6.5 LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN LARGA: INTERPRETACIÓN DE LAS ECUACIONES

Tanto como γ como Zc son cantidades complejas. A la parte real de la constante de propagación γ se le llama constante de atenuación α y se mide en nepers por unidad de longitud. La parte en cuadratura de γ se llama constante de fase β y se mide en radianes por unidad de longitud. Así,

Y las ecuaciones (6.23) y (6.24) dan

Las propiedades de εα× y εJβ× ayudan a explicar la variación de los valores fasoriales de voltaje y corriente como una función de la distancia a lo largo de la línea. El término εα× cambia en magnitud conforme x cambia, pero εJβ× (que es idéntico a cos βx + j sen βx) siempre tiene una magnitud de 1 y origina un desfasamiento de β radianes por unidad de longitud de la línea.

El primer término en la ecuación (6.26), se incrementa en magnitud y avanza en fase conforme se incrementa la distancia x desde el extremo receptor. Por el contrario, conforme se considera el avance a lo largo de la línea desde el extremo generador hacia el extremo receptor, el término disminuye en magnitud y está atrasado en fase.

Ésta es la característica de una onda viajera y es similar al comportamiento de una onda en el agua, la cual varía en magnitud con el tiempo en cada punto, mientras que su fase está retrasada y su valor máximo disminuye con la distancia desde el origen. La variación en el valor instantáneo no se expresa en el término pero está implícito ya que VR e IR son fasores.

El primer término en la ecuación (6.26) se llama voltaje incidente.

El segundo termino en la ecuación (6.26), disminuye en magnitud y está retrasado en fase desde el extremo receptor hasta el extremo generador. Se llama voltaje reflejado. En cualquier punto a lo largo de la línea, el

voltaje es la suma de las componentes de los voltajes incidente y reflejado en ese punto.

Como la ecuación de la corriente es similar a la del voltaje, se puede considerar que la corriente está compuesta de las componentes incidente y reflejada.

Si la línea se termina en su impedancia característica Zc, el voltaje en el extremo receptor VR es igual a IRZC y no hay onda reflejada de voltaje ni de corriente, como se puede ver al sustituir IRZC por VR en las ecuaciones (6.26) y (6.27). A la línea terminada en su impedancia característica se le conoce como línea plana o línea infinita. Este último término surge del hecho de que una línea infinita no puede tener una onda reflejada. Generalmente, las líneas de potencia no terminan en su impedancia característica, pero las líneas de comunicación frecuentemente si terminan, con el fin de eliminar la onda reflejada. Un valor típico de Zc es de 400 Ω para una línea aérea de un circuito y 200 Ω para la de dos circuitos en paralelo. Por lo general, el ángulo de fase de Zc está entre 0 y -15°. Las líneas con conductores agrupados tienen valores bajos de Zc porque tienen una L más baja y una C más alta que las de las líneas con un conductor por fase.

En la práctica con sistemas de potencia, la impedancia característica es conocida algunas veces como impedancia de sobrevoltaje. Sin embargo, el término “impedancia de sobrevoltaje” por lo general se reserva para el caso especial de líneas sin perdidas. Si una línea no tiene perdidas, su resistencia serie y su conductancia paralelo son cero y la impedancia característica se reduce al número

real , que tiene las dimensiones de ohms cuando L es la inductancia serie de la línea en henrys y C es la capacitancia en paralelo en farads. También,

la constante de propagación para la línea de longitud l se reduce al

número imaginario porque la constante de atenuación α que resulta de las pérdidas de la línea es cero. Cuando la línea está así de cargada, suministra una corriente de

Donde es el voltaje línea a línea en la carga. Debido a que la carga es puramente resistiva,

o con en kilovolts,

Algunas veces, los ingenieros de potencia encuentran conveniente expresar la potencia transmitida por la línea en términos de por unidad de los CIS, estos es, como la relación entre la potencia transmitida y la cargabilidad a la impedancia de sobrevoltaje.

Una longitud de onda λ es la distancia entre dos puntos de una onda a lo largo de la línea que difieren 360° o 2π radianes en fase. Si β es el desfasamiento en radianes por milla, la longitud de onda en milla es

La velocidad de propagación de una onda en millas por segundo es el producto de la longitud de onda en millas y la frecuencia en hertz, o

Para la línea sin perdidas de longitud l metros, y las ecuaciones (6.29) y (6.30) dan

Cuando se sustituyen los valores de L y C en estas ecuaciones para la línea aérea de pocas perdidas, se encuentra que la longitud de onda es aproximadamente 3000 millas a una frecuencia de 60 Hz y que la velocidad de propagación es muy cercana a la velocidad de la luz en aire (aproximadamente 186 000 millas/s o 3 x 108 m/s).

