Chapitre III- 4- 2- Montage pour les associations...

1° STI Electronique ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr sur 9 Chapitre III-4- "Régime sinusoïdal-Association de dipôles"

Chapitre III- 4- RÉGIME SINUSOÏDAL

ASSOCIATION DE DIPÔLES OBJECTIFS Il s'agit d'étudier la relation courant-tension ( impédance Z = [ Z ; ϕ ] ) dans des associations de dipôles linéaires élémentaires (résistances , inductances et condensateurs).

Association série ( "RL série", "RC série" et "RLC série" ). Association parallèle ( "RL parallèle", "RC parallèle" et "RLC parallèle" ).

Dans le cas d'une association "RLC", la phénomène de résonance sera mis en évidence et interprété. I- GÉNÉRALITÉS 1- Montage pour les associations "série"

Mesure des valeurs efficaces U et I

Un voltmètre "AC" branché aux bornes du dipôle donnera U. Un voltmètre "AC" branché aux bornes de la résistance r donnera Ur = rI et il suffira de faire I = Ur / r.

Mesure du déphasage ϕ ( retard de i par rapport à u )

La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension ur qui est proportionnelle à i. La voie Y1 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est très proche de la tension u car ur est négligeable devant u. ⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement ( u → Y1 et i → Y2 ).

2- Montage pour les associations "parallèle"

Mesure des valeurs efficaces U et I

Un voltmètre "AC" branché aux bornes du dipôle donnera U. Un voltmètre "AC" branché aux bornes du GBF donnera la tension UGBF directement proportionnelle au courant I ( 1V → 1mA ).

Mesure du déphasage ϕ ( retard de i par rapport à u )

La voie Y1 de l'oscilloscope visualise directement la tension u. La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est proportionnelle à i. ⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement ( u → Y1 et i → Y2 ).

II- CIRCUIT "RL SÉRIE" 1- Montage Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec une inductance : 2- Essai à basse fréquence Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence. On mesure une tension UR proche de U et une tension UL petite devant U. L'oscillogramme est donné à la page suivante :

u

Ri

uR uL

L

uGBF Dipôle u

i

Y1

Y2

GBF

Source de courant commandée par une tension ( i proportionnel à uGBF : 1mA → 1V )

uGBF

Dipôle

r

u ≈ uGBF

i Y1

Y2GBF

ur << u


u

ur

u

ur

On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur ( i est en retard par rapport à u ). Le courant I est proche de la valeur U / R. ⇒ L'inductance semble avoir une action

négligeable à cette fréquence. 3- Essai à haute fréquence Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence. On mesure une tension UL proche de U et une tension UR petite devant U. L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On constate un déphasage ϕ positif et proche de π / 2 ( i est en retard par rapport à u ). Le courant I est proche de la valeur ωL

U .

⇒ La résistance semble avoir une action

négligeable à cette fréquence. 4- Interprétation

Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne LR UUU += avec :

RU colinéaire à I car uR et i sont "en phase".

LU en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.

La longueur des vecteurs donne UR = RI et UL = LωI. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 2

L2R

2 UUU +=

⇒ ( ) ( ) ( )222RLsérie ILRIIZ ω+=

⇒ ( )222RLsérie LRZ ω+=

⇒ ( )22RLsérie LRZ ω+= .

On a aussi ( )RLtan 1

RLsérieω=ϕ − .

En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne RZRLsérie ≈ et ϕRLsérie ≈ 0. En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne ω≈ LZRLsérie et ϕRLsérie ≈ +π/2.

Impédance complexe

Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série : ⇒ [ ]RLsérieRLsérieLRRLsérie ;ZjLRZZZ ϕ=ω+=+=

avec ( )22RLsérie LRZ ω+= et ( )R

Ltan 1RLsérie

ω=ϕ − .

En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne RZRLsérie ≈ . En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne ω≈ jLZRLsérie .

