqueseráconstruída.

Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a novaestradasejamiguais,opontoC,ondeanovaestradainterceptaaexistente,deverátercoordenadas

a) ( 12;0).

b) (1;0).

c) ( 32 ;0). d) (2;0).

e) ( 52;0).

Resolução:

dB,r = dA,r e mr = 1

Logo, r:x–y+n=0,nÎ

| 8 – 2 + n |

2 =

|3–6+n|2

\ |6+n| = |–3+n| Þ6+n=±(–3+n)

Logo, n=– 32,portanto

r:x – y – 32

= 0 e C ( 32

; 0)Alternativa C

x

3

4

5

5

CPV seu Pé Direito no INSPERINSPER Resolvida – 15/novembro/2013 – Prova a (marrom)

INSPER – 15/11/2013 seu Pé diReito nas MelhoRes Faculdades2

CPV INSPERNOV2013

19. Emumsistemadecoordenadascartesianasnoespaço,ospontosA(3,2,5),B(5,2,5),C(5,4,5)eD(3,4,5)sãoosvérticesdabasedeumapirâmideregulardevolume8.

O vértice Vdessapirâmide,quetemastrêscoordenadaspositivas,estálocalizadonoponto.

a) (2,1,5). b) (3,2,2). c) (3,2,6). d) (4,3,7). e) (4,3,11).

Resolução:

Pelascoordenadas,concluímosqueabaseABCDdapirâmideéumquadradodelado2.Portanto,aáreadabasemedeSB = 4.

Como o volume mede 8 e V = SB H

3obtemosqueH=6.

ComoVpossuicoordenadaspositivas,concluímosqueovérticeVédadoporV(4,3,11).

Alternativa E

Y

111

2

2

2

5

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

BA

D C

X

11

Z

3seu Pé diReito nas MelhoRes Faculdades INSPER – 15/11/2013

INSPERNOV2013 CPV

20. UmapessoairáescolherdoisnúmerosreaispositivosA e B. Paraamaioriadaspossíveisescolhas,ologaritmodecimaldasomadosdoisnúmerosescolhidosnãoseráigualàsomadeseuslogaritmosdecimais.Porém,seforemescolhidososvalores A=4eB=r,taligualdadeseverificará.Comessasinformações,pode-seconcluirqueonúmerorpertenceaointervalo

a) [1,0;1,1]. b) ]1,1;1,2]. c) ]1,2;1,3]. d) ]1,3;1,4]. e) ]1,4;1,5].

Resolução:

Doenunciado,temos:

log(4+r)=log4+logr

log(4+r)=log(4. r)

4 + r = 4 . r

r = 43=1,33...

Sendoassim,rpertenceaointervalo]1,3;1,4]Alternativa D

21. A partir do momento em que é ativado, um vírus decomputadoratuadaseguinteforma:

• aolongodoprimeirominuto,eledestrói40%damemóriadocomputadorinfectado;

• aolongodosegundominuto,eledestrói40%doquehaviarestadodamemóriaapósoprimeirominuto;

• eassimsucessivamente:acadaminuto,eledestrói40%doquehaviarestadodamemórianominutoanterior.

Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terádestruídoaproximadamente

a) 50%damemóriadocomputadorinfectado. b) 60%damemóriadocomputadorinfectado. c) 80%damemóriadocomputadorinfectado. d) 90%damemóriadocomputadorinfectado. e) 100%damemóriadocomputadorinfectado.

Resolução:

Analisandoaquantidadedestruídadoarquivo,temos:

1o minuto 2ominuto 3o minuto 4o minuto 40% 24% 14,4% 8,64% ...

ObservequeaquantidadedestruídaporminutoformaumaP.G.derazãoq=60%.

Comoduranteumdiahá1440minutos,podemosaproximarasomadaquantidadedestruídanos1440minutospelasomainfinitadaP.G.(háumaquantidademuitograndedetermos).Sendoassim:

S∞ = 40%

1 – 60% = 1 ou 100%

Alternativa E

22. Nafiguraabaixo,emqueoquadradoPQRSestáinscritonacircunferência trigonométrica,osarcosAP e AQtêmmedidasiguaisaα e β,respectivamente,com0< α < β < π.

Sabendo que cos α=0,8,pode-seconcluirqueovalordecos β é

a) –0,8. b) 0,8. c) –0,6. d) 0,6. e) –0,2.

