Bai Tap Giai Tich 11(Rat Cong Phu)

Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11

PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCHI. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN

1. Hai cung đối nhau: -x và x

2. Hai cung bù nhau: và x

3. Hai cung phụ nhau: và x

4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x

5. Các hằng đẳng thức lượng giác

6. Công thức cộng lượng giác

7. Công thức nhân đôi

8. Công thức nhân ba:

9. Công thức hạ bậc:

10. Công thức biến đổi tích thành tổng

11 . Công thức biến đổi tổng thành tích

Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước1


A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔII/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota.

Bài 3: Cho

Bài 4: Tính biết Tính biết tanx = -2

Tính biết cotx = -3

Bài 5: Chứng minh:

(sử dụng như 1 công thức)

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:

Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác:

Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với

a/ Tính cosx ; b/ Tính


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Bài 2: Tính:

Bài 3: Đơn giản biểu thức:




Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCBài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:

Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:

Bài 10: Tính cos x3

pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø biết

12 3sin x , ( < x < 2 )

13 2

pp=-

Bài 11: Cho 2 góc nhọn có 1 1

tan , tan2 3

a b= = . a/ Tính ( )tan a b+ b/ Tính

Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y

4tan x.tan y 3 2 2

pìïï + =ïíïï = -ïîa/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.



Bài 13: Tính tan x4

pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø biết

40sin x

41=- và

3< x <

2

pp

Bài 14: Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o

Bài 15: Tính: o o o

o o o oo o o

o o oo o o o

o o

tan 25 tan 20 1 tan15A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C

1 tan 25 .tan 20 1 tan153 tan 225 cot81 .cot 69

D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F3 cot 261 tan 201

+ += + = =

- --

= - = + =+

Bài 16: Tính:

3a / A cos x cos x cos x cos x

3 4 6 42 2

b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x3 3 3 3

p p p p

p p p p

æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= - + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è øæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 22 2A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x

3 3 3 3

p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + - = + + + -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø


( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a

b / sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a

c / sin a b .cos a b sin a cosa sin bcosb

d / sin a sin a 2 sin a4 4

p p

+ - = - = -

+ - = - = -+ - = +

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ - - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øBài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC

A B C B C3/ sin cos cos sin sin

2 2 2 2 2A B C B C

4/ cos sin cos cos sin2 2 2 2 2

5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C2

A B B6/ tan tan tan

2 2

p

= -

= -

æ ö÷ç ¹ ÷ç ÷çè ø

+C C A

tan tan tan 12 2 2 2

A B C A B C7/ cot cot cot cot .cot .cot

2 2 2 2 2 28/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1

+ =

+ + =

( học thuộc kết quả )Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG

( ) ( )o o2a / sin .sin b / cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30

5 5

p p+ -

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH



( ) ( ) ( )a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c / sin5x sin xd / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a

+ - ++ - - + + -

Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :

A B C9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos

2 2 2A B C

10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin2 2 2

11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -

( )2 2 2

2 2 2

4cosA.cosB.cosC

13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC

14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosCA B C

15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)Bài 23: Chứng minh vuông nếu:

2 2 2sin B sin C

a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2cos B cos C

+= = + + + =

+ Bài 24: Chứng minh cân nếu:

Bài 25: Chứng minh đều nếu: 1 3

a / cos A.cos B.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cos A cos B cosC8 2

= + + = + + + + =

Bài 26: Chứng minh cân hoặc vuông nếu:

( ) ( )22

2 2 2 2 2

sin B C sin B CC tan B sin Ba / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /

2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C

+ -= = =

+ -

Bài 27: Hãy nhận dạng biết:

B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCI. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A

2)

3)

4)

5) Hàm số y = tanx xác định khi

Hàm số y = cotx xác định khi Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

1) y = cosx + sinx 2) y = cos 3) y = sin

4) y = cos 5) y = 6) y =



7) y = 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x -

10) y =

II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x

Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2

4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos

III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác

Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng

Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số

1) y = sinx trên 2) y = cosx trên khoảng

3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn

5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn

7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn

Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số

Hàm số Khoảng

y = sinxy = cosxy = tanxy = cotx


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B

Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn

2) y = -2cos trên đoạn

IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giácChú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B BBài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y = 2sin(x- ) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 -

4) y = - 2 5) y = 6) y = 5cos

7) y = 8) y =

Chú ý :

Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì

Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn

3) y = sinx trên đoạn 4) y = cos x trên đoạn

C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.I:LÍ THUYEÁT .

1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .

sin u = sin v ( k Z )

cos u = cos v u = v + k2. ( k Z )tanu = tanv u = v + k ( k Z )cotu = cotv u = v + k ( k Z )

2/ Phöông trình ñaëc bieät :

sinx = 0 x = k , sinx = 1 x = + k2 ,sinx = -1 x = - +

k2

cosx = 0 x = + k , cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x = +

k2 . 3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx .

Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 0

Caùch 1: acosx + bsinx = c = c vôùi



asinx +bcosx = c = c vôùi .

Caùch 2 : Xeùt phöông trình vôùi x = + k , k Z

Vôùi x + k ñaët t = tan ta ñöôïc phöông trình baäc hai

theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0

Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm a2 + b2 - c2 0 .Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau:

1. , 2.

3. , 4.

5. , 6.

7. 8.

4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc :Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông

trình coù daïng : f[u(x)] = 0 vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 .Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau:1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5

= 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x)

= 2sin2x – 1

5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6.

7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0

9. 10. 5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c

cos2x = 0 . Caùch 1 :

Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . Xeùt chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t

= tanx.

Caùch 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) ,

sinxcosx = sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x

vaø cos2x . b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp

cos x = 0 hay x = + k ,kZ.

Baøi taäp :1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 03. 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 44. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.

5.

6/ Phöông trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx =

Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t . Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0

Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx =

Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau :1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 02. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 05. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0

7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc.Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,

4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4

+12cos2x = 7Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx

2/ ÑS : x = k3 , x= +k3 , x

= +k3

3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1 v

sin = 1

4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx ,

ÑS : x = - + k

5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ÑS : x = k2 , x =

+k2

6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 , cos

2x =

7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx

HD :ñaët t = tan

10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x

12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS : x =

k v x = + k

13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2

ÑS : x = + k

15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= +

5/ sin3(x - ) = sinx ÑS : x = +k

6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x = +

k v x= +

7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) +

sinxcosx + 6 = 0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/

7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6

8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0

9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC . Giaûi caùc phöông trình sau:


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x

= cos34x +

5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx

= 07/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x

9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/

11/ sin2 tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx

= 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 /

sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )

15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x –

cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/

19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan )

20/ cotx – 1 =

21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =

D. TOÅ HÔÏPTóm tắt giáo khoaI. Quy tắc đếm1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp1. Hoán vị:a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n2. Chỉnh hợp:a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:

.


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 3. Tổ hợp:a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là:

c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:

III. Khai triển nhị thức Newton

Nhận xét:– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: –

–

Chú ý:

– là khai triển theo số mũ của a giảm dần.

– là khai triển theo số mũ của a tăng dần.

Các Dạng bài toán cơ bảnDạng 1: Bài toán về quy tắc đếmPhương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?Bài 2: Cho tập . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A?Bài 3: Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?Dạng 2: Thực hiện phép hoán vịPhương pháp giải:

Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân

Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?

Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợpPhương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó?Bài 6: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợpPhương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:

Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác?Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa Phương pháp giải: Dùng các công thức:

Bài 8: Tìm , nếu có: .

Bài 9: Tìm , nếu có:

Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:

(khai triển theo lũy thừa của a

tăng, b giảm)

(Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)

Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11.

Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.

Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển

Bài 13: Cho khai triển: , có các hệ số . Tìm hệ số lớn nhấtBài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau

1) Số hạng thứ 13 trong khai triển

2) Số hạng thứ 18 trong khai triển

3) Số hạng không chứa x trong khai triển

4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển

5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển

Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau

1) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển








7) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:

8)

9) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:

10)

11)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển .

Dạng 7: Tìm tổng có chứa Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả.

Bài 16: Tính tổng: Bài 17: Tính tổng: Bài 18: Tính tổng:

E. CAÁP SOÁ COÄNG Kieán thöùc caàn nhôù: 1. Ñònh nghóa: Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng sai. Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong ñoù taát caû caùc soá haïng ñeàu baèng nhau. Ñeå chæ raèng daõy soá (un) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu u1, u2, ..., un, ....2. Soá haïng toång quaùt

Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 + (n - 1)d3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng Ñònh lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá coäng höõu haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà

beân noù, töùc laø (k 2).

4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá coäng Ñònh lí: Ñeå tính Sn tacoù hai coâng thöùc sau:



Sn tính theo u1 vaø d

Sn tính theo u1 vaø un

BAØI TAÄP AÙP DUÏNGBaøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng döôùi ñaây: tìm u15. tìmu20.

ÑS:

Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30.Baøi 3: Cho caáp soá coäng: Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù.Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165.Baøi 5: Tìm 3 soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá haïng ñaàu laø 5 vaø tích soá cuûa chuùng laø 1140.Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät caáp soá coäng vôùi coâng sai laø 25.Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, ...Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147.Tính u1 + u6 + u11 + u16.Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80. Tìm toång S15 cuûa 15 soá haïng ñaàu tieân cuûa caáp soá coäng ñoù.Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuoái vaø soá haïng ñaàu laø 30. Tìm caáp soá ñoù.Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10.Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây:

ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3

vaø d = 4.

