Ako staríci počítali π

Zbyněk KubáčekKatedra matematickej analýzy a numerickej matematiky

Fakulta matematiky, fyziky a informatikyUniverzity Komenského v Bratislave

Liu

Hui

(oko

lo 2

20 -

280)

Bhaskara (1114-1185)

Dža

mší

d G

hijá

th a

d-D

ín a

l-Káš

í (cc

a 13

80-

1429

)

Willebrord Snell (1580 - 1626)

Chris

tiaan

Huy

gens

(1

629-

1695

)

Archimedes (asi 287 -212 pred n.l.)

odhadnúť π obvodmi pravidelných n-uholníkov vpísaných do kruhu

s priemerom 1 a opísaných tomuto kruhu

pravidelný n-uholník opísaný kružnici s priemerom d má stranu dĺžky pravidelný n-uholník vpísaný do tejto kružnice má stranu dĺžky

Základná myšlienka

Súvisí to s trigonometriou

𝒗𝒏<𝜋<𝒐𝒏

𝑑2 𝑎𝑛

2𝐴𝑛

2180 ° /𝑛180 ° /𝑛

Ako presne sa dá určiť číslo π z hodnôt sin 1° a tan 1°

s rastúcou hodnotou n sa čísla a stále menej líšia od

s rastúcou hodnotou n sa čísla a stále menej líšia od

𝒗𝟏𝟖𝟎=180∙ sin 1 °=𝟑 ,𝟏𝟒𝟏 433158…

𝒐𝟏𝟖𝟎=180 ∙ tan 1 °=𝟑 ,𝟏𝟒𝟏 911687…

v stupňoch

v radiánoch

Archimedes: O meraní kruhu3. st. pred n. l.

𝟑𝟏𝟎𝟕𝟏

<𝝅<𝟑𝟏𝟕

Archimedes pracoval s prevrátenými hodnotami a

Poznal a

t.j.

, t.j.

Použil vzťahy

a vypočítal postupne , , ,

Potom použil vzťahy

a vypočítal postupne , , ,

1,732 050 808 2,000 000 0003,732 050 808 3,863 703 305

7,595 754 113 7,661 297 57615,257 051 688 15,289 788 29930,546 839 987 30,563 203 909

3,142 714 600 3,141 031 951

𝟗𝟔 ∙𝐭𝐚𝐧𝟏𝟖𝟎°𝟗𝟔

𝟗𝟔 ∙𝐬𝐢𝐧𝟏𝟖𝟎°𝟗𝟔

kontrola

Keď už poznáme tvar Archimedových vzťahov, nie je ťažké overiť ich použitím goniometrie (t.j. po boji je každý generálom)

1𝐴2𝑛

=1𝐴𝑛

+√1+( 1𝐴𝑛)2 dosadíme ,

označíme

cot𝛼=cot 2𝛼+√1+(cot 2𝛼 )2

cot 2𝛼+√1+(cot 2𝛼 )2= cos2𝛼sin 2𝛼

+√1+( cos2𝛼sin 2𝛼 )

2

⏟¿

(sin 2𝛼 )2+( cos2𝛼 )2

(sin 2𝛼 )2

= cos2𝛼sin 2𝛼

+√ 1

(sin 2𝛼 )2

dostaneme

upravíme

tešíme sa¿ cos2𝛼+1sin 2𝛼

=2 (cos𝛼 )2

2sin𝛼 cos𝛼= cos𝛼sin𝛼

Liu Hui – Liou Chuej (okolo 220 - 280)劉徽

Liou Chuej vychádzal z obsahu kruhu

obsah  pravideln é ho  2n −uholn í ka  vp í san ého  do  kruhu   s   polomerom  𝟏=𝟏𝟐∙obvod   pravidelné ho  n− uholn í ka  vp ísan é ho  do   tohto  kruhu

A

BC

D

E F

T

U

V

X

Y

Z

S

P

jeho postup pri postupnom výpočte strán n-uholníkov vpísaných do kruhu s polomerom 1 zodpovedá vzťahu

