Corso di Metodi Matematici per lâ„¢Ingegneria A.A. 2016/2017...

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Corso di Metodi Matematici per lIngegneriaA.A. 2016/2017

Esercizi svolti sulla trasformata di Laplace

Marco BramantiPolitecnico di Milano

January 2, 2017

Esercizi

A. Esercizi sul calcolo di trasformate

Esercizio 1 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni, specif-icando lascissa di convergenza.

(a) f (t) = (a,b) (t) (0 a < b < +)(b) f (t) = Sh (at) (a > 0)

(c) f (t) = Ch (at) (a > 0)

(d) f (t) = mt (0,a) (t)

(e) f (t) =

1 per t (0, 1)1 per t (1, 2)0 altrimenti

Esercizio 2 Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni, senzacalcolare esplicitamente integrali, ma sfruttando la tabella delle trasformate difunzioni elementari e le propriet operatoriali della trasformata (linearit, for-mule del t-shift, s-shift, ecc.). Specificare lascissa di convergenza.

(a) f (t) =(t2 3

)2(b) f (t) = cos (t+ )

(c) f (t) = tet sin (t) (usare la formula delle derivate)

(d) f (t) = et(a0 + a1t+ a2t

2 + ...+ antn)

(e) f (t) = (t 3)4H (t 3)

Esercizio 3 Calcolare la convoluzione

f (t) = t t ... t (n volte)

1

con il seguente procedimento:(a) calcolare la trasformata di Laplace della convoluzione a partire dalla

trasformata di t;(b) antitrasformare il risultato ottenuto.

Esercizio 4 Calcolare la convoluzione

f (t) = et et ... et (n volte)

con il seguente procedimento:(a) calcolare la trasformata di Laplace della convoluzione a partire dalla

trasformata di et;(b) antitrasformare il risultato ottenuto.

Esercizio 5 Calcolare la convoluzione

f (t) = (0,1) (t) (0,1) (t)

con il seguente procedimento:(a) calcolare la trasformata di Laplace della convoluzione a partire dalla

trasformata di (0,1) (t) = H (t)H (t 1);(b) antitrasformare il risultato ottenuto.

Esercizio 6 Calcolare le seguenti convoluzioni (calcolando lintegrale). Quindi,calcolarne la trasformata di Laplace.

(a) t (0,1) (t)(b) sin t (a,b) (t)(c) et 1

Esercizio 7 Calcolare lantitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni, uti-lizzando il metodo dei residui oppure metodi elementari basati sulla tabella delletrasformate e le propriet operatoriali della trasformata.

(a) F (s) =2s+ 16

s2 16

(b) F (s) =s4 3s2 + 12

s5

(c) F (s) =nL

L2s2 + n22(n,L > 0)

(d) F (s) =7

(s 1)3

(e) F (s) =15

s2 + 4s+ 29

2

B. Esercizi sullapplicazione delle trasformateRisolvere i seguenti problemi di Cauchy, utilizzando il metodo della trasfor-

mata di Laplace

Esercizio 8 y + 9y = (0,) (t) sin ty (0) = 0y (0) = 4

Esercizio 9 y + 3y + 2y = (0,1) (t)y (0) = 0y (0) = 0

Esercizio 10 y + y = (0,1) (t) ty (0) = 0y (0) = 0

Esercizio 11 y 16y = (0,4) (t) 48e2ty (0) = 3y (0) = 4

Esercizio 12 y + 8y + 15y = r (t)y (0) = 1y (0) = 0

con r (t) ={

2 sin t se t (0, 2)sin 2t se t 2

Determinare la corrente i (t) nei seguenti circuiti elettrici

Esercizio 13 (Circuito RC)

Ri (t) +1

C

(q0 +

t0

i () d

)= v (t)

dove R = 10, C = 102F, q0 = 0 e(a) v (t) = 100V per t (0.5, 0.6) , nulla altrimenti.(b) v (t) = 0 se t < 2, v (t) = 100 (t 2)V se t > 2.(c) v (t) = 0 se t < 4, v (t) = 14 106e3tV se t > 4.

Esercizio 14 (Circuito RL)

Li (t) +Ri (t) = v (t)

dove i (0) = 0 e(a) R = 10, L = 0.5H, v (t) = 200t V per t (0, 2) , nulla altrimenti.(b) R = 1000, L = 1H, v (t) = 40 sin t V se t > , nulla altrimenti.(c) R = 25, L = 0.1H, v (t) = 490e8t V se t (0, 1) , nulla altrimenti.

3

Esercizio 15 (Circuito LC)

Li (t) +1

C

(q0 +

t0

i () d

)= v (t)

dove i (0) = 0, q0 = 0 e

(a) L = 1 H,C = 0.25 F, v (t) = 200(t t23

)V per t (0, 1) , nulla

altrimenti.(b) L = 1 H,C = 102 F, v (t) = 9900 cos t V per t (, 3) , nulla

altrimenti.(c) L = 0.5 H,C = 0.5 F, v (t) = 78 sin t V per t (0, ) , nulla altrimenti.

Esercizio 16 (Circuito LCR)

Li (t) +Ri (t) +1

C

(q0 +

t0

i () d

)= v (t)

dove i (0) = 0, q0 = 0 e(a) R = 2 , L = 1 H,C = 0.5 F, v (t) = 1000 V per t (0, 2) , nulla

altrimenti.(b) R = 4 , L = 1 H,C = 0.05 F, v (t) = 34et V per t (0, 4) , nulla

altrimenti.

Risolvere le seguenti equazioni integrali

Esercizio 17

y (t) t0

y () sin (t ) d = t.

Esercizio 18

y (t) t0

y () d = 1.

