Άπειρο

Δημήτριος Κουβελογιάννης

Μαθηματικός 1

Το Άπειρο

Πρόλογος

Από μια σκοπιά, τα μαθηματικά είναι η

επιστήμη του απείρου. Εκεί όπου οι προτάσεις

" 2 3 5 ", "1 1 5

2 3 6 ", "ο 71 είναι πρώτος

αριθμός" αποτελούν παραδείγματα των

πεπερασμένων μαθηματικών, φαίνεται να

προβάλλουν αξιόλογα μαθηματικά όταν το

διάστημα με το οποίο ασχολούμαστε επεκταθεί

ώστε να αγκαλιάσει το άπειρο. Τα σύγχρονα μαθηματικά είναι γεμάτα απειρότητες.

Είναι δύσκολο να αποφευχθεί το άπειρο. Προτάσεις όπως:

"Υπάρχει άπειρο πλήθος σημείων σε μια πραγματική ευθεία"

"ν

νlim 1

ν 1

"

"ν

ν 1

11

2

"

"0

ημx πdx

x 2

"

"Το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο"

εμφανίζονται συχνότατα ακόμα και σε σχολικά βιβλία μαθηματικών! Έχουμε

απειρότητες και απειρότητες πάνω σε απειρότητες. Απειρότητες με το τσουβάλι,

απειρότητες πέρα από τα όνειρα κάθε εννοιολογικής φιλαργυρίας!

Το πιο απλό από όλα τα άπειρα αντικείμενα είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών

(1,2,3,4,… , όπου οι τελείες δείχνουν ότι ο κατάλογος συνεχίζεται για πάντα. Δεν

σταματά ποτέ.). Το σύνολο, των φυσικών αριθμών, έχει την ιδιότητα ότι, αν

κάποιος αριθμός ανήκει σε αυτό, το ίδιο ισχύει και για τον επόμενό του. Έτσι δεν

υπάρχει ένας φυσικός αριθμός, ο οποίος να είναι μεγαλύτερος από όλους τους

άλλους, αφού μπορούμε πάντα προσθέτοντας μια μονάδα να βρούμε έναν ακόμα

μεγαλύτερο. Μια άλλη ιδιότητα του είναι ότι δεν μπορείς ποτέ να το εξαντλήσεις

αφαιρώντας κάθε φορά ένα μέλος του. Αν για παράδειγμα διαγράψουμε τους

αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…, 1000 από το , αυτό που παραμένει είναι και πάλι

ένα άπειρο σύνολο. Δηλαδή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το σύνολο των φυσικών

αριθμών είναι μια ανεξάντλητη πηγή, το κέρας της Αμάλθειας.

Αυτό το κέρας της Αμάλθειας με όλες τις μαγικές του ιδιότητες, που εμφανίζονται

να συγκρούονται με κάθε εμπειρία της πεπερασμένης μας ζωής, είναι ένα απόλυτα

βασικό αντικείμενο στα μαθηματικά και θεωρείται ότι βρίσκεται μέσα στα όρια

κατανόησης των παιδιών του δημοτικού. Τα μαθηματικά μάς ζητούν να πιστεύουμε

σε αυτό το μαγικό κέρας και αν δεν το κάνουμε, δεν πρόκειται να πάμε πολύ μακριά.

Είναι ενδιαφέρον να κάνουμε εικασίες για το πώς παρεμβαίνει στα μαθηματικά η

έννοια του απείρου. Ποια είναι η καταγωγή της; Η αντίληψη μεγάλων χρονικών

διαστημάτων; Η αντίληψη μεγάλων αποστάσεων όπως είναι οι αχανείς έρημοι της

Μεσοποταμίας ή η ευθεία γραμμή μέχρι τα άστρα; Ή μήπως θα μπορούσε να είναι ο

Η έννοια του Απείρου



αγώνας της ψυχής για πραγμάτωση και αντίληψη, ή ο αγώνας για υπέρτατες αλλά μη

αισθητές εξηγήσεις;

Το άπειρο είναι εκείνο που δεν έχει πέρας. Είναι αιώνιο, αθάνατο,

αυτοανανεούμενο, το "άπειρον" των αρχαίων Ελλήνων, το ein-sof της Kabbalah, το

κοσμικό μάτι των μυστικιστών που μας παρατηρεί και μας ενεργοποιεί από το θείο.

Ας δούμε την ακόλουθη ισότητα

1 1 1 1... 1

2 4 8 16

ή στην πιο γνωστή και κομψή της έκφραση

νν 1

11

2

Στο αριστερό μέλος, το λειψό, το άπειρο, που αγωνίζεται. Στο δεξί μέλος το

πεπερασμένο, η εκπλήρωση. Υπάρχει μια ένταση ανάμεσα στις δυο πλευρές που είναι

η πηγή της δύναμης και του παραδόξου. Υπάρχει μια κατακλυστική μαθηματική

επιθυμία να γεφυρώσουμε το χάσμα ανάμεσα στο πεπερασμένο και στο άπειρο.

Ζητάμε να ολοκληρώσουμε αυτό που δεν είναι ολοκληρωμένο, να το συλλάβουμε, να

το φυλακίσουμε, να το δαμάσουμε.