Resolução:

Observandoafigura,temosque

β – α = 90º Þ β = 90º + α

cos β=cos(90º+α) = – sen β

Portanto:sen2 β=1–0,64=0,36Þ sen β = ±0,6

sen β=0,6Þ cos β=–0,6Alternativa C

α

β – α


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23.Analisandoocomportamentodasvendasdedeterminadoproduto em diferentes cidades, durante um ano, umeconomistaestimouqueaquantidadevendidadesseprodutoemummês(Q),emmilharesdeunidades,dependedoseupreço(P),emreais,deacordocomarelação

Q=1+4.(0;8)2P.

No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo derelação,escreveropreçoPemfunçãodaquantidadeQ. Dessa forma, isolandoavariávelP na relação fornecidaacima,oeconomistaobteve.

a) P=log0,8Q - 14

b) P=log0,8 (Q–18 ). c) P=0,5 Q - 1

40 8,

d) P = Q - 18

0 8,

e) P=0,5.log0,8 (Q4 – 1).Resolução:

Q=1+4.(0,8)2P

Q–1

4=(0,8)2P

log0,8Q–1

4=log0,8(0,8)

2P

log0,8Q–1

4 = 2P

0,5.log0,8Q–1

4 = P

P=log0,8Q - 14

Alternativa A

24. Sendo kumaconstanterealpositiva,considereográficodopolinômiode3ograuP(x),mostradonafigura.

Dentreasfigurasaseguir,aúnicaquepoderepresentarográficodafunçãoQ(x),definida,paratodox≠0,pelalei

Q(x)=P(x)

x é

a) b)

c) d)

e)

Resolução:

Temosque P(x)=ax(x–k).(x+k),a> 0 e

Q(x)=P(x)

x ÞQ(x)=a(x–k).(x+k)

Q(x)édo2ograu,suasraízessãok e –k e sua concovidade é voltadaparacima(a> 0).

Alternativa A


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25. Umpolígonoregularpossuinlados,sendonumnúmeroparmaiorouiguala4.Umapessoauniudoisvérticesdessepolígonopormeiodeumsegmentodereta,dividindo-oemdoispolígonosconvexosP1 e P2,congruentesentresi.

OnúmerodeladosdopolígonoP1éiguala:

a) n2

+ 2

b) n2

+ 1

c) n2

d) n2

– 1

e) n2

– 2

Resolução:

Dividindo o polígono den lados emdois polígonos convexoscongruentes,obteremosdoisoutrospolígonoscongruentesquepossuem

n2

+ 1 lados.

Alternativa B

26.Aequaçãox3–3x2+7x–5=0possuiumaraizrealr e duasraízescomplexasenãoreaisz1 e z2.

Omódulodonúmerocomplexoz1éiguala

a) 2. b) 5. c) 2 2. d) 10. e) 13.

Resolução:

Comoasomadoscoeficienteséigualazero,umadasraízesdaequaçãoé1.PorBriot-Ruffini,obtemos:

1 1 –3 7 –5

1 –2 5 0,deonderesultax2 – 2x + 5 = 0

Δ=(–2)2 –4 . 1 .5=–16Þ x = 2 ± 4i

2 = 1 ± 2i.

| Z1 | = 12 + 22 = 5 Alternativa B

27. Noplanocartesiano, a retar, de coeficiente angular10,interceptaoeixoyemumpontodeordenadaa. Já a reta s,decoeficienteangular9,interceptaoeixoyemumpontode ordenada b. Se as retas r e sinterceptam-seemumpontode abscissa 6,então

a) b = a. b) b = a – 9. c) b=a–6. d) b = a + 9. e) b=a+6.

Resolução:

Arepresentaçãodasretasnoplanocartesianopodeser: temos:

y–a6

=10 y–a=60

y–b6

=9 y–b=54

–a+b=6Þb=a+6

Alternativa E

28.Umdirigentesugeriuacriaçãodeumtorneiode futebolchamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelosoitopaísesquejáforamcampeõesmundiais:ostrêssul-americanos(Uruguai,BrasileArgentina)eoscincoeuropeus(Itália,Alemanha,Inglaterra,FrançaeEspanha).Asoitoseleçõesseriamdivididasemdoisgruposdequatro,sendoosjogosdogrupoAdisputadosnoRiodeJaneiroeosdogrupoBemSãoPaulo.Considerandoosintegrantesdecadagrupoeascidadesondeserãorealizadososjogos,onúmerodemaneirasdiferentesdedividirasoitoseleçõesdemodoqueastrêssul-americanasnãofiquemnomesmogrupoé

a) 140. b) 120. c) 70. d) 60. e) 40.

