63

6 Messung der relativen Permittivität εr und desVerlustfaktors tan δ von Isolierstoffen bzw.Dielektrika

6.1 Einführung

Die relative Permittivität εr bestimmt die Erhöhung des Kapazitätswertes von beliebigen, span-nungsführenden Elektroden bei Einlagerung eines Isolierstoffes. Die Kapazität bestimmt vorallem die Größe des Wechselstroms und die gespeicherte Blindleistung. Im Isolierstoff wer-den aber aufgrund der sehr geringen elektrischen Restleitfähigkeit, der Relaxation und der Rei-

bung der verschobenen elektrischen Ladungsträger und Dipole auch Wirkleistungsverluste ver-ursacht, die durch den Verlustfaktor tan δ beschrieben werden. Der Winkel δ ist die Abwei-chung des Phasenwinkels φ, den der kapazitive Strom, im idealen Fall mit 90◦, gegenüber dersinusförmigen Wechselspannung zeigt. Die Stärke eines elektrischen Feldes hängt nicht nur von

Material εr

Epoxidharz 3,7

Glas 10

Luft 1

Polystyrol 2,5

Wasser 80

Polyäthylen 2,3

Transformatoröl 2,5

Tabelle 6.1: Relative Permittivität verschiedener Materialien

der verursachenden Ladung Q und dem Abstand zwischen dem Ort der Ladung und dem Be-zugspunkt ab, sondern auch gravierend von dem Stoff, von welchem die Ladung umgeben ist.Anhand der elektrischen Flussdichte D, sowie der Stärke des elektrischen Feldes E, ergibt sichdiese Abhängigkeit des Stoffes und wird allgemein als Permittivität ε bezeichnet.

−→D = ε ·

−→E ⇒ [ε] =

[D]

[E]=

Asm2

Vm

=As

Vm(6.1)

ε = ε0 · εr mit ε0 = 8, 854 · 10−12 As

Vm(6.2)

6.1 Einführung 64

Die relative Permittivität εr bestimmt die Erhöhung des Kapazitätswertes von beliebigen, span-nungsführenden Elektroden, bei Einlagerung eines Isolierstoffes. Die Tabelle 6.1 zeigt Beispielefür die relative Permittivität.

6.1.1 Polarisationsarten

Ist zwischen zwei wechselspannungsführenden Elektroden Materie eingebracht, so werden inder Materie elektrische Dipole erzeugt, sowie schon vorhandene in Feldrichtung ausgerichtet.Im Atom selbst werden Ladungen verschoben — diesen Vorgang bezeichnet man als elektrischePolarisation.

Die Polarisationsarten werden in drei Gruppen unterschieden:

Elektronenpolarisation: Die Elektronenpolarisation tritt in allen Isolierstoffen auf. Ursachedieser Polarisation ist, dass ein äußeres, elektrisches Feld die Schwerpunkte der positivenund negativen Ladungen im Atom gegeneinander verschiebt. Stoffe, bei denen diese Artdie einzige Polarisation bewirkt, werden als unpolare Dielektrika bezeichnet.Materialien: Polyäthylen, Polystyrol, Polypropylen, etc.

Orientierungspolarisation: Viele Materialien sind aus Molekülen aufgebaut, die bereits einpermanentes Dipolmoment beinhalten. Diese Materialien erscheinen wegen der statischräumlichen Verteilung, der permanenten Dipole, aufgrund der Wärmebewegung, als elek-trisch neutral. Das Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes bewirkt eine Ausrichtungdieser Dipole. Stoffe mit diesen Eigenschaften werden als polare Dielektrika bezeichnet.Materialien: Kautschuk, Epoxidharz, Phenolharz, Silikon, etc.

Ionenpolarisation: In Materialien, welche als Kristallgitter bestehend aus Ionen aufgebautsind, bewirkt das Anlegen eines äußeren Feldes eine Verschiebung der positiven, sowieder negativen Ionen gegeneinander, sodass Dipole im Material entstehen.Materialien: Keramik, Glas, Porzellan, etc.

6.1.2 Ersatzschaltbild eines Kondensators

Abbildung 6.1 zeigt das vereinfachte Ersatzschaltbild sowie das Zeigerdiagramm eines Kon-densators. Das Verhältnis von Strom i und Spannung u an einer verlustbehafteten Kapazität beieinem sinusförmigen, sich zeitlich verändernden Spannungsverlauf kann durch einen komple-xen Leitwert Y ausgedrückt werden.

