ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3Ο

Η 4Ο ΘΔΜΑ

ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ

ΘΔΜΑ 10.

Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ:

(i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα ελδερόκελα Α, Β είλαη 8

7

(ii) Οη πηζαλόηεηεο P(B) , P(A∩B) δελ είλαη ίζεο θαη αλήθνπλ ζην ζύλνιν Υ=1 5

k, ,2 4

2 2

1 12k

5 3 5 3

α. Να βξεζεί ην k.

β. Να βξεζνύλ ηα P(B), P(A∩B) θαη λα αηηηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο.

γ. Να βξεζνύλ νη πηζαλόηεηεο:

(1) Να πξαγκαηνπνηεζεί ην ελδερόκελν Α. (2) Να πξαγκαηνπνηεζεί κόλν ην ελδερόκελν Α.

ΘΔΜΑ 20.

Έζησ ν δεηγκαηηθόο ρώξνο Ω={–1,0,1,2,3,4,5} Οξίδνπκε ηα ελδερόκελα ηνπ Ω:

Α={1, 3, x2–x-3}, Β={2, x+1, 2x

2+x–2, –2x+1} όπνπ x έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο.

α. Να ιπζεί ε εμίζσζε x2–x–3=–1

β. Να βξεζεί ε κνλαδηθή ηηκή ηνπ x γηα ηελ νπνία ηζρύεη. A∩B={–1,3}

γ. Γηα x=–1 λα βξεζνύλ ηα ελδερόκελα Α, Β

δ. Να βξεζνύλ νη πηζαλόηεηεο:

(1) Να πξαγκαηνπνηεζεί κόλν έλα εθ ησλ Α,Β. (2) Να κελ πξαγκαηνπνηεζεί θαλέλα από ηα Α,Β

ΘΔΜΑ 30.

3 Γίλεηαη ε εμίζσζε x2 +ι x 3+ 2ι = 0(1) θαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε: y=(κ

34κ)x+ 2

Η) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι ώζηε ε (1) έρεη δηπιή ξίδα ζην R.

ΗΗ) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ κ ώζηε ε επζεία λα δηέξρεηαη από ην Μ(1,2)

ΗΗΗ) Γίλεηαη ν δεηγκαηηθόο ρώξνο: Ω={2, 1,0,1, 2,6} κε ηζνπίζαλα απιά ελδερόκελα θαη Α,Β δύν

ελδερόκελα κε Α={ιΩ / ε εμίζσζε x2 +ι x 3+ 2ι = 0 έρεη δηπιή ξίδα ζην R}

θαη Β={κΩ / ε επζεία (ε) κε εμίζσζε: y=(κ34κ)x+ 2 λα δηέξρεηαη από ην Μ(1,2)}

α. Να βξείηε ηα ελδερόκελα Α, θαη Β

β. Να ππνινγίζεηε ηηο πηζαλόηεηεο: P(A B) , P(A B) θαη P(A' B)

ΘΔΜΑ 40.

Έζησ ε ζπλάξηεζε f(x) =3 x 2

x 5

α) Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.

β) Να βξείηε ηα ζεκεία πνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο ηέκλεη ηνπο άμνλεο.

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

γ) Να δείμεηε όηη f(3) = 2

2

δ) Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α =

f 3 f 3

1 f 3 1 f 3

.

ΘΔΜΑ 50.

Γίλεηαη ε εμίζσζε x24x+ (ι2)=0, ιR (1)

α. Γηα πνηέο ηηκέο ηνπ ιR ε εμίζσζε έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ιύζεηο.

β. Να βξεζεί ην ιR ώζηε ν αξηζκόο 6 3x 4 2 2 λα είλαη ξίδα ηεο (1)

γ. Αλ ε εμίζσζε (1) έρεη δύν πξαγκαηηθέο ξίδεο x1,x2, λα βξεζεί ην ιR , ώζηε | x1+x2+ 3x1x2|<12

ΘΔΜΑ 60.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε x 2 3x 4 θ

f x4 x x 1

α. Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο 4|x|>0 θαη |x|1>0

β. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f

γ. Αλ ην ζεκείν Α(3,12) αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f, λα δείμεηε νηη θ=0

δ. Γηα θ=0, λα ιπζεί ε εμίζσζε f(x)=0

ΘΔΜΑ 70.

