Décombre d'une première S – Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence...et conséquences - Un doc de Jérôme ONILLON Page 1 sur 2

Cosinus et sinus d'une somme

Dans tout ce qui suit, α et β sont deux réels quelconques. Dans ce premier paragraphe, nous allons chercher à exprimer les cosinus et sinus de la

somme α +β en fonction de ceux de α et β. Pour y parvenir, transportons-nous dans le plan que nous supposons muni d'un repère

orthonormé direct ( )O; ,i j� �

, et plus précisément plaçons-nous sur le cercle

trigonométrique. Sur ce dernier, nous définissons les points suivants :

� A est le point du cercle

trigonométrique associé au réel α. Donc une mesure de l'angle orienté

( ),OAi�����

est α.

� B est l'image du point A par la

rotation de centre O et d'angle β. Donc une mesure de l'angle orienté

( ) ( ) ( ),OB ,OA OA,OB= +i i���� ���� ���� ����� �

est α +β . � C est l'image du point A par la

rotation de centre O et d'angle 2

π.

Donc une mesure de l'angle orienté

( )OA,OC���� ����

est 2

π.

Et une mesure de l'angle orienté ( ) ( ) ( ),OC ,OA OA,OC= +i i���� ���� ���� ����� �

est 2

πα + .

Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct ( )O; ,i j� �

. Dans celui-ci :

� Le point A étant associé au réel α sur le cercle trigonométrique, il a pour

coordonnées ( ) ( )( )cos ;sinα α . Donc ( ) ( )OA cos sin= α × + α ×i j���� � �

.

� B qui est associé au réel α +β , a pour coordonnées ( ) ( )( )cos ;sinα +β α +β .

Donc ( ) ( )OB cos sin= α +β × + α +β ×i j���� � �

.

� C associé au réel 2

πα + , a pour coordonnées cos ;sin

2 2

π π α + α +

.

Donc ( ) ( )OC cos sin sin cos2 2

π π = α + × + α + × = − α × + α ×

i j i j

���� � � � �

Changeons de repère ! Plaçons-nous dans le repère orthonormé direct ( )O;OA,OC���� ����

.

Dans le repère polaire associé ( )O;OA����

, le point B a pour coordonnées polaires ( )1;β .

En effet, le vecteur OB����

a pour norme 1 et une mesure de l'angle orienté ( )OA,OB���� ����

est β.

Il vient alors :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Or OA et OC ont été exprimés en fonction de et

OA

OB 1 cos OA sin OC cos OA sin OC

cos cos sin sin sin

= × β × + β × = β × + β ×

= β × α × + α × + β × − α

i j

i j

���� ���� � �

����

���� ���� ���� ���� ����

��������������������

� �

������������������

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

OC

cos

cos .cos cos .sin sin . sin sin .cos

cos .cos sin .sin cos .sin sin .cos

× + α ×

= β α × β α × + β − α × + β α ×

β α − α β × + α β + α β ×

i j

i + j i j

= i j

����

� �

��������������������

� � � �

� �

Donc, dans le repère ( )O; ,i j� �

, les coordonnées du point ( ) ( )( )B cos ;sinα +β α +β

s'écrivent aussi :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )cos sin

cos .cos sin .sin ;cos .sin sin .cos

α+β α+β

α β − α β α β + α β ����������������������� �����������������������

Nous venons d'obtenir les formules que nous recherchions !

