Rotation En stel kropp (rigid body) har oföränderlig storlek och form. Ofta är detta en god approximation.

rotation kring en fix axel (fix relativt kroppen och fix i riktning relativt ett tröghetssystem)

likformig cirkulär rörelse om:

rθ

x

y.)( konst

dttd == θω

accelererad cirkulär rörelse:

dtdωα =

.konstomtdtd ==∆⇒=∫ ∫ ααωαω

Exempel i 2-dim:

2

2

00attvxx ++=

atvv += 0

.konsta =tαωω += 0

.konst=α

2

2

00tt αωθθ ++=

rvrar

22 ==ω rat α=

ra

ta

22raaa

t+=

vinkelacceleration:

rullning utan acc.

perfekt rullning; i punkten p, v = 0

PR

TRvc ωπ==

2Rvvv rcu ω2=+=

0=−= rcd vvvvid acceleration?

viken verkan har friktionen?

( ) 2222 αω rra +=

rotationsenergi och tröghetsmoment

( )∑∑ ==i

ii

i

ii rmvmK22

22 ω

2

21 ωIK = ∑=

iiirmI 2

I= tröghetsmoment kring en given axel

v

m I

ω

partiklar som endast roterar (kring fix axel med vinkelhastighet ω)

rθ

x

y

IkonstIK 1.

21 22 ∝⇒== ωω

I: mått på massans fördelning

parallellaxelteoremet

Acom

skivan roterar kring A

22

22ωcom

comrelcomIvMKKK +=+=

h

( ) 2221 ωω MhIKhv comcom +=⇒=

( )2MhII com +=

2

21 ωIK = ∑=

iiirmI 2

∫= dmrI 2

partikelsystem kropp med utsträckning

Tröghetsmoment

rot. energi

se tex Physics handbook F 1.8

12382

322

222/

0

32/

0

22 MLMLLMxdx

LMxdmrI

LL

=⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫

33

2

0

3

0

22 MLLMxdx

LMxdmrI

LL

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫

242 2

0

4

20

22

00

2 MRrhRMhrdr

VMrddzdmrI

RRh

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫∫∫ π

πφπ

med indragna armar minskar tröghets-momentet och vinkelhastigheten ökar

kinetisk energi vid rullning:

PR

TRvc ωπ==

2Rvvv rcu ω2=+=

0=−= rcd vvv

22

22ωcom

comrelcomIvMKKK +=+=

( )4

32

2/2

222

22 RMMRRMK ωωω =+=rullande hjul

Mgh23

4Rgh

f =ω

rullande hjul

vinkelhastigheten beror av radien

I, för hjul ≈solid skiva

⇒= fKMghenergikonservering:

.3

4,34

2 konstghvRvRgh

ffff ==⇒== ωω

Föremål med samma massfördelning (t. ex. solida cylindrar av olika densitet eller olika radier ) har samma translationshastighet.

MEN en ihålig cylinder (I=MR2) och en solid cylinder (I=MR2/2) tar sig ned för planet på olika tid.

rotationsdynamik

r1 r2

F2F1

F2r2=F1r1

jämvikt dvs. inget vridmoment (eng. torque)

kring A om:A

r1 r2

F2

F1

A

endast kraftkomponenten vinkelrätt mot bjälken

bidrar till vridmomentet

FrFr ⊥==×= θτ sinFrτ

θsinrr =⊥

θ

θθ

αατα IrmFrrmamF iiitiiitiit ===⇒== 2

xrθ itF

ατ I=

analog till F=ma: vridmomentet ger en

vinkelacceleration Tröghetsmomentet är ett

mått på kroppens motstånd mot (rotations)

förändring

1) fix axel position+ riktning

2) fix i riktning och går genom masscentrum

transversellt riktad kraft på partikel i

Specialfall; likformig cirkulär rörelse

generellt!

arbete:

rθ itF

tangentiell kraft; arbete förflyttning i kraftens riktning

θτθ ddrFdsFdW tt ===

vF ⋅==== PjmfrdtdP

dtdW .τωθτ

dtd

ddI

dtdII θ

θωωατ ===

ωωθτ dIddW ==

( )22

2 if

f

i

IdIdWW ωωωωω

ω

−=== ∫∫arbetet resulterar i en

ändring av den kinetiska energin.