Chapter 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

Σκοπός Κάθε τυχαία μεταβλητή έχει τη δική της κατανομή σε πολλές όμως περιπτώσεις οι

κατανομές αυτές παρουσιάζουν σημαντικές ομοιότητες Μπορούμε λοιπόν να

θεωρήσουμε και να μελετήσουμε τα βασικά μοντέλα πιθανοτήτων καθένα από τα

οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή μεγάλου αριθμού τυχαίων

πειραμάτων ή φαινομένων Λόγω ακριβώς της μεγάλης τους χρησιμότητας τα

χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των πιθανοθεωρητικών αυτών μοντέλων έχουν

μελετηθεί διεξοδικά και ορισμένα μάλιστα αποτελέσματα διαφόρων υπολογισμών

που χρησιμοποιούνται συχνά έχουν συγκεντρωθεί σε εύχρηστους πίνακες Σκοπός

του κεφαλαίου αυτού είναι να παρουσιάσει τις βασικότερες διακριτές και συνεχείς

κατανομές

Έννοιες Κλειδιά

Γεωμετρική κατανομή

Διωνυμική κατανομή

Εκθετική κατανομή

Κανονική κατανομή

Κατανομή Poisson

Κατανομή βήτα

Κατανομή γάμμα

Ομοιόμορφη κατανομή

Τυποποιημένη κανονική κατανομή

Υπεργεωμετρική κατανομή

61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στόχος του έκτου κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει τις βασικότερες ειδικές κατανομές

τόσο διακριτές όσο και συνεχείς Equation Chapter 6 Section 1

Η πρώτη ενότητα αναφέρεται στις διακριτές κατανομές και παρουσιάζονται μεταξύ

άλλων οι κατανομές

Κατερίνα Δημάκη - 213 -

bull διωνυμική κατανομή

bull γεωμετρική κατανομή

bull υπεργεωμετρική κατανομή

bull κατανομή Poisson

Η δεύτερη ενότητα αναφέρεται στις συνεχείς κατανομές και παρουσιάζονται μεταξύ


bull κανονική κατανομή

bull τυποποιημένη κανονική κατανομή

bull ομοιόμορφη κατανομή

bull εκθετική κατανομή

bull κατανομή 2χ

bull κατανομή t

bull κατανομή F

Για καθεμιά από τις κατανομές αυτές υπάρχει μια σύντομη εισαγωγή ο ορισμός

της και στη συνέχεια παρουσιάζεται η μέση τιμή και η διακύμανσή της Ιδιαίτερη

έμφαση δίνεται στην κανονική κατανομή η οποία είναι η σημαντικότερη και

αποτελεί τη βάση της Στατιστικής Συμπερασματολογίας

62 ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

621 Κατανομή Bernoulli

Ας θεωρήσουμε τυχαίο πείραμα και το δειγματικό του χώρο S Έστω επίσης ένα

ενδεχόμενο A στον και S Aprime το συμπληρωματικό του Δεδομένου ότι

και τα ενδεχόμενα και

A Aprimecap =empty

A A Sprimecup = A Aprime συνιστούν μία διαμέριση του S Στην

περίπτωση αυτή το ενδεχόμενο ονομάζεται συμβατικά επιτυχία και κατά

συνέπεια το αποτυχία Έστω

A

Aprime p η πιθανότητα της επιτυχίας Η πιθανότητα της

αποτυχίας θα είναι Ένα τυχαίο πείραμα αυτού του τύπου ονομάζεται

δοκιμή Bernoulli (Bernoulli trial)

1q = minus p

Ορισμός 61 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία εκφράζει τον αριθμό των

επιτυχιών σε μια δοκιμή Bernoulli Έστω p η πιθανότητα της επιτυχίας και

η πιθανότητα της αποτυχίας Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής

1q p= minus

X ονομάζεται

κατανομή Bernoulli (Bernoulli distribution) με παράμετρο p Συμβολικά ~ ( )X b p


Θεώρημα 61 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την κατανομή

Bernoulli με παράμετρο p Τότε

i Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση 1( ) (1 ) 0 1 και 0x xP X x p p x pminus= = minus = le le 1 (61)

ii Η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

0 0

( ) 1 0 11 1

aF a p a

a

minusinfin lt lt⎧⎪= minus le lt⎨⎪ le lt infin⎩

(62)

iii Η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

( )E X = p (63)

iv Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

(64) ( ) (1 )V X p p= minus

622 Διωνυμική κατανομή


επιτυχιών σε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών Bernoulli Έστω n p η

πιθανότητα της επιτυχίας η οποία παραμένει σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή και

η πιθανότητα της αποτυχίας η οποία προφανώς παραμένει και αυτή

σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής

1q = minus p


διωνυμική κατανομή (binomial distribution) με παραμέτρους και p Συμβολικά n

~ ( )X b n p

Θεώρημα 62 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί τη διωνυμική

κατανομή με παραμέτρους και n p Τότε

i Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )

0 1 1 2 0 1 1

x n x x n xn nP x P X x p q p qx x n x

x n n p q p

minus minus⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ minus⎝ ⎠= = le le =hellip hellip minus

(65)

Είναι προφανές ότι μέσω του τύπου (65) προσδιορίζεται η πιθανότητα x επιτυχιών

σε ένα δεδομένο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του πειράματος όταν η

πιθανότητα επιτυχίας σε μία δοκιμή είναι δοσμένη και ίση με p H τιμή της

πιθανότητας

n

(P X x)= για διάφορες τιμές των μπορεί να υπολογιστεί με τη n x p


βοήθεια του Πίνακα 2 των τιμών της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της

διωνυμικής κατανομής ο οποίος βρίσκεται στο Προσάρτημα

ii Για κάθε θετικό και ακέραιο a η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής

X δίνεται από τη σχέση

( )0

0 0

( ) 0

1

an k n kk

k

a

F a p q a n

n a

minus

=

minusinfin lt lt⎧⎪⎪= le lt⎨⎪⎪ le lt infin⎩

sum (66)


(67) ( )E X np=


(68) ( )V X npq=

Παρατήρηση 61 Έστω ~ ( ) 1 2 iX b p i n= hellip ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές

που ακολουθούν την κατανομή Bernoulli με παράμετρο p Τότε η τυχαία μεταβλητή

ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους και p 1

n

ii

Y=

=sum X n

Παρατήρηση 62 Είναι προφανές ότι η κατανομή Bernoulli μπορεί να θεωρηθεί ως

ειδική περίπτωση της διωνυμικής για 1n =

Η ενότητα θα ολοκληρωθεί με ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα

Παράδειγμα 61 Επιχείρηση παραγωγής μηχανημάτων εκτιμά ότι η πιθανότητα ένα

μηχάνημα να επιστραφεί για αντικατάσταση ως ελαττωματικό είναι 5 Η

επιχείρηση παρήγαγε 20 μηχανήματα τον προηγούμενο μήνα Να υπολογιστούν

i Η πιθανότητα κανένα να μη χρειαστεί αντικατάσταση

ii Η πιθανότητα να χρειαστούν αντικατάσταση το πολύ τέσσερα μηχανήματα

iii Ο αναμενόμενος αριθμός των μηχανημάτων που θα χρειαστούν

αντικατάσταση

Λύση

Το πείραμα το οποίο περιγράφεται είναι πείραμα Bernoulli με πιθανότητα

επιτυχίας Ας συμβολίσουμε με 005p = X το συνολικό αριθμό επιτυχιών στις 20

(ανεξάρτητες) επαναλήψεις του πειράματος δηλαδή στην παραγωγή 20

μηχανημάτων Είναι προφανές ότι η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυμική


κατανομή με παραμέτρους και 20n = 005p = δηλαδή Έχουμε

λοιπόν διαδοχικά

~ (20 005)X b

i 0 20 0 0 2020 20( 0) (005) (1 005) (005) (095) 035850(20 0) 1 20

P X minus= = minus = congminus sdot

Η λύση με το MINITAB του ερωτήματος αυτού δίνεται στη συνέχεια

Probability Function

Binomial with n = 20 and p = 005

x P( X = x )

0 0358486 Λύση με το MINITAB

ii ( 4) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)P X P X P X P X P X P Xle = = + = + = + = + =

Δεδομένου ότι

1 20 1 1 1920 20( 1) (005) (1 005) (005) (095) 037741(20 1) 1 19


2 20 2 2 1820 20( 2) (005) (1 005) (005) (095) 018872(20 2) 2 18


3 20 3 3 1720 20( 3) (005) (1 005) (005) (095) 005963(20 3) 6 17


4 20 4 4 1620 20( 4) (005) (1 005) (005) (095) 001334(20 4) 24 16


προκύπτει ότι ( 4) 03585 03774 01887 00596 00133 09974P X le cong + + + + =


Cumulative Distribution Function


x P( X lt= x )


iii μηχάνημα ( ) 20 005 1E X np= = sdot =


623 Γεωμετρική κατανομή

Ορισμός 63 Έστω μια ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli και έστω n p η



σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή Έστω η τυχαία μεταβλητή X η οποία εκφράζει τον

αριθμό των αποτυχιών πριν την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας Η κατανομή της

τυχαίας μεταβλητής

1q = minus p

X ονομάζεται γεωμετρική κατανομή (geometric distribution)

με παράμετρο p Συμβολικά ~ ( )X G p

Θεώρημα 63 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί τη γεωμετρική

κατανομή με παράμετρο p Τότε


( ) ( ) 0 1 2 0xP x P X x pq x p= = = = lt lthellip 1 (69)

Είναι προφανές ότι μέσω του τύπου (69) προσδιορίζεται η πιθανότητα να λάβει η

τυχαία μεταβλητή X την τιμή x δηλαδή να εμφανιστεί η πρώτη επιτυχία κατά

την 1x + δοκιμή σε ανεξάρτητες επαναλήψεις πειράματος Bernoulli όταν η

πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και ίση με p



1

0 1( )

1 1a

aF a

q a+ minusinfin lt lt⎧

= ⎨ minus le lt⎩ infin (610)


( )E X q= p (611)


( ) 2V X q p= (612)

Παράδειγμα 62 Ένα ζευγάρι αποφασίζει να κάνει παιδιά Ποια η πιθανότητα το

τρίτο παιδί να είναι το πρώτο κορίτσι του ζευγαριού

Λύση

Στην προκειμένη περίπτωση οι διαδοχικοί τοκετοί είναι δοκιμές Bernoulli γιατί κάθε