III- CIRCUIT "RC SÉRIE" 1- Montage Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec un condensateur : 2- Essai à basse fréquence Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence. On mesure une tension UC proche de U et une tension UR petite devant U. L'oscillogramme est donné à la page suivante :

0

ϕ

U

I x

UL

UR

u

Ri

uR uC

C


u

ur

uur

On constate un déphasage ϕ négatif et proche de –π/2 ( i est en avance par rapport à u ). Le courant I est proche de la valeur UCω . ⇒ La résistance semble avoir une action

négligeable à cette fréquence. 3- Essai à haute fréquence Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence. On mesure une tension UR proche de U et une tension UC petite devant U. L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur ( i est en avance par rapport à u ). Le courant I est proche de la valeur R

U .

⇒ Le condensateur semble avoir une action


Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne CR UUU += avec :


CU en retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC .

La longueur des vecteurs donne UR = RI et IC1UC ω= .

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 2C

2R

2 UUU +=

⇒ ( ) ( ) ( )222RCsérie IC

1RIIZ ω+=

⇒ ( )222RCsérie C

1RZ ω+=

⇒ ( )22RCsérie C

1RZ ω+= .

On a aussi ( )ω−=ϕ −

RC1tan 1

RCsérie .

En basse fréquence, on a R << ωC

1 ce qui donne ω≈ C1ZRCsérie et ϕRCsérie ≈ -π/2.

En haute fréquence, on a ωC1 << R ce qui donne RZRCsérie ≈ et ϕRCsérie ≈ 0.

Impédance complexe

Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série : ⇒ [ ]RCsérieRCsérieCRRCsérie ;ZC

1jRZZZ ϕ=ω−=+=

avec ( )22RCsérie C

1RZ ω+= et ( )ω−=ϕ −RC

1tan 1RCsérie .

En basse fréquence, on a R << ωC

1 ce qui donne ω−≈ C1jZRCsérie .

En haute fréquence, on a ωC1 << R ce qui donne RZRCsérie ≈ .

IV- CIRCUIT "RLC SÉRIE" 1- Montage Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec une inductance et en série avec un condensateur :

0 ϕ

U

I x

UC

UR

u

Ri

uR uL

L

uC

C


u

ur

uur

u

ur

2- Essai à basse fréquence Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence. On mesure une tension UC supérieure à UL . L'oscillogramme est représenté ci-contre : On constate un déphasage ϕ négatif ( i est en avance par rapport à u ). ⇒ Le condensateur semble avoir une action

prépondérante face à l'inductance. 3- Essai à haute fréquence Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence. On mesure une tension UL supérieure à UC . L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On constate un déphasage ϕ positif ( i est en retard par rapport à u ). ⇒ L'inductance semble avoir une action

prépondérante face au condensateur. 4- Essai à la fréquence telle que ϕ=0 ( résonance ) Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de fréquence telle que ϕ = 0. On mesure une tension UL égale à UC et on constate que le courant I est maximum par rapports aux autres fréquences. L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0.

5- Interprétation

Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne CLR UUUU ++= avec :


LU en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.

CU en retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC .

Basse fréquence Haute fréquence UC étant supérieur à UL, le vecteur U se situe "du côté" de CU avec un déphasage négatif.

UL étant supérieur à UC, le vecteur U se situe "du côté" de LU avec un déphasage positif.

Fréquence de résonance ( ϕ = 0 ) UC étant égal à UL, le vecteur U se retrouve colinéaire au vecteur I ( ϕ = 0 )

0

ϕ > 0

U

I x

UC

UR

UL

UC

UL UC

0

ϕ < 0

U

I x

UC

UR

UL

UL

UL UC

0 ϕ = 0 U I x

UC

UR UL


uuGBF

u GBF est proportionnel à i (1V : 1m A)

La longueur des vecteurs donne UR = RI ; UL = LωI et IC

1UC ω= .

