Calculus 3, Harjoitus 2 - Jyväskylän yliopistousers.jyu.fi/~atoivola/Calculus3/h2.pdf · Calculus...
Transcript of Calculus 3, Harjoitus 2 - Jyväskylän yliopistousers.jyu.fi/~atoivola/Calculus3/h2.pdf · Calculus...
Calculus 3, Harjoitus 2
Perustehtavat
1. Laske
(a)
∫1√
1− x2dx, (b)
∫1√
1− 4x2dx, (c)
∫1√
9− x2dx, (d)
∫x+ 1√9− x2
dx.
2. Laske
(a)
∫x2
√1− x2
dx, (b)
∫x2
√1− 4x2
dx.
3. Laske ∫ π2
0
1
2 cosx+ 3dx.
4. Laske ∫ √3−1−1
1
x2 + 2x+ 2dx.
5. Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat kayrat y = (2x− x2)−12 , y = 0, x = 1
2ja
x = 1.
6. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):
(a)
∫ ∞2
1
(x− 1)3dx, (b)
∫ ∞2
1
(x− 1)13
dx, (c)
∫ ∞0
e−2x dx, (d)
∫ −1−∞
1
x2 + 1dx.
7. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):
(a)
∫ 1
0
1
(x− 1)13
dx, (b)
∫ 1
0
1
(x− 1)3dx, (c)
∫ e
1
1
x√log x
dx.
8. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):∫ ∞0
xe−x dx.
9. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):
(a)
∫ ∞0
x
1 + 2x2dx, (b)
∫ ∞0
x
(1 + 2x2)32
dx.
10. Tutki, suppeneeko epaoleellinen integraali (arvoa ei kysyta):
(a)
∫ ∞1
x2
x5 + 1dx, (b)
∫ ∞0
x2
x5 + 1dx, (c)
∫ ∞0
1
1 +√xdx.
Jatkotehtavat
11. Laske
(a)
∫1√
9 + x2dx, (b)
∫1√
x2 + 2x+ 10dx.
12. Laske
(a)
∫x3
√9 + x2
dx, (b)
∫ √9 + x2
x4dx.
13.
(a)
∫dx
(a2 − x2)32
, (b)
∫ π2
0
1
1 + cos x+ sinxdx.
14. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):
(a)
∫ ∞−∞
x
1 + x2dx, (b)
∫ ∞−∞
x
1 + x4dx.
15. Suppeneeko epaoleellinen integraali∫ ∞0
dx√x+ x2
?
Lisatehtavat
16.* (Kertaus:) Laske1
(a)
∫x
x2 − 2x+ 3dx, (b)
∫1
(4x2 + 4x+ 5)2dx.
17.* Laske2 ∫ √1 + log x
xdx
(a) suoraan (muista derivoinnin ketjusaanto),
(b) sijoituksella u = 1 + log x,
(c) sijoituksella u =√1 + log x.
18.* Laske3 ∫dx√1 + ex
.
19.* Suppeneeko epaoleellinen integraali
(a)
∫ ∞0
| sinx|x2
dx, (b)
∫ π
0
sinx
xdx ?
1Vastaukset: 12 log(x
2 − 2x+ 3) + 1√2arctan
(x−1√
2
)+ C ja 1
32 arctan2x+1
2 + 116
2x+14x2+4x+5 + C
2Vastaus: 23 (log x+ 1)
32 +C
3Vastaus: − artanh√1 + ex + C