παραβολή

Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Ορισμός

Παραβολή C με εστία το σταθερό σημείο Ε

και διευθετούσα τη σταθερή ευθεία δ, η οποία δε διέρχεται από το

Ε, ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,

τα οποία ισαπέχουν από το σημείο Ε και την ευθεία δ. (Ψ2 =2px)

p παράμετρος Εστία E(p/2,0)

διευθετούσα χ=-p/2


Ασκηση 1

1.Η εξίσωση ψ2=χ.

Ποιά είναι η παράμετρος P; Η εστία Ε; Και η

διευθετούσα; Ποιά η γραφική παράστασή

της;

Η Εξίσωση γράφεται ψ2=(2.1/2).χ Αρα

P=1/2

E(1/4,0)

δ: χ=-1/4

Λύση

Ασκηση 2

2. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που

έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα

συμμετρίας τον άξονα χ΄χ, oταν έχει εστία το

σημείο Ε(-1,0)

Λύση

p/2=-1 Αρα p=-2

δ: χ=-p/2 Αρα χ=1

Η εξίσωση της παραβολής είναι

ψ2=-4*χ

Ασκηση 3

3. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή

των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα χ΄χ , όταν έχει

διευθετούσα την ευθεία χ=-1/2.

Λύση

Η Διευθετούσα της παραβολής έχει εξίσωση χ=-p/2 και αφού

δίνεται ότι η διευθετούσα έχει εξίσωση χ=1/2, θα ισχύει: -

p/2=1/2 άρα p=-1.

Επομένως η εξίσωση της παραβολής είναι η ψ2=-2χ

Ασκηση 4

4. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει την κορυφή την

αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα χ΄χ και όταν

διέρχεται απο το σημείο Α(1,2)

Λύση

Αφού η παραβολή διέρχεται από το σημείο Α(1,2) οι

συντεταγμένες του σημείου θα επαληθεύουν την εξίσωση

ψ2=2px, συνεπώς θα ισχύει: 22=2.p.1 Αρα 4=2.p οπότε p=2.

Επομένως η εξίσωση της παραβολής είναι ψ2=4.χ

Χ2=2pψ Η εξίσωση αυτή γράφεται

ισοδύναμα

ψ2=(1/2p)x2 και

παριστάνει την γραφική

παράσταση της

γνωστής συνάρτησης

ψ=αχ2

Ιδιοτητες παραβολής

Απο την εξίσωση ψ2 =2pχ προκύπτει ότι τα p και χ

είναι ομόσημα. Αρα κάθε φορά η παραβολή

βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας ψ΄ψ

και η εστία Ε. Επομένως η παραβολή βρίσκεται στο

ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε.

Αν το σημείο Μ1(χ1,ψ1) είναι σημείο της παραβολής

ψ2 =2px τότε και το Μ2(χ1,-ψ1) θα είναι σημείο της

παραβολής. Γιατί; Τι είναι ο άξονας χ΄χ;


Ασκηση 5

Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της

παραβολής με εξίσωση ψ2 = 8χ

Λύση

Είναι ψ2 = 2.4χ. Οπότε η παραβολή έχει

παράμετρο p=4. Επομένως: Εστία είναι το

σημείο Ε(p/2,0), δηλαδή Ε(2,0). Διευθετούσα είναι η ευθεία δ:χ=-p/2, δηλαδή

χ=-2

Ερώτηση 1

Η παραβολή με εστία το σημείο (1,0) έχει

παράμετρο p=2;

Ερώτηση 2

Η ευθεία που έχει εξίσωση ψ=3 είναι

παράλληλη στη διευθετούσα της παραβολής

ψ2 = 16χ;

Ερώτηση 3

Κάθε σημείο της παραβολής ψ2 = 8χ ισπέχει

από την ευθεία χ=-2 και το σημείο (4,0);

Ερώτηση 4

Η διευθετούσα της ψ2 = 4ψ είναι η ευθεία

ψ=-1;

Ερώτηση 5

Ο κύκλος χ2 + ψ2 =1 περνά από την εστία της

παραβολής ψ2 = 4χ;

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Η εξίσωση της

εφαπτομένης της

παραβολής

ψ2 = 2px στο σημείο της

Α(χ1,ψ1) είναι

ψψ1=p(χ+χ1)


διάλειμμα

παραβολή

Education

Transcript of παραβολή