IONIO ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΩΝ ΗΧΟΥ & ΕΙΚΟΝΑΣ

Εργασία Μαθήματος: Αλγοριθμική Δόμηση του Ήχου

Χάος στη μουσική

Τρυφωνίδης Ευγένιος Α.Μ ΤΧ 200670

Κέρκυρα 2011

Περιεχόμενα

Πρόλογος σελ 3

Περίληψη σελ 3

Εισαγωγή σελ 3

Strange attractors σελ 4

Fractals σελ 4

Lindenmayer Systems σελ 5

Κλασματικός Θόρυβος (Fractional Noice)ή Fractal noise σελ 7

Χαοτικά συτήματα σελ 7

Lindernmayer στην Αλγοριθμική Σύνθεση σελ 8

Παρτιτούρες μέσα από διάφορα συστήματα Lindenmayer σελ 9

Επίλογος σελ

Βιβλιογραφία σελ

Πρόλογος

Η θεωρία του χάους έγινε ευρέος γνωστή την δεκαετία του '80 με τις έρευνες των Edwand N. Lorenz και Benoit Mandelbrot το λεγόμενο το φαινόμενο της πεταλούδας. Μία κίνηση των φτερών μιας πεταλούδας προκαλεί μια ελάχιστη ανατάραξη η οποία μπορεί, σύμφωνα με την καθοριστική (deterministic) του χάους, να παράγει τεράστιες μετεωρολογικές αλλαγές σε πολύ μακρινή απόσταση. Η όρος χάος είναι ελληνική λέξη και στην κυριολεξία της σημαίνει χώρος, διάστημα, τόπος ή άβυσσος. Στην εποχή μας ο όρος δίνετε για να δηλώσει αταξία, διαταραχή. Στα μαθηματικά και στην φυσική ένα σύστημα που είναι δύσκολο να οριστεί το ονομάζουμε “χαοτικό”. Επίσης ο όρος δίνετε για συστήματα που δεν είναι γραμμικά (Nierhaus, 2009)

Περίληψη

Στην παρούσα εργασία θα εξετάσουμε συστήματα που δεν είναι γραμμικά. Και που οι ερευνητές τα ονομάζουν χαοτικά. Θα δούμε τα κοινά χαρακτηριστικά τους όπως η αυτό-ομοιότητα δηλαδή η επανάληψη μέρος της αναπαράστασης τους. Η εργασία βασίζετε σε δύο διακεκριμένους ερευνητές τον Mandelbrot και τον Lindenmayer, που ανέπτυξαν χαοτικές ακολουθίες που του πρώτου ονομάστηκαν fractals και του δεύτερου συστήματα L. Ένα σύστημα μπορεί εύκολα να βρεθεί σε αστάθεια και να παράγει χαοτική απόκριση. Λέγοντας όμως χαοτική δεν είναι απαραίτητα τυχαία τα αποτελέσματα ούτε μη προβλέψιμα, εξελίσσονται όμως στο χρόνο και στον χώρο σύμφωνα πάντα με τα στάνταρ χαρακτηριστικά τους. Ερευνητές όπως ο DuBois χρησιμοποίησαν αυτά τα συστήματα για να τα μετατρέψουν σε νότες ή ήχους με την βοήθεια πινάκων που οι ίδιοι επινόησαν, μετατρέποντας τις μεταβλητές των εξισώσεων σε νότες.

Εισαγωγή Απροσδιόριστες χαοτικές συμπεριφορές συστημάτων έχουν βρεθεί από το 1837 από τον Pierre-Francois Verhulst από την έρευνα του σε λογιστικές εξισώσεις. Πάραδειγμα είναι η εξίσωση Xn + 1 = rXn(1-Xn). Αυτή η εξίσωση αναπαριστά ένα απλό μοντέλο οικοσυστήματος του οποίου η ανάπτυξη εξαρτάται και από μια επαναλαμβανόμενη διαδικασία. Αλλά το καλύτερο παράδειγμα συμπεριφοράς ενός πολύπλοκου συστήματός έρχεται από τον Lorenz το 1963 που ανέπτυξε ένα σύστημα από τρεις διαφορετικές εξισώσεις για την απλοποίηση μοντέλου ατμοσφαιρικής πίεσης. Μικρές αλλαγές στις μεταβλητές του συστήματος οδηγούν σε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα. Η υψηλή αυτή ευαισθησία του συστήματος ονομάζετε “ deterministic chaotic systems” (Nierhaus, 2009).

