Algebros Ir Analizes Pradmenu Didaktine Medziaga 11-12 Kl. (1988)

ALGEBROS IR ANALIZĖS

PRADMENŲ DIDAKTINĖ MEDŽIAGA

Xl-Xll KLASEI

ALGEBROS IR ANALIZĖS

PRADMENŲ DIDAKTINĖ MEDŽIAGA

Xl-Xll KLASEI

KNYGA MOKYTOJUI

">"> 1 4 7 7 ? г,. Μ. И в л е в . С. N1. С а а к я н, Б. B. С о р о к и н , С. И. Ш в а р ц б у р д

А 1 - 1 0 3 ДИДАКТИЧЕСКИЕ М А Т Е Р И А Л Ы ПО АЛГЕЫ'Е И Н А Ч А Л А М А Н А Л И З А Д Л Я X К Л А С С А Пособие д л я учителя Москва, «Просвещение». 1984

Originalą rekomendavo TSRS švietimo ministerijos vyriausioji mokyklų valdyba

Ver t ė ONA VOKIETAITYTĖ

Išleista paga l Lietuvos TSR šv ie t imo min is te r i jos užsakymą

4306020000—196 , M853(10)—88

• Užsak—87

© Издательство «Просвещение» , 1984 г. © Ver t imas į l ie tuvių ka lbą , l e idyk la , ,Šviesa", 1488

PRATARMĖ

Ši knyga panaši į atitinkamas knygas mokytojams V-X klasei. Čia pateikiami algebros ir analizės pradmenų savarankiški ir kontroliniai dar-bai. Knygos pabaigoje nurodomi mokymo priemonės skyreliai, kuriuos atitinka savarankiški ir kontroliniai darbai. Abiejų tipų rašomųjų darbų didaktiniai tikslai mokytojams yra aiškūs.

Atsižvelgdami į kurso kartojimo svarbą baigiamojoje XII klasėje, sky-riaus „Savarankiški darbai" pabaigoje autoriai pateikia („SK") darbų rinki-nį, kurių tikslas pakartoti visą išeitą algebros ir analizės pradmenų kursą. 16 paskutiniųjų savarankiškų darbų skiriama baigiamojo kartojimo pamo-koms XII klasėje.

Be to, mokinių apklausai žodžiu ir pusiau žodžiu knygoje pateikiami „Tikrinamieji darbai" ir mokymo priemonės „Skyrių kartojimo klausimai". Juos galima mokiniams pasakyti iš anksto, prieš pradedant kartoti tam tikrą temą\ pagal juos kai kurie mokiniai gali būti klausinėjami ne vieną kartą. Tikrinamieji darbai trumpai aprėpia visą VIl-XII klasės algebros ir analizės pradmenų kursą. „Skyrių kartojimo klausimai" labiau siejasi su atitinkamais mokymo priemonės skyriais. Kad būtų patogiau šiuos klausi-mus naudoti per frontalią apklausą arba apibendrinamąsias pamokas pa-gal tam tikrą temą, teorijos klausimai ir pratimai yra suskirstyti grupėmis: teorijos klausimas ir keletas jį įtvirtinančių nesunkių pratimų. Sunkesni klausimai ir ne tokie svarbūs klausimai galutiniam mokinių žinių, mokėji-mų ir įgūdžių vertinimui šiame skyrelyje pažymėti žvaigždute (kaip ir kita neprivaloma medžiaga).

Savarankiški darbai žymimi raide S su atitinkamu numeriu. Pavyzdžiui, S—3 — trečias savarankiškas darbas. Paprastai savarankiškiems darbams skiriama 10 - 20 min. Jie padeda išsiaiškinti, kaip išmokta medžiaga, ir turi didelę mokomąją reikšmę. Ne už visus šiuos darbus pažymiai rašomi žurna-le. Kai kurie savarankiški darbai sudaryti remiantis 2 — 3 mokymo priemonės skyreliais. Tokius savarankiškus darbus mokytojas gali skirti per vieną ar-ba dvi pamokas, atsižvelgdamas į savo pamokos planą.

Knygoje pateikiami 8 savarankiškų (S) darbų variantai. Pirmieji du variantai yra truputį lengvesni už 3—6 variantus, o paskutiniųjų dviejų (7 ir 8) — užduotys sunkesnės. Jos gali būti skiriamos mokiniams, kurie labiau domisi matematika. Septintą ir aštuntą variantą reikia duoti spręsti, atlikus pagrindines užduotis kartu su kitais klasės mokiniais, arba kaip papildomus neprivalomus namų darbus. Be to, jie gali būti sprendžiami matematikos būreliuose.

Kontroliniai darbai (atsakymuose) žymimi raide K ir atitinkamu numeriu. Visi keturi kontrolinių darbų variantai yra vienodo sunkumo. Šių darbų apim-

t is nemaža. Atsižvelgdamas į savo klasės galimybes, mokytojas gali suma-žinti kai kurias kontrolinio darbo užduotis arba supaprastinti jas.

Papildomos kontrolinių darbų užduotys skiriamos mokiniams, kurie labiau domisi matematika. Mokiniai jas sprendžia atskiruose lapeliuose ir tik visiškai išsprendę atiduoda mokytojui. Nebaigę spręsti gali pasilikti baigti namuose arba matematikos būrelyje.

Knygoje pateikiami viso algebros ir analizės pradmenų kurso savaran-kiški darbai, neatsižvelgiant, ar jie privalomi visiems mokiniams ar ne. Kai atitinkama tema nagrinėjama mokymo priemonės skyrelyje, pažymėtame žvaigždute (vadinasi, yra neprivaloma visiems mokiniams), tada ir savaran-kiškas darbas žymimas žvaigždute; jis neatliekamas klasėje su visais moki-niais. Mokytojas turi atsižvelgti į tuos žymėjimus ir Į visus nurodymus, nes įvairiais mokymosi metais dėl vienokių ar kitokių priežasčių privalomi darbai gali keistis (žvaigždutė gali būti nuimama arba, priešingai, kai kurie darbai, kurie anksčiau nebuvo pažymėti, vėliau gali būti žymimi žvaigždute).

Knygos pabaigoje pateikiami visų savarankiškų, kontrolinių ir tikrina-mųjų darbų atsakymai.

Autoriai

1 variantas

S—48

1. Patikrinkite, ar funkcija j> = cos 2 χ yra diferencialinės lygties y" = = — 4y sprendinys.

2. Parašykite harmoninio svyravimo y = 3cos .v diferencialinę lygtį.

Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

S—49

I. I paveiksle nubraižytas funk-cijos /(.v) = sin Jf grafikas intervale

[ - Y ; γ j . Atsakykite į klausi-

mus: a) Kokios kintamojo χ reikš-

mių, su kuriomis f ( x ) = 0, f(x)>0, f(x)<O, aibės?

b) Nurodykite χ reikšmes (jei-gu jos egzistuoja), su kuriomis funkcija / įgyja maksimumą arba minimumą.

c) Kokie funkcijos f didėjimo (mažėjimo) intervalai?

d) Kokia funkcijos / reikšmių sritis? e) Ar funkcija f yra apgręžiama?

l pav.

S—50 1. Raskite reikšmes:

a) arcsin y ; b) a r c t g į - V T ) .

2. Apskaičiuokite arcsin ( - l ) + arctg ( - 1).

S—51

Išspręskite lygtis:

a ) s i n * = - - ę , · b) cos 2л· = 1; с) 3 tg (лЧ- j j = - ] / 7 .

S—52

Išspręskite nelygybes:

a) sin χ > j; b) tg 2x < 1 .

S—53


a ) 4 sin2.v +4 sin χ —3 = 0; b) "Į/T"sin .v = cos .v.

S—54

{rodykite tapatybes:

a) 2 cos2 γ — cos α = 1;

b) 2 sin (15° + α) cos (15° - α ) = sin 30° + sin 2α.

S—55

1. {rodykite, kad funkcija F yra funkcijos /pirmykštė funkcija inter-vale ]— oo; oo[, kai :

a) F(x)=x3-2x + 1; / ( x ) = З л ' - 2;

b) F(x) = 2 sin 2 x - 2 ; / ( * ) = 4 cos 2x.

2. Raskite funkcijos f(x)=x2 pirmykštę funkciją, kurios grafikas ei-na per tašką M (— 1; 2).

S—56

Raskite funkcijos / (χ ) pirmykštę funkciją intervale ]0; oo[: 3 . .

a) f ( x ) = 2 sin л- + 3 cos χ; b) f ( χ ) =

S—57

Apskaičiuokite integralą: V π

5 2

a) j* 4dx; b) J sin xdx. г о

S—58

Apskaičiuokite šių linijų apribotos figūros plotą:

a) y = JC2, X= 1, χ = 3, J = 0;

b) j = 2 cos χ; >' = 0, - γ ί

S—59

Taškas juda tiese taip, kad jo greitis momentu t yra lygus v (/)= Ю —

— 0,2/ Į — J . Raskite kelią, kurį nuėjo taškas per laiką nuo 3 iki 10 s.

S—60*

Apskaičiuokite: 1 2π

a) / (*+!fdx\ b) J c o s j - d x . 0 n

S—61

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos = graf iką.

2. Išspręskite lygtį 0,5* ,+2* = 0,125. 2

3. Išspręskite nelygybę 0,71 < 2 — .

S—62 3

1. Apskaičiuokite: a) log,/^-^; t O l o S e i V T -

2. Raskite funkcijos J = Iogi (3x + 4) apibrėžimo sritį. T

3. Schemiškai pavaizduokite funkcijos j = 2 Ig χ grafiką.

1. Išspręskite lygtį I g 2 X- IgΧ 2 = 3.

2. Išspręskite nelygybę Iog2 ( 3 x - 1) < Iog2 (2x + 3).

S—64

1. Raskite funkcijos / ( x ) išvestinę:

a) / ( x ) = e~5*; b) / ( x ) = x · 2*.

2. Parašykite funkcijos f ( x ) = 2e~x graf iko liestinės lygtį taške, kurio abscisė x0 = 1.

3. Raskite funkcijos f(x)=x-eix mažėjimo ir didėjimo intervalus.

S—65

1. Raskite funkcijos / (x ) išvestinę:

a) / (x ) = In (2x + 1); b) / ( * ) = Iog3 (2x2 - 3x + I).

2. Parašykite funkcijos / (x ) = Iog2X grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė X0 = 2.

3. Raskite funkcijos y=Xi In χ maksimumus ir minimumus.

S—66

1. Raskite funkcijos pirmykštę funkciją intervale ]0,5;+co[.

8

2. Apskaičiuokite į * . 2

S—67

1. Raskite funkcijos / (x ) = x v ^ — išvestinę.

2. Išspręskite lygtį " [ / T T ^ x - I = 3 .

1. Išspręskite lygčių sistemą

į 2х-Ъу = 1,

\ 3 x - 4 v = 17.

2*. Išspręskite lygčių sistemą (b - parametras)

i x + 2by = 3,

\ 2 x - 4 y = 6.

S—69 Išspręskite lygčių sistemą

χ + y- z = - 9,

- χ + y+3z= 17,

2x —3j + 3z = 32.

S—70 Išspręskite lygčių sistemą:

a) i Iog2 χ + Iog2J = 2 + Iog2 3; b)* < sin χ + sin J = 1,

I Iog2 (χ + j>) = 3; i ν j- ν = —

S—71

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos spren-dinių aibę:

a) x + y ž 3,

x + J < 5 ,

x>0,

2 y ž x ;

b)

х2 + уга 1,

j - x ^ O .

S—72*

Raskite didžiausią funkcijos J(X; J) = 3x+5_Y reikšmę, kai

χ + 1,

x>0,

yžO,

2 y - 2 x ž l .

1. Apskaičiuokite — — + 7 + . 7 + 4 У Т 7 - 4 V T

2. Detalės, kurias darbininkas turėjo pagaminti pagal planą, sudaro 80 % pagamintų detalių skaičiaus. Kiek procentų darbininkas viršijo pla-ną?

3. Apskaičiuokite proporcijos χ : ( 10 ,5 -0 ,24 -15 ,15 : 7,5) =

= ( l ^ į — 0 , 9 4 5 : 0 , 9 ) : ( l γ ) nežinomąjį narį.

S—74

1. Traukinio greitis padidėjo nuo 70 iki 85 km/h. Kiek procentų su-mažėjo laikas, per kurį traukinys nuvažiuos tą patį kelią?

2. Parašykite lygtį tiesės, lygiagrečios tiesei y = 2x-l ir einančios per tašką M{5; 1).

S—75

1. Suprastinkite reiškinį o2 — ac2 + 2c2 — 4 a2 — 4a + 4 a' + 2a + 2c2 — C1 o2 + ac2 - 2a - 2c2 '

χ 4 18 2. Išspręskite lygtį — - + -^-j-y- = .

S—76

1. Atlikite veiksmus:

a ) 4 5 ^ 4 3 ; 9 4 : b ) 1 / 4 Ū ; c) 74,93.

2. Kambario ilgis 4,95 m, plotis 3,8 m, aukštis 2,65 m. Apskaičiuokite kambario tūrį.

S—77

1. Apskaičiuokite, naudodamiesi praktinėmis apytikslio'!skaičiavimo taisyklėmis:

a) ab + c; b) a + b - c ; kai a^52 ,34 ; b ^ 5 , 6 ; c^0,076.

2. Sudėkite ir nurodykite gautojo rezultato paklaidos rėžį ir santyki-nės paklaidos rėžį: x+y , kai x = 2,54±0,01; y=7,8 + 0,15.

1. Nurodykite funkcijos _y = 2x2 — 3 x + l kintamojo .r reikšmių, su ku-riomis O, y< 0, aibę.

2. Kvadratinį trinarį x 2 - 7 x + 1 0 išskaidykite dauginamaisiais (jeigu įai įmanoma).

3. Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai - 0 , 2 ir —5.

S—79

1. Aritmetinės progresijos pirmasis narys lygus 3,4, o skirtumas 0,9. Parašykite aritmetinės progresijos w-tojo nario formulę ir apskaičiuokite penkiolikos pirmųjų narių sumą.

2. Apskaičiuokite begalinės geometrinės progresijos sumą, kai pirma-2

sis narys lygus 3,5 ir vardiklis lygus — - .

3. Raskite ribą:

ч ,· 2-5/1 . . .. / 5л + 4 л - 5 \ a ) l l m Т Т Л i b ) l l m Ь г г г 1 r · n-+ 00 3 + 4,5л \ 2 + Зл 6 л — 1 /

S—80

1*. Raskite ribą:

• Λ'2 — χ X^ — 4 a) Iim - j - ; b) Iim ^ .

2. Raskite funkcijos f ( x ) išvestinę:

a) f ( χ ) = 3x* + 2 x ^ - 1 ; b) f ( x ) = ^ .

3. Raskite funkcijos g (x) = (x2— I)102 išvestinę, taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo formulę.

S—81

1. Raskite funkcijos y = 4x4 — 2x 2+3 didėjimo bei mažėjimo interva-lus ir ekstremumus.

2. Reikia pagaminti kūgio formos piltuvėlį, kurio sudaromoji /=15 cm. Koks turi būti piltuvėlio aukštis, kad jo tūris būtų didžiausias?

S—82

1. Parašykite funkcijos / (χ ) pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką:

a) f (χ) = Xi + 3 s.n χ; b) /(x) = - ^ 7 + + .

2. Apskaičiuokite linijų j = 0, j = 2 x 2 - I, .v= I, x = 3 apribotos figūros plotą.

S—83

1. Išspręskite lygtis:

a) 2 sin2 . v - cos .v= 1; b) 32x + 1 - IO · Зд + 3 = 0.

2. Išspręskite nelygybes:

a) t g ( x + b) Ig(.v2 + χ + 8) < 1.

S—84

1. Išspręskite lygtį У .v + l ' 3 - |/x + I =2. 2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

X + V + Z = 6 ,

x - 2 j + 3z = 6,

2x — >' + 2z = 6.

i v3+>,3 = 9 (

3. Išspręskite sistemą { , I Ioga χ + Iog 2 J= 1.

S—85

Ištirkite funkc i j ą/(x)=.v 3 -3x+5 ir nubraižykite jos grafiką, naudoda-miesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė .V0 = 2.

S—86*

1. Parašykite harmoninio svyravimo .v (/) = 3 c o s | y — j j diferencia-

linę lygtį. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

2. Parašykite diferencialinės lygties J ' ' = - y .y sprendinių bendrą-ją išraišką.

S—48

1. Patikrinkite, ar funkcija j = c o s y χ yra diferencialinės lygties y" =

= — y y sprendinys.

2. Parašykite harmoninio svyravimo J = y cos 3x diferencialinę lygtį.

Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

1. 2 paveiksle· nubraižytas funk- y cijos /(;v) = cos χ grafikas intervale [0; π]. Atsakykite į klausimus: '

a ) Kokios kintamojo χ reikš-mių, su kur iomis/(x) = 0 ; / ( x ) < 0 ; /(x)>O, aibės? _

b) Nurodykite χ reikšmes (jeigu o jos egzistuoja), su kuriomis funk-cija f įgyja maksimumą arba mi-nimumą.

c) Kokie funkcijos f didėjimo (mažėjimo) intervalai?

d) Kokia funkcijos / reikšmių sritis?

e) Ar funkcija / yra apgręžiama?

S—50

1. Raskite reikšmes:

a ) arc cos ( — y ) ' b) a r c t g l .

2. Apskaičiuokite arcsin - are tg У 3 .

S—51


a) C o s x = - J y ^ ; b ) s i n 2 x = l ; c) 9 tg ( x - J ) = 3\iJ.

S—49

2 pa v.


a) cos .v > γ ; b) tg 3.v < - 1 .

S—53 Išspręskite lygtis:

a) 4 Cos2-V - 4 cos x — 3 = 0; b) sin .v= l/T cos .v.

S—54

[rodykite tapatybes:

a) 2 sin2 \ +cosoc= I; b) 2 cos (30° + α) cos (30° - α ) = cos 60° +

+ cos 2α.

S—55

1. Įrodykite, kad funkcija F yra funkcijos / pirmykštė funkcija inter-vale ]—oo; co[, kai :

a) F(X) = Xi- 3x2 + 7; /(.v) = 4 x 3 - 6 x ; b) F ( jv) = cos (2л· - 4 ) + I; f (χ)= -2 s in ( 2 x - 4 ) . 2. Raskite funkcijos / (X)=X 3 pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina

per tašką M (I, - I).

S—56

Raskite funkcijų f ( x ) ir g (x) pirmykštes funkcijas intervale ]0; co[: 4

a) /(.v)= 3 sin . v - 2 cos χ; b ) g ( x ) = —— — л". l/T

S—57 Apskaičiuokite integralą:

π

3 T a) f 2 xdx·, b) f cos xdx.

ι о

S—58

Apskaičiuokite šių linijų apribotos figūros plotą: a) v = .*3, .v=l , x=3 , j = 0; b) v = 2.cos .v, j = 0, Ο ζ χ ^ π .

Taškas juda tiese taip, kad jo greitis laiko momentu t yra lygus v ( f ) =

= —Wrr - Raskite taško koordinatę momentu /, kai pradiniu laiko mo-(/+D3 * y

mentu / = 0 jo koordinatė lygi 1 (/>0).

S—60*

Apskaičiuokite: 3 π

a) f ( I - X ) V * ; b) f sin ( y - f ) dx. 2 n

3

S—61

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos y = 2x grafiką.

(2 \2* + 3

— 1 =4 ,5* - 2 . 19 3. Išspręskite nelygybę 0 ,9*^1 — . O 1

S—62 3

1. Apskaičiuokite: a) Iog j 16; b) Iog126I-rS .

VT 2. Raskite funkcijos j = log5(2x— 1) apibrėžimo sritį. 3. Schemiškai pavaizduokite funkcijos j = I g ( - x ) grafiką.

S—63

1. Išspręskite lygtį l g 2 x + l g x a = 3. 2. Išspręskite nelygybę Iog7 x 2 < Iog7 16.

S—64

1. Raskite funkcijos /(.v) išvestinę: a) f ( x ) = e~°-3x\ b) / ( x ) = x - 3 \ 2. Parašykite funkcijos/(х) = 0,5е"л grafiko liestinės lygtį taške, kurio

abscisė X0 = — 1. 3. Raskite funkcijos f(x)=x-e'3x didėjimo ir mažėjimo intervalus.

1. Raskite funkcijos / (л ) išvestinę:

a) / (χ ) = In (Зл· — 4); b ) / ( л ) = Iog1 ( З л 2 - 2 л + 5 ) . 2

2. Parašykite funkcijos / (л ) = Iog3 л grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė л0 = 3-

3. Raskite funkcijos y=x3 In л maksimumus ir minimumus.

S—66

1. Raskite funkcijos 2 J + ] pirmykštę funkciją intervale j - !,-; + co|\

9

2. Apskaičiuokite J 9

lix * In 3

1. Raskite funkcijos / (л ) = x ] 2 +л ' 2 išvestinę

2. Išspręskite lygtį J/7 - |/x~+l = 2.

1. Išspręskite lygčių sistemą j Зл — 4 v = 13,

2 л + 3 у = 3.

2*. Išspręskite lygčių sistemą (b-parametras)

2л-- 3 j = 8,

6л+ 12 v= 12.

S—67

S—68

S—69

Išspręskite lygčių sistemą

' - χ + 2 y + 2=-4,

- З л - I y - Sz = 5,

4л — 2y + 2z= 17.

Išspręskite lygčių sistemą:

a ) i Iog3 χ + Iog 3 J = 2 + Iog3 7, b*) j sin х- sin у= 1,5,

I Iog4 ( χ - у ) = 0,5; Į χ _ γ = _ 2n

S—71

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos sprendi-nių aibę:

a) x—y ^ 3,

1,

У>0;

x + y š 8;

b) J ^ x 2 + 1,

л2 + j 2 ^ 4,

j - л ^ О .

S—72*

Raskite didžiausią funkcijos 5· (л; y) = 3x + 2y reikšmę, kai

x + y ^ 3,

χ+yž 1,

J » o ,

yž2x.

S—73

1. Apskaičiuokite

2. Detalės, kurias darbininkas turėjo pagaminti pagal planą, sudaro 60 % pagamintų detalių skaičiaus. Kiek procentų darbininkas viršijo planą?

3. Apskaičiuokite proporcijos

( I + 0 . ^ 1 1 ) : ( 1 + 0 , 1 - ^ ) = ( 0 , 5 - 1 + 0 , 2 5 - 1 ) : 0 ^

nežinomąjį narį.

1. Traukinio greitis' padidėjo nuo 75 iki 80 km/h. Kiek procentų sumažėjo laikas, per kurį traukinys nuvažiuos tą patį kelią?

2. Parašykite lygtį tiesės, lygiagrečios tiesei j = 3 - 0 , 5 * ir einančios per tašką M (— 1; 3).

S—75

1. Suprastinkite reiškinį _ a^-a2b + ab2-b3

4a2-2a + b - b 2 ' 2a-b

2. Išspręskite lygtį 5 .r 18

i —χ + дг+ 3 хг-9 ·

S—76


a) 2 ^ f 1 ; b ) » c) 74,92 .

2. Kambario ilgis 6,15 m, plotis 4,25 m, aukštis 3,2 m. Apskaičiuokite kambario tūrį.

S—77

1. Apskaičiuokite, naudodamiesi praktinėmis apytikslio skaičiavimo taisyklėmis: .

a) ab-c\ b) a-b + c, kai а г 6 3 , 0 9 ; Ьъ7,6; c:t0,059.

2. Sudėkite ir nurodykite gautojo rezultato paklaidos rėžį ir santyki-nės paklaidos rėžį: x + y, kai x = 6,32 ± 0,01; .y = 9,3±0,05.

S—78

1. Nurodykite funkcijos y = 3x2 + 2x+ \ kintamojo .v reikšmių, su ku-riomis y>0 , aibę.

2. Kvadratinį trinarį л2 + 9л+18 išskaidykite dauginamaisiais (jeigu tai įmanoma).

3. Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai ~ 4 - i r - 3.

1. Aritmetinės progresijos pirmasis narys lygus 5,7, o skirtumas 0,8. Parašykite aritmetinės progresijos и-tojo nario formulę ir apskaičiuoki-te dvidešimties pirmųjų narių sumą.

2. Apskaičiuokite begalinės geometrinės progresijos sumą, kai pir-masis narys lygus —4,5 ir vardiklis lygus —0,75.

3. Raskite ribą:

ч ,· 1 -2/1 , 4 ,· / 5 л - 4 л - 3 \ a) hm ——f-,— ; b) Iim -—-—-—— . ' ^ 0 0 2 + 6,5/1 ' \ 1-7/1 5 + 2n j

S—80

1 * Raskite ribą:

x2 + 2x x2-9 a) Й bVim3 — * 2. Raskite funkcijos f ( x ) išvestinę:

a) f ( x ) = Ixi - Ax^ +12 ; b) f ( x ) = cos * In л-

3. Raskite funkcijos g (л) = ^*3 + 1,5лг2)®8 išvestinę, taikydami sudėti-nės funkcijos diferencijavimo formulę.

S—81

1. Raskite funkcijos y = 4x* + 8л·2 + 5 didėjimo bei mažėjimo intervalus ir ekstremumus.

2. Reikia pagaminti kūgio formos piltuvėlį, kurio sudaromoji /=10 cm. Koks turi būti piltuvėlio pagrindo spindulys, kad piltuvėlio tūris bū-tų didžiausias?

S—82

1. Parašykite funkcijos f ( x ) pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką:

a) f ( χ ) = X3 -2 cos л; b) /(X) = - J r - - -^——e**.

2. Apskaičiuokite linijų j = 0, y= 2.v2+ ],·x = 2, x=3 apribotos figūros plotą.


a) 2C0S2-V+ sin.v= 1; b) 2*"+1 - 5 -2» + 2 = 0 .


a) tg ( . * - ! ) > 1: b) Ig (x2 - .v + 8) > 1.

S—84

1. Išspręskite lygtį ]/.v + 1 7 - V * + 1 = 2. 2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

χ+ y+ z= 8,

.v - 2y + 2z = 7,

2.V- .v+27 =10.

3. Išspręskite sistemą

JC3-V3 = 56,

log2x — log2>'— 1 ·

S—85

Ištirkite funkciją / (x ) = x 3 - y x - l ir nubraižykite jos grafiką, nau-dodamiesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė X 0 = 3.

S—86*

1. Parašykite harmoninio svyravimo χ (/) = \ cos ( з / - - у ) diferen-

cialinę lygtį. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę. 2. Parašykite diferencialinės lygties y'=-3y sprendinių bendrąją iš-

raišką.

S—48

1. Patikrinkite, ar funkcija x ( ? ) = sin ^ y r a diferencialinės Iygtiesx* =

= - y χ sprendinys.

2. Parašykite harmoninio svyravimo x(/) = y cos(|/3 t+ 2)diferencia-

linę lygtį. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

1. 3 paveiksle nubraižytas funkcijos

f (x) = tg χ grafikas intervale j - * , , J

Atsakykite į klausimus: a) Kokios kintamojo χ rei šmių, su

kuriomis / (x) = O; / ( x ) < 0 ; / (x )>0 , aibės?

b) Nurodykite χ reikšmes ( j ;gu jos egzistuoja), su kuriomis funkcija J įgyja maksimumą arba minimumą.

c) Kokie funkcijos f didėjimo (ma-žėjimo) intervalai?

d) Kokia funkcijos f reikšmių sri-tis?

e) Ar funkcija / yra apgręžiama?

S—49

3 pav.

1. Raskite reikšmes: a) arccos ( - ^ y ) ; b^ s i n (aresin 0,1).

2. Apskaičiuokite aretg ( - l ) + arccos ( - 1).

S—50


a) sin . v - ^ 2 - ; b) cos (χ + *-) =

c) tg ( 2 x - | - ) = V'3 .

VT 2

S—51


a) sin 2x > X22 ; b) tg ( з х — j - ) • 1A3


a) t g x + 3 c t g * = 4; b) sin (x + j W c o s ( χ + f ) = 0 .

S—54 Įrodykite tapatybes: a) 2 cos22p - cos 4β = 1; b) 4 sin (30° + ос) cos ά = 1 + 2 cos (60° - α).

S—55

1. Įrodykite, kad funkcija F yra funkcijos / pirmykštė funkcija inter-vale ] - o o ; 0 [, kai :

a) F ( X ) = I T r I ; / ( χ ) = - T T ? = ;

b ) F ( X ) = S i n 2 X + 1 ; / ( x ) = s in 2 x .

2. Raskite funkcijos / ( x ) = - x + l pirmykštę funkciją, kurios grafi-kas eina per tašką M ( — 2; - 3 ) .

S—56

Raskite funkcijų / ( x ) ir g (x) pirmykštes funkcijas intervale

H ; 4 , a) / W = Y sin j - j cos j ; b) g(x) = \/7x+ 1 .


5π

a) I x dx\ b) f cosxdx. , V x


a) y = 1 — v2, .) =0 ; b) y = sin 2x, y = 0, 0 ζ χ ζ j .

S—59

2 N jėga ištempia spyruoklę 6 cm. Kokį darbą reikia atlikti norint iš-tempti šią spyruoklę 10 cm?

S—60*

Apskaičiuokite:

S—61

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos ^ = 5 1 - * grafiką. 2. Išspręskite lygtį 2* + 2*~3=18. 3. Išspręskite nelygybę 3 u l + " 2 < 27.

S—62

1. Nustatykite skaičiaus ženklą:

a) Iog2 j j - ; b) Iog0 5 0,75. ] —X

2. Raskite funkcijos y= |og (д.2_9)" apibrėžimo sritj.

3. Schemiškai pavaizduokite funkcijos J = Iog0i4 ( — x) grafiką.

S—63

1. Išspręskite lygtį Ig (2x+1) = 0,5 i g ( l - 3 x ) .

2. Išspręskite nelygybę * <0.

b ) f ΊΪΪΊΓ· π

]. Raskite funkcijos f ( χ ) išvestinę: / 1 \2* + 0,5

a ) f ( x ) = 0,2e" + 0-lx·, b ) / ( x ) = ( y ]

2. Parašykite funkcijos f ( x ) = e1~* grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscise .V0= 1.

3. Raskite funkcijos / ( x ) = ( x - 1) ex + 1 didėjimo ir mažėjimo intervalus.

S—65

1. Raskite funkcijos f (x) išvestinę:

a) f (χ) = In (1 - 0,2*); b) / (x ) = Iog3 (Xi - 2 ]/T) .

2. Parašykite funkcijos f (jc) = Iog2 (x + 3) grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscise X0= 1.

3. Raskite funkci jos/(x) = x2lOg2 χ didėjimo ir mažėjimo intervalus.

1. Raskite funkcijos

2. Apskaičiuokite

S—67

1. Raskite funkcijos y = j ^ + χ " 2 pirmykštę funkciją.

2. Išspręskite lygtį ]/4 + χ · ]/5-χ = 2]/2 .

S—68 1. Išspręskite lygčių sistemą

4x+3>>=9,

y = - 2x + 5

ir sprendimą pavaizduokite geometriškai. 2*. Išspręskite lygčių sistemą (m - parametras)

3x — 9y = 2,

- 2 x + 6 y = m.

S—66

J'(x)= pirmykštę funkciją intervale

/ dx

лг In 4 2


X 1 - 2 x 2 + 2 x 3 = 1 3 ,

3xx + 2X2 — 1 Ox3,= — 3 3,

— 2x1 + X 2 + 5x3 = 7.


a) I Iog3χ + I o g 3 y = 2 + Iog32,

I Iog3(x + j ) = 2;

S—70

b)* COS2 X + COS2 Y -

2 Π 4 ·

S—71 Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos sprendinių

aibę:

a) x + 2 j i£7 ,

x + 2y^3,

y > 2x + 1,

У ^ 3x;

b) y ž x 2 - l ,

X2 + y2 <9,

x + yž 0.

S—72*

Raskite didžiausią funkcijos i ( x : y) = 4x + 3y reikšmę, kai :

' χ + / « ί 5 ,

x + y ž I,

• x^2y-4,

x i i y + 2,

xžO.

S—73 3 5 2 1. Apskaičiuokite — = -=-4 — — — —-.

• V T - V 2 V T + l / T V T - V T 2. 525 cm ilgio lystelė padalyta į dvi dalis taip, kad pirmoji dalis 25%

trumpesnė už antrąją. Koks kiekvienos dalies ilgis?

3. Apskaičiuokite proporcijos Ь2 = 0 · " 5 - 2 = 0.016 = 0,12 + 0,7 ne_ 4 2 χ

žinomąjį narį. 6~25~: 15~5+0 '8

1. Iš 20% valgomosios druskos tirpalo išgaravo 25% jame buvusio vandens* Kokia naujai gauto tirpalo koncentracija?

2. Parašykite lygtį tiesės, lygiagrečios tiesei y= 1 - 3 * ir einančios per tašką M (3; - 1 ) .

S—75

1. Suprastinkite reiškinį i

/ *г VT \./*'+>·2 X1-VT \ 1 Х » _ У 7 x ' + y - ' M Y J χ1 /

2. Išspręskite lygtį j ^ z y + j ^ y = 9 Д 4 ·

S—76


a) 4339į54°;833 ; b) / 3 2 7 ; c) 2,542 .

2. Apskaičiuokite 45,6 cm ilgjo strypelio masę, kai medžiagos, iš kurios pagamintas strypelis, tankis lygus 7,8 g/cm3, o skerspjūvio plotas 37,2 cm2.

S—77

1. Apskaičiuokite, naudodamiesi praktinėmis apytikslio skaičiavimo taisyklėmis:

a) ab + c; b) a + b - c , kai ax47,31; 0,6; cs;0,038.

2. Sudėkite ir nurodykite gautojo rezultato paklaidos rėžį ir santykinės paklaidos rėžį: χ+y, kai * = 5,39±0,02; y = 6,2±0,07.

S—78

1. Nurodykite funkcijos y=6x2 + 5x+l kintamojo * reikšmių, su kuriomis j > 0 , aibę.

2. Kvadratinį trinarį 4*2 + 20x + 25 išskaidykite dauginamaisiais (jei-gu tai įmanoma).

3. Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai - γ ir —.

1. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) pirmąjį narį ir skirtumą, kai a3 —8, a n = 17.

2*. Apskaičiuokite begalinės geometrinės progresijos sumą, kai a , = 3 . 2

= ~ U , r ¢ = 1 7 -3. Raskite ribą:

ч ,• 2 - 3 n , 4 . . y j n + l a) Iim ; b) Iim ' n n . „ - , о 4 ,5л+ 7 ^ 0 6 5 — 0,9n

S—80

1. Raskite ribą:

a ) l i m - į f ; b) Iim Л Ч ' X-., (.v — 1) ( л + 4)

2. Raskite funkcijos h (x) išvestinę:

a) h (x) = 4x5 — 2x^ + x; b) h (x) =-Ig *

3. Raskite funkcijos f ( x ) = sin2 3* išvestinę, taikydami sudėtinės funk-cijos diferencijavimo formulę.

S—81

1. Raskite funkcijos y = x4 + 4x3-8x2 + 3 didėjimo bei mažėjimo inter-valus ir ekstremumus.

2. Reikia pagaminti uždarą ritinio formos baką, kurio tūris V. Koks turi būti pagrindo spindulys, kad bako gamybai būtų sunaudota mažiausiai medžiagos?

S—82

1. Funkcijos f Ьг)=лг3 + I _ L _ grafikas eina per tašką M(0; - 2 ) .

Raskite šios funkcijos pirmykštę funkciją r.