τοκετός οδηγεί σε δύο δυνατά αποτελέσματα Κορίτσι (Κ) που το θεωρούμε ως

επιτυχία και Αγόρι (Α) που κατά συνέπεια το θεωρούμε ως αποτυχία Οι τοκετοί


είναι ανεξάρτητες δοκιμές δεδομένου ότι η γέννηση ενός παιδιού (αγοριού ή

κοριτσιού) δεν επηρεάζει το φύλο του επόμενου παιδιού Τέλος η πιθανότητα της

επιτυχίας παραμένει σταθερή από δοκιμή σε δοκιμή 1( )2

p P K= = με την

προϋπόθεση ότι η πιθανότητα γέννησης αγοριού ισούται με την πιθανότητα γέννησης

κοριτσιού Έστω η τυχαία μεταβλητή X η οποία εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών

(γεννήσεις αγοριών) πριν την εμφάνιση της πρώτης επιτυχίας (γέννηση κοριτσιού) Η

κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X είναι η γεωμετρική κατανομή με παράμετρο

12

p = Ζητάμε την πιθανότητα ( )2P X = Με βάση τον τύπο (69) προκύπτει ότι η

ζητούμενη πιθανότητα είναι

( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

624 Υπεργεωμετρική κατανομή

Ορισμός 64 Έστω ότι έχουμε έναν πεπερασμένο πληθυσμό μονάδων εκ των

οποίων εμφανίζουν το υπό μελέτη χαρακτηριστικό (επιτυχία) και δεν το

εμφανίζουν (αποτυχία) Έχοντας επιλέξει χωρίς επανατοποθέτηση μονάδες από

τις παρατηρούμε ότι μερικές εμφανίζουν το χαρακτηριστικό ενώ άλλες

όχι Η τυχαία μεταβλητή X η οποία εκφράζει τον αριθμό των μονάδων που

εμφανίζουν το χαρακτηριστικό ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή

(hypergeometric distribution) με παραμέτρους Συμβολικά

N

r N rminus

n

N (n Nle )

N n r ~ ( )X h N n r

Θεώρημα 64 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την υπεργεωμετρική

κατανομή με παραμέτρους Τότε N n r


( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus

hellip hellip helliphellip

N (613)



τυχαία μεταβλητή X την τιμή x να έχουμε δηλαδή x μονάδες που να εμφανίζουν

το υπό μελέτη χαρακτηριστικό στο πλαίσιο του μοντέλου που περιγράφεται στον

Ορισμό 64

ii Η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)

iii Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

( )1

r N r N nV X nN N N

minus minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (615)

Παρατήρηση 63 Για μεγάλα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η μη

επανατοποθέτηση δεν επηρεάζει σημαντικά την πιθανότητα εμφάνισης για τις

εναπομένουσες κάθε φορά μονάδες Θέτοντας λοιπόν

N

p r N= οπότε

( )1q p N r= minus = minus N οι τύποι που δίνουν την αναμενόμενη τιμή και τη διακύμανση

γίνονται αντίστοιχα

( ) E X np=

( ) 1

N nV X npqNminus⎛ ⎞= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠

Επιπρόσθετα η αναμενόμενη τιμή των τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την

υπεργεωμετρική και τη διωνυμική κατανομή ταυτίζονται Από την άλλη πλευρά η

διακύμανση της υπεργεωμετρικής είναι μικρότερη από την αντίστοιχη της

διωνυμικής τείνει όμως σrsquo αυτήν καθώς και το μεγαλώνει και ο όρος N1

N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠

τείνει προς τη μονάδα

Παράδειγμα 63 Από δείγμα 120 πρωτοετών φοιτητών ενός Πανεπιστημιακού

Τμήματος στο οποίο οι 80 είναι άντρες επιλέγουμε τυχαία 5 φοιτητές Να

υπολογιστεί η πιθανότητα ακριβώς 2 να είναι άντρες

Λύση

Στο δείγμα των 120 πρωτοετών φοιτητών ενός Πανεπιστημιακού Τμήματος οι 80

είναι άντρες και κατά συνέπεια οι 40 είναι γυναίκες Έστω X τυχαία μεταβλητή η

οποία εκφράζει τον αριθμό των μονάδων που εμφανίζουν το χαρακτηριστικό


(άντρας) Αυτή η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την υπεργεωμετρική κατανομή με

παραμέτρους Ζητείται η πιθανότητα 120 5 80N n r= = = ( )2P X = Με βάση τον

τύπο (613) έχουμε

( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

625 Κατανομή Poisson

Ορισμός 65 Έστω ότι έχουμε διαδικασία παραγωγής τυχαίων εμφανίσεων

ενδεχομένων κατά διαστήματα χρόνου ή χώρου τα οποία ικανοποιούν τις παρακάτω

συνθήκες

i Σε κάθε διάστημα χρόνου ή χώρου ένα ενδεχόμενο μπορεί να συμβεί ή να μη

συμβεί

ii Οι τυχαίες εμφανίσεις ενδεχομένων είναι ανεξάρτητες δηλαδή η εμφάνιση ενός

ενδεχομένου σε ένα διάστημα χρόνου ή χώρου δεν επηρεάζει την πιθανότητα

εμφάνισής του στα επόμενα διαστήματα του χρόνου ή του χώρου

iii Η πιθανότητα εμφάνισης (ή μη εμφάνισης) ενός ενδεχομένου σε ένα διάστημα

χρόνου ή χώρου παραμένει σταθερή καθrsquo όλη τη διάρκεια του φαινομένου

Έστω επίσης X τυχαία μεταβλητή που οι τιμές της εκφράζουν τον αριθμό των

συμβάντων σε ένα προκαθορισμένο διάστημα χρόνου ή χώρου Αν λ είναι ο μέσος

αριθμός επιτυχιών στο διάστημα αυτό τότε η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την

κατανομή Poisson (Poisson distribution) με παράμετρο λ Συμβολικά ~ ( )X P λ


Poisson με παράμετρο λ Τότε


( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)


Η τιμή της πιθανότητας ( )P X x= για διάφορες τιμές των x λ μπορεί να

υπολογιστεί με τη βοήθεια του Πίνακα 3 των τιμών της αθροιστικής συνάρτησης

κατανομής της κατανομής Poisson που βρίσκεται στο Προσάρτημα


( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)

Παράδειγμα 64 Μια βιοτεχνία καθαρισμού ενδυμάτων λειτουργεί καθημερινά 8

ώρες Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 24 παραγγελίες την ημέρα Αν υποθέσουμε

ότι ο αριθμός των παραγγελιών ακολουθεί την κατανομή Poisson τότε

a Να υπολογιστεί η πιθανότητα να δεχτεί

i 4 παραγγελίες την επόμενη ώρα

ii Το πολύ 2 παραγγελίες την επόμενη ώρα

b Αν υποθέσουμε ότι το πλυντήριο καθαρισμού έπαθε κάποια βλάβη και

χρειάστηκαν 2 ώρες να επισκευαστεί να υπολογιστεί

i Ο αναμενόμενος αριθμός παραγγελιών στο διάστημα αυτό

ii Η πιθανότητα η βιοτεχνία να έχει δεχθεί τουλάχιστον 3 παραγγελίες το

συγκεκριμένο δίωρο

Λύση

a Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

μέσος αριθμός παραγγελιών είναι 24 παραγγελίες ανά ημέρα δηλαδή 24 8 3= =λ

παραγγελίες την ώρα Με βάση τα παραπάνω έχουμε

i P(4 παραγγελίες την ώρα) = 3 43( 4) 01684

eP Xminus

= = =


Probability Function Poisson with mean = 3

x P( X = x ) 4 0168031

Λύση με το MINITAB


ii P(το πολύ 2 παραγγελίες την ώρα) =

( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =

Επομένως P(το πολύ 2 παραγγελίες την ώρα) = 00498+01494+02240 = 04232



Poisson with mean = 3

x P( X lt= x )


bi Ο αναμενόμενος αριθμός παραγγελιών στις 2 ώρες που χρειάστηκαν για να

επισκευαστεί το πλυντήριο ισούται με τον μέσο της κατανομής Poisson για το

διάστημα αυτό Δηλαδή αναμένουμε 32 6λ = = παραγγελίες

ii Η πιθανότητα η βιοτεχνία να έχει δεχθεί τουλάχιστον 3 παραγγελίες κατά το

διάστημα της επισκευής είναι

( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2P X P X P X P Xge = minus = minus = minus = )

Στην περίπτωση αυτή οι παραγγελίες ακολουθούν κατανομή Poisson με 6λ =

Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως

( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2P X P X P X P Xge = minus = minus = minus = ) = 1 ndash 00025 ndash 00149 ndash 00446

= 09380


63 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

631 Ομοιόμορφη κατανομή

Η απλούστερη μορφή συνεχούς κατανομής πιθανότητας είναι η ομοιόμορφη

κατανομή η οποία ορίζεται ως ακολούθως

Ορισμός 66 Έστω X συνεχής τυχαία μεταβλητή Λέμε ότι η X ακολουθεί την

ομοιόμορφη κατανομή (uniform distribution) με παραμέτρους α και β ( )α βlt αν

η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τον τύπο

1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β

⎧ forall isin⎪ minus= ⎨⎪ forall notin⎩

(619)

Συμβολικά ~ ( )X U α β

Σχήμα 61 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ομοιόμορφης κατανομής

Το γεγονός ότι η X ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή σημαίνει με απλά

λόγια ότι εκχωρεί ίσες πιθανότητες στα στοιχειώδη δυνατά αποτελέσματα ενός

τυχαίου πειράματος με συνεχή δειγματικό χώρο Η συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας ( )f x της ομοιόμορφης κατανομής απεικονίζεται στο Σχήμα 61

Αποδεικνύεται ότι για την ομοιόμορφη κατανομή ισχύουν τα παρακάτω

συμπεράσματα

Θεώρημα 66 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την ομοιόμορφη

κατανομή με παραμέτρους α και β ( )α βlt

i Η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση


0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ

⎧ minusinfin lt lt⎪ minus⎪= le⎨ minus⎪⎪ le lt infin⎩

lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)

Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής ( )F x της ομοιόμορφης κατανομής

απεικονίζεται στο Σχήμα 62

Σχήμα 62 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της ομοιόμορφης κατανομής

Παράδειγμα 65 Έστω X συνεχής τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την

ομοιόμορφη κατανομή με μέση τιμή 1 και διακύμανση 43 Να υπολογισθεί η

πιθανότητα 13

P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση

Δεδομένου ότι ~ ( )X U α β rArr ( )2

E X α β+= και ( )