Τι σκέφτηκε ο Cantor Ένα πολύ εύστοχο παράδειγμα που διάβασα κάποτε, περιλάμβανε ένα βοσκό και το

κοπάδι του από πρόβατα. Ας σκεφτούμε λοιπόν ότι υπάρχει ένας τέτοιος βοσκός ο

οποίος δεν έμαθε ποτέ του να μετρά κι όμως πρέπει οπωσδήποτε να βρει ένα τρόπο

για να δει αν κάθε βράδυ γυρνούν όλα τα πρόβατα στο μαντρί ή αν έχασε κάποιο.

Αυτός ο βοσκός λοιπόν κατέβασε την

ακόλουθη ιδέα:

Πήρε ένα σακούλι και για κάθε πρόβατο

που θα έβγαινε το πρωί από το μαντρί, θα

έριχνε κι ένα χαλίκι στο σακούλι. Το

βράδυ αντίστοιχα, για κάθε πρόβατο που

θα έμπαινε στο μαντρί θα έβγαζε ένα

χαλίκι από το σακούλι και αν όλα είχαν πάει καλά την ώρα που θα έμπαινε το

τελευταίο πρόβατο στο μαντρί θα έβγαζε κι αυτός το τελευταίο χαλίκι από το

σακούλι. Τόσο απλά, χωρίς καν να γνωρίζει κάποιο αριθμητικό σύστημα ο βοσκός,

και ήρωας της ιστορίας μας, θα έχει λύσει το πρόβλημά του με απόλυτη ακρίβεια.

Αν το δούμε από μαθηματικής σκοπιάς, αυτός ο βοσκός μόλις έκανε μια "ένα προς

ένα" ("1-1") αντιστοίχιση του συνόλου των προβάτων σε ένα σύνολο χαλικιών!

Κάπως έτσι λοιπόν λειτούργησε και ο Cantor , ως ένας άλλος βοσκός, για να εξετάσει

τους πληθικούς αριθμούς των βασικών συνόλων και τις μεταξύ τους σχέσεις.




Βασικές Έννοιες

Πρώτα λοιπόν ας δουμε κάποιους βασικούς ορισμούς και αξιώματα:

Σύνολο ονομάζεται μια συλλογή αντικειμένων που έχουν όλα μια κοινή

ιδιότητα.

Το σύνολο 1,2,3,4,... είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Το σύνολο ... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,... είναι το σύνολο των ακεραίων

αριθμών.

Το σύνολο p

x :x ,όπου p,q και q 0q

είναι το σύνολο των

ρητών αριθμών.

Το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα προηγούμενα με την προσθήκη των

άρρητων αριθμών (όπως η 2 , το γνωστό μας π, κλπ.) είναι το σύνολο των

πραγματικών αριθμών.

Το διάστημα α,β είναι ένα σύνολο αριθμών που περιέχει τους αριθμούς

ανάμεσα στο α και στο β, όχι όμως και τα άκρα α και β.

Το διάστημα α,β είναι ένα σύνολο αριθμών που περιέχει τους αριθμούς

ανάμεσα στο α και στο β, συμπεριλαμβανομένων και των α και β.

Ένα σύνολο λέγεται πεπερασμένο όταν περιέχει πεπερασμένο πλήθος

στοιχείων ενώ λέγεται απειροσύνολο όταν περιέχει άπειρο πλήθος στοιχείων.

Πληθικός αριθμός ενός συνόλου Α ονομάζεται το πλήθος των στοιχείων του,

και συμβολίζεται με card A .

Ισοδύναμα ονομάζονται τα σύνολα που έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό.

Ο πληθικός αριθμός του συνόλου των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με

0 και διαβάζεται ως "Άλεφ μηδέν" (από το αντίστοιχο γράμμα του

Εβραϊκού αλφαβήτου). Δηλαδή 0card .

Ένα απειροσύνολο θα λέγεται αριθμήσιμο όταν υπάρχει μια "ένα προς ένα"

αντιστοιχία (θυμάστε το βοσκό;) των στοιχείων του με τα στοιχεία του

συνόλου των φυσικών αριθμών.

Ένα απειροσύνολο θα λέγεται μη αριθμήσιμο όταν δεν μπορεί να βρεθεί μία

"ένα προς ένα" αντιστοιχία των στοιχείων του με αυτά των φυσικών αριθμών.

Αυτό το σύνολο θα έχει πληθικό αριθμό διάφορο του 0 .




Άρτιοι/Περιττοί εναντίον Φυσικών αριθμών Έστω λοιπόν ότι κάποιος σας θέτει το εξής απλό ερώτημα:

"Ποιοι είναι πιο πολλοί; Οι άρτιοι (/περιττοί) ή οι φυσικοί αριθμοί;"

Για τους περισσότερους η πρώτη αντίδραση θα ήταν κάτι σαν …"Μα αφού είναι

άπειροι!"

Κατόπιν η δεύτερη σκέψη θα ήταν να πάρουν ένα μικρό υποσύνολο φυσικών (π.χ.

από το 1 εως το 10) και να σκεφτούν ότι σε αυτό οι άρτιοι είναι λιγότεροι από τους

φυσικούς αριθμούς. "Άρα επαγωγικά…Οι άρτιοι είναι λιγότεροι από τους φυσικούς".

Να όμως που αυτή η σκέψη θα ήταν λανθασμένη! Αυτό βέβαια συμβαίνει γιατί

κοντά στο άπειρο, ανατρέπονται όσα μας λένε οι αισθήσεις μας!