Y = G− +G∼ + jBC

= G− +G∼ + jωC (6.3)

6.1 Einführung 65

G-BC G~

îC

îG ûC

îCK

iG

iCK

iC

u tC( )

Re

Im

�

�

Abbildung 6.1: Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm eines Kondensators

1

Q= d = tan δ =

G

BC

=G

ωC(6.4)

Der tan δ wird auch als Verlustfaktor d gleichbedeutend mit dem Kehrwert des Gütefaktors Qbezeichnet. G− und G∼ sind die Verlustleitwerte (Gleich- bzw. Wechselstromanteil).

6.1.3 Komplexe relative Permittivität

Verwendet man generell eine komplexe relative Permittivität, die auf die verlustfreie Kapazitätdes Vakuums des jeweiligen Kondensators aufgeprägt wird, so ergibt sich mit der Definitions-gleichung:

YC = jω · C0 · εr mit εr = ε′r − jε′′r =C

C0

− j G

ω · C 0

(6.5)

εr = ε′r und tan δ =ε′′rε′r

(6.6)

Die verschiedenen Polarisationsmechanismen führen zu einer Frequenzabhängigkeit der kom-plexen Größe εr oder εr und tan δ. Für εr entsteht vor allem ein Abfall mit steigender Frequenzdurch die Relaxation – das heißt durch die verzögerte Einstellung der Dipole gegenüber dem

äußeren elektrischen Feld. Wenn ω < 1/τ d.h. T > τ (T =Periodendauer; τ =Relaxationszeit)ist, dann haben die Dipole genügend Zeit zur Ausrichtung und erreichen annähernd statischeWerte. Mit steigender Frequenz können die Dipole dem äußeren Wechselfeld nicht mehr folgenund εr sinkt auf Werte der Elektronenpolarisation.

Mit folgender Gleichung kann εr beschrieben werden:

εr = εrn +εrv − εrn

1 + (ω · τ)2(6.7)

6.2 Vorbereitungen 66

Hierbei steht εrn für εr bei Elektronenpolarisation und εrv bei Dipol- oder Orientierungspolari-sation.

6.1.4 Ursachen der Verlustgrößen

Restleitfähigkeit Bei niedrigen Frequenzen wird die Restleitfähigkeit, ausgedrückt durch denGleichstromleitwert G−, wirksam.

G_ = γ · Ad

mit 10−16 S

cm≤ γ ≤ 10−12 S

cmtan δ1 =

G_ω · C

(6.8)

Hierbei steht A für die Fläche und d für den Abstand

Relaxation Bei hohen Frequenzen werden die Verluste verstärkt durch die Relaxation erzeugt.Die verzögerte Einstellung der Dipole beeinflusst direkt den Phasenwinkel ϕ und damitauch den Winkel δ: 90◦ = ϕ+ δ.Die maximalen Verluste werden für ωmax = 1

τerreicht.

ε′′r und tan δ werden durch folgende Formeln beschrieben:

ε′′r =ω · τ · (εrv − εrn)

1 + (ω · τ)2tan δ2 =

ω · τ · (εrv − εrn)

εrv + εrn · (ω · τ)2(6.9)

6.2 Vorbereitungen

6.2.1 Allgemein

Bereiten Sie sich mit Hilfe der Einleitung, den Vorlesungsunterlagen und mit weiteren Quel-len (Bibliothek, Internet) ausführlich vor. Sollten Fragen offen bleiben, wenden Sie sich bitterechtzeitig an einen Betreuer oder Herrn Schneider, R. -1325, WA 73.

6.2.2 Fragen zur Vorbereitung

Beantworten Sie bitte zur Vorbereitung dieses Versuches schriftlich folgende Fragen:

1. Erläutern Sie bitte folgende Begriffe:

• elektrisches Feld

• elektrische Ladung

• elektrische Flussdichte

• Permittivität ε0, εr und ε

6.3 Versuchsdurchführung 67

• Dipol

• Relaxation

• Kapazität

2. Leiten Sie ausgehend von der Formel Q = D ·A die Kapazität eines Plattenkondensators,der Fläche (A) und dem Abstand der Platten (d), her.

3. Was ist der Unterschied zwischen tan δ und ϕ?

4. Es sind folgende Funktionen mit halblogarithmischem Frequenzmassstab von 10Hz bis100kHz, also über 4 Dekaden, grafisch darzustellen.

