Bilangan Kromatik Lokasi Pohon dengan DerajatMaksimum 3 atau 4∗

HILDA ASSIYATUN

Kelompok Keahlian Matematika KombinatorikaFMIPA ITB

Workshop Topik dalam KombinatorikaJurusan Matematika, Universitas Andalas

Jumat, 15 November 2019

∗Hasil kerjasama dengan D. K. Syofyan dan E. T. Baskoro

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Sejarah Singkat

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Notasi

• k-pewarnaan titik di G adalah fungsi c : V (G)→ {1, 2, · · · , k} dimanac(u) 6= c(v) untuk u dan v dua titik bertetangga di G , dan k bilanganasli.

• Partisi Π = {C1,C2, · · · ,Ck} dari V (G) diinduksi oleh k-pewarnaan c.

• Kode warna dari v adalahcΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), · · · , d(v ,Ck))

dimana d(v ,Ci ) = min{d(v , x)| x ∈ Ci} untuk 1 ≤ i ≤ k.

• Jika setiap titik di G memiliki kode warna yang unik, maka c disebutk-pewarnaan lokasi di G .

• Bilangan kromatik lokasi dari G , dinotasikan dengan χL(G), adalah kterkecil sehingga G memiliki k-pewarnaan lokasi

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Notasi

• k-pewarnaan titik di G adalah fungsi c : V (G)→ {1, 2, · · · , k} dimanac(u) 6= c(v) untuk u dan v dua titik bertetangga di G , dan k bilanganasli.

• Partisi Π = {C1,C2, · · · ,Ck} dari V (G) diinduksi oleh k-pewarnaan c.

• Kode warna dari v adalahcΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), · · · , d(v ,Ck))

dimana d(v ,Ci ) = min{d(v , x)| x ∈ Ci} untuk 1 ≤ i ≤ k.

• Jika setiap titik di G memiliki kode warna yang unik, maka c disebutk-pewarnaan lokasi di G .

• Bilangan kromatik lokasi dari G , dinotasikan dengan χL(G), adalah kterkecil sehingga G memiliki k-pewarnaan lokasi

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Notasi

• k-pewarnaan titik di G adalah fungsi c : V (G)→ {1, 2, · · · , k} dimanac(u) 6= c(v) untuk u dan v dua titik bertetangga di G , dan k bilanganasli.

• Partisi Π = {C1,C2, · · · ,Ck} dari V (G) diinduksi oleh k-pewarnaan c.

• Kode warna dari v adalahcΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), · · · , d(v ,Ck))

dimana d(v ,Ci ) = min{d(v , x)| x ∈ Ci} untuk 1 ≤ i ≤ k.

• Jika setiap titik di G memiliki kode warna yang unik, maka c disebutk-pewarnaan lokasi di G .

• Bilangan kromatik lokasi dari G , dinotasikan dengan χL(G), adalah kterkecil sehingga G memiliki k-pewarnaan lokasi

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Notasi

• k-pewarnaan titik di G adalah fungsi c : V (G)→ {1, 2, · · · , k} dimanac(u) 6= c(v) untuk u dan v dua titik bertetangga di G , dan k bilanganasli.

• Partisi Π = {C1,C2, · · · ,Ck} dari V (G) diinduksi oleh k-pewarnaan c.

• Kode warna dari v adalahcΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), · · · , d(v ,Ck))

dimana d(v ,Ci ) = min{d(v , x)| x ∈ Ci} untuk 1 ≤ i ≤ k.

• Jika setiap titik di G memiliki kode warna yang unik, maka c disebutk-pewarnaan lokasi di G .

• Bilangan kromatik lokasi dari G , dinotasikan dengan χL(G), adalah kterkecil sehingga G memiliki k-pewarnaan lokasi

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Notasi

• k-pewarnaan titik di G adalah fungsi c : V (G)→ {1, 2, · · · , k} dimanac(u) 6= c(v) untuk u dan v dua titik bertetangga di G , dan k bilanganasli.

• Partisi Π = {C1,C2, · · · ,Ck} dari V (G) diinduksi oleh k-pewarnaan c.

• Kode warna dari v adalahcΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), · · · , d(v ,Ck))

dimana d(v ,Ci ) = min{d(v , x)| x ∈ Ci} untuk 1 ≤ i ≤ k.

