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Produit scalaire dans le pan

Soit u et v deux vecteurs du plan et les point O , M , N tels que OMu = et ONv = .

On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le réel noté v.u et défini comme suit :

Si 0u = ou 0v = alors 0v.u = .

Si 0u ≠ et 0v ≠ alors OHONv.u ×= où H est le projeté orthogonal du point M sur la droite (ON).

Cas n°1: 2

0π

θ <≤

Cas n°2: 2

πθ =

Cas n°3: πθπ ≤<2

OHONv.u ×= 0v.u = OHONv.u ×−=

Conséquence

1)Pour calculer le produit scalaire CD.AB , on peut remplacer le vecteur CD par sa projection orthogonale sur

le vecteur AB c'est-à-dire : CD.AB = 'D'CAB ×

2) 0v.uvu =⇔⊥

Propriétés :

Soit u , v et w trois vecteurs et a et b deux réels. 22

uu = u.vv.u = )v.u(ab)vb).(ua( =

v.u2vuvu22

2 ++=+ v.u2vuvu22

2 −+=+

+=−++22

2 vu2vuvu w.uv.u)wv(u +=+

Les différentes expressions du produit scalaire

( )v,ucosvuv.u ×=

−−+=22

2 vuvu2

1v.u

−−+=222

vuvu2

1v.u

Soient u et v de composantes respectives (x,y) et (x',y'), on a

v.u = xx' + yy'

Inégalité de Schwarz et de Minkowski

Soit u et, v deux vecteurs.

1°) vuv.u ×≤ ( Inégalité de Schwarz )

et l’égalité à lieu si et seulement si u et v sont colinéaires.

2°) vuvu +≤+ (Inégalité de Minkowski)

et l’égalité à lieu si et seulement si u et v sont colinéaires et du même sens

Fiche de cours 3ème Maths

Produit scalaire (plan)Produit scalaire (plan)Produit scalaire (plan)Produit scalaire (plan)

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR

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Application

L’aire de ABC est égale :

γαβ sin2

absin

2

bcsin

2

abS ===

Formule d'Al-Kashi

αcosbc2²c²b²a −+=

βcosac2²c²a²b −+=

γcosac2²c²a²c −+=

Formule de sinus

c

sin

b

sin

a

sin

abc

S2 γβα ===

Théorème de médiane

I =A*B et H est le projeté orthogonal de C sur (AB) :

²AB4

1²CICB.CA −=

2

²AB²CI2²CB²CA +=+

IH.AB2²CB²CA =−

Soit ABC triangle rectangle en A et H le pied de la

hauteur issue de A. On a alors

²AC²AB²BC +=

ACABBCAH ×=×

HCHB²AH ×=

ACAH²AB ×=

CBCH²AC ×=