Cap. 5

PROPRIETA' FONDAMENTALI DEI NUCLEI

E SISTEMATICA DEI NUCLEI STABILI

2

3

Decadimento beta:

−β ( ) ( ) −++−→ β1,1, ZNZN es.: −+→ β14

7146 NC

+β ( ) ( ) ++−+→ β1,1, ZNZN es.: ++→ β22

102211 NeNa

decadimento alfa α ( ) ( ) α+−−→ 2,2, ZNZN es.: α+→ 232

9023692 ThU

4

5

6

Massa del nucleo

MeVgumaM P 276.93810672636.100727648.1: 24 →= −

MeVgumaM n 569.93910674941.100866502.1: 24 →= −

( ) PMeronumeronucleoM ×∝ int

intero: numero di massa A

nP MNMZM +≅

atomiconumeroZZAN :,−=

7

Spettrometria di massa

(campo magnetico uniforme perpendicolare al piano della traiettoria)

Mi : massa ione atomo (Z,A) V : tensione di accelerazione

( ) VevAZM i =2

,2

( ) ( )LorentzdiforzaevB

RvAZM i =× 2,

( )VReBAZM i 2

,22

=

%1010~ 43 −− −∆MM

E

B

8

Carica elettrica del nucleo

eZQ =

:Z numero atomico ≡ n.ro di protoni nel nucleo

Ce 19106021892.1: − (carica dellelettrone) La carica elettrica eZ è una proprietà integrale del nucleo (indipendente dalla distribuzione della carica stessa sul volume del nucleo)

Dimensioni del nucleo

• Diffusione di particella α

Nel caso di urto centrale, la distanza di minimo avvicinamento è:

αTeZd

22=

per particella α con MeVT 25=α su nuclei di ( )92=ZU :

( ) Fcmd 1010~106.125108.4922 12

6

210

=×××= −

−

−

( )nucleareraggioRd >

9

• Diffusione di elettroni veloci • Diffusione di neutroni veloci

31

0 ARR = , FR 4.12.1~0 −

Distribuzione dei nucleoni all’interno del nucleo

31

0 ARR = FR 4.12.1~0 −

• Nellapprossimazione del nucleo sferico, la densità media della materia nucleare è:

31430

3/102.2~

434

cmgR

MR

MA PP

ππρ =≅

⇒ ρ è grande ( )35 /10~ cmtonnellate ⇒ ρ è costante ( )Adateindipenden

⇒ 338

24

14

103.1~1067.1102.2

cmnucleoni

mn

p−== ρ

10

Momento angolare del nucleo

• Il momento angolare totale I del nucleo è la somma dei momenti angolari dei nucleoni:

( )∑ ∑ ±== jj sljI

dove sl , sono rispettivamente i numeri quantici del momento angolare orbitale e di spin.

• Neutroni, protoni, elettroni hanno momento angolare intrinseco (spin) 21=s

• In generale per i nuclei con A pari, I = intero In generale per i nuclei con A dispari, I = semintero

• Come conseguenza della meccanica quantistica, per un sistema isolato (quale il nucleo), il momento angolare totale I è quantizzato a valori interi / seminteri di h :

( )1+= III h

• Neutroni e protoni sono caratterizzati da un momento magnetico M

µ79.2=pM µ91.1−≅nM

Bohrmagnetonenuclearemagnetone1836

1: =µ

⇒ Protoni: spin momento magnetico paralleli ⇒ Neutroni: spin momento magnetico antiparalleli

⇒ Protone: è composto da due QUARK SU, ognuno carica e3

2 , da un QUARK GIU con carica

e31−

⇒ Neutrone: è composto da due QUARK GIU e da un QUARK SU

11

12

13

Difetto di massa ed energia di legame

⇒ kgmC C2712

6 109209.19: 126

−=

⇒ 6 protoni e 6 neutroni:

kgm p27100357.106 −=

kgmn

27100495.106 −=

kg27100852.20 −

il tutto non è la somma delle parti

AnpA MMNMZ −+=∆ ZAnucleodelmassadidifettoA ,=∆

( ) ( )[ ] 2,, cZAMMNMZZAB np −+= energia di legame del nucleo ZA ,

Energia di legame per nucleone: ( ) ( )A

ZABZAff ,, ==

p n

H2 γ = 2.23 MeV

14

Quando è possibile formare una configurazione nucleare più fortemente legata, combinando due nuclei con f minore, si ottiene un rilascio di energia:

