1/6

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

8.1. Fungsi Logarithma Natural. Definisi. Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e.

Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas.

Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah

e = 2,7182818284

Bilangan e merupakan salah satu bilangan-nyata yang sangat penting dalam matematika:

1ln =e (8.1)

aeaea == lnln (8.2)

Kita lihat sekarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural dari x dituliskan

sebagai

xy ln= (8.3)

Fungsi ini didefinisikan melalui integral (mengenai integrasi akan kita pelajari pada Bab-12),

yaitu

∫=x

dtt

x1

1ln (8.4)

Berikut ini kita akan melihat definisi tersebut secara grafis di mana integral dengan

batas tertentu seperti (8.4) berarti luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi

oleh t = 1 dan t = x . Perhatikan Gb.8.1. Nilai fungsi y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi

oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam rentang antara t = 1 dan t = x.

Gb.8.1. Definisi ln x ditunjukkan secara grafis.

Kurva fungsi y = ln x dalam koordinat x-y adalah seperti pada Gb.8.2. Nilai ln x = 1 terjadi

pada nilai x = e.

x t

ln x 1/t

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4

y

2/6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponensial, Hiperbolik

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Gb.8.2. Kurva y = ln x.

Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dengan logaritma biasa. Jika x dan a

adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka:

1 untuk negatif bernilai ln

ln

1ln

lnln

;lnlnln

lnlnln

<=

==

−=

+=

xx

xe

e

xnx

axa

x

xaax

x

n (8.5)

8.2. Fungsi Eksponensial Antilogaritma dan Fungsi Eksponensial. Antilogaritma adalah inversi dari logaritma;

kita melihatnya sebagai suatu fungsi

yx ln= (8.6)

Mengingat sifat logaritma sebagaimana disebutkan di atas, ekspresi ini ekivalen dengan

xey = (8.7)

yang disebut fungsi eksponensial.

Fungsi eksponensial yang penting dan sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial

dengan eksponen negatif; fungsi ini dianggap mulai muncul pada x = 0 walaupun faktor u(x),

yaitu fungsi anak tangga satuan, tidak dituliskan.

0 ; ≥= − xaey bx (8.8)

Eksponen negatif ini menunjukkan bahwa makin besar bx maka nilai fungsi makin kecil.

untuk suatu nilai b tertentu, makin besar x fungsi ini akan makin menurun. Makin besar b

akan makin cepat penurunan tersebut.

Dengan mengambil nilai a = 1, kita akan melihat bentuk kurva fungsi eksponensial (8.8)

untuk beberapa nilai b, dalam rentang x ≥ 0 seperti terlihat pada Gb.8.3. Pada Gb.8.3. ini

terlihat bahwa makin besar nilai b, makin cepat fungsi menurun.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 1 2 3 4x

y

e

y = ln x

3/6

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Gb.8.3. Perbandingan kurva y = e−x

dan y = e−2x

.

Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya

(yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/b. Pada saat x = 5b kurva sudah sangat menurun

mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya. Oleh karena itu

fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/b.

Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A adalah

)(tuAey at−= (8.9)

Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk menyatakan bahwa kita hanya meninjau

keadaan pada t ≥ 0. Fungsi ini menurun makin cepat jika a makin besar. Didefinisikanlah

a

1=τ (8.10)

sehingga (8.9) dituliskan

)(/ tuAey t τ−= (8.11)

τ disebut konstanta waktu; makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun.

Gabungan Fungsi Eksponensial. Gabungan fungsi eksponensial yang banyak dijumpai dalam

rekayasa adalah eksponensial ganda yaitu penjumlahan dua fungsi eksponensial. Kedua

fungsi mempunyai amplitudo sama tetapi berlawanan tanda; konstanta waktu dari

keduanya juga berbeda. Persamaan fungsi gabungan ini adalah

( ) )( 21 // tueeAy tt τ−τ− −= (8.12)

Bentuk kurva dari fungsi ini terlihat pada Gb.8.4.