3

Ανάλυση

Strange Attractors Attractor είναι ένα σετ όπου τα δυναμικά συστήματα εξελίσσονται στο χρόνο. Γεωμετρικά attractor μπορεί να είναι ένα σημείο ή μια καμπύλη ή ακόμη και ένα σετ fractal γνωστό με το όνομα strange attractor (άτρακτος). Έτσι μια άτρακτος περιγράφεται σαν παράξενη άτρακτος εάν δεν έχει ακέραια διάσταση. Παράδειγμα μπορεί να είναι ένας κύκλος όπου το αποτέλεσμα στον χώρο είναι μια ακολουθία από τιμές όπου μεταβάλλονται περιοδικά. Αυτού του είδους άτρακτοι έχουν κοινό πως έχουν ακέραιες διαστάσεις. Παράδειγμα strange attractor είναι ο Henon attractor, o Rossley attractor και ο Lorenz attractor. Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε τον Lorenz attractor που σχηματίζει μια πεταλούδα (Nierhaus, 2009).

Fractals

Τα fractals είναι γεωμετρικά σχήματα όπου έχουν σε μεγάλο βαθμό ομοιότητα με μέρος του εαυτού τους, όρος γνωστός και ώς κλίμακα αναλλοίωτου (scale invariance). Δομές Fractal μπορούμε να βρούμε σε διαδικασίες όπως κρυσταλλοποίηση, στην ανάπτυξη φυτών. Ο όρος δόθηκε για πρώτη φορά από τον Benoit Mandelbrot που έχει ρίζα το λατινικό fractus που παραπέμπει στο ρήμα frangere που σημαίνει σπάζω. Το σετ του Cantor είναι κοντινό υποκατάστατο πραγματικών αριθμών και στην γραφική του αναπαράσταση είναι ένα fractal με απλή δομή. Διαγράφοντας το μεσαίο 1/3 του πρώτου στοιχείου έχουμε το δεύτερο και με τον ίδιο τρόπο σε κάθε βήμα έχουμε μια καινούργια γραμμή. (Nierhaus, 2009)

Cantor set

Ένα άλλο παράδειγμα fractal είναι οι καμπύλες νιφάδων χιονιού (snowflake curve) που αναπτύχθηκε από τον Σουηδό μαθηματικό Helge von Koch το 1906.Κοινό στοιχείο σε όλα τα fractals είναι η διάσπαση των διαστάσεων τους. Στα μαθηματικά ο όρος διάσταση παραπέμπει γενικά στο βαθμό της ελευθερίας της κίνησης στο χώρο. Έτσι στο δισδιάστατο άξονα, μια γραμμή είναι μιας διάστασης. (Neirhaus, 2009) Ο Mandelbrot ανέπτυξε ένα σετ που ονομάστηκε μετά από αυτών “Άνθρωπος μήλο” (Apple Man), που βασίζετε στις πιθανότητες να κατηγοριοποιήσει το σετ του Γάλλου μαθηματικού G.M Julia που περιέχει υποομάδες από μιγαδικούς αριθμούς (compex numbers, αριθμοί με πραγματική και φανταστική τιμή τις τάξης a+bi με ι = −1 ). Ο γενικός τύπος είναι : με z0= 0 και c ο μιγαδικός αριθμός.

zn1=z n2c

Αυτό το σετ είναι μια δυναμική πράξη που βασίζεται επανάληψη του μιγαδικού αριθμού. Για κάθε θέση ή αριθμό, καθορίζεται μια τιμή για συγκεκριμένο αριθμό επαναλήψεων.

