9.3 Formula roؤ‘enja i smrti – eksponencijalni model 9.3 Formula roؤ‘enja i smrti...

download 9.3 Formula roؤ‘enja i smrti – eksponencijalni model 9.3 Formula roؤ‘enja i smrti – eksponencijalni

of 38

  • date post

    01-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of 9.3 Formula roؤ‘enja i smrti – eksponencijalni model 9.3 Formula roؤ‘enja i smrti...

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    SMO (sistem masovnog opsluživanja)SMO (sistem masovnog opsluživanja)SMO (sistem masovnog opsluživanja) SMO (sistem masovnog opsluživanja)

    j – trenutni broj poslova (zahteva) u sistemu, stanje sistema

    k i i jn – kapacitet sistema j ≤ n, n≤+∞

    λj – intenzitet prispeća zahteva kada u sistemu postoji j zahteva (λn=0 - kada je sistem, pun ne može nijedan posao da dođe u sistem)

    μj – intenzitet odlazaka (μ0 = 0 - kada je sistem prazan nema odlazaka)

    U opU opštem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog štem slučaju, intenziteti prispeća i opsluživanja su zavisni od trenutnog

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    1

    pp j , p p p j gj , p p p j g stanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo stanja sistema, tj. trenutnog broja zahteva u sistemu (zato pišemo λλjj, , μμjj ))

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    Dijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanjaDijagram prelaza stanja

    Sj - stanje sistema kada u njemu ima j zahteva; Sj 1 prethodno stanje;Sj-1 prethodno stanje; Sj+1 sledeće stanje (posmatramo susedna stanja)

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    2

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    EksponencijalniEksponencijalni modelmodel rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDMS/EBDMEksponencijalniEksponencijalni model model rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDMS/EBDM –– Exponential Birth Death ModelExponential Birth Death Model))

    Posmatramo sistem konačnog kapaciteta n koji se može naći u jednom od n+1 diskretnih stanja gde je Sj stanje sistema kada u sistemu ima j zahtevadiskretnih stanja, gde je Sj stanje sistema kada u sistemu ima j zahteva, j∈{o,1,…,n}, n≤+∞. Prosečan intenzitet prispeća zahteva λj, λj≥0, j=0,1,..,n-1, λn=0 Prosečan intenzitet odlazaka zahteva μj, μj≥0, j=1,2,..,n, μ0=0μj, μj , j , , , , μ0 p0 + p1 + ... + pn = 1

    ( )( ) i

    ttP i t e λλ − ⋅⋅= ⋅

    Izraz za Poisson-ovu raspodelu za male vremenske intervale i male i št j ij M kl d

    ( , ) !X

    P i t e i

    = ⋅

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    3

    priraštaje vremena razvijamo u Maklorenov red:

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    EksponencijalniEksponencijalni modelmodel rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDM)S/EBDM)EksponencijalniEksponencijalni model model rorođđenjaenja ii smrtismrti (EM(EMRRS/EBDM)S/EBDM)

    ( )( , ) !

    i t

    X tP i t e

    i λλ − ⋅⋅= ⋅

    dt→0 Px(0,dt)= ≈1-λ·dt Px(1,dt)=

    !i dte λ− ⋅

    ( ) ( )21dtdt e dt dt dt dt dtλλ λ λ λ λ λ− ⋅⋅ ⋅ ≈ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ≈ ⋅ Px(i,dt) ≈0, za i>1

    Sistem, dakle, nikad ne pravi direktne prelaze u stanje koje se po broju poslova razlikuje od polaznog za više od jedan

    ( ) ( )

    poslova razlikuje od polaznog za više od jedan.

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    4

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    Posmatramo vremenski interval 1/λ između 2 događaja i određujemo verovatnoćuPosmatramo vremenski interval 1/λ između 2 događaja, i određujemo verovatnoću prelaska iz tekućeg stanja Sj u susedna stanja:

    P[j→j+1]=Pj·λj dt - (verovatnoća da se nalazi u stanju Sj pomnožena verovatnoćom stizanja novog zahteva)

    S j

    p j g ) p0+p1+p2+…+pn=1

    P[j→j-1]= Pj·μj dt - (verovatnoća da se nalazi u stanju Sj pomnožena verovatnoćom odlaska starog zahteva)

    j

    Određujemo verovatnoću zaticanja sistema u stanju j: 1. Ako je bio u tom stanju i nije se desila nikakva promena (bio i ostao) 2. Došao u stanje j, u dva smera: • iz prethodnog, tako što je došao zahtev

    • iz sledećeg tako sto je opslužen zahtev• iz sledećeg, tako sto je opslužen zahtev

    pj(t+dt)=pj{1-Pr[ odlaska iz stanja j ]} + P[dolazak u stanje j u toku dt], j=1,…,n-1

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    5

    verovatnoća da se ne pojavi ili ne opsliži nijedan zahtev

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    Izvodi verovatnoća stanja:

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    6

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    Pretpostavka da je proPretpostavka da je proššlolo dovoljnodovoljno vremena da bi sistem uvremena da bi sistem uššao uao u