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : ( )2CL2R

2 UUUU −+=

⇒ ( ) ( ) ( )222RLCsérie IC

1ILRIIZ ω−ω+=

⇒ ( )222RLCsérie C

1LRZ ω−ω+=

⇒ ( )22RLCsérie C

1LRZ ω−ω+= .

On a aussi

ω−ω

=ϕ −R

C1L

tan 1RLCsérie .

En basse fréquence, on a Lω << ωC

1 ce qui donne RCsérieRLCsérie ZZ ≈ et ϕRLCsérie < 0 .

En haute fréquence, on a ωC1 << Lω ce qui donne RLsérieRLCsérie ZZ ≈ et ϕRLCsérie > 0.

A la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a ω=ω C1L ce qui donne ZRLCsérie = R.

On a aussi : 1LC 20 =ω ⇒

LC1

0 =ω ou LC2

1f0 π=

Impédance complexe

Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série : ⇒ ( ) [ ]RCsérieRCsérieCLRRCsérie ;ZC

1LjRZZZZ ϕ=ω−ω+=++=

avec ( )22RCsérie C

1LRZ ω−ω+= et

ω−ω

=ϕ −R

C1L

tan 1RCsérie .

En basse fréquence, on a Lω << ωC

1 ce qui donne ω−≈ C1jRZRLCsérie .

En haute fréquence, on a ωC1 << Lω ce qui donne ω+≈ jLRZRLCsérie .

A la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a 0

0 C1L ω=ω ce qui donne ZRLCsérie = R.

6- Etude particulière de la résonance

Expérience On alimente un circuit RLC série avec une tension sinusoïdale de tension efficace 5V et de fréquence f0 telle que ϕ = 0 ( résonance ). On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, une tension efficace de 12V. ⇒ Il y a donc une surtension aux bornes de la bobine et aux bornes du

condensateur à la résonance.

Interprétation

A la fréquence f0, l'impédance du circuit est minimale et égale à R; le courant est donc maximal ( on dit qu'il y a résonance en courant ). L'intensité du courant à la résonance est donc R

UI0 = et la tension aux bornes du

condensateur est 0

00

C RCUIC

1U ω=ω= ( avec ω0 = 2πf0 ).

Le rapport entre la tension UC et la tension U est donc ω= RC1

UUC et ce rapport peut

être supérieur à 1 d'où le phénomène de surtension lié au phénomène de surintensité.

On définit le coefficient de surtension à la résonance RL

RC1Q 0

00

ω=ω= .

V- CIRCUIT "RL PARALLÈLE" 1- Montage Le dipôle est constitué d'une résistance en parallèle avec une inductance : 2- Essai à basse fréquence Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de basse fréquence. On mesure un courant IL proche de I et un courant IR petit devant I. L'oscillogramme est indiqué ci-contre :

u

R

iiR

iL L


u

uGBF


On constate un déphasage ϕ positif et proche de π / 2 ( i est en retard par rapport à u ). La tension U est proche de la valeur Lω.I . ⇒ La résistance semble avoir une action négligeable à cette fréquence. 3- Essai à haute fréquence Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence. On mesure un courant IR proche de I et un courant IL petit devant I. L'oscillogramme est donné à la page suivante : On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur ( i est en retard par rapport à u ). La tension U est proche de la valeur R.I . ⇒ L'inductance semble avoir une action


Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne LR III += avec :

RI colinéaire à U car iR et u sont "en phase".

LI en retard de π/2 par rapport à U car iL est en "quadrature retard" sur u.

La longueur des vecteurs donne RUIR = et UL

1IL ω= .

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 2L

2R

2 III +=

⇒ ( ) ( ) ( )222RLparall UL

1UR1UY ω+=

⇒ ( ) ( )222RLparall L

1R1Y ω+=

⇒ ( ) ( )22RLparall L

1R1Y ω+= .

On a aussi ( )ω=ϕ −

LRtan 1

RLparall .