T' 2. Apskaičiuokite integralą J

24 Idx

in. ( * c + j )

3. Apskaičiuokite kreivių y = - j , x+y = 6 apribotos figūros plotą.

S—83


a) cos 3x —cos χ = 2 sin 2x: b) 9* - ' + 3*+2 = 90.


a) 4sin ( 2 * + -J-) cos ( 2 x + ^ - ) > - 1 ;

b ) I g 2 χ + I g х - 2 ί ξ Ο .

S—84

1. Išspręskite lygtį ]/2x — 4 — V v + 5 = 1 ·

2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

5x — 10>'+Зг=5,

X - S y + I z = - 15,

2x + 5 v — 3r = 1 .


I 7 + 7 ^ ·

1 X + V = 5.

S—85

Ištirkite funkci ją/(X)= ^ l 9 ir nubraižykite jos grafiką, naudoda-

miesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė X 0 = - I .

S—86*

1. Parašykite harmoninio svyravimo χ (/) = 3 cos [lt - y ) diferen-

cialinę lygtį. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę

tdZ<2. Raskite diferencialinės lygties y'=-2y sprendinį, kuris tenkintų sąlygą >>(I) = e*.

S—48

1. Patikrinkite, ar funkcija x ( r ) = sin5/ yra diferencialinės lygties . v ' ( / ) = - 2 5 * (O sprendinys.

2. Parašykite harmoninio svyravimo x ( 0 = 3 cos (]/Tt- 1) diferencia-linę lygtį. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

I. 4 paveiksle nubraižytas funkci-jos / ( x ) = ctg χ graf ikas intervale ] 0 ; π [ ; Atsakykite į klausimus:

a ) Kokios kintamojo χ reikšmių, su kuriomis /(.*·) = 0; / ( x ) > 0; / ( x ) < 0 , aibės?

b) Nurodykite χ reikšmes (jeigu jos egzistuoja), su kuriomis funkcija f įgyja maksimumą arba minimumą.

c) Kokie funkcijos f didėjimo (ma-žėjimo) intervalai?

d) Kokia funkcijos f reikšmių sritis? e) Ar funkcija f yra apgręžiama?

S—49

S—50

1. Raskite reikšmes: a) arcsin b) cos (arccos ( - 0 , 3 ) ) .

2. Apskaičiuokite arctg (-1/"3 ) + arcctg —j==-.

S—51


a) C O S x = — b ) sin ( x - f ) = l ; c) tg ( З х + į ) = y = ~ •


a) cos 3x< j ; b) tg + - ]/T .

S—53


' a) Ctgx= — 4 — 3 t gx ; b) V T s i n ( x - y ) + 3cos ( x - 3 ) = 0.

S—54

[rodykite tapatybes:

a) 2 sin2 2y + cos 4γ = 1; b) 4cos (a + 60°) cos a = 1 +2 sin (30° -2a ) .

S—55

1. [rodykite, kad funkcija F yra funkcijos /pirmykštė funkcija inter-vale ]0; со[, kai:

a) F (x ) = 1 / 7 - 2 , / ( x ) = ~ r — i b) F (x ) = 3 - C o s 2 X , / ( * ) = sin 2x. 4]/ x>

2. Raskite funkcijos A ( x ) = l - 4 x pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per tašką M(—1; 9).

S—56

Raskite funkcijų / (x ) ir g (x) pirmykštes funkcijas intervale j ^ ; 00 [ :

a) /(.v) = \ sin f + \ cos \ ; b) g (x) = V6x — 2.

S—57

Apskaičiuokite integralą: 2rt

4 3 V T a) f * dx\ b) J sin χ dx •

ι


a) J = X3, χ = — 1, j = 0; b) j = cos0,5x, J = O, — - " .

S—59

4 N jėga suspaudžia spyruoklę 4 cm. Kokį darbą reikia atlikti norint suspausti šią spyruoklę 2 cm?

Apskaičiuokite:

o , r ( 4 * + 1 ) 3 ,

a) J — y - dx; I

S—60*

b , / dx

cos1 3jr

S—61

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos J = 0,21_ j : grafiką. 2. Išspręskite lygtį 3* + 4 · 3*+1= 13. 3. Išspręskite nelygybę 3x2>98 .

S—62

1. Nustatykite skaičiaus ženklą: a) log34; b) Iogi 0 ,9 . i

2. Raskite funkcijos y = apibrėžimo sritį.

3. Schemiškai pavaizduokite funkcijos J = Ig |x | grafiką.

S—63

1. Išspręskite lygtį Ig ( x - 1 ) = 0,5 Ig (I + l,5x). χ + 2 2. Išspręskite nelygybę ^ 0 .

r

S—64

1. Raskite funkcijos /(дг) išvestinę:

a) f(x)=3e3+ix; b) / ( * ) = 14°·2~5*.

2. Parašykite funkcijos f ( x ) = e1 + * grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscise X0 = —1.

3. Raskite funkcijos f (x) = (x + 1) e1'1 didėjimo ir mažėjimo intervalus.

S—65 1. Raskite funkcijos f ( x ) išvestinę:

a ) f ( χ ) = In (2 - j дг) ; b) f ( x ) = Iog4 (x 3 - - — ) .

2. Parašykite funkci jos/(x) = Iog3 (2x+ 1) grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscise X0= 1.

3. Raskite funkcijos / ( x ) = lg2 ( x + l ) - l g ( x+1) didėjimo ir mažėjimo intervalus.

S—66

1. Raskite funkcijos y = funkciją intervale j ; oo|\

- 27

2. Apskaičiuokite J v|r|9 · - 1

S—67

1. Raskite funkcijos / ( χ ) = ( J L ) - 1 3 + ( J pirmykštę funkciją.

2. Išspręskite lygtį У8 + x · V8 - x = x .

S — 6 8


i 3 x + 2 j = 7 ,

i j = - l , 5 x - 2

ir sprendimą pavaizduokite geometriškai.

2*. Išspręskite lygčių sistemą (m — parametras)

ί χ — l , 5 j = 2,

\ 3x — 3 т у = 3.


- X 1 + 3x2 + 2x3 = 3,

2x, — 5x2 + 4x3 = 3,

3 x ! - IOx 2 - 14x3= - 18.


a ) Mog 2X+ Iog 2 J= 2 +Iog23,

I log0.5 ( x - j ) = 0;

S—70

b)* I • 2 , 2 7 ' ι s in zx + s in^ j= — 4

X + J = — -

S—71

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos sprendinių aibę:

a) 2x + j ^ 10,

2 x + j į s 1,

j J ^ 2 x - 3 ,

' j ζ 0 ,5x;

b) j ^ χ 2 — 1 ,

J ^ 8 ,

3x + 2 j ^ 0 .

S—72*

Raskite funkcijos s ( x ; j ) = — 3 x + 2 j mažiausią reikšmę, kai :

x - j < l ,

x + j $ 9 ,

x - 2 j < 0 ,

χ ^ O,

J > 0 .

S—73

1. Apskaičiuokite VT- VT VJ - VT VJ + Vl 2. 436 cm ilgio lystelė perpjauta į dvi dalis taip, kad pirmoji dalis 18°,

ilgesnė už antrąją. Koks kiekvienos dalies ilgis? 3. Apskaičiuokite proporcijos nežinomąjį narį :

10,5 0,24- 15,15 :7,5

9 -0,945: 0,9)

1 - j - — 4 -j : 7 40 8

1. Iš 25% valgomosios druskos tirpalo išgaravo γ jame buvusio

vandens. Kokia naujai gauto tirpalo koncentracija? 2. Parašykite lygtį tiesės, lygiagrečios tiesei y= 2 + 3* ir einančios per

tašką M (2; - 4 ) .

S—75 1. Suprastinkite reiškinį

ι

/ V T + с г V T - C 2 W b2 c2 \ \ C2 b"'- ) \ Ь«-'-+Сг)·

2. Išspręskite lygtį 8 3.v ^ 8

2 - 3 y 3v + 2 ~ 9y2 —4 '

S—76 1. Atlikite veiksmus:

b) 5,323; c )

2. Ritinio pagrindo spindulys lygus 3,17 dm, o aukštinė lygi 2,0 dm. Apskaičiuokite ritinio tūrį.

S—77


a) a-bc\ b) b + c - a , kai «^14 ,82 ; ¢ ^71,9.

2. Atimkite ir nurodykite gautojo rezultato paklaidos rėžį ir santykinės paklaidos rėžį:

χ — y, kai .v = 7,6 ±0,2; j = 4,4 ±0,1. t

S—78

1. Nurodykite funkcijos v = 8 . v 2 - 2 . v - l kintamojo .v reikšmių, su ku-riomis y < 0, y^O, aibę.

2. Kvadratinį trinarį 9.v2-10.v+l išskaidykite dauginamaisiais (jeigu tai įmanoma).

3. Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai - J - ir —.

I. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (a„) pirmąjį narį ir skirtumą, kai G4 = 8, a 1 3= — 5.

2*. Apskaičiuokite begalinės geometrinės progresijos sumą, kai pirma-

sis narys lygus ir antrasis narys lygus .

3*. Raskite ribą: . .. З л - 9 .. 1/2/1 + 5

a ) I I" 6 , 3 - 0 , 8 „ : b ) T = w

S—80

1*. Raskite ribą: , . . 2.V3 —Здг2 , . .. χ2 — χ — 6

a) 1-m ; ( χ + 2 ) ( , _ „ ·

2. Raskite funkcijos h(x) išvestinę:

a) h (.v) = 5.Vi 3 - 4.Y2 - 34; b) Л (.v) =

3. Raskite funkcijos /(.v) =

cijos diferencijavimo formulę.

e'

3. Raskite funkcijos / ( * ) = cos2 * išvestinę, taikydami sudėtinės funk-

S—81

1. Raskite funkcijos y = - * 4 + 8 * 3 - 16*2 + 9 didėjimo bei mažėjimo in-tervalus ir ekstremumus.

2. Reikia pagaminti ritinio formos atvirą baką, kurio talpa V. Koks tu-ri būti pagrindo spindulys, kad bako gamybai būtų sunaudota mažiausiai medžiagos?

S—82

1. Funkcijos /(.v)= /T+cos 2πχ grafikas eina per tašką M( I; 3). Raskite šios funkcijos pirmykštę funkciją.

2. Apskaičiuokite integralą

f dx

,s2 ( 2 . + f - )

3. Apskaičiuokite linijų y = —, .v + >' = 8 apribotos figūros plotą.

S—83


a) sin 3.Y+sin .v = 2 sin 2.v, b) Ig2Y2- Ig .v2 = 6.


a) cos2 v - s i n 2 x > j ; b) 4X - 2 Ϊ + 1 - 8 < 0 .

S—84

1. Išspręskite lygtį |3.v + 1 - \ 2x - 1 = 1.

2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

.y + 2 y - 3 r = 4 ,

.y + 4y + 9r = 20,

.y + 8,i' — 21 z = - 8 .


j xy + x + y= - 1 ,

1 л-2 y + .y r = - 2 .

S—85

Ištirkite funkciją/'(.y)= y — ir nubraižykite jos graf iką, naudoda-

miesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė

S—86*

1. Parašykite harmoninio svyravimo x(/) = y cos ( y + dife-rencialinę lygtį. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

2. Raskite diferencialinės lygties r' = - y y sprendinį, kuris tenkintų

sąlygą y ( - 2 ) = e2.

S—48

1. Parašykite diferencialinės lygties y"=— y y sprendinių bendrąją

išraišką.

2. Parašykite harmoninio svyravimo χ (/) = 2 sin y diferencialinę Iyg-

tį ; Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

S—49

5 paveiksle nubraižytas funk-cijos / ( x ) = sin χ graf ikas inter-vale [ — y — ; π ] · Atsakykite į

klausimus: 1. Kokioskintamojo χ reikš-

mių, su kuriomis / ( x ) = 0, / (x) < O, / (x) > O, aibės?

2. Nurodykite χ reikšmes (jeigu jos egzistuoja), su kurio-mis funkcija / įgyja maksimu-mą arba minimumą.

3. Kokie funkcijos f didėjimo (mažėjimo) intervalai? 4. Kokia funkcijos / reikšmių sritis? 5. Ar funkcija f yra apgręžiama?

У 1

-ψ. -f

-J о f я X

5 pav.

1. Raskite reikšmes:

1

S—50

a) arc cos — — - a r e s i n 1; b) aresin (sin 110е). V T

2. Žvaigždutę pakeiskite lygybės arba nelygybės ženklu, kad gautu-mėte teisingą teiginį:

aresin ( - l)*arctg (— 1).

S—51


a) t g x = ' ~ ; b) sin ( x + y ) = c) cos ( з х -


a) sin * < - - ^ L ; b) tg ( | - l ) < - 1 .


a) cos2 χ — 3 sin χ — 3 = 0; b) sin 2x = 2 ^ 3 sin2 χ .

S—54 Įrodykite tapatybes:

- . α . . 2 sin — + sin α s cos 2α 1 — tg α . . . 2 α

d ) 1+sirt2α ~ l T 7 g Y ' b ) — = c t S 2 J -2 sm — — sin α

S—55 1. Ar funkcija F yra funkcijos / pirmykštė funkcija intervale I:

a) F(X) = V F - T l + 2; /(X)= - T 7 L t ; /= ] 1; oo[; 2 ]/ χ— 1

b) F(x) = 3x2 — 1; / (χ) = χ3 ; / = ] — oo; oo[?

2. Raskite funkcijos h (x) = sin χ pirmykštę funkciją H (x) tokią, kad

S—56 Raskite funkcijų F ( x ) ir g (x) pirmykštę funkciją:

a) F (x ) = s i n ( l , S x - I H l ^ ; b) * .


π

8 j T a) f 5Vx2dx; b) f - L · d x .

·' ./ COS2JC 1 O


a) y = χ2, y = 4x - 3; b) j = | sin χ |, y = O, π ^ χ ^ 11 π .

S—59* I

Taškas jūda tiese taip, kad jo greitis laiko momentu / lygus v (/)= 10/-

-0,008/3 Apskaičiuokite kelią, kurį taškas nuėjo per laiką nuo

/=IOs iki / = 20 s, ir taško pagreitį kelio pabaigoje.

S—60*

Apskaičiuokite:

a) / ( l + į ) ' d x ; b) f /cos2 ( x + j ) - s i n 2 ( χ + f )\ 1 π \

d χ.

S—61

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y=3'x grafiką. 2. Išspręskite lygtį 0,53"2*+ 3 · 0 , 25 1 ' *= 7.

— i i - -3. Išspręskite nelygybę 252x < 125 3 .

S—62

1. Nustatykite skaičiaus ženklą: a) Iog0i34; Ig3— y .

2. Raskite funkcijos y= ĮogiJx_3) +V^ ~x apibrėžimo sritį.

3. Schemiškai nubraižykite funkcijos y = Ig Y x grafiką.

S—63

1. Išspręskite lygtį log2 x64-log2 ; t8 = 3. 2. Išspręskite nelygybę l g ( x - l ) 2 > 0 .

1. Raskite funkcijos / (χ ) išvestinę:

a ) / ( * ) = *1-14*; b) / W = ( I )

2. Parašykite funkcijos/(x) = * + ? - * grafiko horizontaliosios liestinės lygtį.

3. Raskite funkcijos / (x ) = e2* - 3 pirmykštę funkciją.

S—65

1. Raskite funkcijos / (x ) išvestinę: 3

a) / (x ) = In (Xs -2л· 2+ 1); b) /(л) = lo g / T l /3 - 2л.

2. Su kuria a reikšme funkcijos у = а\п(Ъх — 1) grafiko liestinė taške, kurio abscise X0 = 2, sudaro su abscisių ašimi 45° kampą?

3. Raskite funkcijos / (x ) = ln3x —3 Inx ekstremumus.

S—66

Raskite funkcijos f(x)= pirmykštę funkciją, kurios grafikas

eina per tašką M (2; 4). i C dx 2. Su kuriomis a reikšmėmis integralas I — turi prasmę?

S—67

1. Raskite funkcijos /(X) = Xv^ + X-v^2 pirmykštę funkciją.

2. Išspręskite lygtį Vx 2 + 3x+ 3 = 2x + 1.


y-x=3,

2y + x=1 ir sprendimą pavaizduokite geometriškai.


x—y=1,

m2x—y = m.


х + >' + 4г= I,

— 3x—>' + 2z = 27,

χ + 5 j — r = - 5 .


a) f 3*-2^ = 576, b)* j sin χ + sin у = 0,5,

I l o g / 2 ( v - x ) = 4 ; \х+у~*.

S—71

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos sprendinių aibę:

a) x+y-2ž0,

-x+y+ 3 ^ 0 ,

2x + 3 j — 5 ^ 0,

У> 0 ;

χ2 +y2 a 9,

x* + y2> 1 ,

yžx+1.

S—72*

Raskite didžiausią funkcijos ,s(x, y) = 4x+2y reikšmę, kai

- 9 ,

2x + 3 j ^ 18,

2 χ - y ^ 10,

x>0,

yžO.

S—73

1. Apskaičiuokite (4 + 1/ΠΊΪ) (V^O - 1/ΊΓ) · ]/4 - 1 / Ϊ 5 . 2. Viename automobilių parke yra 250 mašinų, iš jų 24",, — savivar-

čių, antrame — 150 mašinų, iš jų — 8% savivarčių. Kiek procentų bendro abiejų parkų mašinų skaičiaus sudaro savivarčiai?

3. Raskite χ iš proporcijos: ( ! ^ l L U 7 \ 63 21 / ' 0,125x

\ 24 4 0 1 16 0 , 6 7 5 - 2 , 4 - 0 , 0 2

1. Trikampio kraštinės proporcingos skaičiams 3, 4, 5. Ilgiausioji kraštinė 3,6 cm ilgesnė už trumpiausiąją. Apskaičiuokite trikampio peri-metrą ir plotą.

2. Išspręskite nelygybių sistemą

1,25л· —0,12 > 0,3л: + 0,07,

1 - л Js 0,5л - 4 .


i ι

W a y \ I o3 2 a 3 + 6 + - Z ^ I; I — з

V a -b J \ V"2-b2 yir+b IГЦ-b 2. Išspręskite lygtį

1 · + ' y- 1 y+ 2 y2- 1 '

S—76 I. Atlikite veiksmus:

3,072 a) 33 ,8 -25 ,4 -69 ,61 ; b) V'52,5; c) 21,9 t a . .. , .. 5,29 8600 2. Apskaičiuokite proporcijos -g^- =—-— nezinomąjj narĮ.

S—77


a) ab + c; b) a-(b + c), kai az2\, 42: b^ 1,8: ¢ ^61,4. 2. Sudėkite ir nurodykite gautojo rezultato paklaidos rėžį ir santykinės

paklaidos rėžį x + y , kai x = 9,5±0,2; j> = 8,9±0,08.

S—78

1. Nurodykite funkcijos j = 5x2 + 26x+5 kintamojo .r reikšmių, su ku-riomis y ^ 0 , j ^ O , aibę.

2. Kvadratinį trinarį 2.v2 — 5x — I išskaidykite dauginamaisiais (jeigu tai įmanoma).

3. Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai |/ r T- I ir 1 / T + i .

1. Apskaičiuokite aritmetinės progresijos (an) narių skaičių, kai d= — 3, =2, Sn = —208. 2*. Apskaičiuokite begalinės geometrinės progresijos sumą, kai progre-

sijos pirmasis narys lygus 2 ir trečiasis narys lygus 0,5. 3. Raskite ribą:

. ,. 2n2 + n —4 .. / УТ+Т , / 1 \»\ a ) lZ b ) i ( ^ T 3 - + ( 2 ) ) ·

S—80 1*. Raskite ribą:

a) Iim 1/778 ; b ) / ( л ) = Hm J ^ + O g + ^ .y—>0 х->-Ъ x + 3* + °

2. Raskite funkcijos / (x ) išvestinę:

a) /(χ) = ( [ [ I x t - 3 x ^ ) e*\ b) f ( x ) = Iog2 ( x - 1) + - į į f .

3. Raskite funkcijos / (x ) = (x3+I)307 išvestinę, taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo formulę.

S—81

x2 — 3x

1. Raskite funkcijos f(x)= ' "j didėjimo bei mažėjimo intervalus

ir ekstremumus. 2. Į pusrutulį, kurio spindulys 3, įbrėžtas kūgis taip, kad kūgio viršūnė

yra pusrutulio centre. Su kuria pagrindo spindulio reikšme šio kūgio tūris didžiausias?

S—82

1. Parašykite funkcijos / (х ) = х , л т - 3 x 3 + - J - j—pirmykštės funkci-

jos bendrąją išraišką. 2. Apskaičiuokite integralą

π I

J I cos -^-+sin d χ.

6

3. Apskaičiuokite linijų v = 4 + 3 x - x 2 , y=x+ I apribotos figūros plo-tą.

S—83


a) cos4 .v-sin4 .v = sin 4.v; b) 2X + 1 + 0 ,5* - 1 = 5.


a) tg2 ( l x - > 3 ; b) 3* 2 -*- 35i27 .

S—84

1. Išspręskite lygtį ]/'3.v+ 4+ ]/ . γ -4 = 2\ΠΓ. 2. Išspręskite lygčių sistemą

.v + у + 5x = - 7,

χ +y+ z=1;

л + 3 y + r = 5.


(л* — v) xy = 30,

( χ + v ) χ y = 1 2 0 .

S—85

Ištirkite funkciją f ( χ ) =x4-2л3 + 5 ir nubraižykite jos grafiką, naudo-damiesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscise Y0 = = - 1 .

S—86*

1. Raskite diferencialinės lygties / ' = - 3y sprendinį, kuris tenkintų šias sąlygas: y (0) = 2; j ' ' (0) = 6. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

2. Parašykite diferencialinės lygties y'=~]/'2y sprendinių bendrąją išraišką.

S—48

1. Parašykite sprendinius diferencialinės lygties/' = —4y, kurios ampli-

tudė A =4 ir pradinė fazė φ = 3 '

2. {rodykite, kad lygtis л (/) = 3 sin 3/ reiškia harmoninį svyravimą, ir parašykite šio svyravimo diferencialinę lygtį.

6 paveiksle pavaizduotas funk-cijos /(л) = cos л grafikas intervale

2тг PfH- SLUOS Atsakykite }

klausimus: 1. Kokios kintamojo χ reikš-

mių, su kuriomis / (л ) = 0, f(x)>0, / 0 0 <O, aibės?

2. Nurodykite л reikšmes (jeigu jos egzistuoja), su kuriomis funk-cija / įgyja maksimumą arba mi-nimumą.

6 pav.

3. Kokie funkcijos / didėjimo (mažėjimo) intervalai? 4. Kokia funkcijos / reikšmių sritis? 5. Ar funkc i j a/y r a apgręžiama?

S—49

У,

1

I n y " J / Я

/ 0

-1

A 2 \

* / 0

-1

S—50

1. Apskaičiuokite reikšmes:

a) arc tg 1 — arc cos , b) arc cos (cos ( - 12°)).

2. Žvaigždutę pakeiskite lygybės arba nelygybės ženklu taip, kad gau-tumėte teisingą teiginį:

arc cos 1 * arcctg I.


a) t g x = - Į/T: b) cos i - j c) Sin ( * + -J):

S—51

V T 2 '


a) tg 3.v < 1; b) cos ( 2 * - - - L - .


a) sin2 .y — 3 cos .v — 3 = 0; b) 2 sin2x - "Į/l sin 2x = 0.

S—54

(rodykite tapatybes: v cos 2α _ 1 + tg α _ , .. sin 2α - 2 sin α _ 2 α

1 - s i n 2α ~ 1 - t g a ' > sin 2 α + 2 sin α ~ ~ g T '

S—55

1. Ar funkcija F yra funkcijos / pirmykštė funkcija intervale /:

a) = 2 ! / Τ ι : ; + I , / ( . γ ) = — ! = = ; / = ]— 1; oo[; V \ +χ

b) F(X) = Xt--I= , f ( x ) = 4x-2Yl· / = ] 0 ; oc[? V χ

2. Raskite tokią funkcijos h(x) = cos χ pirmykštę funkciją H (x), kad

" ( - f ) = ' ·

S—56

Raskite funkcijos f ( x ) ir g (x) pirmykštę funkciją:

a ) / ( x ) = c o s ( l - l , 5 x ) + f 7 7 7 ; b) g (χ)= 5 s i n , ^ _ x ) - y -

S—57

Apskaičiuokite integralą: π

·> f A · " = ь) / ι YT2 π


a ) J = 2 x 2 , J = Y + 1 : π 5 -

b ) J = I COSX I , J = O, Y Ί .V Ί ——.

S—59*

Taškas juda tiese taip, kad jo greitis laiko momentu t lygus v ( f ) = / 2 - ' + + I. Žinoma, kad pradiniu momentu / = 0 taško koordinatė lygi - 1. Kokia taško koordinatė ir pagreitis laiko momentu /?

S—60*

Apskaičiuokite:

o

a) f <3x~]>' dx: b) f 12 sin cos ( γ - * ) dx.

3π "Γ

S—61

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos . ν = ( γ ) grafiką.

2. Išspręskite lygtį. 3 · 2x + i - 6 · 2*"1 = 12. 4 I 1 T T+^T

3. Išspręskite nelygybę 2 >8

S—62

I. Nustatykite skaičiaus ženklą: a) Iogl/- 3: b) Iog2 3 + Iog2 0,9.

2. Raskite funkcijos g (x) = +1/ 3 - х apibrėžimo sritį. Ogo.5 (Л + L· )

3. Schemiškai nubraižykite funkcijos j = Ig-y grafiką.

S—63

1. Išspręskite lygtį Iog2t 9+ Iog2v 3 = 3. 2. Išspręskite nelygybę log (χ + 2)2 > 0.

1. Raskite funkcijos /(.v) išvestinę: a) / ( * ) = e4~7jr; b) f ( x ) = 42~3x. 2. Parašykite funkcijos f ( x ) = ex — e~x grafiko liestinės, lygiagrečios tie-

sei v = 2 x + l , lygtį. 3. Raskite funkcijos /(.v) = e"' ~°·2χ pirmykštę funkciją.

S—65

1. Raskite funkcijos f ( x ) išvestinę: 4

a) /(.v) = In (.v4 — 3*3 + *); b) / ( * ) = Iog i n -V 4 - 0 , 1 * .

2. Su kuriomis α reikšmėmis funkcijos y = a In (2 — 3*) grafiko liestinė taške, kurio abscisė * 0 = — 1, sudaro su abscisių ašimi 60° kampą?

3. Raskite funkcijos / (* ) = Iog2* —2 log j* + 2 ekstremumus.

S—66

I. Funkcijos / ( . v ) = — g r a f i k a s eina per tašką M (0; 3). Raskite

šios funkcijos pirmykštę funkciją. а

/clx

— turi prasmę?

S—67

1. Raskite funkcijos / ( * ) = * ^ + * v 3 pirmykštę funkciją.

2. Išspręskite lygtį .v - 1 = ]/ 2.v2 - 3 * - 5.

S—68 I y - 3 * = 3,

I. Išspręskite lygčių sistemą j ^ ^ ir sprendimą pavaizduoki-

te geometriškai. 2*. Išspręskite lygčių sistemą (m — parametras)

j χ+ m2y = m,

1 * + 4 y = - 2 .

Išspręskite lygčių sistemą * - 2 y + z= - 4 , -4x+3y + 6z= 13, 5 * - 8 j + z = - 3 .


a) f 3*· 2y = 972, b)*

I log/з ( x - y ) = 2.

cos* + cos у = - 0 , 5 ,

х - у = 2π

S—71

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite sistemos sprendinių aibę:

a) x>0, 3* + 2 y+ 1 >0, 3* + 2 j - 6 < 0 , x - y + 2>0, x-y-2<0.

b) ( *2 + / ^ 1 6 ,

( * - I)2 +y 2 ^ 4,

y<x+ 1.

S—72*

Raskite funkcijos φ (* ; y) = 2x-3y mažiausią reikšmę, kai

4x - 5y < 20, 2x + yž6, 2x + 3y<:2\, xž0, y ž 0.

S—73

1. Apskaičiuokite у з - V l - ( 3 + 1/1) (ΙΛ0-1Λ2). 2. Vienoje krūvelėje yra 150 sąsiuvinių, iš jų 32°0 - langeliais, o ki-

toje krūvelėje - 210 sąsiuvinių, kurių 20% - langeliais. Kiek procentų visų sąsiuvinių sudaro sąsiuviniai langeliais?

3. Raskite * iš proporcijos:

( 4 - 3 , 5 . ( 2 4 . - , 1 ) ) : 0 . , 6 4 - 14

4 1 * 1 - 4 0 ^ 84 60

1. Trikampio kraštinės proporcingos skaičiams 3, 4, 5. Ilgiausioji kraš-tinė 2,4 cm trumpesnė už kitų dviejų kraštinių ilgių sumą. Apskaičiuokite trikampio perimetrą ir plotą.


3,4л- - ( * + 0,6) <0,6*,

3,5 — .v + 2,5 (2* — 2,4) ^ 0,5* — 13.


: V / _ , * - + — Ц - V \ la+y b / 2 a-b3 2 a + b3 j

2. Išspręskite lygtį = + _ ! _

S—76 1. Atlikite veiksmus:

5,08' 372

a) 22 ,7-73 ,9-45 ,82 ; b) j / 2 M ; c)

T D , -. 8410 481 2. Raskite proporcijos —— = nežinomąjį narj.

S—77


a) a: b +c; b) a - ( b - c ) , kai ал 46,76; 6 й 12; е й 52,1. 2. Atimkite ir nurodykite gautojo rezultato paklaidos rėžį ir santykinės

paklaidos rėžį χ - y , kai * = 7,3 ±0,07; y = 2,2 ±0,3.

S—78 1. Nurodykite funkcijos j = 6*2 + 37.v + 6 kintamojo * reikšmių, su ku-

riomis 0, aibę. 2. Kvadratinį trinarį 3 * 2 - 4 * - 2 išskaidykite dauginamaisiais (jeigu

tai įmanoma). 3. Parašykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra skaičiai j/~6 - 2 ir

V~6 + 2.

1. Raskite aritmetinės progresijos (a„) narių skaičių, kai = 48, a.,= = 44, Sn = 300.

2*. Apskaičiuokite begalinės geometrinės progresijos sumą, kai pir-

masis narys - 9 ir penktasis narys —i- .

3*. Raskite ribą:

ч ,. 2n*-n + 3 ,χ ,· / V 2пг — 1 j 1 \Л

S—80 1*. Raskite ribą:

. . . , / —T U 4 . . ( З х + 1 ) U + 2) a) l i m / T T l ; b) ^ m χ2 + 5 ν + 6 •

2. Apskaičiuokite funkcijos / ( * ) išvestinę:

a) / ( * ) = ( l ^ * 5 - 2 * ^ ) e*; b) / ( * ) = In (* + 2) - ·

3. Raskite funkcijos / ( * ) = (3* 2 - I ) 1 1 9 išvestinę, taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo formulę.

S—81 X* + 4 v — 1

1. Raskite funkcijos / ( * ) = — — į — didėjimo bei mažėjimo interva-

lus ir ekstremumus. 2. į 4 cm spindulio pusrutulį įbrėžtas ritinys taip, kad ritinio pagrindo

plokštuma sutampa su plokštuma, kuri riboja pusrutulį. Kokiaturi būti ritinio aukštinė, kad ritinys turėtų didžiausią tūrį?

S—82

1. Parašykite funkcijos / (* ) = X^t-sin (2* + 1 ) - 2 J ] pirmykščių

funkcijų bendrąją išraišką. 2. Apskaičiuokite integralą

π 8 Г / cos 4x 1 \ . J ( 2 Т /

π 4

3. Apskaičiuokite kreivių у=-хгЛ-4, y=x2 — 2* apribotos figūros plotą.


a) 8cos 2χ — 3 sin 2 * + 1 0 s in 2 *= 6; b) Iogx2 + Iog2χ = 3


a) cos2 * - s i n 2 * < - j ; b) 4 ·> 5 ^0 ,125 .

S—84

1. Išspręskite lygtį ]/' * + į + V 4x+ 13 = V 3x+ 12. 2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

4x + 4 j — 7z = 66, χ + 3y — 5z = 47, 3x + j - 2 r = 19.


( x - v ) x 2 V2 = 4 ,

(χ + v) χ2 v2 = 12.

S—85

Ištirkite funkciją/(.v) = ( x - l ) 2 ( x + 3)2 ir nubraižykite jos grafiką, nau-dodamiesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė X0 = 2.

S—86*

1. Raskite diferencialinės lygties v " = - 4 v sprendinį, kuris tenkintų sąlygas v(0)= I; / (0 ) -2 ]/~3. Nurodykite šio svyravimo amplitudę, dažnį ir pradinę fazę.

2. Parašykite diferencialinės lygties / = sprendinių bendrąją iš-

raišką.

S—48

1. Harmoninių svyravimų X1 (/)=3 cos 2t ir X2 ( t ) = 3 cos 2/ + y )

sumą išreikškite harmoniniu svyravimu. 2. Harmoninio svyravimo amplitudė ir dažnis lygūs 2 ir 3, pradinė ko-

ordinatė χ (O) lygi 1. Koks šio svyravimo pradinis greitis x ' (0)?

S—49

7 paveiksle nubraižytas funk-cijos /i(x) = s in2x grafikas in-tervale [ - J ; π ] · Atsakykite

į klausimus: 1) Kokios kintamojo χ reikš-

mių, su kuriomis /i(x) = 0; h (x) ^O;/) (x) <0, aibės?

2) Nurodykite χ reikšmes (jeigu jos egzistuoja), su kuriomis funkcija h įgyja maksimumą arba minimumą.

3) Kokie funkcijos h didėjimo (mažėjimo) intervalai? 4) Kokiame funkcijos h apibrėžimo srities intervale ši funkcija didėja

(arba mažėja) ir įgyja visas savo reikšmes? 5) Ar funkcija h yra apgręžiama?

y[ 1

TX _n 0 n f "i

4 * 2 \

-7

7 pav .

S—50

1. Apskaičiuokite: sin (arccos 0,28); b) aresin (sin 10).

2. [rodykite tapatybę aresin χ+ arccos χ = π .


a) 4 sin χ cos χ = — 1;

C) COS ( з х j y )

S—51

b) tg A-+tg2.v = l _ . 1 -tg.v tg 2Y ~ Į/"}"


'8 I K) + tg Ix

1 - tg 2x tg K) a) y b) s i n 2 x > y .


a) 3 sin 2x+7 cos 2x = 0 : b) eos 2 x - s i n x = 0.

Įrodykite tapatybes:

\ sin 2γ , . π

3 ) I/ l + s i n 2 y + V 1—sin2y = s l n Y' 0 < Y < ^ ;

b) t g4a — tg2a = ' ^ f 2 " ,

S—55

1. {rodykite, kad funkcija f(x)=x\x | yra funkcijos f ( χ ) = 2\x pirmykštė funkcija intervale ] - o o ; oo[.

2. Raskite funkcijos f ( x ) pirmykštę funkciją:

a) f ( x ) = ; b) f ( χ ) = cos2 x . У хг-\

S—56

Raskite funkcijos pirmykštes funkcijas (pasinaudokite funkcijos χ cos χ išvestinės formule):

2 a) c o s a ( Λ . _ υ - 3 sin (4 - Зх) + 1; b) χ sin χ + ]/~2χ - I.

S—57 2

1. Apskaičiuokite integralą J ( 1+2х) 3 Лг .

2*. Raskite Iim J dx χ?


2 c o s x , kai - ^ - 4 x ^ 0 , a) v = J 2

I - χ + 2 , kai O < χ ^ 2 ir j = 0; 3

b) V = V r ? , y = O, X = - I , X = - 2 .