• ( ) MeVHB 23.22 = ( ) MeVHB 48.83 =

( ) 132222 HHHHH →→+ reazione di fusione

rilascio di energia: MeV02.423.2248.8 =×−

• ( ) MeVUf 5.7238 ≅ ( ) MeVAf 4.81192/238 ≅==

per un nucleo di U che si divide (fissione) in due nuclei leggeri intermedi si ha un rilascio di energia pari a:

MeV2149.0238 ≅× reazione di fissione

=f energia di legame media per nucleone ≅ costante (a parte i nuclei leggeri). Confronto con il calore latente di evaporazione. Il calore di evaporazione Q è lenergia necessaria per dissociare, a temperatura costante, la massa m di una sostanza in n molecole separate. Se 0M è la massa di una molecola:

0Mnm = lenergia media di legame per molecola è:

mMQ

nQ 0=

mQ = calore latente di evaporazione

Per lacqua, a C°100 è:

gerggcalmQ /1026.2/540 10==

gM 23230 1099.2

1002.618 −

− ==

eVergnQ 42.01075.6 13 == −

−

∆

−

−

−

−

8

8

11

14

10~10~om'10~10~

chimichereazionipericoatHlper

cristallounpersoleterrasistemailper

MM

15

Energia di separazione (neutrone, protone, particella alfa)

( ) ( )[ ] 2,1, cNZMNZMMS nn −−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =−+−−−−+=−− 21,1,1,, cNZMMNMZNZMMNMZNZBNZB npnp

( ) ( )[ ] 21,, cNZMNZMM n −+−=

( ) ( ) ( )1,,, −−= NZBNZBNZSn

( ) ( ) ( )NZBNZBNZS p ,1,, −−=

( ) ( ) ( ) ( )42,2,, HeBNZBNZBNZS −−−−=α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )dAdfAAfNZfNZfANZf

NZfANZfANZBNZBNZSn

11,,1,

1,1,1,,,

−+=−−−+=

=−×−−×=−−=

( ) ( )AfNZf ≅,

0/407 >>≤≤ dAdffSA n

0/15040 ≅≅≤≤ dAdffSA n

0/0240150 <<<≤≤ dAdffSA n

nucleoneMeVdAdf /107 3−−≅ ( ) MeV

dAdfA 4.11 −≅−

MeVSn 65.5 −≅

lemissione spontanea )0( <nS di nucleoni non è consentita.

16

0, >pn SS lemissione spontanea di nucleoni è proibita

( ) ( ) ( ) ( )42,2,, ee HBNZBNZBNZS −−−−=α

( ) ( )AfNZf ≅,

( ) ( ) ( ) =−−×−−×= MeVAfAAfA 2844

( ) ( ) 0028444 ≥≤−−+= oppureMeVdAdfAAf

nucleoneMeVdAdfA /107200~ 3−−≅

028107200432 3 <−××−≅ − MeVMeVMeVSα

Lemissione spontanea α è consentita per elevati valori di A .

17

Sistematica dell’energia di separazione

• per un dato nSZ , è maggiore per un nucleo con N pari che per N dispari. • Per un dato pSN , è maggiore per un nucleo con Z pari che per Z dispari ⇒ Proprietà delle forze nucleari di creare un ulteriore legame (energia di accoppiamento) tra

nucleoni identici nello stesso stato e spin opposti (ciò spiega leccezionale stabilità delle particelle α ).

( ) ( ) MeVNZASpariNZAS nn 421,,1,, −≅−−−

( ) ( ) MeVNZASNpariZAS pp 42,1,1,, −≅−−−

18

Sistematica dei nuclei stabili

• I nuclei che si trovano in natura ( )300~ sono stabili o radioattivi con una vita media di 910~ anni.

