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6 O Formalismo Matemtico da Mecnica Quntica I

6.1 Espaos Vetoriais

Nesta seo expomos as noes bsicas dos espaos vetoriais, pois o formalismo da mecnica quntica se baseia nestes conceitos.

Na formulao abstrata da mecnica quntica dizemos que |> um vetor num espao de Hilbert. Para poder entender tal afirmao, precisamos saber o que um espao vetorial e, especialmente, o que um espao de Hilbert. E o que um vetor? Comecemos com a noo do espao vetorial (ou espao linear).

Um espao vetorial pode ser caracterizado por dez propriedades satisfeitas por seus elementos, chamados de vetores. Estes vetores podem ser de quaisquer natureza, contanto que cumpram os dez mandamentos. Especialmente as funes de onda da mecnica quntica tm o direito de serem chamados de vetores, pois, como veremos, elas pertencem ao grupo dos objetos escolhidos. (O nome "vetor" devido semelhana com quantidades que se comportam como flechas no plano ou no espao fsico. Alias, os espaos vetoriais da mecnica quntica so, geralmente, de dimenses infinitas, e so ento chamados de espaos de Hilbert. David Hilbert foi um Matemtico alemo, 1862-1943.)

Em mecnica quntica representamos geralmente os vetores pelos smbolos bra " > " ou ket " < ", inventados por Dirac, conferir tambm "Mecnica",4.4.1 e 2.2.1 sobre vetores em geral. Aqui vem a lista dos 10 leis (tambm chamados de axiomas ou postulados) do espao vetorial:

1. Vetores podem ser adicionados e sua soma tambm um vetor

x> + y> = z>

2. A adio comutativa: x> + y> = y> + x>

3. A adio associativa: ( x> + y>) + z> = x> + (y> + z>)

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4. H um vetor zero 0>, tal que x> + 0> = x> para todos os vetores x>

5. Para cada vetor x> h um vetor negativo y> (ou -x>), tal que

x> + y> = 0>

Observao: As propriedades 1,2,3,4,5 exprimem o fato de que um espao vetorial um grupo com a operao de adio de vetores. Um grupo com a propriedade 2 (comutatividade) um grupo comutativo (ou Abeliano).

6. Vetores podem ser multiplicados por escalares a, b. O resultado sendo tambm um vetor. Se Ix> for um vetor, ento aIx> tambm um vetor.

Observao: Os escalares podem ser nmeros reais ou complexos. No espao vetorial Hilbert da mecnica quntica, os escalares so nmeros complexos.

7. A multiplicao por escalar associativa: a(bIx>) = (ab)Ix>

8. Vale a primeira lei distributiva: (a+b)Ix> = a|x> + bIx>

9. Vale a segunda lei distributiva: a(Ix> + Iy>) = aIx> + aIy>

10. Vale a invarincia sob a multiplicao pela identidade: 1 Ix> = Ix>

Observao: A propriedade 10 no bvia, ela no pode ser deduzida das outras nove propriedades e deve, portanto, ser postulada.

Os espaos vetoriais usados na fsica possuem, quase sempre, um produto interno (ou produto escalar) que um escalar, real ou complexo, formado de dois vetores, representado, geralmente, por ou (Ix>,Iy>).

As propriedades do produto interno so um pouco diferentes para espaos reais e espaos complexos:

1. Espao real: = o produto interno simtrico

Espao complexo: = * diz-se que o produto interno possui

simetria hermitiana. (* o complexo conjugado do nmero )

2. Espaos reais e complexos: = + ; = a

O produto interno linear em relao ao segundo fator.

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Observao: Por meio da primeira propriedade podemos comprovar que o produto interno tambm linear em relao ao primeiro fator:

= + ou tambm = + + +

mas para a complexo: = a*

Quando a um nmero real, o asterisco suprfluo. Diz-se que o produto interno em um espao complexo antilinear em relao ao primeiro fator.

A ltima propriedade do produto interno

3. O produto interno possui uma norma positiva-definida:

0, onde = 0 se e s se Ix> = I0>.

(A norma do vetor Ix> definimos, tambm em Cn, como sendo a raiz quadrada de : ||x|| = () o que um nmero real no-negativo. A norma escreve-se tambm como || |x> ||. Um vetor Ix> dito normalizado se ||x|| = 1.)

Num espao vetorial arbitrrio (com produto interno) valem a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade Triangular.

A Desigualdade de Schwarz:

I| ||x|| ||y|| (1)

Note que | | esquerda representa o valor absoluto de um nmero real, || || direita representa o produto da norma de Ix> com a norma de |y>. Em vez de norma diz-se tambm comprimento.

A demonstrao da desigualdade (1), embora no seja difcil, no muito natural, mas exige um incio criativo, ou seja um jeitinho. Podemos proceder da seguinte maneira:

Se Ix> = I0>, ento ||x|| = 0 e = 0, logo (1) vlida. O mesmo argumento seria aplicvel se Iy> for I0>. Suponha, agora, que nem Ix> nem Iy> nulo e que c e d so duas constantes arbitrrias. Devido propriedade 3 do produto interno podemos escrever

0

Por meio das outras propriedades introduzidas acima, podemos produzir os seguintes concluses

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0 c* + d*

c*c + c*d + d*c + d*d

Esta relao vlida para qualquer valor de c e d, ento, deve ser vlida para os valores especiais c = - e d = . Usando estes valores, obtemos

0 c*cd - c*dc - d*cc* + d*d

d[-c*c + d*]

e 0 - ||2 + e da

||2 ||x||2 ||y||2 ou seja || ||x|| ||y||.