Lindenmayer Systems

Τα συστήματα αυτά που είναι γνωστά και ως L-systems αναπτύχθηκαν από τον βοτανολόγο Aristid Lidenmayer που έφτιαξε μια τυπική γλώσσα για να αναπαραστήσει την ανάπτυξη των φυκιών το 1968. Το 1974 η Paulien Hogeweg και ο Ben Hesper διεύρυναν αυτό το σύστημα με το να παρουσιάσουν μια γραφική αναπαράσταση του. Στις αρχές του 1984, τα L-systems χρησιμοποιήθηκαν από τον Alvy Ray Smith για να αναπαραστήσουν την ανάπτυξη των φυτών. (Nirehaus, 2009) Παρόμοια με το grammars του Chomsky στην ιεραρχία τα L-systems βασίζονται σε κανόνες επανεγγραφής. Βασίζεται σε ένα αρχικό στοιχείο, που με παραγωγικούς κανόνες βρίσκει κάθε φορά πια έξοδος αναπαρίσταται γραφικά. Σύμφωνα με αυτά τα L-systems συμβαδίζουν με τους κανόνες της αυτό-ομοιότητας στη δομή τους, και αντιπροσωπεύονται από την τριπλέτα (ν,ω,Ρ).Όπου ν όλους τους αριθμούς εκτός το 0. ω το αξίωμα ή εμπνευστής που ανήκει μέσα στο ν, Ρ σετ πεπερασμένων ή γεννητριών. (Nierhaus, 2009, 150)

Παράδειγμα η καμπύλη του Koch από ένα DOL- σύστημα με γωνία φ= 60 μοίρες αξίωμα F και βήμα P: F -> F + F - - F + F , όπου + τότε σημαίνει + φ και όπου - . -φ.

6

Κλασματικός Θόρυβος (Fractional Noice)ή Fractal noise O όρος επινοήθηκε από τον Mandelbrot και τον μαθηματικό John W. Van Ness το 1968 και εμφανίζετε συχνά σε στη μουσική δομή από το πεδίο της χαοτικής θεωρίας χρησιμοποιώντας διαφορετικά σχήματα. Ο όρος περιγράφει διαφορετικές φόρμες θορύβου που εξασθενούν σύμφωνα με την φασματική πυκνότητα. Ο Λευκός θόρυβος που έχει σαν χαρακτηριστικό την σχέση του με 1/ f 0 και περιγράφει μια στοχαστική διαδικασία μιας ασυσχέτιστης τυχαίων

τιμών. Στον γκρίζο θόρυβο από την άλλη μεριά οι τιμές του συσχετίζονται μεταξύ τους με σχέση 1/ f 2 . Ενώ ενδιαφέρον μεγάλο παρουσιάζει και ο Ροζ θόρυβος που είναι γνωστός και ως 1/f θόρυβος (Nierhaus,2009, 155)

Λευκός,Γκρίζος και Ροζ θόρυβος Σε μουσική χαρτογράφηση παραδείγματος χάρη στο ύψος, χαρακτηριστικό του Ροζ θορύβου φαίνεται πως το βήμα δηλαδή π.χ αν υποθέσουμε πως το βήμα είναι 3 αλλά και στα μελωδικά κύματα συσχετίζονται ισορροπημένα.

Χαοτικά Συστήματα

Τα πρώτα διαγράμματα μη γραμμικών εξισώσεων με μουσικές παραμέτρους τα σχεδίασε ο Jeff Pressing. Τα διαγράμματα αυτά χρησιμοποιήθηκαν για να ελέγχουν το ύψος της τονικότητας, το attack time ενός envelope, δυναμικές, και το χρόνο μεταξύ νότες από συνθετικούς ήχους. Έτσι για παράδειγμα, το μέγεθος πληθυσμών από λογιστικές πράξεις κωδικοποιήθηκε σε τονικό ύψος με την βοήθεια της εξίσωσης , όπου η σταθερά c ισοδυναμεί με την απόσταση μιας οκτάβας και με 2d το χαμηλότερο τονικό ύψος που παράγεται μετρούμενο σε Hz. Ο Pressing για να μπορεί να έχει διαφορετικές αλλά τιμές που συσχετίζονται μεταξύ τους για να παράγει μουσικές παρτιτούρες, τα πολύπλοκα διαγράμματα του για συτήματα εξισώσεων πάνω από τεσσάρων διαστάσεων διαγράμματα δίνονταν. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μια παρτιτούρα που παράχθηκε με αυτό τον τρόπο και μια τεσσάρων διαστάσεων εξίσωση. (Neirhaus,2009,159)