• Jika setiap titik di G memiliki kode warna yang unik, maka c disebutk-pewarnaan lokasi di G .

• Bilangan kromatik lokasi dari G , dinotasikan dengan χL(G), adalah kterkecil sehingga G memiliki k-pewarnaan lokasi

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

Diberikan graf G .

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

Definisikan c : V (G )→ {1, 2, 3, 4}.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

cΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), d(v ,C3), d(v ,C4))

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

χL(G ) ≤ 4.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

Misalkan c : V (G )→ {1, 2, 3}.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

Misalkan c : V (G )→ {1, 2, 3}.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

cΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), d(v ,C3))

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

cΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), d(v ,C3))

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

cΠ(v) = (d(v ,C1), d(v ,C2), d(v ,C3))

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

χL(G ) ≥ 4.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Contoh

χL(G ) = 4.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Sifat dasar dari bilangan kromatik lokasi

Lema A (Chartrand et al. 2002)

Misalkan G adalah graf terhubung. Misalkan pula c adalah suatupewarnaan lokasi di G dan u, v ∈ V (G ). Jika d(u,w) = d(v ,w)untuk setiap w ∈ V (G ) \ {u, v}, maka warna u dan v harusberbeda.

Akibat A (Chartrand et al. 2002)

Jika G adalah graf terhubung yang memiliki sebuah titik yangbertetangga dengan k daun di G , maka χL(G ) ≥ k + 1.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi untuk Beberapa Kelas Graf

Graf PenulisLintasan, Pn

Siklus, Cn Chartrand dkk 2002Bintang Ganda, Sa,b

Amalgamasi Bintang, S(k,m) Asmiati, Baskoro, HA 2011

Kembang Api, F (n, k) Asmiati, Baskoro, HA 2011

Graf Ulat dan Pohon Pisang Asmiati, Baskoro, HA 2013

Lobster, Lb(m, n) Syofyan, Baskoro, HA 2013

Pohon n-ary Welyyanti dkk 2013

Graf Kneser, KG (n, k) Behtoei dkk 2011

Hasilkali Kartesius dua graf:Pm × Pn untuk n ≥ m ≥ 2 Behtoei dkk 2011Pn × Kt untuk n ≥ 2, t ≥ 3Kn × Km untuk 2 ≤ m ≤ n

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi untuk Beberapa Kelas Graf

Graf PenulisGraf Tambah Langsung:

Km + Pn

Graf Kipas, Fn = K1 + Pn Behtoei dkk 2012Pm + Pn, Pm + Cn

Km + Cn

Graf Roda, Wn = K1 + Cn

Cm + Cn

Hasilkali Korona:Pn � Km

Pn � Km Baskoro dkk 2012

Cn � Km

Kn � Km, Kn � Km

Graf Halin, H = T ] C Purwasih, Baskoro, HA 2012T graf bintang dan subdivisinya

Hasilkali kuat Purwasih dkk 2012dua lintasan, Pm � Pn

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Karakterisasi Graf dengan orde n dengan BilanganKromatik Lokasi Tertentu

Bilangan Kromatik Lokasi Penulisn: graf multipartit lengkap Chartrand dan Zhang 2002

n − 1 Chartrand dkk 2003n − 2

3 Asmiati dan Baskoro 2012

pohon: n − t, 2 ≤ t < n/2 Syofyan, Baskoro, HA 2016

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon dengan bilangan kromatik lokasi 3

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon yang Dapat Diperluas

Definisi

Pohon T disebut dapat diperluas jika T dapat disisipkan padakisi-kisi 2-dimensi (Pk × Pl) sehingga paling banyak terdapat satusisi di T yang menghubungkan titik-titik pada dua baris yangberturutan.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Seperti-lintasan

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Seperti-lintasan

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Seperti-lintasan

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Seperti-lintasan

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon yang Dapat Diperluas dan Pohon Seperti-lintasan

Batle dkk telah membuktikan bahwa setiap PyDL dan PS-lisomorfik dengan subdivisi dari graf ulat.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon yang Dapat Diperluas dan Pohon Seperti-lintasan

Teorema 1

Misalkan C (x1(s1, t1), x2(s2, t2), . . . , xn(sn, tn)) adalah subdivisidari graf ulat. Maka terdapat 4-pewarnaan lokasi untukC (x1(s1, t1), x2(s2, t2), . . . , xn(sn, tn)).