Τί σκέφτηκε λοιπόν ο Cantor:

Έκανε μια αντιστοίχιση "ένα προς ένα" κατά τον ακόλουθο τρόπο: 1 2 3 4 5 ... ν ...

2 4 6 8 10 ... 2ν ...

Όμως έτσι απέδειξε ότι κάθε φυσικός αριθμός τίθεται σε αντιστοιχία "ένα προς ένα"

με τους άρτιους αριθμούς!!! Αυτό σημαίνει ότι οι άρτιοι αριθμοί είναι ίσοι στο

πλήθος με τους φυσικούς αριθμούς!!

"Παράξενο!!", θα σκέφτονταν οι περισσότεροι. Πώς είναι δυνατόν το σύνολο των

φυσικών αριθμών που περιλαμβάνει, εκτός από τους άρτιους και τους περιττούς

αριθμούς, να έχει ακριβώς το ίδιο πλήθος στοιχείων με το σύνολο μόνο των άρτιων;!

Πώς είναι δυνατόν ένα γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου να έχει το ίδιο πλήθος

στοιχείων με ολόκληρο το σύνολο;! Όμως ακριβώς αυτό είναι το παράδοξο των

απειροσυνόλων: "Ένα απειροσύνολο μπορεί να είναι ισοδύναμο με ένα από τα

υποσύνολά του". Με άλλα λόγια "το άπειρο είναι ίσο με μέρη του"

Αντίστοιχα το ίδιο θα συμβαίνει, με ανάλογους τρόπους απόδειξης, και για τους

περιττούς, αλλά και για τα πολλαπλάσια οποιουδήποτε φυσικού αριθμού μ.

Ακέραιοι εναντίον Φυσικών αριθμών Σε αυτό θα μπούμε πιο υποψιασμένοι και δεν θα απαντήσουμε βιαστικά! Μπορούμε

όμως να βρούμε τέτοια αντιστοίχιση "ένα προς ένα"; Τι έκανε ο Cantor όταν έθεσε

αυτό το έρωτημα; ... ν ... 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ... ν ...

2ν 1 7 5 3 1 2 4 6 8 10 2ν 2

Δηλαδή αντιστοιχίζοντας:

Τους θετικούς ακέραιους και το μηδέν, στους άρτιους αριθμούς και

Τους αρνητικούς ακεραίους, στους περιττούς αριθμούς

έχουμε αυτήν την "ένα προς ένα" αντιστοιχία ανάμεσα στους ακεραίους και τους

φυσικούς και έτσι αποδείξαμε ότι: "Οι ακέραιοι είναι ίσοι σε πλήθος με τους

φυσικούς"!

card card




Ρητοί εναντίον Φυσικών αριθμών

Εντάξει, να το δεχθούμε ότι οι

άρτιοι και οι ακέραιοι είναι όσοι και

οι φυσικοί αριθμοί. Αλλά οι ρητοί;

Αφού ανάμεσα σε δύο

οποιουσδήποτε φυσικούς υπάρχουν

άπειροι ρητοί αριθμοί!! Άσε που

υπάρχουν και οι αρνητικοί ρητοί

(πάλι άπειροι κι αυτοί)!

Ίσως να ξεκινήσουμε να δούμε πως

μπορούμε να παραστήσουμε όλους

τους ρητούς. Μία σκέψη θα ηταν να

παραστήσουμε τους θετικούς και

μετά με ανάλογο τρόπο τους

αρνητικούς. Αυτό θα μπορούσε να

γίνει με τη βοήθεια ενός πίνακα.

μ

ν 1 2 3 4 …

1 1

1

1

2

1

3

1

4 …

2 2

1

2

2

2

3

2

4 …

3 3

1

3

2

3

3

3

4 …

4 4

1

4

2

4

3

4

4 …

Αυτοί θα είναι όλοι οι θετικοί ρητοί! Παρατηρούμε βέβαια ότι κάποιοι ρητοί αν κι

έχουν διαφορετικούς όρους, κατόπιν απλοποιήσεων, ισούνται μεταξύ τους, όπως

1 2 3 4... 1

1 2 3 4 δηλαδή τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου, αλλά αυτό δεν μας

απασχολεί καθόλου, αρκεί να περιλαμβάνονται όλοι οι θετικοί ρητοί σε αυτόν τον

πίνακα.

Τώρα το θέμα μας είναι η αντιστοίχιση με τους φυσικούς (αν υπάρχει φυσικά). Αν

καταφέρουμε να την κάνουμε για τους θετικούς ρητούς του παραπάνω πίνακα, θα

βρούμε τον τρόπο να το κάνουμε για όλους τους ρητούς.

Μια πρώτη σκέψη θα ήταν να πάρουμε τα στοιχεία γραμμή – γραμμή

αντιστοιχίζοντας κάθε στοιχείο σε κάποιο φυσικό αριθμό. Όμως η πρώτη

γραμμή δεν τελειώνει ποτέ, άρα δεν μπορούμε να προχωρήσουμε σε επόμενη.

Μετά από αυτό, το να πάρουμε κατά στήλες πάλι θα σκόνταφτε στο ίδιο

πρόβλημα, αφού και η πρώτη στήλη επίσης δεν εξαντλείται.




Το πρόβλημά μας φαίνεται να συνίσταται στο ότι ο πίνακας αυτός "φεύγει προς το

άπειρο" προς δύο κατευθύνσεις και γι' αυτό δεν βοηθά να πάμε οριζόντια η

κατακόρυφα. Εδώ χτυπά και πάλι η μεγαλοφυΐα του Cantor.