Fungsi ini dapat digunakan untuk memodelkan surja. Gelombang surja (surge) merupakan

jenis pulsa yang awalnya naik dengan cepat sampai suatu nilai maksimum tertentu

kemudian menurun dengan agak lebih lambat. Surja tegangan yang dibangkitkan untuk

keperluan laboratorium berbentuk “mulus” namun kejadian alamiah yang sering

dimodelkan dengan surja tidaklah mulus, misalnya arus terpaan petir.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4x

y

e− x

e−2x

4/6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponensial, Hiperbolik

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Gb.8.4. Kurva gabungan dua fungsi eksponensial.

8.3. Fungsi Hiperbolik Definisi. Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik,

seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)

2sinh ;

2cosh

vvvv eev

eev

−− −=+= (8.13)

Persamaan (8.13) ini merupakan definisi dari cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik. Definisi

ini mengingatkan kita pada fungsi trigonometri biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi

trigonometri biasa, jika x = cosθ dan y = sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini memenuhi

persamaan “lingkaran satuan” (berjari-jari 1), yaitu

θ+θ==+ 2222 cossin1yx .

Pada fungsi hiperbolik, jika x = cosh v dan y = sinh v, maka fungsi-fungsi ini memenuhi

persamaan “hiperbola satuan”:

122 =− yx

Hal ini dapat kita uji dengan mensubstitusikan cosh v untuk x dan sinh v untuk y dan kita

akan mendapatkan bahwa persamaan “hiperbola satuan” akan terpenuhi. Kita coba:

14

4

4

2

4

2 sinhcosh

22222222 ==+−−++=−=−

−− vvvv eeeevvyx

Bentuk kurva fungsi hiperbolik satuan terlihat pada Gb. 8.5. dengan

2sinh ;

2cosh

vvvv eevy

eevx

−− −==+==

Gb.8.5. Kurva fungsi hiperbolik satuan.

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

(((( ))))21 // ττ tt eeAy −−−−−−−− −−−−====

1/1

τtAey −−−−====

2/2

τtAey −−−−====

A

0t/τ

-4 -3 -2 -1 01234

0 1 2 3 4

y

x

P[x,y] v = 0

v = ∞

5/6

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Jika kita masukkan

2sinh ;

2cosh

vvvv eevy

eevx

−− −==+==

maka titik P[x,y] akan berada di bagian positif kurva tersebut. Karena ev selalu bernilai positif

dan e−v

= 1/ev juga selalu positif untuk semua nilai nyata dari v, maka titik P[x,y] selalu

berada di bagian positif (sebelah kanan sumbu-y) kurva hiperbolik.

Mirip dengan fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan sebagai

vv

vv

vv

vv

ee

ee

v

vv

ee

ee

v

vv −

−

−

−

−+==

+−==

sinh

coshcoth ;

cosh

sinhtanh (8.14)

vvvv eevv

eevv −− −

==+

== 2

sinh

1csch ;

2

cosh

1sech (8.15)

Identitas. Beberapa identitas fungsi hiperbolik kita lihat di bawah ini.

1). 1sinhcosh 22 =− vv . Identitas ini telah kita buktikan di atas. Identitas ini mirip dengan

identitas fungsi trigonometri biasa.

2). vv 22 sechtanh1 =− . Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan

cosh2v.

3). vv 22 csch1coth =− . Identitas ini diperoleh dengan membagi identitas pertama dengan

sinh2v.

4). uevv =+ sinhcosh . Ini merupakan konsekuensi definisinya.

5). uevv −=− sinhcosh . Ini juga merupakan konsekuensi definisinya.

Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik. Gb.8.6 berikut ini memperlihatkan kurva fungsi-

fungsi hiperbolik.

(a) b)

xe2

1

xe −−2

1

xy sinh=

x

y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

-1

0

1

2

3

4

-2 - 0 1 2

xy sech=

xy cosh= y

x

6/6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponensial, Hiperbolik

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

c) d)

e)

Gb.8.6. Kurva-kurva fungsi hiperbolik.

xe2

1 xy sinh=

xy cosh= y

x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy csch=

xy sinh=

x

y

-4

-3 -2

-1 0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy csch=

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2

xy coth=

xy coth=

xy tanh=x

y