A desigualdade de Schwarz podemos usar para definir um nmero tal que

cos = / [ ||x||||y||], 0 < tambm no espao Rn.

Outra desigualdade de grande importncia, a Desigualdade Triangular, s um corolrio de (1). Vamos demonstrar, ento, que

II x + y || ||x|| ||y|| (2)

(Desigualdade Triangular)

Demonstrao:

Sabemos da definio do comprimento de um vetor que

||x + y||2 = = ||x||2 + ||y||2 + +

Com = * obtemos + = 2 Re, onde Re significa a parte real do nmero complexo que segue. (Em mecnica quntica o produto interno , em geral, um nmero complexo.)

Temos, ento, ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 +2Re . Para todo nmero complexo z = a + ib vale a = Re z |z| = (a2 + b2)1/2, onde o signo = ser vlido quando z real e positivo. Ento

||x + y||2 ||x||2 + ||y||2 +2||

Do teorema anterior temos || ||x|| ||y||, onde o signo = s vlido quando Ix> = Iy>.

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Consequentemente resulta

||x + y||2 (||x||2 + ||y||2 + 2 ||) = (||x|| + ||y||)2

q.e.d;

6.1.1 Ortogonalidade Uma combinao linear de um nmero finito de vetores uma expresso

i=1,n aiIxi> = a1Ix1> + a2Ix2> + ... + anIxn> (3)

em que os ai so escalares arbitrrios. Um conjunto de vetores chamado linearmente independente, se ai Ixi> = I0> s se todos os ai so zero. (Um conjunto de vetores linearmente dependente, se pelo menos um dos ai diferente de zero.)

Num espao vetorial V com produto interno, dois vetores Ix> e Iy> so ditos ortogonais se = 0, e escrevemos Ix> Iy>.

Um conjunto de vetores tal que quaisquer dois vetores so ortogonais dito um sistema ortogonal de vetores. Um sistema ortogonal de vetores dito um sistema ortonormal se cada vetor do sistema normalizado (||xi|| = 1 para cada Ixi> do sistema. Num sistema ortonormal vale = ij . (ij o chamado smbolo delta de Kronecker. ij = 0, se i j e ij = 1, se i = j )

Qualquer conjunto ortonormal de vetores linearmente independente porque, se ai Ixi> = I0>, ento temos para cada Ixj>

0 = > = i ai = i aiij = aj

Assim, qualquer conjunto ortonormal de dimenso n base de V.

Se o conjunto {Iei>} uma base para o espao de dimenso N, qualquer vetor Ix> pode ser representado por

=

=N

1iiiIeaIx (4)

( costume designar os vetores da base de ei ou Iei>.) O conjunto dos N escalares {a1, a2, ..., an} chamado de coordenadas do vetor Ix> com relao base { Iei>}. As coordenadas podemos calcular como

= i = i ai = i ai ij = aj (5)

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Portanto

Ix> = j Iej> (6)

Os nmeros (reais ou complexos) so chamados de representantes de Ix> . O conjunto {ai} dos ai ordenado e nico e chamado de N-upla. A N-upla das coordenadas pode ser chamado de representao de Ix> com relao base dada.

fcil demonstrar que o conjunto {ai} nico. Pois se Ix> = i bi Iej> for certo com outro conjunto {bi}, ento temos (subtraindo)

I0> = i=1,N (ai - bi) Iei>

J que os Iei> so linearmente independentes, segue-se que ai - bi = 0, ou seja ai = bi para todo i, como desejado.

A dimenso de um espao vetorial igual ao nmero mximo de vetores linearmente independentes.

Pode-se definir uma base para um espao vetorial infinito, exigindo que cada vetor seja representado por uma combinao linear infinita dos vetores de base.

Na seguinte figura no plano R2 temos uma ilustrao da relao (6):

Fig. 1

O vetor Ix> projetado sobre os eixos x1 e x2. Os nmeros e so as coordenadas do vetor Ix> na direo dos eixos. Os vetores Ie1> e Ie2> so as componentes de Ix> segundo os eixos x1 e x2, pois temos Ix> = j Iej> = Ie1> + Ie2>.

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6.1.2 Funes ortogonais e expanses de uma funo usando um sistema completo de autofunes. Podemos generalizar o conceito de vetor para incluir tambm funes definidas sobre um intervalo [a,b] de nmeros reais. Em outras palavras, uma funo f(x) pode ser considerada como vetor num espao de dimenses infinitas cujos eixos so designados pelo "ndice" x. A "componente de f segundo a direo x" ser o valor f(x) da funo dada no ponto x do intervalo a x b.

A varivel x que toma o lugar do ndice i varia continuamente no intervalo [a,b]. E