Calculus 3, Harjoitus 2

Perustehtavat

1. Laske

(a)

∫1√

1− x2dx, (b)

∫1√

1− 4x2dx, (c)

∫1√

9− x2dx, (d)

∫x+ 1√9− x2

dx.

2. Laske

(a)

∫x2

√1− x2

dx, (b)

∫x2

√1− 4x2

dx.

3. Laske ∫ π2

0

1

2 cosx+ 3dx.

4. Laske ∫ √3−1−1

1

x2 + 2x+ 2dx.

5. Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat kayrat y = (2x− x2)−12 , y = 0, x = 1

2ja

x = 1.

6. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):

(a)

∫ ∞2

1

(x− 1)3dx, (b)

∫ ∞2

1

(x− 1)13

dx, (c)

∫ ∞0

e−2x dx, (d)

∫ −1−∞

1

x2 + 1dx.

7. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):

(a)

∫ 1

0

1

(x− 1)13

dx, (b)

∫ 1

0

1

(x− 1)3dx, (c)

∫ e

1

1

x√log x

dx.

8. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):∫ ∞0

xe−x dx.

9. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):

(a)

∫ ∞0

x

1 + 2x2dx, (b)

∫ ∞0

x

(1 + 2x2)32

dx.

10. Tutki, suppeneeko epaoleellinen integraali (arvoa ei kysyta):

(a)

∫ ∞1

x2

x5 + 1dx, (b)

∫ ∞0

x2

x5 + 1dx, (c)

∫ ∞0

1

1 +√xdx.

Jatkotehtavat

11. Laske

(a)

∫1√

9 + x2dx, (b)

∫1√

x2 + 2x+ 10dx.

12. Laske

(a)

∫x3

√9 + x2

dx, (b)

∫ √9 + x2

x4dx.

13.

(a)

∫dx

(a2 − x2)32

, (b)

∫ π2

0

1

1 + cos x+ sinxdx.

14. Laske epaoleellinen integraali (tai nayta, etta se hajaantuu):

(a)

∫ ∞−∞

x

1 + x2dx, (b)

∫ ∞−∞

x

1 + x4dx.

15. Suppeneeko epaoleellinen integraali∫ ∞0

dx√x+ x2

?

Lisatehtavat

16.* (Kertaus:) Laske1

(a)

∫x

x2 − 2x+ 3dx, (b)

∫1

(4x2 + 4x+ 5)2dx.

17.* Laske2 ∫ √1 + log x

xdx

(a) suoraan (muista derivoinnin ketjusaanto),

(b) sijoituksella u = 1 + log x,

(c) sijoituksella u =√1 + log x.

18.* Laske3 ∫dx√1 + ex

.

19.* Suppeneeko epaoleellinen integraali

(a)

∫ ∞0

| sinx|x2

dx, (b)

∫ π

0

sinx

xdx ?

1Vastaukset: 12 log(x

2 − 2x+ 3) + 1√2arctan

(x−1√

2

)+ C ja 1

32 arctan2x+1

2 + 116

2x+14x2+4x+5 + C

2Vastaus: 23 (log x+ 1)

32 +C

3Vastaus: − artanh√1 + ex + C