(a) εr = εrn + εrv−εrn

1+(ω·τ)2

(b) tan δ1 = γω·εr·ε0

(c) tan δ2 = ω·τ ·(εrv−εrn)εrv+εrn·(ω·τ)2

Gegeben sind folgende Werte:τ = 10 · 10−6 s; γ = 10−12 S

cm; εrn = 2; εrv = 4; εr = 3; ε0 = 8.85419 · 10−12 As

Vm

Nutzen Sie folgende Rechenwerte für die Frequenz f :{f

kHz|0.010; 0.020; 0.050; 0.100; 0.200; 0.500; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100

}Es ist möglich, diese Kurven auf einem DIN-A4-Blatt darzustellen; allerdings mit unter-schiedlichen Massstäben auf Ordinate und Abszisse.- Ordinate:linear ; Abszisse:logarithmisch,mit vier Dekaden.

6.3 Versuchsdurchführung

Im Praktikum wird ein sehr genaues digitales RLC-Messgerät verwendet. Der Verlustfaktortan δ wird direkt angezeigt (DF-Dissipation Factor), während εr mit Hilfe der Messergebnissedes mit Materie gefüllten Kondensators errechnet werden muss – Der Plattenabstand bei Luftwird durch die Dicke des Materials vorgegeben. Bei der Kapazitätsmessung muss berücksich-tigt werden, dass am Eingang der Brücke außer der gesuchten Kapazität der Elektroden – eshandelt sich um einen Plattenkondensator – auch die Kapazität der Zuleitung und des Proben-kondensatorgehäuses mit erfasst wird. Diese Fehlkapazität CF ist unabhängig von der Frequenzund muss selbstverständlich bei der Auswertung berücksichtigt d. h. abgezogen werden.

6.3.1 Ermitteln der Fehlkapazität des ausschließlich mit Luft gefülltenPlattenkondensators

Bevor die Kapazität eines Kondensators ermittelt werden kann, muss die Fehlkapazität CF zu-nächst erfasst werden.

6.3 Versuchsdurchführung 68

Die Fehlkapazität kann mit folgenden Schritten ermittelt werden:

Es ist bekannt, dass sich die Kapazität eines Kondensators verkleinert, wenn der Plattenabstandgrößer wird. Die Kapazität am Versuchsaufbau ergibt sich zu

C =ε · Ad

+ CF (6.10)

Wird der Abstand nun vergrößert, so ist für den Grenzübergang d→∞:

limd→∞

C =ε · A∞

+ CF = 0 + CF = CF (6.11)

Bei einem größeren Plattenabstand geht die Kapazität des Plattenkondensators gegen Null undes bleibt CF übrig. Im Praktikum wird folgendermaßen verfahren : es soll die Kapazität CgemLin Abhängigkeit des Plattenabstandes d gemessen und in einer Tabelle zusammengefasst wer-den. In einem Diagramm wird dann die Kapazität CgemL über 1

daufgetragen. Diese Geraden-

funktion CgemL = f(1d) wird bis 1

d= 0, d.h. bis d → ∞ extrapoliert. Am Schnittpunkt des

Grafen mit der Ordinate lässt sich die Störkapazitat CF ablesen.

Erhöhen Sie den Abstand der Platten entsprechend der Angaben in der Tabelle 6.2 und notierenSie die Kapazitätswerte und berechnen Sie den inversen Plattenabstand. Tragen Sie C = f(1

d)

auf und ermitteln Sie CF durch Interpolation.

Plattenabstand d/mm Kapazität CgemL/ nF 1d/ 1

mm

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

1

1,5

2

4

6

Tabelle 6.2: Kapazität C als Funktion des Plattenabstandes d

6.3 Versuchsdurchführung 69

Die Größe der Fehlkapazität beträgt CF =

6.3.2 Ermitteln der relativen Permittivität εr verschiedener Dielektrika

Bei verschiedenen Kunststoffproben sollen bei einer Frequenz von f0 = 1 kHz die Kapazitäts-werte CgemL und CgemM für Luft und für Material als Dielektrikum gemessen und in Tabelle6.3 eingetragen werden. Der Verlustfaktor tan δ wird direkt abgelesen und ebenfalls notiert.Im Anschluss sind die Werte von εr zu berechnen. Achtung: bei der Errechnung der relativenPermittivität muss die Fehlkapazität CF berücksichtigt werden. Ordnen Sie den einzelnen Ma-terialien die entsprechenden Polarisationsmechanismen zu.