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon yang Dapat Diperluas dan Pohon Seperti-lintasan

Teorema 2

Misalkan T adalah pohon yang dapat diperluas atau pohonseperti-lintasan dengan orde sedikitnya 3. Maka, χL(T ) = 3 atau 4.

Bukti.

• Baskoro dkk telah mengkarakterisasi semua pohon orde ndengan bilangan kromatik lokasi 3. Jika T adalah subpohondari salah satu pohon maksimal dari hasil by Baskoro dkkmaka χL(T ) = 3. Jika tidak demikian, χL(T ) ≥ 4.

• Karena T ∼= C (x1(s1, t1), x2(s2, t2), . . . , xn(sn, tn)), makamenurut Teorema 1, terdapat 4-pewarnaan lokasi untuk T .Jadi χL(T ) ≤ 4.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon yang Dapat Disisipkanpada Kisi-kisi 2-dimensi

Teorema 3

Misalkan T adalah pohon berorde n ≥ 3 yang disisipkan padakisi-kisi 2-dimensi dengan 4(T ) ≤ 3. Maka, 3 ≤ χL(T ) ≤ 5.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon yang Dapat Disisipkanpada Kisi-kisi 2-dimensi

Teorema 3

Misalkan T adalah pohon berorde n ≥ 3 yang disisipkan padakisi-kisi 2-dimensi dengan 4(T ) ≤ 3. Maka, 3 ≤ χL(T ) ≤ 5.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon yang Dapat Disisipkanpada Kisi-kisi 2-dimensi

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon yang Dapat Disisipkanpada Kisi-kisi 2-dimensi

Lema 1

Misalkan T1 adalah pohon berorde n ≥ 3 yang disisipkan padakisi-kisi 2-dimensi dengan 4(T1) ≤ 3. Maka, χL(T1) = 5.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon yang Dapat Disisipkanpada Kisi-kisi 2-dimensi

Sebuah 5-pewarnaan lokasi untuk T1

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Masalah Terbuka

• Tentukan bilangan kromatik lokasi untuk sebarang pohon Tyang dapat disisipkan pada kisi-kisi 2-dimensi dengan4(T ) ≤ 4

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

Definisi

Pohon biner adalah pohon yang meiliki tepat satu titik berderajat2, disebut sebagai akar x0, dan titik-titik lainnya berderajat satuatau tiga.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

Definisi

Pohon biner lengkap dengan diameter 2k, dinotasikan denganBT (k), dimana k ≥ 1, adalah pohon biner dimana setiap daunmemiliki jarak yang sama terhadap akar x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

Definisi

Pohon biner lengkap dengan diameter 2k, dinotasikan denganBT (k), dimana k ≥ 1, adalah pohon biner dimana setiap daunmemiliki jarak yang sama terhadap akar x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

Definisi

Pohon biner tak lengkap dengan diameter 2k , dinotasikandengan BTnc(k), dimana k ≥ 1, adalah pohon biner dimanasebagian daunnya memiliki jarak yang berbeda terhadap akar x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

Definisi

Pohon biner tak lengkap dengan diameter 2k , dinotasikandengan BTnc(k), dimana k ≥ 1, adalah pohon biner dimanasebagian daunnya memiliki jarak yang berbeda terhadap akar x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

BT (k) dapat dikonstruksi secara rekursif dengan menghubungkanakar BT (k − 1) dan akar BT ′(k − 1) ke suatu titik baru x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

BT (k) dapat dikonstruksi secara rekursif dengan menghubungkanakar BT (k − 1) dan akar BT ′(k − 1) ke suatu titik baru x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Pohon Biner

BT (k) dapat dikonstruksi secara rekursif dengan menghubungkanakar BT (k − 1) dan akar BT ′(k − 1) ke suatu titik baru x0.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Mudah untuk ditunjukkan bahwa untuk k = 1 dan 2,χL(BT (k)) = 3.