1

1

1

2

1

3

1

4 …

2

1

2

2

2

3

2

4 …

3

1

3

2

3

3

3

4 …

4

1

4

2

4

3

4

4 …

Η τεθλασμένη αυτή γραμμή διατρέχει όλους τους θετικούς ρητούς , που βρίσκονται

στον πίνακα και έχει άπειρο μήκος. Ακολουθώντας την πορεία της και

αντιστοιχίζοντας σε κάθε αριθμό και έναν φυσικό (προσπερνώντας φυσικά όσους

έχουμε ξανασυναντήσει, όπως το 1

1 και το

2 3ή το

2 3)πετυχαίνουμε το στόχο μας:

1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 1 1 2 3

1 2 1 1 3 4 3 2 1 1 5 6 5 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Δείξαμε λοιπόν ότι οι θετικοί ρητοί έχουν το ίδιο πλήθος με τους φυσικούς αριθμούς.

Συμβαίνει όμως το ίδιο με όλους τους ρητούς;

1

4

1

3

1

2

1

1 0

1

1

1

2

1

3

1

4

2

4

2

3

2

2

2

1

2

1

2

2

2

3

2

4

3

4

3

3

3

2

3

1

3

1

3

2

3

3

3

4

4

4

4

3

4

2

4

1

4

1

4

2

4

3

4

4

Μία αντιστοίχιση λοιπόν θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη:

3

2

2

3

1

4

1

3

3

1

2

1

1

2

1

1 0

1

1

1

2

2

1

3

1

1

3

1

4

2

3

3

2

15 13 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18




Δηλαδή αντιστοιχίζοντας το μηδέν και τους θετικούς ρητούς στους άρτιους φυσικούς

αριθμούς και τους αρνητικούς ρητούς στους περιττούς φυσικούς αριθμούς έχουμε μία

"ένα προς ένα" αντιστοίχιση όλων των ρητών στους φυσικούς αριθμούς.

Δείξαμε λοιπόν ότι οι ρητοί αριθμοί είναι όσοι και οι φυσικοί αριθμοί! (Όπερ

σημαίνει ότι το σύνολο των ρητών είναι κι αυτό απειροσύνολο μεν, αριθμήσιμο δε!)

card card

Πραγματικοί εναντίον Φυσικών αριθμών Μέχρι τώρα δείξαμε ότι όλα τα γνωστά σύνολα μέχρι τους ρητούς έχουν το ίδιο

πλήθος στοιχείων (είναι αριθμήσιμα με 0card card card ).

Συνεπώς αρχίζουν να μας περνούν περίεργες σκέψεις ότι το ίδιο μπορεί να συμβαίνει

και με το σύνολο των Πραγματικών αριθμών ( ).

Όλα αυτά ήταν θελκτικά, αλλά δεν ήταν νέα για τον Cantor. Η έννοια του

πληθικότητας των απειροσυνόλων ήταν ενδιαφέρουσα μόνο αν μπορούσε να

αποδειχθεί ότι όλα τα απειροσύνολα δεν έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Αυτή ήταν η

πρώτη μεγάλη ανακάλυψη του Cantor στη θεωρία συνόλων. Από τις μεγαλύτερες

επιτυχίες του το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα, το οποίο και χρησιμοποίησε για να

συγκρίνει τις πληθικότητες του ανοιχτού συνεχούς διαστήματος 0,1 και των

φυσικών αριθμών.

Ας πάμε λοιπόν να δούμε το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα:

Εισαγωγή

Οι αριθμοί που βρίσκονται στο διάστημα 0,1 μπορούν να γραφούν ως δεκαδικοί

στη μορφή:

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

r 0, d d d

r 0,d d d

r 0,d d d

όπου

11 12

11 12

d 9 ή d 9 ή ....

ή

d 0 ή d 0 ή ....

,

21 22

21 22

d 9 ή d 9 ή ....

ή

d 0 ή d 0 ή ....

, …..

(δηλαδή τουλάχιστον ένα εκ των δεκαδικών ψηφίων του 1x είναι διαφορετικό του 0

και του 9 ή αλλιώς να μην είναι όλα μηδέν ή όλα 9. Αντίστοιχα το ίδιο θέλουμε και

για τους 2 3x , x ,...). Αυτό το απαιτούμε για να μην έχουμε το 0,0000000.... που είναι

ίσο με μηδέν και για να μην έχουμε το 0,99999.... που είναι ίσο με 1 (αυτό θα το

δείξουμε σε άλλο άρθρο).




Υπόθεση

Έστω λοιπόν ότι το διάστημα 0,1 είναι αριθμήσιμο. Τότε θα υπάρχει μία "ένα προς

ένα" αντιστοίχιση με το σύνολο των φυσικών αριθμών:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0, d d d ...

2 0, d d d ...0,1

3 0, d d d ...

Απαγωγή σε άτοπο

Κατασκευάζουμε τον αριθμό x ως εξής:

1 2 3x 0, x x x ...

όπου 1 11 2 22 3 33x d , x d , x d ,...