Γίλεηαη ην ηξηώλπκν x2+(ι2)x+2ι7 ,ιR

i. Να βξείηε ηελ δηαθξίλνπζα Γ ηνπ ηξησλύκνπ θαη λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε Γ=0

ii. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ ιR γηα ηελ νπνία ε εμίζσζε x2+(ι2)x+2ι7=0, ιR(1) έρεη

δύν νκόζεκεο θαη άληζεο ξίδεο

iii. Αλ x1,x2 νη δύν άληζεο ξίδεο ηεο (1) , ηόηε λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε | 3x1+3x2+ x1x2|<12

iv. Να εμεηάζεηε αλ κπνξεί ε εμίζσζε (1) λα έρεη δύν αληίζεηεο ξίδεο .

ΘΔΜΑ 80.

Α. η) Γηα θάζε α,βR λα απνδεηρζεί όηη ηζρύεη ε ζρέζε α2+β

2 4α+6β+13≥0

ιι) Να βξεζνύλ νη αξηζκνί α,βR αλ α2+β

2 4α+6β+13=0

Β. Γηα α=2 θαη β=3

ι. Να απνδείμεηε όηη ε παξάζηαζε

2 2

2 2A

α β β α β β

είλαη ξεηό αξηζκόο.

ιι. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο B β α α β α α

ιιι. Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 3 3Γ α α α

ΘΔΜΑ 90.

Γίλεηαη ε εμίζσζε x22ιx+ι(ι+3)=0 (1)

α. Να βξείηε γηα πνίεο ηηκέο ηνπ ιR ε εμίζσζε (1) έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ιύζεηο

β. Έζησ S θαη P ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν αληίζηνηρα ησλ πξαγκαηηθώλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο (1)

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

Αλ ηζρύεη PS=12, λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηνπ ιR ώζηε ην 6 λα είλαη ν αξηζκεηηθόο κέζνο

ησλ –S θαη Ρ

γ. Γηα ηελ ηηκή ηνπ ι=–4

ι. Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε 1 2

2 1

x xA

x x

ιι. Να θαηαζθεπάζεηε εμίζσζε δεπηέξνπ βαζκνύ, κε ξίδεο ηνπο αξηζκνύο 2

1 2x x θαη 2

2 1x x

ΘΔΜΑ 100.

α. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε x2+3x10<0

β. Γηα ηηο ηηκέο ηνπ x πνπ βξήθαηε ζην α) εξώηεκα λα ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

α=2|x+5|3|x2|+5|x4|

γ. Γηα α=24 λα ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε 3 3 34 4B 3 α 1 3 α 1 2

ΘΔΜΑ 110.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2

2

x x 2 4f x

x 6x 8

α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ A ηεο ζπλάξηεζεο f

β. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε xR ηζρύεη x2+x2<0

γ. Να απνδείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f απινπνηείηαη ζηε κνξθή x 1

f xx 4

ΘΔΜΑ 120.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε f(x)=x2x1

Γ1. Να βξεζνύλ ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο f(x)=0 θαη λα δείμεηε όηη ε

εμίζσζε f(x)=0 έρεη δύν ξίδεο εηεξόζεκεο.

Γ2. Να ιπζεί ε εμίζσζε f(x2)=11 .

Γ3. Αλ x1,x2 νη ξίδεο ηνπ ηξησλύκνπ, λα ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ παξαθάησ παξαζηάζεσλ ρσξίο

λα βξεζνύλ νη ξίδεο

i. 2014 2014

1 2A 2 2 x 2 2 2 x 2

ii.4028 4028

1 1

A 3 A 3

ΘΔΜΑ 130.

Θεσξνύκε ην ηξηώλπκν 2f (x) x 4 x 16, R.

Γ1. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ α R ε εμίζσζε f(x)=0 έρεη δύν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο.

Γ2. Αλ 1 2,x x είλαη νη ξίδεο ηνπ παξαπάλσ ηξησλύκνπ, λα απνδείμεηε όηη 1 2 1 2f x x x x

Γ3. Αλ νη ξίδεο 1 2,x x ηνπ παξαπάλσ ηξησλύκνπ είλαη ν ηέηαξηνο θαη ν πέκπηνο όξνο αληίζηνηρα

κηαο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ, λα ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκό: 2 7A a a

όπνπ 2 7, είλαη επίζεο όξνη ηεο ίδηαο γεσκεηξηθήο πξνόδνπ.