7

Ο Rick Bidlack επίσης μετέτρεψε 2-,3- και 4-διαστάσεων εξισώσεις σε μουσικές παρτιτούρες. Αλλά οι προσπάθειες τους δεν επέφεραν αποτελέσματα. Το να παράγεις χάος στη μουσική δεν είναι τόσο δύσκολο και υπάρχουν πολύ τρόποι για να το πετύχουμε. Άλλο παράδειγμα είναι αυτό του Ian Stewart με τίτλο Παίζει ο Θεός ζάρια; Είναι μουσική fractal που μέσω μιας λογιστικής εξίσωσης δημιουργεί μια αλληλουχία διακλαδώσεων από ένα καθορισμένο σημείο προς το χάος. (Madden, 1999,116)

Τα αποτελέσματα του παρακάτω διαγράμματος είναι σχεδόν παραβολικά και παρόλο που η μουσική ακούγετε τυχαία το διάγραμμα δείχνει ακριβή τάξη των σημείων.

Τα συστήματα Lindernmayer στην Αλγοριθμική Σύνθεση.

Στις πρόσφατες έρευνες του Przemyslaw Prusinkiewicz περιγράφονται από απλά διαγράμματα νότες βγαλμένες από L-systems. Σε ένα παράδειγμα που δίνει ο Prusinkiewicz από μια καμπύλη Hilbert. Στο γράφημα νότες αναπαριστούν τα οριζόντια τμήματα, το μήκος αναπαριστά τον χρονική διάρκεια. Και τέλος οι τονικότητες ήταν αποτέλεσμα των κάθετων τμημάτων της γραφικής παράστασης. Τα αποτελέσματα έχουν μεταφραστεί στην κλίμακα της Ντο Μείζον.(Nierhaus,2009,159) 8

Ο John McCormack σύγκρινε στοχαστικές εκδοχές, μοντέλα Markov, δίαφορες μεταβλητές από grammar και συστήματα Lindenmayer σχετικά με το αν τέργιαζαν για την παραγωγή μουσικής. Σε μια διευρυμένη έρευνα που έκανε στη σχεδίαση τέτοιων συστημάτων ο McCormack παρουσιάζει ένα πρόγραμμα αρχιτεκτονικής αλγοριθμικής σύνθεσης. Ιεραρχικά τα grammars δομούνται όπως και τα DOL- συστήματα, όμως τα grammars μπορούν χρησιμοποιηθούν σαν ξεχωριστά σύμβολα στην διαδικασία. Παρόλο που στα grammars το κάθε ένα επεκτείνεται ανεξάρτητα, είναι δυνατό να καθιερώσουμε δομικές σχέσεις μεταξύ συστημάτων επανεγγραφής ανά μονάδα με παραμετροποίηση. Το σύστημα τουMcCormack δίνει την εντύπωση “ εικονικών παιχτών” ενότητες υπεύθυνες για φωνητικά ή για μουσικά όργανα, τα οποία ελέγχονται το κάθε ένα από το δικό του σύστημα επανεγγραφής. (Nierhaus,2009,160)