2(12

V X )β αminus= Με βάση τα

δεδομένα του προβλήματος ( ) 1E X = και ( ) 43

V X = Κατά συνέπεια 12

α β+= και

2( ) 412 3

β αminus= rArr 2α β+ = και Το σύστημα αυτό οδηγεί ισοδύναμα

στα εξής δύο συστήματα

2( ) 1β αminus = 6


24

α ββ α+ =minus =

και 24

α ββ α

+ =minus = minus

Το πρώτο σύστημα έχει ως λύση την 1 3α και β= minus = Το δεύτερο σύστημα έχει ως

λύση την 3 1α και β= = minus

)3

Από τις λύσεις αυτές δεκτή είναι μόνο η πρώτη

δεδομένου ότι η δεύτερη δεν πληροί τον ορισμό της

ομοιόμορφης κατανομής ( )

( 1α και β= minus =

β αgt Κατά συνέπεια η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση

με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

632 Κανονική κατανομή

Η κανονική κατανομή (normal distribution) είναι η σημαντικότερη και η

χρησιμότερη όχι μόνο από τις συνεχείς αλλά από όλες τις κατανομές πιθανότητας Η

σπουδαιότητά της οφείλεται σε τρεις κυρίως λόγους

1 Πολλά πειράματα μπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά μέσω τυχαίων

μεταβλητών που ακολουθούν κανονική κατανομή

2 Μπορεί να χρησιμοποιηθεί υπό προϋποθέσεις ως προσέγγιση πολλών άλλων

κατανομών τόσο συνεχών όσο και διακριτών

3 Αποτελεί τη βάση για πολλές τεχνικές που χρησιμοποιούνται στη Στατιστική

Συμπερασματολογία

Η κανονική κατανομή μελετήθηκε διεξοδικά από τον μαθηματικό K Gauss και για

το λόγο αυτόν είναι γνωστή και ως κατανομή Gauss

Ορισμός 67 Έστω X συνεχής τυχαία μεταβλητή που μπορεί να πάρει τιμές σε

ολόκληρη την ευθεία των πραγματικών αριθμών Λέμε ότι η X ακολουθεί την

κανονική κατανομή με παραμέτρους μ και 2σ αν η συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας δίνεται από τον τύπο

( )21

21 ( ) 2

x

f x e xminus⎛ ⎞minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠= isin minusinfin infin minusinfin lt ltμ

σ μ σσ π

0infin gt (623)

όπου 31416congπ και 27183e cong


Συμβολικά ( )2~ X N μ σ

Αποδεικνύεται ότι για την κανονική κατανομή ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα

Θεώρημα 67 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την κανονική

κατανομή με παραμέτρους μ και 2σ

i Η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

( )E X μ= (624)

ii Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

( ) 2V X σ= (625)

Από τη μελέτη της συνάρτησης (623) προκύπτουν στοιχεία σχετικά με τη μορφή

της καμπύλης η οποία απεικονίζει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της

κανονικής κατανομής (Σχήμα 63) Τα συμπεράσματα τα σχετικά με τη μορφή της

καμπύλης συνοψίζονται στο Θεώρημα 68

Σχήμα 63 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ( )2 250 5N μ σ= =


κατανομή με παραμέτρους μ και 2σ και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την

(623)

i Η συνάρτηση ( )f x έχει ένα μόνο μέγιστο στη θέση x μ= με αντίστοιχη τιμή

μεγίστου την 1( )max2x

f xσ πminusinfinlt ltinfin

=


ii Η συνάρτηση ( )f x είναι συμμετρική γύρω από τη θέση x μ=

iii Τα σημεία μ σplusmn αποτελούν σημεία καμπής της ( )f x

Από τις δύο παραμέτρους της το μ προσδιορίζει τη θέση της κατανομής ως προς τον

άξονα των x το δε 2σ το σχήμα της

Σχήμα 64 Εμβαδά της κανονικής κατανομής

Θεώρημα 69 Έστω X τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την κανονική

κατανομή με παραμέτρους μ και 2σ Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται

από το ολοκλήρωμα 2

2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π

minus⎛ ⎞minus ⎜ ⎟⎝ ⎠

minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)

Το ολοκλήρωμα αυτό εκφράζει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής Ι στο

Σχήμα 64 Η μορφή της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της κανονικής

κατανομής απεικονίζεται στο Σχήμα 65

Είναι προφανές ότι αν ( 2~ X N μ σ τότε η πιθανότητα να λάβει η X τιμή μεταξύ

των α και β δίνεται από τη σχέση

( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)


Σχήμα 65 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της ( )2 250 5N μ σ= =

Το ολοκλήρωμα αυτό εκφράζει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής ΙΙ στο

Σχήμα 64

Ο υπολογισμός της πιθανότητας ( )P Xlt leα β στην περίπτωση που

( 2~ X N )μ σ προϋποθέτει τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της σχέσης (626)

Για να ξεπεράσουμε το πρόβλημα της ολοκλήρωσης χρησιμοποιούμε έναν

κατάλληλο μετασχηματισμό της X Συγκεκριμένα μετασχηματίζουμε τη X στη

μεταβλητή

XZ μσminus

=

Η τυχαία μεταβλητή Z ονομάζεται τυποποιημένη μεταβλητή και στην

προκειμένη περίπτωση ακολουθεί κανονική κατανομή με παραμέτρους 0μ = και

Η κατανομή αυτή ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή (standard

normal distribution) και συμβολίζεται με

2 1σ =

( )~ 01Z N Είναι προφανές ότι η

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Z δίνεται από τον τύπο

21

21( ) 2

zf z e z

π

minus= minus infin lt lt +infin (628)

και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της από τον τύπο

( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin

Φ = le = minusinfin lt lt +int infin (629)


Σχήμα 66 Αντιστοιχία μεταξύ των τιμών των μεταβλητών X και Z

μ-3σ micro-2σ micro-σ micro micro+σ micro+2σ micro+3σx

3210-1-2-3 z

f(z)f(x)

Αποδεικνύεται επίσης ότι για την τυποποιημένη κανονική μεταβλητή Z ισχύει

( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =

Να σημειωθεί ότι με το μετασχηματισμό XZ μσminus

= η μέση τιμή της κατανομής

( 2N )μ σ της X που βρίσκεται στον άξονα των x μεταφέρεται στη θέση 0 του

άξονα των της κατανομής της z (01N ) Z (Σχήμα 66) Κατά συνέπεια και οι τιμές

2 3x μ σ μ σ μ σ= plusmn plusmn plusmn κλπ της μεταβλητής X στον άξονα των x μεταφέρονται

στις θέσεις κλπ αντίστοιχα στον άξονα z 1 2 3z = plusmn plusmn plusmn

Για την τυποποιημένη κανονική κατανομή είναι δυνατή η κατάρτιση πίνακα ο

οποίος να περιέχει τις τιμές των ολοκληρωμάτων που δίνονται από τη σχέση (629)

για τις διάφορες τιμές του z Μετασχηματίζοντας λοιπόν τη ( 2~ X N )μ σ στη

μπορούμε μέσω κατάλληλου πίνακα να υπολογίσουμε την πιθανότητα

να πάρει η τυχαία μεταβλητή

(~ 01Z N )

X τιμή στο διάστημα [ ]α β

Συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας τη σχέση

XZ μσminus

=

η οποία συνδέει τις τιμές των μεταβλητών X και Z έχουμε διαδοχικά


( ) ( )

XF P X P

P Z

minus minus⎛ ⎞= le = le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)

Κατά συνέπεια

( ) ( ) ( )

P X F Flt le = minus

minus minus⎛ ⎞ ⎛= Φ minusΦ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)

Μπορούμε λοιπόν με τη βοήθεια της σχέσης (631) να υπολογίσουμε τις

πιθανότητες (P Xlt leα β της τυχαίας μεταβλητής Χ που ακολουθεί κανονική

κατανομή ( 2N )μ σ χρησιμοποιώντας τον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής

κατανομής (Πίνακας 4 του Προσαρτήματος) Ο Πίνακας αυτός δίνει τις τιμές της

αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής

δηλαδή τις τιμές της (01N ) ( )zΦ για τις διάφορες τιμές του z Για την αθροιστική

συνάρτηση της τυποποιημένης κανονικής κατανομής ισχύει το παρακάτω

συμπέρασμα

Θεώρημα 610 Έστω Z τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την τυποποιημένη

κανονική κατανομή Για την αθροιστική της συνάρτηση ισχύει η σχέση

(632) ( ) ( )1 z z zΦ minus = minusΦ minusinfin lt lt infin

Η ενότητα θα ολοκληρωθεί με δύο χαρακτηριστικά παραδείγματα

Παράδειγμα 66 Έστω η τυχαία μεταβλητή Z η οποία ακολουθεί την τυποποιημένη

κανονική κατανομή Να υπολογιστούν οι πιθανότητες

i ( 2) P Z gt

ii ( 3 3)P Zminus lt lt

Λύση

Με βάση τα γνωστά θεωρήματα των πιθανοτήτων τη σχέση (632) και τον Πίνακα 4

της τυποποιημένης κανονικής κατανομής έχουμε διαδοχικά

i ( 2) 1 ( 2) 1 (2) 1 09772 00228P Z P Zgt = minus le = minusΦ = minus =


ii

( 3 3) (3) ( 3) (3) 1 (3) 2 (3) 1 2(09987) 1 09974P Zminus lt lt = Φ minusΦ minus = Φ minus +Φ = Φ minus = minus =

Παράδειγμα 67 Εργοστάσιο παραγωγής ζάχαρης χρησιμοποιεί αυτόματες μηχανές

κατά τη διαδικασία συσκευασίας των πακέτων ζάχαρης Σύμφωνα με τις

προδιαγραφές του προϊόντος για να θεωρηθεί μια συσκευασία αποδεκτή πρέπει το

βάρος των πακέτων ζάχαρης ενός κιλού να είναι εντός των ορίων [989 gr 1010 gr]

Σύμφωνα με στοιχεία του εργοστασίου το βάρος των πακέτων ζάχαρης που

συσκευάζονται μπορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση

τιμή 9995μ = gr και τυπική απόκλιση 6σ = gr Με βάση τα στοιχεία αυτά

ii Αν επιλεγεί τυχαία ένα πακέτο ζάχαρης να υπολογιστεί η πιθανότητα το

βάρος του να ξεπερνά τα 1004 gr

iii Αν επιλεγεί τυχαία ένα πακέτο ζάχαρης να υπολογιστεί η πιθανότητα το

βάρος του να βρίσκεται μεταξύ 998 και 1001 gr

iv Ποιο είναι το ποσοστό των μη αποδεκτών συσκευασιών

Λύση

Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία εκφράζει το βάρος των πακέτων ζάχαρης