Resolução:

ParaqueastrêsseleçõesSul-Americanasnãofiquemnomesmogrupo,énecessárioqueduasSul-Americanasfiquemnumdosgrupos.

Assim,temos:

Escolhadacidade EscolhadasSul-Americanas

EscolhadasEuropeias

C2,1 C3,2 C5,22 3 10

2 .3.10=60opçõesAlternativa D

Þ

y

y

x

b

a

6


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29. Para fazer parte do time de basquete de uma escola, énecessárioter,nomínimo,11anos.Amédiadasidadesdoscincojogadorestitularesdessetimeé13anos,sendoqueomaisvelhodelestem17anos.Dessaforma,osegundomaisvelhodotimetitularpodeter,nomáximo,

a) 17 anos. b) 16anos. c) 15 anos. d) 14 anos. e) 13anos.

Resolução:

Se amédia das idades e a quantidade de atletas do time sãoconhecidas,podemoscalcularasomatotaldasidades:

x = åxi

N →13=

åxi

5

Portanto,asomadasidadesdaequipeé13.5=65anos.

Sabemosqueomaisvelhotem17anos,osegundomaisvelhotemxanoseespeculamosquecadaumdosdemaisatletastem11anos. Assim:

17+x+11+11+11=65,demodoquex=15anos.

Alternativa C

30.Sendox e ydoisnúmerosreaisnãonulos,aexpressão(x–2+y–2)–1 é equivalente a

a) x2y2

x2 + y2

b) ( xyx+y )2

c) x2+y2

2

d) (x+y)2

e) x2+y2

Resolução:

(x–2+y–2)–1 = 1

1x2 +

1y2

= 1

x2 +y2

x2 .y2

= x2 .y2

x2+y2

Alternativa A

31. Trêsamigosforamaumapapelariaparacomprarmaterialescolar.Asquantidadesadquiridasdecadaprodutoeototalpagoporcadaumdelessãomostradosnatabela.

AmigoQuantidadescompradasde Totalpago

(R$)cadernos canetas lápisJúlia 5 5 3 96,00

Bruno 6 3 3 105,00Felipe 4 5 2 79,00

Ospreçosunitários,emreais,deumcaderno,deumacanetaedeumlápis,são,respectivamente,x,y e z.

Dessaforma,dasigualdadesenvolvendomatrizesfornecidasaseguir,aúnicaquerelacionacorretamenteessespreçosunitários com os dados da tabela é

a) [x y z]. 5 53[ ]6 3 3 4 5 2

=[96105 79]

b) x[ ]y z

. 5 5 3[ ]6 3 3 4 5 2

= 96[ ] 105 79

c) 5 5 3[ ]6 3 3 4 5 2

.[x y z]=[96105 79]

d) 5 5 3[ ]6 3 3 4 5 2

. x[ ]y z

= 96[ ] 105 79

e) x[ ]y z

. 96[ ] 105 79

= 5 5 3[ ]6 3 3 4 5 2

Resolução:

Montandoossistemaslineares,temos:

Júlia 5x+5y+3z=96 Bruno 6x+3y+3z=105 Felipe 4x+5y+2z=79

Passandoparaaformamatricial,obtemos:

5 53[ ]6 33 4 5 2

. x[ ]y z

= 96[ ] 105 79

Alternativa D


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32.Afigura abaixomostra ofluxogramado processo que éutilizadoemumacooperativaagrícolaparadefinirodestinodasfrutasenviadasaelapelosprodutoresdaregião.

De acordo com o fluxograma, se o peso de uma frutarecebidapelacooperativaé320gramas,entãoessafruta,necessariamente,

a) seráenviadaparaexportação. b) seráenviadaparaafábricadegeleias. c) não será enviada para comercialização no mercado

interno. d) nãoseráenviadaparacompostagem. e) nãoseráenviadaparaafábricadegeleias.