Die relative Dielektrizitätskonstante wird durch folgende Formel bestimmt:

εr =CgemM − CFCgemL − CF

(6.12)

6.3.3 Ermitteln der Frequenzabhängigkeit der relativen Permittivität εrbei zwei verschiedenen Dielektrika

Messen Sie die Kapazitäten CgemM und CgemL und den Verlustfaktor tan δ von zwei, in denPlattenkondensator, eingespannten Proben in Abhängigkeit von der Frequenz. Ermitteln Sie ausden gemessenen Werten εr und tragen Sie Ihre Ergebnisse in die Tabelle 6.4 ein. Der Abstand

6.3 Versuchsdurchführung 70

Material CgemM/ nF tan δ CgemL/ nF εr Polarisations-mechanismus

Tabelle 6.3: Polarisationsmechanismen dielektrischer Materialien

d bei der Messung mit Luft muss den selben Abstand aufweisen wie die Materialdicke. D.h.Messen Sie CgemM , entnehmen Sie dann das Material und messen Sie nun CgemL.

Die relative Dielektrizitätskonstante wird durch folgende Formel bestimmt:

εr =CgemM − CFCgemL − CF

(6.13)

Die Einstellung der Frequenz am RLC Meter erfolgt bei abgeschaltetem Messzyklus (Stop)nach Anwahl des entsprechenden Menüpunkts durch Betätigung der Program-Taste und zwei-maligem Drücken der Taste→. Im Anschluss lässt sich die Frequenz über die Pfeiltasten ↑ und↓ variieren. Die Änderung ist über die Taste Program abzuschließen.

Zeichnen Sie die Funktion εr = f(f) beider Proben in das vorbereitete Diagramm 6.2, sowiedie Funktion tan δ = f(f) beider Proben in das vorbereitete Diagramm 6.3. Beschriften Siebeide Diagramme. Achten Sie darauf, dass die Skalierung das Eintragen beider Materialprobenermöglicht.

6.3 Versuchsdurchführung 71

Prob

e1:

Har

t-PV

CPr

obe

2:Pe

rtin

ax

f/

Hz

Cgem

M1/

nF

tanδ 1

Cgem

L1/

nF

ε r1

Cgem

M2/

nF

tanδ 2

Cgem

L2/

nF

ε r2

20 50 100

200

500

1.00

0

2.00

0

5.00

0

10.0

00

20.0

00

50.0

00

100.

000

200.

000

500.

000

1.00

0.00

0

Tabe

lle6.

4:Fr

eque

nzab

häng

igke

itde

rrel

ativ

enPe

rmitt

ivitä

t

6.3 Versuchsdurchführung 72

Abbildung 6.2: Frequenzabhängigkeit der relativen Permittivität εr

6.3 Versuchsdurchführung 73

Abbildung 6.3: Frequenzabhängigkeit des Verlustwinkels tan δ

6.3 Versuchsdurchführung 74

Diskutieren Sie die Diagramme der einzelnen Proben. Worin und warum unterscheiden sie sich?Welche Polarisationsarten liegen vor?

6.3.4 Spezifikation verschiedener Kondensatoren

Am Praktikumsplatz finden Sie eine Reihe verschiedener Folienkondensatoren sowie die zuge-hörigen Datenblätter vor. Vermessen Sie die vorhandenen Kondensatoren (C, tan δ) bei f =

1 kHz und vergleichen Sie die Werte mit den vorgegebenen Abweichungen im Datenblatt. Wel-ches Dielektrikum wird für den jeweiligen Typ verwendet und was sind die Einsatzgebiete?Protokollieren Sie Ihre Ergebnisse in Tabelle 6.5.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen den eingesetzten Dielektrika und den Einsatzgebie-ten/Anwendungen?

6.3 Versuchsdurchführung 75

Typ

CSoll/µ

FCMess/µ

Fta

nδ M

ess

∆C/%

Die

lekt

riku

mA

nwen

dung

Bem

erku

ng

Tabe

lle6.

5:Sp

ezifi

katio

nve

rsch

iede

nerK

onde

nsat

oren

6.4 Literatur 76

6.4 Literatur

[1] CLAUSERT, H. ; WIESEMANN, G. : Grundgebiete der Elektrotechnik 1. 8. Auflage. Mün-chen, Wien : Oldenbourg, 2003

[2] MÜNCH, W. : Werkstoffe der Elektrotechnik. 6. Auflage. Stuttgart : Teubner, 1989

[3] KORIES, R. ; SCHMIDT-WALTER, H. ; KORIES, R. (Hrsg.): Taschenbuch der Elektrotech-

nik. 3. Auflage. Thun, Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutsch, 1998