• Distribuzione del piano ( )NZ , dei nuclei stabili (carta di Segrè)

32

015.098.1 A

AZ+

=

• Per i nuclei leggeri ( ) NAZZ =≅→÷<2

3020

• Per 30>Z , per compensare la repulsione coulombiana aumenta la componente neutronica:

1>→ZN es.: 52.1209

83 =→ZNBi

19

• Per 837 > , linterazione nucleare non riesce a compensare la repulsione coulombiana: i nuclei sono instabili (radioattivi).

Distribuzione dei nuclei stabili

20

Abbondanza relativa dei nuclei stabili

• Sistematico eccesso di isotopi con NZ , pari

• Sistematico eccesso di nuclei con numero magico di neutroni e/o protoni:

126,82,50,28,20,8,2, =ZN

⇒ Nuclei magici e doppiamente magici.

21

Modello a goccia – formula semiempirica delle masse

• Ipotesi: - il nucleo, costituito di materia con densità costante, ha raggio 31

AR ∝ - effetti coulombiani - le forze nucleari sono identiche per protoni e neutroni - le forze nucleari sono a corto raggio - effetti quantistici

• Dalle ipotesi sulle forze nucleari, lenergia media di legame è proporzionale ad A (per un

nucleo di dimensioni infinite); poiché il nucleo ha dimensioni finite e forma sferica (in prima

approssimazione) è necessario sottrarre un contributo proporzionale alla superficie

32

A

• Lenergia di legame è diminuita dalla repulsione coulombiana tra protoni • Si deve introdurre un termine che tende ad aumentare lenergia di legame per ZN = • È necessario introdurre termini correttivi per aumentare lenergia di legame dei nuclei (pari

pari) rispetto ai (pari dispari) e (dispari dispari) e per tener conto degli effetti di strato (numeri magici)

1) Energia di volume:

AaBvol 1−=

2) Energia di superficie:

32

22

sup 4cos AaRtB +=⋅+= π

22

3) Energia coulombiana:

31

2

3A

ZaBcoul +=

4) Energia di simmetria:

( )A

ZNaBsim

2

4−+=

5) Energia di accoppiamento:

( )ZABcop ,δλ ×=

1+=λ per i nuclei (dispari dispari)

0=λ per i nuclei con A dispari

1−=λ per i numeri (pari pari)

43

5−= Aaδ

( ) ( ) 43

5

2

43

1

2

33

2

21, −×+−+++−= AaA

ZNaA

ZaAaAaZAB λ

Termine di energia coulombiana

3

34 R

Ze

πρ =

31

2

3

2252223

0 53

151614

34

A

ZaReZR

rdrrrB

R

coul ===×××××= ∫ ρπρπρπ

23

MeVRea 72.0

53

0

2

3 ≅=

Effetto di asimmetria

meccanica quantistica:

- livelli energetici discreti

∝∆

A1

- principio di esclusione di Pauli

Lenergia di asimmetria è la differenza di energia tra un nucleo con N neutroni e Z protoni e lisobaro con un numero di neutroni e protoni pari ad 2A . Per costruire il primo nucleo a partire dal suo isobaro, se ν protoni si trasformano in neutroni,

ν+= AN21 ν−= AZ

21 ( )ZN −=

21ν

è necessario compiere il lavoro: ( ) ∆−=∆ 22

41 ZNν tale espressione è positiva e quindi lenergia

di legame sarà sempre inferiore per un nucleo con ZN ≠ che per un nucleo con ZN =

( ) ( )A

ZNaZNBsim

2

422

41 −=∆−=∆= ν

( ) ( ) 43

5

2

43

1

2

33

2

21, −+−+++−= AaA

ZNaA

ZaAaAaZAB λ

24

Sulla base dei dati sperimentali (difetti di massa), con procedura di best-fit si determinano i valori delle costanti empiriche

MeVa 5.151 ≅ MeVa 194 ≅

MeVa 8.162 ≅ MeVa 5.335 ≅

MeVa 72.03 ≅

Parabole di stabilità

difetto di massa:

( ) ( )2

,,

cZABZAMMNMZ nP =−+

( ) ( ) 43

5

2

43

1

2

33

2

21, −+−+++−= AaA

ZNaA

ZaAaAaZAB λ

sostituendo ZAN −= in ( )ZAB , , per un dato A , si ha:

( ) 432 −±++= AdcbZZaZB

tAper cos=

25

( ) ( )ZABZABS tottotn ,1, −−=

( ) ( )calcnnn ZASZASS ,, exp −=∆

26

Limiti di stabilità per lemissione spontanea di nucleoni (energia di separazione 0,,, <αSSSS dpn )

Il nucleo come sistema quanto – meccanico

Perché la distribuzione dei nuclei richiede un approccio quanto-meccanico piuttosto che uno classico? - dimensioni del nucleo: sulla base del principio di indeterminazione h≥∆∆ xp , un nucleone nel

nucleo di raggio cmR 1210−≅ ha una indeterminazione sulla velocità

scmv /1010106731.1

10055.1 91224

27

≅×

≥∆ −−

−

27

troppo grande per essere compatibile con la meccanica classica (tale ragionamento vale anche per un elettrone in un atomo poiché per cmR 810−≅ e gme

28101.9~ − risulta scmv /108≥∆ )

- effetti quantistici nei fenomeni nucleari (esistenza di risonanze nei processi, effetto tunnel, quantizzazione della radiazione e.m, etc.).

- analogia con lottica ondulatoria e lottica geometrica: necessità di introdurre una descrizione

ondulatoria dello stato delle particelle →equazione generale della propagazione per onde → equazione di Schrödinger:

tiV

m ∂∂=+∇− ψψψ h

h 2

0

2

2

( )tzyx ,,,ψψ = : funzione donda della particella 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ψψψψ

( )tzyxVV ,,,= : energia potenziale della particella

• elettromagnetismo (Maxwell): eq. propagazione delle onde

012

2

22 =

∂∂−∇

tcψψ HE,≡ψ

• soluzione generale (onda piana che si propaga nella direzione del vettore donda k ) è:

( )[ ]( ) i exp0 trk ωψψ −×= • sostituendo e moltiplicando per 22ch (h costante arbitraria):

( ) 022222 =+− ψωhh ck

• posto 2220 ωψ =→≠ ck

D

122 ====λπνπω

cck

28

• utilizzando la condizione di Bohr ων h== hE e la relazione 222 cpE = si ha:

022

222

=

+− ψE

pEkh → kp h=

• descrizione ondulatoria campi e.m. ( )k,ω • descrizione particellare fotoni ( )pE,

ωh=E kp h= Planckditetancos:h

→ ψψψxx piki

x h==

∂∂

ψωψψ Eiit h

−=−=∂∂

• De Broglie → trasferimento alle particelle delle relazioni valide per i fotoni • Dalla conservazione della energia per una particella con massa a riposo 0≠ :

( ) EtzyxVmp =+ ,,,

2 0

2

xipx ∂

∂⇒ h 222

2

2

2

2

222 ∇−=

∂∂+

∂∂+

∂∂−→⇒ hh

zyxp

tiE

∂∂−⇒ h ( )

titzyxV

m ∂∂=

+∇− ψψ h

h ,,,2 0

22

equazione di Schrödinger

interpretazione di ( )tzyx ,,,ψ

dzdydx2ψ rappresenta la probabilità, per unità di volume, di trovare la particella, al tempo ,t nellelemento di volume dzdydx attorno al punto ( )zyx ,, ;

29

poiché 2ψ è una probabilità in senso fisico, essa ha le seguenti proprietà: - è una funzione monodroma e continua - le derivate parziali del primo ordine, che rappresentano la densità di corrente o flusso di

particelle, devono essere funzioni continue

- ψ non deve mai assumere valore infinito - quando ∞→V , 0→ψ -

Se V è indipendente dal tempo t, si possono separare le variabili:

