courant induit dans une spire mobile

une spire circulaire (1) de rayon b est parcourue par un courant i constant on rappelle que le champ magnétique sur l'axe Oz de la spire s'écrit :

( ) z2/322

20

z30 u

zb

b

2

iusin

b2

iB

rrr

+

µ=α

µ=

1. étude du champ au voisinage de l'axe Oz 1.1 montrer qualitativement que le champB

rpossède une

composante radiale Br en dehors de l'axe Oz 1.2 en utilisant une propriété du champ magnétique, trouver une

relation entre la composante Br , la dérivéez

Bz

∂∂ et r, distance à

l'axe Oz 1.3 calculer Br en fonction de i, r, b, z et µ0. 2. une seconde spire (2) très petite, de rayon a, est "enfilée" sur l'axe Oz, sur lequel elle ne peut se mouvoir que verticalement en restant horizontale. 2.1 en choisissant un sens que l'on définira clairement sur un schéma, et en faisant une hypothèse simplificatrice, exprimer le flux du champ magnétique à travers la spire maintenue à la côte z. 2.2 on lache la spire qui tombe, comment évolue le flux ? en déduire le sens du courant induit qui apparaît. 2.3 calculer le courant induit i' en fonction de i, a, b, z, dz/dt, µ0 et R résistance de la spire (2). 3. lorsque la spire (2) est en mouvement, elle est parcourue par le courant i' calculé précédemment. Pour les questions suivantes, on utilisera simplement la notation i'. 3.1 calculer la résultante des forces de Laplace sur la spire (2), dues à Bz. 3.2 calculer la résultante des forces de Laplace sur la spire (2), dues à Br. en quoi la loi de Lenz est-elle satisfaite ? 3.3 écrire l'équation du mouvement de la spire (2) de masse m en projection sur l'axe Oz (on ne cherchera pas à résoudre cette équation) 4. la petite spire est remplacée par un échantillon sphérique de matériau supraconducteur. 4.1 quelle est la caractéristique principale d'un supraconducteur ? 4.2 interpréter qualitativement la lévitation de l'échantillon au dessus de la spire parcourue par le courant i constant. (on ne cherchera pas à discuter de la stabilité) __________________

Oz

i (1)

(2)

zBr

rBr

Br

corrigé : courant induit dans une spire mobile 1. étude du champ au voisinage de l'axe Oz 1.1 le champB

rpossède une composante radiale Br en dehors de l'axe Oz car les lignes de champ ne sont pas

parallèles à l'axe en dehors de l'axe. 1.2 Calculons le flux de B à travers un petit cylindre d'axe Oz, qui forme une surface fermée: dΦtotal= SBz(z+dz) - SBz(z) + 2πr dz Br =0

soit avec S = πr² πr² dBz/dz = - 2πr dzBr ou encore z

B

2

rB z

r ∂∂

−=

1.3 calcul de Br : en reprenant l'expression du champ créé par une

spire circulaire : ( ) z2/322

20

z30 u

zb

b

2

iusin

b2

iB

rrr

+

µ=α

µ=

( ) ( )

+−

µ−=

+

µ∂∂−= z2

zb

b

2

3

2

i

2

r

zb

b

2

i

z2

rB

2/522

20

2/322

20

r

soit : ( ) 2/522

20

rzb

zb

4

ir3B

+

µ=

2.1 choisissons pour la spire (2) le même sens que (1) : le flux deB

rà travers (2) est positif, et s'écrit, en supposant B

runiforme sur

l'étendue de la spire : ( ) ( )2

2/322

20

)2(

z2/322

20 a

zb

b

2

isd.u

zb

b

2

iπ

+

µ=

+

µ=Φ ∫∫

rr

soit ( )2

2/322

20 a

zb

b

2

i π+

µ=Φ

2.2 si la spire tombe, le flux (>0) augmente car B augmente. le courant induit i' qui apparaît doit créer un champ 'B

rdirigé vers le bas pour

s'opposer à cette augmentation de flux (loi de Lenz), donc i' est de sens opposé au sens choisi. 2.3 la spire possède une résistance R, donc i' = e/R avec e = -dΦ/dt

( )

+∂∂πµ

−=∂Φ∂−=

2/322

220

zb

b

tR2

ai

tR

1'i soit ( ) t

z

zb

zb2

2

3

R2

ai'i

2/522

220

∂∂

+

πµ= (i'<0 car 0

t

z <∂∂

)

Oz

i (1)

(2)

sens choisi pour (2)

sens de i'

3.1 résultante des forces de Laplace dues à Bz zBd'iFd

rlrr

∧=

on voit que quel que soit le sens de i', ces forces seront radiales, et donc s'annuleront. 3.1 résultante des forces de Laplace dues à Br on a maintenant rBd'iFd

rlrr

∧= ce qui donne :

zrrr uadB'iuBuad'iFdrrrr

θ−=∧θ= θ (ici i' <0, d'où le sens sur la figure )

pour toute la spire zr ua2B'iFrr

π−= ( ) z2/522

20 u

zb

zb

4

ir3a2'i

r

+

µπ−= soit avec r = a : ( ) z2/522

22

0 uzb

zb

2

a3'iiF

rr

+

πµ−=

avec i'<0 (voir au-dessus) cette force est dirigée vers le haut, et s'oppose à la chute, c'est à dire à la cause qui lui a donné naissance; c'est bien en accord avec la loi de Lenz. 3.3 équation du mouvement de la spire (2) de masse m en projection sur l'axe Oz

( ) 2/522

22

0zb

zb

2

a3'iimgzm

+

πµ−−=&& remplaçons i': ( ) ( ) 2/522

22

2/522

220

0zb

zb

2

a3

t

z

zb

zb2

2

3

R2

aiimgzm

+

π∂∂

+

πµµ−−=&&

d'où l'équation : ( ) 0gzzb

zb

4

9

mR

aiz

522

244222

0 =++

πµ+ &&&

4.1 caractéristique principale d'un supraconducteur : la résistivité s'annule au dessous d'une température critique. 4.2 placé au-dessus de la spire (1), il apparaîtra des courants induits surfaciques (voir effet Meissner) qui formeront des "spires" à la surface de l'échantillon; la résultante des forces de Laplace agissant sur ces courants aura pour effet de le maintenir en lévitation elle est dirigée vers le haut si la sphère descend, et vers le bas si la sphère monte : il y aura donc possibilité d'équilibre stable, c'est ce que confirme une étude plus détaillée du phénomène. __________________________________

zBr

lr

d'i

Fdr

rBr

lr

d'i

Fdr