S—59*

Nustatykite kinetinę energiją vienalyčio ritinio, kuris sukasi apie savo

ašį kampiniu greičiu - į- Ritinio spindulys Λ m, o ritinio masė m kg.

S—60*

Apskaičiuokite:

T Ι,2π

a ) f ( 3 x + l)&dx; b) J 4 ,2 sin ( y - y ) · cos ( - y - f ) dx. O 1,6π

S—61

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos y = ( y ) graf iką.

2. Išspręskite lygtį 2· 3 χ - β + 6· 90·5*-2 = 56. л ' + 2 У - 1 5

3. Išspręskite nelygybę 7,3 x~4 > I.

S—62

1. Nubraižykite funkcijos y= 10 l g ( ! x + l 2) graf iką. 2. Suprastinkite reiškinį

Iog2 2x2 + Iog2χ·X l o g ' ( l o g !*+ I )•+ y Iog^X4 + 2" 3'<>*«

3. Žinoma, kad l g 5 = a, Ig 3 = b. Apskaičiuokite log308.

1. Išspręskite lygtį l o g J C + 1 ( x - 0 , 5 ) = log JC_0>5(x+1). 2. Išspręskite nelygybę log2 χ + Iog2 χ2 ^ - 1.

S—63

1. Raskite funkcijos / ( л ) = л:· ex'~3x ekstremumus. 2. Funkcijos h(x) = 2 1 - 0 ' 4* grafikas eina per tašką M (2,5; 1). Raski-

te šios funkcijos pirmykštę funkciją. 3. Apskaičiuokite

6

J (.v — 3) ex'-6xdx. o

S—65 1. Raskite funkcijos /(.v) išvestinę;

a) /'(x) = logj (x 3 + cosx) ; b ) / ( x ) = In sin y .

2. Parašykite funkcijos h (x) = In ( — 1 - 2 * ) +Iog2 (1 — .v) graf iko lies-tinės lygtį taške, kurio abscisė . Y 0 = - I .

3. Raskite funkcijos/(.Y)= 1,5 ln2*— In3X didėjimo ir mažėjimo inter-valus.

S—66 2

1. Raskite linijų }'= — , x + v = 3 apribotos figūros plotą.

3

/2Y

^2' Į dx. o

S—67

1. Raskite funkcijos y = ( x — \ ) x ^ didėjimo ir mažėjimo intervalus.

2. Išspręskite lygtį ]/ x2 + 6x + 9 + ]/ x2 - 4x + 4 = 5.

S—68 I. Išspręskite lygčių sistemą

.y + 3 v -Az = - 2 1 ,

— 2.Y + 3y +Iz= — 6,

Зл- + 3 y - Sz = - 31 .


{m- \ ) χ + y = m + 1,

2.Y + т у = 6.


χ — 2 v -f- Iz — 3u = 4, 3x + 2 . v - IOz+ 1 Im = O, - 2 . Y + y+ 5z= 7, y + z + 4u = 9.

S—70


a) ί χ2 = 1 + 6 Iog4 j , b)* i sin χ = cosec χ + sin у ,

\ y2=y· 2x + 22x+1; 1 cos x = sec χ + cos y.

S—71

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite sistemos sprendinių aibę:

χ2 - 2χ+y2 + 4y < 4,

yžx2-3x+2, у+Ых.

S—72

Viščiukams skirtą vienos dienos lesalų davinį turi sudaryti ne mažiau kaip 10 vienetų riebalų, 8 vienetai baltymų, 42 vienetai angliavandenių ir 20 vienetų vitaminų. Kombinuotų pašarų masės vienetas, kuris kainuo-ja 4 rub., šių medžiagų atitinkamai turi 2, 1, 3 ir 1 vienetą, o susmulkin-tų šiaudų masės vienetas, kuris kainuoja 3 rub., atitinkamai — 1, 1, 7 ir 5 vienetus. Kiek reikia vienai dienai kombinuotų pašarų ir susmulkintų šiaudų, kad viščiukai gautų pakankamai riebalų, baltymų, angJiavan-denių ir vitaminų ir kad lesalų kaina būtų mažiausia?

S—73 3 3

1. Patikrinkite lygybę ]/ 45 + 29 \f~2 - 1 / 4 5 - 2 9 \1= 2 l/T 2. Šeimininkė supylė žibalą į kiaurą bidoną. Kiek žibalo (pro-

centais) ištekėjo iš bidono per valandą, jeigu po 3 valandų jame liko 19% mažiau žibalo negu jo buvo įpilta, praėjus valandai?

3. Suprastinkite reiškinį ir apskaičiuokite jo reikšmę, kai x = 5.

я:2-f 2x-3 + (x+ 1) Y .v2-9 X 2 - Ix-3 + u - l ) I .v2 — 9 '

1. Trikampio kampų sinusai proporcingi skaičiams 5, 12, 13. Apskai-čiuokite šio trikampio perimetrą ir plotą, jeigu apie jį apibrėžto apskriti-mo spindulys lygus 6,5 cm.


x2 + x + - \ -4x-x2,

|x | < 6 .

S—75

1. Suprastinkite reiškinį ± 3

4a0·1'+ be1·1 a4 C2-4b + • (4+ c1·5) (a0·25 —6) 1 * (4-c1·5) ( V α - b )

2. Išspręskite lygtį 2 + - 1

2—y' y*-l y' + l

S—76

1. Atlikite veiksmus: , 3

a) v 9 ^ 6 4 4 2 3 ' 5 2 ; b) 5 ,28 2·21,3 2 ; c) V r W 2 · 42,8.

2. Trikampio kraštinių ilgiai 12,7 cm, 10,2 cm ir 5,6 cm. Raskite trikampio, panašaus į šį, kraštinių ilgius, kai ilgiausia jo kaštinė lygi 42,1 dm.

S—77


a) ab + ac-b·, b) (a + c)2, kai ax8,32; bz0,367; cx 1,633.

2. Įrodykite, kad sandaugos santykinė paklaida ne didesnė už daugi-namųjų santykinių paklaidų sumą (dauginamieji — teigiami; nepaisykite ZJ1, Л a eilės narių, kai A1 ir h2 — absoliučiosios paklaidos rėžiai).

1. Daugianarį 3x4 — IOx2+ 3 išskaidykite dauginamaisiais (jeigu tai įma-noma).

2. Su kuriomis parametro b (b φ0) reikšmėmis kvadratinės lygties 2b2x2 — bx— 1 =0 abiejų šaknų moduliai mažesni už vienetą?

3. Apskaičiuokite kvadratinės lygties x 2 + x - l = 0 šaknų ketvirtųjų laipsnių sumą.

S—79

1. Aritmetinės progresijos trečiojo ir devintojo narių suma lygi 6, o

jų sandauga lygi y - , Apskaičiuokite penkiolikos pirmųjų šios progresi-

jos narių sumą.

• 2*. Apskaičiuokite sumą 1 + 11+111 + . . . + 1 1 1 1 . . . I . n kartų

3*. Raskite ribą:

. .. /2-3/7-0,7/;3 n — 4nl \ лГ-—— ч a) l i m ( ι 2η1 —3 ' ОТпЧТ/ ' b) Iim ( \ / n 2 - 2 п - n ) n ' <"-' * ' ' n - ' <

*. Raskite ribą: a) Iim •v-» 2

2. Raskite funkcijos / išves-tinę:

a ) ί { χ ) = τ ώ :

b) / ( x ) = i g ( х ^ + г х 1 ) 5 .

3. Pagal funkcijos / graf iko eskizą (8 pav.) nubraižykite funk-cijos / ' grafiko eskizą.

3A2 + 7.V+ 2 2.v4-5.v + 2 b) Iim

S—80

V7-2 -4 V xTš- 3

Raskite funkcijos /(.v) =

S—81

didėjimo bei mažėjimo intervalus

ir ekstremumus. 2. Raskite ritinio aukštinės ir pagrindo spindulio santykį, kai tam tik-

ro tūrio ritinio visas paviršius yra mažiausias.

1. Raskite funkcijos/(χ) = ?* · sin χ pirmykštę funkciją, naudodamiesi funkcijų e* sin χ ir e* cos χ išvestinių formulėmis.

2. Apskaičiuokite 4 3

J ] / ( , + « ) V -2

3. Įrodykite, kad lyginei funkcijai teisinga lygybė O a

f f(x)dx = f f ( χ ) dx.

S—83


a) Iog10 χ + I o g r 7 o .v +Iog3 .v + . . . + Iog1,, .v = 5,5; k' 10

b) (sin Jt — cos .v)2 + tg χ = 2 sin2 χ.


a) 3lg * 4 2 < 3 ' 8 · 5 — 2; b) t g j r + t e 2 v > . 1 - tg jf tg Ix y x

S—84 .1

1. Išspręskite lygtį


X - V' + r - u = 2,

χ + 2y-2z-u= 5, — 3x + 2y + 5z + u — - 3 , 2x — 2 — u = 4.


y χ + v + .V XV + 21 = 13, 4 4

V χ + y + ]/ XV+21 = 5,

Xy > 0.

Ištirkite funkciją f(x)= - + ir nubraižykite jos grafiką,

naudodamiesi išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio absci-se X 0 = —2.

S—86

1. Raskite diferencialinės lygties v"=— 0,25_v sprendinius, kurie ten-kintų sąlygas:

j (O)=4; /(O)=-k^-. 2. Parašykite diferencialinę lygtį, kurios sprendinys yra funkcija v =

_ 43* 3. Kūnas nurieda per 3 s 45 m, o per 6s — 90 m. Parašykite kūno ju-

dėjimo lygtį, jeigu žinoma, kad kūno greitis proporcingas nueitam keliui.

8 variantas

S—48

1. Harmoninių svyravimų X1 (/) = cos 3t ir x 2( i ) = cos (зг — su-mą išreikškite harmoniniu svyravimu.

2. Harmoninio svyravimo amplitudė lygi 2, dažnis lygus j/~5, o pra-dinė koordinatė χ (0) lygi 2. Koks šio svyravimo pradinis greitis x' (0)·

S—49 9 paveiksle pavaizduotas funk-

cijos h{x) = cos 2x grafikas inter- </(

vale Į— ; π|. Atsakykite į šiuos

klausimus: 1. Kokios kintamojo χ reikš-

mių, su kuriomis h (.v) = O, h (x)<0, h(x)žO, aibės?

2) Nurodykite χ reikšmes (jeigu jos egzistuoja), su kuriomis funkcija įgyja maksimumą arba minimumą.

3) Kokie funkcijos h mažėjimo 9 pav. (didėjimo) intervalai?

4) Kokiame funkcijos h apibrėžimo srities intervale ši funkcija didėja (mažėja) ir įgyja visas savo reikšmes?

5) Ar funkcija h yra apgręžiama?

1. Apskaičiuokite: a) cos (arcsin ( — 0,96)); b) arccos (cos 10).

2. Įrodykite tapatybę arctg .γ + arcctg x=~. .

S—51

Išspręskite lygtis: a) 4 sin л- cos χ = — j/~3; , . tg Sx — tg Ix , . ι . /n , π\ ι 1 b ) . • , -> 7 < = - 1; с) sin 9.v + — = ——.

1 + tg Zx tg 5x ' \ Ί YY

S—52


tg 3.v — tg [х-Щ-\ a) L b) Cos2X^

1 + tg Зд: tg ( - f - — j

S—53


a ) 2 cos2 (X+ J ) + 3sin (~--.Y) + 1 = 0 ; b) sin 2x-sin Зд: = 0.

S—54

Įrodykite tapatybes:

a) V tg .v + sin л + V tg .v - sin л' = 2 V tg χ cos ( " j - у ) > kai

О < л- < 2 ; b) t g 2 p - 2 t g p = t g 2 ^ tg2p .

S—55

1. Įrodykite, kad funkcija F(x) = x3 \ χ | yra funkci jos/(x) = 4x2 | χ | pirmykštė funkcija intervale ]— oo; oo[.

2. Raskite funkcijos f ( x ) pirmykštes funkcijas: Я r2

a ) f (X) = - ½ = : ; b ) f (X) = Sin2 .v. 2 V χ3 +\

Raskite funkcijų f ( x ) ir g (x) pirmykštes funkcijas, naudodamiesi funkcijos χ sin χ išvestinės formule:

a) f ( χ ) = g i n , ( ' + 1 ) + 3 c o s ( 3 - 4 x ) + l ; b) g(x) = xcosx-]/ 1 + 2* .

S—57

1. Apskaičiuokite integralą i

J (1 + 2x)*dx.

i

2*. Raskite l i m f T f = n-+*> , V χ

S—58


( χ+ 2, kai

2 cos χ, kai 0 < x $ y ir .p = 0; a) y

b) y =Yl?, >=0 , 1, χ —

S—59*

Pusrutulio formos akvariumas, kurio spindulys r, pripildytas vandens. Nustatykite, kokia jėga vanduo slegia akvariumo „sieneles".

S—60*

Apskaičiuokite:

π 1.5 2Λ . \

a) f ( 1 - 2 x f d x ; b) f iCos2 ( 2 * - ^ ) - s i n 2 ( 2 χ - ^ j j dx. 1

12

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y = 32~* grafiką. 2. Išspręskite lygtį 4 - 9 ^ ^ - 2 7 ^ = 33. 3. Išspręskite nelygybę 2| x _ 1 l>4*.

S—62

1. Nubraižykite funkcijos y= 31°¾ (*' 4*+3) grafiką. 2. Suprastinkite reiškinį

( χ ' ^ + β ^ + ΐ )

3. Žinoma, kad Ig 2 = a, log37 = b. Raskite Ig 56.

S—63

1. Išspręskite lygtį 0,5 Ig ( 8 - x ) = lg (1 + ]/ x + 5).

2. Išspręskite nelygybę log jx + log4 1/~Χ5Ϊ 1,5.

S—64 / J \ X1-X

1. Raskite funkcijos / (χ ) = χ·( — j maksimumus.

2. Raskite pirmykštę funkciją funkcijos /г(x) = 0,51 - 3*, kurios grafikas eina per tašką M (— 1; 1).

π 2

3. Apskaičiuokite J sin xecosxdx. o

S—65

1. Raskite funkcijos f ( x ) išvestinę;

a) f ( x ) = log| C*2 - sin b) / ( χ ) = In cos у .

2. Parašykite funkcijos h (x) = Iog05 χ+Ig (3 — 2x) grafiko liestinės lyg-tį taške, kurio abscisė xo = 0,5.

3. Raskite funkcijos y= 1,5 Ig 2χ+ Ig3χ didėjimo ir mažėjimo inter-valus.

1. Apskaičiuokite linijų y= — , x+y=5 apribotos figūros plotą. 3

/Зхг χ,_1 dx.

2

S—67

1. Raskite funkcijos у = (2 — х)х1^ didėjimo ir mažėjimo intervalus.

2. Išspręskite lygtį ^ T J T ^ = Į _

S—68


χ —y — 3z = 11, • 3x + 2_y + 4z = 18,

— 4x + 3.F — z = - 5 .


(m- l)x+ Imy= - 2, 2 wx + (m — \ ) y = m — 1.

S—69


x + >'+ 4z — m = 0,

— 3x — 2>> + 3z + 2w = 28, — x+ly —z — 2u=\\, ι 3x — 6y— 6Z + M = 5. 1

S—70


a) ί χ»·-Ί6)> + ββ= 1( b)* i sin χ = sin 2y, \ y-X= 5. j COS χ = sin у,

Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos sprendi-nių aibę:

a) xy+1 > y+1 . b) [ .Y2 - 4x + j'2 + 6x^12,

j (.γ — \)y ^ 2,

I x-2y< 1.

S—72*

Viščiukams skirtą vienos dienos lesalų davinį turi sudaryti ne mažiau kaip 15 vienetų riebalų, 36 vienetai baltymų, 12 vienetų angliavandenių ir 20 vienetų vitaminų. Kombinuotų pašarų masės vienetas, kuris kainuo-j a 3 rub., šių medžiagų atitinkamai turi 3; 3; 1 ir 2 vienetus, o išspaudų masės vienetas, kuris kainuoja 5 rub., atitinkamai — 1; 4; 2 ir 8 vienetus. Kiek reikia vienai dienai kombinuotų pašarų ir išspaudų, kad viščiukai gautų pakankamai riebalų, baltymų, angliavandenių ir vitaminų ir kad lesalų kaina būtų mažiausia?

S—73

1. Patikrinkite lygybę

[ / 8 + 2 " ΐΛθ + 2 1 / l - ] 8 - 2 1/10 + 2 1 / 1 = ] / 2 0 - 4 j / 3 .

2. Inde esantis vanduo garuoja. Kiek procentų vandens išgaravo per dieną, jeigu po 4 dienų inde liko 48,8",, vandens mažiau negu buvo jame, praėjus vienai dienai.

3. Suprastinkite reiškinį ir apskaičiuokite jo reikšmę, kai /=5,2:

/"-/-6-(/ + 3) V /2 —4 /г + / —6- (r— 3) V /2 —4

S—74

1. Trikampio kampų sinusai proporcingi skaičiams 12, 35, 37. Apskai-čiuokite šio trikampio perimetrą ir plotą, jeigu apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus 18,5 cm.


*2 + х + 1 > -2-9х-2хг,

• \x\<4.

1. Suprastinkite reiškinį i

а* сг-ЗЬ2 , 3а3+Ь2 сг - + 1 J_

(c2 + 3) (a 3 + l/T) (c2-3)(e3+"l/T)

2. Išspręskite lygtį _ 1 2 _ 2 y-1 y' + 2 y* — l '

S—76


a) y 8 ^ 2 3 5 ' 7 7 ; b) 3,442 · 14,52; c) V~35X2" 37,8.

2, Trikampio kraštinių ilgiai 7,8 dm, 5,4 dm ir 3,85 dm. Apskaičiuokite trikampio, panašaus į Šį, kraštinių ilgius, kai trumpiausia kraštinė lygi 24 m.

S—77

1. Apskaičiuokite, naudodamiesi praktinėmis apytikslio skaičiavimo taisyklėmis: a) α : b —c : b + a; b) a2 + 2ab + b2, kai az7,6; b » l , 4 ; c s £:0,0139.

2. Įrodykite, kad dalmens santykinė paklaida yra ne didesnė už dali-

nio ir daliklio santykinių paklaidų sumą. ^Sakykime, kad duomenys tei-

giami, galima nepaisyti Zi1Zz2 eilės narių, kai Zi1 ir Zz2 - absoliučiųjų paklai-

dų rėžiai, pavyzdžiui: •)

S—78

1. Daugianarį 2xl +5*2 + 2 išskaidykite dauginamaisiais (jeigu tai įma-noma).

2. Su kuriomis parametro b (b ¥= 0) reikšmėmis kvadratinės lygties 2b2x2-bx-3 = 0 abiejų šaknų moduliai ne didesni už vienetą.

3. Apskaičiuokite kvadratinės lygties * 2 - 2 x - 2 = 0 šaknų ketvirtųjų laipsnių sumą.

1. Aritmetinės progresijos trečiojo ir šeštojo narių sandauga lygi 406. Dalijant šios progresijos devintąjį narį iš jos ketvirtojo nario, gaunamas dalmuo 2, o liekana 6. Raskite progresijos pirmąjį narį ir skirtumą.

2*. Apskaičiuokite sumą

ι + 2 ' Τ + 3 ' ( Τ ) ! + 4 · ( τ ) ' + · - · + " ( Τ Γ ' · 3*. Raskite ribą:

2-Зл + и3 4 —2и4 + 3л® a) Iim f I >CC 3«2 + 2 л10 -In b) Iim ( y ifi + n - | / ^ r ~ į ) .

1*. Raskite ribą:

„4 3x2 + 1 Ox 4- 3 a) hm 3 2*2 + 7x+3

S—80

b) Iim V Х + 2-2

10 pav.

2 V x + 7 - З

2. Raskite funkcijos / ( x ) išves-tinę:

a) / ( X ) = J I L - ;

b) / ( * ) = 2<*+1>".

3. Nubraižykite funkcijos/' gra-fiko eskizą, naudodamiesi funkci-jos f grafiko eskizu (10 pav.).

S—81

1. Raskite funkcijos f (χ)= 2 1 n ' ·*+3 1"* didėjimo bei mažėjimo in-tervalus ir ekstremumus.

2. Raskite kūgio aukštinės ir pagrindo spindulio santykį, kai tam tik-ro tūrio kūgio šoninis paviršius yra mažiausias.

S—82 I. Raskite funkcijos f ( x ) = ex cos χ pirmykštę funkciją, taikydami

funkcijų e* sin χ ir ^ c o s x išvestinių formules.

2. Apskaičiuokite f ]/ ( 4 - 3xfdx. o

3. Įrodykite, kad nelyginei funkcijai / lygybė a

f f{x)dx = 0 yra teisinga.


a) ("j/ 7 + У 4 8 ) * + (1/ 7 - 1 / 1 8 ) * = 14; b) t g ( * + l ) c t g ( 2 * + 3 ) = l .

2. Išspręskite nelygybes: sin 2x

a ) I o g 0 i S + 3)< Iog0j25(x + 15); b) 0 , 5 ^ < 0,5 1 ^ o s 2 * <0,5.

S—84

1. Išspręskite lygtį V 3x2 - 2x + 15 + V 3x2 - 2x -r 8 = 7. 2. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

' x+y-z+u- - 7 , — x + j + 3z —4m = 9, 2x—3y + 3z—8u=\6, x — 2y + z — u=l2,


!V1 lrS=2. \ χ2 — 18 = 2 j ( 4 j —9).

S—85

Ištirkite funkc i ją/(x) = - ^ į | - i r nubraižykite jos grafiką, naudodamie-

si išvestine. Parašykite grafiko liestinės lygtį taške, kurio abscisė x 0 =2.

S—86*

1. Raskite diferencialinės lygties y" = - 3y sprendinius, kurie tenkintų sąlygas: j ; ( 0 ) = - 2 ; / ( 0 ) = - 6 .

2. Parašykite diferencialinę lygtį, kurios sprendinys yra funkcija y =

-Ш" 3. Kūnas judėdamas per 5s nueina 15 m, o per 10 s —60 m. Parašykite kūno judėjimo lygtį, jeigu žinoma, kad kūno judėjimo grei-

tis proporcingas jo nueitam keliui.

Savarankiški kartojimo darbai (SK) skiriami algebros ir analizės prad-menų kursui kartoti. Kartojama, atsižvelgiant į metodines turinio kryptis: skaičiaus sąvokos plėtojimą, funkcijų, tapatybių pertvarkymą, lygčių ir nelygybių sprendimą.

Baigiamajam kartojimui XII klasėje skiriama 19 pamokų. Skiriant savarankiškus kartojimo darbus (SK), šias pamokas rekomenduojama su-skirstyti taip: 16 pamokų - išeito kurso kartojimui, 2 pamokos - kont-roliniam darbui ( K - 7 ) ir dar 1 pamoka kontrolinio darbo rezultatų analizei bei konsultacijai prieš egzaminą.

Lentelėje pateikiami algebros ir analizės pradmenų kurso klausimai per kartojimo pamokas, taip pat mokymo priemonės skyrelių, kuriuose gali-ma rasti pamokai reikiamos teorinės medžiagos, numeriai.

Pamokų Nr. Per pamoką nagrinėjami klausimai

Mokymo priemonės

skyrelių Nr.1

1 2 3

1 Skaičių tiesė. Skaičių plokštuma. Koordinačių tiesė. Koordinačių plokštuma. Veiksmai su real iaisiais skai-čiais. Aibės koordinačių tiesėje ir koordinačių plokštu-moje.

1, 2, 3, 4, 5, 1*

2 Skait inės funkcijos. Apibrėžimo sritis. Funkcijos reikš-mių sritis. Lyginės ir nelyginės funkcijos. Periodinės funkcijos.

9, 34, 35, 31, 32, 63, 64, 68

3 Funkcijos didėj imas ir mažėjimas. Funkcijos kritiniai taškai , jos maksimumai ir minimumai.

16, 26

4 - 5 Funkcijos ribos taške apibrėžimas. Ribų teoremos. Funkcijų tolydumas. Funkcijų tolydumo taikymas.

1 1 - 1 4 , 42, 63, 64

6 Išvestinė. Išvestinių lentelė. Išvestinių skaičiavimo tai-syklės. Geometrinė ir f izikinė išvestinės prasmė.

1 8 - 2 1 , 23, 24, 42, 43, 65, 67, 68

7 Išvestinės ta ikymas funkcijoms tirti. Funkcijų graf ikų braižymas.

2 5 - 2 7

8 Funkci jos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė. 28

9 Pirmykštė funkcija. Pirmykščių funkcijų lentelė. Pag-rindinė pirmykštės funkcijos savybė. Pirmykščių funk-cijų radimo taisyklės. Suprat imas apie harmoninių svy-ravimų diferencialinę lygt į .

50, 5 6 - 5 8 , 67

10 Integralas. Niutono—Leibnico formulė. Integralo tai-kymas plotams skaičiuoti .

59, 60

1 1 - 1 2 Tapatybės. Pagrindinės trigonometrinės, rodiklinės, logaritminės tapatybės. Reiškinių tapatūs pertvarky-mai .

7*, 3 3 - 4 1 , 63, 64

1 3 - 1 5 Lygtys. Ekvivalenčios lygtys. Lygčių sprendimo būdai. 8», 52, 54, 63, 64, 69

16 Nelygybės. Funkcijų savybių taikymas, sprendžiant nelygybes.

8*, 63, 64, 68

1 K o l m o g o r o v a s A. ir kt. Algebra ir analizės pradmenys: Mokymo' priemonė I X - X I kl . - K., 1986.

* Žvaigždute pažymėti mokymo priemonės skyriaus „Kartojimo medžiaga" (p. 252 — 274) skyrelių numeriai.

SAVARANKIŠKI KARTOJIMO DARBAI (SK)

1 variantas

S K - 1

1. Žinoma, kad x = 3, 12345..., y = l,54251... . Raskite sumos x+y du pirmuosius dešimtainius ženklus.

2. Išspręskite lygtį ir nelygybę: a) I χ — 3 I > 1; b ) | x - 5 | = 0,2. 3. Koordinačių plokštumoje pažymėkite nelygybių sistemos sprendinių

a ibę :

x-y>0,

x2 +y2 <4.

S K - 2 1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį:

a) j = ]/ 3 - х + Igχ; b) j = l/s inx . 2. Nustatykite, kurios šių funkcijų yra lyginės, o kurios nelyginės: a) j = x3 + x ; b) y = s inx + 2; c) y = tg2 χ. 3. 11 paveiksle pavaizduota funk-

cijos'/ grafiko dalis intervale - I ^ 1. Žinodami, kad funkcijos /

periodas lygus 2, nubraižykite šios funkcijos grafiką intervale - 4 sįx ^ ^4 . 11 pav.

S K - 3

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y grafiką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taš-kus, ekstremumo tipus: а) j = x + 3;

b) j = x 2 - l ; c) y = cos χ + 2. 2. Funkcija/'didėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Išdėstykite mažėji-

mo tvarka skaičius: /(3,1) ; / { з / (π ) .

S K - 4

1*. Apskaičiuokite:

a) Iim (χ3 — 5χ+ 2); b) l i m ^ i - . .

2. Funkcija / tolydi visoje realiųjų skaičių aibėje R. Ji didėja intervale ]— oo; 1] ir mažėja intervale [1; + oo[. Schemiškai nubraižykite šios funk-cijos grafiką.

S K - 5

1*. Apskaičiuokite: 3

a) Iim (sin χ + cos x); b) Iim j/~x. π .ν—* 27


a) ( x - 3 ) ( x + 2 )>0 ; b) ^ 0 .

S K - 6

1. Raskite funkcijos y išvestinę:

а) y = x6 + Зх5-:t3 + 2; b) j = s inx + c ) y = ex-x.

2. Parašykite funkcijos / (х) = Зх3 + 5x grafiko liestinės lygtį taške (1; 8).

S K - 7

1. Ištirkite funkcijos/ix)=.*4 —32x didėjimą (mažėjimą) ir ekstremumus. 2. Ištirkite funkciją f(x) =X3- 12л: + 2 ir nubraižykite jos grafiką, nau-

dodamiesi išvestine.

S K - 8

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkci jos/(X)=X3-SX2+ 9 reikšmę intervaluose: a ) [1; 3]; b) [ - 1 ; 1].

2. Kokį didžiausią stačiakampio sklypo plotą galima aptverti 50 m il-gio tvora?

1 *2—l 1. [rodykite, kad funkcija F (x ) = x + - yra funkcijos f ( x ) =

X

pirmykštė funkcija intervale ]0; +oo[. 2. Parašykite funkcijos f ( x ) = j/"x + sin 2x pirmykščių funkcijų bend-

rąją išraišką. 3. Raskite funkcijos/(x) =X3 + 2 pirmykštę funkciją ,Ftokią, kad F(2) =

= 15.

1. Apskaičiuokite: π

1 *

a) j (4x3 + 6 x ) d x ; b) J sin 2χ dx. - 2 °

2. Apskaičiuokite šių kreivių apribotos figūros plotą:

a) j = * 3 ; j = 0 ; x = 2 ; b) J = j \ J = 0 ; * · = ! ; x = 3 .

1. Suprastinkite reiškinius: . a' — b3 a' —b1 Кч sin* α + cos 2α

a ) —;—г; Г - i dI аг —b' a —b ( г + * ) '

Apskaičiuokite b) reiškinio reikšmę, kai α = j π .

2. Įrodykite tapatybę 2 sin α - s i n 2α _ 2 α

l . ± 1 cio Z ®

S K - I O

S K - I l

sin 2 a + 2 sin α ' 6 2 '

S K - 1 2

1. Suprastinkite reiškinius:

Ilog1I2 sin I-^-+a) cos (π+a) а) 25 2 + Vb*'*-, b) i i

cos" (π -α ) · tg I - π—txj

2. Įrodykite tapatybę sin α sin α _ 2

1 + cos α 1 — cos α sin α


a) V 2x2 + 2 x - 3 = x; b) Iog2 (2л:-3) = Iog 2 ( 3* - 5);

c) 1 + sin Зх = y ; d) 2 2 *~ 4 =(y) 2 ~\

S K - 1 4 Išspręskite lygtis:

a) 5* + 3 ·5*~2=140; b) sin x + sin 2x = 0; c) cos 5 x - c o s 3x = 0; d) Ig 2χ+Igx = O.

S K - 1 5 Išspręskite lygtis: a) 22* — 5 · 2* -24 = 0; b) l g 2 x - l g x 2 + 1 =0; c) 2cos 2 x-3 sin x = 0; d) t g 2 x - 3 t g x + 2 = 0.

S K - 1 6


a) s i n 2 x > ~ y ± ; b) tg ( * - = - ) > ! ; / 3 \бх + ю-дсг 27

DMTJ <64"·

2 variantas

S K - 1

! .Ž inoma, kad x = 11,75214..., >=0,32151... . Nustatykite sumos x + y du pirmuosius dešimtainius ženklus.

2. Išspręskite lygtį ir nelygybę:

a) I χ— 71 > 2; b) | x - 3 | = 0,3.

3. Koordinačių plokštumoje pažymėkite nelygybių sistemos sprendi-nių aibę:

( -V+V^O,

I X 2 + J 2 ^ 9.

1. Raskite funkcijos y apibrėžimo sritį: a) y= ]/1 - x + lnx ; b) y = = j/ cos χ.

2. Nustatykite, kurios šių funk-cijų yra lyginės, o kurios nelygi-nės: a) j = x 2 + x 4 ; b) j = c o s x - x ; . . , c) y=ctg χ+χ.

3.12 paveiksle pavaizduota funk-cijos / grafiko dalis intervale 0< < x < l . Žinodami, kad funkcijos periodas lygus 1, nubraižykite šios funkcijos grafiką intervale - 3 x < 2.

У Г

12 pav.

S K - 3

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y grafiką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taš-kus, ekstremumo tipus:

a) j = x —5; b) y = 2-х2; c) j = s i n x - 3 .

2. Funkcija f didėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Skaičius /(1,4);

/ ( l у ) ; Д1/~2) išdėstykite didėjimo tvarka.

S K - 4


a) lim(x4 + 2x —3); b) Iim . >2 х-** X 4

2. Funkcija / tolydi visoje realiųjų skaičių aibėje R. Ji didėja intervale [ _ 3 ; + oo( ir mažėja intervale ] - oo; - 3 ] . Schemiškai nubraižykite funk-cijos / grafiką.

S K - 5


a) Iim (sinx + tgx) ; b) Iim 2*. π л-*4


a) (x + 3 ) ( x - 5 ) < 0 ; b) ^ 0 .

1. Raskite funkcijos y išvestinę:

а) у = Зх7 - χ 5 + x2 - 7 ; b ) j = c o s x - — ; c) J = l r ^ .

2. Parašykite funkcijos/(x) = 2x3 — x2 grafiko liestinės lygtį taške ( - 1; - 3 ) .

S K - 7

1. Ištirkite funkci jos/(x) = 0 ,25x 4 -27x didėjimą (mažėjimą) ir ekstre-mumus.

2. Ištirkite funkciją / (x ) = 3x-X 3 + 1 ir nubraižykite jos grafiką, rem-damiesi išvestine.

S K - 8

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos f ( x ) = x 3 + 3x2 — 5 reikšmę intervaluose: a) [ - 1 ; 1]; b) [ - 3 ; - 1 ] .

2. Kokio trumpiausio ilgio turi būti tvora, kad ja būtų galima aptverti 400 m2 ploto stačiakampį sklypą.

S K - 9

1. Įrodykite, kad funkcija F (x ) = x - j yra funkcijos f ( x ) = - x ^ -

pirmykštė funkcija intervale ]0; + oo[.

2. Parašykite funkcijos f ( x ) = - c o s χ pirmykščių funkcijų bend-V X

rąją išraišką. 3. Raskite tokią funkcijos / ( X ) = X 3 - 3x pirmykštę funkciją F, kad

F ( 2) = 25.

S K - 1 0 1. Apskaičiuokite:

π

2 6

a ) f (5x* + 6 x 2 ) d x ; b ) f c o s 3 x dx.

-1 0 2. Apskaičiuokite šių kreivių apribotos figūros plotą:

a) J = Cosx, y = O, b) j = x2 , j = 0, x = 4.

1. Suprastinkite reiškinius: . χ y(x —y)2 . . N sin g —0,5 sin (π + 2 « )

Ά) xi+yt χ*-у* ' ' 1 + cos α , 3

Apskaičiuokite b) reiškinio reikšmę, kai α = —π.

2. Įrodykite tapatybę sina + t g a = 2 c o s 2 JL

tg a 2 '

S K - 1 2 1. Suprastinkite reiškinius:

i log, 16 tg ( ^ - a J - s i n O r + a ) a ) 9log, 6 ; 2 * ; b) z

cos

2. Įrodykite tapatybę (τ H

cos α ^ cos α 1 + sin я 1 — sin α


..ι) ]/ χ + 1 = 1 — χ; b) l g ( 2 x - 3 ) = I g ( 3 x - 2 ) ;

с) cos2 χ + cos χ + sin2 χ = γ ', d) (0,2)3*-4= 52

S K - 1 4 Išspręskite lygtis: a) 2X + 2X _ 1 + 2*~2 = 56; b) cos2 χ = 2 cos χ; с) sin 7χ —sin Зх = 0; d) Ig2 χ —Igx = O.

S K - 1 5 Išspręskite lygtis: a) 8 · 22x + 14 · 2* - 4 = 0; b) Iog^ χ - 2 Iog2 χ2 = - 3; с) 8 s i n 2 x - 2 c o s x = 5; d) t g x + 3 c t gx = 4.