( ) ( )tzyx τφψ ×= ,,

( ) tdadipendezyxdadipendedtdiV

m,,

2

2

0

2 ττφ

φ hh =+∇−

⇒ lequazione non può essere soddisfatta a meno che i due membri siano uguali alla stessa costante E (energia totale del sistema):

( )

×−= tiEct

hexpτ

φφφ EVm

=+∇− 2

0

2

2h equazione di Schrodinger indipendente dal tempo

Esempio: particella vincolata in cubo

∫ =spazio

dzdydx 12ψ

30

( ) ( ) ( ) ( )zZyYxXzyx =,,ψ

( ) 202222

2

2

2

2

2

2 2111h

Emkkkk

dzZd

ZdyYd

YdxXd

X zyx −=−=++−=++

( ) xkix

xkixx

xx ebeaxXkdx

XdX

⋅−⋅ +=→−= 22

21

( ) xx baX −=→= 00 ( )L

nkLX x

xπ

=→= 0 ,...3,2,1=xn

( ) xL

nAxX x

xπ

sin= , ( ) yL

nAyY y

y

πsin= , ( ) z

Ln

AzZ zz

πsin=

2

33222

0

22 2211

=→

=××=→= ∫ L

ALAdzdydxzL

nsinyL

nsinx

Ln

sinAAAAA zyL

xzyx

πππ

( ) zL

nsinyL

nsinx

Lnsin

Lzyx zyx πππψ ××

=

23

2,,

31

( ) 20

22222

0

222

22 Lmnnn

mppp

E zyxzyx hπ++=

++=

nL

nnnL

pppp zyxzyxhh ππ =++=++= 222222

Lx ~∆→ , L

kpp xxxπ

hh 222~ ==∆

hL

Lpx x ~2 πh⋅≅∆∆

• la differenza denergia tra livelli successivi è multipla di:

20

22

2 Lmhπ - elettroni/atomo: ( ) eVerg 30105.0

10101.921005.1 10

1628

2272

≅≅××

−−−

−π

- nucleoni/nucleo: ( )( ) MeV6

105106.121005.1

21324

2272

≅×× −−

−π

• densità dei livelli

n.ro di stati con p compreso tra p e dNdpp :+

dppLdnnnddN 232

23

24

81

34

81

hπππ ==

=

→81 spicchio sferico con 0,, >zyx nnn

32

Parità

ψψ EH = , Vm

H +∇−=2

22h

essendo V , in generale, una funzione pari delle coordinate ( )zyx ,, :

( ) ( )zyxVzyxV −−−= ,,,,

ogni potenziale a simmetria sferica soddisfa tale condizione ⇒ ( ) ( )zyxHzyxH −−−= ,,,,

( ) ( ) ( )zyxEzyxzyxH ,,,,,, ψψ =×

⇒ ( ) ( ) ( )zyxEzyxzyxH −−−=−−−× ,,,,,, ψψ ⇒ ( )zyx ,,ψ e ( )zyx −−− ,,ψ soddisfano la stessa equazione ⇒ ( ) ( )zyxkzyx −−−= ,,,, ψψ

1±=k ⇒ la parità di uno stato è costante

1=k parità positiva 1−=k parità negativa

Caratteristiche delle forze nucleari e modelli nucleari

• dal valore positivo di B e di ABf = per tutti i nuclei (e quindi dallesistenza dei

nuclei) segue che le forze nucleari sono attrattive • dal valore elevato di ( )MeVf 86 ÷ si deduce che linterazione nucleare è molto

forte → confronto con la repulsione coulombiana di due protoni nel nucleo:

( ) MeVr

eVc 7.0106.11

102108.4

1213

282

≅×== −−

−

33

→ confronto con lattrazione gravitazionale di due nucleoni nel nucleo:

( ) eV

rm

gV pg

311213

22482

106~106.11

1021067.11067.6 −

−−

−−

××==

• la dipendenza lineare dellenergia di legame B dal numero di massa A implica la

saturazione delle forze nucleari (interazioni limitata ai primi vicini) Se ciascun nucleone (protone, neutrone) interagisse con gli altri ( )1−A nucleoni, B sarebbe proporzionale ad ( ) 21 AAA ≅−