En basse fréquence, on a R

1 << ωL1 ce qui donne ω≈ L

1YRLparall soit ω≈ LZRLparall

et ϕRLparall ≈ +π/2. En haute fréquence, on a ωL

1 << R1 ce qui donne R

1YRLparall ≈ soit RZRLparall ≈ et

ϕRLparall ≈ 0.

Admittance complexe

Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle : ⇒ [ ]RLparallRLparallLRRLparall ;YL

1jR1YYY ϕ−=ω−=+=

avec ( ) ( )22RLparall L

1R1Y ω+= et ( )ω=ϕ −

LRtan 1

RLparall .

En basse fréquence, on a R

1 << ωL1 ce qui donne ω−≈ L

1jYRLparall soit

ω≈ jLZRLparall .

En haute fréquence, on a ωL1 << R

1 ce qui donne R1YRLparall ≈ soit RZRLparall ≈ .

VI- CIRCUIT "RC PARALLÈLE" Le dipôle est constitué d'une résistance en parallèle avec un condensateur :

0 ϕ

I

U x

IL

IR

u

R

iiR

IC C


u

uGBF


u

uGBF


2- Essai à basse fréquence Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de basse fréquence. On mesure un courant IR proche de I et un courant IC petit devant I. L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur ( i est en avance par rapport à u ). La tension U est proche de la valeur R.I . ⇒ Le condensateur semble avoir une action

négligeable à cette fréquence. 3- Essai à haute fréquence Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence. On mesure un courant IC proche de I et un courant IR petit devant I. On constate un déphasage ϕ négatif et proche de –π/2 ( i est en avance par rapport à u ). La tension U est proche de la valeur IC

1ω .

⇒ La résistance semble avoir une action


Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne CR III += avec :


CI en avance de π/2 par rapport à U car iC est en "quadrature avance" sur u.

La longueur des vecteurs donne RUIR = et UCIC ω= .

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : 2C

2R

2 III +=

⇒ ( ) ( ) ( )222RCparall UCUR

1UY ω+=

⇒ ( ) ( )222RCparall CR

1Y ω+=

⇒ ( ) ( )22RCparall CR

1Y ω+= .

On a aussi ( )ω−=ϕ − RCtan 1

RCparall . En basse fréquence, on a Cω << R

1 ce qui donne R1YRCparall ≈ soit RZRCparall ≈ et

ϕRCparall ≈ 0. En haute fréquence, on a R

1 << Cω ce qui donne ω≈ CYRCparall soit ω≈ C1ZRCparall et

ϕRCparall ≈ -π/2.

Admittance complexe

Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle : ⇒ [ ]RCparallRCparallCRRCparall ;YjCR

1YYY ϕ−=ω+=+=

avec ( ) ( )22RCparall CR

1Y ω+= et ( )ω−=ϕ − RCtan 1RCparall .

En basse fréquence, on a Cω << R

1 ce qui donne R1YRCparall ≈ soit RZRCparall ≈ .

En haute fréquence, on a R1 << Cω ce qui donne ω≈ jCYRCparall soit

ω−≈ C1jZRCparall et ϕRCparall ≈ -π/2.

0

ϕ < 0

I

U x

IC

IR


u

uGBF


u

uGBF


uuGBF


IV- CIRCUIT "RLC PARALLÈLE" 1- Montage Le dipôle est constitué de l'association en parallèle d'une résistance d'une inductance et d'un condensateur : 2- Essai à basse fréquence Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de faible fréquence. On mesure un courant IL supérieur à IC . L'oscillogramme est représenté ci-contre : On constate un déphasage ϕ positif ( i est en retard par rapport à u ). ⇒ L'inductance semble avoir une action

prépondérante face au condensateur. 3- Essai à haute fréquence Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence. On mesure une tension IC supérieur à IL . L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On constate un déphasage ϕ négatif ( i est en avance par rapport à u ). ⇒ Le condensateur semble avoir une action

prépondérante face à l'inductance. 4- Essai à la fréquence telle que ϕ=0 ( résonance ) Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de fréquence telle que ϕ = 0. On mesure un courant IL égale à IC et on constate que la tension U est maximale par rapports aux autres fréquences.