Teorema 1

Misalkan BT (k) dengan k = 3, 4, dan 5. Maka χL(BT (k)) = 4.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

4−pewarnaan lokasi untuk BT (3)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

4−pewarnaan lokasi untuk BT (4)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

4−pewarnaan lokasi untuk BT (5)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Teorema 2

Untuk bilangan bulat a dan k, dimana a ≥ 5 dan3 +

∑a−4i=1 (2 + ba−i4 c) ≤ k ≤ 2 +

∑a−4i=0 (2 + ba−i4 c), maka

χL(BT (k)) ≤ a.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Ilustrasi bukti untuk k = 3 +∑a−4

i=1 (2 + ba−i4 c)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Ilustrasi bukti untuk k = 3 +∑a−4

i=1 (2 + ba−i4 c)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Ilustrasi bukti untuk k = 3 +∑a−4

i=1 (2 + ba−i4 c)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Ilustrasi bukti untuk k = 3 +∑a−4

i=1 (2 + ba−i4 c)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Ilustrasi bukti untuk4 +

∑a−4i=1 (2 + ba−i4 c) ≤ k ≤ 2 +

∑a−4i=0 (2 + ba−i4 c).

Misalkan j = k − 3 +∑a−4

i=1 (2 + ba−i4 c).

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Ilustrasi bukti untuk4 +

∑a−4i=1 (2 + ba−i4 c) ≤ k ≤ 2 +

∑a−4i=0 (2 + ba−i4 c).

Misalkan j = k − 3 +∑a−4

i=1 (2 + ba−i4 c).

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Bilangan Kromatik Lokasi Pohon Biner

Teorema 3

Misalkan BTnc(k) adalah pohon biner tak lengkap dengan k ≥ 6.Maka χL(BT (k)) ≤ 3 + bk2 c.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Masalah Terbuka

• Tentukan batas bawah untuk bilangan kromatik lokasi untukBT (k) dan BTnc(k)

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Referensi

• Asmiati, H. Assiyatun, E.T. Baskoro, Locating-chromatic number ofAmalgamation of stars, ITB J. Sci., 43 A (1) (2011) 1-8.

• Asmiati, E.T. Baskoro, H. Assiyatun, D. Suprijanto, R. Simanjuntak, S.Uttunggadewa, The Locating-Chromatic Number of Firecracker Graphs,Far East Journal of mathematical Sciences, 63:1 (2012), 11-23.

• Asmiati, E.T. Baskoro, Characterizing all graphs containing cycles withlocating-chromatic number 3, AIP Conf. Proc. 1450, 351 (2012),351-357.

• E.T. Baskoro, I.A. Purwasih, The Locating-Chromatic Number for CoronaProduct of Graphs, Southeast-Asian J. of Sciences Vol. 1, No 1(2012),124-134

• A. Behtoei, B. Omoomi. On the locating chromatic of Kneser graphs,Discrete App. Math., 159 (2011), 2214-2221.

• A. Behtoei, B. Omoomi. On the locating chromatic of cartesian productof graphs, to appear in Ars Combin.

• A. Behtoei. The locating-chromatic number of the join of graphs, toappear in Discrete App. Math..

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Referensi

• P. S. Buczkowski, G. Chartrand, C. Poisson, P. Zhang, On k-dimensionalgraf n their basis, Periodica Mathematica Hungarica, 46 (1) 2003, 9-15.

• G. Chappell, J. Gimbel, C. Hartman, Bounds on the metric and partitiondimensions of a graph, Ars Combin., 88 (2008), 349-366.

• G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang, On the partition dimension of graph,Congr. Numer. 130 (1998), 157-168.

• G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang, The partition dimension of graph,Aequationes Math., 59 (2000), 45-54.

• G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, P. Zhang, Thelocating-chromatics number of a graph, Bull. Inst. Combin. Appl, 36(2002), 89-101.

• G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Slater, P. Zhang, Graph oforder n with locating-chromatic number n − 1, Discrete Math., 269(2003), No.1-3, 65-79.

• G. Chartrand, P. Zhang, The theory and appllications of resolvability ingraphs: a survey, Congr. Numer., 160 (2003), 47-68.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4

Referensi

• I.A. Purwasih, E.T. Baskoro, The locating-chromatic number of certainHalin graphs, AIP Conf Proc. 1450 (2012)342-345.

• I. A. Purwasih, M. Baca, and E. T. Baskoro, The locating chromaticnumber of strong product of two paths, Proceeding InternationalConference on Mathematics, Statistics and its Applications 2012 ISBN978-979-96152-7-5.

H. Assiyatun χL(T ) dengan ∆(T ) = 3 atau 4