→ la saturazione è legata al limitato range dalle forze nucleari • il confronto delle energie di legame B di nuclei speculari ( )NZ ↔ mostra che esse

coincidono a meno delleccesso di energia coulombiana (del nucleo con eccesso di protoni):

( ) ( ) MeVreHeBHB 75.0~

0

232

31 =−

→ simmetria, rispetto allo scambio di carica, delle forze nucleari:

( ) ( ) ( )npppnn ,,, ≡≡

• i nucleoni (protoni, neutroni) hanno →= 21spin principio di esclusione di Pauli

nuclei leggeri ( )ZN ~

34

Nuclei pesanti ( )ZN >

• il valore di B è grande nei nuclei (pari pari ) → energia di accoppiamento di due nucleoni nello stesso stato • il valore di B è particolarmente grande per i nuclei magici ( )12682,50,28,20,8,2, eZN =

→ esistenza di una struttura interna del nucleo e di una distribuzione regolare di nucleoni nei livelli energetici in analogia con gli elettroni nellatomo

→ modello a strati

• elevata densità dei nucleoni nel nucleo

33810~

cmnucleoni

• corto range delle forze nucleari ( )cm1310~ − • forma sferica del nucleo (in prima approssimazione) • i nucleoni hanno spin ½ e seguono il principio di esclusione di Pauli

→ potenziale medio, con simmetria sferica, costante allinterno del nucleo che si annulla rapidamente allesterno; il potenziale (in prima approssimazione) è identico per neutroni e protoni poiché la repulsione coulombiana è significativa solo per i nuclei pesanti.

35

( ) 0VrV −= Rr <

( ) 0=rV Rr >

• la larghezza R della buca di potenziale è posta pari al raggio del nucleo. • la profondità ( )MeVV 30~0 è determinata dalla condizione che lenergia di

separazione di un nucleone è MeV8~

→dalla risoluzione della equazione di Schrodinger si ottiene una serie di livelli energetici

(autovalori) con le corrispondenti funzioni donda.

• modificando la forma del potenziale, la posizione dei livelli varia in modo da formare

gruppi di livelli →strati

nel modello di potenziale corretto, il numero massimo di occupazione di uno strato deve coincidere con un numero magico; la separazione in energia tra strati contigui rende i nuclei magici particolarmente stabili.

36

a) Livelli per una buca quadrata

b) Livelli per il potenziale da oscillatore armonico:

( ) ( )20

1 Rr

VrV

−=

• Secondo il principio di Pauli, ciascun livello può essere occupato da nucleoni identici solo se essi non hanno gli stessi numeri quantici →smmln ,,, il n.ro di massima occupazione è

( )122 +× l • In corrispondenza dei numeri magici, la distanza tra livelli contigui dovrebbe

aumentare • A parte 20,8,2 i numeri magici 12682,50,28 e non sono riprodotti. → Ipotesi: accoppiamento orbitaspin −

( ) ( )( )lsrUrVV ×+=

• Per ogni nucleone esiste una forte interazione tra il momento angolare l (orbitale) ed il momento angolare di ( )2

1±=sspin

- il momento angolare totale del nucleone è

21±= lJ

- ai due valori di J corrispondono due livelli energetici distinti

37

- leffetto, trascurabile per piccoli valori l , è significativo per 4>l

- il n.ro max. di occupazione del livello ( )Jln, è ( )12 +J

Potenziale di Wood Saxon

( ) ( )a

Rr

e

VrV −

+=

1

0

• Il modello a strati è basato sulle seguenti ipotesi principali:

- simmetria sferica del potenziale - assenza di interazione tra i nucleoni - validità del principio di Pauli

• Esso risulta particolarmente utile per interpretare le caratteristiche dei nuclei sferici (in particolare leggeri o magici) nello stato fondamentale o debolmente eccitato