Παρτιτούρες μέσα από διάφορα συστήματα Lindenmayer

Στη διατριβή του o Roger Luke Dubois περιγράφει διάφορες εκδοχές για την παραγωγή παρτιτούρων από συστήματα Lindenmayer, με τελικό αποτέλεσμα την απόδοση τους σε πραγματικό χρόνο στις οποίες ο μουσικός δεδομένα στην είσοδο ζωντανά. Στα συστήματα που ανέπτυξε τα γραφικά με σχήματα χελώνας (turtle) εξυπηρετούν μόνο για οριστικοποίηση της δομής των L-systems. Το παρακάτω παράδειγμα που παρατίθεται περιγράφει ένα συστήματος επανεγγραφής στο οποίο ένας αριθμός από συγκεκριμένα μουσικά θέματα μπορεί να ανατεθεί σε κάθε ένα διαφορετικό σύμβολο του L-system. (Nierhaus,2009,160)

Αξίωμα : Xβαθμός επαναλήψεων= n: 5P1 : X-> F – [[X]+cX]+F[+FcX]-XP2 : F->FF

Παρακάτω δίνετε η ακολουθία τις πέμπτη επανάληψης:

9

Στο πίνακα βλέπουμε την σημασία κάθε συμβόλου στο παράδειγμα του DuBois

Ενώ παρακάτω βλέπουμε την παρτιτούρα που προκύπτει από το ακολουθία:F-[[X]+cX]+F[+FcX]-X]+

όπου Χ παύση.

Επίλογος

Το κύριο συστατικό που διέπει αυτό τον τρόπο σύνθεσης είναι ο φορμαλισμός, που μέσα από χαοτικές δηλαδή μη επαναλαμβανόμενες πράξης στο χρόνο και το χώρο δομούνται μουσικά σύνολα. Είναι σαφές πως ο άνθρωπος εδώ προσπαθεί να αναπαραστήσει την φύση μέσα από τα μαθηματικά. Αποκωδικοποιεί την ανάπτυξη των φυτών και βρίσκει τρόπου να αναπαραστήσει νυφάδες χιονιού.

Ενώ η αναζήτηση ποτέ δε σταματάει μετά από ένα σημείο μέσω της φυσικής αναπαράστασης της ύλης δημιουργεί παραστάσεις που δεν υπάρχουν μέσα σε αυτή. Τα συστήματα L και τα fractals είναι κάτι που δεν έχει τέλος δεν είναι ποτέ ίδιο, κρατάει όμως πάντα ένα κομμάτι την αρχική του δομή και εξελίσσεται μέσα από την αυτό-ομοιότητα του. Είναι κάτι που ρέει συνεχώς, είναι ζωή. Πολλά παραδείγματα χαοτικής συμπεριφοράς υπάρχουν και σε ζώντες οργανισμούς που έχουν μελετηθεί με την βοήθεια της κβαντικής μηχανικής. Άλλα παραδείγματα και έρευνες είναι αυτή της Cliodynamics, τα ηλεκτρονικά κυκλώματα Chua, το διπλό εκκρεμές, οικονομικές φούσκες, το γράφημα Henon.

Βιβλιογραφία1. Koch http://sections.maa.org/lams/proceedings/spring2003/Kraus.Poitevint.pdf2. L-systems http://algorithmicbotany.org/papers/abop/abop-ch1.pdf3. Gerhard Nierhaus, Algorithmic composition: paradigms of automated music generation (Springer, 2009). 4. Francis Rumsey and Tim McCormick, Sound and Recording (Focal Press, 2009).5. Edgar E. Peters, Fractal market analysis: applying chaos theory to investment and economics (John Wiley and Sons, 1994).6. Yuliya Mishura, Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes (Springer, 2008).7. Four-dimensional equations http://www.grin.com/en/doc/243274/topics-in-applied-stochastic-dynamics8. Charles B. Madden, Fractals in music: introductory mathematics for musical analysis (High Art Press, 1999).9. Roger Luke Dubois Applications of Generative String-Substitution Systems in Computer Music Columbia University 2003 http://music.columbia.edu/~luke/dissertation/dissertation.pdf10. Stelios Manousakis Musical L-Systems The Royal Conservatory, The Hague 2006Διαδύκτυο

1. Strange Attractor http://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/attractors.html2. Fractals http://classes.yale.edu/fractals/3. Rewriting http://en.wikipedia.org/wiki/Rewrite_system