, , , najprv vypočítame pomocou a , odtiaľ nájdeme a napokon z a vypočítame

kruh s polomerom 1 má obsah π

Poznámočka: Liou Chuejov vzťah

možno upraviť na tvar

Ten používal pri výpočte strán vpísaných n-uholníkov indický matematik

Bhaskara (1114-1185)

𝒂𝟐𝒏=√𝟐−√𝟒− (𝒂𝒏 )𝟐

BC

U

S

X

Späť k Liou Chuejovi: Odhad zhora

rozdiel medzi obsahom vpísaného 2n-uholníka a vpísaného n-uholníka

ak tento rozdiel pridám k obsahu vpísaného 2n-uholníka, dostanem obsah väčší ako je obsah kruhu

𝑃2𝑛<𝜋<𝑃2𝑛+( 𝑃2𝑛− 𝑃𝑛)

obsah vpísaného pravidelného 2n-uholníka

obsah vpísaného pravidelného n-uholníka

𝝅 ≈𝟑𝟓𝟓𝟏𝟏𝟑

Zu Chongzhi - Ču Čungdži (429-501)

祖沖之

Archimedes počítal obvod pravidelného 96-uholníka (), Ču Čungdži obvod pravidelného 12 288-uholníka ()

3 ,141  592  6<𝝅<3 ,141  592  7

Rekonštrukcia objavu hodnoty

0 b

ar

s b + s

a + r

𝒂𝒃

<𝒓𝒔

𝒂𝒃

<𝒂+𝒓𝒃+𝒔

<𝒓𝒔

𝒂 ,𝒃 ,𝒓 ,𝒔>𝟎ak

a

tak

3𝑥𝑥

<𝜋<22 𝑦7 𝑦

potom aj 𝟑𝒙+𝟐𝟐𝒚𝒙+𝟕 𝒚

je medzi 3 227

a

chceme, aby približne platilo

𝟑𝒙+𝟐𝟐𝒚𝒙+𝟕 𝒚

=𝟑 ,𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔

vieme, že 3<𝜋<227

teda pre každé prirodzené

𝟑𝒙+𝟐𝟐 ∙𝟏𝟔𝒙𝒙+𝟕 ∙𝟏𝟔𝒙

=𝟑+𝟐𝟐 ∙𝟏𝟔𝟏+𝟕 ∙𝟏𝟔

=𝟑𝟓𝟓𝟏𝟏𝟑

Džamšíd Ghijáth ad-Dín al-Káší کاشانی جمشید غیاث‌الدین

(cca 1380-1429) Al-Risála al-muhítíja (Traktát o obvode kruhu), 1424

strana pravidelnéhon-uholníka

vpísaného do kružnice =

A S

X

B

 360 °

𝑛1

𝒂𝒏=√𝟒− (𝒃𝒏 )𝟐

Al-Káší počítal hodnotu 2π, preto jeho postup opíšeme pre kruh s polomerom 1 (ktorého obvod je 2π).

Al-Káší odvodil vzťah medzi „doplnkovými“ tetivami a

t.j.

𝑏6=√3 𝑏12=√2+√3 𝑏24=√2+√2+√3

𝑏48=√2+√2+√2+√3 𝑏96=√2+√2+√2+√2+√3

crd   𝛽=2sin𝛽2

2sin180° −

360 °2𝑛

2=√2+2sin 180 °− 360 °𝑛

2

2cos180 °2𝑛

=√2(1+cos 180 °𝑛 )𝑥=

180 °2𝑛

, t.j.

Aj teraz môžeme robiť múdrych pomocou goniometrie:

dosadíme

dostaneme

upravíme

označíme a máme

šťastní zomierame

crd(180 °− 360 °2𝑛 )=√2+crd(180 ° − 360 °𝑛 )do

Al-Káší • začal s „doplnkovou“ tetivou k strane

pravidelného 6-uholníka • opakovaným použitím svojho vzťahu našiel

dĺžku „doplnkovej“ tetivy k strane pravidelného -uholníka

• vypočítal pomocou Pytagorovej vety dĺžku strany vpísaného pravidelného -uholníka

• tú vynásobil číslom

Tak (spolu s odhadom zhora pomocou obvodu opísaného pravidelného -uholníka) našiel prvých 15 cifier za desatinnou čiarkou v zápise čísla 2π.

