Παραβολή

•Περιγραφή

•Ορισμός

•Βασικοί τύποι

•Ιδιότητες

Παραβολή1. Εισαγωγή

Ορισμός

Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε (εκτός της δ). Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το Ε και την δ, ονομάζεται παραβολή με διευθετούσα την δ και εστία το Ε.

Παραβολή1. Εισαγωγή

Πώς μπορούμε να βρούμε τα σημεία της παραβολής;

δ

Ε

Παραβολή2. Εξίσωση

Εξίσωση Παραβολής

Για διευκόλυνση, θα θεωρήσουμε ότι η ευθεία δ έχει εξίσωση x=-p/2 και η εστία της παραβολής έχει συντεταγμένες (p/2,0). Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της παραβολής θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αφού αυτή ισαπέχει από την δ και το Ε.

δ

E

Παραβολή2. Εξίσωση

Έστω Μ(x,y) ένα σημείο που ανήκει στην Παραβολή. Τότε θα ισχύει η σχέση: d(M,E)=d(δ,M).

Διαδοχικά λοιπόν θα έχουμε:

pxyp

xyp

xp

xyp

x

px

yp

xMdEMd

pE

px

2....2222

01

22

),(,

0,2

,2

22

22

22

22

22

Παραβολή2. Εξίσωση

Με όμοιο τρόπο, αν θεωρήσουμε την διευθετούσα ως y=-p/2 και την εστία Ε(0,p/2) μπορούμε να βρούμε ότι η εξίσωση της παραβολής θα είναι x2=2py.

x2=2py

y2=2px

6 4 2 2 4 6

1

1

2

3

4

5

1 1 2 3 4 5

6

4

2

2

4

6

Παραβολή

Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής

Η εξίσωση της εφαπτομένης μιας παραβολής στο σημείο της με συντεταγμένες (x1,y1) δίνεται από τη σχέση:

Για την παραβολή y2=2px, yy1=p(x+x1)

Για την παραβολή x2=2py, xx1=p(y+y1)

3. Εφαπτομένη

Παραβολή

Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής

4. Ανακλαστική Ιδιότητα

0 .5 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0

2

1

1

2