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 32 33

r 0, d d d

r 0,d d d

r 0,d d d

(Μέχρι τώρα όλοι έχουμε καταλάβει γιατί λέγεται διαγώνιο επιχείρημα)

Έτσι o αριθμός x ανήκει στο 0,1 και δεν περιλαμβάνεται στην προηγούμενη

αντιστοιχία αφού:

Ο x διαφέρει από τον 1r στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο

Ο x διαφέρει από τον 2r στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο

Ο x διαφέρει από τον 3r στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο

Έτσι βρήκαμε έναν αριθμό που δεν ανήκει στην προηγούμενη αντιστοιχία το οποίο

όμως έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεσή μας. Παρόλα αυτά ακόμα και να

προσθέταμε τον x στην αντιστοιχία μας, πάλι με τον ίδιο τρόπο θα κατασκευάζαμε

έναν άλλο αριθμό που δεν θα υπήρχε μέσα στη νέα αντιστοιχία.

Συμπέρασμα

Άρα το διάστημα 0,1 δεν είναι αριθμήσιμο, γιατί δεν υπάρχει "ένα προς ένα"

αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς. Δηλαδή το διάστημα 0,1 είναι

απειροσύνολο (το ξέραμε από πριν αυτό) και έχει παραπάνω στοιχεία από το σύνολο

των φυσικών αριθμών! Δηλαδή ισχύει ότι:

card card 0,1

Αν σκεφτούμε παράλληλα ότι το 0,1 είναι γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών

αριθμών, τότε σίγουρα οι πραγματικοί αριθμοί έχουν το ίδιο ή μεγαλύτερο πλήθος

στοιχείων. Ας το σκεφτούμε γεωμετρικά:




Αν πάρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (όσο μικρό θέλουμε) και ένα ΓΔ,

μεγαλύτερο από το ΑΒ. Στη συνέχεια φέρνουμε τις ευθείες ΓΑ και ΔΒ που τέμνονται

στο Ο. Στη συνέχεια φέρνουμε πολλές (πάρα πάρα πάρα πολλές) ευθείες από το Ο, οι

οποίες θα τέμνουν το ΑΒ και το ΓΔ σε αντίστοιχα σημεία. Αυτή η δέσμη ευθειών που

άγονται από το Ο δημιουργεί μια "ένα προς ένα" αντιστοιχία μεταξύ των σημείων

των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ, με αποτέλεσμα κάθε εσωτερικό στοιχείο

του ΑΒ να αντιστοιχεί σε ένα εσωτερικό σημείο του ΓΔ και αντίστροφα. Δηλαδή το

(μικρότερο) ΑΒ και το (μεγαλύτερο) ΓΔ έχουν το ίδιο πλήθος σημείων! Στη συνέχεια θα μπορούσαμε να μεγαλώσουμε το τμήμα ΓΔ όσο θέλουμε

απομακρύνοντάς το, όλο και πιο πολύ από το ΑΒ. Αν το απομακρύνουμε στο άπειρο,

στην πραγματικότητα θα το κάνουμε τεράστιο και στην πραγματικότητα θα το έχουμε

μετατρέψει σε μια ευθεία γραμμή. Όμως με τον ίδιο τρόπο το πλήθος των σημείων

αυτής της ευθείας θα ήταν το ίδιο με το πλήθος των σημείων του μικρού ΑΒ! Άρα αν

τα εσωτερικά σημεία του ΑΒ αντιστοιχούν στο διάστημα (0,1) και η ευθεία

ισοδυναμεί με τον άξονα των πραγματικών αριθμών, τότε το διάστημα (0,1) έχει το

ίδιο πλήθος στοιχείων με τους πραγματικούς αριθμούς! Αυτό επεκτείνεται και στο

ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ισοδύναμο με οποιοδήποτε

υποσύνολό του, (α,β) (όσο μικρό κι αν είναι αυτό το διάστημα – ακόμα και

απειροστό, δηλαδή απείρως μικρό, τόσο μικρό που να είναι σχεδόν μηδενικό)!




Τα Άπειρα κατά Cantor

Έτσι ο Cantor κατέληξε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά είδη

απειρότητας. Το πρώτο είδος αφορά στην απειρότητα των φυσικών αριθμών (και

όλων των ισοδύναμων απειροσυνόλων) και καλείται 0 . Το δεύτερο είδος

απειρότητας είναι αυτό που αντιπροσωπεύεται από ένα ευθύγραμμο τμήμα και

απεικονίζεται με το γοτθικό c. (από τη λέξη "continuum" που σημαίνει "συνεχές").

Δηλαδή μέχρι στιγμής έχουμε τα εξής:

0card card card c card 0,1 card α,β card

Σε αυτό το σημείο ο Cantor κόντρα σε οποιαδήποτε ανθρώπινη αίσθηση και

"λογική" κατάφερε να το πάει ακόμη ένα βήμα παραπέρα. Κατάφερε να βρει "ένα

προς ένα" αντιστοιχία μεταξύ των σημείων ενός οσοδήποτε μικρού ευθύγραμμου

τμήματος και ενός οποιουδήποτε παραλληλογράμμου στο επίπεδο ή ακόμα και ενός

οποιουδήποτε κύβου στον τρισδιάστατο χώρο!! Ακόμα και μεταξύ ενός τέτοιου

ευθύγραμμου τμήματος και ολόκληρου του μη φραγμένου ν-διάστατου (δηλαδή

χώρων ακόμα και ν διαστάσεων. Βέβαια μέσω των αισθήσεών μας μπορούμε να

αντιληφθούμε ένα χώρο το πολύ τριών διαστάσεων). Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο

Cantor κατάφερε να αποδείξει ότι "Ένα οσοδήποτε μικρό ευθύγραμμο τμήμα, έχει

το ίδιο πλήθος σημείων με ολόκληρη την ευθεία στην οποία ανήκει, ή με

ολόκληρο το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται, ή με ένα οποιοδήποτε στερεό ακόμα

και με ολόκληρο το σύμπαν (όσων διαστάσεων και να είναι, το οποίο ακόμη είναι

ανοιχτό για τη φυσική)".