Δίνεται ότι 2~ (9995 6 )X N

i Η πιθανότητα το βάρος του πακέτου να ξεπερνά τα 1004 gr είναι

( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6

XP minus minus= minus le )μ

σ

1 ( 075P Z= minus le )

)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =



Normal with mean = 9995 and standard deviation = 6

x P( X lt= x )

1004 0773373

rArr P( X gt 1004 ) = 1-0773373 = 0226627 Λύση με το MINITAB


ii Η πιθανότητα το βάρος του πακέτου να βρίσκεται μεταξύ 998 και 1001 gr είναι

998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z

minus minus minuslt lt = lt lt

= lt minus lt minus= Φ minusΦ minus= minus =

μσ


Δεδομένου ότι P(998 ltX lt 1001) = P(X lt 1001) - P( X lt 998)

Υπολογίζουμε



x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294

= 0197412 Λύση με το MINITAB

iii Οι μη αποδεκτές συσκευασίες είναι αυτές που βρίσκονται εκτός ορίων Επομένως

ζητείται να υπολογιστεί η πιθανότητα [ ]( 989) ( 1010)P X Xlt cup gt Τα ενδεχόμενα

είναι ασυμβίβαστα και κατά συνέπεια η πιθανότητα της

ένωσής τους είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους Δηλαδή η ζητούμενη

πιθανότητα είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων

( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016

XP X P P Zμσminus minus⎛ ⎞lt = lt = lt minus = Φ minus =⎜ ⎟

⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =

minus minus⎛ ⎞= minus le⎜ ⎟⎝ ⎠

= minus le == minusΦ= minus =

Άρα η πιθανότητα μη αποδεκτών συσκευασιών είναι

[ ]( 989) ( 1010) ( 989) ( 1010) 00401 00401 00802P X X P X P Xlt cup gt = lt + gt = + =Δηλαδή το ποσοστό των μη αποδεκτών συσκευασιών είναι 802

633 Εκθετική κατανομή


εκθετική κατανομή (exponential distribution) με παράμετρο θ αν η συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τον τύπο

( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ

minus⎧ forall gt gt⎪= ⎨⎪ forall le⎩

0

Συμβολικά ( )~X E θ

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( )f x της εκθετικής κατανομής απεικονίζεται

στο Σχήμα 67

Σχήμα 67 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής για διάφορες τιμές της παραμέτρου θ


Σχήμα 68 Αθροιστική συνάρτηση κατανομής της εκθετικής κατανομής για διάφορες τιμές της παραμέτρου θ

Αποδεικνύεται ότι για την εκθετική κατανομή ισχύει το παρακάτω θεώρημα

Θεώρημα 611 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την εκθετική

κατανομή με παράμετρο θ

i Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση

0 0( )

1 0a

aF a

e aminus minusinfin lt lt⎧

= ⎨ minus le⎩θ lt infin

(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)

Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ( )F x της εκθετικής κατανομής


Παράδειγμα 68 Η διάρκεια ζωής μιας ηλεκτρονικής συσκευής ακολουθεί την

εκθετική κατανομή με μέση διάρκεια ζωής 360 ημέρες Να βρεθεί η πιθανότητα η

διάρκεια ζωής μιας τέτοιας συσκευής να είναι

i Το πολύ 180 ημέρες

ii Μεταξύ 180 και 720 ημερών

iii Τουλάχιστον 720 ημέρες


Λύση

Έστω η τυχαία μεταβλητή X η οποία περιγράφει τη διάρκεια ζωής των

ηλεκτρονικών συσκευών του συγκεκριμένου τύπου και η οποία ακολουθεί εκθετική

κατανομή Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος ( ) 360E X = ημέρες Από τη

σχέση (634) όμως ( )E X θ= Άρα ( )~ 360X E θ = Με βάση το πρώτο

συμπέρασμα του Θεωρήματος 611 η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι στην

προκειμένη περίπτωση Άρα οι ζητούμενες πιθανότητες

υπολογίζονται εύκολα ως ακολούθως

360( ) 1 0aF a e aminus= minus ge

i Η πιθανότητα η διάρκεια ζωής μιας τέτοιας συσκευής να είναι το πολύ 180

ημέρες είναι

180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =

= minus = minus = minus =



Exponential with mean = 360

x P( X lt= x )


ii Η πιθανότητα η διάρκεια ζωής μιας τέτοιας συσκευής να είναι μεταξύ 180 και

720 ημερών είναι

( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus

= minus minus + = minus minus + =

iii Η πιθανότητα η διάρκεια ζωής μιας τέτοιας συσκευής να είναι τουλάχιστον

720 ημέρες είναι

( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F

e e eminus minus minus

gt = minus

= minus minus = minus minus = =


634 Κατανομή γάμμα

Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό της κατανομής γάμμα πρέπει να ορίσουμε τη

συνάρτηση γάμμα

Ορισμός 69 Η συνάρτηση γάμμα (gamma function) ορίζεται για κάθε πραγματικό

και θετικό αριθμό a από το ολοκλήρωμα

( ) 1

0

yy e dyαα+infin

minus minusΓ = int (636)

Αποδεικνύεται ότι

bull για 1)a minus 1 ( ) ( 1) (a a agt rArr Γ = minus Γ

abull για )(φυσικός αριθμός) ( ) ( 1ν ν ν= rArr Γ = minus

bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠


κατανομή γάμμα (gamma distribution) με παραμέτρους α και β αν η συνάρτηση


1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧

forall gt gt⎪ Γ= ⎨⎪ forall le⎩

(637)

όπου ( )αΓ είναι η συνάρτηση γάμμα

Συμβολικά ~ ( )X gamma α β

Στο Σχήμα 69 απεικονίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της

κατανομής γάμμα για διάφορες τιμές των α β

Αποδεικνύεται ότι για την κατανομή γάμμα ισχύει το παρακάτω θεώρημα


γάμμα με παραμέτρους α και β Τότε



( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)

Σχήμα 69 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής γάμμα για διάφορες τιμές των παραμέτρων α και β

Παρατήρηση 64 Όταν η παράμετρος α της κατανομής γάμμα είναι θετικός

ακέραιος α ν= τότε η κατανομή γάμμα λέγεται κατανομή ν-Erlang Προφανώς η

εκθετική κατανομή αποτελεί ειδική περίπτωση της κατανομής γάμμα η οποία

προκύπτει για 1α = και β θ=

635 Κατανομή βήτα

Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό της κατανομής βήτα πρέπει να ορίσουμε τη

συνάρτηση βήτα

Ορισμός 611 Η συνάρτηση βήτα (beta function) ορίζεται από το ορισμένο

ολοκλήρωμα

( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0

1 x x dxβα α βα β α β

α βminusminus Γ Γ

Β = minus =Γ +int 0gt (640)


κατανομή βήτα (beta distribution) με παραμέτρους α και β αν η συνάρτηση



( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x

minus⎧ minus forall lt lt⎪Β= ⎨⎪ forall le ge⎩

βα α βα β

0gt (641)

όπου ( )α βΒ είναι η συνάρτηση βήτα

Συμβολικά ~ ( X beta )α β

Αποδεικνύεται ότι για την κατανομή βήτα ισχύει το θεώρημα

Θεώρημα 613 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την κατανομή βήτα

με παραμέτρους α και β Τότε


( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)

Παρατήρηση 65 Η ομοιόμορφη κατανομή αποτελεί ειδική περίπτωση της

κατανομής βήτα για 1α = και 1β =

Σχήμα 610 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής βήτα για διάφορες τιμές των παραμέτρων α και β


κατανομής βήτα για διάφορες τιμές των α β


636 Κατανομή 2χ

Ορισμός 613 Έστω X μία συνεχής τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί την

κατανομή γάμμα με παραμέτρους 2α ν= 1 2 ν = και 2β = Στην περίπτωση

αυτή λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την κατανομή 2χ με ν βαθμούς

ελευθερίας Το ν δηλαδή οι βαθμοί ελευθερίας είναι η μοναδική παράμετρος της

κατανομής

Συμβολικά 2~X νχ

Για την κατανομή 2χ αποδεικνύεται ότι ισχύει το παρακάτω θεώρημα

Θεώρημα 614 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί κατανομή 2χ με ν

βαθμούς ελευθερίας Τότε

i Η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής X δίνεται από τη σχέση ( ) E X ν= (644)


( ) 2 V X ν= (645)

Στο Σχήμα 611 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας

πιθανότητας της 2χ για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου ν

Σχήμα 611 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής 2χ για διάφορες τιμές των βαθμών ελευθερίας ν


Αξίζει να σημειώσουμε ότι για πολύ μικρό ν η κατανομή 2χ παρουσιάζει έντονα

θετική ασυμμετρία Ο βαθμός θετικής ασυμμετρίας της κατανομής μειώνεται καθώς

αυξάνεται το ν

Η κατανομή 2χ έχει σπουδαίες εφαρμογές στον έλεγχο καλής προσαρμογής στον

έλεγχο ανεξαρτησίας ιδιοτήτων αλλά και στη μελέτη των κατανομών ορισμένων

στατιστικών συναρτήσεων Για τη διευκόλυνση των όσων ακολουθήσουν

παραθέτουμε μερικά χρήσιμα θεωρήματα τα οποία συνδέονται με την κατανομή 2χ

και τα οποία όπως θα δούμε έχουν ξεχωριστή σημασία στα επόμενα κεφάλαια

Θεώρημα 615 Αν οι τυχαίες μεταβλητές 1 2 nX X X είναι ανεξάρτητες και

ακολουθούν τις κατανομές 1 2

2 2 2 nν ν νχ χ χ αντίστοιχα τότε η τυχαία μεταβλητή

θα ακολουθεί την κατανομή 1 2 nY X X X= + + +1 2

2

nν ν νχ + + +

Θεώρημα 616 Αν η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική

κατανομή τότε η τυχαία μεταβλητή (01N ) 2Y X= θα ακολουθεί την κατανομή

δηλαδή την κατανομή με ένα βαθμό ελευθερίας

21χ

2χ

Θεώρημα 617 Αν η τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανομή

( 2N )μ σ τότε η τυχαία μεταβλητή 2XY μ

σminus⎛= ⎜

⎝ ⎠⎞⎟ θα ακολουθεί την κατανομή 2

1χ

Θεώρημα 618 Αν 1 2 nX X X είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους που έχει

