http://pl.wikipedia.org/

linia węzłów

ψ

„punkt zamocowania”

http://suppiya.wordpress.com/2008/04/06/falling_cat/

Warunek równowagi bryły

sztywnej:

Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.

Precesja koła rowerowego

mg

r

→

L

→→

∆+ LL

→

∆ L

→→→

→→

×=

=∆

∆

FrM

Mt

L→→

→

⊥⊥∆

∆Fr

t

L

L

mgr

t=

∆

∆=Ω

ϕ

Częstość precesji:

JLr

≡→

Oznaczenia na

poprzednich wykładach

L

L∆=∆ϕ

ϕ∆

Niezwykłe własności żyroskopów

• Kolej jednoszynowa

• Kompas żyroskopowy

Twierdzenie Steinera

S x’, x

y y’

z’ z

O

mi

→

isr

d

→

ir

Is - moment bezwładności względem

osi równoległej do osi z przechodzącej

przez środek masy SI - moment bezwładności względem

osi równoległej do osi przechodzącej

przez środek masy i odległej od niej o d.

∑ += ])()[( 2'2'

iii yxmI

isiisi

isi

zzyy

dxx

==

+=

''

'

,

Dobieramy osie układów wsp. tak aby:

∑ ∑∑∑∑

+++=

=+++=++=

iisiisisi

isisisiisisi

mdxmdyxm

yddxxmydxmI

222

22222

2)(

)2(])[(

∑ = 0isi

xmZ definicji układu środka masy:

Stąd:2

mdIIs

+=

Obliczanie momentów bezwładności prostych brył

• korzystanie z symetrii

• całkowanie

• skalowanie i tw. Steinera

R

m

Obręcz o promieniu R i masie m

Moment bezwładności względem osi przechodzącej

przez środek ciężkości, prostopadłej do płaszczyzny

obręczy. Dzielimy obręcz na kawałeczki o masie mi

2222 )( mRRmyxmIiiii

==+= ∑∑

x

y

mi

xi

yi

Płaski krążek

r

drR

Dzielimy krążek na cienkie obręcze

o promieniu r i szerokości dr.

drrR

mrdr

R

mrrdmdI

3

2

2

2

2 2 2 ===

ππ

Moment bezwładności takiego pierścienia:

Sumując przyczynki od obręczy dla wszystkich r 0 do R

dostajemy:

244

2

0

3

2 2

1)0(

4

122mRR

R

mdrr

R

mI

R

=−== ∫

Moment bezwładności kuli

R

z

dm

r

Dzielimy kulę o masie m na cienkie krążki

o promieniu r i wysokości dz każdy.

Masa takiego krążka

dzrR

mdzr

R

mdm

2

3

2

3 4

3

3

4 == π

π

Moment bezwładności krążka:

dzzRR

mdzr

R

mdI

222

3

4

3)(

8

3

4

3

2

1 −==

∫∫∫ +−=−=−=−

RRR

R

dzzzRRR

mdzzR

R

mdzzR

R

mI

0

4224

3

0

222

3

222

3)2(

4

3)(

8

32)(

8

3

Sumując przyczynki od krążków dla różnych z dostajemy :

225324

3 5

2)

5

1

3

21(

4

3)

5

1

3

12(

4

3 mRmRRRRRR

R

mI =+−=+−=

Moment bezwładności sfery

R

mi

ri

22222 )( iiiiiiiii

ymxmyxmrmI ∑∑∑∑ +=+==

222

iiiiiizmymxm ∑∑∑ ==

Z symetrii:

Zatem:

)(3

2 22222

iiiiiiiizyxmymxmI ++=+= ∑∑∑

2222 Rzyxiii

=++Ponieważ:

22

3

2

3

2 mRmRI

i== ∑

Ten sposób można stosować do obliczania momentów bezwładności innych

brył, np.. do obliczenia momentu bezwładności krążka względem osi pokrywającej

się z jego średnicą, wykorzystując fakt, że znamy moment bezwładności względem

osi prostopadłej do jego powierzchni…

Symetria i skalowanieMoment bezwładności można

często wyznaczyć posługując sięargumentami skalowania i tw. Steinera

Obliczmy moment bezwładności

pręta o masie m i długości L,

względem osi prostopadłej

przechodzącej przez jego środek

masy

L

L

Korzystając z analizy wymiarowej dochodzimy

do wniosku, że moment ten powinien mieć postać:

2 mLI α= α - pewien współczynnik bezwymiarowy

Podzielmy w myśli pręt na dwie równe części i obliczmy (korzystając z tw. Steinera)

ich sumaryczny moment bezwładności względem środka pręta:

2222

11644222

2 mLmLLmLm

I +=

+

= αα

Ale I=I1

22

2

164

mLmLmL += αα

12

1=α 2

12

1 mLI =

Toczenie bez

poślizgu…

Fn

Fs

mg

αα

T

)sin(αmgRRFFRM === ⊥⊥

Mdt

dI =

2

2α

Mdt

dI =

ω

ϕ

dt

dϕω =

MI =ε

toczenie bez poślizgu to

R

a=ε

…jako obrót względem chwilowej osi obrotu

I

mgR )sin(αε =

)sin(2

αgI

mRa =

I – moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu

2mRII

s+=Z tw. Steinera

2

2

2

2

3

mRI

mRI

=

=

Is – moment bezwładności

Względem środka masy

dla walca

dla obręczy

Obręcz toczy

się wolniej!

