NÚMEROS COMPLEXOS z = a + bi

( )θθρ isenz += cos

03 =++ baxx ⇒33

22E

bE

bx −

−++

−=

em que 32

32

+

=

abE

Apostila de Exercícios

Professor Gerson Henrique Sejafera – o site do vestibular

meualuno.com

R

C

1- Efetue:

A) 3i)i (6 -1 i) - (4 ++++++++

B) 5i) i)(2 - (6 3i) - 4i)(2 (7 ++++++++++++

C) i

i

54

3

+

− D)

2

2

)3(

)2(

i

i

−

−

2- Efetue: 198219831981

iii ++

3- (STA. CASA) Se ,3

213

biai

i+=

+

− obtenha a e b.

4- (CESCEM) Seja o número complexo z tal que

zizi 23 −= . Obtenha o módulo de z.

5- (MACK) O número complexo yixz += é tal que

.23 =−z Dê os intervalos de variação de x e y,

respectivamente

6- (U.E.LONDRINA) Sejam os números complexos

ixw 2)1( +−= e ixw 2)1( +−= , onde x, y E IR. Se

w = v, então:

a) x + y = 4 b) x . y = 5

c) x – y = -4 d) x = 2y

7- Calcule z em cada um dos seguintes casos:

a) z = -3 + 4i d)z = - 8

b) z = 1 + i e) 2)2( iz +=

c) z = i22 + f) 3

1

i

iz

+=

Nos exercícios de 8 a 10 escreva cada complexo z na forma

trigonométrica.

8- a) 22 iz += d) iz 322 −=

b) iz +−= 3 e) iz2

3

2

1+=

c) 31 iz −−= f) iz +−= 1

9- a) z = 5

b) z = i

c) z = - 2

d) z = - 7i

10- a) ( )21 iz += b)

i

iz

+

−=

3

3

11- Escreva z na forma algébrica.

a)

+=

66cos3

ππisenz

b)

+=

4

3

4

3cos6

ππisenz

c) ( )ππ isenz += cos2

d)

+=

22cos

5

1 ππisenz

e)

+=

3

5

3

5cos4

ππisenz

f) 00cos isenz +=

g)

+=

2

3

2

3cos2

ππisenz

h)

+=

4

7

4

7cos2

ππisenz

12- Sendo 66

cosππ

isenz += , calcule:

a) 4z b)

8z c) 18z

13- Calcule:

a) ( )6

22 i− b)

100

2

3

2

1

+− i

14 - Determine o menor inteiro positivo n, para que o

número ni)31( + seja real.

15- Calcule as raízes quadradas de:

a) - 9 b) i c) - 2i d) i2

3

2

1+

16- Calcule as raízes cúbicas de:

a) 27 b) 64i c) - i d) – 8

17- Calcule as raízes quartas de:

a) 1 b) – 256 c) – 8 + 8 3 i

18- Resolva as seguintes equações em C.

a) x2 + 25 = 0 b) x – 8 = 0 c) x

4 + 16 = 0

d) x6 + 1 = 0

19 - (Cefet – 2007/2) Os pontos A, B e C são,

respectivamente, os afixos dos números complexos z1 = 2 +

i , z2 = – 4 + i e z3 = bi , com b < 0, no plano de Argand-

Gauss. Se a área do triângulo ABC é 12, então, b vale

a) – 2 b) – 5/2

c) – 3 d) – 7/2

e) – 4

20 - (Cefet – 2007/1) Se z é um número complexo e z seu

conjugado, a solução da equação

é:

a) {1 + i, 2 + i} b) {1 – i, 2 + i}

c) {1 – i, 2 – i} d) {–1 + i, 2 + i}

e) {1 + i, –2 + i}

21 - (Cefet – 2006/1) Sejam z e w dois números complexos,

tais que z tem parte real 8 e parte imaginária – 4, e w tem

forma trigonométrica com módulo igual a 2 e ângulo 3π/4.