ληφθεί από έναν πληθυσμό ο οποίος ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική

κατανομή τότε η στατιστική συνάρτηση θα

ακολουθεί την κατανομή

n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ


ληφθεί από έναν πληθυσμό ο οποίος ακολουθεί την κανονική κατανομή

n

( )2N μ σ

τότε η στατιστική συνάρτηση 2

1

ni

i

XY μσ=

minus⎛= ⎜⎝ ⎠

sum ⎞⎟ θα ακολουθεί την κατανομή 2

nχ

Λόγω της σπουδαιότητας που έχει η κατανομή 2χ στις εφαρμογές υπάρχουν

έτοιμοι πίνακες (Πίνακας 6 του Προσαρτήματος) οι οποίοι για δοσμένη πιθανότητα

α δίνουν τα (1 )αminus ποσοστιαία σημεία της κατανομής 2χ με ν βαθμούς


ελευθερίας δηλαδή τις τιμές 21ν αχ minus για τις οποίες ( )2 2

1 1aP νχ χ minus αle = minus Έτσι για

παράδειγμα όταν 1 095αminus = και 10ν = η τιμή για την οποία ισχύει η

σχέση είναι με βάση τον Πίνακα 6 18307

210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =


Inverse Cumulative Distribution Function

Chi-Square with 10 DF

P( X lt= x ) x


637 Κατανομή t

Ορισμός 614 H τυχαία κατανομή

ZXY ν

= όπου Z και είναι ανεξάρτητες

τυχαίες μεταβλητές με κατανομές την τυποποιημένη κανονική

Y

( )01N και την 2νχ

αντίστοιχα λέμε ότι ακολουθεί την κατανομή του Student με t ν βαθμούς

ελευθερίας Το ν είναι η μοναδική παράμετρος της κατανομής

Συμβολικά ~X tν

Για την κατανομή αποδεικνύεται ότι ισχύει το παρακάτω θεώρημα t

Θεώρημα 620 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί κατανομή με t ν



(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)

Στο Σχήμα 612 δίνεται η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης πυκνότητας

πιθανότητας της κατανομής για διάφορους βαθμούς ελευθερίας σε σύγκριση με την

γραφική απεικόνιση (με διακεκομμένη γραμμή) της συνάρτησης πυκνότητας

t


πιθανότητας της τυποποιημένης κανονικής κατανομής δηλαδή της κατανομής όταν t

ν rarrinfin

Σχήμα 612 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής για διάφορες τιμές των βαθμών ελευθερίας

tν

Να σημειωθεί ότι η μέση τιμή της κατανομής υπάρχει για 2ν ge ενώ η διακύμανσή

της υπάρχει για 3ν ge Παρατηρούμε επίσης ότι η διακύμανσή της είναι μεγαλύτερη

από 1 αλλά πλησιάζει στο 1 καθώς αυξάνει το ν Μπορεί ακόμη να αποδειχθεί ότι

όσο αυξάνουν οι βαθμοί ελευθερίας ν η κατανομή του Student προσεγγίζει την

τυποποιημένη κανονική κατανομή Η καμπύλη της κατανομής είναι συμμετρική

γύρω από τη μέση τιμή της 0 όπως ακριβώς και στην περίπτωση της τυποποιημένης

κανονικής κατανομής Η κατανομή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη Στατιστική

Συμπερασματολογία όπως θα δειχθεί στα επόμενα κεφάλαια Λόγω της

σπουδαιότητας και της χρησιμότητάς της υπάρχει έτοιμος πίνακας (Πίνακας 5 του

Προσαρτήματος) ο οποίος δίνει για δοσμένη πιθανότητα τα

t

t

t

( )1 αminus ποσοστιαία

σημεία της κατανομής με t ν βαθμούς ελευθερίας δηλαδή τις τιμές 1tν αminus για τις

οποίες ( )1 1P t tν α αminusle = minus Έτσι για παράδειγμα όταν 1 095αminus = και 10ν = η

τιμή για την οποία ισχύει η σχέση 10 095t ( )10 095 095P t tle = είναι με βάση τον

Πίνακα 5 18125




Students t distribution with 10 DF

P( X lt= x ) x


Είναι προφανές ότι από τον Πίνακα 5 προκύπτουν μόνο τα ανώτερα ποσοστιαία

σημεία της κατανομής t Τα κατώτερα ποσοστιαία σημεία προσδιορίζονται από τη

σχέση

t t 1ν α ν αminus= minus (648)

Έτσι για παράδειγμα ο υπολογισμός της τιμής γίνεται ως εξής

8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus

638 Κατανομή F

Ορισμός 615 Έστω και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με κατανομές U V1

2νχ

και 2

2νχ αντίστοιχα Τότε η τυχαία μεταβλητή 1

2

UXV

νν

= ακολουθεί την κατανομή

με F1ν και 2ν βαθμούς ελευθερίας Τα 1ν και 2ν είναι οι παράμετροι της

κατανομής

Συμβολικά 1 2~ X Fν ν

Για την κατανομή αποδεικνύεται ότι ισχύει το παρακάτω θεώρημα F

Θεώρημα 621 Έστω X η τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί κατανομή με F1ν

και 2ν βαθμούς ελευθερίας Τότε


( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)


Σχήμα 613 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής F για διάφορα ζευγάρια των βαθμών ελευθερίας 1ν και 2ν

Η μορφή της κατανομής εξαρτάται γενικά από τους βαθμούς ελευθερίας Για

μικρές τιμές των 1ν και 2ν η κατανομή παρουσιάζει έντονη θετική ασυμμετρία Στο

Σχήμα 613 δίνεται η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας

της κατανομής για διάφορα ζευγάρια βαθμών ελευθερίας F

Η κατανομή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στη Στατιστική Συμπερασματολογία όπως

άλλωστε θα δειχθεί στα επόμενα κεφάλαια Λόγω της σπουδαιότητας και της

χρησιμότητάς της υπάρχει έτοιμος πίνακας (Πίνακας 7 του Προσαρτήματος) ο

οποίος δίνει για δοσμένη πιθανότητα τα

F

( )1 αminus ποσοστιαία σημεία της κατανομής

με F 1ν και 2ν βαθμούς ελευθερίας δηλαδή τις τιμές 1 2 1Fν ν αminus για τις οποίες

( )1 2 1 1P F Fν ν α αminusle = minus 9 Έτσι για παράδειγμα όταν 1 0 5αminus = 1 9 ν = και 2 6ν =

η τιμή για την οποία ισχύει η σχέση 9 6 095F ( )9 6 095 095P F Fle = είναι με βάση

τον Πίνακα 7 4099



F distribution with 9 DF in numerator and 6 DF in denominator

P( X lt= x ) x



Είναι προφανές ότι από τον Πίνακα 7 μπορούν να προσδιοριστούν μόνο τα ανώτερα

σημεία της κατανομής Τα κατώτερα ποσοστιαία σημεία προσδιορίζονται από τη

σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)

Έτσι για παράδειγμα ο υπολογισμός της τιμής γίνεται ως εξής 870025F

870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ

Κάθε τυχαία μεταβλητή έχει τη δική της κατανομή πιθανότητας αλλά σε πολλές

περιπτώσεις οι κατανομές αυτές έχουν μεγάλες ομοιότητες Μπορούμε λοιπόν να

δημιουργήσουμε κάποιες βασικές μορφές κατανομών τις οποίες θα χρησιμοποιούμε

αντί των πραγματικών κατανομών Η επιλογή της κατάλληλης θεωρητικής κατανομής

μάς επιτρέπει να μελετήσουμε με μεγαλύτερη ευκολία αλλά και ακρίβεια την

κατανομή της τυχαίας μεταβλητής που εξετάζουμε Λόγω ακριβώς της μεγάλης τους

χρησιμότητας τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των κατανομών αυτών έχουν

μελετηθεί διεξοδικά και τα αποτελέσματα διαφόρων υπολογισμών που

χρησιμοποιούνται συχνά έχουν συγκεντρωθεί σε εύχρηστους πίνακες Στόχος του

έκτου κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει τις βασικότερες θεωρητικές κατανομές τόσο

διακριτές όσο και συνεχείς

Η πρώτη ενότητα αναφέρεται στις διακριτές κατανομές και παρουσιάζονται

μεταξύ άλλων οι εξής κατανομές





Η δεύτερη ενότητα αναφέρεται στις συνεχείς κατανομές και παρουσιάζονται










Για καθεμιά από τις θεωρητικές κατανομές υπάρχει μια σύντομη εισαγωγή και στη

συνέχεια παρουσιάζεται η μέση τιμή και η διακύμανσή της Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται

στην κανονική κατανομή η οποία είναι σημαντικότερη όχι μόνο από τις συνεχείς

αλλά και από όλες τις κατανομές πιθανότητας και αποτελεί τη βάση της στατιστικής

θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 61 Μία αντιπροσωπεία αυτοκινήτων εκτιμά ότι από το σύνολο των αυτοκινήτων ενός

συγκεκριμένου τύπου που κυκλοφορούν σήμερα στη χώρα το 12 είναι ηλικίας

μικρότερης των δύο ετών Επιπλέον εκτιμά ότι η πιθανότητα εμφάνισης μιας

συγκεκριμένης βλάβης στο ηλεκτρικό σύστημα των αυτοκινήτων αυτών σε διάστημα

ενός έτους είναι 5 για τα αυτοκίνητα ηλικίας μικρότερης των δύο ετών και 35 για

τα αυτοκίνητα μεγαλύτερης ηλικίας Το κόστος επισκευής της βλάβης αυτής

ανέρχεται κατά μέσο όρο σε 200 ευρώ ανά αυτοκίνητο ανεξάρτητα από την ηλικία

του Με βάση τα στοιχεία αυτά

α Να υπολογιστεί η πιθανότητα

i Σε ένα τυχαίο δείγμα 10 αυτοκινήτων του τύπου αυτού ηλικίας μικρότερης

των δύο ετών τουλάχιστον ένα να παρουσιάσει τη συγκεκριμένη βλάβη

μέσα σε ένα έτος

ii Σε ένα τυχαίο δείγμα 20 αυτοκινήτων του τύπου αυτού ηλικίας μεγαλύτερης

των δύο ετών το πολύ 2 αυτοκίνητα να παρουσιάσουν τη συγκεκριμένη

βλάβη μέσα σε ένα έτος

iii Σε ένα τυχαίο δείγμα 30 αυτοκινήτων του τύπου αυτού 4 ακριβώς

αυτοκίνητα να παρουσιάσουν τη συγκεκριμένη βλάβη μέσα σε ένα έτος

β Αν η αντιπροσωπεία πουλήσει 30 αυτοκίνητα το Δεκέμβριο του 2007 ποιος είναι ο

αναμενόμενος αριθμός των αυτοκινήτων που θα παρουσιάσουν τη συγκεκριμένη βλάβη

το επόμενο έτος Ποιο είναι το αναμενόμενο κόστος επισκευής των αυτοκινήτων

αυτών


Άσκηση 62 Κάποιος περιμένει για ένα ταξί σε μια διασταύρωση όπου περνάνε κατά μέσο όρο 9