Théorème : cosinus et sinus d'une somme (formules d'addition)

Pour tous réels α et β, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos cos .cos sin .sin

sin sin .cos cos .sin

α +β = α β − α β

α +β = α β + α β

A partir de ces deux formules, nous pouvons trouver celles donnant les cosinus et sinus

d'une différence. Car soustraire, c'est ajouter l'opposé ! Ainsi :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Car cosinus est paire et sinus impaire...

cos cos cos .cos sin .sin

cos .cos sin . sin cos .cos sin .sin

α −β = α + −β = α −β − α −β

= α β − α − β = α β + α β��������������������������

�

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Car cosinus est paire et sinus impaire...

sin sin sin .cos cos .sin

sin .cos cos . sin sin .cos cos .sin

α −β = α + −β = α −β + α −β

= α β + α − β = α β − α β��������������������������

�

O

A

B

C ⊕⊕⊕⊕

i�

j�

β

α

( )cos α +β

( )sin α +β

( )cos β ( )sin β

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Théorème : cosinus et sinus d'une différence

Pour tous réels α et β, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cos cos .cos sin .sin

sin sin .cos cos .sin

α −β = α β + α β

α −β = α β − α β

En s'appuyant sur ces formules et les valeurs remarquables des fonctions

trigonométriques, nous pouvons calculer les valeurs des cosinus et sinus de 12 3 4

π π π= − .

cos cos cos .cos sin .sin12 3 4 3 4 3 3

1 2 3 2 2 6

2 2 2 2 4

π π π π π π π = − = +

+= × + × =

�

sin sin sin .cos sin .cos12 3 4 3 4 3 3

3 2 1 2 6 2

2 2 2 2 4

π π π π π π π = − = −

−= × − × =

�

Formules de duplication des cosinus et sinus

On appelle ainsi les formules des cosinus et sinus du double. Pour tout réel α, nous avons :

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos 2. cos cos .cos sin .sin cos sin α = α +α = α α − α α = α − α

De plus, comme ( ) ( )2 2cos sin 1 α + α = , alors il vient :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

cos 2. 1 sin sin 1 2 sin

cos 2. cos 1 cos 2 cos 1

α = − α − α = − × α

α = α − − α = × α −

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin 2. sin sin .cos cos .sin 2.sin .cosα = α +α = α α + α α = α α

Théorèmes : formules de duplication des sinus et cosinus

Pour tout réel α, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2cos 2. cos sin 2 cos 1 1 2 sinα = α − α = × α − = − × α

( ) ( ) ( )sin 2. 2.sin .cosα = α α

Des deux dernières formules de duplication du cosinus, on déduit :

Théorème : deux formules pour déterminer les cosinus et sinus de la moitié

Pour tout réel α, nous avons :

( ) ( )2 1 cos 2.cos

2

+ αα = ( ) ( )2 1 cos 2.

sin2

− αα =

Avec ces deux formules, nous pouvons déterminer les cosinus et sinus de 8

πα = .

�

22 2 21 cos 2 1 cos 1

2 28 4 2 2cos8 2 2 2 2 4

π π ++ × + + π + = = = = =

�

22 2 21 cos 2 1 cos 1

2 28 4 2 2sin8 2 2 2 2 4

π π −− × − − π − = = = = =

Comme 8

π appartient à l'intervalle 0;

2

π

, alors ses cosinus et sinus sont positifs. Ainsi :

2 2cos

8 4

π + =

2 2sin

8 4

π − =

Tangentes d'une somme, d'une différence et d'un double

Pour tous réels α et β non congrus à 2

π modulo π (ainsi que leur somme), nous avons:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

sin sin .cos cos .sin

cos cos .cos sin .sin

sin .cos cos .sin sin sin

cos .cos cos .cos cos cos

cos .cos sin .sin sin sin(b)1

cos .cos cos

tan

tan tan

1 ta

.cos cos

n t

cos

an

α +β α β + α β= =

α +β α β − α β

α β α β α β+ +

α β α β α β= = =

α β α β α− − ×

α β α β α

α +β

α + β

− α ×

β

β

On en déduit alors :

� ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Car tangente est une fonction impaire

tan tantan

1 tan tan

tan tantan

1 tan tan

α + −β= α + −β = =

− α × −β

α − βα −β

+ α × β��������������������������������

� ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )2

tan tantan

1 tan tan

2 tantan 2.

1 tan

α + α= α +α = =

−

× α

−α × αα

α

On divise numérateur

et dénominateur par cos(a).cos(b)