Όταν γίνει το πρώτο βήμα στην αλυσίδα των απείρων, ακολουθεί φυσικά το

επόμενο. Ας σκεφτούμε τώρα ένα σύνολο Α και ένα σύνολο P A το οποίο περιέχει

όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α και το οποίο καλείται δυναμοσύνολο του Α. Για να

κατανοήσουμε την έννοια του δυναμοσυνόλου ας δούμε το επόμενο παράδειγμα:

Έστω Α 1,2,3 , τότε τα δυνατά υποσύνολα του Α είναι τα:

, 1,2,3 , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3

Άρα το δυναμοσύνολο του Α θα είναι ένα σύνολο που θα περιέχει σύνολα αυτά:

P A , 1,2,3 , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3

Βλέπουμε ότι το Α είχε 3 στοιχεία, ενώ το συναμοσύνολό του είχε 38 2 στοιχεία.

Γενικά αν Α είναι ένα σύνολο με ν στοιχεία, τότε το δυναμοσύνολό του, P A θα

έχει ν2 στοιχεία. Αν στη συνέχεια πάρουμε το δυναμοσύνολο του δυναμοσυνόλου

αυτό θα έχει ν22 στοιχεία κοκ.

Ο Cantor, λοιπόν, απέδειξε ότι, αν το Α είναι πεπερασμένο ή άπειρο, το

δυναμοσύνολο του Α δεν είναι ποτέ ισοδύναμο με το ίδιο το Α. Δηλαδή ότι έχει

περισσότερα στοιχεία από το Α. Συμβόλισε λοιπόν, τον πληθικό αριθμό του

δυναμοσυνόλου των φυσικών με 1 card P και έδειξε ότι:

0

0 1 2

Επομένως η διαδικασία σχηματισμού του δυναμοσυνόλου, δημιουργεί μια ατελείωτη

αλυσίδα από αυξανόμενα και μη ισοδύναμα απειροσύνολα. Ειδικότερα για το σύνολο




των φυσικών αριθμών, αποδεικνύεται ότι το P είναι ισοδύναμο με το συνεχές

(που αναφέραμε παραπάνω). Δηλαδή: 0

1 2 c

Στη συνέχεια μπορούμε να ορίσουμε το δυναμοσύνολο του δυναμοσυνόλου των

φυσικών αριθμών, δηλαδή το P P A , το οποίο θα έχει πληθικό αριθμό:

01 2

2 2 2

Άρα θα ισχύει:

0 1 2

Όπως καταλαβαίνουμε αυτή η διαδικασία δημιουργίας δυναμοσυνόλων και των

αντίστοιχων πληθικών αριθμών τους μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον:

0 1 2 3c ....

Δηλαδή βλέπουμε ότι υπάρχουν απειρότητες μεγαλύτερες από την απειρότητα των

πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν, κατά Cantor, άπειρα είδη απειροτήτων!

Αυτή ήταν η γέννηση των υπερπερασμένων αριθμών, δηλαδή των πληθικών

αριθμών των απειροσυνόλων και των δυναμοσυνόλων τους! Μάλιστα σχηματίζεται

ένα νέο πεδίο άλγεβρας ανάμεσα σε αυτές τις απειρότητες, η αριθμητική των

υπερπερασμένων αριθμών. Το επόμενο κάθε φορά μπορεί να προκύψει από το

προηγούμενο με μια απλή αλγεβρική πράξη α

α 12

. Θα μπορούσαμε ακόμα και

να κατασκευάσουμε υπολογιστή τσέπης με πράξεις ανάμεσα στα είδη του απείρου!

Κάπου εδώ λοιπόν γεννάται το επόμενο ερώτημα (είναι, άλλωστε, στη φύση του

ανθρώπου να μην κάθεται ήσυχος, αλλά πάντα να αναζητά το περισσότερο):

Υπάρχει κάποιο απειροσύνολο με πληθικότητα ανάμεσα στο 0

και στο c;

Δηλαδή υπάρχουν κι άλλες απειρότητες ανάμεσα στις ήδη υπάρχουσες κι αν ναι,

πόσες; Αυτό το ερώτημα το αντιμετώπισε ο Cantor, όμως δεν μπόρεσε να βρει τέτοιο

σύνολο. Δυστυχώς δεν κατάφερε να το αποδείξει, όμως συνέλαβε την υπόνοια ότι δεν

υπάρχει τέτοιο σύνολο. Αυτή η υπόθεση του Cantor , είναι γνωστή με το όνομα

"υπόθεση του συνεχούς". Η απόδειξη αυτής της υπόθεσης ή έστω η απόδειξη της

άρνησής της ήταν πρώτη στον περίφημο κατάλογο των 23 άλυτων προβλημάτων που

συνέταξε ο David Hilbert to 1900 (και που κατά τον ίδιο ήταν προβλήματα σταθμοί

που θα επηρέαζαν την τάση των μαθηματικών του 20ου

αιώνα).