    λj-1

    jj 1

    p j pp j p jj ravnoteravnotežžno stanje tj. nastupila je no stanje tj. nastupila je STOHASTISTOHASTIČČKA RAVNOTEKA RAVNOTEŽŽAA::

    μj

    jj-1

    U stacionarnom režimu važi ravnoteža

    Jednačina ravnoteže Jednačina ravnoteže (balansa) saobraćaja:(balansa) saobraćaja:

    saobracaja

    pj-1· λj-1 = pj · μj

    ppjj--11·· λλjj--11dtdt - verovatnoverovatnoćća a prelaskaprelaska iziz stanjastanja jj--11 u u jj ppjj ·· μμjj dtdt -- verovatnoverovatnoćća a prelaskaprelaska iziz stanjastanja jj u u jj--11

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    7

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    0, 0,1, 2, ...,j dp

    j N dt

    = = ⇒

    0 1 0

    1

    ·1

    p p λ μ

    λ λλ

    = ⋅

    0 11 2 1 1 1 0 0 1 0

    2 2 1 2

    j 1

    1 [( )· · ] · · ·

    1 ·

    j i

    p p p p p

    p p p

    λ λλ λ μ λ

    μ μ μ μ

    λ λ −

    = ⋅ + − = =

    − ⎡ ⎤ = = ⋅⎢ ⎥Πj j 1 0

    1j

    · i i

    p p p μ μ− =

    = = ⋅⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Π

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    8

  • 9.3 Formula rođenja i smrti – eksponencijalni model

    Formula rođenja i smrtiFormula rođenja i smrti FRSFRSFormula rođenja i smrti Formula rođenja i smrti -- FRSFRS

    0 1

    1 n

    k k

    p p =

    + =∑ 1

    0 1

    1

    1

    k

    n k i

    p λ

    =

    = +∑Π

    11

    1

    1 ik i

    j i

    μ λ μ

    ==

    +∑Π

    Π 1

    1

    1 1 1

    i i j n k

    i

    k i i

    p μ λ μ

    =

    = =

    = + ΣΠ

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    9

  • 9.4 Parametri sistema i njihove veze

    11 ProsProsečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)ečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)::1.1. ProsProsečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)ečan broj poslova u sistemu masovnog opsluživanja (SMO)::

    0 1

    n n

    j j j j

    J j p j p= ⋅ = ⋅∑ ∑

    2.2. Produktivnost sistema (throughput), protok zahteva kroz sistem:Produktivnost sistema (throughput), protok zahteva kroz sistem:

    0 1j j= =

    1 Pretpostavka je da nema Pretpostavka je da nema nagomilavanja posla, nagomilavanja posla, λλnn=0=0 , tj. , tj. sistem odbija nove zahteve kada sistem odbija nove zahteve kada je punje pun

    1

    0 0

    n n

    j j j j j j

    X p pλ λ −

    = =

    = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ je punje pun

    Ako ne bi postojalo odbijanje Ako ne bi postojalo odbijanje zahteva bilo bi zahteva bilo bi λλnn≠≠000 1

    n n

    j j j j j j

    p pμ μ = =

    = ⋅ = ⋅∑ ∑

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    10

    nn

  • 9.4 Parametri sistema i njihove veze

    33 Iskorišćenost:Iskorišćenost:3.3. Iskorišćenost:Iskorišćenost: pp00 verovatnoverovatnoćća a dada je je sistemsistem besposlenbesposlen 11--pp00 verovatnoverovatnoćća a dada obraobrađđujeuje bar bar jedanjedan posaoposao Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:Uz samo jedan server iskorišćenje je:

    UU == 11--pp00

    4.4. Vreme boravka posla u sistemu:Vreme boravka posla u sistemu:

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    11

  • 9.4 Parametri sistema i njihove veze

    5 Little ova formula:5. Little-ova formula:

    J = X · T

    (važi i za mnoge druge sisteme)

    6. Prosečno vreme boravka posla u sistemu:

    T = J / XT = J / X

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    12

  • 9.4 Parametri sistema i njihove veze

    ETF-Beograd Performanse Računarskih Sistema

    13

  • 9.5 Osnovni eksponencijalni jednokanalni SMO

    λ const inten itet prispećaλ = const, intenzitet prispeća zahteva, nezavistan od stanja sistema j λ0=λ1=…=λn-1=λ μ - intenzitet opsluživanja μ0=μ1=…=μn=μ n - sistem konačnog kapaciteta

    (maksimalno n-1 u redu za čekanje i 1 koji se servisira) Ovo je sistem M|M|1|n-1:Ovo je sistem M|M|1|n-1: M|M - Eksponencijalna raspodela pristizanja/opsluživanja zahteva 1 - jedan kanal (server) Kapacitet reda čekanja: n-1. Ukupan kapacitet sistema je n.p j p p j Maksimalna produktivnost sistema: Xmax = μ

    Radi jednostavnosti, uvodimo smenu