ελεύθερα ταξί κάθε 30 λεπτά Να υπολογιστεί η πιθανότητα

i Να περάσει τουλάχιστον ένα ελεύθερο ταξί τα επόμενα 6 λεπτά

ii Να χρειαστεί να περιμένει από 6 έως 10 λεπτά για να περάσει ένα τουλάχιστον

ελεύθερο ταξί

Άσκηση 63

Ένα εργοστάσιο παράγει μπαταρίες συγκεκριμένου τύπου για χρήση σε συσκευές

κινητής τηλεφωνίας τις οποίες συσκευάζει σε πακέτα των 120 Σύμφωνα με στοιχεία

του εργοστασίου ο χρόνος ζωής μιας μπαταρίας του τύπου αυτού μπορεί να

θεωρηθεί ότι ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 40μ = ώρες και

τυπική απόκλιση 5σ = ώρες Ακόμη σύμφωνα με τις προδιαγραφές που έχει θέσει η

Ευρωπαϊκή Ένωση αν μία μπαταρία του συγκεκριμένου τύπου έχει χρόνο ζωής

μικρότερο από 30 ώρες θεωρείται ελαττωματική Με βάση τα στοιχεία αυτά

i Αν επιλεγεί τυχαία ένα πακέτο μπαταριών να υπολογιστεί ο αριθμός των

ελαττωματικών μπαταριών που περιέχει

ii Αν επιλεγεί τυχαία ένα πακέτο μπαταριών να υπολογιστεί ο αριθμός των

μπαταριών των οποίων ο χρόνος ζωής θα ξεπερνά τις 45 ώρες καθώς και ο

αριθμός των μπαταριών των οποίων ο χρόνος ζωής θα είναι μεταξύ 30 και 50

ωρών

iii Αν επιλεγούν τυχαία 4 μπαταρίες από ένα τυχαία επιλεγμένο πακέτο να

υπολογιστεί η πιθανότητα δύο τουλάχιστον να είναι ελαττωματικές

iv Αν ανοιχτούν δύο τυχαία επιλεγμένα πακέτα και επιλεγεί μία μπαταρία από το

καθένα να υπολογιστεί η πιθανότητα η πρώτη να είναι ελαττωματική και ο

χρόνος ζωής της δεύτερης να ξεπερνά τις 45 ώρες

v Σύμφωνα με μία νέα Κοινοτική Οδηγία ο κατασκευαστής είναι υποχρεωμένος

να αναγράφει στη συσκευασία τον ελάχιστο χρόνο ζωής της μπαταρίας και θα

υπόκειται σε κυρώσεις στην περίπτωση που περισσότερες από το 7 των

μπαταριών διαρκέσουν λιγότερο από τον αναγραφόμενο χρόνο Να

υπολογιστεί ο χρόνος που θα πρέπει να αναγράφεται στη συσκευασία ώστε ο

κατασκευαστής να μην υποστεί κυρώσεις


Άσκηση 64

Μια εταιρεία έρευνας αγοράς επιλέγει τυχαία εικοσιπέντε άτομα από μία

συγκεκριμένη οικιστική περιοχή και τους αποστέλλει ένα ερωτηματολόγιο προς

συμπλήρωση Υποθέστε ότι η πιθανότητα συμπλήρωσης ενός ερωτηματολογίου

είναι 03 και ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες της διωνυμικής κατανομής Με βάση τα

στοιχεία να υπολογιστεί η πιθανότητα

(α) Να μη συμπληρωθούν περισσότερα από δύο ερωτηματολόγια

(β) Να συμπληρωθούν ακριβώς τέσσερα ερωτηματολόγια

(γ) Να συμπληρωθούν τουλάχιστον 10 ερωτηματολόγια

Άσκηση 65

Μια εταιρεία κατασκευής πλυντηρίων ρούχων γνωρίζει από ιστορικά στοιχεία ότι το

10 των πλυντηρίων που πωλούνται θα χρειαστούν επισκευή εντός του χρονικού

διαστήματος της εγγύησής τους Υποθέστε ότι ένα κατάστημα οικιακών συσκευών

πούλησε 20 τέτοια πλυντήρια σε ένα συγκεκριμένο μήνα Με βάση τα στοιχεία αυτά

και εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες της διωνυμικής κατανομής

(α) Να υπολογισθεί η πιθανότητα κανένα από αυτά τα πλυντήρια να μη χρειαστεί

επισκευή εντός του χρονικού διαστήματος της εγγύησής του

(β) Να υπολογισθεί η πιθανότητα τουλάχιστον τρία πλυντήρια να χρειαστούν

επισκευή σε αυτό το χρονικό διάστημα

(γ) Να εκτιμηθεί ο μέσος και η τυπική απόκλιση του αριθμού των πλυντηρίων που θα

χρειαστούν επισκευή εντός του χρονικού διαστήματος της εγγύησής τους και να

υπολογιστεί η πιθανότητα ο πραγματικός αριθμός τους να βρίσκεται εντός του

διαστήματος που ορίζει η απόσταση δύο τυπικών αποκλίσεων από το μέσο

Άσκηση 66

Δύο άτομα Α και Β είναι υποψήφια για τη θέση του δημάρχου σε μία μικρή πόλη

Σύμφωνα με τις υπάρχουσες ενδείξεις η αναμέτρηση είναι αμφίρροπη Μία εβδομάδα

πριν τις εκλογές 25 εγγεγραμμένοι ψηφοφόροι της πόλης επιλέχτηκαν τυχαία και

ρωτήθηκαν για την προτίμησή τους μεταξύ των υποψηφίων Α και Β Με βάση τα

στοιχεία αυτά και εάν ικανοποιούνται οι συνθήκες της διωνυμικής κατανομής

(α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα τουλάχιστον 14 να προτιμήσουν τον υποψήφιο Α

(β) Να εκτιμηθεί ο μέσος και η τυπική απόκλιση του αριθμού των ψηφοφόρων που

προτιμούν τον υποψήφιο Α και να υπολογιστεί η πιθανότητα ο πραγματικός αριθμός


να βρίσκεται εντός του διαστήματος που ορίζει η απόσταση δύο τυπικών αποκλίσεων

από το μέσο

(γ) Υποθέστε ότι 7 από τα 25 άτομα που ερωτήθηκαν για την πρόθεση ψήφου τους

απάντησαν ότι προτιμούν τον υποψήφιο Α Λαμβάνοντάς υπόψη την απάντησή σας

στο ερώτημα (β) τι πιστεύετε τώρα για την έκβαση της εκλογικής αναμέτρησης

Άσκηση 67

Έστω ότι σε ένα διαγώνισμα στατιστικής με κλίμακα βαθμολογίας 0-100 οι βαθμοί

περιγράφονται ικανοποιητικά από μία κανονική κατανομή με μέσο 72 και τυπική

απόκλιση 12

(α) Εάν ο βαθμός ενός φοιτητή Α είναι 84 να υπολογιστεί το ποσοστό των βαθμών

που είναι μεγαλύτεροι από το βαθμό του Α

(β) Εάν ο βαθμός ενός φοιτητή Β είναι 62 να υπολογιστεί το ποσοστό των βαθμών

των υπολοίπων φοιτητών που είναι μικρότεροι από το βαθμό του Β

Άσκηση 68

Έστω ότι ένας φορολογούμενος του οποίου το εισόδημα για το οικονομικό έτος 2008

είναι μεταξύ 40000 euro και 50000 euro ζητά να εκπέσει από τη φορολογία του το ποσό

των 2200 euro που κατέβαλε για φιλανθρωπικές εισφορές κατά τη διάρκεια του

οικονομικού έτους 2008

(α) Εάν η εφορία γνωρίζει από ιστορικά στοιχεία ότι το ποσό που δηλώνεται για

φιλανθρωπικές εισφορές από φορολογούμενους αυτής της εισοδηματικής κατηγορίας

προσεγγίζεται ικανοποιητικά από μία κανονική κατανομή με μέσο 1200 euro και τυπική

απόκλιση 400 euro να υπολογιστεί η πιθανότητα το ποσό που δηλώνεται για το σκοπό

αυτό από κάποιον φορολογούμενο αυτής της εισοδηματικής κατηγορίας να είναι

τουλάχιστον 2200 euro

(β) Βασιζόμενοι στην απάντησή σας στο ερώτημα (α) πιστεύετε ότι η εφορία θα

κάνει δεκτό το αίτημα του συγκεκριμένου φορολογούμενου

Άσκηση 69

Στην άσκηση 67 υποθέστε ότι ο καθηγητής αποφασίζει πως μόνο οι φοιτητές των

οποίων η βαθμολογία περιλαμβάνεται στο 10 των μεγαλύτερων βαθμολογιών θα

λάβουν την αξιολόγηση Α Να υπολογιστεί η ελάχιστη βαθμολογία που απαιτείται

ώστε να λάβει ένας φοιτητής την αξιολόγηση Α


Άσκηση 610

Οι ασφαλιστικοί οργανισμοί υγείας στα πλαίσια του προσδιορισμού των

ασφαλίστρων που χρεώνουν στους πελάτες τους εκτιμούν το μέσο ετήσιο κόστος

τους ανά ασφαλιζόμενο άτομο Έστω ότι το κόστος αυτό προσεγγίζεται

ικανοποιητικά από μία κανονική κατανομή με μέσο κόστος 2000 euro και τυπική

απόκλιση 1500 euro Με βάση τα στοιχεία αυτά

(α) Να προσδιοριστεί η τιμή του 98ου ποσοστιαίου σημείου της συγκεκριμένης

κατανομής

(β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα το ετήσιο κόστος ανά ασφαλιζόμενο άτομο για