Esercizio 19

y (t) + 2

t0

y () cos (t ) d = cos t.

Esercizio 20

y (t) +

t0

(t ) y () d = 1.

4

Svolgimenti

Esercizio 1.(a)

Lf (s) = ba

estdt =

[est

s

]ba

=esa esb

scon [f ] = .

(b)

Lf (s) = +0

esteat eat

2dt =

1

2

{ +0

e(as)tdt +0

e(s+a)tdt

}=

1

2

{[e(as)t

a s

]+0

+

[e(a+s)t

a+ s

]+0

}

=1

2

(1

s a 1

a+ s

)=

2a

2 (s2 a2) =a

s2 a2 , con [f ] = a.

(c)

Lf (s) = +0

esteat + eat

2dt =

1

2

{ +0

e(as)tdt+

+0

e(s+a)tdt

}=

1

2

{[e(as)t

a s

]+0

[e(a+s)t

a+ s

]+0

}

=1

2

(1

s a +1

a+ s

)=

2s

2 (s2 a2) =s

s2 a2 , con [f ] = a.

(d)

Lf (s) = m a0

esttdt = m

{[test

s

]a0

+

a0

est

sdt

}= m

{ae

as

s+

1

s

[est

s

]a0

}= m

{ae

as

s+esa + 1

s2

}con [f ] = .

Non ostante il denominatore s, s2, la trasformata regolare. Ad esempio ilgrafico di Lf (s) per s reale :

5

Esercizio 2.Calcolare la trasformata di Laplace delle seguenti funzioni, senza calcolare

esplicitamente integrali, ma sfruttando la tabella delle trasformate di funzionielementari e le propriet operatoriali della trasformata (linearit, formule delt-shift, s-shift, ecc.). Specificare lascissa di convergenza.

(a)

Lf (s) = L(t4 6t2 + 9

)= L

(t4) 6L

(t2)

+ 9L (1)

=4!

s5 6 2

s3+ 9

1

s=

24

s5 12s3

+9

s, con [f ] = 0.

(b)

L (cos (t+ )) (s) = L (cos (t) cos sin (t) sin) (s)= cosL (cos (t)) (s) sinL (sin (t)) (s)

= cos ss2 + 2

sin s2 + 2

=s cos sin

s2 + 2, con [f ] = 0.

(c) Poich

L(et sin (t)

)(s) =

(s )2 + 2,

ricordando lidentitd

dsLf (s) = L (tf (t)) (s)

si ha

L(tet sin (t)

)(s) = d

ds

(

(s )2 + 2

)=

2 (s )[(s )2 + 2

]2 ,con [f ] = .

(d) Ricordando lidentit L (eatf (t)) (s) = L (f) (s a) si ha

L(et

(a0 + a1t+ a2t

2 + ...+ antn))

(s)

= L(a0 + a1t+ a2t

2 + ...+ antn)

(s+ 1)

=

nj=0

ajL(tj)

(s+ 1) =

nj=0

ajj!

(s+ 1)j+1

=a0s+ 1

+a1

(s+ 1)2 +

2a2

(s+ 1)3 + ...+

n!an

(s+ 1)n+1 ,

con [f ] = 1.(e) Ricordando lidentit L (f (t t0)H (t t0)) (s) = et0sL (f) (s) si ha

L(

(t 3)4H (t 3))

(s) = e3sL(t4)

(s) = e3s4!

s5.

6

Esercizio 3.(a)

L (t t ... t) (s) = (L (t) (s))n =(

1

s2

)n=

1

s2n

(b) Ricordando lidentit L(tk)

(s) = k!sk+1

, per k + 1 = 2n si ha

1

s2n= L

(t2n1

(2n 1)!

),

da cui

t t ... t n volte

=t2n1

(2n 1)! per n = 2, 3, ...

Esercizio 4.(a)

L(et et ... et

)(s) =

(L(et)

(s))n

=

(1

s+ 1

)n=

1

(s+ 1)n

(b) Ricordando lidentit L(tk)

(s) = k!sk+1

, per k + 1 = n si ha

1

sn= L

(tn1

(n 1)!

),

da cui, per la formula di s-shift L (eatf (t)) (s) = L (f) (s a) ,

1

(s+ 1)n = L

(tn1

(n 1)!

)(s+ 1) = L

(et

tn1

(n 1)!

)per n = 2, 3, ...

e infine

et et ... et n volte

= ettn1

(n 1)! per n = 2, 3, ...

Esercizio 5.(a)

L((0,1) (t)

)(s) = L (H (t)H (t 1)) (s)

=1

s es

s=

1 ess

.

L((0,1) (t) (0,1) (t)

)(s) =

(L((0,1) (t)

)(s))2

=

(1 es

s

)2=

1 2es + e2ss2

.

7

(b) Dalle identit

L (tH (t)) (s) = 1s2

L (f (t t0)H (t t0)) (s) = et0sL (f) (s)

si ha

1 2es + e2ss2

=1

s2 2e

s

s2+e2s

s2

= L (tH (t)) 2L ((t 1)H (t 1)) + L ((t 2)H (t 2))

da cui

(0,1) (t) (0,1) (t) = tH (t) 2 (t 1)H (t 1) + (t 2)H (t 2)

=

t per t [0, 1]t 2 (t 1) per t [1, 2]t 2 (t 1) + (t 2) per t > 2

=

t per t [0, 1]2 t per t [1, 2]0 per t > 2

Esercizio 6.(a)

t (0,1) (t) = t0

(t )(0,1) () d.

Se t < 1, t0

(t )(0,1) () d = t0

(t ) d = t2 t0

d = t2 t2