S K - 1 6 Išspręskite nelygybes:

a) cos 2x> γ ; b) tg (x + y j =¾ ;

c) log, (χ2 - З х - 2) < - 1; d) (0,4)2 > (0,4),og<M 2

S K - 1

1. Žinoma, kad x=7,213605..., j=2,173541. . . . Nustatykite sandau-gos xy tris reikšminius skaitmenis.


a) Į χ + 71 < 0,5; b) | x - 3 | = |x + 2|.


\ X i 0 .

S K - 2

1. Raskite funkcijos y apibrėžimo sritį:

a) y = ]/ x* + 2x- 15 + lg ( —x);

У

13 pav.

2. Nustatykite, kurios šių funk-cijų yra lyginės, o kurios nelygi-nės: a) j=x 3 —x 2 ; b) j = t g 2 x + 2 ; c) J = S i n 3 X - sin χ.

3.13 paveiksle pavaizduota funk-cijos / grafiko dalis intervale — 1 ^

Žinodami, kad funkcijos periodas lygus 2, nubraižykite šios funkcijos grafiką intervale — ^ x <6.

S K - 3

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos j grafiką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, funkcijų reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstre-mumo taškus, ekstremumo tipus:

a ) j = 5x+4; b) j = 2 x 2 - l ; c) j = 2 s i n x .

2. Funkcija / didėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Skaičius/(15,1);

/ ( ' 5 - j j - j ; / ( 15 , (1)); / ( 3π ) išdėstykite didėjimo tvarka.

S K - 4

1^. Apskaičiuokite:

2. funkci ja / yra netolydi taške

x = 3 , l im/(x) = 5, / (3 ) = 4.

Schemiškai nubraižykite šios funkcijos grafiką.

1. Apskaičiuokite: 3 6

4 1 · · КЧ г ( У Т - V T ) ' a ) hm sin X-Cos χ ; b) Iim —= . „ V χ 4


a) (x — 7) (3 — χ) (x2 — 9) > 0; b) >0. У .v —2

S K - 5

S K - 6 1. Apskaičiuokite funkcijos j išvestinę:

3

a) j = x7 + x 2 (x 3 —4); b) j = t g 3 x + 2 V~x; c) j = 2*-cos 2x .

2. Parašykite funkcijos / ( x ) = | x 3 + x grafiko liestinės, lygiagrečios

tiesei j = x - 5 , lygtį.

S K - 7

1. Ištirkite funkcijos / (x ) =X 4 -4x 3 + 2 didėjimą (mažėjimą) ir eskstre-mumus.

2. Ištirkite funkci ją/(x) = - x 4 + 2x3 + 2 ir nubraižykite jos grafiką, nau-dodamiesi išvestine.

S K - 8 2

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos / ( x ) = x4 — 2 y X 3 + 2

reikšmę intervale: a) [ - 1 ; 3]; b) ]0; 4[. 2. Taisyklingos trikampės prizmės pagrindo kraštinės ir šoninės briau-

nos ilgių suma lygi 3 m. Apskaičiuokite prizmės didžiausią tūrį.

1. įrodykite, kad funkcija F(x) = Cosx3 yra funkcijos f ( x ) = L 3x 2

Sinx 3 pirmykštė funkcija visoje realiųjų skaičių aibėje R.

2. Parašykite funkcijos / ( * ) = - T = L = +sin 3χ pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką. V 5~2x

3. Raskite funkcijos f(x)=]/ 5 x - 1 pirmykštę funkciją, kurias grafi-kas eina per tašką 71/(1; 2).


• · / J , = b) / J Į L . π - 3 4

2. Apskaičiuokite šių linijų apribotos figūros plotą:

a) j = 6 x - x 2 , v = 0; b) y = -L , j = o, x = i , x = 2.

S K - 1 1 I. Suprastinkite reiškinius:

•> ( 4 - ) = ( " " ' ^ - " - ' ) ' ,4 2 sin α · cos α — cos α b)

sin2 α - s i n α+1—cos2 α '

2. Įrodykite tapatybę

1 -i 2 cos2 α —j = tg α — Ctg a.

y sin 2a


a ) Ig (25 l o g·° '8 + 9Ιοϋ·O·6)· b) s i n · cos (дг-2я) · sin ( 2π - . ν )

sin ( § - ж ) - c t g O r - * ) · ctg ( - γ · + * )


cos α+ ctg α , = +s ina .


а) V χ2 — Sx + 4 = χ — 3; b) I o g 2 ( 2 χ - 1) + Iog 2 (χ + 5) = Iog213;

c) tg χ + sin2 χ + cos2 χ = 0; d) (0,25)*'"4 = 2χ,+1.

_ Д

S K - 1 4


а) 3*+1 —2· 3х'1 —4 • 3 х - 2 = 17; b) sin3 χ - s i n χ = 0;

с) sin 6χ + sin 2χ = sin 4χ; d) Iog3 ( 2 χ - 5 ) ^ 7 ^ = ]/ χ - 2 .

J L

S K - 1 5

Išspręskite lygtis: log! —

а) 4 - - 3 - . 2 " = 4; b) 31°"2 *-"""* = ( į - )

c) 2 - c o s 2 x - 3 sin x = 0; d) 3 sin2x + cos 2x = 4 s inx -cosx .

S K - 1 6


a ) s i n x - c o s 2 x > c o s x - s i n 2 x + γ ; b) tg (Зх--^· j ^ l/~3;

c) l g ( x 2 - x ) ^ l o g ( 3 x - 3 ) ; d) 92*~4

4 variantas

S K - 1

1. Žinoma, kad x = 9,35613..., y = 2,27321... . Nustatykite sumos χ + y du pirmuosius dešimtainius ženklus.

2. Išspręskite lygtį ir nelygybę: a) I 2 x - 6 |^0,3; b) | x - 1 | = |x + 3 |. 3. Koordinačių plokštumoje pažymėkite nelygybių sistemos sprendi-

nių aibę:

X 2 + J 2 ^ 4 ,

X 2 -J=S 0.


a ) j = y χ2 + 2x - 3 + In (x + 5); b) j = l/ 2 s i n x - l .

2. Nustatykite, kurios šių funkcijų yra lyginės, o kurios nelyginės: a ) y=x*+x&; b) y = = c o s x + x 2 ; c) j = s i n 2 i + t g * .

3. 14 paveiksle pavaizduota funkcijos f grafiko dalis inter-

• ·» vale 1<х<5 . Žinodami, kad * funkcijos periodas lygus 3, nu-

braižykite šios funkcijos grafiką 14 pav. intervale O ^ χ 7.

AL S K - 3

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y graf iką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taš-kus, ekstremumo tipus:

a ) j = 3 x - 5 ; b ) j = l - 2 x ? ; c ) j = y C o s x .

2. Funkc i j a/d idė ja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Ska ič ius/ (2,7);

/ ( 2 y ) ;/(<>); / ( 2 , (7)) išdėstykite mažėjimo tvarka.

S K - 4 1*. Apskaičiuokite:

•> J * ^ T T 1 : b, J 5 I ^ b . ) . 2. Funkc i j a/y ra tolydi t a š k e x = l i r l i m / ( x ) = 2. Schemiškai nubrai-

žykite šios funkcijos graf iką .

S K - 5 1. Apskaičiuokite:

3

a) Iim (cos2 χ - sin2 χ); b) Iim ( ^ y . χ-*ιτ χ->·0 χ


a ) (χ-f-3)(χ — 4)(16 — χ 2 ) > 0 ; b) U ~ 7 ^ ! i f + 1 ) ^ 0 . У + 5

1. Apskaičiuokite funkcijos y išvestinę:

a) j = χ5 — χ (x3 + 7); b) j = ctg 2x + jTx3 ; c) j = .

2. Parašykite funkc i jos/(x)=x 3 + 3x grafiko liestinės, lygiagrečios tie-sei j = 3x + 2, lygtį.

S K - 7

' i 1 1. Ištirkite funkcijos / ( x ) = y x4 + y x 3 - 3 didėjimą (mažėjimą) ir

ekstremumus. 2. Ištirkite f unkc i j ą / (X)=X 4 - 2x 3 ir nubraižykite jos grafiką, naudo-

damiesi išvestine.

S K - 8

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos / (x ) = 3x 5 - 20x 3 + 2 reikš-mę intervaluose: a ) [— 1; 3]; b) ] — 2; 0[.

2. Ritinio ašinio pjūvio perimetras lygus 6 cm. Apskaičiuokite didžiau-sią ritinio tūrį.

S K - 9 3

1. Įrodykite, kad funkcija /"(x) = s inx 3 yra funkcijos / ( x ) = 3x2 cos χ pirmykštė funkcija visoje realiųjų skaičių aibėje R.

2. Parašykite funkcijos / (x ) = — V~3x — Ϊ pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką.

3. Raskite funkc i jos/(x) = cos 3x pirmykštę funkciją, kurios grafikas

eina per tašką M\—··, 2 ) .


π 4 0

a) / Jį χ : b ) J 5 ¾ · π - 2

6


a ) j = 3x —χ2, J = 0; b) j = į x2 , J = 0, x = - 1 , x = - 2 .

I. Suprastinkite reiškinius: , a — χ U1--X1* , . I -SI i ra

a ) l t -'.V ; b^ l - C 0 s T a + tg a - c t g a .


2 c * ( J - « ) • « . . ( £ - . ) т- = 1.

2 cos2 α — 1


a) Iog5 ( 4 9 ^ + ( 0 , ( 2 ) ) ° ) ;

sin ( π4 -х ) · COS I IfH l-tg I K) I cos I (И I · co s I ;зн I · tg (π + χ )

2. {rodykite tapatybę

Ig α


a> Y = f = 1 ; b) Iog2 (X2 + 8) - Iog2 (X - 1) = Iog0i5 j ;

c) cos 3x · tg χ = O, d) 2 2 * ' 6 = 1 6 ^ .

S K - 1 4 Išspręskite lygtis: a) 7 ^ + 3 - 7 ^ = 346; b) 3 sin 2 x - 2 c o s x = 0;

c) cos 5χ — cos χ = sin 3x; d) Iogf (4x + 2) = Iog3 (χ + 0,5) + Iog3 4.


. , , log, —+4,5 a) 52*'3— 2· 5* - 2 = 3; b) 31°*2* l og '* ' = i " c

c) 3 sin χ + cos 2x = - 1; d) sin2 χ + į- cos2 χ = sin χ · cos χ.


a) cos2 χ + у > sin2 χ ; b) — — > l/~3; ctg ( х - į )

с) Ig(χ2 + 2 )^ I g ( З х - 7 ) ; d) χ2· 3 * - 3*+1 <0.

5 variantas

S K - 1

! .Ž inoma , kad x = 3,125403..., y= 1,153404... . Raskite sandaugos xy tris reikšminius skaitmenis.


a) j χ + 6 i ^ 0,7; b) x - 7 = x + 5


χ2 +y2 <4,

S K - 2


a) y = |/ χ2 — 6x + 8 + Iog3(5 — x); b) y= ]/ 2 c o s x - V ~ 3 .

2. Nustatykite, kurios šių funkcijų yra lyginės, o kurios ne-lyginės: a) j = x 3 + x 2 ; b) y = = 3 —ctg3x; c) j = sin2 χ +cos χ.

3. 15 paveiksle pavaizduota funkcijos / grafiko dalis inter-vale — l <x<3 . Žinodami, kad funkcijos periodas lygus 3, nu-braižykite šios funkcijos grafiką intervale —4<x<5.

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y grafiką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taš-kus, ekstremumo tipus: *

а ) У= b) j = j χ2 + 3; c ) j = 2 c o s x .

2. Funkcija / mažėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Skaičius/(5,5);

/(2e); / (5 , (5 ) ) ; /^5 ~ j surašykite mažėjimo tvarka.

S K - 4 1*. Apskaičiuokite:

2. Funkc i j a/y r a netolydi taške χ = - 1 , neturi ribos šiame taške ir / ( - 1 ) = 2 . Schemiškai nubraižykite funkcijos / grafiką.


3

a) I im(cosχ(1 + tg 2χ) ) ; b) Iim V * * . ' Χ-Η-8 į/—

V χ 2. Išspręskite nelygybes:

a) (x + 2) (x —3)(4 —x2)< 0; b) ( x + 5 I ^ c Z V x-9

S K - 6 1. Apskaičiuokite funkcijos j išvestinę:

Xt + 5 χ / а) У= 2 χ _ Ί ; b) j = s inx + l / 2 x - 1 ; c ) j = 3*- tg 2x.

2. Parašykite funkcijos / (χ ) = 3χ · -8χ grafiko liestinės, lygiagrečios tiesei j = 4 x - 7 , lygtį.

S K - 7

1. Ištirkite funkcijos/(x) =x« - 3x2 didėjimą (mažėjimą) ir ekstremumus. 2. Ištirkite funkci ją/(x) = 3x5 - 5x3 +1 ir nubraižykite jos grafiką, nau-

dodamiesi išvestine.

L Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos / (x ) = 3x*-8x 3 + 6x 2+3 reikšmę intervaluose: a) [ - 1 ; 2]; b) ] - 2 ; 1[.

2. Skaičių a> 1 išreikškite dviejų teigiamų dėmenų suma taip, kad pir-mojo dėmens ir skaičiaus, atvirkštinio antrajam dėmeniui, skirtumas būtų didžiausias.

S K - 9

χ — 3

1. įrodykite, kad funkcija F ( x ) = x - l n x 3 yra funkci jos/(x) = — pirmykštė funkcija intervale ]0; + oo[.

2. Parašykite funkcijos / ( x ) = ^ + ]/' 3 - x pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką.

3. Raskite funkcijos f ( x ) = - ~ pirmykštę funkciją, kurios grafikas

eina per tašką M (6; 3).

S K - 1 0


4 T

a) f XiYlcdX; b) j 2sin ( 3x + ^ ) dx. 0 -π


a) y=Y~x, j = 0, χ = 1, χ = 9;

b) j = x + 6, j = χ2 + 2x + 4, χ = 1, j = 0.

S K - 1 1

1. Suprastinkite reiškinius: i i i i 2 L _!_ λ

a ) ( x ® - j T ) - ( x T + J 2 ) ( x 3 + X 6 J 6 + j 3 ) ;

sin 2α cos α

' 1 + cos 2α 1 + cos α *

2. Įrodykite tapatybę cos α · cos β cos ( α + β) _ f f ρ cos (α — β) —sin α · sin β ё

S K - 1 2

I. Suprastinkitd reiškinius:

a ) 3 6 ' ° 8 « 5 + 1 0 1 - l 8 2 _ 3 l o g , 3 6 . b ) cos α — 2 sin 3a — cos 5a ' sin a + 2 cos 3a —sin 5a

2. įrodykite tapatybę

sin ( y - a j + cos ( - y — a j

cos < 2 π - 2 α ) 1 (cos χ + sin (π - a ) ) = 1.

S K - 1 3


a) 1/ χ2 + Зх — 3 = 2х — 3;

b) Iog2 (χ - 3) + Iog2 (13 + χ) = 3 Iog0.5 0,125; _ з

c) s i n x - s i n 2 x + 2 c o s 3 x = У~3; d) \' 93*"1 = ]/ 8 P + 1 .

S K - 1 4


а) 5 χ + 3 · 5 х " 1 + 2· 5Χ"2 = 42; b) cos3x + cosx = 0;

c) sin 4x — sin 2x = sin x ; d) Ig2 ( 2 x - 1) = I g ( x - 0 , 5 ) + Ig 2.

S K - 1 5

Išspręskite lygtis.

а) 2 х + 12· 2 - х = 9,5; b) 5iog5*-iog,*> = J L :

с) t g x + 3 = 4 c t g x ; d) 4 (sin2χ —cos2χ) = 3 sin 2х.

S K - 1 6


а) - sin 2χ· sin Зх + у < cos 2χ· cos Зх; b) tg ^5x + y j >

c) Iog8 (χ2 - 4x + 3) < 1; d) ^ j f + ' * > 25 "3 .

S K - 1

1. Žinoma, kad x = 5,317304..>> = 2,172513... . Raskite sumos x + y du pirmuosius dešimtainius ženklus.


a) |3x-9|sSO,6; b) | x - 2 | = |x+l |.


i x2+y2ž 16, 2 У si —.

1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį:

a ) y = V'X2 - 6χ - 7 + Iog3 ( - x); b) y :

2. Nustatykite, kurios šių funkcijų yra lyginės, o kurios nelyginės: a) j = x 5 + x 7 ; b) y= = c t g 2 x + . v 4 ; c ) y = C o s 2 X - c o s χ .

3. 16 paveiksle pavaizduota funkcijos / grafiko dalis inter-vale — 2 < x ^ l . Žinodami, kad funkcijos periodas lygus 2, nu-braižykite šios funkcijos grafiką intervale — 4 < x ^ 2 .

Vtg-V +

16 pav

S K - 2

S K - 3

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y grafiką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taškus, eskstremumo tipus:

a) j = - J i - ; b) j = 1 — χ 2 ; c) j = y sin χ .

2. Funkcija / mažėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Skaičius/(1,7);

/ ( 1 , ( 7 ) ) ; / ( l/T) ; / ( l | j surašykite mažėjimo tvarka.


a) Л-2 Ϊ + - - 5 '

b) Jlm3 ( Τ Τ Τ + χ 2 ) · 2. Funkcija / yra tolydi taške x=—2 ir Iim / ( x ) = — 3. Schemiškai

.v—>—2 nubraižykite šios funkcijos grafiką.


_ 5

a) Iim sin χ (1 + ctg2x); b) Iim Y ^ v ' . π л'—>7 X


a) (x — 7) (x + 5) (49 — x2) > O; b) ( x + 4 1 ^ 0 . V x - 7

S K - 6

1. Apskaičiuokite funkcijos j išvestinę:

a ^ = W b ' b ) j = t g x + y ^ ; C ) , = ^ - .

2. Parašykite funkcijos / (x ) = 2x4 —6x grafiko liestinės, lygiagrečios tiesei j = 2 x + l , lygtį.

S K - 7

1. Ištirkite funkcijos / (x ) = 3x5 — 20x3 didėjimą (mažėjimą) ir ekstremu-mus.

2. Ištirkite funkciją f ( x ) =x6 — 2x3 + 1 ir nubraižykite jos grafiką, nau-dodamiesi išvestine.

S K - 8

1. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos / (x ) = 4x5—15Х4 + ? reikš-mę intervaluose: a) [2; 4]; b)]—1; 1[.

2. Skaičių a > 1 išreikškite dviejų teigiamų dėmenų suma taip, kad skaičiaus, atvirkščio pirmajam dėmeniui, ir skaičiaus, priešingo antrajam dėmeniui, suma būtų mažiausia.

v + 3 1. Įrodykite, kad funkcija T r(χ)=*+In χ3 yra funkcijos f ( x ) =

pirmykštė funkcija intervale ]0; + co[. л

2 1 2. Parašykite funkcijos / (x ) = h — pirmykščių funkcijų < « · - · vi Sin 4Л" 2. X ^

bendrąją išraišką. 3. Raskite funkcijos / (x ) = (2x+5)6 pirmykštę funkciją, kurios grafi-

kas eina per tašką M ( — 2; 3).


π

8 3 T a) J x\j~xdx\ b) J 3cos ^ 2 x - y j dx.

O π 2


a) j = 5 — χ 2 , J = 1; b) J = C o s 2x, j = 0,


, \/~x+l 1 _ u > sin α (cos α — sin α) +1

х У Т + х + V T ' X 1 - V T ' 1 + c t g a '

2. Įrodykite tapatybę 4 sin ос · cos ot (1 — t ε2 α) - .

- - J ^ = Sin 4α. 1 +tg2 α


a ) ( 8 , Τ 4 ' - ' ^ ) . 4 9 ^ -

b) sin (α— y j · sin ( у + α j - sin2 (π — α) · sin2 ( π+ α) —

— cos2 (π + α) · cos2 ( у π - α ) .


cos 2χ + 5 cos Зх + cos 4х sin 2х + 5 sin Зх + sin 4х

= Ctg Зх.


a) f " 2 = Į / T ^ 4 ; b) log. (3x + 2) —log, (5x4- 6) = 3 - I o g 5 2 5 ; 1/2^1. - -

3

C) J S i - = O ; d) 0 , 2 5 = V 0,25-4 2 x .


a) 7X~3 + 7*"2 + 2 - 7 * " 1 = 106; b) cos 2 x - s i n 4x = 0;

c) cos 5x + cos Зх = cos 4x; d) Iogi (V-V— 5)х~5 = χ - 5. T


a) 5 * - 0 , 2 х - 1 = 4; b) i°g» = ^ - L j ~5;

c) t g x - Υ 1 c t gx+ 1 = l/T; d) j/T sin 2 x - 6 cos2 X = - 3 .

S K - 1 6 Išspręskite nelygybes:

ι UX · . l/T a ) C o s 2 X - —< sin2x: b) —— > - 3 , C t g ( д . + - = - )

c ) l o g o , 3 ( x 2 - 5 x + 7 ) > 0 ; d ) \ ( т ) ^ ) > λ ·

7 variantas

S K - 1

1. Žinoma, kad x = 4,2331-57..., > = 5,783213... . Nustatykite sandau-gos XV tris reikšminius skaitmenis.

2. Išspręskite nelygybes: a) |2x + 4 I >0,1; b) | x - l | > | x + 5|. 3. Koordinačių plokštumoje pažymėkite nelygybių sistemos sprendinių

aibę:

x + 2 j > 0 ,

xy < 1.

1. Raskite funkcijos apibrėžimo sritį:

a ) y —V 3x2 + 2x — 1 + ΐ 8 ( 2 ' _ χ ) ; b) j = ]/s in 2 χ - ' .

2. Nustatykite, kurios šių funkcijų yra lyginės, o kurios nelyginės: a) j = tg 3x + sin5x; b ) J = C O s 3 X - χ 5 ;

c ) j = . COS X + X1

3. 17 paveiksle pavaizduota funkcijos / grafiko dalis inter-vale - I ^ x ^ O . Žinodami, kad funkci ja/yra lyginė ir jos perio-das lygus 2, nubraižykite jos gra-fiką intervale — З ^ х ^ З .

У, 7-

(] 0 1 X

17 pav.

S K - 3

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos j grafiką, nurodykite jos apibrė-žimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taškus, ekstremumo tipus:

a) J = - J y - ; b) j = χ2 — 4x + 5; c) j = 2sin ( * + y ) ·

2. Funkcija / didėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Išspręskite nely-gybę /(* )>/(2) .

S K - 4 1 *. Apskaičiuokite:

ч ,. I x i - I x - I . . . . / x+l , 2 \ a ) It2 ; b ) i m , I ^ r + - ) ·

2. Taškuose x = 1 ir x = 2 funkc i j a/yra netolydi, I im/(x) = 2 ,/ (1 ) = 3, л:—>1

taške x = 2 šios funkcijos riba neegzistuoja. Schemiškai nubraižykite funkcijos / grafiką.


ч , . sin Здг — sin 2x , . ,- χ —S a) Iim — ; b) hm — . _ cos Зх + cos 2x ' , .o 3 π л " τ /— _ V χ —2


a) (5 — x) (x + 3)2(x — 4)(x2 + 5 )>0 ; b) <x~5> <*+*>'V*3* ^ 0

S K - 6 1. Apskaičiuokite funkcijos y išvestinę:

- — t g ( 2 * + ? ) a) y = I/* 4 -3-х 2+ 5*; h) y= (3x+5)t : c) j = log 5 (cos*) .

2. Parašykite funkcijos f ( x ) = -~ * 3 +* 2 grafiko liestinės, lygiagrečios tiesei y=4x — 7, lygtį.

S K - 7

1. Ištirkite funkcijos / ( X ) = X 3 - I n χ didėjimą (mažėjimą) ir ekstremu-mus.

2. Ištirkite funkciją / ( x ) = IOx e -12x 5 - I5x 4 + 20x3 ir nubraižykite jos grafiką, naudodamiesi išvestine.

S K - 8

1. Kokiose ribose kinta funkcijos j = cos χ+ ~ cos 2x reikšmės, kai x e [ 0 ; π ] ?

2. Taisyklingosios piramidės MABCD šoninės sienos plotas lygus 2, o atkarpos CD ilgis gali įgyti bet kokias reikšmes, priklausančias inter-valui [1; 3]. Apskaičiuokite piramidės viso paviršiaus plotą, kai žinoma, kad atkarpos CD ilgio ir piramidės apotemos suma yra mažiausia.

S K - 9

1. Kokios funkcijos pirmykštė funkcija yra F(x)— ln2x? Raskite funk-

cijos g ( x ) = lrV2 + 1"A pirmykštę funkciją intervale ]0; + oo[.

2. Raskite tokį diferencialinės lygties / ' (x) = ^ sprendinį, kad


6 o a ) f 5 ( , x ; b) f sin χ cos xdx.

1/Зх —2 •' I π

T 2. Apskaičiuokite šių kreivių apribotos figūros plotą:

a) j ' = x2 —2x + 2, y = — x2 + 6x + 2; b) j = * 2 , v = 4 x - 4 , x = 0.

S K - I l 1. Suprastinkite reiškinius:

. X - I xV~x - 1 , ~л/— , , 1 + cos 3α + cos 2α-f cos α a) f= —7= f-21/χ; b) ; ——.

X + I / T + I 1 / 7 + 1 2 cos* α + cos α — 1

2. Įrodykite tapatybę 1 — tgs α sin 4α + cos 4α · ctg 2α = —r .

2 tg α


2. Įrodykite tapatybę s i n ' α + c o s ' α , 1 . .

—: = 1 sin 2α. sin α + cos α 2


a) |/χ + 2 — j/χ — 6 = 2;·

b) l2 Iog2 (χ - 4 ) + 2 Iog2 ( 2 χ - 1 ) = Iog2 3;

c ) 4 Cos3X + 3 c o s ( π — χ ) = 0 ;

d) 2л ' !_6х+9·5 = 1 бУ~2~-


a) Iog 2 ( 40 - 2 X ) = x - 2 ; b) cos ^ —χ) + cos(π + χ) = 0;

с) sin2χ +sin22χ = sin2 Зх; d) 5 · 7'«'·* 3 + 2 · 7'* !" 2 = 1 3 3 .


a ) 2 5 u + 3 1 ~0'5 — 2 · 51-*-13i - ' — 3 = 0; b) 2 Ig ( l g* ) = Ig ( 3 - 2 Ig*);

c) 2 s i n 4 * - 5 cos 2 *=—2; d) 6 sin2* + 3 sin * · cos * - 5 cos2* = 2.


a) cos 4.v + cos 2.v < 0; b) C t g f v - - ! · \ y i '

. / 2 \lo*.,«(.v· 5л S) c » ( 5 ) <2,5; d) 25"+ 5 < 6 · 5*.

8 variantas

S K - 1

1. Žinoma, kad .v = 3,1514473..., y = 2,1785023... . Nustatykite sumos -Y+r tris pirmuosius dešimtainius ženklus.


a) Į 3.V + 9 I <0,6: b) | x + 2 | < | х + 4 |.

3. Koordinačių plokštumoje pažymėkite nelygybių sistemos sprendi-nių a i bę:

f x+3y^0,

ί xy> 3.

I. Raskite funkcijos y apibrėžimo sritį:

а) у =\ '4х'г — 7.v — 2 + ΙΊ]ΓΓΓ7); b) y = ] /

S K - 2

2 1 COS .Y —

. 1 1 L

f 0 1 X

18 pav.

2. Nustatykite, kurios šių funk-cijų yra lyginės, o kurios — nelygy-nės:

a ) y = Ctg2 .v + cos3 x;

b) y = x3 — sin4 χ;

Ig л' — sin .ν c J = - s T T · x ' + COS X

3. 18 paveiksle pavaizduota funkcijos f grafiko dalis intervale - 1 < χ ζ 0 . Žinodami, kad funkcija / y r a nelyginė ir jos periodas lygus 2, nubraižykite Šios funkcijos grafiką intervale — 3 ^ x < 3 .

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos y grafiką, nurodykite jos api-brėžimo sritį, reikšmių aibę, didėjimo (mažėjimo) intervalus, ekstremumo taškus, ekstremumo tipus:

a) y= b ) У= -Xi+ 6 x - 7 ; c) J = j cos [ χ -

2. Funkcija / mažėja visoje realiųjų skaičių aibėje R. Išspręskite nely-gybę f(x)>f{\).

S K - 4

1*. Apskaičiuokite: , .. 4x'-9x-9 , . ,. / I S - X t , 3 \

a ) I i m 3 , 3 - 2 7 ; b ^ h m 5 N r r + - ) ·

2. Taškuose x=-2 ir x=\ funkcija / yra netolydi, l i m ( / ( x ) = l , x—*—2

/ ( —2) = 5, taške χ = 1 šios funkcijos riba neegzistuoja. Schemiškai nu-braižykite funkcijos / grafiką.

S K - 5

1. Apskaičiuokite: 3

ч . . sin Зх + sin Sx ,ч ,. Vx- 3 a) Iim — — ; b) Iim — — .

π cos Зл: + cos Sx *->27 * — 27


a) (2-х) (χ - I)2 (χ + 5) (χ2 + 3) < 0;

b ) (х—2)г (.r + l)T/x+~7 >0

S K - 6

1. Apskaičiuokite funkcijos y išvestinę:

. = 1 . Ά> у (хь—3хг + 2х— I)3 '

b) J = (2x —3)3-ctg ( f - x ) ; c) J = Iog2(sinχ). 2. Parašykite funkcijos f (X)=X3-SX grafiko liestinės, lygiagrečios tie-

sei J = 7 x - 3 , lygtį.

1. Ištirkite funkcijos / ( х ) = х г е ~ * didėjimą (mažėjimą) ir ekstremu-mus.

2. Ištirkite funkc i j ą/ (x ) = 5 x 6 - H x 5 ^ t S x 4 + 20x3 +8 ir nubraižykite jos grafiką, naudodamiesi išvestine.

S K - 8

1. Nustatykite funkcijos y = sin2x + y sin 2x reikšmių sritį, kai x e

6 [ - f ; f ] · 2. Ritinio ašinio pjūvio perimetras lygus 8, o pagrindo skersmens il-

gis gali įgyti bet kokias reišmes, priklausančias intervalui [1; 3]. Apskai-čiuokite ritinio, kurio ašinio pjūvio plotas yra didžiausias, šoninio pavir-šiaus plotą.

S K - 9

1. Kokios funkcijos pirmykštė funkcija yra /"(x) = sin3x? Raskite funk-

cijos g (x ) = 2 sin ^ 2 x + s i n pirmykštę funkciją.

2. Raskite tokį diferencialinės lygties / ' ( * ) = ~ s i n ^ · sprendinį, kad

1 . J \\o)

S K - 1 0


2 T a) J (x+2)V'2x + 4 dx; b) f cos2 xdx.

7 π б

2. Apskaičiuokite šių linijų apribotos figūros plotą:

a) y= - χ 2 , y = 0, j = x - 2 ;

b ) j = x 3 , J = - X 2 + 4 x + 4 , — 1.

1. Suprastinkite reiškinį:

a) ( _ 1 ι _ 1 \ v ^ t

V Va+V^+T V" - V T r T / 1ЛГТ+1/ГП '

, . cos 2α tg2 α —ctg4 α

2. Įrodykite tapatybę . . » α

Sin2 α —4 sin2 — 2 . * α

^ r - = t S 4 T -sin2 α + 4 sin2 у - 4

1. Suprastinkite reiškinį:

) h ' c ' 3' (a-b) (a-c) (b —c) (b —a) ( c - a ) ( c - b ) '

, .. 1 sin2 α cos2 α 2

' cos2 α + 1 + tg2 α 1 +Ctg2 α t g α "

2. Įrodykite tapatybę sin 2α cos α α

1 + cos α ' 1 + c o s 2α ~ ® Τ "

S K - 1 2

S K - 1 3


a) j/22 —χ—1/10 — х = 2; b) Iog3Iog8Iog2(x + 9) = I o g 3 2 - 1;

c) cos χ — cos 2χ — sin Зх = 0; d) 0 , 5 ^ - 2 ^ = 64"1 .

S K - 1 4


b) Iog3 (x3 — 8) · Iogx (5 — x) = 0; b) sin (π - x ) + s in (| -+x) = 0;

5

c) sin26х + C O S 2 X = cos2 5х; d) χ · Ig У 5 " " 8 - I g 25 = 0.


a) 3 . 9У лгчздг + 9 = 28- .

b) 2 Iog5 (lg .v) =Iog5 (10 - 9 Ig χ);. c) 8 c o s 4 * + 6sin2л-= 5;

d) 6 sin2 * - 3 sin * · cos .v - 5 cos2 д- = 2.

S K - 1 6


a) sin2 * > γ ; b) ctg ( -2* + i ) > - |; c) Iogs 2 ( .v- J )>4 ; d) 5 2 j c + 1 - 5 " > 4 .

6 t i k r i n a m a s i s d a r b a s

(pagal mokymo priemonės III skyriaus § 10—12)

1 variantas

1. Raskite funkcijos / ( * ) išvestinę:

a) / (x ) = sin 3*; b) / ( x ) = tg (* + l ) - c t g ( *+ 1).

2. Kam lygi riba Iim cos ( * + - f ) ? Kodėl?

3. Parašykite harmoninio svyravimo j = 2cos (]/ 3 χ — 1) diferencia-

linę lygtį. 4. Suprastinkite reiškinį

sin j (H I sin (π+ a)

cos j (ΪΗ 5. Išdėstykite didėjančia tvarka skaičius sin 2, sin 4, sin 6. Išvardy-

kite pagrindines funkcijos sin savybes. Nurodykite intervalą, kuriame funkcija sin yra apgręžiama.

6. Apskaičiuokite:

a) t g V 2 + t g ( - V 2 ) ; b) tg 2 f - ctg ψ .

Pasakykite pagrindines funkcijos tg savybes. Nurodykite intervalą, kuriame funkcija tg yra apgręžiama.

7. Raskite arccos ( - 1 ) ; arccos-^5-. Suformuluokite funkcijos arccos

apibrėžimą. Nurodykite jos apibrėžimo sritį ir reikšmių aibę.


a) tg ( 2 * - I ) = 1; b) 2cos ( | + l ) = l .

Parašykite lygties sin x = a sprendinių radimo formulę. 9. Žinoma, kad tg a = - 2. Raskite sin α. Kuriame ketvirtyje gali būti

a ? Kada sin α yra teigiamas? 10. Išspręskite nelygybes: a ) tg 2*>1 ; b) sin - 1 .

1. Raskite funkcijos f ( x ) išvestinę:

a) f ( x ) = cos2 2x; b) / (x ) = ctg (3x + j ) .

2. Kam lygi riba Iim t g2x ? Kodėl? π

3. Parašykite diferencialinės lygties y"=— 0,25 y bendrąjį sprendinį. 4. Nesinaudodami lentelėmis, apskaičiuokite

sin 157° sin 113° cos2 247 . ctg 293

Parašykite funkcijos j = cos 2x grafiko liestinės lygtį taške, kurio . . . 3π abscise x0 = — .

O Išvardykite pagrindines funkcijos cos savybes. Nurodykite intervalą,

kuriame funkcija cos yra apgręžiama. 6. Raskite arctg(—1), 2 arcctg . Nurodykite arctg apibrėžimo

sritį ir reikšmių aibę. Paaiškinkite, kodėl arctg yra nelyginė funkcija. 7. Ar teisingos lygybės:

a) arcsin ^ - - ^ γ - ) = - ^ b) arcsin 1 = Ц- ?

