Castigliano- és Betti-tételek összefoglalása,kidolgozott példa

Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)BME, Műszaki Mechanikai Tanszék

Frissítve: 2015. január 28.

Az alakváltozási energiasűrűség számítása egy anyagi pontban1:

u =1

2σ : ε, (1)

amit ha összegzünk a teljes térfogaton akkor megkapjuk a vizsgált testben felhalmozódó teljesalakváltozási energiát:

U =1

2

∫

V

σ : εdV. (2)

A fenti összefüggést ha közvetlenül szeretnénk alkalmazni egy rúdban felhalmozódó alakvál-tozási energia számítására, akkor minden egyes pontban fel kellene írnunk az alakváltozási ésfeszültségi tenzorokat. Ez hosszadalmas és körülményes lenne. A feladatot könnyebben megold-hatjuk ha felhasználjuk a rudakra már korábban levezetett összefüggéseket. Végeredménybenarra jutunk, hogy a rúdban felhalmozódó alakváltozási energia megadható az alábbi alakban:

U = UN + UV + UMh+ UMt

. (3)

Vagyis U -t felírhatjuk a normál (N), nyíró (V ), hajlító (Mh) és csavaró (Mt) igénybevételekokozta alakváltozási energiák összegeként. A továbbiakban ezeket ismertetjük. Egy adott xkoordinátával jellemzett keresztmetszetben működő igénybevételeket az 1. ábra szemlélteti.

1. ábra. A keresztmetszetben működő igénybevételek

1A továbbiakban csak a lineárisan rugalmas, izotrop anyagi viselkedést vizsgáljuk.

�

�

�

�1

UN A normál igénybevételből adódó alakváltozási energia

UN =1

2

∫

l

N2

AEdx, (4)

ahol N a normáligénybevétel-függvény, A jelöli a keresztmetszet területét, E pedig a rugalmas-sági modulus. Ezek mind függhetnek a rúd hossza mentén vett koordinátától, emiatt általánosesetben nem emelhetőek ki az integráljel elé.

UV A nyíró igénybevételből adódó alakváltozási energia

Ennél a tagnál már a legelején fontos kihangsúlyozni, hogy a tényleges számításoknál a legtöbbesetben ezt a tagot (3)-ban elhanyagoljuk, ugyanis a többi igénybevételből származó alakvál-tozási energiához képest a nyírásból származó lényegesen kisebb. Számítása az összes közül alegbonyolultabb és legidőigényesebb. Pontos meghatározásával kapott eredmény csak kis mér-tékben tér el attól, mintha eleve elhanyagoltuk volna, emiatt az egyszerűsítéssel kapott számításis még elfogadható.

A nyíró igénybevételből származó csúsztatófeszültség-eloszlás függ a keresztmetszet alakjától.Emiatt nem tudunk egy végképletet felírni amit alkalmazhatunk tetszőleges keresztmetszetre.A rúdban felhalmozódó alakváltozási energia:

UV =1

2

∫

l

V 2

I2zG

∫

A

(

S

w

)2

dA

dx, (5)

ahol egy adott x koordinátájú keresztmetszetben S (y) jelenti az elhagyott keresztmetszetrészstatikai nyomatékát z-re, míg w (y) a keresztmetszet anyagvastagsága2.

UMhA hajlító igénybevételből adódó alakváltozási energia

Amennyiben csak z körüli hajlítás van3:

UMh=

1

2

∫

l

M2

hz

IzEdx, (6)

ahol Iz a keresztmetszetnek a hajlítás tengelyére számított másodrendű nyomatéka.

UMtA csavaró igénybevételből adódó alakváltozási energia

A csavarásból adódó csúsztatófeszültség-eloszlás meghatározása tetszőleges keresztmetszet ese-tén olyan összetettebb feladat, melynek részletes tárgyalására a BSc képzés Szilárdságtan tárgyanem terjed ki. Emiatt itt most csak a kör és körgyűrű keresztmetszetek esetén érvényes össze-függést írjuk fel:

UMt=

1

2

∫

l

M2

t

IpGdx, (7)

ahol Ip a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka.

A fenti összefüggések kiterjeszthetőek görbe rudakra is az integrálos tagok megfelelő átírásával(dx = Rdϕ).