Resolução:

Coma única informaçãodisponível sobre a fruta (m=320g),existemsomentetrêspossíveisdestinos:

D1.Seaaparênciadacascaearigideznão estiverem normais E afrutaestiverpodre:compostagem!

D2.Seaaparênciadacascaearigideznão estiverem normais E afrutanãoestiverpodre:fábrica de geleias!

D3. Se a aparência da casca E a rigidez estiverem normais:exportação!

Alternativa C

33. Osorganizadoresdeumafestapreviramqueopúblicodoeventoseriade,pelomenos,1.000pessoasequeonúmerodehomenspresentesestariaentre60%e80%donúmerodemulherespresentes.

Paraquetalprevisãoestejaerrada,bastaqueonúmerode: a) homenspresentesnafestasejaiguala360. b) homenspresentesnafestasejaiguala500. c) homenspresentesnafestasejaiguala1.000. d) mulherespresentesnafestasejaiguala650. e) mulherespresentesnafestasejaiguala1.000.

Resolução:

Comonãotemosdadossobreopúblicomáximodafesta,teremosqueinvalidaralgumaalternativausandoasquantidadesmínimasinformadas:“...opúblico[...]seriadepelo menos1000pessoas”e“onúmerodehomenspresentes[estariaentre]60%[nomínimo]dasmulherespresentes”.

AalternativaquecujainformaçãoéSUFICIENTEparainvalidaraprevisãosobreopúblicototaldafestaéaAlternativaA,queafirmaqueonúmerodehomenspresentesseria360.

Nessecaso,teríamos(x e yindicamasquantidadesdehomensedemulheresdafesta):

x=360,mas:60%.y≤ x ≤80%.y →0,6.y≤360≤0,8.y

→288≤y≤600 Ouseja,nessahipótese,opúblicototaldafestaseriaformadopor,

nomáximo,x+y=360+600=960pessoas,oquecontradiriaainformaçãoinicial.

Alternativa A

34. Dentrodeumgrupodetradutoresdelivros,todososquefalamalemãotambémfalaminglês,masnenhumquefalainglêsfalajaponês.Alémdisso,osdoisúnicosquefalamrussotambémfalamcoreano.

Sabendoquetodointegrantedessegrupoquefalacoreanotambémfalajaponês,pode-seconcluirque,necessariamente,

a) todosostradutoresquefalamjaponêstambémfalamrusso. b) todosostradutoresquefalamalemãotambémfalam

coreano. c) pelomenosumtradutorquefalainglêstambémfala

coreano. d) nenhumdostradutoresfalajaponêsetambémrusso. e) nenhumdostradutoresfalarussoetambémalemão.

Resolução:

Asinformaçõesfornecidaspermitemontaroseguintediagrama:

Alternativa E


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35. Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulodeterminadopeloseixoscoordenadosepelaretadeequação12x+5y=60.Amedidadoraiodacircunferênciainscritanessetriânguloéiguala

a) 1. b) 2. c)3. d) 4. e) 5.

Resolução:

Observandoodesenho,podemosconcluirque

12–R+5–R=13ÞR=2Alternativa B

12 – R

12 – R

12x + 5 y = 60

5 – R

R

R

R

RR

5 – R

COMENTÁRIO ANÁLISE QUANTITATIVA

AprovadeAnáliseQuantitativadoprocessoseletivodoInspernovembro/2013trouxe,comodecostume,questõesinterpretativasecontextualizadas.Reconhecemos algumas figuras já presentes emprovas anteriores, porém criativamente alteradasquantoaosseusobjetivos.Notamos, também, a presença de questões queexigirambomsensoenoçõesdegrandeza,alémdehabilidadesecompetênciasmatemáticas.Acreditamos que esta prova dotará à BancaExaminadoradecondiçõesdeselecionarosmelhorescandidatos.

Incidência de Assuntos

17,5%GeometriaPlana15,0%Lógica7,5%EquaçõesAlgébricas7,5%Trigonometria7,5%GeometriaAnalítica5,0%GeometriaEspacial5,0%Probabilidades5,0%ExponenciaiseLogaritmos2,5%Funções2,5%RazãoeProporção2,5%PorcentagemeJuros2,5%SequênciaseProgressões2,5%Polinômios2,5%NúmerosComplexos2,5%AnáliseCombinatória2,5%Estatística2,5%Matrizes

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