Nurodykite funkcijos arcsin apibrėžimo ir reikšmių sritis. Paaiškinkte, kodėl funkcija arcsin didėja visoje apibrėžimo srityje.


a) 4s in ( i - 2 ) = 2; b ) t g 2 3 x = 3.

Parašykite lygties cos χ = a sprendinių radimo formulę.

9. Žinoma, kad s i n a = y . Raskite ctg a. Kuriame ketvirtyje gali būti oc? Kada ctg α yra neigiamas?

10. Išspręskite nelygybes: a) cos x> 1; b) tg 2 x ^ 1.


(pagal mokymo priemonės IV skyrių)

1 variantas

1. Ar funkcija y = 2x2 — 3 yra funkcijos y = Ax pirmykštė intervale [0; i ] ?

Pasakykite pirmykštės funkcijos apibrėžimą. 2. Funkcijos It(X)=X3-X grafikas eina per tašką M(0; 0). Raskite

šios funkcijos pirmykštę funkciją.

1

3. Raskite šios funkcijos pir-mykštę funkciją:

4

a) χ2 — 5 VrX;

b) sin (2x — 3) -v COS' χ

4. Apskaičiuokite šių kreivių apribotos figūros plotą: y =

= cos 5x, j = 0 , x = 0, χ

5. Kam lygi kintamo ploto S (x) (19 pav.) išvestinė taške 2? taške 1?

19 pav.

t

6. Apskaičiuokite integralą f Yx3Jx. Pasakykite funkcijos f ( x ) integralo nuo a iki b apibrėžimą.

X

7*. Raskite funkcijos φ (χ)= f sin t2dt išvestinę. 1

Parašykite funkcijos sin /2 pirmykštę funkciją, kuri taške 0 įgyja reikš-mę 3.

8*. Taško pagreitis (judant tiese) laiko momentu t lygus 1 + sin t. Ras-kite koordinatę kaip laiko funkciją, kai laiko momentu / = 0 koordinatė lygi 1 ir greitis lygus 1 (laikas ( t ) sekundėmis; mastelio vienetas tiesėje atitinka 1 m).

9*. Parašykite funkcijos y=X4 integralines sumas Σ„ (0; 2) intervale [0; 2]. Kam lygi Iim Σ„(0; 2)?

10*. Kam lygus darbas, kurį atlieka kintamoji jėga f ( x ) =

perkeldama materialų tašką iš taško 0 į tašką 1?

1 U + D*

2 variantas

1. Viena funkcijos f ( x ) pirmykštė funkcija intervale [0; 1] lygi sin (χ2

-3). Kaip rasti visas funkcijos f ( x ) pirmykštes funkcijas? Suformuluokite funkcijos pastovumo požymį. 2. Raskite šių funkcijų pirmykštę funkciją:

a ) x l / 7 - 3 l / ^ ; b) c o s ( 0 , 5 * - I b 7 s ^ r .

3. Raskite funkciją F(x), kai F' (x)= —pL·— ir F( 1) = 2. 1/2*-1 4. Raskite kreivių y=x2 — 2x+ I ir y= 1 apribotos figūros plotą. Kokia figūra vadinama kreivine trapecija?

b

5. Integralą J f(x)dx išreikškite plotais S 1 , S2, S3 ir S4 (20 pav.).

20 pav.

8 3

6. Apskaičiuokite integralą J dx.

Parašykite Niutono —Leibnico formulę.

X 7*. Sakykime, kad φ(χ)= f 2''dt. Raskite: a) φ (1); b )φ ' ( 0 ) .

i Kam lygi integralo su kintama viršutine riba išvestinė? 8*. Materialus taškas juda tiese, o jo greitis laiko momentu t lygus lt — t2. Raskite kelią, kurį taškas nueina nuo / = 0 iki t = 3, ir jo pagreitį kelio pabaigoje (t.y., kai t = 3). Kelias matuojamas metrais, laikas — se-kundėmis.

9*. Raskite ribą Iim bn, kai n y X

L 7Γ / . , π , . 2 π , sin (л— 1 ) π \ bn = — sin 0 + sin — + sin 1- . . . + — — , η \ π η η J

π

apskaičiavę į sinxdx. о

π

Kodėl Iim b„ = f sin xdxl о

10*. Raskite darbą, kurį atlieka kintamoji jėga / (x ) = 3x2 (H), perkel-dama tiese materialų ta,šką iš taško M (1) į tašką M (3). Mastelio vienetas tiesėje atitinka 1 m.


(pagal mokymo priemonės V skyrių)

1 variantas

1. Schemiškai nubraižykite funkcijos f ( x ) graf iką : a ) / ( x ) = 2,3x~2; b) / ( * ) = Iog0 7 (x + 2).

Su kuriomis a reišmėmis rodiklinė funkcija y=ax mažėja? didėja? 2. Išspręskite nelygybę Iog 0 5 ( 2* -1 )<Iog 0 i 5 ( 3x -2 ) .

3. Raskite funkcijos / ( * ) = + Ig С8лг) išvestinę. Parašykite skaičiaus e apytikslę reikšmę. 4. Parašykite funkcijos Λ (χ )=χ-1η χ grafiko horizontaliosios liesti-

nės lygtį. 5. Žinoma, kad F' (x) = e i r /"(1) = 0. Raskite F{x). 6. Apskaičiuokite; a ) 2Ιοβ'7; b) O,7log»·'3. Suformuluokite logaritmi-

nės funkcijos Iogfl apibrėžimą. 7. Raskite funkcijos In ( x 2 - 8 x + 1 6 ) apibrėžimo sritį. 8*. Raskite diferencialinės lygties y'=— 2y sprendinį, kuris taške

O įgyja reikšmę 0,7. 9. Raskite funkcijos j=3Y '~3A ' ekstremumus.

10. Raskite funkcijos φ (x) = x1^ -γ~2 x^ didėjimo ir mažėjimo in-tervalus.

Nustatykite funkcijos φ apibrėžimo sritį.

2 variantas

1. Schemiškai pavaizduokite funkcijos y graf iką:

a ) j = 0,7* + 3 ; b) y =Iog2i3 ( x - 2).

Su kuriomis a reikšmėmis logaritminė funkcija Iogfl mažėja? didėja? 2. Išspręskite nelygybę 2х''1 > 4х'1. 3. Raskite funkcijos / ( * ) = 10_8JC + ln (8x) išvestinę. Suformuluokite funkcijos In apibrėžimą. 4. Tiesė liečia funkcijos y = exln(x+l) grafiką taške, kurio abscisė

x = 0. Raskite šios liestinės posvyrio kampo tangentą.

5. Funkcijos grafikas eina per tašką M ( I ; 1). Raskite šios funkci-

jos pirmykštę funkciją. 6. Žinoma, kad lg2^;0,3010 ir Ig3;s0,4771. Apskaičiuokite Iog3 2. Kaip apskaičiuojamas IogflA, naudojantis V. Bradžio „Keturženklė-

mis matematinėmis lentelėmis"? 7. Raskite funkcijos y = x"" + x' apibrėžimo sritį. Kam lygi šios funk-

cijos išvestinė? Su kuriomis p reikšmėmis funkcija y=x" didėja? mažėja? 8*. Parašykite diferencialinę lygtį, kurios sprendinys yra funkcija

7 = 0,5*. 9. Nubraižykite funkcijos y = 2" l o g ! A grafiką. Parašykite pagrindinę logaritminę tapatybę. 10. Raskite funkcijos / ( x ) = l n 4 x —2 In2X didėjimo ir mažėjimo inter-

valus.


(pagal mokymo priemonės VI skyrių)

1 variantas

1. Ką vadiname lygtimi? lygties šaknimi? Kokias lygtis vadiname ekvivalenčiomis?

2. Ar ekvivalenčios šios sistemos:

i ( .v+r) 2 = I f 2 x ( x + j ) = I,

\x+y=2x ΙΓ j x + j = 2x?

Pasakykite lygčių sistemų keitimo joms ekvivalenčiomis sistemomis taisykles.

3. Išspręskite lygčių sistemą kintamųjų eliminavimo būdu:

x + j - z = 2 ,

2x — j + 4z = 1,

- x + 6 v + z = 5.

4. Išspręskite sistemą ir pavaizduokite grafiškai:

i 3.v + 5 v = - 4,

I — χ + 3 j = 6.

5. Dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema neturi sprendi-nių. Ką galima pasakyti apie tieses, kurias apibūdina sistemos lygtys? Pateikite pavyzdžių.

(6 — 8). Išspręskite lygtis:

6. Iog2 ( 2 x - l ) = log2 ( χ 2 - 4 . V - I).

7. У χ1 - 2x + I + Vx2 + 2.v + 1 = 2.

8. 0,25*+ 0,5х = 6.


j Iog2(χ + v)= 3.

1 Iog12X + I o g 1 2 J = I .

10. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos spren-dinių aibę:

.v2 + r U 16,

χ 3=0,

X 2 + ( y — 4)s > 1 6 .

1. Ką vadiname lygčių sistema? lygčių sistemos sprendiniu? Kokios dvi lygčių sistemos vadinamos ekvivalenčiomis?

2. Ar ekvivalenčios šios lygtys:

- ^ — - = 1 ir X - I = 2 j ?

3. Išspręskite lygčių sistemą kintamųjų eliminavimo būdu:

- χ - 2 y + 2 = 1,

χ + V - Z = 2 ,

2x + j - 2 z = 9.

4. Trijų tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais sistema turi vienintelį sprendinį. Ką galime pasakyti apie tieses, kurias apibūdina sistemos lyg-tys? Pateikite pavyzdžių.

5. Išspręskite lygčių sistemą ir pavaizduokite ją grafiškai:

i 2 x + 6 j = - 7 ,

i 5x+ IOj= - 3 5 .

Kiek sprendinių gali turėti dviejų tiesinių lygčių su dviem kintamai-siais sistema? Pateikite pavyzdžių.

6. Išspręskite lygtį |/x2 + 5x + 3 = ]/Зх2+8х + 4 . Kodėl x = - l nėra lygties šaknis? (7 — 8). Išspręskite lygtis: 7. x loe**=8x2 . 8. 3 1 - *+3 x + 2 = 28. 9. Išspręskite lygčių sistemą

χ 2 + J 2 = 2 5 ,

Igx + I g j = Ig 12.

10. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite nelygybių sistemos spren-dinių aibę:

j > 3x — 2,

j + 3x + 2 > O.

KONTROLINIAI DARBAI

K - I

1 variantas (20—25 m i n.)

1. Duota funkcija / (x ) = 3 sin 2x. Raskite: a) f'(x); b ) / ' (0). 2. Parašykite kokį nors (nenulinį) diferencialinės lygties sprendinį. 3. Apskaičiuokite arcsin ( - 0 , 5 ) + arccos ( - 1 ) . 4. Išspręskite lygtį sin χ = — 1. 5*. Įrodykite, kad funkcija h(x)=~ 3 ,2x-cos 2 x + sin2x mažėja visoje

skaičių tiesėje.

2 variantas (20—25 min.)

1. Duota funkci ja/(x) = 3 cos 2x. Raskite: a ) f ' ( x ) ; b) f (0). 2. Parašykite kokį nors (nenulinį) diferencialinės lygties y"=—49y

sprendinį. 3. Apskaičiuokite arctg (—l) + arccos ( — 0,5). 4. Išspręskite lygtį c o s , x = - l . 5*. Įrodykite, kad funkcija /г(х) = 2 sin χ· sin (0,5 π +χ) + 2,5 .χ didėja

visoje skaičių tiesėje.


1. Duota funkc i ja/(x) = tg (x + y ) . Raskite: a ) / ' ( * ) ; b ) / ' ( 0 ) .

2. Parašykite harmoninio svyravimo y=2 cos ( 4 x - l ) diferencialinę lygtį·

3. Apskaičiuokite arcsin 2 j+ a r Ctg I.

4. Išspręskite lygtį cos χ = ~ .

5*. Išspręskite lygtį I+cos / + cos 2/ + cos 3/ = 0.


1. Duota funkcija / ( * ) = c t g ( x + j ) . Raskite: a) f (x); b ) / ' (0).

2. Parašykite harmoninio svyravimo >' = 3cos (9x — 2) diferencialinę lygtį· '

3. Apskaičiuokite arccos ( - + arctg ]/~3.

4. Išspręskite lygtį sin χ = X p - -

5*. Išspręskite lygtį sin / + sin 2/+ sin 3/ +sin 4/ = 0.

K —2


a) tg 2x = - Į / l ; b) 2 sin2 χ = 1 - cos χ.

2. Išspręskite nelygybes: a) t g x > l ; b) sin 0 , 5χ> - 0 , 5 .

3. Įrodykite tapatybę s in α - t g α

V" = tg α. c o s α — 1

Iš α reikšmių: у , у , 0 išrinkite tas, su kuriomis lygybė neteisinga.

4*. Raskite ' funkcijos . v = a p i b r ė ž i m o sritį.

2 variantas

1. Išspręskite lygtis: a) tg 3x= — 1; b) 2 cos2x= I —sin χ. 2. Išspręskite nelygybes: a ) tg x < — I; b) cos 2x> - 0 , 5 . 3. Įrodykite tapatybę

Iš α reikšmių: π, - J , γ išrinkite tas, su kuriomis lygybė neteisinga.

4*. Raskite funkcijos v= a r c c ° L ^ Į y ) - apibrėžimo sritį. 1/7 — r 2

3 variantas


a ) s i n 2 x = - y ^ - ; b ) Cos 2 X - 2 sin χ cos χ = 3 s in 2 χ .


l/T a) sin χ < - -y— ; b) tg 2x > I.

f g c o s ^ OC 3. Įrodykite tapatybę — = tga -cos~ 3 a . 1 J K J T c o s a _ c t g a

Iš α reikšmių: J - , - y , y - išrinkite tas, su kuriomis lygybė neteisinga.

4*. Apskaičiuokite arccos (cos (2 arcctg (|/~2— l ) ) j ·


a) c o s 3 x = - y ; b) cos2 .v+ 3 sin .v cos χ = 4 sin2 χ.


a) co sx> — b ) t g 3 x < j/~3-

3. [rodykite tapatybę c t g a — sin a . . .

= C t g a - S i n ' a . s i n a —tg a

Iš a reikšmių: y , y , y išrinkite tas, su kuriomis lygybė neteisinga.

4*. Apskaičiuokite arcsin (cos(2arcctg (j/~2—l))l.

K - 3

1 variantas

1. {rodykite, kad funkcija F ( x )= — ^ + 2 yra funkcijos f ( x ) = ~

pirmykštė funkcija intervale ]0; + oo[. 2. Raskite funkcijos / ( x )= —2 sin χ pirmykštę funkciją, kurios grafi-

kas eina per tašką — 'į; o j .

3. Apskaičiuokite (nusibraižę brėžinį) kreivių y= — x2 — 2x ir y = O apribotos figūros plotą.

4. Apskaičiuokite + ^x-i

5*. Apskaičiuokite kreivių y = cos .v, y= — cos χ+ I, χ = — у , χ = 0

apribotos figūros plotą.

2 variantas

2 2 1. Įrodykite, kad funkcija Z7(X) = 1 yra funkcijos / ( x ) = — y

pirmykštė funkcija intervale ]0; oo[. 2. Raskite funkcijos / (x ) = 2 cos χ pirmykštę funkciją, kurios grafi-

kas eina per tašką A ( - π ; 0).

3. Apskaičiuokite (nusibraižę brėžinį) kreivių y = - x 2 + 3x ir >' = 0 apri-botos figūros plotą.

4. Apskaičiuokite J (2x ^-jdx. i

5*. Apskaičiuokite kreivių j = sin x, y= — sin χ + 1, = y X = Y

apribotos figūros plotą.

3 variantas

1. Įrodykite, kad funkcija F(x) = - tg χ - 1 yra funkcijos / ( x ) = - J r ^

pirmykštė funkcija intervale γ [ ·

2. Raskite funkcijos / (x ) = 3 x 2 — y pirmykštę funkciją, kurios gra-

fikas eina per tašką A ( — 2; 3). 3. Apskaičiuokite (nusibraižę brėžinį) kreivių j=x 2 —1 ir y= 3 apri-

botos figūros plotą.

4. Apskaičiuokite J (sin y + cos y j dx.

5*. Apskaičiuokite kreivių y = - y , x=U y—x — I apribotos figūros

plotą.

4 variantas

1. Įrodykite, kad funkcija Zr(X) = CtgX-I-IZT yra funkcijos / (x ) =

= — J 2 — pirmykštė funkcija intervale ]0; π[.

2. Raskite funkcijos / (x ) = 2x + - y pirmykštę funkciją, kurios grafi-

kas eina per tašką /1(3; —1).

3. Apskaičiuokite (nusibraižę brėžinį) kreivių y = 4 - х 2 ir jv— 3 apribo-tos figūros plotą.

4. Apskaičiuokite J (1 + cos 2x) dx.

9 5*. Apskaičiuokite kreivių y= 13 —4x ir y = — apribotos figūros

plotą.

К —4

1 variantas

1. Išspręskite lygtis: a) 8 - ! · 2 3 * = 8 ; b) 5" - 7 · 5*~2 = 90.

2. Išspręskite nelygybę 2 Iog2 (3 - 2x) < 0.

3. Išspręskite lygtį \ogįx-Iog2X = 2.

4. Išspręskite nelygybę ( j j % 2 7 .

5*. Išspręskite nelygybę logx._3 ( 4x+7)>0 .

2 variantas

1. Išspręskite lygtis: 3 ) 2 7 ^ - 3 ^ = 27; b) 4X - 3 · 4*~2 = 52.

2. Išspręskite nelygybę 2 Iog3 ( 3 x - 2 ) < 0 . 3. Išspręskite lygtį Iogf χ + Iog3 χ = 2.

4. Išspręskite nelygybę

5*. Išspręskite nelygybę logx._2 (10 + 7x)>0.

3 variantas


a ) j / l - 3 3 * = i - ; b) 4 * - 6 - 2 * + 8 = 0.

2. Išspręskite nelygybę 2 log, ( l - 2 x ) > 0 . 3

3. Išspręskite lygtį Iog2 ( x 2 - 2 x - 1 ) = 1.

4. Išspręskite nelygybę 5.

5*. Žinoma, kad log615 = a, log1218 = 6. Raskite Iog25 24.

4 variantas


a) 1/1 - 5 " = b) 9- + 3 - - 3 ' - 18=0 .

2. Išspręskite nelygybę 3 log, ( 2 x - l ) > 0 . у

3. Išspręskite lygtį Iog3 ( x 2 - 5 x + 7 ) = 1.

4. Išspręskite nelygybę 36 ]/~6.

5*. Žinoma, kad log7 !2 = a ir log1224 = b. Raskite logM l68.

K —5

1 variantas

1. a) Duota funkcija f ( x ) = e~x-cos x. Raskite / ' ( x ) , / ' ( 0 ) . b) Duota

funkcija φ (χ) = | η ( ~ 2 χ ) . Raskite φ ' (χ), φ ' ( — .

2. Apskaičiuokite kreivių у = — , χ = I, χ = 4, у = 1 apribotos figūros plotą.


a) V 3 x + 1 = x - I ; b) Iog3(3x + 3 ) - I o g 3 ( x - 1) = 2.

4*. Du kūnai juda tiese. Pirmas kūnas juda pagal dėsnį/(/) = 4', a n t r a s -pagal dėsnį φ (/) = 2' + 1. Nurodykite t (t e R) reikšmes, su kuriomis pirmo kūno greitis didesnis už antro kūno greitį.

2 variantas

1. a) Duota funkcija f ( x ) = e-* · sin χ. Raskite f ' ( x ) , f ' ( 0 ) . b) Duota

funkcija φ (χ) = t ^ 3 * ' · Raskite φ ' (χ), φ ' 2

2. Apskaičiuokite kreivių у = —, χ = 1, χ = 3, j = 2 apribotos figūros plotą.


a) V 2 x + l = x - l ; b) Iog 2 (5x+ 3 ) - I o g 2 ( 3 x - 1)= 2.

4*. Du kūnai juda tiese. Pirmas kūnas juda pagal dės.nį /(/) = 9 ' - 1 , antras - pagal dėsnį γ (/) = 2 • 3'. Nurodykite t {t e R) reikšmes, su ku-riomis pirmo kūno greitis mažesnis už antro kūno greitį.

3 variantas

1. a) Duota funkcija f ( x ) = 2x • cos χ. Raskite / ' (χ), f (0). b) Duota

funkcija tp(x) = 6 1 n ( y x ) . Raskite φ ' (χ), φ ' ( у ) .

2. Apskaičiuokite kreivių у= , χ = - 1 . χ=—3, у= 1 apribotos f igūros plotą.


a ) l/~2x-~l = x —2; b) 2 l o g 3 ( x + 1 ) - l o g 3 ( 3 x + 1 ) = 0.

4*. Du kūnai juda tiese. Pirmo kūno greitis momentu / lygus 4', o antro

kūno greitis lygus \ • 2'. Momentu t = O abu kūnai yra taške 0. Nuro-

dykite reikšmes t e R, su kuriomis pirmo kūno koordinatė didesnė už

antro kūno koordinatę.

1. a) Duota funkcija f ( χ ) = 3х • sin χ. Rask i te/ ' (χ), f (0). b) Duota

funkcija <p(x) = 6 1 n ( y x ) . Raskite φ ' (χ), φ ' ( y j .

2. Apskaičiuokite kreivių j = - —, x = - 1, χ = - 4 , >- = 2 apribotos figūros plotą. *


a) j/ 3 x + l = x - 3 ; b) log, (2x+ 1 ) - 2 log, f x - 1) = 0.

I I

4*. Du kūnai juda tiese. Pirmo kūno greitis momentu t lygus 9 , + 1 , o

antro kūno greitis lygus ~ • 3'. Momentu t= \ abu kūnai yra taške 0. Nurodykite reikšmes t e R, su kuriomis pirmo kūno koordinatė mažesnė už antro kūno koordinatę.

K - 6

1 variantas


i x-2y + z=5,

2x + j — 3z = - 5 ,

I 3x + 2 j + 4z=9 .

2. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite sistemos sprendinių aibę:

x2+y2ž4, x > 0 , y + χ s£4.

3. Išspręskite lygčių sistemą 31· log, Or' f y') _ Į 5 ^

I o g 3 ( X 2 - V 2 ) - I o g 3 ( X - J ) = O.

4*. Išspręskite lygtį ]/ 1 - cos χ = sin χ, kai π=ξχ^3π.

2 variantas


Ι Χ + 2 y-z= - 1, 2 x + j + 3z=5 , 3 x + 2y + z= 1.

2. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite sistemos sprendinių aibę: x2 + y2> 1, χ ^ O, V-X ^ 3.

3. Išspręskite lygčių sistemą Г 5n Iog5 (x'—y') = 25,

i Iog5 (χ2 - j 2 ) — Iog5 (x + j ) = 0.

4*. Išspręskite lygtį V 1 - s i n x = c 0 s x , kai Ο ζ χ ^ π .

3 variantas


X1 X2 X3 = 1» X1 -I- 4X2 2.V3 = 5, 2x! — 2X2 + 4X3= 8.

2. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite sistemos sprendinių aibę: χ 2 + J 2 ^ 9 ,

x + y 3,

y>0.


IQH 'κ (χ f.v) = 50,

Iog5 (χ2 - j 2 ) - Iog5 (χ + >·) = Iog6 3.

4*. Išspręskite lygčių sistemą

2 sin χ · sin у + cos χ = О,

1 + sin у • cos χ = 2 cos2 ν · sin χ.

4 variantas


X1 + X2 + 2x3 = — 1,

χ2 — 4X1 + X2 + 4X3= —2.

2. Koordinačių plokštumoje pavaizduokite sistemos

χ2 + j 2 si 16,

χ ^ — 1, x - j <4

sprendinių aibę.


IO11 ' 8 ( ^ ) = 60,

Iog6 (v2 - A-2) + Ioge 3 = Ioge (v + .v).

4*. Išspręskite lygčių sistemą

sin y · cos χ + sin χ = О,

2 cos2 ν + sin .ν · sin .ν = cos 2у • cos χ.

К —7

1 variantas (2 pam. )

1. Išspręskite lygtį 1 - |/~3 sin χ · cos л = cos2 .v. 2. Apskaičiuokite (nusibraižę brėžinį) kreivių v = 6 - x 2 ir y=5 apribo-

tos figūros plotą. 3. Išspręskite nelygybių sistemą

Iog3 ( 2 - х ) > 1,

2x+3 i sO.

4. Piramidės MABC pagrindas - statusis lygiašonis trikampis ABC, kurio C = 90°; [MA] - piramidės aukštinė; | MO | = 4 \Г~Ъ cm, kai O -atkarpos [AB] vidurys. Koks turi būti piramidės aukštinės ilgis, kad pira-midės tūris būtų didžiausias?

2 variantas (2 p a m . )

1. Išspręskite lygtį 1 + j/~3 sin χ · cos χ = sin2 χ. 2. Apskaičiuokite (nusibraižę brėžinį) kreivių v=x2 + 3 ir> = 3 apribo-

tos figūros plotą. 3. Išspręskite nelygybių sistemą

Iog0,s ( - J f + I K - 1,

χ + 3 > 0.

4. Piramidės MABCD pagrindas - stačiakampis ABC D, kurio | AB | = = 3 I BC I, [MD] - piramidės aukštinė, | MD | + | JJC | = 12 cm. Koks tu-ri būti atkarpos JJC ilgis, kad piramidės tūris būtų didžiausias?

3 variantas (2 p a m . )

I. Išspręskite lygčių sistemą

I ~ I o g 2 X - I o g 4 J = O,

I χ 2 - 5 / + 4 = 0.


1 1 - tg — tg χ 4

3. Tiesė liečia funkcijos v = 2cos0 ,5x grafiką taške, kurio abscisė X 0 = 1,5π. Parašykite tos liestinės lygtį.

4. Taisyklingos keturkampės piramidės šoninė siena, kurios plotas nu-rodytas, pasvirusi į pagrindo plokštumą kampu эс. Kokia turi būti α reikš-mė, kad piramidės tūris būtų didžiausias?

4 variantas (2 pam. )

1. Išspręskite lygčių sistemą |_l_ 1 _ = _2_

χ y~ 15 ' Iog3 X + Iog3 v = 1 +Iog3 5.

2. Išspręskite nelygybes: I Odv2 ? V TC · . 7 1 - 1

a ) 1 ^ c \ b) COS χ · cos J - Sin X - sin у > γ .

3. Tiesė liečia funkcijos v = 2 sin y grafiką taške, kurio abscisė

X0 = - y . Parašykite tos liestinės lygtį.

4. Taisyklingos trikampės piramidės šoninė briauna, kurios ilgis nu-rodytas, su pagrindo plokštuma sudaro kampą *. Kokia turi būti α reikš-mė, kad piramidės tūris būtų didžiausias?

SKYRIŲ KARTOJIMO KLAUSIMAI

III s k y r i u s

21. A. Suformuluokite teoremą, apibūdinančią viena kitai atvirkšti-nių funkcijų savybes.

B. Išreikškite formule funkciją g, atvirkštinę funkcijai f : a) /(*) = 2x + 3; b) / (x )=x 3 ; c) / (x )=x 2 , x>0; d) / (x )=x 2 , x<0 .

Nurodykite funkcijos g apibrėžimo sritį ir reikšmių aibę.

C. Kokią savybę turi funkcijos g grafikai (žr. B klausimą)? 22. A, Išvardykite atvirkštines trigonometrines funkcijas, kurias ži-

note. Nurodykite kiekvienos jų apibrėžimo ir reikšmių sritis, nubraižykite grafiką.

B. Raskite reikšmę (kai būtinai reikia, naudokitės lentelėmis):

a) arcsin y ; b) arcsin0,87; c) arccos >

d) arccos 0,3; e) arctg ]ph\ f ) a r c t g ( - l O ) . 23. A. Parašykite paprasčiausių trigonometrinių lygčių s inx = a,

cos x = a, tg x = a sprendinių formules. B. Su kokiais a parašyta lygtis (žr. A klausimą): a) neturi sprendinių;

b) intervale [0; 2π[ turi vieną šaknį; c) intervale [0; 2π[ turi dvi šaknis? C. Vienetiniame apskritime nurodykite kampus x, kurie yra lygties

sprendiniai:

a) sin χ = 0,7; b) cos χ=—- į - ; c ) t g x = - 2 .

Parašykite tos lygties sprendinių formulę.

24. A*. Vienetiniame apskritime nurodykite kampus x, kurie yra nely-gybės sprendiniai:

a) sin χ > 2 ; b) cos χ =¾ у ; c) sin χ < 1; d) tg χ > 5.

B. Išspręskite nelygybę:

a) sin χ > ; b) tg χ < - 1; c) cos 2x < - - - = .

25. Išspręskite lygtį:

a) s i n ( 3 x - j ) = y ; b) cos ( f - f ) =

c) tg (5x - 1) = - 1; d) 2 sin χ + cos2 χ = 1;

e) tg χ - c t g χ = 2 ; f ) s inx +V~3cosx = 0;

g) 5 cos χ + 2 sin 2χ = 0; h) sina χ — 3 sin χ cos χ = — 2 cos* χ ;

i) 3 cos χ - 4 sin χ = 5.

26. Išspręskite nelygybę:

a) sin ( з х - - ^ - ) <0 ,5 ; b) 2 s i n x c o s χ < - ;

c) tg (2х - 1) > - 1; d) cos у cos χ - sin у sin χ < у ;

t g x + tg 3χ . c ' l — tg χ tg Зх

27. A. Kokią diferencialinę lygtį vadiname harmoninių svyravimų diferencialine lygtimi? Parašykite šios lygties bendrąjį sprendinį, pasaky-kite į ją įeinančių parametrų pavadinimus.

B. Harmoninio svyravimo amplitudė 5, dažnis 0,5 ir pradinė fazė

Parašykite šį svyravimą išreiškiančią funkciją. Parašykite jo diferen-

cialinę lygtį.

C. Patikrinkite, ar funkcija x = 5cos (зг — y j yra diferencialinės lyg-

ties x"=—9x sprendinys.

D. Parašykite du bet kuriuos diferencialinės lygties x"= — ^ x sprendinius.

IV s k y r i u s

1. A. Suformuluokite funkcijos / pirmykštės funkcijos F nurodyta-ne intervale apibrėžimą.

B. Ar funkcija y yra funkcijos pirmykštė funkcija intervale:

a) ] - 3 ; — 1 [; b) ] - l ; 1[?

C. Ar funkcija F yra funkcijos / pirmykštė funkcija nurodytame inter-vale :

a) F(X) = X 2 -X, / ( x ) = 2 x - 1, R\ b) F (x )=3x 2 , / ( x ) = x3, R\

O F(x) = tg χ, / ( * ) = _ ! _ , ] - y ;

d) F(x) = cosx, / ( x ) = - s i n x , Rl 2. A. Suformuluokite funkcijos pastovumo požymį.

B. Suformuluokite pagrindinę pirmykštės funkcijos savybę. Kokia jos geometrinė prasmė?

3. A. Raskite funkcijos pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką:

a) k (k — konstanta); b) ax + b (a ir b - konstantos);

c) x ° ( a * - i y , d) s inx; e) cosx ; Q - ^ r 7 ; g) - į y ·

B. Raskite funkcijos / pirmykštę funkciją, kuri nurodytame taške įgyja nurodytą reikšmę:

a ) / ( x ) = 2 x - 3 , F ( I ) = 5; b ) / ( x ) = s inx, F ( j ) = 2.

C. Raskite funkcijos / pirmykštę funkciją, kurios grafikas eina per tašką A:

a ) / ( χ ) = Y + l , Л = М(0 ; 2);

b ) / ( x ) = -"I/ x + l , A = M ( 0 ; - 3 ) ;

0 / ( χ ) = ^ , A = M ( i ; - 2 ) .

4. A. Suformuluokite tris pirmykščių funkcijų radimo taisykles.

B. Raskite funkcijos pirmykščių funkcijų bendrąją išraišką:

1 /— 2 a) 1 - х —χ2; b) — + 2 У х ; c) s in3x . X „ X COS* y

5. A. Kokią figūrą vadiname kreivine trapecija? Pateikite kreivinių trapecijų pavyzdžių.

B. Suformuluokite kreivinės trapecijos ploto teoremą.

C. Pavaizduokite kreivinę trapeciją ir apskaičiuokite jos plotą:

a) y = sin χ, j = 0, x = \ , χ = y ; b) y = x3, y = 0, χ = 1, χ = 2;

c) j = ( x - I ) 2 , j = 0, x = 0, χ = 3; d) j = x 3 - 4 x , j = 0, x > 0 .

6. A. Ką vadiname integralu? integravimo rėžiais?

B. Parašykite Niutono—Leibnico formulę. Ar lši formulė teisinga, kai : a) a<b; b) a>b; c) kai funkci ja/nebūtinai yra neneigiama?

C. Apskaičiuokite integralą: π

a) f (x3-x)dx; b) / c) f . - 1 π 1

3


a) j = x2, j = 3x; b) j = 6 —χ — χ2, j = 0; b) j = x3, j = V~x.

1. A. Suformuluokite laipsnio su racionaliuoju rodikliu apibrėžimą. B. Su kuriais a laipsnio rodikliais apibrėžiama funkcija axl

C. Išvardykite pagrindines rodiklines funkcijos savybes ir nubraižy-

kite funkcijų j = 3* ir j = grafikus. 2. Išspręskite lygtį:

, . 5 a ) 2* = y ; b) У~27* = У~9; c) 3 * + 2 - 3 * = 72;

d) 0 , 5 * ' + x - 2 ^=V r I ; e) 9* + 3*+1 = 18;

f)* 9>^H + 27= 12-3^^+"


a) 3 ^ < y ; b) c) 0,5* ^ 2 Y^2; d)* 4X + 16 > 10 · Iх.

4. A. Suformuluokite logaritminės funkcijos logax apibrėžimą. Su ko-kiais pagrindais a logaritminė funkcija apibrėžta?

B. Nubraižykite funkcijų Iog4 χ ir log, χ grafikus. 3

5. A. Užpildykite lygybių dešiniąsias puses:

a) « log«"*=?; b) Iog a (x j ) = ?; c) Ioge f = ? ;

d) Ioge X y = ? ; e) - j f f - = ?; f ) Iogfl a* = ?.

Su kuriomis x, j , ir a reikšmėmis šios lygybės teisingos?

B. Apskaičiuokite:

a) Iog5 J - ; b) I o g ^ 1 - 1 ; c) Iog0i7 4; d) log, — . 7

6. Išspręskite lygtį:

a) log, χ = 3; b) l o g 2 ( x - 1 5 ) = 4; c ) 0 , 5 * = 1 5 ; T

d) Ig(x2 — 2x — 4) = Ig 11; e) l o g 3 ( x 2 - 3 x - 1 ) = 2;

f ) lg 2x + 21gx = 8.


a) l o g „ , 3 * > - 2 ; b) 3 * ^ 7 ; c) l g ( x 2 - x - 2 ) < 1 ;

d) Ig(x + 2) + Igχ > Ig 24; e) Iog^x - 3 Iog2X ^ 10.

8. A. Ką žinote apie skaičių ei

B. Naudodamiesi natūrinių logaritmų lentelėmis, apskaičiuokite:

a) In 5; b) In 63; c) In 8,4; d) In 0,29.

9. A. Raskite funkcijos / (x ) išvestinę:

a) f ( x ) = Ъех; b ) / ( * ) = ^ t e ; c ) / ( x ) = 0,2*.

B*. Ištirkite funkc i j ą/ ir nubraižykite jos graf iką:

a) / ( * ) = *<?"; b ) / ( * ) = - £ ; c) / ( * ) = * · * " .