2Itt most csak egy nyíróerőt vizsgáltunk, de lehetséges, hogy z-irányú is ébred. Ebben az esetben ezzel ataggal is számolni kell.

3Ha ébredne az y-tengely körül is hajlítás akkor azt értelemszerűen egy plusz tagként kell kezelni.

�

�

�

�2

Castigliano-tétel alkalmazásaRúdszerkezetek esetén a Castigliano-tétel szerint a rúd egy bizonyos keresztmetszetének elmoz-dulása - a nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolásával - az alábbi összefüggésszerint számítható4:

f =

∫

l

(

N

AE

∂N

∂F+Mh

IzE

∂Mh

∂F+Mt

IpG

∂Mt

∂F

)

ds, (8)

ahol f a keresztmetszetnek az F erő irányába eső elmozdulása.

Egy adott keresztmetszet szögelfordulására adódó összefüggés:

ψ =

∫

l

(

N

AE

∂N

∂M+Mh

IzE

∂Mh

∂M+Mt

IpG

∂Mt

∂M

)

ds, (9)

ahol ψ a keresztmetszet szögelfordulása az M-nek megfelelő értelemben. Az elmozdulás és alak-változás számításához ismernünk kell a rúd mentén az igénybevételi függvényeket, illetve ezek Fés M szerinti deriváltjait. Amennyiben egy olyan helyen szeretnénk számolni a keresztmetszetelmozdulását ahol nincs működő aktív erő, akkor erre a helyre első lépésként, a kívánt irányba,felveszünk egy F = 0 erőt. Ezt követően meghatározzuk a szükséges F szerinti deriváltakat,majd visszaírjuk az integrálos kifejezésbe úgy, hogy már F = 0-val egyszerűsíthetünk. Hasonlógondolatmenetet kell alkalmaznunk a szögelfordulás esetén is. Görbe rudak esetén ds helyettds = Rdϕ összefüggést kell alkalmaznunk és az igénybevételeket a ϕ szög függvényeként kellfelírnunk.

Síkbeli esetben, ha egy egyenes rúdra csak nyíró és hajlító igénybevétel hat (N = 0, Mt = 0)akkor az összefüggések lényegesen leegyszerűsödnek:

f =

∫

l

Mh

IzE

∂Mh

∂Fdx, ψ =

∫

l

Mh

IzE

∂Mh

∂Mdx. (10)

Betti-tétel alkalmazásaRúdszerkezetek esetén a Betti -tétel szerint a rúd egy bizonyos keresztmetszetének elmozdulása- a nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolásával - az alábbi összefüggés szerintszámítható:

f =

∫

l

(

N

AEn+

Mh

IzEmh +

Mt

IpGmt

)

ds, (11)

ahol az n, mh és mt jelentik azokat az igénybevételi függvényeket, melyeket úgy kapunk, hogy arúdról eltávolítjuk az összes külső terhelést, majd a keresett f elmozdulás irányába felveszünkegy F = 1 nagyságú erőt és ehhez számítjuk ki az igénybevételi függvényeket.

4Az∫

ds szerinti összegzés magában foglalja azt az esetet is, ha a rúdszerkeszet 3D törtvonalú, vagy hasíkgörbe részek is vannak benne. Emiatt lehetséges, hogy az egyes rúdrészeken működő hajlítonyómaték a rámerőlegesen csatlakozó rúdra már mint csavarónyomaték hat.

�

�

�

�3

Egy adott keresztmetszet szögelfordulására adódó összefüggés:

ψ =

∫

l

(

N

AEn0 +

Mh

IzEmh0 +

Mt

IpGmt0

)

ds, (12)

ahol az n0, mh0 és mt0 jelentik azokat az igénybevételi függvényeket, melyeket úgy kapunk,hogy a rúdról eltávolítjuk az összes külső terhelést, majd a keresett ψ szögelfordulás irányábafelveszünk egy M = 1 nagyságú koncentrált erőpárt és ehhez számítjuk ki az igénybevételifüggvényeket.