O resultado da divisão de z por w é

a) ) i (32 ++++ b) i) 3 (12

c) i) (32 ++++ d) i) 3 (32 ++++

e) )i31( −−−−2-

22 - (Cefet – 2006/2) Numa progressão geométrica, em que

o primeiro termo é 1 – i e a razão é i , o décimo termo será

a) 2i b) 1 + i

c) 1 – i d) –1+ i

e) –1 – i

23 - (Cefet – 2005/2) O número complexo z , tal que

(((( )))) (((( )))) 60i2zz5 ====++++⋅⋅⋅⋅++++ , é

24 - (Cefet – 2004/1) Para que seja válida, entre números

complexos, a igualdade , o valor de

b deve ser igual a

a) –9 b) –6

c) 9 d) 6 ou –6

e) 9 ou –9

25 - (Cefet – 2003/2) O número complexo (((( ))))

i34

i22

++++

−−−− é

igual a

a) –i b) -1

c) +i d) i25

24 e) i

7

24

26 - (UFU – 2006/2) A representação geométrica do

conjugado do número complexo em que i é a

unidade imaginária, encontra-se no

A) primeiro quadrante. B) segundo quadrante.

C) terceiro quadrante. D) quarto quadrante.

27 - (Efoa) Seja i a unidade imaginária, 1−=i . O valor

da expressão ( )

( )3

5

1

1

i

i

−

+ é:

a) 1 b) 2−

c) i2 d) i2−

e) 2

28 - (UFMG - 2008)

1. ESCREVA na forma trigonométrica os números

complexos em que i2 = – 1 .

2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais

que

29 - (UFMG – 2007) (Constituída de dois itens.)

Seja S o conjunto de números complexos z tais que

| z – (2 + 4i) | = 2 .

1. No plano complexo abaixo, FAÇA o esboço de S, sendo

z = x + iy, com x e y números reais.

2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem.

1) A = 7 – 6i B = 43 + 15i C = i41

19

41

7− D =

2

i−

2) 1− 3) 2

1=a e

2

1−=b

4) 5=z 5) 51 ≤≤ x e 22 ≤≤− y

6) a 7) a) 5 b) 2 c) 2 d) i

8) a)

+=

44cos2

ππisenz

b)

+=

6

5

6

5cos2

ππisenz

c)

+=

3

4

3

4cos2

ππisenz

d)

+=

3

5

3

5cos4

ππisenz

e)

+=

33cos

ππisenz

f)

+=

33cos2

ππisenz

9) a) ( )00cos5 isenz +=

b)

+=

22cos

ππisenz

c) ( )ππ isenz += cos2

d)

+=

2

3

2

3cos7

ππisenz

10) a)

+=

22cos2

ππisenz

b)

+=

3

5

3

5cos2

ππisenz

11) a) iz2

3

2

3+=

b) iz 2323 +−=

c) 2−=z d) iz5

1=

e) iz 322 −= f) z = 1

g) iz 2−= h) iz −=1

12) a) i322 +− b) i388 −− c) 512

13) a) 64i b) i2

3

2

1+−

14) n = 3

15) a) 3i e -3i b) i2

2

2

2+ e i

2

2

2

2−−

c) i22 +− e i2

1

2

3−−

d) i2

1

2

3+ e i

2

1

2

3−−

16) a) 3 ; i2

33

2

3+− ; i

2

33

2

3−−

b) i232 + ; i232 +− ; i4

c) i ; i2

1

2

3−− ; i

2

1

2

3+

d) i31 + ; 2− ; i31−

17) a) 1, i, -1, i

b) i2222 + ; i2222 +− ; i2222 −− ;

i2222 −

18) a) { }iiS 5,5−=

b) { }iiS 31;31;2 −−+−=

c) { }iiiiS 22;22;22;22 −−−+−+=

d)

−−−+−+= iiiiiS2

1

2

3;

2

1

2

3;

2

1

2

3;;

2

1

2

3

19) c 20) d 21) e 22) b 23) a 24) a 25) a

26) b 27) e 28) 1 - (((( ))))00 30isen30cos2 ++++ e

(((( ))))00 45isen45cos4 ++++ 2 – m = 48 e n = 24

29) 1 . Esboço de uma circunferência de centro (2,4) e raio

2.

2 . i5

858

5

454Z )próximo(

−−−−++++

−−−−====