10. Parašykite logaritminės funkcijos išvestinės formulę.

11. A. Raskite funkcijos išvestinę:

a) log0i7jc; b) In ( 9 - 3 . v ) ; c) V r T T T l n .v; d) ' n ^ + 2 ' .

B*. Ištirkite funkciją /(JC) ir nubraižykite jos grafiką:

a) f(x)=x In jc; b) / ( x ) = x - 2 Inx; c) / ( x ) = In2 χ-2 In χ.

12. A. Parašykite laipsninės funkcijos diferencijavimo formulę.

B*. Išveskite šią formulę.

13. Kai sprendžiame iracionaliąsias lygtis, netaikydami sistemų ekvi-valentaus pertvarkymo metodo, reikia tikrinti gautas šaknis. Kodėl? Kaip šis patikrinimas atliekamas?

VI s k y r i u s

1. A. Suformuluokite lygties ir lygties sprendinio apibrėžimus.

B. Pateikite pavyzdį lygties su vienu (dviem) kintamaisiais, kuri: a) neturi sprendinių; b) turi tik vieną sprendinį; c) turi be galo daug spren-dinių.

C. Nubraižykite lygties dešiniosios ir kairiosios pusės grafikus ir, jais remdamiesi, atsakykite į klausimą: „Kiek sprendinių turi lygtis?":

a) |x|=x; b) x2 = s inx.

2. A. Suformuluokite dviejų lygčių ekvivalentumo apibrėžimą.

B. Ar ekvivalenčios šios lygtys:

a) 2 x - 1 = 0 ir 2x = 1;

b) x ' ~ l x - 1 ir χ2 — 2x = χ — 2 : ' x - 2

c) VTr = X - I ir χ = χ2 — 2x + 1 ?

3. A. Paaiškinkite, ką vadiname lygčių sistema, lygčių sistemos spren-diniu.

B. Išspręskite lygčių sistemą ir pavaizduokite sprendinį koordinačių plokštumoje:

a) χ2 + j 2 I , χ + J = 0;

O У= 1*1, J = - χ .

les.

b) i J = χ 2 - 2 ,

I J 2 - X 2 = O;

4. A. Kokias lygčių sistemas vadiname ekvivalenčiomis?

B. Suformuluokite lygčių sistemos ekvivalentaus pertvarkymo taisyk-

is. Ar ekvivalenčios šios lygčių sistemos:

a)

b)

J' = * + 1,

χ 2 + J2 = 2

COSx= 1,

χ 2 + j 2 = 1

O / i . 2 .

I ' · -

ir

ir

ir

J = X+ 1,

X2 + (x + I)2 = 2;

χ + 2 j 2 = 2, „ 2 _ 1 - 3x;

f + У

X = 2 j ,

X2 = J 2 + J ?

5. A. Suformuluokite tiesinės lygties su n kintamųjų apibrėžimą.

B. Išspręskite lygčių sistemą ir nurodykite, kokias sistemų ekvivalen-taus pertvarkymo taisykles taikėte:

a)

a)

d)

i 3x + 5 j = 13,

1 χ — 3 j = — 5;

j χ + J = - 6 ,

I A-J= 8;

I

b) χ + y + z = 2, χ + 2 j + 3z = 3, χ + 4 j + 9z = 5;

6. Išspręskite lygčių sistemą:

b) f J 2 - X J = 12, c)

X 2 - X j = — 3;

c) χ —j + 2z = 0, χ + j —z = 2, χ — 5 j + 8z = - 4 .

I I o g 3 χ -

ι xy = 4;

Iog 3 J= 2,

X- + J = -

I sin χ = — 2 sin J .

7. A. Suformuluokite nelygybės ir nelygybės sprendinio apibrėžimus.

B. Pateikite pavyzdį nelygybės su vienu (dviem) kintamaisiais, kuri: a) neturi sprendinių; b) turi tik vieną sprendinį; c) turi be galo daug spren-dinių.

8. A. Ką vadiname nelygybių sistema, nelygybių sistemos sprendi-niu?

B*. Kaip susijusios nelygybių sistemos sprendinių aibė ir sistemą su-darančių nelygybių sprendinių aibės?

9*. Parašykite kokią nors sistemą, kurios sprendinių aibė pavaizduo-21 paveiksle.

VIDURINIO MOKSLO BAIGIMO ALGEBROS IR ANALIZĖS PRADMENŲ EGZAMINO GALIMI VARIANTAI

1 variantas

1. Suprastinkite reiškinį

2 cos2 α + 2 cos (1,5 π — α). 1 +sin (π + α)

Parašykite dvi α reikšmes, su kuriomis šis reiškinys neturi prasmės.


9*+ 3* > 6.

3. Apskaičiuokite kreivių y=-0,5x2 + 2, y+x = 2 apribotos figūros plotą.

4. Ištirkite funkcijos v = 2x • Inx didėjimą, mažėjimą ir ekstremumus. 5. Piramidės MABCD pagrindas kvadratas. [MB]±(ABC), | MD | =

= 4|/3cm. Koks turi būti piramidės aukštinės ilgis, kad piramidės tūris būtų didžiausias? Apskaičiuokite šį tūrį.

2 variantas

1. Išspręskite lygtį |/~3~cos2x — 0,5 sin 2x = 0. Nurodykite vieną tei-giamą ir vieną neigiamą šios lygties šaknį.

2. Apskaičiuokite kreivių y = -0,5x2 + 2x ir _y = 0,5x apribotos figūros plotą.

3. Išspręskite nelygybę Iog2 (x— 1) + Iog2 ( x - 3 ) < 3. 4. Išspręskite lygčių sistemą

j 3 l + log s ( . v + 2.v) = 6 . Y ,

I 3*' - 2y _ ęo,5.x

5. Kūgio ašinio pjūvio perimetras lygus 8 dm. Koks galėtų būti didžiau-sias šio kūgio tūris?

J variantas

1. Apskaičiuokite kreivių j = sinx, r = 0. .v = - y - , O ^ . v ^ y - apri-botos figūros plotą.


2 cos α —sin 2α sin2 α — sin α + cos2 α

Parašykite aibę α reikšmių, su kuriomis šio reiškinio reikšmė lygi —1

3. Išspręskite lygtį 4 In2X-In x 2 = 2.

4. Ištirkite funkciją /(.v) = — y .v3+ .Y2 ir nubraižykite jos graf iką.

5. Reikia pagaminti uždarą dėžę, kurios pagrindas kvadratas, o dėžės tūris lygus 8 dm3. Kokie turi būti dėžės matmenys, kad jos visas paviršius būtų mažiausias?

4 variantas

1. Raskite funkcijos / (x) = In ( у Х 2 - 2 . \ - ) + У 8 —.Y apibrėžimo sritį.

2. Išspręskite nelygybę 2 sin — y j + 1 0.

3. Raskite funkcijos / ( x ) = 2 x + y pirmykštę funkciją.

4. Išspręskite lygtį Iog4 ( 3 x - 4 ) - l o g 4 ( 5 - x 2 ) = 0,5.

5. Taisyklingos šešiakampės prizmės visų briaunų ilgių suma lygi 36 cm. Koks-turi būti prizmės pagrindo kraštinės ilgis, kad prizmės tūris būtų didžiausias?

5 variantas

1. Išspręskite lygtį 5 sin x + 2 cos x = — 2.


2 л - j + 32 = 9,

• x+2y + z= 1,

3.Y + I y -Az = - 7.

3. Apskaičiuokite kreivių y=x2 ir y = x + 2 apribotos figūros plotą.

4. Išspręskite nelygybę In (2x*-3) < In ( x+I ) .

5. Rutulio spindulys lygus IO cm. Į šį rutulį įbrėžtas ritinys. Koks turi būti ritinio pagrindo spindulys ir sudaromoji, kad ritinio šoninio paviršiaus plotas būtų didžiausias?

6 variantas

I. Išspręskite lygtį 5 — 5cos (Y — x j = 2 c o s 2 ( π — .Y). Raskite šios lyg-

ties šaknis, pi įklausančias intervalui [π; 5π],


2 logą (3 — 2x) <0

Iogu l2O jI

3. Tiesė liečia funkcijos J = In ( 3 - 2 x ) - s i n (0,5πχ) graf iką taške, kurio abscise X0= 1. Parašykite šios liestinės lygtį.

4. Koordinačių plokštumoje subrūkšniuokite nelygybių sistemos

-2x< - 2 ,

xy< 6,

j + 2 ^ 0 sprendinių aibę ir parašykite tris bet kuriuos šios sistemos sprendinius.

5. Taisyklingos keturkampės piramidės šoninės briaunos ilgis lygus 4 У 3cm. Piramidės aukštinė gali įgyti tik tokias reikšmes, kurios pri-klauso atkarpai [1; 5]. Raskite didžiausią piramidės tūrį .

7 variantas

1. Apskaičiuokite kreivių y =X i ir j = 0,5x2 + 2 apribotos figūros plo-tą.

2. Ištirkite funkcijos J = Iog0 3 (6 — 2x) monotoniškumą, naudodamiesi išvestine.

3. Išspręskite lygtį

^ l — cos ( y " (1 + sin x) = 1,5 sin (χ — 9π).

4. Išspręskite nelygybę ϊ 6* - 2 < Ax.

5. Taisyklingos trikampės piramidės pagrindo kraštinė lygi 6 cm, o aukštinė lygi 9 cm. 1 šią piramidę įbrėžta taisyklinga trikampė prizmė taip, kad jos viršutinio pagrindo viršūnės yra piramidės šoninėse briaunose, o kito pagrindo viršūnės — piramidės pagrinde. Koks turi būti prizmės aukštinės ilgis, kad prizmės tūris būtų didžiausias?

8 variantas

1. Išspręskite nelygybę 23~*: 16 < · 40·5+2л:. O


sin1 α + 2 cos α sin α — cos4 α

2 cos2 α—1

Apskaičiuokite reiškinio skaitinę reikšmę, kai α = — . O 3. Išspręskite lygtį

Iog4 (V 5 9 - I O x - 1 ) = 0 , 5 + Iog4 ( x - 4).

4. Apskaičiuokite plotą figūros, kurią riboja parabolė y=x2 — 2x + 2, tiesės y = O, x = 0 ir liestinė, nubrėžta per parabolės tašką, kurio abscisė X 0 = 2.

5. Kūgio pagrindo spindulys lygus 6 cm, o aukštinė lygi 12 cm. Į šį kūgį įbrėžtas didžiausio tūrio ritinys (ritinio pagrindas yra kūgio pagrinde). Apskaičiuokite ritinio aukštinę ir pagrindo spindulį.

MOKOMOSIOS MEDŽIAGOS, ATITINKANČIOS SAVARANKIŠKŲ IR KONTROLINIŲ DARBŲ TURINĮ, RODYKLĖ

S - 48 50 sk. S - 49 51 sk. S - 50 51 sk. S - 51 52 sk. S - 52 53 sk. S - 53 54 sk. S - 54 53, 54 sk. S - 55 56, 57 sk. S - 56 58 sk. S - 57 60 sk. S - 58 59, 60 sk. S - 59 61 sk. S - 6 0 * 60 sk. S - 6 1 63 sk. S - 6 2 64 sk. S - 6 3 64 sk. S - 6 4 65 sk. S - 6 5 67 sk. S - 6 6 67 sk. S - 6 7 68, 69 sk. S ^.68 72, 73 sk. S - 6 9 73 sk. S - 7 0 74 sk. S —71 75 sk. S - 7 2 * 76 sk. S —73 skaičiavimai , proporcijos S - 7 4 procentai , K M - 5 * S —75 pertvarkymai, trupmenos S —76 logaritminė liniuotė

* KM —„Kartojimo medžiaga",

S —77 apytiksl is skaič iavimas S — 78 K M - 6 S —79 progresijos S —80 § 3, 4 S —81 § 6 S —82 IV skyrius S - 8 3 III skyrius S —84 § 17, 18 S —85 § 5, 6 S —86* 50, 66 sk. S K - I I - 5 sk., K M - I S K - 2 9, 31, 32, 34, 35, 63, 64, 68 sk. S K - 3 16, 26 sk. S K - 4 , 5 1 1 - 1 4 , 42, 63, 64 sk. SK - 6 18 - 21, 23, 24, 42, 43, 65, 67, 68 sk. SK — 7 2 5 - 2 7 sk. S K - 8 28 sk. S K - 9 50, 5 6 - 5 8 , 67 sk. S K - 1 0 59, 60 sk. S K - I I , 12, K M —7, 3 3 - 4 1 , 63, 64 sk. S K - 1 3 , 14, 15, KM —8, 6 3 , 6 4 , 68 sk. S K - 1 6 , K M - 8 , 63, 64, 68 sk. K - I § 11, 12 K —2 § 12 K - 3 IV skyrius K —4 § 15 K —5 § 16, 17 K - 6 VI skyrius K —7 kartojimas

ATSAKYMAI IR NURODYMAI

Savarankiški darbai

1 variantas

S -48 . 1. Taip. 2. y"=-\y. S -49 . I. j0<; ] θ ; y ] ; [ - į ; θ[ . 2. Ne.

3. Didėja intervale [ ~ y ; y ] · 4. [ - 1 ; I]. 5. Taip. S—50. 1. a) j ; b) - y

2. —Ϊ1. S 51. 1. ( -1) '+ ' - J +nk, keZ. 2. Tik, k e Z. 3. - +тс Α-, λ e Z.

S - 52 . ] f + 2 . A ; f + 2 . . ( , k e Z. 2. + f ; y + ^ [ , , e Z.

S—53. 1. ( - 1 ) χ+πΑ, k e Z. 2.—+πAr, A e Z S—55. 2. — + 2 — , S—56. " 6 3 3

a) —2 cos χ+ 3 sin χ + C; b) 6l/T + - ^ - + C. S—57. I. 12. 2. I. S—58. 1. 8 — 3 3

2. 4. S—59. 60,9m. S—60. 1. 10,5. 2. З У Т - З . S—61. 2 . - 3 ; I. 3. ] - 2 ; +oc[.

S - 62 . 1. a) -10 ; b) ~ . 2. ]--1; + со [ . S

S—64. 1. a) -Se""; b) 2*(

- J [ : didėja intervale ( — у ; + oo ( .

-63. 1. 0,1; 1000. 2

S—64. 1. a) -Se'"; b) 2" (1 +x In 2). 2. у . 3. Mažėja intervale • ] M

f I

Xy=X2-I

\ 1 г / j \ /хг+Уг"1 V л -/К у

*

/ -/

S—65. 1. a)

2. .,· =

; b) 4x-3

2.x + I

JC+ 1 —

(2x2 — 3.v + 1) In 3" I

3. X = 1 2 In 2 In 2 • у 7

minimumo taškas. S—66. 1. 0,5 In (2л -

-1 )+С. 2. 2. S—67. 1. Į T ( л ^ 1 -

+ χ 1 3 '). 2. 17. S—68. 1. (23; 13). 2. (3; 0), kai Ьф - 1; (3 + 2/; t), t e R, kai 6 = - 1 . S—69. (1; - 3 ; 7). S—70.

1. (2; 6); (6; 2). 2. (|"+2πΑ; ~2nk\,

k e Z. S—71. Trapecija, kurios viršūnės

A( 0; 3), B (O, 5); C (2; 1); D [ ψ ;

2. Aibė pavaizduota 22 paveiksle. S—72. max s=s (0; 2)=10. S—73. 1. 194. 2.

25%. 3. - . S—74. 300 17 % ж 17,6%.

22 pav. 2. y = 2x-9. S—75. 1 . 0 . 2. -10-S—76. 1. a) 13,5; b) 6,43; c) 420000.

2. 49,8 m3. S—77. 1. a ) 2 ,9· IO2; b) 57,9. 2 . 10 ,3±0,2 ; ε = 0,02. S—78. 1. ] - = o ; 0,5]U [1; +°o[; ]0,5; 1[. 2. ( x - 2 ) ( x - 5 ) . 3 . 5x2 + 26x + 5 = 0. S—79. 1. 2,5 + 0 ,9« ;

145,5. 2. 2,1. 3 . a ) - - y - ; b) - į - . S - 8 0 . 1. a ) 0 ; b) - 4 . 2. а ) Ы + г У Т х ^ ~ 1 ;

sin X - X In χ cos X 3. 2 0 4 x ( x 2 - l ) 1 0 1 . S—81. 1. Mažėja intervaluose ] - » ; χ sin2 χ

- 0 , 5 ] ir [0; 0,5]; didėja intervaluose [ - 0 , 5 ; O] ir [0,5; +oo[ ; x = ±0,5 - minimumo

taška i ; x = 0 - maksimumo taškas. 2. 5 l / T c m . N u r o d y m a s . ^ = y ^R2H =

i 1 X3 = — πΗ(12-Η2); V(H) = O, kai H=—-=—. S—82. 1. a ) — - 3 cos χ + С; з у з J

b) t g x + 2 l n | x + l | + 0 , 5 e » + C . 2. 15 у . S—83. 1. a ) π + 2πΑ; ± y + 2.A, A e Z ;

b) ±1. 2. a ) J - y b + π Α ; - y + πΑ ] , k e Z ; b) ] - 2 ; 1[. S - 8 4 . 1. 3. 2. ( 1 ; 2 ; 3 ) .

3 . (1; 2) ; (2 ; 1). S—85. Didėja intervaluose ] - ° o ; - 1 ] ir [1; +°ο[ , mažėja intervale [—1, 1]; x = - l — maksimumo taškas ; x = 1 — minimumo taškas ; liestinės lygtis:

^ = 9x— 11. S—86. 1. χ"= — 0,25x; A = 3; <υ = 0,5; φ = Ц- 2. y=Ce~β·".

2 variantas

S -48 . 1. Ne. 2. y"=-9y. S -49 . 1. j y }, ] y , π ] [θ; y [ . 2. Ne. 3. Ma-

žėja intervale [0; π ] 4. [ - 1 ; 1]. 5 . Taip. S—50. 1. а ) Щ-; b) y . 2. 0. S—51.

1. ± ^ - + 2πΑ, A e Z 2. A e Z . 3. A e Z S—52. 1. 1 - ^ + 2 π Α ; 4 4 12 J j

y + 2πΑ I, A e Z 2. + - ¾ + f [ A e Z S—53. 1. +2πΑ, A e Z

2. —+πΑ, A e Ζ. S—55. 2. ν ' ~ 5 . S—56. a ) - 3 cos χ - 2 sin χ + C ; b) χ 0 · " -3 4 *

— у + С . S—57. 1. 8. 2. 1. S—58. 1. 20. 2. 4. S - 5 9 . 1 , 5 - 2 ( Д ) ) г · S - 6 0 .

1. 6,2. 2 . I. S - 6 1 . 2. - у . 3 . ] - o o , - 2 ] . S - 6 2 . 1. a ) - 8 ; b) y . 2. ]0,5;

+ oo[. S - 6 3 . 1. 0,001, 10. 2. ] —4; 0 [ U ] 0 ; 4 [. S—64. 1. a ) - 0 , 3 e ~ ° · " ; b) 3 * 0 +

+ χ I n 3). 2. y= —0,5ex. 3. Didėja intervale j - c o ; j , mažėja intervale I y ;

+ со [ . S - 6 5 . 1. a ) y į y , b) — 2χ + 5) In0,5 ' 2" T l ! ū hT3 + ' '

3. Minimumas taške χ = - j ^ . S—66. 1. 0,5 In (2χ+1) + С . 2. 2. S—67. 1.

'V7

У Т ( Х ^ ' - χ ^ ') . 2 . 8 . S - 6 8 . 1 . ( 3 ; - 1 ) . 2. ( ^ y , ) , kai

Ьф —8; « , kai 6 = - 8 . S—69. ·.;•. S—70. 1. (9; 7). 2. ^ γ + 2 π Α ; - ^ - + 2 т г а ) ,

^ - - y + 2 π Α ; - у + 2 т г / t j , AeZ. S—71. 1. Trapecija, kurios viršūnės /<(1, 0) ;

B(3; 0) ; C (4 , 5 ; 3,5); D(5,5; 2,5). S—72. max j = s ( l , 2) = 7. S—73. 1. 322.

2. 66 i - % . 3. 0,25. S—74. 1. 6,25 %. 2. v = 2 , 5 - 0 , 5 x . S—75. 1. ° + b

2 . 1 1 . S—76. 1. a ) 0,133; b) 3,46; c) 5610. 2. 83,6 m3. S—77. 1. a ) 4,8 IO2; b) 55,6. 2. 15,5±0,1; ε = 0,007. S—78. 1. 0 ; * . 2. (x + 3) ( х+6 ) . 3. 3 x 2 +10x+3 = 0. S—79.

1. 4,9 + 0,8« ; 266. 2. - 2 3 . a ) - ~ ; b) S—80. 1. a ) - 3 ; b) - 6 . / 13 14

2 . 8 ^ - 3 ] / ^ ' ; b) 3 . 2 0 4 ( х ' + х ) ( х Э + . , 5 х 2 ) « . S - 8 1 .

1. Mažėja intervale ] - c o ; 0] ; didėja intervale [0; +ooį ; x = 0 - minimumo taškas.

1!~2 Xi 1

y cm. S—82. 1. a ) — - 2 s i n x + C; b) In | 1 — χ | —ctgx—— ezx + C. 2.

13 y . S—83. I . a ) y + 2πΑ; ( - ! ) * + · y + A, A e Z ; b ) ± . 2. a ) [ y + " A ;

y + π Α ^ , A e Z ; b) ] - c c ; - 1 [ U ] 2; +oo[. S—84. 1. 8. 2. (1; 2; 5). 3 . ( 4 ; 2).

S—85. Didėja intervaluose j - o o ; - y j ir J y ; + со Į\ mažėja intervale =

y j , χ = — maksimumo taškas ; X = - i — minimumo taškas ; liestinės lygtis: 80 9r.

> · = — х - 5 5 . S—86. 1. X"=F-9x; -4 = 0,5; ω = 3; φ = — . 2. y = Ce~'\ 3 variantas

S—48. 1. Ne. 2. x " = - 3 x ; A = y ; <о = У Т ; φ = 2. S—49. 1. {0} ; ] ~ y ; θ [ ;

j o ; y Į . 2. Ne. 3. Didėja intervale ] ~ y : y [ 4. R. 5. Taip. S—50. 1. a )

b) 0,1. 2. . S—51. а ) ( - 1 ) ' + 1 y +π k, keZ; b) 2 π k; - y + 2 π A", A=Z;

c) f + k e Z . S 52. а, ] ^ + π Α ; i ^ + яА [, AeZ; b) ] - J L + ^ ; f +

тгА Γ π Чг + T [ , keZ. S—53. а ) — +πλ , χ„+πΑ, k e Ζ, Xu^arctg 3 χ 1,249; b) - - ^ - + τ:Α,

k e Ζ. S—55. 2. 1 + х - у - . S—56. a) - c o s y _ s i n y + C; b) ~ (7x+ l)1·1+ C.

S—57. a ) 4 4 ; b) 0. S—58. a) 1 i ; b) . S—59. 4" J· S—60. a ) 0,4; b) J 3 4 6

' - . S—61. 2 . 4 . 3 . ] - l ; l [ . S—62. 1. a ) Minusas; b) pl iusai . 2. ] - χ ; V T

- l/To [ U ] - l/To; — 3 [ U ] 3; !/To [ U ] УТО; + oo[. S—63. 1.0. 2. 0 . S—64. 1. / 1 \2Jt + 0,5

a) 0,02e7+ "·"; b) — 2 In 3 • i J .2. y=-x+2. 3. Mažėja intervale ]-oo; 0];

didėja intervale [0; + x [ . S—65. I. a ) — ; b) 2 x ] / T - 1 2 ^ = χ - 5 In 3 (x2|/x —2x)

χ - + 2 ! — . 3 . Mažėja intervale ]0; 2 2 1 n 2 _ J ; didėja intervale (2 2 2

4 In 2 4 In 2 + oo[. S—66. 1. 0,25 In (2x+I) +C. 2. 1. S—67. 1. У"Т x1^^1-2x~®. 2. -3 ; 4.

4 / 9/+ 2 \ 4 S—68. 1 . ( 3 ; - 1 ) . 2. 0 , kai тф - — ; I — ; f j , kai m=-—.

S—69. ( -1 ; -5 ; 2). S—70. 1. (6; 3); (3; 6). 2. ( y +πΑ; J — ( J + 7 t ^

y - π λ ) , A e Z . S—71. 1. Aibę sudaro vienas taškas M (1; 3). S—72. max 5=

= s( 2; 3)=17. S—73. 1.0. 2. 2,52m; 3 m. 3. y . S—74. 1. 25 %. 2. .y = 8-3x.

S 75 j 2. -3. S—76. 1. a) 10,33; b) 6,89; c) 6,45. 2. 13,2kg. S—77. χ4-y

1. a) 310'; b) 47,9. 2. 11,6+0,1; ε = 0,01. S—78. I. _ τ ] ; ] _ 00;

- y [ u j - y ; + *>[· 2. (2x + 5)2. 3. 12x2 + x— 1 =0. S—79. 1. 5 y ; y . 2.

_ iZ . 3. a) - L · b) 0. S—80. 1. a) 0; b) -0,4. 2. а) 16х'-2Т/Тх/Т~ ' +1; 65 3

e* (χ Ig х-Ig e) 3 3 sjn 6χ g_ 8 1 t Mažėja intervaluose ]-oo; -4] ir [0; 1]; χ Ig2 χ

didėja intervaluose [ -4 ; 0] ir [1; + » [ ; x=-4 ir x=l - minimumo taškai; 3

x = 0 - maksimumo taškas. 2. "j/ . Nurodymas. S = 2n R2 + 2π RH = 3

= 2(πΛ2+-^), nes W=-^r- Toliau, S'O?) = 0, kai S-82. 1. į - +

+ x - y tg2x-2. 2. 1-1/T. 3. 12-5 In 5x3,9528. S—83. 1. a) AeZ; b) 2.

2. a) j - y + i ^ ; y + ^ [ , 4εΖ; b) 0,01; 10. S—84. 1 .20. 2. 0. 3 .(2, 3); (3; 2).

S—85. Mažėja intervaluose ]-oo; -3[; ]-3; 3[ ir ]3; + co[; ekstremumų nėra;

liestinės lygtis: y= - x - y p S—86. 1. x"=-4x; Λ=3; ω = 2; φ=—y-.

2. >> = <?*" 2\

4 variantas

S—48. 1. Taip. 2. x"=-2x; /1 = 3; ω= V~2; φ = 2π-1. S—49. ! · { "f ] 0^

j Ξ.. π 2. Ne. 3. Mažėja intervale ]0;π[. 4. Λ. 5. Taip. S—50. 1. a) - у ;

b) -0,3. 2.0. S—51. а) ±-Щ- + 2кк, keZ; b) -у-+2**, AreZ; с) ке Z.

„ , I π 2πΑ 5π 2πΑ Γ . _ ,. Γ π , . π πΑ Γ „

a ) - y + πΑ; χ„+πΑ, A e Z 1 x„ = arctg ( - y ) « - 0 , 3 2 ; b ) . A , A e Z S—55. 2. x -

— 2x2 + 12. S—56. a) - c o s y + sin y + C ; b ) - i - ( 6 * - 2 ) ' ' s + C. S—57. a ) 2; b) 1.

S - 5 9 . 0 ,02J . S—60. a ) - 1 3 ; b) y . S - 6 1 . 2. 0. 3. ] - o o ; S—58. a) 4 - ; b) 1. 4

- 4 [ U ] 4 ; +oo[. C—62. 1. a ) Pliusas; b) pliusas. 2. ] - o o ; - V 5 [ U ] - V 5 ;

- 2 [ U ] 2 ; l / T [ U ] l / T ; + oo[. 3. Funkcijos y= Ig v graf iko ir jo atvaizdo, simetriš-

ko ordinačių ašies atžvilgiu, sąjunga. S—63. I . 3,5. 2. J l ; +oo[. S—64. l . a ) 6 f 3 + 2 ' ;

b) - 5 In 14· 14«·*-«. 2. y = x + 2. 3. Mažėja intervale ] - o o ; - 2 ] ; didėja intervale

1 . h l Зх2 + х ' ' ·» 2 2 [ - 2 ; + co[. |S—65. 1. a )

3 . Mažėja intervale ] — I;

b) -. 2. ^ = -+ 1. x - 6 ' (x3 —2x_0·5) In 4 ' TTn 3 " 3 In 3

— 1 + ΐ / Τ θ ] ; d idėja in tervale [ - I + ! / ! θ ; + o o [ . S — 6 6 .

1. 0,25 In (2x—1)+C. 2. ! , 5 . S - 6 7 . 1 . V J x i r 7 1 - l , 5 x " 2 - . 2. 4 j / T . S - 6 8 . 1.

2m— 1,5 I 0 ; t iesės lygiagrečios ir n e s u t a m p a . 2

y,

Ы· kai /«^1 ,5 ; 0 ; « / - 1 , 5 ' m

kai m = 1,5. S—69. ( 24 -22/ ; 9 - 8 / ; / ) ,

t e R. S—70. 1 + πΑ; y -t e R . S—70. 1. (4; 3). 2. ^ y

S—71. b) Aibė pavaizduota 23 paveiksle.

S—72. min s=s (5 ; 4 ) = _ 7. S—73. 1 . 0 .

2. 2,36 m; 2 m. 3 . 5 . S—74. 1. 3 3 y % .

2. .y = 3x — 10. S—75. 1. b-c* 2. 4.

с ' у т ; S—76. I . a ) 0,0172; b) 151; c) 8,14. 2. 63 dm3. S—77. 1. a ) - 5 IO2; b) 64. 2. 3 ,2±0,3; ε = 0,1. S—78. 1. ] - 0 , 2 5 ; 0,5 [; ] - o c ; - 0 , 2 5 ] U [0,5; + » [ . 2 . (9x— I)(χ— I). 3. 20x 2 +x — I =0. S—79.

4 95 1-1. 2. -

612 3.

23 pav.

a ) - 3 , 7 5 ; b) 0. S—80. 1. a ) - 0 , 5 ;

b) 4 · 2 · a ) · 5 i f T x ^ - ' - S x · , b)

e* (cos χ + sin χ) •Χ 1 2 χ с -5- S l n - у · S—81. 1. Didėja intervaluose ] - ° o ; 0 ] ir [2; COS 2 X

4] ; mažėja intervaluose [0; 2] ir [4; +oo[; x = 0 ir x = 4 - maksimumo taškai 3

x = 2 — m i n i m u m o t a škas . 2 • n V л/

N u r o d y m a s . S = nR2+ 2π RH=ττ R2 V R

3

( n e S / / = ^ 2 ) ' = b i * = ] / y . S—82. I . J x ^ + į s i n 2 . x +

+ 2 y . 2. γ J ) · 3 · 2 4 - 7 In 7¾ 10,3786. S—83. 1. a ) y - k, keZ;

b) + ΙΟΎΛΙΟ; +0,1. 2. a ) J - y + πΑ; y + π Α ( , A e Z ; b) ] - o o ; 2[. S—84. 1 . Ί ; 5.

2. (3 ; 2 ; 1). 3. ( - 1 ; - 1 ) ; ( - 1 ; 2) ; (2 ; - 1 ) . S—85. Mažėja intervaluose ] - o o ; - 2 ]

ir [2; + oo[; didėja intervale [—2; 2]; liestinės lygtis: χ · S—86. 1. χ " = — ί χ,

4 * , \ 1 2π —

A = у , <., = у , φ = Τ . 2.у=е

5 variantas S—48. 1. у = A cos / + φ ) . 2. χ " = — į y /( = 2; ω = у ; φ = у . S—49.

1. { 0 ; π }; J y у - ; 0 ] 0 ; тг[. 2. χ = — ^ — minimumo taškas ; -* = y — mak-

simumo taškas. 3. Mažėja intervaluose J y y - ; — y J ir ( y ; . j ; didėja intervale

J y y ; y ] · 4. [ - 1 ; 1]. 5. Ne. S - 5 0 . 1. a ) - - J ; b f 7 0 ° = y | · . S - 5 1 . a ) - y +

+ πΑ, A e Z ; b) - y + ( - 1)' y + πΑ, AeZ; c) y + - ^ y - , k e Z . S—52. a ) +

+ 4πΑ; - y + 4 . A j , A e Z ; b) j 3 - ~ + 3 . A ; 3 - y ^ - 3πΑJ , AeZ. S—53. a ) - y +

+ 2πΑ, k e Z ; b) πΑ; 4 + π Α , A e Z . S—55. 1. a ) Taip; b) ne. 2. 2 , 5 - c o s x . S—56. 6

a ) - J cos ( l , 5 x - 1 ) + 4 x'-5 + C; b) tg ( x - 7 ) + + C. S—57. a ) 93; b) V T -3 3 3 6

S—58. a ) 1 b) 0,5. S—59. 1200m; 0,4 ^ . S—60. a) 2,5; b) - ^ J . S—61.

3 s2 4 2. 1,5. 3 . ] —0,25; 0[. S—62. 1. a ) Minusas; b) pliusas. 2. ]3; 4 [ u ] 4 ; 7]. 3 . Sutampa su >> = 0,5 Igx graf iku. S—63. 1. I. 2. ]oo; 0 [ U ] 2 ; +00(. S—64. 1. a ) - 1 4 e 2 " 1 4 1 ;

3V2 —4x b) - I n 2 0 ,5 0·"+ 2 . 2. v = 2. 3. 0 , 5 e " - 3 + C . S—65. 1. a) b) χ 3 —2x2 + l л 5 1

. 2. — . 3. — — maksimumo taškas ; e — minimumo taškas. S—66. 3 (2x— 3) In 2 3 ' e

V 2 +1 -V r T ! 1 2 1 n (x — I) + 4. 2. Kai a > 0 . S—67. 1. — — + - •=— + C . 2. — . S—68.

V T + 1 I - l / T 3

1. ( — 4-; 4 - ^ , tiesės susikerta. 2.1 ——; - ) , kai тф± I ; a , kai m= — I ; V 3 3 I \m+1 m+ 1 J

(/+1; /), / e * , kai m=\. S—69. ( - 8 ; I ; 2). S—70. a) (2; 6) ; b) ( у + 2 т т А ;

— y - 2 n A j ; у+2тгА; у - 2 . А ^ , AeZ S—71. Aibė pavaizduota 24 paveiksle.

S—72. max s=.v(6; 2) = 28. S—73. 1. 2. 2. 18 %. 3. 5. S—74. 1. 21 ,6cm; I9,44cm2 . 1

2. J y ; 3 y j . S—75. 1. b ( a J + b). 2. - 1 , 5 . S—76. 1. a)59,8 · 10s; b) 3,74; c) 0,43.

2. 13,8 -10"'. S—77. 1. a ) 100; b) - 4 1 , 8 . 2. 18 ,4±0,3 ; ε = 0,02. S—78. 1. ) - o o ;

— 5] U [ — 0,2; +oo[; [ - 5 ; -0,2]. 2. 2 - ( , - ^ f f ) ( x - ^ L ) · 3. x ' -

— 2 l / T x + 6 = 0 . S—79. 1. 13. 2. 4 arba j . 3 . a ) - 2 , 5 ; b ) 0 , 5 . S—80. 1 . a ) 2 ;

b) 5. 2. а ) ( У Т * 1 + 4 1 / Г х 3 - 3 ; / Т - 3 1 / Т ; / Т - V ; b) ^ - 1 - 3 ' 1 1 2 . 3 .