Si no hay carga en una línea, IR es igual a cero y los voltajes incidentes y reflejados son iguales en magnitud y en fase en el extremo receptor, como puede ser determinado mediante las ecuaciones (6.26) y (6.27).

6.6 LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN LARGA: FORMA HIPERBÓLICA DE LAS ECUACIONES

Las ondas de voltaje incidente y reflejada se encuentran rara vez cuando se calcula el voltaje de la línea de potencia. La razón por la que se analizó el voltaje y la corriente de una línea en términos de las componentes incidente y reflejada es que tal análisis es útil para tener un mejor entendimiento de algunos de los fenómenos que ocurren en las líneas de transmisión. Una forma más conveniente de esas ecuaciones para los cálculos de corriente y voltaje de la línea de potencia se encuentra al introducir las funciones hiperbólicas. Estas últimas se definen en forma exponencial de la siguiente manera

Se encuentra un nuevo conjunto de ecuaciones al rearreglar las ecuaciones (6.23) y (6.24) y sustituir las funciones hiperbólicas por los términos exponenciales. Las nuevas ecuaciones que dan el voltaje y la corriente en cualquier punto a lo largo de la línea son

Si se considera x = l para obtener el voltaje y la corriente en el extremo generador, se tiene

Al examinar estas ecuaciones se observa que las constantes generalizadas del circuito para una línea larga son

Al resolver las ecuaciones (6.35) y (6.36) para VR e IR en términos de VS e IS se tiene

Para líneas trifásicas balanceadas las corrientes en las ecuaciones anteriores son de línea y los voltajes son al neutro, esto es, los voltajes de línea divididos entre √ 3. Se deben evaluar las funciones hiperbólicas con el fin de resolver las ecuaciones.

Las siguientes ecuaciones dan las expansiones de los senos y cosenos hiperbólicos de los argumentos complejos en términos de funciones circulares e hiperbólicas de argumentos reales:

Las ecuaciones (6.40) y (6.41) hacen posible el cálculo de funciones hiperbólicas de argumentos complejos. La unidad matemática correcta para βl es el radian y este es la unidad encontrada para βl al calcular la componente en cuadratura de γl. Se pueden verificar las ecuaciones (6.40) y (6.41) al sustituir en ellas las formas exponenciales de las funciones hiperbólicas y las formas exponenciales similares de las funciones circulares.

Otro método para evaluar las funciones hiperbólicas complejas se obtiene mediante las ecuaciones (6.31) y (6.32). Al sustituir α + jβ por θ, se obtiene

Ejemplo 6.3 Una línea de transmisión de un circuito a 60 Hz tiene una longitud de 370 km (230 millas). Los conductores son del tipo Rook con espaciamiento plano horizontal y 7.25 m (23.8 pies) entre ellos. La carga en la línea es de 125 MW a 215 kV con un factor de potencia de 100%. Encuentre el voltaje, la corriente, la potencia en el extremo generador y la regulación de voltaje de la línea. Determine también la longitud y la velocidad de propagación de la onda en la línea.

Solucion. Con el fin de usar las tablas A.3 a A.5 del apéndice, se seleccionan los pies y las millas en vez de los metros y kilómetros.

Y de las tablas para el conductor Rook

De las ecuaciones (6.42) y (6.43) y si se conoce que 0.4750 radianes = 27.22°

Entonces la ecuación (6.35)

Y de la ecuación (6.36)

En el extremo generador

De la ecuación (6.35) se observa que sin carga, (IR = 0)

Así, la regulación de voltaje es

La longitud de onda y la velocidad de propagación se calculan como sigue:

Particularmente, en este ejemplo se observa que en las ecuaciones para VS e IS, el valor de voltaje debe expresarse en volts y debe ser el voltaje línea a neutro.

6.7 EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE UNA LINEA LARGA

El circuito nominal π no representa exactamente una línea de transmisión porque no se tiene en cuenta que los parámetros de la línea están distribuidos uniformemente. La discrepancia entre el circuito nominal π y la línea real se hace mayor conforme la longitud de la línea se incrementa. Sin embargo, es posible encontrar el circuito equivalente de una línea de transmisión larga y a esta representarla con precisión (al menos en cuanto a las medidas en los extremos de la línea se refiere) mediante una red de parámetros concentrados.