Síkbeli esetben, ha egy egyenes rúdra csak nyíró és hajlító igénybevétel hat (N = 0, Mt = 0)akkor az összefüggések lényegesen leegyszerűsödnek:

f =

∫

l

Mh

IzEmdx, ψ =

∫

l

Mh

IzEm0dx. (13)

�

�

�

�4

Kidolgozott példa

Határozzuk meg a 2. ábrán látható tartó C keresztmetszetének lehajlását és szögelfordulásátCastigliano- és Betti-tétel alkalmazásával is. Adatok: p = 1 kN/m, a = 2 m, IzE = 106 Nm2.

2. ábra. A vizsgált tartó

� Megoldás Betti-tétel segítségével:

A nyíró igénybevétel okozta alakváltozási energia elhanyagolásával a vizsgált rúdnál csak ahajlítónyomatéki igénybevétel hatásával kell számolnunk, mivel N = 0 és Mt = 0 a rúd hosszamentén. Vagyis a (11)-(12) szerinti általános megoldások helyett használható a (13) szerintiösszefüggések. A további számításokhoz az Mh és az m függvények meghatározása szükséges.A reakcióerők számítása (feltételezve, hogy a reakcióerők a pozitív y irányába mutatnak):

∑

MA = 0 ⇒ FD =3

2pa = 3 kN, (14)

∑

Fy = 0 ⇒ FA =1

2pa = 1 kN. (15)

A hajlítóigénybevételi ábrát a 3. ábra mutatja. Az Mh függvény felírása:

Mh = −FAx, x = 0...2a, (16)

Mh = −FAx+1

2p (x− 2a)2 , x = 2a...4a. (17)

Az m függvényt úgy kapjuk, hogy a tartóról eltávolítjuk a külső erőrendszert5, majd a Ckeresztmetszetben felveszünk egy F = 1 koncentrált erőt a lehajlás irányába és meghatározzukebben az esetben a hajlítónyomatéki igénybevételt6. Ezt az eloszlást a 4. ábra szemlélteti. Azm függvény felírása7:

m = −0, 25x, x = 0...3a, (18)

m = −0, 25x+ 1 (x− 3a) = 0, 75x− 3a, x = 3a...4a. (19)

A (13)-ban szereplő integrál elvégzéséhez a tartót 3 részre kell osztanunk, mivel az Mhm

szorzat által adódó új függvény 3 különböző szakaszból tevődik össze. Tehát:

f =

2a∫

0

Mh

IzEmdx+

3a∫

2a

Mh

IzEmdx +

4a∫

3a

Mh

IzEmdx. (20)

5Jelen esetben csak a megoszló terhelés.6Ehhez persze szükséges a reakcióerők számítása is ennél a feladatnál, aminek közlésétől itt most eltekintünk.7A behelyettesítéseknél a hosszméreteket m-ben az erőt N-ban, a nyomatékot pedig Nm-ben helyettesítjük

be. A kifejezésekben szereplő numerikus értékek ehhez igazodnak.

�

�

�

�5

3. ábra. A hajlítónyomatéki függvény ábrázolása

Mivel a tartó teljes hossza mentén az IzE szorzat állandó, emiatt kiemelhető az integrál jel elé:

f =1

IzE

2a∫

0

Mhmdx+

3a∫

2a

Mhmdx+

4a∫

3a

Mhmdx

, (21)

IzE · f =

2a∫

0

((−FAx) (−0, 25x)) dx+

3a∫

2a

((

−FAx+1

2p (x− 2a)2

)

(−0, 25x)

)

dx

+

4a∫

3a

((

−FAx+1

2p (x− 2a)2

)

(0, 75x− 3a)

)

dx, (22)

IzE · f =

2a∫

0

250x2dx+

3a∫

2a

(

−125x3 + 1 250x2 − 2 000x)

dx

+

4a∫

3a

(

375x3 − 6 750x2 + 36 000x− 48 000)

dx, (23)

�

�

�

�6

4. ábra. Az m függvény ábráziolása

f =1

IzE(5 333, 33 + 10 833, 33 + 4 500) =

20 666, 67

106= 0, 02067 m, (24)

f = 20, 67 mm . (25)

Mivel pozitív értékre jött ki, ez azt jelenti, hogy a lehajlás a felvett F erő irányába mutat.