Η ανάπτυξη μιας "Μη Καντοριανής Θεωρίας Συνόλων"

Με εργαλεία τη διαίσθηση και την ιδιοφυΐα του ο Cantor κατάφερε να προχωρήσει

τα μαθηματικά 300 χρόνια μπροστά, παίζοντας τον ανάλογο ρόλο που έπαιξε ο

Θαλής για τη γεωμετρία τον 6ο π.Χ. αιώνα. Όμως, όπως στην εποχή του Θαλή

χρειάστηκε να έρθει ο Ευκλείδης για να θεμελιώσει τη γεωμετρία (που πήρε και το

όνομά του) με τα αξιώματά της, τα θεωρήματα, τις προτάσεις και να την κάνει μια

σύγχρονη επιστήμη, έτσι και στη θεωρία συνόλων ήρθε ο Zermelo to 1908 για να

εισάγει ένα σύστημα 9 αξιωμάτων (για όποιον θέλει να ασχοληθεί περισσότερο θα

βρει παραπάνω πληροφορίες για τα αξιώματα στον ακόλουθο σύνδεσμο

http://www.britannica.com/topic/set-theory/Axiomatic-set-theory), τα οποία

απέκτησαν την τελική τους μορφή και παρουσιάστηκαν το 1922 από τους Fraenkel

και Skolem και εν τέλει αποτέλεσαν και αποτελούν μέχρι σήμερα το θεμέλιο λίθο της

http://www.britannica.com/topic/set-theory/Axiomatic-set-theory




θεωρίας συνόλων. Το σύστημα αυτό των αξιωμάτων περιείχε ως τελευταίο ένα

αξίωμα το οποίο είναι γνωστό με το όνομα "Αξίωμα της Επιλογής". Όμως το

πραγματικό τρόπαιο παρέμενε η "υπόθεση του συνεχούς" του Cantor.

To 1938 ο πασίγνωστος -για το θεώρημα της μη πληρότητας- Kurt Gödel

παρουσίασε μια θεωρία κατασκευάσιμων συνόλων στην οποία κατάφερε να αποδείξει

ως θεωρήματα και το "αξίωμα της επιλογής" και την "υπόθεση του συνεχούς". Όμως

θα έπρεπε να ήμαστε διατεθειμένοι να αποδεχθούμε το αξίωμα ότι υπάρχουν μόνο

κατασκευάσιμα σύνολα. Πέρα από αυτό όμως ο Gödel κατάφερε να αποδείξει κάτι

πάρα πολύ σημαντικό! Ότι η "υπόθεση του συνεχούς" είναι συνεπής με τα υπόλοιπα

αξιώματα στο σύστημα (Zermelo – Fraenkel). Αυτό σήμαινε ότι δεν μπορούσε να

αποδειχθεί ότι η "υπόθεση του συνεχούς" δεν ισχύει!

Το 1963 ο Paul Cohen απέδειξε (με τη μέθοδο του "επιβαλλόμενου" ή αλλιώς

"forcing" όπως ονομάστηκε) ότι η "υπόθεση του συνεχούς" δεν μπορεί ούτε να

αποδειχθεί ότι ισχύει! Αυτό ήταν σημαντικό γιατί συνδυάζοντας τις εργασίες των

Gödel και Cohen μπορούμε να πούμε ότι η "υπόθεση του συνεχούς" είναι τελείως

ανεξάρτητη με το αξιωματικό σύστημα των Zermelo – Fraenkel. Επομένως

ανοίγει ο δρόμος είτε για την αποδοχή της ως ένα επιπλέον αξίωμα και την

οικοδόμηση της ανάλογης θεωρίας συνόλων, είτε για την άρνησή της ως ένα αξίωμα

που θα μας οδηγούσε ακριβώς σε μία νέα θεωρία συνόλων, την οποία θα μπορούσαμε

να ονομάσουμε "Μη Καντοριανή θεωρία συνόλων". Αντίστοιχο παράδειγμα έχουμε

από την Ευκλείδια Γεωμετρία και τις Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες που χρησιμοποιούν

τα ίδια αξιώματα εκτός από το 5ο αξίωμα, γνωστό και ως "αξίωμα των παραλλήλων".

Η αλήθεια είναι ότι δεν έχει ακόμα αποφασιστεί αν αληθεύει, ή όχι, η "υπόθεση του

συνεχούς". Οι Gödel και Cohen απέδειξαν ότι τα αξιώματα Zermelo – Fraenkel για τη

θεωρία συνόλων δεν επαρκούν για μια τέτοια απόφανση. Αν πιστεύουμε ότι τα

σύνολα είναι αληθινά, ίσως να πειστούμε ότι η "υπόθεση του συνεχούς" μπορεί να

είναι αληθής ή ψευδής. Αυτό που πρέπει να κάνουμε τότε είναι να ανακαλύψουμε ένα

νέο αξίωμα ενορατικά εύλογο και αρκετά ισχυρό για να απαντήσει στο ερώτημα.

Κανείς δεν βρήκε ένα τέτοιο αξίωμα και, επομένως, παραμένει στην ελεύθερη μας

επιλογή να αποδεχθούμε την "υπόθεση του συνεχούς" ή να την απορρίψουμε.