3/ u1 = 0 vaø d = ; 4/ u1 = vaø

d = . Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18.Tính toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân.Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3.Tính u20 vaø S20.

ÑS: u20 = 74, S20 = 910Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4.Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1.



Tính d vaø S11. ÑS: d = vaø S11 =

187Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18.Tìm toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. ÑS: S20 = 1350

CAÁP SOÁ NHAÂNKieán thöùc caàn nhôù:1. Ñònh nghóa: Caáp soá nhaân laø moät daõy soá ( höõu haïn

hay voâ haïn), tronh ñoù keå töø soá haïng thöù hai moãi soá haïng ñeàu laø tích cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng boäi.

Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, u1, ..., u1, ... Neáu u1 = 0 thì vôùi moïi q, caáp soá nhaân laø daõy soá 0, 0, ..., ... Ñeå chæ daõy soá (un) laø moät caáp soá nhaân ta thöôøng duøng kí hieäu u1, u2, ..., un, ....

2. Soá haïng toång quaùt Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt cuûa moät caáp soá nhaân ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 (q )3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân Ñònh lí: Trong moät caáp soá nhaân, moãi soá haïng keå töø soá

haïng thöù hai (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá nhaân höõu haïn) ñeàu coù giaù trò tuyeät ñoái laø trung bình nhaân cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø:

4. Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân. Cho moät caáp soá nhaân vôùi coâng boäi q 1 u1, u2, ...,un, ...

Ñònh lí: Ta coù: (q 1)

BAØI TAÄP AÙP DUÏNGBaøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát:1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1

2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.

Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486.Tìm soá haïng ñaàu tieân vaø coâng boäi q cuûa caáp soá nhaân ñoùBaøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát:


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48.Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát:

Baøi 6: Tìm caáp soá nhaân (un) bieát caáp soá ñoù coù 4 soá haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp 9 laàn soá haïng thöù hai.Baøi 7: Toång 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng laø 21. Neáu soá thöù hai tröø ñi 1 vaø soá thöù ba coäng theâm 1 thì ba soá ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Tìm ba soá ñoù.


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN II. HÌNH HỌC

CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNHCaâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô bieán ñieåm M(x;y) thaønh M’(x’;y’) . Tìm toïa ñoä ñieåm M'Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán theo vectô bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N.Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y) sao cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo : Caâu4 : Trong caùc hình sau ñaây, hình naøo coù ba truïc ñoái xöùng:

A) tam giaùc ñeàu B) hình chöõ nhaät C) Hình vuoângD)Hình thoi

Caâu5: Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3). Pheùp ñoái xöùng qua truïc ox bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toïa ñoä ñieåm M'Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y -5=0 .Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp tònh tieán vectô ?Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : 3x+5y-4=0.Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp ñoái xöùng truïc ox.Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3).Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N?Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y -5=0 3x+4y-6=0, pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 . Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C')Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ?A) pheùp ñoàng daïng vôùi tæ soá k=1 ; B) pheùp vò töï tæ soá k= ; C) pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùcCaâu 13 : Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C') vaø pheùp tònh tieán bieán (C') thaønh (C’'). Tìm phöông trình cuûa (C'').Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo .Thöïc hieän pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay ñoù?Caâu 15 : Pheùp vò töï taâm O tæ soá k (k 0) laø moät pheùp bieán hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho :

A) = k B) = k C) OM’ =k OM D) =


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Caâu 16 : trong mp oxy cho ñieåm M( -2;4 ). Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = -2 bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm NCaâu 17 : trong mpoxy cho ñöôøng thaúng d coù PT: 2x + y – 4 = 0. Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 3 bieán d thaønh ñöôøng thaúng d'. Tìm phöông trình d'?Caâu 18 : trong mpoxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : ( x -1 )2 + y2 = 16. pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 2 bieán (C) thaønh ñöôøng troøn (C'). Tìm phöông trình (C')Caâu 19 : Thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp ñoái xöùng truïc coù hai truïc ñoái xöùng song song laø pheùp naoø sau ñaây:A) pheùp ñoái xöùng truïc B) pheùp tònh tieán C) pheùp quay D) pheùp ñoái xöùng taâmCaâu 20 : Trong mp oxy cho ñieåm M(1;2) . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc oy bieán M thaønh ñieåm N. Tìm N? Caâu 21 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+ y+2=0 . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp

pheùp vò töï taâm O tæ soá vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc ox

bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'?Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo khoâng coù tính chaát “bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi noù”:A) pheùp ñoái xöùng taâm B) pheùp tònh tieán C) pheùp vò töï D) pheùp ñoái xöùng truïcCaâu 23: Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 .Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp tònh tieán theo vectô

bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ?Caâu 24 : Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 . Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C')?Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau :

A)pheùp tònh tieán bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính

B) pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính

C) pheùp ñoái xöùng taâm bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính

D) pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính

CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONGVấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG VÀ :Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và ta đi tìm hai điểm chung I ; J của và = I JKhi tìm điểm chung ta chú ý : Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung

M d và d M



b;a

Mba (P) trong M là điểm chung

1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)

1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)

2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE)

1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC)

1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)

1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = 4

1MB ; N nằm trên AC sao cho

AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)

1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?