L'oscillogramme est indiqué ci-contre : On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0. 5- Interprétation

Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne CLR IIII ++= avec :


LI en retard de π/2 par rapport à U car iL est en "quadrature retard" sur u.

CI en avance de π/2 par rapport à U car iC est en "quadrature avance" sur u.

Basse fréquence Haute fréquence IL étant supérieur à IC, le vecteur I se situe "du côté" de LI avec un déphasage positif.

IC étant supérieur à IL, le vecteur I se situe "du côté" de CI avec un déphasage négatif.

u

R

i

iR

iL L

iC C

0

ϕ < 0

I

U x

IL

IR

IC

IC

IL IC

0

ϕ > 0

I

U x

IL

IR

IC

IL

IC IL


Fréquence de résonance ( ϕ = 0 )

IC étant égal à IL, le vecteur I se retrouve colinéaire au vecteur U ( ϕ = 0 )

La longueur des vecteurs donne UR

1IR = ; UL1IL ω= et IC = CωI .

En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : ( )2CL2R

2 IIII −+=

⇒ ( ) ( ) ( )222RLCparall ICIL

1IR1IY ω−ω+=

⇒ ( ) ( )222RLCparall CL

1R1Y ω−ω+=

⇒ ( ) ( )22RLCparall CL

1R1Y ω−ω+= .

On a aussi

ω−ω=ϕ −R/1CL

1tan 1

RLCparall .

En basse fréquence, on a ωL

1 >> Cω ce qui donne RLparallRLCparall YY ≈ et ϕRLCparall > 0.

En haute fréquence, on a Cω >> ωL1 ce qui donne RCparallRLCparall YY ≈ et ϕRLCparall < 0.

A la fréquence telle que ϕRLCparall = 0, on a ω=ω LC1 ce qui donne R

1YRLCparall = .

On a aussi : 1LC 20 =ω ⇒

LC1

0 =ω ou LC2

1f0 π=

Admittance complexe

Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle : ⇒ ( ) [ ]RLCparallRLCparallCLRLRCparall ;YL

1CjR1YYYY ϕ−=ω−ω+=++=

avec ( ) ( )22RLCparall L

1CR1Y ω−ω+= et

ω−ω

−=ϕ −R/1L1C

tan 1RLCparall .

En basse fréquence, on a ωL

1 >> Cω ce qui donne ω−≈ L1jR

1YRLCparall .

En haute fréquence, on a Cω >> ωL1 ce qui donne ω+≈ jCR

1YRLCparall .

A la fréquence telle que ϕRLCparall = 0, on a ω=ω LC1 ce qui donne R

1YRLCparall = .

6- Etude particulière de la résonance

Expérience On alimente un circuit RLC parallèle avec un courant sinusoïdal d'intensité efficace 10mA et de fréquence f0 telle que ϕ = 0 ( résonance ). On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, un courant efficace de 50mA. ⇒ Il y a donc une surintensité dans la bobine et dans le condensateur à la

résonance.

Interprétation

A la fréquence f0, l'admittance du circuit est minimale et égale à R1 ; la tension est donc

maximale ( on dit qu'il y a résonance en tension ). La tension à la résonance est donc U0 = RI et le courant dans le condensateur est

RICUCI 000C ω=ω= ( avec ω0 = 2πf0 ).

Le rapport entre le courant IC et le courant I est donc 0C RCI

Iω= et ce rapport peut être

supérieur à 1 d'où le phénomène de surintensité lié au phénomène de surtension. On définit le coefficient de surintensité à la résonance

000 L

RRCQ ω=ω= .

0 ϕ = 0 I U x

IL

IR IC

Chapitre III- 4- 2- Montage pour les associations...

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