Al sustituir en la ecuación (6.5) Z’ y Y’/2 en lugar de Z y de Y/2, se obtiene el voltaje en el extremo generador del circuito equivalente en términos de sus ramas serie y paralelo, asi como el voltaje y la corriente en el extremo receptor:

Para este circuito sea equivalente al de la línea de transmisión larga, los coeficientes de VR e IR en la ecuación (6.44) deben ser idénticos, respectivamente, a los coeficientes de VR e IR en la ec. (6.35). Al igualar los coeficientes de IR en las dos ecuaciones se obtiene

Donde Z es igual a zl y es la impedancia serie total de la línea. El termino (senh γl/ γl es el factor por el que se debe multiplicar la impedancia serie del circuito π nominal para convertirlo al circuito equivalente π.

Para investigar la rama paralelo del circuito equivalente π, se igualaran los coeficientes de VR en las ecuaciones (6.35) y (6.44) para obtener

Al sustituir Zc senh γl por Z’ da

Otra forma para la expresión de la admitancia paralelo del circuito equivalente se puede encontrar al sustituir en la ecuación (6.49) la identidad

La identidad se puede verificar al sustituir las formas exponenciales de las ecuaciones (6.31) y (6.32) para las funciones hiperbolicas y al recordar que tanh θ = sen θ/ cosh θ. Ahora,

Donde Y es igual a yl, la admitancia paralelo total de la línea. En la ecuación (6.52) se muestra el factor de corrección que se usa para convertir la admitancia de las ramas en paralelo del circuito nominal π en las del circuito equivalente π. Como para valores pequeños de yl, tanh (yl/2) y yl/2 son aproximadamente iguales, el circuito nominal π representa de manera bastante aproximada las líneas de transmisión de longitud media. En la figura 6.9 se muestra el circuito equivalente π. También se puede encontrar un circuito equivalente T para una línea de transmisión.

Ejemplo 6.5 Encuentre el circuito equivalente π para la línea descrita en el ejemplo 6.3 y compárese con el circuito nominal π.

Solución. Como del ejemplo 6.3 ya se conoce el senh yl y el cosh yl, se usaran ahora las ecuaciones (6.45) y (6.49).

Al usar los valores de z y y del 6.3, se encuentra que la impedancia serie del circuito nominal π es

Y que las ramas paralelo iguales son de

Para esta línea, la impedancia de la rama serie del circuito nominal π excede a la del equivalente π en 3.8%. La conductancia de las ramas paralelo del circuito nominal π es 2% menor que la del equivalente π.

6.8 FLUJO DE POTENCIA A TRAVÉS DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN

Aunque si se conocen el voltaje, la corriente y el factor de potencia se pueden encontrar o calcular siempre el flujo de potencia en cualquier punto a lo largo de la línea de transmisión. Las ecuaciones se aplican a cualquier red de dos puertos o dos pares de terminales. Se repite la ecuación (6.8) y al resolverla para la corriente en el extremo receptor IR se tiene

Se deja que

Y se obtiene

Entonces, la potencia compleja VR I*R en el extremo receptor es

Y las potencias real y reactiva en el extremo receptor son

Al observar que de la ecuación (6.56) la expresión para la potencia compleja PR + jQR es el resultado de la combinación de dos fasores expresados en forma polar, se pueden dibujar estos dos fasores en el plano complejo cuyas coordenadas horizontal y vertical están en unidades de potencia (watts y vars).

En la fig. 6.10 se muestran las dos cantidades complejas y su diferencia de la manera que lo expresa la ecuación (6.56). En la fig. 6.11 se muestran los mismos fasores con el origen de los ejes coordenados desplazado.

Donde θR es el angulo de fase por el que VR adelanta a IR. El sigo de Q es consistente con la convención que le asigna valores positivos cuando la corriente esta en atraso con respecto al voltaje.

Un examen de la fig. 6.11 muestra que hay un limite para la potencia y que se puede transmitir al extremo receptor de la línea para magnitudes especificas de los voltajes en los extremos generador y recptor. Un incremento en la potencia entregada significa que el punto k se moverá a lo largo del circulo hasta que al ángulo β – δ sea cero; esto es, más potencia será entregada hasta que δ = β.

Mayores incrementos en δ darían como resultado una menor potencia recibida. La potencia máxima es

La carga debe tomar una gran corriente en adelanto para alcanzar la condición de máxima potencia recibida. Generalmente, la operación se limita a conservar a δ

menos que 35° y a igual o mayor que 0.95 Para las líneas cortas, la cargabilidad está limitada por efectos térmicos.