Az m0 függvényt úgy kapjuk, hogy a tartóról eltávolítjuk a külső erőrendszert, majd a C

keresztmetszetben felveszünk egy M = 1 nagyságú koncentrált erőpárt8 a feltételezett szögel-fordulás irányába és meghatározzuk ebben az esetben a hajlítónyomatéki igénybevételt9. Eztaz eloszlást a 5. ábra szemlélteti. Az m0 függvény felírása:

m0 = 0, 125x, x = 0...3a, (26)

m0 = 0, 125x− 1, x = 3a...4a. (27)

5. ábra. Az m0 függvény ábrázolása

8Célszerű ezt a koncentrált erőpárt dimenziótlanul felvenni. Emiatt a v0 függvény dimenziója [1/m] lesz.9Ehhez persze szükséges a reakcióerők számítása is ennél a feladatnál, aminek közlésétől itt most eltekintünk.

�

�

�

�7

A szögelfordulás számításához a tartót 3 részre kell osztanunk, mivel az Mhm0 szorzat általadódó új függvény 3 különböző szakaszból tevődik össze. Tehát:

ψ =

2a∫

0

Mh

IzEm0dx+

3a∫

2a

Mh

IzEm0dx+

4a∫

3a

Mh

IzEm0dx. (28)

Mivel a tartó teljes hossza mentén az IzE szorzat állandó, emiatt kiemelhető az integrál jel elé:

ψ =1

IzE

2a∫

0

Mhm0dx+

3a∫

2a

Mhm0dx+

4a∫

3a

Mhm0dx

. (29)

IzE · ψ =

2a∫

0

((−FAx) (0, 125x)) dx+

3a∫

2a

((

−FAx+1

2p (x− 2a)2

)

(0, 125x)

)

dx

+

4a∫

3a

((

−FAx+1

2p (x− 2a)2

)

(0, 125x− 1)

)

dx, (30)

IzE · ψ =

2a∫

0

(−125)x2dx+

3a∫

2a

(

62.5x3 − 625x2 − 1 000x)

dx

+

4a∫

3a

(

62.5x3 − 1 125x2 + 6 000x− 8 000)

dx, (31)

ψ =1

IzE(−2 666, 67− 5 416, 67 + 750) =

−7 333, 33

106= −0, 00733 rad, (32)

f = −0, 4202◦ . (33)

MIvel negatív értékre jött ki emiatt a felvett M irányával ellentétes értelemben.

� Megoldás Castigliano-tétel segítségével:

Elsőként a lehajlást, majd a szögelfordulást számítjuk.

6. ábra. A C keresztmetszet lehajlásának számítása

Mivel a keresett elmozdulás irányába nem hat koncentrált erő, emiatt fel kell vennünk egyF = 0 erőt annak érdekében, hogy a számítási képletekben jelentkező deriváltakat számítani

�

�

�

�8

tudjuk. Ezt szemlélteti a 6. ábra. Jelen feladatnál a hajlítónyomatéki függvény felírásáhozfel kell használnunk a reakcióerőket10. Emiatt szükséges a reakcióerők kifejezése a felvett Ffigyelembevételével11 :

∑

MA = 0 ⇒ FD =3

4F +

3

2pa, (34)

∑

Fy = 0 ⇒ FA =1

4F +

1

2pa. (35)

A hajlítónyomatéki függvény felírásához 3 részre kell osztanunk a tartót:

Mh = −FAx

= −1

4Fx−

1

2pax, x = 0...2a, (36)

Mh = −FAx+1

2p (x− 2a)2

=1

2px2 −

1

4Fx−

5

2pax+ 2a2p, x = 2a...3a, (37)

Mh = −FAx+1

2p (x− 2a)2 + F (x− 3a)

=1

2px2 +

3

4Fx−

5

2pax+ 2a2p− 3aF, x = 3a...4a. (38)

Ezt követően az F szerinti deriváltakat kell számítanunk az egyes szakaszokon:

∂Mh

∂F= −

1

4x, x = 0...2a, (39)

∂Mh

∂F= −

1

4x, x = 2a...3a, (40)

∂Mh

∂F=

3

4x− 3a, x = 3a...4a. (41)

Miután a tartó mentén N = 0 és Mt = 0, emiatt használhatóak a (10) szerinti összefüggések.A behelyettesítésnél már egyszerűsíthetünk F = 0-val:

IzE · f =

2a∫

0

Mh

∂Mh

∂Fdx+

3a∫

2a

Mh

∂Mh

∂Fdx+

4a∫

3a

Mh

∂Mh

∂Fdx, (42)