( j c - l ) a In 2

921 дга(χ3 + Ι)30β. S—81. 1. Didėja intervaluose ]-<*>; - 3 ] ir [I; + oo[; mažėja inter-

valuose [ — 3 ; — 1 [ ir ]—1; 1]; x= — 3 — maks imumo taškas ; Jr= 1 — minimumo

taškas . 2. l / б . N u r o d y m a s . Sakyk ime, r ir h — pagr indo spindulys ir kūg io

aukšt inė . Tada r 2 + A2 = 32 = 9 ; V = j - πΑ (9 —A2); V'(h) = O, kai A = V T , tada / =

2 2

= У9-А2=У~6. S—82. 1. -0,75x4 + ln|x + 2| + C. 2. y . 3. 10 y .

o 01 . ч π , t t^ π nk , Λ π nk TtA' T T ' ( - | } TI + T ' k e Z ' b ) ± L 2 • a ) J - T T + T ' ' T :

T + T ' T I + T [ ' k e Z ' · b ) 1 _ c o ; —2] U 13; +00[ . S—84. 1. 4. 2 . ( 1 ; 2 ; - 2 ) .

3 . ( 5 ; 3 ) . S—85. Mažė ja intervale ] - 0 0 ; 1,5]; didėja intervale [1,5; +oo[ ; x = l , 5 — minimumo t a škas ; kritinis t aškas 0 nėra ekstremumo taškas ; l iestinės lygt is :

y— — 10x —2. S—86. 1. y = 4 cos (lT~f + ψ j , A = 4, to= l/T ; <P=-y-· 2.

6 variantas S - 1 8 . I. 4cos ( 2 / + f ) . 2. x ' = - 9 x . S - 4 9 . 1. { - į ; į }; - J [ ;

Į — - y - ; — y ^U ] γ » π ]• 2. дг=0 — maks imumo t aškas . 3 . Didėja intervale

[ - - y · ! o j ; mažėja intervale [0; π], 4 . [ - 1 ; I]. 5 . Ne. S—50. 1. a ) 0 ; b) 12°= ^ .

136

2. arccos l<a r c c t g 1. S—51. a ) — у + π Α , A e Z ; b) - y - + 2 π Α , keZ\ +

+ < _ , ) . ę + 2 πΑ. A e Z S—52. a) + " J J + f [ • A e Z ;

Д ^ + πΑ 1, A e Z. S—53. a ) π + 2πΑ, A e Z ; b) πΑ; -^- + πΑ, A e Z S—55. 1. a ) Ta ip ; 24 J 3

b) ne. 2 . sin χ + 1 , 5 . S—56. a ) y sin ( l , 5 x - 1 ) + у У ( х + 1 ) 3 + С ; b) у c t g ( 2 - x ) -

r2 1 9 t3 t2 - — + C . S—57. a ) 18; b) 1 S—58. a ) — ; b) 0,5. S—59. — — +

6 I/ 3 8 3 2

26 + /—I; 2t- I. S—60. a ) 9 y y b) - 3 . S—61. 1. Sutampa su funkcijos y=2* gra-

f iku . 2. 2. 3 . ]— χ ; 0 [ U ] 3; + oc[. S—62. I . a ) , b) Pliusas. 2. [ - 2 ; - I [ U ] - l ; 3].

S—63. I. 1,5. 2. ] —3; —2[U ] —2; - 1 [ . S—64. 1. a ) -Je'"7-; b) - 6 In 2 - 4 2 - " . 4 r 3 — 9 r 2 + Į 1

2. >' = 2x. 3 . -5<?'-«-2* + C. S—65. 1. a ) . - ; b) -r—r-r — . 2. J χ4 — 3x3 + x I r i 3 (2x —80)

— - 5 - y ^ - . 3. X=- į - ir x = 2 — minimumo taška i , χ = I — maks imumo taškas . S—66.

V rTn 1. I n ( x + 1 ) + 3. 2. a>0. S—67. I. —— + p ^ + C . 2 . 3. S—68. i . (t

1/T+l I - V T

3/+3), teR·, tiesės sutampa. 2. ( - į ^ - — ; - — ^ r - ) . kai тф±2; 0, kai m = 2 \ 2 — m m —2 j

( - 2 - 4 / ; /), t £ F , kai m = —2. S—69. 0. S—70. a ) ( 5 ; 2) ; b) ( π + 2 π Α ; у + 2 т г А ^

( — у + 27гА; - π + 2 π Α | , A e Z S—71. a ) Penkiakampis , kurio viršūnės А ( 0 ; - 0 , 5 )

В (0 ; 2 ) ; С ( 2 ; 0 ) ; 0 ( 0 , 4 ; 2 ,4) ; £ ( 0 , 6 ; - 1 , 4 ) . S—72. min s = s(0\ 7 ) = - 2 1 . S—73

1. 8. 2 . 2 5 % . 3 . 1. S—74. 1. 14 ,4cm; 8 ,64cm 2 . 2 . Į - 3 ; y j \ S—75. 1

ι 2

b7 (ft3 -2a). 2. y . S—76. 1. a ) 76,9 - 103; b) 2,99; c) 0,069. 2 . 11,7 · IO3. S—77. 1.

a ) 56,0; b) 87. 2 . 5 , l ± 0 , 4 ; ε = 0,05. S—78. I. Į ^ - 6 ; - y j ; ] - c o ; - 6 ] u Į y y ;

QO [ . 2 . 3 - ( x - * ± Ж ) ( Х - 3 . χ2 —2l/6x + 2 = 0. S —79. 1. 10

5 l / T arba 15. 2. - 1 3 , 5 arba - 6 , 7 5 . 3. a ) - y ; b) — y — . S—80. 1. a ) 2 ; b) - 5 . 2 .

а ) ( 1 / Т х 8 + 5 у Т х 4 - 2 х ^ - 2 У Т х К 2 _ l ) ^ ; b) . 3 . 7I4x(3x 2 — l) 1 1 8 . (x + 2)2

S—81. 1. Didėja intervaluose ] - o o ; - 1 ] ir [3 ; + « [ ; mažėja intervaluose [ - 1 ; 1[ 4

ir II ; 31; x = - I — maks imumo taškas ; x = 3 — minimumo taškas . 2. — — c m . l / T

N u r o d y m a s . Sakyk ime , kad r ir Л — ritinio pagr indo spindulys ir aukšt inė . Tada

Η=π>- 2Α=πΑ(16-Λ 2 ) ; У (h) = 0, kai A = - ^ L r . Tol iau, K(O) = K (4) = 0, v ( - 4 = \ > 0 . 1/3 v 1/3 /

J t r x + 1 1 1 1 _ S—82. 1. + - cos (2x+l)~ — In Į 2x+l { + С. 2. ~ — . 3. 9. S—83.

V 3 +1 2 2 8 32 3

1. а) у + πΑ; χ0 + πΑ, keZ, x0 = arctg 0,5x0,46; b) 8; l/~2 . 2. a) ]π + 3πΑ; 2π +

3πΑ [, k e Z; b)]-oo; 3,5] U {6,5; + oo[. S-84. 1 . - 1 . 2. (-^y^S 1 3 '+ ' 2 2 ; /),

t e R. 3. (2; 1). S—85. Mažėja intervaluose ]—oo; —3] ir [-1; !]; didėja interva-

luose [ — 3; —1] ir [1; + oo[;x=-3 ir .v=l — minimumo taškai; x = — I - maksi-

mumo taškas; liestinės lygtis: .v=60x-95. S—86. 1. y=2 cos ^2r + y j ; A = 2; to = X

= 2; 9 = y • 2. V = C e '

7 variantas

S—48. 1. SVrTcos ^ 2t + y j - Sprendimas. x, (t ) + x4 (t)= 3 ^cos2/ + cos 21 +

+ y ) \ = 6cos (2 ' + y ) cos y- 2. ±ЗУТ. S-49. 1. j 0; y ; π J ; J o ; y j U

υ ί π }; Įy y i o ] U (y ; π|. 2. -* = y — maksimumo taškas; x= y - — minimu-

mo taškas. 3. Didėja intervaluose (—y y j ir ( y - : mažėja intervale ( y ;

-y-j. 4. [ - y : yJ (didėja); [ y ; y J (mažėja). 5. Ne. S—50. J. a) 0,96;

b) 3π— 10. 2. Sprendimas, y — arcsin xe [0; π] ir cos | į—arcsin xj = sin arcsin χ =

= л\ todėl 4 — arcsinx=arccosx. S—51. a) (-I)*+1 -jį-+ ' į - , k e Z; b) -7^-+-7-, 2 12 2 18 3

k e Z. Nurodymas. Lygtis pakeičiama lygtimi tg Ix=—į^-, kurią išsprendus V T

reikia patikrinti, ar su gautomis reikšmėmis apibrėžti tg χ ir tg 2x; c) i "3-'

] ~ ~ 4 2 — ) 2 6 + π^ [ ' keZ. Nurodymas. Nelygybė pakeičiama ne-

lygybe tg 3x + γ j < —į y~· kurią išsprendus iš gautos aibės reikia atmesti pavi-

dalo -уу + 7^; y+-^- skaičius, su kuriais tg |x + y j arba tg 2x neapibrėžtas,

b) ( y +πΑ; y -+ .A j , A e Z C—53. a) x„+~, A e Z , ^> = y arctg ( ~ y ) ~

Ж —0,58; b) -~+2nk; (-l)k ^+ттк, k e Z. S—55. 1. Nurodymas. Kad lygybė Z 6 F' (x)=f(x), kai x = 0, yra teisinga, matyti iš S—15, 7 varianto Nr. 2. 2. a) Vx2 - 1 + C; . . 2x + sin2x „ „ I +cos 2x

b) +C. Nurodymas, cos2.v= . S—56. a) 2 tg (χ—Ο-

Ι 38

- cos (4 — Зх) + χ + C; b) s i n x - x c o s x + f У ^ + С - N u r o d y m a s , (xcosx)' =

3 (21/T- i ) S—59. = - x sinx + cosx. S—57. 1. 78. 2. 1. S—58. a) 4; b)

— J. Sprendimas. Sakykime, kad ritinio aukštinė lygi H. Tada ritinio tankis 4

lygus Q = — = — . Išnagrinėsime ritinio dalį, kurią riboja ritminio paviršiaus V nR H

spinduliai χ ir χ+Δχ. Šios ritinio dalies tūris apytiksliai lygus =2πχΔχΗ, masė 2mxAx . . χ . . . . . •• ... mxVl mx3 . — , greitis — ir kinetine energija Wx~ ж Δ χ . Todel W =

R R R

R1

mx3 dx mx4

Ri 4 R' R

= £L. s—60. a) 18¾-; b)0.S-61. 2. 6. 3. ]-5; 3 [ U ]4; I o 4 27 = /

о + oo[, S — 6 2 . 1 . O 0 0 = ]— oo; -3[U]1; +oo{; su tokiomis χ reikšmėmis grafikas

sutampa su funkcijos > = |x+ 1|-2 grafiku. 2. (log2x+l)3. 3 - ~ y y p ~ - s—63· '· 2. 0,5. S—64. 1. x = 0,5 - maksimumo taškas; X= 1 — minimumo taškas. 2.

5 2 log, (x3 + cos x)-(3x2 — sinx) , 1 χ 1 — (2'-"·"-1). 3. 0. S —65. 1. a) Ё3\ f - - ; b)—ctg—. 2 In 2 (x3+cosx)ln3 2 2

2. y=( — 2 —-=J ^ χ r—=-—1. 3. Mažėja intervaluose ]0; I] ir [e; + c o [ ; didėja \ 2 In 2 / 2 In 2

intervale [1; e]. S—66. 1. 1,5-2 In 25:0,1137. 2. In 10 = 2,3026. S—67. 1. Mažėja

intervale ίθ; У У 1; didėja intervale f Y J ; +ooi. 2. [-3; 2]. S—68. 1. L V Ž + I J L \/2+\ t

/ m+3 , m+ 1 ' ( 2/ — 5;

4

Zt- 16 i +. - / ; r], t e R. 2. 0 kai m = - l ; (3-/; t). teR. kai m = 2; ^

3 / y ) SU kitomis m reikšmėmis! S-69. (6/-13; l t - 19; /; 7-2/),7eJf. S-70

m + X 1 , 1 L \

a) (-1; 1); (4; 32); b) ( f + ^fs - ^ + χ + 2 * ' ) ' S~ 7 1· A i M S ^

duotos 25 paveiksle. S-72. 2; 6. S-73. 1. Nurodymas. A b i lygybės puses pa-

25 pav.

kelkite kubu. 2. 10%. 3.

U [-M- s~75· »· Į/χ+Ι l / F T

16 + c3

; 2. S—74. I. 30cm; 30cm2 . 2. ] - 6 ; - 2 ] U

2. + - ^ J 6 _ C 3 • - ->.—2 ·· s — 7 6 · ! · a ) 2,52; b) 12,6-10 3 ;

c) 343. 2. 33,8 dm; 18,6 dm. S—77. I. a ) 16,3; b) 99,1. 2. N u r o d y m a s . Tegul x=a±hu y = b±h2. Tada (a-h1)(b-h2)^xy^(a+h1)(.b + h2); -A1 b-A2a + A 1 h t <xy -

— аб з® A16 + A2 α + A1A2, iš kur hxh.b+h.a ir ε = h. = ε , + ε , ab a b

S—78. 1. ( ] / Т д г - 1 ) ( ] / Т д г + 1 ) ( л : - Т / Т ) ( л г + 1 / Т ) . 2. |6 >1. 3. 7. N u r o d y -m a s . Patikrinkite, ar šaknys egzistuoja (diskriminantas teigiamas), ir taiky-kite Vieto teoremą. S—79. 1. 37,5

1 0 » + i - i o - 9 / i

У

\

ύ - j

У

t ,

Λ,

Λ χ

VJ 0 v . *

arba 52,5. 2

1 81 . 3 . a )

3 y ; b) - 1 . S—80. 1. a) y ; b) y .

. 2 - * (χ In Į χ Į In 2 + 1 ) d> :—T-T-— ; b)

5 ( 1 / T x i a t

2x In2 ι χ

1 — 2 x - 2 )

In \0(xVi + b;"1 ) . 3 . 26 pav.

26 pav.

S—81. 1. Mažėja intervaluose ] — oo;

-I-VT] ir [0; - 1 + l / T ] ; didėja in-tervaluose [— 1 — l / T ; 0] ir [ - 1 + 1 / T ; + co[; χ = — 1 + "I/ 3 - minimumo taš-ka i ; x = 0 — maksimumo taškas. 2. 2.

N u r o d y m a s . Sakykime, kad ritinio, kurio tūris V, aukštinė ir pagrindo spindulys V IV lygūs A ir r. Tada £=2π/·2 + 2π/-Α = 2π/·2 + 2π/· — - =Inr2 + . Toliau. S'(r) =

•Kr2 r 2V

= 4π/·- — ; (/) = 0, kai 4тгг3 = 2К, t. y. 4π/·3 = 2πτ2 A, iš kur 2r=h, t. y. h:r = 2.

„ e" sin χ — e" cos χ » — ° 2 · ! · 2 ^ c - N u r o d y m a s . Galima taikyti integravimo dalimis

formulę. Arba - sudėti lygybes: (ex cos χ ) '= -e" cos χ + e" sin χ ir (e* sin χ) ' = ίο

= e* cos x+.ex s inx (ir rezultatą padalyti iš 2). 2. 38,4. S—83. 1. a ) l/To. N u r o -

d y m a s . Pakeiskite logaritmais, kurių pagrindas 10; b) — + . N u r o d y m a s 4 2

Visas trigonometrines funkcijas išreikškite tg x. 2. a ) ]0,01; +oo[. N u r o d y m a s .

Pažymėkite , = 3'**+2 ; b) -JL + πΑ; J y J + π * ; y + π Α [ ;

Τ " + π Α [ ; ] " Τ " + π λ ; 1 Γ + π Α [ ' k e Z - N u r o d y m a s . Žr. S—51, 7 var. b) ir

3 S—52, 7 var. a) nurodymus. S—84. 1. 1. N u r o d y m a s . Lygybės "Į/7+7= "Į/Х + З abi puses pakelkite šeštuoju laipsniu, po to („atspėję" šaknį x = l ) gautosios lygties x3 + 8x2 + 13x —22 = 0 kairiąją pusę išskaidykite dauginamaisiais (pavyzdžiui, grupuo-

darni): ( x - l ) ( x 2 + 9x + 22) = 0. 2 . ( 1 ; 1; 0 ; - 2 ) . 3 . ( 6 ; 10); (10; 6). N u r o d y m a s . 4 4

Pakeiskite kintamuosius: « = l / x + .v; v = ~]/xy + 2l. S—85. Mažėja intervaluose ]— oo; —1[ ir ]— 1; 0]; didėja intervaluose [0; l'f ir J I ; + oo[; x = 0 - minimumo

taškas ; liestinės lygtis : у = - у Х ~ Щ - · S—86. 1. >>=l/Tcos ( y ' + - y - ) · 2 ·

t

у' = 6Ы2у. 3 . x ( / ) = 22,5 · 2 3 . N u r o d y m a s . Bendrasis diferencialinės lygties

i Ce3k = 45 Ce*" = 90 g a u t o s ' i s t a č l u s t bendrąjį

sprendinį reikšmes / = 3 ir t = 6, reikia apskaičiuoti C ir A.

8 variantas

S—48. 1. 2cos - y - c o s įlt—y-j. 2. 0. S p r e n d i m a s . x(t) = 2 cos (5/+φ), be to,

χ (0) = 2, t.у. cos φ = 1. Toliau, χ ' ( f ) = - Ю sin (5/+<p) ir χ ' (0 )= - 10 sin φ = 0. S-^19.

« { - f ' T ' T · } ' K M * τ ] = [ - * τ ] " [ τ ' · ] - » ' —

maksimumo taškas ; * = y — minimumo taškas. 3) Didėja intervaluose [ y y ! ' r

[ y ; π ] ; mažėja intervale [ θ ; у ] . 4) [ θ ; arba [ y ; π ] , 5) Ne. S - 5 0 . 1 .

a ) 0,28; b ) 4 n - 1 0 . 2. S p r e n d i m a s , arcctg x = -^—arctgx, kadangi ctg ( y -

- a r c t g x j = tg arctg x = x ir 0 < y - a r c t g χ < π . S—51. a ) ( - 1 ) * + 1 + k e Z ' >

b) - ~ Y 2 + n l < · " J y + r r ^ ' k e Z - N u r o d y m a s . Lygtis pakeičiama lygtimi tg 3 x = - l ,

iš kurios sprendinių aibės + n e 2 ^ j reikia atmesti y + y m< m e Z Pa-

vidalo skaičius, su kuriais tg 2x neapibrėžtas; c) ^ y + -Jy-. keZ. S—52. a ) j - Į y +

+ ^.+ ^ . f , keZ. N u r o d y m a s . Žr. 7 var. nurodymą; b) \ ~ + nk· ~ + 2 28 2 L ' L 4 4

+ π/ t j , keZ. S—53. a) y + 2 π Α ; - ^ - + 2πΑ; - ^ - + 2πΑ, AeZ; b) 2πΑ; y + ~ ,

keZ. S—55. 1. N u r o d y m a s . Lygybę F'(x)=f(x), kai x = 0, reikia patikrinti taip

pat, kaip S—15, 8 var. Nr. 2. 2. a) Vx 3 +1 + C; b) 2 x ~ ™ n 2 x + c . N u r o d y m a s . i соч 2. v 3

sin2 X ^ . S—56. a) — 2 ctg ( x + 1) + y sin ( 4 x - 3 ) + x + C ; b) x s i n x + s

+ cos χ — y 1/(1 +2x) 3 + C. N u r o d y m a s , (x s inx ) ' = s i n x + x cos x. S—57. 1. 24,2.

2. 2. S—58. a) 4 ; b) 18,6. S—59. nr3pg, p — vandens tankis, g - laisvojo kritimo pagreitis. S p r e n d i m a s . Sferos dalies, esančios tarp plokštumų, išvestų χ ir χ + Δχ gylyje, plotas lygus Sx = 2nr Δχ, slėgis į šią dalį PxxxSx = 2mpgx hx. Todėl P =

= f 2nrpgdx = 2nrpg - i i Γ=π/·3ρ£·. S—60. a ) - 1 5 - 1 1 ; b) 1 ~ 1 ^ " . S—61. J 2 Io 16 8 o

2 . у - 3 . j — сю; у S — 6 2 . 1. N u r o d y m a s . Funkc i j a neapibrėžta , k a i x e f l ; 3]^,

su k i tomis χ re ikšmėmis su tampa su funkci ja f(x)=x2 — 4x+ 3. 2 . χ+1. 3 . o ( A + 3 ) .

S—63. 1. - I . 2 . j 0 ; y ( u ] 4 ; +co [ . S—64. 1. x=l - m a k s i m u m o t a š k a s .

2 (2x — cos χ ) log, (л:8 — sin χ ) (лг2 —sin χ ) In 2

y p j χ . 3 . Didė ja interva-

1 48 In 2

b) - t g y . 2 . ^ = . + l g 2 + 2 | n l 0

3 . e— I χ 1 ,7183 . S—65. 1. a ) •

1 1 / 2 In 2 + In

luose ]0 ; 0,1] ir [1; + oo[; mažėja intervale (0 ,1 ; 1]. S—66. 1. 7 , 5 - 8 In 2¾ 1,9548.

Γ 21/T 1 2. In 26 —In 7¾ 1,3122. S—67 . 1. Didėja intervale [O; y j + ] J ; mažėja intervale

f

2JCF ; + x f . 2 . 0 ; 1; 9. S — 6 8 . 1 . U 6 ; 2 . 0 , ka i m = - i - ; L 1/3 + 1 L \ 1 3 ! 3 ) 3

(1 - / ; / ) , / e / f , kai /и= — 1; — ; 1 ^ su ki tomis m re ikšmėmis . S—69.

\ 1 — 3/n 1 — im j

0. S—70. a ) (1 ; 6) ; (2 ; 7) ; (3 ; 8) ; b) ( θ ; y ) ; ( y ; y ) . S—71. Aibė pava i zduota

27 paveiksle . S—72. 4 ; 6. S—73. 1. N u r o d y m a s . Abi l ygybės puses pake lk i te

a)

kvadra tu . 2 . 20 %. 3 . + 1 • 1,5. 1/7^2

21 pav.

S—74. 1. 84 c m ; 210 cm 2 . 2 . ] - 4 ; - 3 [ U

U ЬН S—75. 1. + ! . 2. 0 . S—76 . 1. a ) 4 ,31 ; b) 2490; c) 407. 2. 33,7 m ; c4 —9

a bh1 + ah1

J < b (b-A2) 48 ,6 m . S—77. 1. a ) 13 ,0 ; b) 81 . 2. N u r o d y m a s . - f ^ * f 2 < —

b (b + A2) AA1+aA2 α bh,+ah, h, h,

i r ^ T=Idb^hjxΊΓ s ~ 7 8 · ' · (^+2)(2x2+1).

2. |ft|SH,5. 3 . 56. N u r o d y m a s . Pat ikr inkite , ar š aknys egzistuoja (d i skr iminantas

142

2 9 te ig i amas) ir t a ikyk i te Vieto teoremą. S—79 . 1. 4 ; 5 a rba - 11 y ; - 2 — ( j e i g u

9 9 + 6и й9 ir O4 sveikieji ska ič ia i , tai ant rą j į sprendinį reikia atmesti) . 2 . — — —j——. 3 . a ) 1;

b ) 1. S —80. 1. a ) 1 , 6 ; b ) 1 , 5 . 2. a ) -3 ~ * ( l n 3 + cos x )

3. Žr. 28 pav. S—81 . 1. Mažė j a interva-

luose J 0 ; y j ir [e\iV; + co[; didėja

intervale ( у ; еУ e J ; л = y - mini-

mumo t a š k a s ; x = e\Te — maks imumo

taškas . 2 . l / T . N u r o d y m a s . Sakyk i -

me, k a d kūgio, kur io tūr is V, sudaro-

moji , aukšt inė ir pagr indo spindulys

4 · 3"

; b) 1 5 ( ^ - 1 ) ^ 2 - 2 " - 1 ' "

У ,

l ygūs /, A ir r . Tada A = W

S =

= πr/= π г У r 2 + A 2 = nr "Į/r2 + -J

У4

sią funkci jos f ( r ) = r 4 +

18F2

Pakanka rasti mažiau-

9V re ikšmę;

/ ' ( r ) = 4 r 3 - - ; / ' ( , · ) = 0, kai 18K2 = 28 pav.

= 4 π 2 r 6 , t . y . 9Κ2=π2/·4Λ2 = 2π2(-β , iš kur A2 = 2r ir A i r = V T " . Kadang i funkc i j a / 6

mažė ja intervale ]0 ; /„] ir didėja intervale [r0 ; + 00 [ ^kai r0 = ~Į/ ^ 2 j , ta i esant

e* (cos χ -(- sin л ) r = r 0 , funkci ja įgy ja mažiaus ią reikšmę intervale ]0 ; + co[. S—82 . 1. 1-

4

+ C. N u r o d y m a s . Žr. 7 var. nurodymą. 2 . - 1 3 2 - y . S—83. 1. a ) ± 2 . N u r o -

d y m a s . Pakeitę 1=(1/^7+17¾) ' , gauname lygt į y + — = 14, kur ios >> = 7 + 1/48; b) - 2+πΑ , keZ. 2 . a ) 1 1 ; + c o [ ; b ) J y + πΑ ; y + i r f c j , k e Z . S — 8 4 . 1 . - y ;

1. 2 . (1 ; - 3 : 7 ; 2). 3 . (6 ; 3) ; (3 ; 1,5). S—85 . Didėja intervaluose ] - ί ο ; - 1 [ ir ] - l ; 0 ] ; mažėja intervaluose [0; l [ i r ]1 ; + χ [; .v = O — maks imumo t a ška s ; l iestinės lygt is

^ y i + y S—86. 1. v = 4 c o s ( l/T/+ y - j . 2 . y ' = —2 In 3 - ,y. 3 . χ ( t ) =

= 15.40,21 -1 N u r o d y m a s . Žr. 7 var. nurodymą .

S a v a r a n k i š k i k a r t o j i m o d a r b a i

1 variantas

S K - 1 . 1 . 1 0 , 6 6 . . . . 2 . a ) ] — cc ; 2 [ U ] 4 ; + c o [ ; b) 4 ,8 ; 5,2. SK—2. 1. a ) ] 0 ; 3 ] ; b) 2 π Α « Λ ^ π ( 2 Α + 1), k e Z. 2 . a ) Ne lyg inė ; b) nei lyginė, nei ne lyg inė ; c) l yg inė .

3 . Žr. 29 pav. S K - 3 . 2 . / ( 3 y j ; / ( π ) ; / ( 3 , I). S K - 4 . 1. a ) 14; b) 2. S K - 5 . 1 .

a ) b ) 3. 2. a ) ] - o o ; - 2 [ U į

U ] 3; + со [; b) ] - o o ; — 1] U ] 2; 3]./

X S K - 6 . 1. b ) COSX + -1

X -2 ]-<?;2[ 2

f'(x) + 0 — 0 + f(x) 16 4 -¼

max min

2 1 / 7 ; c ) е * ( д г

+ 1). 2 . y = 14x—6. S K - 7 . 1. Mažėja intervale ] — oo; 2]; didėja intervale {2; + oo[; x = 2 — minimumo taškas. 2. Žr. 30 pav. S K - 8 . 1. a ) max f (χ)=

[i; 3] = 9, m i n / ( x ) = 5; b) max f (χ) = 9;

H; 3] [-1; U min / (x ) = 5. 2. 156,25m*. S K - 9 . 2 .

[ - 1 ; U 2 j j

— χ l / T — — cos 2x + C. 3. — Xi + 2x + i 2 4

+ 7. S K - 1 0 . 1. a ) - 2 4 ; b) | . 2 . a ) 4

b)

b)

y ctga; - 2

-tg a .

ab a + b

S K - 1 2 . 1. а ) 16

S K - 1 3 . а ) 1; b) 2 ; c)

b) In 3~ 1,0986. S K - 1 1 . 1. а ) -

1

( - l ) t + 1 - J j + - y , k e Z ; d) 2. S K - 1 4 .

а ) 3: b) į- πη, π + 2πη, n e Z; c) , 3 4

keZ; d) 0,1; 1. S K - 1 5 . а ) 3 ; b) 10;

c) ( - 1 ) " 4τ+π/7, " e Z ; d) ^- + πη; 6 4

arctg 2+πη , ne Z. S K - 1 6 . a ) + 6

+ 7t£<x<y π+nk, keZ; b) γ +π#<

30 pav.

S K - 1 . 1. 1 2 , 0 7 . . . . 2. a ) ] - o o ; 5 [ U U ]9; +oo[ ; b) 2,7; 3,3. S K - 2 . 1. a ) ]0;

1]; b ) - у + 2 т а < х < у + 2 т а , neZ. 2.

a ) Lyginė; b) nei lyginė, nei nelyginė; c) nelyginė. 3 . Žr. 31 pav. S K - 3 . 2 .

/ ( I y ) ; /( l/T); /(1 ,4) . SK—4. 1.

a ) 17; b) 8. S K - 5 . 1. a ) y + - y ^ - ;

b) 16. 2 . a ) ] —3; 5[; b) ] - 4 ; —U U \ i ti [3; + oo[. SK-6 . 1. b) — - s i n x ; c)

\ ( Г - l n x ) . 2 . ^ = 8x + 5. S K - 7 . 1.

Mažėja intervale ] - ° c ; 3]; didėja inter-vale [3; +oo[; χ = 3 — minimumo taškas. 2 . Žr. 32 pav. S K - 8 . 1. a ) max / (χ ) =

t - i ; Π = - 1 ; min / ( χ ) = - 5 ; b) max (/(x) =

t — ii 13 [ -3 : -11 •= - 1; min / ( χ ) = - 5 . 2 . 80m. S K - 9 .

[ —3; — 1]

2. 2 l / T - s i n χ + С. 3 . у χ4 — 1,5хг +

+ 27. S K - 1 0 . 1. а ) 51; b) у . 2 . а ) 2 ;

31 pav.

* i Vi+acI

f'(xy — 0 + 0 —

f(*) V -t 3 n V

min t ' ' 3TB

b) 21.

sin α ;

S K - 1 1 . 1. а ) х+у ; b)

VT S K - 1 2 . 1. а ) 9; b)

- c t g a . S K - 1 3 . а ) 0 ; b) 0 ; с) ± γ π +

+ 2įtk, keZ; d) - 1 . SK-14. а) 5; π (2/1+1) . s π _ . πη

b) y + π/ι, neZ; с) —; 10 neZ; d) 1; 10. S K - 1 5 . а ) - 2 ; b) 2; 8;

c) ±-?-+2π/ι ; +arccos +2π n, n e Z; 3 4

d) —•+Tik; arctg 3 + nk, ksZ. S K - 1 6 . 4

a) — - ^ - + π £ < χ < +ък, keZ; b) 6 6 32 pav.

- ± π + π η < χ ί ί - * + π „ , neZ; c) ] — oo ; - 1 [ U ] 4 ; + o o [ ; d) ] 1,42; 1,5]. 6 6

3 variantas

S K - 1 . 1. 1 5 , 6 . . . . 2. a ) [ - 7 , 5 ; - 6 , 5 ] ; b) 0,5. S K - 2 . 1. a ) ] - c o ; - 5 ] ; b) +

τι ~

+ttk<x<— +nk, keZ. 2. a ) Nei lyginė, nei nelyginė; b) lyginė; c) nelyginė. 3 . Zr. 33

pav. S K - 3 . 2 . / ( 3 π ) ; / ( l 5 ^ - ) ; /(15,1); / (15 , (1 ) ) . S K - 4 . 1. a ) - y ; b) 15 y .

У

~*1 -1 0 1 9 K

33 pav.

S K - 5 . I . a ) I ; b) 2. 2 . a ) ] - 3 ; 3 [ U ] 3 ; 7 [; b ) 2 ; + <*>[. S K - 6 . 1. b) -L cos2 3x 7

; с) 2 1 (cos2 χ In 2 —sin 2x). 2. y=x. S K - 7 . 1. Mažėja intervale ] - c b ; 3 3l/T2

* )—>,0[ 0 ]0;t,5[ |ί5,νβο[

f ( b ) + 0 + 0 —

f(x) 2 J16

max

3]; didėja intervale [3; + oo [ ;x = 3 — mi-

nimumo taškas. 2 . Žr. 34 pav. SK—β.

1. a) max fix)= H; min / ( x ) = Γ—1; 3] / [ - 1 : 3 ]

= - 3 -L; b) min / ( χ ) = — 3 —; di-3 ]0; 4[ 3

VJ džiausios reikšmės nėra. 2 . —-— m s .

S K - 9 . 2 . - M s - T x - j - cos Зх+ С. 3.

- į y V ( 5 x - 1 ) 3 + | . S K - 1 0 . 1. а ) 1 -V T ; b) 2 In 6ж3,5835. 2. а ) 36 ;

34 p a v .

b) - į - . S K - И . 1. a )—; b) ctg a . S K - 1 2 . 2 a

1. а ) 0 ; b) sin2 χ. S K - 1 3 . а ) 5 ; b) 1 y ;

c ) _ 2 L + 7 r / f , , f c e Z ; d ) - ] / l ; ] / l .

S K - 1 4 . а ) 2; b) , /ieZ; c) ;

± y n e Z ; d )4 . S K - 1 5 . а ) 2 ; b ) l ; 16; c) + I n k ; ( - 1 ) ' + keZ; 2 6

d) y + πη; arctg \-+πη, neZ. S K - 1 6 . a ) - ~ π + 2π n<x < - ^-+2π n, neZ-4 -> 6 6 '

. ч 1 π πη π π η _ ,— , W 36* Τ ~ Τ ^ Τ " ' n e Z ' c ) ] 1 ; 3 J ; d ) [ - 4 - 3 ] / Τ ; - 4 + 3 1 / Т ] .

4 variantas

S K - 1 . 1. 11 , 62 . . . . 2. a ) ] -oo; 2 , 8 5 ] U [ 3 , 1 5 ; +°o[; b) - 1 . S K - 2 . 1. a ) ] - 5 ;

— 3] U [1; + oo[; b) + keZ. 2. a ) Nei lyginė, nei nelyginė; 6 6

b) lyginė; c) nei lyginė,, nei nelyginė. 3. Žr. 35 pav. S K - 3 . 2. / ( 2 , (7 ) ) ; f (e); / ( 2 ,

7); f {2 Y j . S K - 4 . 1. a ) 0; b) 20. S K - 5 . 1 . a ) 1; b) 0. 2. a ) ] - 4 ; - 3 [ ; b) [ - 1 ;

+ co[. S K - 6 . 1. b) - - ^ 5 - + 1 , 5 l / T ; c) ' " 2 c ^ ' " / - 2 - ^ = 3x. S K - 7 . 1. Sin 2 2x χ s i n 2 χ I n 5

Mažėja intervale J - 0 0 ; — y j ; didėja intervale J y y ! + x = ~ \ ~ m ' n ' -

146

mumo taškas. 2 . Žr. 36 pav. S K - 8 . 1. a ) max /(дг) = 191; min / ( χ ) = - 6 2 ;

[ - 1 : 3 1 I —i; 3J

b) didžiausios ir mažiausios reikšmės nė-

ra. 2. π α η ' . S K - 9 . 2. 0,5 l n x - | - ( 3 x -

- 1 ) У З х - 1 - f C 3 . j - sin 3x + 1 - j - .