Ό,τι και αν συμβαίνει τελικά, έχει τεράστια σημασία ότι άνθρωποι όπως οι Cantor

τόλμησαν ενάντια στις ανθρώπινες αισθήσεις και προχώρησαν πολλά βήματα πιο

πέρα την ανθρώπινη νόηση. Αν αυτή η πρόοδος ήταν προς την κατεύθυνση μιας

αυταπαπόδεικτης, μοναδικής και αντικειμενικής αλήθειας, είναι ένα ερώτημα σχεδόν

αδύνατον να απαντηθεί. Σήμερα οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι έχουν καταφέρει να

δαμάσουν, να αξιοποιούν και να χρησιμοποιούν το άπειρο. Μήπως το μαθηματικό

άπειρο είναι μια απάτη; Μήπως εκφράζει τελικά, κάτι που δεν είναι καν άπειρο; Το

σίγουρο είναι ότι η μαθηματική επιστήμη έχει ακόμα να επιλύσει, εκτός από

αναρίθμητα ερωτήματα πάνω στο θέμα, και πολλά παράδοξα και μυστήρια που

κρύβονται στο χώρο του απείρου!




Georg Cantor

O Georg Cantor ήταν διάσημος

μαθηματικός, ευρύτερα γνωστός για τη

θεωρία συνόλων που ανέπτυξε, τους

υπερπεπερασμένους αριθμούς (απείρως

μεγάλων αριθμών, αλλά διακριτών μεταξύ

τους), αλλά κυρίως για την ενασχόλησή του

με το άπειρο και την απόδειξη τουλάχιστον

δύο ειδών απείρου.

Γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην

Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας από Δανούς

γονείς. Η οικογένειά του μετακόμισε στη

Φρανκφούρτη της Γερμανίας το 1856. Το

1862, ο Cantor αποφοίτησε από το ETH

Ζυρίχης. Το 1863 μετακόμισε στο

πανεπιστήμιο του Βερολίνου ώστε να

εξειδικευτεί στη φυσική, στη φιλοσοφία και

στα μαθηματικά. Εκεί διδάχθηκε από

μαθηματικούς όπως ο Karl Theodor

Weierstrass (o οποίος ειδικευόταν στην

Ανάλυση), ο Ernst Kummer (ο οποίος ειδικευόταν στην υψηλή αριθμητική) και ο

Leopold Kronecker (ο οποίος ειδικευόταν στη Θεωρία Αριθμών και αργότερα του

αντιτέθηκε).

Το 1867, μετά από ένα εξάμηνο στο πανεπιστήμιο του Göttingen, ο Cantor

συνέγραψε την διδακτορική του διατριβή με τίτλο "In re mathematica ars propendi

pluris facienda est quam solvendi" ("Στα μαθηματικά η τέχνη του να κάνεις ερωτήσεις

είναι πολυτιμότερη από το να λύνεις προβλήματα.").

To 1873 o Cantor απέδειξε ότι οι Ρητοί αριθμοί, αν και άπειροι, είναι αριθμήσιμοι.

Απέδειξε επίσης ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ήταν άπειρο και μη

μετρήσιμο. Στην αρχή η εργασία αυτή δεν δημοσιεύτηκε εξαιτίας του Kronecker, ο

οποίος εναντιώθηκε στη δουλειά του πρώην φοιτητή του. Δημοσιεύτηκε όμως το

1874, κατόπιν παρεμβάσεως του Dedekind, με τίτλο "Über eine Eigenschaft des

Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Περί μιας χαρακτηριστικής ιδιότητας

όλων των Πραγματικών Αλγεβρικών Αριθμών").

Το 1874 παντρεύτηκε την Vally Guttmann και μαζί έκαναν έξι παιδιά μέχρι το 1886.

Το 1884 φαίνεται πως έπαθε κατάθλιψη για πρώτη φορά και νοσηλεύτηκε.

Πιθανότατα η κριτική που ασκήθηκε στη δουλειά του, είχε επίπτωση στην ψυχική

του υγεία. Παρόλα αυτά ο Cantor παρέμεινε ενεργός στη δουλειά του.

To 1895 – 1897 παρουσίασε την άποψη του για τη συνέχεια και το άπειρο στην

καλύτερή του εργασία "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengelehre"

("Συνεισφορές στη θεμελίωση της θεωρίας των υπερπερασμένων αριθμών"). Μέσα

από αυτά οδηγήθηκε και στην υπόθεση του συνεχούς, η οποία απασχόλησε πολλούς

και διάσημους μαθηματικούς (όπως ο Kurt Gödel και Paul J. Cohen) στο πρώτο και

στο δεύτερο μισό του 20ου

αιώνα.

Λόγω της διαφοράς του με τον Kronecker , συχνά έδειχνε συμπάθεια προς νέους και

φιλόδοξους μαθηματικούς και έψαχνε τρόπους ώστε να διασφαλίσει ότι δεν θα

υπέφεραν όπως αυτός από μέλη της πανεπιστημιακής κοινότητας που ένιωθαν τις

νέες ιδέες ως απειλή. Με το πέρασμα στον 20ο αιώνα η δουλειά του αναγνωρίστηκε

πλήρως ως θεμελιακή στην ανάπτυξη της θεωρίας συναρτήσεων, της ανάλυσης και

της τοπολογίας.

Georg Cantor

1845 - 1918

Άπειρο

Documents

Transcript of Άπειρο