počet strán vpísaného -uholníka

dĺžka „doplnkovej“ tetivy polovica obvodu vpísaného -uholníka (dolný odhad čísla π)

6 1,732 050 807 568 877 293 5 3,000 000 000 000 000 000 024 1,982 889 722 747 620 822 3 3,132 628 613 281 238 197 296 1,998 929 174 952 731 288 9 3,141 031 950 890 509 638 1

384 1,999 933 067 834 802 206 9 3,141 557 607 911 857 645 51 536 1,999 995 816 717 800 362 1 3,141 590 463 228 050 095 76 144 1,999 999 738 544 777 074 1 3,141 592 516 692 157 447 6

24 576 1,999 999 983 659 048 233 3 3,141 592 645 033 690 896 798 304 1,999 999 998 978 690 513 3 3,141 592 653 055 036 841 7

393 216 1,999 999 999 936 168 157 1 3,141 592 653 556 370 963 71 572 864 1,999 999 999 996 010 509 8 3,141 592 653 587 704 346 36 291 456 1,999 999 999 999 750 656 9 3,141 592 653 589 662 682 7

25 165 824 1,999 999 999 999 984 416 1 3,141 592 653 589 785 078 7100 663 296 1,999 999 999 999 999 026 0 3,141 592 653 589 792 728 5402 653 184 1,999 999 999 999 999 939 1 3,141 592 653 589 793 206 6805 306 368 1,999 999 999 999 999 984 8 3,141 592 653 589 793 230 5

z obvodu vpísaného a opísaného pravidelného -uholníka (teda 4 611 686 018 427 387 904-uholníka) našiel π s presnosťou na 35 desatinných miest (podľa neho sa π niekedy nazýva Ludolfovo číslo).

Ludolph van Ceulen (1540-1610)

Willebrord Snell (1580 - 1626)

Christiaan Huygens (1629-1695)

nebolo treba až tak sa namáhať

1621 ukázal van Ceulenov žiak Willebrord Snell, že rovnakú presnosť možno dosiahnuť s podstatne menším množstvom výpočtov.

Nerovnosti 𝑣𝑛<𝜋<𝑜𝑛

možno nahradiť presnejšími odhadmi

𝒗𝒏+𝟏𝟑 (𝒗𝒏−𝒗𝒏/𝟐 )<𝝅<

𝟐𝟑𝒗𝒏+

𝟏𝟑𝒐𝒏

Jeho úvahy doplnil a precízne dokázal v r. 1654 Christiaan Huygens.

Dokážete priradiť k textu vzorec?

𝝅<𝟐𝟑𝒗𝒏+

𝟏𝟑𝒐𝒏𝒗𝒏+

𝟏𝟑 (𝒗𝒏−𝒗𝒏/𝟐 )<𝝅

Christiaan Huygens: De circuli magnitudine inventa (1654)

6 3,000 000 000 00 3,464 101 615 14

12 3,105 828 541 23 3,215 390 309 17 3,141 104 721 640 332 3,142 349 130 544 657

24 3,132 628 613 28 3,159 659 942 10 3,141 561 970 631 568 3,141 639 056 219 993

48 3,139 350 203 05 3,146 086 215 13 3,141 590 732 968 744 3,141 595 540 408 390

96 3,141 031 950 89 3,142 714 599 65 3,141 592 533 505 057 3,141 592 833 808 796

192 3,141 452 472 29 3,141 873 049 98 3,141 592 646 083 780 3,141 592 664 850 249

384 3,141 557 607 91 3,141 662 747 06 3,141 592 653 120 656 3,141 592 654 293 521

768 3,141 583 892 15 3,141 610 176 60 3,141 592 653 560 472 3,141 592 653 633 775

1 536 3,141 590 463 23 3,141 597 034 32 3,141 592 653 587 961 3,141 592 653 592 542

3 072 3,141 592 106 00 3,141 593 748 77 3,141 592 653 589 679 3,141 592 653 589 965

6 144 3,141 592 516 69 3,141 592 927 39 3,141 592 653 589 786 3,141 592 653 589 804