έναν ασφαλιστικό οργανισμό να ξεπεράσει τα 4200 euro

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6

Προσδιορισμός πιθανοτήτων της διωνυμικής κατανομής

Ας θεωρήσουμε το παράδειγμα 61 όπου στο πρώτο του ερώτημα ζητείται να

υπολογισθεί η πιθανότητα ( 0)P X = στην περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή X

ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους 20n = και δηλαδή

Από το βασικό μενού επιλέγουμε CALCgtPROBABILITY

DISTRIBUTIONSgtBINOMIAL Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγεται επιλέγουμε το

πεδίο PROBABILITY Στο πεδίο NUMBER OF TRIALS εισάγουμε την τιμή 20 και

στο πεδίο PROBABILITY OF SUCCESS εισάγουμε την τιμή 005 Τέλος επιλέγουμε

το πεδίο INPUT CONSTANT και εισάγουμε την τιμή 0 Επίσης μπορούμε να

προσδιορίσουμε ταυτόχρονα τις πιθανότητες που συνδέονται με διάφορες ή με όλες

τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής

005p =

~ (20 005)X b

X Στην περίπτωση αυτή καταχωρούμε τις

τιμές της X σε μία στήλη έστω τη C1 Ακολουθούμε την προηγούμενη διαδικασία

μόνο που επιλέγουμε το πεδίο INPUT COLUMN αντί για το INPUT CONSTANT

και δηλώνουμε τη στήλη C1 στο αντίστοιχο πεδίο

Στο δεύτερο ερώτημα του ίδιου παραδείγματος ζητείται ο υπολογισμός της

πιθανότητας ( 4)P X le στην περίπτωση που Ακολουθούμε τη

διαδικασία που μόλις περιγράψαμε επιλέγοντας το πεδίο CUMULATIVE

PROBABILITY αντί για το πεδίο PROBABILITY

~ (20 005)X b

Προσδιορισμός πιθανοτήτων της κατανομής Poisson




ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή 3λ = Από το βασικό μενού

επιλέγουμε CALCgtPROBABILITY DISTRIBUTIONSgtPOISSON Στο πλαίσιο

διαλόγου που ανοίγεται επιλέγουμε το πεδίο PROBABILITY Στο πεδίο ΜΕΑΝ

εισάγουμε την τιμή 3 και τέλος επιλέγουμε το πεδίο INPUT CONSTANT και

εισάγουμε την τιμή 4

Προσδιορισμός πιθανοτήτων και ποσοστιαίων σημείων της κανονικής

κατανομής


υπολογισθεί η πιθανότητα στην περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή ( 1004)P X gt X

ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους 9995μ = και δηλαδή

Να επισημάνουμε ότι με το ΜΙΝΙΤΑΒ μπορούμε να

υπολογίσουμε τιμές πιθανοτήτων της μορφής ( )

2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N

P X xle όπως άλλωστε και με τους

πίνακες Χρησιμοποιώντας τις βασικές ιδιότητες των πιθανοτήτων θα οδηγηθούμε

στο επιθυμητό αποτέλεσμα Από το βασικό μενού επιλέγουμε

CALCgtPROBABILITY DISTRIBUTIONSgtNORMAL Στο πλαίσιο διαλόγου που

ανοίγεται επιλέγουμε το πεδίο CUMULATIVE PROBABILITY Στο πεδίο ΜΕΑΝ

εισάγουμε την τιμή 9995 και στο πεδίο STANDARD DEVIATION εισάγουμε την

τιμή 6 Τέλος επιλέγουμε το πεδίο INPUT CONSTANT και εισάγουμε την τιμή 1004

Με αυτό τον τρόπο προσδιορίζουμε την πιθανότητα ( 1004) 0773373P X le = Κατά

συνέπεια η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι ( 1004) 1 0773373 0226627P X gt = minus =

Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε ποσοστιαία σημεία από κανονική

κατανομή με γνωστή μέση τιμή και τυπική απόκλιση ακολουθούμε τη διαδικασία

που μόλις περιγράψαμε επιλέγοντας το πεδίο INVERSE CUMULATIVE

PROBABILITY αντί για το πεδίο CUMULATIVE PROBABILITY

Προσδιορισμός πιθανοτήτων της εκθετικής κατανομής


υπολογισθεί η πιθανότητα ( 180)P X le στην περίπτωση που η τυχαία μεταβλητή X


ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 360θ = Από το βασικό μενού

επιλέγουμε CALCgtPROBABILITY DISTRIBUTIONSgtEXPONENTIAL Στο

πλαίσιο διαλόγου που ανοίγεται επιλέγουμε το πεδίο CUMULATIVE

PROBABILITY Στο πεδίο ΜΕΑΝ εισάγουμε την τιμή 360 και τέλος επιλέγουμε το

πεδίο INPUT CONSTANT και εισάγουμε την τιμή 180

Προσδιορισμός ποσοστιαίων σημείων της κατανομής 2χ

Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε το ( )1 αminus ποσοστιαίο σημείο της κατανομής

2χ με ν βαθμούς ελευθερίας δηλαδή την τιμή 21ν αχ minus για την οποία

( )2 21 1aP νχ χ minusle = minusα 95 στην ειδική περίπτωση που 1 0αminus = και 10ν = Από το

βασικό μενού επιλέγουμε CALCgtPROBABILITY DISTRIBUTIONSgtCHI

SQUARE Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγεται επιλέγουμε το πεδίο INVERSE

CUMULATIVE PROBABILITY Στο πεδίο DEGREES OF FREEDOM εισάγουμε

την τιμή 10 και τέλος επιλέγουμε το πεδίο INPUT CONSTANT όπου εισάγουμε την

τιμή 095

Προσδιορισμός ποσοστιαίων σημείων της κατανομής t

Έστω ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε το ( )1 αminus ποσοστιαίο σημείο της κατανομής t

με ν βαθμούς ελευθερίας δηλαδή την τιμή 1tν αminus για την οποία ( )1 1P t tν α αminusle =

95

minus

στην ειδική περίπτωση που 1 0αminus = και 10ν = Από το βασικό μενού επιλέγουμε

CALCgtPROBABILITY DISTRIBUTIONSgtt Στο πλαίσιο διαλόγου που ανοίγεται

επιλέγουμε το πεδίο INVERSE CUMULATIVE PROBABILITY Στο πεδίο

DEGREES OF FREEDOM εισάγουμε την τιμή 10 και τέλος επιλέγουμε το πεδίο

INPUT CONSTANT όπου εισάγουμε την τιμή 095

Προσδιορισμός ποσοστιαίων σημείων της κατανομής F


με F ν βαθμούς ελευθερίας δηλαδή την τιμή 1 2 1Fν ν αminus για την οποία

( )1 2 1 1P F Fν ν α αminusle = minus 9 στην ειδική περίπτωση που 1 0 5α = 1 9 minus ν = και 2 6ν =

Από το βασικό μενού επιλέγουμε CALCgtPROBABILITY DISTRIBUTIONSgtF Στο


πλαίσιο διαλόγου που ανοίγεται επιλέγουμε το πεδίο INVERSE CUMULATIVE

PROBABILITY Στο πεδίο NUMERATOR DEGREES OF FREEDOM εισάγουμε

την τιμή 9 Στο πεδίο DENOMINATOR DEGREES OF FREEDOM εισάγουμε την

τιμή 6 και τέλος επιλέγουμε το πεδίο INPUT CONSTANT όπου εισάγουμε την τιμή

095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ













636 Κατανομή







Η δεύτερη ενότητα αναφέρεται στις συνεχείς κατανομές και παρουσιάζονται μεταξύ









Για καθεμιά από τις κατανομές αυτές υπάρχει μια σύντομη εισαγωγή ο ορισμός

της και στη συνέχεια παρουσιάζεται η μέση τιμή και η διακύμανσή της Ιδιαίτερη

έμφαση δίνεται στην κανονική κατανομή η οποία είναι η σημαντικότερη και

αποτελεί τη βάση της Στατιστικής Συμπερασματολογίας



Ας θεωρήσουμε τυχαίο πείραμα και το δειγματικό του χώρο S Έστω επίσης ένα

ενδεχόμενο A στον και S Aprime το συμπληρωματικό του Δεδομένου ότι

και τα ενδεχόμενα και

A Aprimecap =empty

A A Sprimecup = A Aprime συνιστούν μία διαμέριση του S Στην

περίπτωση αυτή το ενδεχόμενο ονομάζεται συμβατικά επιτυχία και κατά

συνέπεια το αποτυχία Έστω

A

Aprime p η πιθανότητα της επιτυχίας Η πιθανότητα της

αποτυχίας θα είναι Ένα τυχαίο πείραμα αυτού του τύπου ονομάζεται

δοκιμή Bernoulli (Bernoulli trial)

1q = minus p


επιτυχιών σε μια δοκιμή Bernoulli Έστω p η πιθανότητα της επιτυχίας και

η πιθανότητα της αποτυχίας Η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής

1q p= minus


κατανομή Bernoulli (Bernoulli distribution) με παράμετρο p Συμβολικά ~ ( )X b p






0 0

( ) 1 0 11 1

aF a p a

a


(62)


( )E X = p (63)


(64) ( ) (1 )V X p p= minus







1q = minus p



~ ( )X b n p




( ) ( ) ( )

0 1 1 2 0 1 1


x n n p q p


(65)





n







( )0

0 0

( ) 0

1

an k n kk

k

a

F a p q a n

n a

minus

=


sum (66)


(67) ( )E X np=


(68) ( )V X npq=




n

ii

Y=

=sum X n











Λύση








~ (20 005)X b

i 0 20 0 0 2020 20( 0) (005) (1 005) (005) (095) 035850(20 0) 1 20





x P( X = x )




1 20 1 1 1920 20( 1) (005) (1 005) (005) (095) 037741(20 1) 1 19


2 20 2 2 1820 20( 2) (005) (1 005) (005) (095) 018872(20 2) 2 18


3 20 3 3 1720 20( 3) (005) (1 005) (005) (095) 005963(20 3) 6 17


4 20 4 4 1620 20( 4) (005) (1 005) (005) (095) 001334(20 4) 24 16






x P( X lt= x )











1q = minus p













1

0 1( )

1 1a

aF a




( )E X q= p (611)


( ) 2V X q p= (612)



Λύση













12



( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠









N

r N rminus

n

N (n Nle )





( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus


N (613)





Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ




















0 0

( ) 1 0 11 1

aF a p a

a


(62)


( )E X = p (63)


(64) ( ) (1 )V X p p= minus







1q = minus p



~ ( )X b n p




( ) ( ) ( )

0 1 1 2 0 1 1


x n n p q p


(65)





n







( )0

0 0

( ) 0

1

an k n kk

k

a

F a p q a n

n a

minus

=


sum (66)