⇒ Introducendo parametri che descrivono la non sfericità del nucleo e introducendo

linterazione tra nucleoni, si sviluppano modelli collettivi del nucleo per i quali il potenziale è caratterizzato dai seguenti termini:

- Potenziale sferico (termine prevalente) - Interazione spin -orbita - Interazione a corto raggio che tende a rendere sferico il nucleo ed ad appaiare i nucleoni . - Un termine a lungo raggio che tende a deformare i nuclei (lontano dai numeri magici)

38

Livelli energetici dei nuclei

• A seguito di interazioni con altre particelle, un nucleo può raggiungere uno stato eccitato • Lo stato eccitato è instabile Γ≅ hτ ⇒ s1314 1010 −− −≅τ ⇒ eV1.001.0 −=Γ • Nella transizione allo stato fondamentale → emissione di particelle (neutrone, protone,

α ) o gamma • La probabilità di trovare il nucleo in uno stato eccitato allenergia W ha una distribuzione

Lorentziana:

4)(

1)( 220

Γ+−=

WWWf

• La separazione tra livelli contigui D decresce allaumentare dellenergia di eccitazione e/o

del numero di massa.

50<A MeVW 31~ − MeVD 1≅ MeVW 8~ KeVD 10≅ 200>A MeVW 31~ − MeVD 1.0≅ MeVW 8~ eVD 10≅

39

• Per energia MeVW 8> , D è minore di Γ : i livelli si sovrappongono

40

Larghezza di livello degli stati instabili

h≥∆∆ tE τλ hh ==Γ

=Γ larghezza di livello, =τ vita media del livello

• Le vite medie delle disintegrazioni nucleari sono comprese tra s1610− e anni1610 • Anche le vite medie più brevi ( s1610− ) sono molto più lunghe dei tempi nucleari ,

definiti come tempo necessario ad un nucleone per attraversare il nucleo stesso:

svR 22

9

13

10103

10 −−

≅=

per cui, in ogni caso, si può considerare il nucleo in uno stato stazionario (o quasi) e quindi rappresentabile da una funzione donda del tipo:

( ) ( ) tWirtr ×−= hexp, φψ

r: insieme delle coordinate spaziali W : energia totale del nucleo

• Per tener conto del decadimento, è necessario che la probabilità di trovare il nucleo in un

dato volume diminuisca nel tempo in modo che:

( ) ( ) ttrtr λψψ −== exp0,, 22

→ λhiEW21

0 −=

( ) ( ) 20

exp,tt

Ei

rtrλ

φψ−−

= h

• Uno stato instabile può essere rappresentato, in generale, come una sovrapposizione di stati di diversa energia E , ciascuno con un peso stabilito dalla funzione di distribuzione ( )EA :

( ) ( ) ( ) dEEArtrtEi

h−+∞

∞−∫= exp, φψ

• Utilizzando la trasformata di FOURIER, si può dimostrare che le energie E sono raggruppate attorno λh±0E

41

( ) dEEAtEitt

Ei

hh−+∞

∞−

−−

∫= expexp 20 λ

( )( ) 2

12

exp21

00

2)( 0

λππ

λ

hhh

iEEidtEA

tEEi

+−== ∫

∞

−

−

• La probabilità di trovare il sistema (nucleo) in uno stato di energia E è proporzionale al

quadrato di ( )EA :

( )( ) ( ) ( ) ( )22

0

220

2

2

141

2

141

Γ+−=

+−=

EEEEEA

πλπ h

distribuzione di LORENTZ

( )τ

151066.0 −=Γ eVin (τ in secondi)

---------------------------------------

N.B. Secondo FOURIER, una funzione ( )tf può essere sviluppato secondo:

( ) ( )∫∫+∞

∞−

−Ω+

Ω−

−∞→Ω= '''

expexplim21 dttfdtf titi ωω ωπ

con ( ) 20

exptt

Ei

tfλ

−−= h si ottiene

( ) ( )( ) 2

12

exp21exp

00

'2'''0''

'

λππ

λω

hhhh

iEEidtdttfEA

tE

ittEiti

+−=== ∫∫

∞ −−+∞

∞−