ε- przyspieszenie kątowe

R

υω =

Jeśli chcemy znać wartość siły tarcia…

Toczenie jako złożenie ruchu obrotowego i postępowego…

=

−=

TRI

Tmgma

sε

α )sin( ruch postępowy

ruch obrotowy

względem środka masy

toczenie bez

poślizgu R

a=ε

=

−=

aR

IT

Tmgma

s

2

)sin(α

=

+=

aR

IT

gmRI

mRa

s

s

2

2

2

)sin(α

=

=

)sin(3

1

)sin(3

2

α

α

mgT

ga

Walec

=

=

)sin(2

1

)sin(2

1

α

α

mgT

ga

Obręcz

Żeby toczenie odbywało

się bez poślizgu, siła tarcia musi

mieć odpowiednią wartość! Zwiększając kąt α przy danym

współczynnika tarcia f można

doprowadzić do

poślizgu…(sprawdzamy eksperymentalnie

dla walca i obręczy)

Wtedy siła tarcia przyjmuje maks.

wartość Tmax =fmg cos(α)

Fn

Fs

αα

T

ϕ

Toczenie bez poślizgu gdy T<Tmax !!!

Ruch obręczy – przykład połączenia ruchu

postępowego i obrotowego

Ruch środka masy

V

ωObrót

Obręcz wraca …

T

• ruch z poślizgiem (T=Tmax)

• ruch bez poślizgu (wartość siły tarcia dostosowuje się do sytuacji….)

Wahadło fizyczne

α

α

mg

O

d

O – punkt zawieszenia wahadła

d - odległość od punktu zawieszenia do

środka masyI – moment bezwładności względem O

S

Mdt

dI =

2

2α

)sin(2

2

αα

I

mgd

dt

d−=

02

2

=+ αα

I

mgd

dt

d

Dla małych kątów α:

Równanie oscylatora harmonicznego

I

mgd=ω

mgd

IT π2=Częstość drgań Okres drgań

O’

l

⊥F

dFM ⊥−=

Wahadło rewersyjneJaką długość l musi mieć wahadło matematyczne,

aby miało okres T identyczny z wahadłem fizycznym?

g

l

mgd

Iππ 22 =

md

Il =

długość zredukowana

wahadła fizycznego

Jaki okres będzie miało wahadło fizyczne jeśli zawiesimy je w

punkcie O’ odległym o l od punktu O?

)(

'2'

dlmg

IT

−= π

I’ – moment bezwładności względem O’

z twierdzenia Steinera:

2)(' dlmIIs

−+=2

mdIIs

+=

)(22dlmdmdlmdmdII

s−=−=−=

ldlmdlmdlmdI )()()(' 2 −=−+−=

Tg

l

dlmg

ldlmT ==

−

−= ππ 2

)(

)(2'

Czyli:

Zatem: T=T’Przy zawieszeniu

w punktach O i O’

okresy są równe!

α

α

mg

O

d

S

O’

l

⊥F

Długość zredukowana dla pręta zawieszonego

na jednym z końców

L

l

mgd

IT

pπ2=

2

3

1mLI =

g

LT

p3

22π=

2

Ld =

g

lT π2= okres wahadła

matematycznego

okres wahań pręta

Ll3

2=

Zawieszając obok siebie pręt i kulkę na nitce o długości 2/3 L

można się przekonać, że okresy ich drgań są równe...

Wahadło rewersyjne

Wahadło składa się z pręta zaopatrzonego w dwie

stałe osie pryzmatyczne O i O’

(osie pryzmatów zwrócone do środka)

Przesuwając masy m1 oraz m2 można zmienić położenie

środka ciężkości wahadła. Masy przesuwamy dopóty, dopóki

okresy wahań wokół osi O i O’ nie zrównają się, wtedy

Odległość OO’ będzie odpowiadała długości zredukowanej wahadła fizycznego l. Znając odległość OO’= l oraz okres drgań T

można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie, tak

jak zrobił to H. Kater w 1818 r...

2

24

T

lg

π=

m2

O

O’

m1

l

g

lT π2=

Grawimetria – badanie zmian siły ciężkości w terenie (na jednakowym poziomie

lub zależności od wysokości)

(poszukiwanie kopalin, badanie wyrobisk i innych form wewnątrz ziemi…

Dokładność współczesnych grawimetrów – 10-8 g = 0,01 mGal (1 Gal = 0,01 N/kg)

Uderzenie bryły

O

S

O’F

W jakiej odległości od punktu O należy uderzyć bryłę,

aby bryła podczas uderzenia dokonała obrotu wokół

punktu O?

Ruch postępowy środka masy:

tmmaF

∆

∆==

υ

Aby ruch środka masy można było opisać jako obrót

wokół punktu O to powinien być spełniony związek:

l

d

ωυ ∆=∆ d d – odległość środka masy od punktu O

∆ω - przyrost prędkości obrotowej bryły

tmlFl

∆

∆=

υ

tmldFl

∆

∆=

ω

tIFl

∆

∆=

ωFl – moment siły F

względem punktu O,

więc powinno być spełnione

dla ruchu obrotowego bryły…

Zatem: md

Il =

Czyli bryłę należy uderzyć dokładnie w

odległości równej długości zredukowanej

wahadła fizycznego...

Uderzenie pręta

L

l=2/3L

obrót wokół końca

F

F

F

ruch postępowy koniec pręta się cofa…

S

O’

O

O’ O’

O’ – środek uderzenia pręta (trzymanego na końcu)

Trzeba uważać gdzie się trzyma

młotek…

F

O’ SO

Tu należy trzymać, żeby nie bolało!