IzE · f =

2a∫

0

((

−1

2pax

)(

−1

4x

))

dx+

3a∫

2a

((

1

2px2 −

5

2pax+ 2a2p

)(

−1

4x

))

dx

+

4a∫

3a

((

1

2px2 −

5

2pax+ 2a2p

)(

3

4x− 3a

))

dx, (43)

10Ha egy befogott tartónk lenne, akkor nem feltétlenül szükséges, hiszen a szabad végtől indulva felírható ahajlítónyomatéki függvény anélkül, hogy a reakcióerőket számítanánk.

11Természetesen a valóságos reakcióerők nem változnak, hiszen F = 0. Mindez azért kell, hogy az F szerintideriválást majd el tudjuk végezni.

�

�

�

�9

IzE · f =

2a∫

0

((−1000x) (−0, 25x)) dx+

3a∫

2a

((

500x2 − 5 000x+ 8000)

(−0, 25x))

dx

+

4a∫

3a

((

500x2 − 5 000x+ 8000)

(0, 75x− 6))

dx, (44)

IzE · f =

2a∫

0

(

250x2)

dx+

3a∫

2a

(

−125x3 + 1 250x2 − 2 000x)

dx

+

4a∫

3a

(

375x3 − 6 750x2 + 36 000x− 48 000)

dx, (45)

f =1

IzE(5 333, 33 + 10 833, 33 + 4 500) =

20 666, 67

106= 0, 02067 m, (46)

f = 20, 67 mm . (47)

7. ábra. A C keresztmetszet szögelfordulásának számítása

Mivel a keresett elfordulás helyén nem hat koncentrált erőpár, emiatt fel kell vennünk egy M =0 koncentrált erőpárt annak érdekében, hogy a számítási képletekben jelentkező deriváltakatszámítani tudjuk. Ezt szemlélteti a 7. ábra. Jelen feladatnál a hajlítónyomatéki függvényfelírásához fel kell használnunk a reakcióerőket. Emiatt szükséges a reakcióerők kifejezése afelvett M figyelembevételével:

∑

MA = 0 ⇒ FD =M

4a+

3

2pa, (48)

∑

Fy = 0 ⇒ FA = −M

4a+

1

2pa. (49)

A hajlítónyomatéki függvény felírásához 3 részre kell osztanunk a tartót:

Mh = −FAx

=M

4ax−

1

2pax, x = 0...2a, (50)

Mh = −FAx+1

2p (x− 2a)2

=1

2px2 +

M

4ax−

5

2pax+ 2a2p, x = 2a...3a, (51)

Mh = −FAx+1

2p (x− 2a)2 −M

=1

2px2 +

M

4ax−

5

2pax+ 2a2p−M, x = 3a...4a. (52)

�

�

�

�10

A szögelfordulás képletében szereplő deriváltak számítása:

∂Mh

∂M=

1

4ax, x = 0...2a, (53)

∂Mh

∂M=

1

4ax, x = 2a...3a, (54)

∂Mh

∂M=

1

4ax− 1, x = 3a...4a. (55)

A behelyettesítésnél már egyszerűsíthetünk M = 0-val:

IzE · ψ =

2a∫

0

Mh

∂Mh

∂Mdx+

3a∫

2a

Mh

∂Mh

∂Mdx+

4a∫

3a

Mh

∂Mh

∂Mdx, (56)

IzE · ψ =

2a∫

0

((

−1

2pax

)(

1

4ax

))

dx+

3a∫

2a

((

1

2px2 −

5

2pax+ 2a2p

)(

1

4ax

))

dx

+

4a∫

3a

((

1

2px2 −

5

2pax+ 2a2p

)(

1

4ax− 1

))

dx, (57)

IzE · ψ =

2a∫

0

(

−125x2)

dx+

3a∫

2a

(

62, 5x3 − 625x2 + 1 000x)

dx

+

4a∫

3a

(

62, 5x3 − 1 125x2 + 6 000x− 8 000)

dx, (58)

ψ =1

IzE(−2 666, 67− 5 416, 67 + 750) =

−7 333, 33

106= −0, 00733 rad, (59)

ψ = −0, 4202◦ . (60)

�

�

�

�11