S K - 1 0 . 1. a ) 1 — b ) γ In 5ж

»2 ,4142 . 2. a ) 4,5; b) 1 - ί . S K - 1 1 . 6

1 a) „„.s , „..5 . b> 1 S K - 1 2 дО,5 + дЛ,5 ' in2 Ot

1. a ) 1; b) C t g 2 X . S K - 1 3 . a ) 5 ; b) 4

c) ±—+πη; πη, neZ; d) 3 + 21/T. 6

S K - 1 4 . a ) 1; b) γ +nk; ( - 1)' arcsin y +

f I ГЖ Ч 7 ^ n / < v - 1 π π η

+ nk, k e Z ; c) — ; ( - 1 ) " + ' — + γ - .

neZ; d) - i ; y S K - 1 5 . a) 2; b) 2;

2»; c) πk, keZ; d) у + w ; arctg 1,5 +

+πη, n e Z. S K - 1 6 . a) -ψ+π^<χ<

π 7π Зтг <— + пк, к e Z; Ы — + π / ι « χ < — + 12

+ πη, n e Z; с)

[ - l / T ; 1/Т].

5 variantas

d )

35 p a v .

ж ] -o©;0[ 0 ]0;i,5[ '.5 V.

f(x) — 0 — 0 -h

W 0 j »

min

S K - 1 . 1 . 3 , 6 0 . . . . 2 . a ) ] - o o ; - 6 , 7 ] U

U [ - 5 , 3 ; + o o [ ; b ) 1. S K - 2 . 1 . a )

36 p a v .

[ - 0 0 ; 2] U [4; 5 [; b) - — +2nk^x<

= S - + 2πλ:, k e Z. 2. a) Nei lyginė, nei 6

nelyginė; b) nei lyginė, nei nelyginė; c) lyginė. 3. Žr. 37 pav. S K - 3 . 2.

/ ( 5 y ) ; / ( 2 e ) ; / ( 5 , 5 ) ; / ( 5 , ( 5 ) ) . ^

S K - 4 . 1. a ) 4,6; b ) 7 y . S K - 5 . 1.

a ) 1 ; b ) 16. 2 . a ) ] - c o ; — 2 [ U ] — 2 ;

2 [ U ] 3 ; + o o [ ; b ) ] 9 ; + c o [ . S K - 6 . 1.

5 *

10* 147

X У-.-Ч -1 I - M 0 1 K - M

f'(x) + 0 — 0 — 0 + f(X) J 1 V -t

max min

38 pav.

2.¾

ш -Ч

6 variantas

S K - 1 . I . 7,48. . .

О

39 pav.

b) cos χ + — i = ^ ; c) 3*tg χ f in 3 t g x + V2x-l \

2 · d ) '=4*-9- s k ~ 7 · ч Mažėja intervaluose ] — oo; —1] ir [0; l j ; didėja intervaluose [ - 1 ; 0 ] ir [1; +oo{; X= — 1 ir x = l — minimumo taška i ; x=0 - maksimumo taškas. 2 . Žr. 38 pav. S K - 8 . 1. a ) min / ( * ) = 3 ;

t - l ; 2] max f ( χ ) = 20; didžiausios reikšmės nė-

t - i ; 2] r a ; min / ( x ) = 3. 2. α = ( α - 1 ) + 1 .

1-2; 1[

S K - 9 . 2 . i - t g 3 * - | У ( 3 - х ) ' + С.

3 . 3 —In (χ—5). S K - 1 0 . 1. a ) 36

1 b) 0. 2. a ) 17

3 '

7 '

b) 20. S K - 1 1 . t .

a ) x - y ; b) tg - . S K - 1 2 . 1. a ) 24;

b) — tg 3a. S K - 1 3 . а ) 4; b) 19; c) ± - r + D

+ Ink, keZ; d ) 1 y . S K - 1 4 . а ) 2 ;

π _ „ , π Ink b) у +πη, n e Z", с) пк ; ± — Ч — ,

keZ; d) 1; 5,5. S K - 1 5 . а ) 3; Iog2 1,5;

b) 3; 9; с) Ц-+πη; — arctg4+7tn, neZ; 4

d) - y - a r c t g y + - y . ' e e Z . S K - 1 6 .

а) -γ+2πk<x< j+2nk, k e Z; b) + c) 1 -1 ; ĮĮU

U 13; 5[ ; d ) ] - 6 ; 1[.

2. a) 2,8; 3,2; b) 0,5. SK-2. 1. a) ]-oo; -1 ] ; b) ~—+nk<x<

< y +nk, keZ. 2. a ) Nelyginė; b) lyginė; c) lyginė. 3. Žr. 39 pav. S K - 3 . 2. / ( l j ;

/ (1 ,7) ; / ( l / T ) ; / ( 1 , (7)) . S K - 4 . 1. a ) 2 ; b ) 3 . S K - 5 . 1 . ' a ) 1; b) 7. 2 . a ) ] - 7 ; - 5 [ ; 1 1 1 2 te л:

b) ]7; + oo[. S K - 6 . 1. b) — i — + T — - - ; c) _ . „ , _ , . , + ^ t r 1Og3X-COS2X X COS2 X In 3 COS2 X

У(Зх-2)2

2. y=2x — 6. S K - 7 . 1. Didėja intervaluose ]— oo; - 2 ] ir [2; +oo[ ; mažėja intervale [ - 2 ; 2]; x = — 2 - maksimumo taškas ; x = 2 — minimumo taškas. 2 . Žr. 40 pav.

S K - 8 . 1 . a ) min / (x) = - 2 3 6 ; max / (χ ) = [2; 4] 12; 4]

= 263; b) max / ( χ ) = 7; mažiausios ] - l ; U

reikšmės nėra. 2. α = 1 + ( α - 1 ) . S X - 9 .

2. ctg 4 x - In I 2 - х I + C. 3 . 4

14 (2x + 5) ' + 2 y ^ S K - 1 0 . 1. a )

2 b) 1.

X 0 /

('(χ) — 0 - 0 + f(x) ; n V 0

min

54-!° ; b) 0,75. 2. a ) I O j

S K - 1 1 . 1 . a ) X - I ; b) \ sin 2a. S K - 1 2 .

1. а ) 3 " ; b) - 1 . S K - 1 3 . а ) 5; b) 2 ;

c) 0 ; d) 2. S K - 1 4 . a ) 3 ; b) ~ +

πη , , π πη _ . π + , ( - 1 ) π + τ , « ε ζ : с) у +

+ —; ±~+2ηη, n e Z ; d ) 5 , 2 5 . S K - 1 5 . 4 3

а ) 1; b) - ·, 55 ; с) у +пк ; - у + п к .

к e Z ; d) - у + п к ; + π к, к e Z.

S K - 1 6 . а ) --+πη <χ < - π + π/ι, neZ; 6 6

π b) - - у + т а -

3[ ; d) ]0; 2 [ .

b) — Т-+та<х< ν +πη, n e Z; с) ]2; 12 4

7 variantas

S K - 1 . 1. 2 4 , 4 . . . . 2. а ) ] — со; - 2 , 0 5 [ U U ] — 1,95; + со[; b) ] - » ; - 2 [ . S K - 2 .

40 pav.

У

О

1. а) ]— со ; — Ilu [т = 1 [ U ]1; 2[; b) Т У T T

π + πk, k e Z . 2. a ) Ne-4 4

41 pav.

lyginė; b) nei lyginė, nei nelyginė; c) nelyginė. 3 . Žr. 41 pav. S K - 3 . 2. [2; t < I

S K - 4 . 1. a ) j5, ; b) -1,5. S K - 5 . 1. a ) 1; b) 12. 2. a) ]4; 5[: b) ]2; 5] M J- 1; 9] 12

6 tg S K - 6 . 1. b) hi)

cos· Hi) (Зх + 5)2 (Зх + 5)3 с) t g x Γη 5

2. у = 4х

— 2 у arba ^ = 4х + 6 у . S K - 7 . 1. Mažėja intervale ]Q; e ' ) ; didėja intervale

l " T l . 3

[e ; + oo[; x = - ^ — minimumo taškas. 2 . Zr. 42 pav. SK 8. 1. — — < y <

VT

X -i Π;θί 0 ]0·Λ 1 U M

f'(x) — 0 + 0 + 0 + f(x) -13 0 3

min

<1,5 . 2. 12. S K - 9 . 1. In» χ + С . 2

2,5 tg 2х—0,5. S K - 1 0 . 1. a ) 10; b) -8

2. a ) 21 3 ; » 2T-

43 pav.

а ) л:+1; b) 2 cos a . S K - 1 2 . 1. а )

S K - 1 1 . 1.

a + b V7b '

b) 1. S K - 1 3 . а ) 7; b) 5 ; c) - + πΑ;

±^+nk,keZ; (1)1 ; 5. S K - 1 4 . а ) 5 ; 6 ' π πη T + T

πη Ύ b) -+ π k, k e Ζ; с) 4

η e Ζ; d ) 0,01; 100. S K - 1 5 . а ) - 2 ; - 4 ;

, ч . „ „ П b) 10; c) у + у k e Z; d) — +πη; 4

- a r c t g 1,75 +πη, n e Z. S K - 1 6 . a ) - r + 6

+πk<x<^r +πk; ^r +nk<x<~ + nk, 2 2 6

ksZ; b) ~+πΑ<x< \ π+nk, keZ; 12 4

c) [1; 41; d) ]0; 1[.

8 variantas

S K - 1 . 1. 5 , 329 . . . . 2 . a ) ] - 3 , 2 ; - 2 , 8 [ ; b) ] —3; + oo[. S K - 2 . 1. a ) ]-oo; 1];

b) +πk, keZ. 2 . a ) 4 4

Lyginė; b) nei lyginė, nei nelyginė; c) ne-

lyginė. 3 . Žr. 43 pav. SK—3. 2 . ] - o o ;

1]. SK—4. 1. a ) į ; b) 9,7. S K - 5 . 1.

a ) V T ; b) į j . 2. a ) ] - o o ; - 5 [ U ] 2 ;

+ b) [ - 7 ; —1]U]3 ; + oo[u {2 }.

(2x— 3)2

SK—6. 1. b)

+ 3 sin in

H) ; c)

4 - ( 2 * -4 \

3 +

Ctg X In 2 • 2. y-

= T x - 1 6 arba y=lx+\6. SK—71 1.

Mažėja intervaluose [— oo; 0] ir [2;

+ oo[; didėja intervale [0; 2j ; x = 0 —

minimumo taškas; x = 2 — maksimumo

taškas. 2. Žr. 44 pav. SK—8.

2 .4π . SK—9. 1. sin3 (χ + y j +

+ С. 2. - 0,6 ctg 5* - 1.

SK—10. 1. a ) — 84 , 4 ]/T ; b)

π 1 ~ T - T - 2 - a ) 6 ; b ) H 4 ·

S K - 1 1 . 1. a ) У а - l ; b)

- 4 - sin2 2a. SK—12. 1. а ) 1; 4

b) 1. S K - 1 3 . ' а ) 6 ; b) 7;

. 2πk π „ , π c) - у - ; —+2πk; у + π Α ,

keZ; d) - 2 ; 4. SK—14. а ) 3;

. , . π „ . πΑ 4; b) —— + πη, η e Ζ; с) —-;

4 6 πΑ

, k s Ζ ; d) - 1 ; 5. S K - 1 5 .

а ) —4; 1; b) 10; с) + — +π/,; 4

n e Z ; d) arctg 4 + 3 4

+πΑ; -^r + πk, keZ. SK—16. 4

a) ^-+nk<x< ^rπ + πk, keZ; 4 4

V4 π πη 5π πη

л ε Ζ ; с) ]1; 1,04[U]26; +oof; d) ]0; + c c [ .

* I-O3 - / [ H0[ 0 Ш ; )/;2t 2

fix) — 0 + 0 + 0 — 0 + f(x) -V a V N 4

-IB

min MB min

У

13,5-

Įi 1 2 10 " ·Ί

χ

JS

46··

44 pav.

TIKRINAMIEJI DARBAI

T - 6 . 1 var. 1. a ) 3 cos Зд-; b) , / , , . + . ' , • 2 . - 0 , 5 . 3 . , " = - 3 y . c o s 2 ( x + l ) Sin s ( x + l )

4. —cos α. 5 . sin 4, sin 6, sin 2. 6. a ) 0 ; b) 1. 7 . π ; ; D (arccos) = [ - 1 ; 1]; о

£ (arccos)= [O; π], 8. a ) , k e Z; b) - 2 ± - ^ + 4πΑ, A e Z 9. ± ~ψ=-·

1π πΑ π πΑ Γ , _

Τ + _ 2 " ' 4 ~ + - 2 ~ L ' '

b) - - r · + 2 n k > k e Z • 1 v a r · X· a> — 2 sin 4x ; b) y y . 2 . 1. 3 . sin2 ( 3 * + - J )

, = Z i c o s ( I + φ ) . 4. — 1. 5. , — Υ 2 Χ + * ψ - ΐ £ - . 6. - i ; f ;

i ) ( a r c t g ) = * ; E ( B r c t g ) = J - Y ; γ J . 7 . a ) Ta ip ; b) ne; Z) (arcsin) = [ - 1 ; 1];

£ (arcsin) = I — у ; у ] . 8 . a ) 4 + ( - 1 ) ' - J + 2 πΑ, keZ; b ) ± J + y - . k E z 9.

a ) ± 2]f~2 , I arba II ; ctg α < O, kai kampas α - II ketvirtyje. 10. a ) 0 ; b) +

Tik π ilk 1 _ +-T< T + - T l ' k e Z -

T—7. 1 var. 1. Taip. 2. ~ 3 . a ) -^ - + 4 1 f x * + C ; b) - 0 , 5 cos ( 2 x -4 2 3

X — 3) —tg x + C. 4. 0,2. 5 . 1; 2. 6 . 12,4. 7 . s i n x 2 ; 3 + J sin/2rf/. 8 . 0 ,5 ί 2 + 2/ + 1 -

0

- s i n , . 9 . Σ „ ( 0 ; 2 ) = 1 ^ + ( 4 ) 4 ( 1 ) 4 + . . . + ( ^ i У ) ; I i m S n = J x V x =

= 6,4. 10 .0 ,5 . 2 var. 1. sin ( χ 2 - 3 ) + С . 2. а ) у У х " 5 - — V x t + С ; b) 2 s i n ( 0 , 5 x -

— 1 ) - c t g χ + С. 3 . У 2 х - 1 + 1. 4 . 1 f 5 . S,-S2 +S3 +St. 6 . 18,6. 7 . а ) 0 ; b) 1.

8 . 0 ; - 4 m / s . 9 . 2. 10. 2 6 J .

T - 8 . 1 v a r . 2 . ] 4 ; l [ . 3 . 8 e - + ^ . 4 . , = 1 . 5 4 , - - 1 , - . 6 .

a ) 7 ; b) 3. 7. ] - o o ; 4 [U ] 4 ; + o o [ . 8 . y=0,7e~'lx. 9 . x = - l - maksimumo t a škas ;

x = l - minimumo taškas. 10. Mažėja intervale (0; 1]; didėja intervale [ I ; +co[;

β ( φ ) = [ 0 ; +oo[. 2 var. 2 . ] - ° o ; 1 [U]1 ; +oo[. 3 . - 8 1 n l 0 · ĮO"8*+ — . 4 . 1 . 5 .

4 - In χ +1 . 6. Ioga 2 ж 0,6309; log. Ь = . 7. £>(,) = ] 0 ; + oo[. , = - π χ - * - ' + 2 Ig α

+ e x 8 . , ' = — 1 η 2 · , . 9 . Hiperbolės у= — šaka , esanti koordinačių plokštumos

I ketvirtyje. 10. Mažėja intervaluose ^ y ; l j ir [e; +00].

T—9. 1 var. 2. Taip. 3. (1; 1; 0). 4. ( - 3 ; 1); tiesės susikerta. 5 . Lygiagrečios ir nesutampa. 6. 6. 7. [ - 1 ; 1]. 8. - 1 . 9 . (2 ; 6) ; (6 ; 2). 2 var. 2. Ne. 3. 0 4. Eina per vieną tašką , be to, bent dvi iš jų nesutampa. 5. (—14; 3,5); tiesės susikerta.

6. - 0 , 5 ; 7. y ; 8. 8. - 2 ; 1. 9 . (3 ; 4 ) ; (4 ; 3).

Kontroliniai darbai

K—1. 1 var. 1. a ) 6 c o s 2 x ; b) 6. 3. . 4. -Ц- + 2πΑ, k e Z. 5. N u r o d y -6 2

m a s . h'(x)=~ 3,2 + 2 sin 2 x < 0 , kai ^ s R. 2 var. 1. a ) - 6 s i n 2 x ; b) 0. 3. -^y

4i π + 2 Tik, k e Z. 5 . N u r o d y m a s , h' (x) = 2 cos 2x + 2,5 >-0, kai χ e R. 3 var. 1. a )

' - ; b) 4. 2. , " = - 1 6 y . 3. 4. ± j + 2nk, k e Z. 5 . y + π Α ; y + COS1 (-f)

2 n k . , k e Z. 4 var. 1. a ) — b ) - y 2. , ' = - 8 1 , . 3. π. 4. siniK) ( - D 4 y + π Α , k e Z. S. π + 2 π Α ; y + π Α , Ar e Z.

K—2. 1 var. 1. a ) A e Z ; b) 2πΑ; ± - ^ - + 2πΑ, A e Z . 2. a ) 1 — + 6 2 3 J 4

+Tik; y + πΑ^, k e Z; b) [ - | - + 4πΑ; ^ - + 4πΑ j , A sZ. 3. 0; y . 4. [-2;

- 1 [ U ] 1 ; 2]. 2 var. 1. a ) - - Į L + ^ L , A e Z ; b ) - | + 2 π Α ; ( - 1 ) ' + ' y + π Α , A e Z

2. a ) J — y + π Α ; - y + π Α ^ , A e Z ; b) [ - y + π Α ; + k e Z · 3 · " f ; π · 4 ·

[ 1; У Т [ . 3 var. 1. a ) ( - 1 )* 4 + ^ T . ^ e b ) - ^ + πΑ; x„ + πΑ, A e Z ; x0 = arctg i « o 2 4 3

»0,32. 2. a) Į — - у + 2πΑ; - f + 2πΑ] , A e Ζ; b) ] į + ψ ; у + у - [ , *eZ.

3. у . 4. у · . 4 var. 1. а) keZ; b) y + πΑ; χ 0 +πΑ, A e Z , X0 =

= arctg ( - у ) ж - 0 , 2 4 5 . 2. а ) | ΐ+2πΑ; ^ + 2 π Α ] , AeZ; b) J - - J + Щ ;

π , f , ^ , π „ π 3. у . 4. - у .

К—3. 1 var. 2. 2 c o s x . 3. 1 j . 4. 9,5. 5. У Т - у . 2 var. 2. 2 s i n x . 3.

4,5. 4. 60. 5 . У Т - у . 3 var. 2. x s + y + l l , 5 . 3. 10 j . 4. 1 + y . 5 . 1,5. 4 var.

2 . x 2 - l - 9 4 . 3 . 1 1 . 4 . - = - + - ^ . 5 . 4 . χ 3 3 8 4

К—4. 1 var. 1. а) 2; b) 3. 2. ] 1; 1,5 [. 3. 0,5. 4. ] - о о ; - 1 ,5} . 5. -1—1,75;

- 1 / T [ U ] 2 ; + χ t . 2 var. 1. a) 2; b) 3. 2. j |·; 1 [ . 3. у ; 3. 4. [ - 2 , 5 ; +=•-[.

5. j - у ; - VT[U]]/T; + x [ . 3 var. 1. a) -0,5; b) 1; 2. 2. [0; 0,5[. 3. - 1 ;

3. 4. ] - J ; + « [ · 5. 2a/j + 2a + 2 - Ab ' 4 "> 2' 10'5: * 3"

1; 4. 4. 1 - 1 , 2 5 ; + x[ . 5 o (8 — 5ft) ' 1 4

K—5. 1 var. 1. a ) -e~* (sin x + cos x ) ; - 1 ; b) — ; . 2. 3 - 2 l n 2 x

χ 1,6137. 3 . a ) 5; b) 2. 4. ] 0 ; + x [ . 2 var. 1. a ) e~* (cos χ - s i n * ) , 1; b)

- 1 , 5 . 2. 4—2 In 3¾ 1,8028. 3. a ) 4; b) 1. 4. ] - o o ; 2 [. 3 var. 1. a ) 2* (cosл' In 2 -

- s i n дг); In 2 ; b) —; 12. 2. 2 —In 3 s0 ,9014. 3. а ) 5; b) 0; 1. 4. ] 0 ; + » [ . 4 var. χ

1. a ) 3* (sinл:1п 3 + cosx ) ; 1; b) у ; 18. 2. 6 - 4 In 2¾3,2274. 3.· a ) 8; b) 4.

4 . 1 - х ; 1 [.

К—6. 1 var. 1 . ( 1 ; - 1 ; 2). 3. (2 ; - 1 ) . 4. 2n; у . 2 var. 1 . ( - 1 ; 1; 2). 3.

(3; 2). 4. 0; у . 3 var. 1. (3; 1; 1). 3. (4; 1). 4. ( у +2 πΑ; ( - 1 ) ' + 1 у + π/) ;

( у + 2 π Α ; ( - 1 ) ' y + π / ) , AreZ, /eZ . 4 var. 1. (1; 2; - 2 ) . 3. ^2 у ; 3 у ) .

4. ^ _ 2 Ι + π Α ; ^-+2πή; ( y + π λ : ; - у - + 2π/) , k e Ζ, / e Ζ.

K—7. 1 var. 1. π А, y + π Α , k s Ζ. 2. 1 у . 3 . [ - 1 , 5 ; - 1 [ . 4. 4 cm. 2 var.

IL+nk. -Į+nk, keZ. 2. 1 - I 3 . 1 - 3 ; - 1 ] . 4. 8 cm. 3 var. 1 . ( 1 ; 1). 2 . 6 3

2. a ) 1 - 1 ; 6]; b) ] - Ц - + n k ; J į + п к [ ' k 6 2 3 '

>>=- J y - V~2. 4. arctg j / T . 4 var. 1. (3; 5). 2. a ) ] - o c ; 0,5] U ]5;

+ x [ ; b) [ - y + 2πΑ; 2π*| , A e Z 3. y = ( * — y " ) + V~2~. 4. arctg .

Skyrių kartojimo klausimai

I I I s k y r i u s

- 3 3

21. A. 51 sk. B. a ) = ; D(g) = E(g) = R; b) g(x)=\T7; D(g) = E(g) =

= * ; c) g(x) = y~x~; D(g) = E(g)=[0; + x [ ; d) g ( x ) = - ] f 7 ; D(g)=[0; + x [ ; £4#) = ]— 0]. C. Simetriški / graf ikui tiesės y=x atžvilgiu. 22. A. 51 sk. B.

a ) b) 1,0552; c) ; d) 1,2661; e) f ) - 1 ,4711 . 23. A. 52 sk. B. Sinusui 6 3 3

ir kosinusui : a ) | β | > 1; b) α = ± 1; c) | β Į < 1; tangentui ir kotangentui: a), b) nėra;

154

c) su bet kuriuo a. C. a ) (—1)' arcsin 0,7+rofc, k e Z ; b) ± y + 2πΑ, k s Z ;

c) - a r c t g 2 + п к , k e Z. 24. B . a ) J y + 2 * A ; A: e Z; b) J - y + π Α ;

- £ + « * [ , k e Z; c) [ у Ч - π Α ; k e Z. 25. a ) - ^ - + ( - 1 ) ' - g - + - y · ,

A: e Z; b) - y ± y - +4nk, k e Z; c) y — + y - , k e Z; d) πΑ;, k e Z; e) y +

+ y , k e Z ; f ) — y + π Α , k e Z ; g) y+πΑτ, k e Z; h) y + πΑτ, χ0 + πΑ, k e Z,

x 0 = a r c t g 2 « l , l l ; i) - φ + 2 π Α , keZ, φ=arccos0,6ж 0,927. 26. a ) į

π 2пк 1 , , , . f 5it , π , 1 , _ . 1 1 π пк 1

T T + - I - J ' ' * Į T T + ' - i i H ' t e Z ; c ) J T " 8" + Τ ; T +

+ Τ + ί γ [ ' k e Z > d ) ] τ Γ + 2 π * ; 2 T T + 2 n k I k e Z ; e )

+ n k b H+π*; I e + n k I ' ]ϊ+π*;

τ + π Ι ( [ · ]ί+π*; π+π*[ }Ύ

+

+пк; j у + π λ ; keZ. 27. Α . 50 sk. B. x (/ ) = 5cos ^0,5f+

+ T l ) ' Χ " = ~~ 4 Χ ' D " B e n c ' r a s ' s sprendinys χ (t)=A cos ( у +ф) •

IV s k y r i u s

1. Α . 56 sk. B . a ) Taip ; b) ne. C. a), c), d ) Taip; b) ne. 2 . A. 57 sk. B. 57 sk. C .

V x a - I - I - C . 3 . A. 57 sk. B. a ) x s r 3 x + 7; b) 2+ - ^ y - c o s x . C . a ) + x + 2; b) ( x + l ) V - 2 į ; c) - s t ^ 4. A. 58 sk. B. a) x - ~ - ~ + C ; b ) - - +

3 3 y 2 2 3 χ

+ y x~\/~x+C; c) - y cos Зх—4tg y + C . 5 . A. B. 59 sk. C . a ) - ^ 2 " 1 ;

b) 3,75; c) 3; d) 4. 6. A . 60 sk. B. 60 sk. ; a), b), c) Taip. C. a ) 0 ; b) ! _ ; c ) 6 V 3

7. A . a ) 4,5; b) 20 | ; c) į .

V s k y r i u s

1. A . 68 sk. B. Su a>0. C . 63 sk. 2. a ) - 3 ; b) - į y c) 2 ; d) - 2 ; 1; e) 1; f ) 0 ;

3. 3 . a ) ] - x ; —2Į; b) [0; + » [ ; c) [ - 1 , 5 ; + x [ d) ] - o o ; 1 [U]3 ; + oo[; e) ] - l ;

3[. 4. A . 61 sk. 0 < a < 1; a> 1. B . 61 sk. 5. A . a ) aloe'x=x, x > 0 ; b) log .x j '=

=Iog, I χ l+ log . I y I, x j » 0 ; c) log. — = log. | χ I - log. | у I, x ^ > 0 ; d) Ioga x ' =

Ig χ

=y Ioge χ, x > 0 ; jeigu ^ — sveikas ir lyginis, tai Iog a X*=^Iog a | χ |, x # 0 ; e) j ^ y =

= Iog0X, x > 0 ; f ) log. O x =X 1 χ e S; jeigu 0 < α < 1 arba α > 1 . B . a ) - 2 ; b) - 6 ; c) -3 ,8867 ; d ) 1,2770. 6. a ) - į ; b) 31; c) - l o g , 1 5¾-3 ,9069 ; d ) - 3 ; 5; e) - 2 ; O

5; f ) 0,0001; 1 0 0 . 7 . a ) j o ; 11 y Į ; b) ]-<x>; x0] , х „ = 1 о 8 , 7 г 1 , 7 7 1 2 ; c) ] - 3 ;

— I[U ] 2 ; 4 [ ; d ) ] 4 ; + oo[; e) [0,01, 100 000]. 8. A. 65 sk. B. a ) 1,6094; b) 4,1431; c) 2,1282; d) - 1 , 2 3 7 9 . 9. A. a ) 3e*; b) - 2 * 1 - " ; c) - I n 5 0,2. B*, a ) Mažėja intervale ]— oo; —1]; didėja intervale [—1, +oo[; x = — 1 — minimu-mo taškas ; b) mažėja intervaluose ]— x ; 0[ ir ] 0 ; 1]; didėja intervale [ I ; + x [ , .v=l — minimumo taškas ; c) mažėja in-tervaluose ].— oo; 0] ir . [2; + oo[; didėja intervale [0; 2]; x = 0 — minimumo taš-kas ; x = 2 — maksimumo taškas. 10. A.

1 . h l _ J _ . .v In0,7 ' x - 3 '

2 ( x + l ) + x l n x

67 sk. 11. A. a ) ; b)

c) 2 \/ χ + 1 л:

л -+ 1 - 2 x (дг + 2) In (дг + 2) _ ' (.v+ 2) (.v2 + I)2 · ' a '

Mažėja intervale

tervale į у , +со

0; —1; didėja in-e J

1 . . X= — — minimu-

e mo taškas ; b) mažėja intervale ]0; 2]; didėja intervale [2; +oo[ ; x = 2 - mini-mumo taškas ; c) mažėja intervale ]0; e]; didėja intervale [e; +oc [ ; x — e — mini-mumo taškas. 12. A.—B. 68 sk.

Vl s k y r i u s

I. A. 72 sk. ir K M - 8 . B. Pavyzdžiui, а ) л-2= - 1; χ 2 + , 2 = - 1; b) x 2 = 0 ; д-2 + + >,2 = 0; c) .v=| χ I; .v—,= I. C . a ) Be galo daug ([0; +oo[) ; b) du. 2. A. B. 72 sk. ir K M - 8 . 3. A. 72 sk. B. Siste-mos sprendinių aibė yra sistemą suda-rančių lygčių sprendinių aibių pjūvis. 4. A. B. 72 sk. C. a ) - b) Taip ; c) ne. 5. A. 73 sk. B. a ) (1; 2) ; b) (1,1; 0) ; c) ( 1 - / ) ; (1+3/; 2/), teR. 6. A. a ) ( - 4 ; - 2 ) ; ( - 2 ; - 4 ) ; b) ( I , 4 ) ; ( - 1 ,

- 4 ) ; с) ( б ; į); d) (f + πΑ; - f -- π Α j , A e Z. 7. A. 75 sk. B. Pavyzdžiui,

а) x 2 < 0 ; x 2 + > , 2<0; b) х ' + ^ Ч О ; c) x<\x\; x—2y>0. 8. A. 75 sk. B. Nelygybių sistemos sprendinių aibė yra sistemą sudarančių nelygybių sprendinių aibių pjūvis. C. Žr. 45 pav.

9 . а ) Г y>x\ b ) / x > 0 , c) i I χ Į < 2, d) i , S = X 2 - I ,

\ , < 4 ; j y^O, I |>'N2; \ ,*ξχ2 + 1 .

I х + , ^ 3 ;

10. a ) (1 ; 1); pusplokštumės turi vieną bendrą t a šką ; b) lygiagretainis ( jo \iršūnės M (5 ; 7) ; A/(5; 11); M ( - 5 ; - 9 ) ; M ( - 5 ; 13); c) 0 ; pusplokštumės nesusikerta.

Egzamino galimi variantai

1 var. 1. 2 ; ; - y . 2 . ] l o g 3 2 ; +oo[. 3 . y . 4. Mažėja intervale j o ; y j ; didė-

j a intervale f — ; + cof; x = ~ minimumo taškas. 5 . 4 c m ; 21—cm 3 . 2 var. 1. I I e 3

y + π Α ; y + π Α , k e Z. 2. 2,25. 3 . ]3; 5[. 4 . (2 ; 1). 5 . V X 2 T r d m 2 . 3 var. 1.

1,5. 2 . 2 cos α ; ± - ^ + 2 π Α , A e Z. 3 . e ; — . 4. Mažėja intervaluose ] - a c ; 0] j y e

ir [2; + oo[; didėja intervale [0; 2]; x = 0 - minimumo taškas ; x = 2 - maksimumo

taškas. 5. 2 x 2 x 2 ( d m ) . 4 var. 1. ] - o o ; 0 [ U ] 6 ; 8]. 2. [ ^ - y +πλ- J , A e Z

3. x 2 + 3 l n x + C 1 ; kai x > 0 ; x 2 + 3 I n ( - x ) +C 2 , kai x < 0 . 4. 2. 5 . 2 cm. 5 var. 1. π + 2πΑ; - 2 χ „ + 2πΑ, A e Z ; X0 = a rc tg0 ,4 »0 ,38 . 2. (1; - 1 ; 2) 3. 4,5. 4 . ] l , 5 ; 4[.

5. 5 j/Tcm; ю У Т с т . 6 var. 1. ^+2nk, keZ. 2. ]I; 1,5[. 3. , = - 2 x + l .

5 . 85 ! cm3. 7 var. 1. 5 ' . 2 . Didėja intervale ] - o o ; 3[. 3 . ( - I ) t + 1 -π- +πΑ, j 3 6

k e Z. 4. ]— со; 0,5[. 5 . З е т . 8 var. 1. J 0 ,2 ; +оо[. 2 . t g 2 a - l ; 0. 3 . 5. 4 . 1

5 . 4 c m ; 4 с т .

T U R I N Y S

P r a t a r m ė 3

S a v a r a n k i š k i d a r b a i 5

S a v a r a n k i š k i k a r t o j i m o d a r b a i 71

T i k r i n a m i e j i d a r b a i 101

K o n t r o l i n i a i d a r b a i 1 0 8

S k y r i ų k a r t o j i m o k l a u s i m a i 118

V i d u r i n i o m o k s l o b a i g i m o a l g e b r o s ir a n a l i z ė s p r a d m e n ų e g z a -

mino g a l i m i v a r i a n t a i 125

, M o k o m o s i o s m e d ž i a g o s , a t i t i n k a n č i o s s a v a r a n k i š k ų ir k o n t r o l i n i ų

d a r b ų t u r i n į , r o d y k l ė 1 2 9

A t s a k y m a i ir n u r o d y m a i 1 3 0

Borisas Ivlevas, Samelas Savkianas, Borisas Sorokinas, Semionas Svarcburdas

A L G E B R O S IR ANALIZES PRADMENŲ DIDAKTINE MEDŽIAGA X I - X I I klasei

Redaktorė L. Rasimavičienė Viršel is J. Andrėjaičio

Techn. redaktorė N. Balanoškienė Men. redaktorė L. Prialgauskaitė

Korektorė M. Seškuvienė Министерство просвещения Литовской CCP

Борис Михайлович Ивлев, Самвел Манасович Саакян, Борис Ва-лентинович Сорокин, Семен Исаакович Шварцбурд

ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И Н А Ч А Л А М А Н А Л И З А

для X I - X I I классов

На литовском языке Литовская ССР. 233000, Каунас, пр. Ленина, 25, издательство

«Швиеса* Н/К

Duota r inkti 87 . 03 . 19 . Pasirašyta spaudai 87.10L23. Formatas 60 X 90'/i6, popierius spaudos Nr. 2. Romaniška garnitura, 10 punktų. Ofsetinė spauda. 10 sąl . sp. t . , 1 0 , 2 sąl. spalv. atsp. , 7 , 1 5 apsk. leid. 1. Tiražas 30 000 egz. Užsakymo Nr. 668. Leid. Nr 10893

Kaina 20 kp Leidykla „Šviesa", 233000 Kaunas, Lenino pr. 25

Rinko K. Požėlos spaustuvė, 233000 Kaunas, Gedimino 10 Spaudė V . KapsukoMickevič iaus spaustuvė, 233000 Kaunas,

Lenino pr. 23 . Užsakymo Nr. 1 8 7 1

A1-103 Algebros ir analizės pradmenų didaktinė medžiaga XI—XII klasei: Knyga mokytojui /B. Ivlevas, S. Sa-kianas, B. Sorokinas ir kt.—K.: Šviesa, 1987—158 p., iliustr.

Knyga parengta pagal Λ. Kolmogorovo ir kt. mokymo priemonę I X - X I kl. „Algebra ir analizės pradmenys" (1986 m.).

4 3 0 6 0 2 0 0 0 0 — 1 9 6 BBK 22 .14z72

M 8 5 3 ( I 0 ) — 8 8 W s a k · — 8 7 5 12(075)

Algebros Ir Analizes Pradmenu Didaktine Medziaga 11-12 Kl. (1988)

Documents

Transcript of Algebros Ir Analizes Pradmenu Didaktine Medziaga 11-12 Kl. (1988)