(67) ( )E X np=


(68) ( )V X npq=




n

ii

Y=

=sum X n











Λύση








~ (20 005)X b

i 0 20 0 0 2020 20( 0) (005) (1 005) (005) (095) 035850(20 0) 1 20





x P( X = x )




1 20 1 1 1920 20( 1) (005) (1 005) (005) (095) 037741(20 1) 1 19


2 20 2 2 1820 20( 2) (005) (1 005) (005) (095) 018872(20 2) 2 18


3 20 3 3 1720 20( 3) (005) (1 005) (005) (095) 005963(20 3) 6 17


4 20 4 4 1620 20( 4) (005) (1 005) (005) (095) 001334(20 4) 24 16






x P( X lt= x )











1q = minus p













1

0 1( )

1 1a

aF a




( )E X q= p (611)


( ) 2V X q p= (612)



Λύση













12



( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠









N

r N rminus

n

N (n Nle )





( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus


N (613)





Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ




















( )0

0 0

( ) 0

1

an k n kk

k

a

F a p q a n

n a

minus

=


sum (66)


(67) ( )E X np=


(68) ( )V X npq=




n

ii

Y=

=sum X n











Λύση








~ (20 005)X b

i 0 20 0 0 2020 20( 0) (005) (1 005) (005) (095) 035850(20 0) 1 20





x P( X = x )




1 20 1 1 1920 20( 1) (005) (1 005) (005) (095) 037741(20 1) 1 19


2 20 2 2 1820 20( 2) (005) (1 005) (005) (095) 018872(20 2) 2 18


3 20 3 3 1720 20( 3) (005) (1 005) (005) (095) 005963(20 3) 6 17


4 20 4 4 1620 20( 4) (005) (1 005) (005) (095) 001334(20 4) 24 16






x P( X lt= x )











1q = minus p













1

0 1( )

1 1a

aF a




( )E X q= p (611)


( ) 2V X q p= (612)



Λύση













12



( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠









N

r N rminus

n

N (n Nle )





( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus


N (613)





Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ


















~ (20 005)X b

i 0 20 0 0 2020 20( 0) (005) (1 005) (005) (095) 035850(20 0) 1 20





x P( X = x )




1 20 1 1 1920 20( 1) (005) (1 005) (005) (095) 037741(20 1) 1 19


2 20 2 2 1820 20( 2) (005) (1 005) (005) (095) 018872(20 2) 2 18


3 20 3 3 1720 20( 3) (005) (1 005) (005) (095) 005963(20 3) 6 17


4 20 4 4 1620 20( 4) (005) (1 005) (005) (095) 001334(20 4) 24 16






x P( X lt= x )











1q = minus p













1

0 1( )

1 1a

aF a




( )E X q= p (611)


( ) 2V X q p= (612)



Λύση













12



( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠









N

r N rminus

n

N (n Nle )





( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus


N (613)





Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ























1q = minus p













1

0 1( )

1 1a

aF a




( )E X q= p (611)


( ) 2V X q p= (612)



Λύση













12



( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠









N

r N rminus

n

N (n Nle )





( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus


N (613)





Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
























12



( )21 1 12

2 2 8P X ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠









N

r N rminus

n

N (n Nle )





( ) ( )

1 2 1 2 0 1 2 max(0 ) min( )

r N rx n x

P x P X xNn

n N rx n r N r n

minus⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == + minus


N (613)





Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ



















Ορισμό 64


( ) rE X nN

⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (614)


( )1

r N r N nV X nN N N





N

p r N= οπότε



( ) E X np=

( ) 1






N nNminus⎛ ⎞

⎜ ⎟minus⎝ ⎠





Λύση








( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ



















( )

80 120 80 80 40 80 402 5 2 2 3 2 78 3 372

120120 12051155 5

7980 3839 401 2 1 23 0164

116117 1181191201 23 45

P X

minus⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟minus⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =




συνθήκες


συμβεί













( ) ( ) 0 1 2

xeP x P X x xx

λλ λminus

= = = = gthellip 0 (616)






( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ




















( )E X λ= (617)


( )V X λ= (618)












Λύση





eP Xminus

= = =



x P( X = x ) 4 0168031




( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

















( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P Xle = = + = + =

Όμως 3 0

3 1

3 2

3( 0) 0049803( 1) 01494

13( 2) 02240

2

eP X

eP X

eP X

minus

minus

minus

= = =

= = =

= = =





x P( X lt= x )









Όμως 6 06( 0) 000250

eP Xminus

= = =

6 16( 1) 001491

eP Xminus

= = =

6 26( 2) 004462

eP Xminus

= = =

Επομένως


= 09380









1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ























1 [ ]

( )0 [

xf x

x ]

α ββ α

α β


(619)













0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















0

( )

1

xxF x x

x

αα α β

β αβ


lt (620)


( )2

E X α β+= (621)


( )2( )

12V X β αminus

= (622)







P X⎛ ⎞lt⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση



2(12




α β+= και

2( ) 412 3



2( ) 1β αminus = 6


24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















24


και 24

α ββ α

+ =minus = minus



)3






με

[ ]1 3

1 3

11

1 1 1 1 13 4 4 12 4

P X dx xminus

minus

⎛ ⎞lt = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠ int

13

















( )21

21 ( ) 2

x



σ μ σσ π

0infin gt (623)








( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





















( )E X μ= (624)


( ) 2V X σ= (625)








(623)




=










2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
























2

12

12

1( ) ( )2

1 2

xa

x

F a P X a e dx

e dx

μσ

μασ

σ π

ασ π


minusinfin


minusinfin

= le =

= minusinfin

int

int lt lt +infin

)

(626)






( ) ( )

( ) ( )

P X f x dx

F F

β

α

α β

β α

lt le =

= minus

int (627)




Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ


















Σχήμα 64





μεταβλητή

XZ μσminus

=





2 1σ =



21

21( ) 2

zf z e z

π



( ) ( )21

21 2

z tz P Z z e dt z

π

minus

minusinfin





3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ


















3210-1-2-3 z

f(z)f(x)


( ) 0E Z = και ( ) 1V Z =












(~ 01Z N )



XZ μσminus

=



( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















( ) ( )

XF P X P

P Z


minus⎛ ⎞= le⎜ ⎟⎝ ⎠

minus⎛ ⎞= Φ⎜ ⎟⎝ ⎠

μ α μα ασ σ

α μσ

α μσ

(630)


( ) ( ) ( )



α β β α

⎞⎟⎠

β μ ασ σ

μ

)

(631)















i ( 2) P Z gt


Λύση





ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















ii














Λύση




( 1004) 1 ( 1004)P X P Xgt = minus le

1004 99951 (6


σ


)

1 (075= minusΦ

1 07734 02266= minus =




x P( X lt= x )

1004 0773373




998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

















998 9995 1001 9995(998 1001) ( )6 6

( 0 25) ( 025)(025) ( 025)

05987 04013 01974

XP X P

P Z P Z



μσ






x P( X lt= x )

1001 0598706



x P( X lt= x )

998 0401294

rArr P(X lt 1001) - P( X lt 998) = 0598706 - 0401294







( 989) ( 1010)X Xκαιlt gt

( 989) ( 1010)P X P Xlt + gt

Όμως


989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















989 9995( 989) ( 175) ( 175) 004016


⎝ ⎠

και

( 1010) 1 ( 1010)1010 9995 1

6 1 ( 175)

1 (175) 1 09599 00401

P X P XXP

P Z

μσ

gt = minus le =









( )1 0

0 0

xe xf x

x

θ θθ


0











0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





















0 0( )

1 0a

aF a



(633)


( )E X θ= (634)


2( )V X θ= (635)










Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















Λύση











180 360 05

( 180) (180)1 1 1 06065 03935

P X Fe eminus minus

le =





x P( X lt= x )




( )720 360 180 360

2 05

(180 720) (720) (180)

1 1

1 1 1 01353 1 06065 04712

P X F F

e e

e e

minus minus

minus minus

le le = minus

= minus minus minus




( ) ( )720 360 2 2

( 720) 1 (720)

1 1 1 1 01353

P X F


gt = minus








( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





















( ) 1

0

yy e dyαα+infin





bull (1) 1Γ =

bull 12

π⎛ ⎞Γ =⎜ ⎟⎝ ⎠




1 1 0 0( )( )

0 0

xx e xf x

x

α βα α β

β αminus minus⎧


(637)










( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















( ) E X αβ= (638)


2( )V X αβ= (639)











( ) ( ) ( ) ( )( )

111

0








( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















( ) ( ) 11 1 0 1 ( )

0 0 ή 1

x x xf x

x x


βα α βα β

0gt (641)







( ) E X αα β

=+

(642)


2( ) ( ) ( 1

V X)

αβα β α β

=+ + +

(643)












κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





















κατανομής







( ) 2 V X ν= (645)

















2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ




























2

nν ν νχ + + +




21χ

2χ



σminus⎛= ⎜


1χ





n

( )01N 2 21 2 nY X X X= + + + 2

2nχ



n

( )2N μ σ


1

ni

i

XY μσ=



nχ









210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ




















210 095χ

( )2 210 095 095P χ χle =




P( X lt= x ) x




ZXY ν



Y









(646) ( ) 0E X =


( ) 2

V X =minus

2gtν ν

ν (647)




t



ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

















ν rarrinfin


tν











t

t

t










P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ


















P( X lt= x ) x




σχέση



8 0025t

8 0025 8 0975 23060t t= minus = minus



2νχ

και 2


2

UXV

νν



κατανομής






( ) 2

2 2E X

νν

=minus

(649)


( ) ( )( ) ( )

22 1 2

21 2 2

2 2

2 4V X

ν ν ν

ν ν ν

+ minus=

minus minus (650)











F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

























F









P( X lt= x ) x





σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ


















σχέση

F

1 2 2 1ν ν α ν ν 1 αF 1 F minus= (651)


870025 7809751 1 4529 0221F F= = =

ΣΥΝΟΨΗ
































θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ























θεωρίας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ





















αυτών







Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





















Άσκηση 63













ωρών













Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















Άσκηση 64









Άσκηση 65














Άσκηση 66















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





















Άσκηση 67



απόκλιση 12





Άσκηση 68













Άσκηση 69






Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















Άσκηση 610







κατανομής















005p =

~ (20 005)X b









~ (20 005)X b











κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
























κατανομής






2 6σ = 2

2~ (9995 6 )X N































τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ





























τιμή 095




95

minus
















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ




















095


61 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
















Chapter 6

Documents

Transcript of Chapter 6