1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :

NC

AN

MB

AM . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)

1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?

1. 10 : Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)

1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của :a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)



Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Chứng minh A; B; C thẳng hàng :

Chỉ ra A ; B ; C Chỉ ra A ; B ; C Kết luận : A; B; C A; B; C thẳng hàng

Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :

Đặt a b = PChứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P

2. 1: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến d .Trên lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt tại A’ ; B’. AB cắt d tại Ca)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy

2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?

2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm AB ; BC ; AC với . Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?

2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?

2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ?

2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của :a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?

Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG

Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :

Giả sử : a không chéo b


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong

cùng mặt phẳng ( đồng phẳng ) Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc

mâu thuẫn với một điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng

Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn điểm đó cắt nhau hoặc song song với nhau

3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ?

3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, Da)Chứng minh AC chéo BD ?b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD không ?c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng

3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không ? Tại sao ?

3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC. a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ?

Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG

Giả sử phải tìm giao điểm d = ? Phương pháp 1: Tìm a Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và chúng cắt nhau tại M d = M ( hình vẽ )

Phương pháp 2: Tìm chứa d thích hợp Giải bài toán tìm giao tuyến a của và Trong : a d = M d = M ( hình vẽ b)

4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P

4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)



4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)

4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)

4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?

4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC

4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB)

4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SDa)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?

Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA DIỆN

Lần lượt xét giao tuyến của với các mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng

Khi các đoạn giao tuyến tìm được khépkín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm. Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; . . . trong mặt phẳng cũng nhờ vào quá trình đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :

I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến

II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ

5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp

*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N

là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = 2

1MD ; ND =

2

1NC

a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?

*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp

5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp

*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?

*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OCa) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1

5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm SADa) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?

*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm SAB ; SADa) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp

5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?

2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BCa) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA

3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình

4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?

5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?

6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm SADa) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ?

b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số JDJA

c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính KSKA

HD: b) 2 c) 2

7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho

AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ = 4

1BC

a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:IDb) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD

8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song song với BC. Mặt phẳng quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; Na) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả :

SA’ = 1n

1

SA ; SB’ =

1n2

1

SB ; SC’ =

1n3

1

SC

a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ?b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ

Vấn đề 6 HAI ĐT SONG SONGPhương pháp :Có thể dùng một trong các cách sau :- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.- Áp dụng định lý về giao tuyến .

6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN // DE

6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' AB với M' trên AD; NN' AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN' // CD b) M’N// DF

Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng PPhương pháp :Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .

7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a ) ?b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?

7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB.( a ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.a)Mặt phẳng ( a ) cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA //

7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a ) di động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . a)Mặt phẳng ( a ) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ?b)Chứng minh rằng ( a ) khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a ) di động thì M di động trên đường thẳng cố định


Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM và BD a)Chứng minh () luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC b) () cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng

Vấn ñề 8: MAËT PHAÚNG SONG SONG1. Chứng minh hai mặt phẳng song songPhương pháp :* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .

8.1 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi H,I,K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA,SB,SC.

a) Chöùng minh (HIK)// (ABCD).b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa AI vaø KD, N laø giao ñieåm cuûa

DH vaø CI .Chöùng minh (SMN) //(HIK).

8.2 Cho hình hoäp ABCD.AÙB’C’D’. a) Chöùng minh (BA’D) // (B’D’C).b) Chöùng minh AC’ qua troïng taâm G vaø G’ cuûa tam giaùc

A’BD vaø CB’D’

8.3 Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA ,CD.

a) Cm: (OMN) //(SBC).b) Giaû söû tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE,A F laø

caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa tam giaùc ACD vaø SAB . Cm: E F //(SAD).

8.4 Cho hai hình vuoâng ABCD, ABE F khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng . Treân caùc ñöôøng cheùo AC,BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M,N sao cho AM=BN . Caùc döôøng thaúng // AB veõ töø M,N laàn löôït caét AD, A F taïi M’,N’.

a)Cm: (CBE) //(AD F).b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).


Bai Tap Giai Tich 11(Rat Cong Phu)

Documents

Transcript of Bai Tap Giai Tich 11(Rat Cong Phu)