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΘΔΜΑ 140.

Γίλεηαη ε εμίζσζε 2x 2x 3 0 θαη x1, x2 νη ξίδεο ηεο.

Θεσξνύκε θαη κηα αξηζκεηηθή πξόνδν κε πξώην όξν α1= x1+x2 θαη δηαθνξά σ=(x1 x2 )2

Γ1. Να απνδείμεηε όηη α1=2 θαη σ=3.

Γ2. Να βξείηε ηνλ δέθαην όξν ηεο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ.

Γ3. Να ππνινγίζεηε ην άζξνηζκα ησλ 10 πξώησλ όξσλ ηεο παξαπάλσ πξνόδνπ.

Γ4. Δπηιέγνπκε ζηελ ηύρε έλαλ αξηζκό 1,2,3,...,15 . Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ηνπ

ελδερνκέλνπ: Α: ην άζξνηζκα Sv ησλ λ πξώησλ όξσλ ηεο παξαπάλσ πξνόδνπ είλαη κεγαιύηεξν

από 155.

ΘΔΜΑ 150.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: 2 2f (x) x x x 3 x x x 3

Γ1. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.

Γ2. Να δείμεηε όηη: f (x) x 3.

Γ3. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε: f (x) 1.

Γ4. Να ιπζεί ε αλίζσζε 2

f x x 17.

ΘΔΜΑ 160.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν 2

2

2 xf x

x 1

Γ1. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο 𝑓.

Γ2.Ναιύζεηε αιγεβξηθά ηελ εμίζσζε f(x)=1

2

Γ3.ην παξαθάησ ζρήκα θαίλνληαη ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f θαη ηα ζεκεία ηνκήο

ηεο Α, Β, Γ κε ηνπο άμνλεο, θαζώο επίζεο θαη ε

νξηδόληηα επζεία κε εμίζσζε y=1

2

Γ3.1. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Α,

Βθαη Γ.

Γ3.2. Να ιύζεηε (γξαθηθά ή αιγεβξηθά) ηελ αλίζσζε f(x)≤1

2 (Πεηξακαηηθό ΓΔΛ Ζξαθιείνπ)

ΘΔΜΑ 170.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 2x 3 x 2

f xx 2

.

i. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ Α ηεο f(x).

ii. Απινπνηώληαο ηνλ ηύπν ηεο, λα δείμεηε όηη: f(x)=|x|1

iii. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε f(x) < 2.

iv. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε f(x + 3) = f(3x – 1) (Πεηξακαηηθό ΓΔΛ Μπηειήλεο)

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΘΔΜΑ 180.

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεη f, g κε ηύπνπο:x x x

f(x)x 1

θαη g(x) = −x

2 + x + 2 αληίζηνηρα.

i. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ησλ ζπλαξηήζεσλ f, g.

ii. Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο f παίξλεη ηε κνξθή:

xf(x)

x 1

iii. Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε 2

A f(2) f(4)2

iv. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ x, γηα ηηο νπνίεο ε γξαθηθή παξάζηαζε Cg ηεο ζπλάξηεζεο

g λα βξίζθεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα xꞌx.

(v) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: x 1 f x g x (Πεηξακαηηθό ΓΔΛ Μπηειήλεο)

ΘΔΜΑ 190.

Γίλεηαη ε εμίζσζε: 21x ι 2 x ι 8 0

4 .

Γ1. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε απηή έρεη δύν άληζεο πξαγκαηηθέο ξίδεο γηα θάζε ηηκή ηνπ λ.

Γ2. Αλ γλσξίδεηε όηη ε εμίζσζε ηνπ εξσηήκαηνο Γ1 έρεη δύο άνιζερ πξαγκαηηθέο ξίδεο x1,

x2, νη νπνίεο είλαη ανηίθεηερ, ππνινγίζηε ην λ θαη ηηο δύν ξίδεο ηεο εμίζσζεο.

Γ3. Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: 21f x x ι 2 x ι 8

4 θαη

2 3g(x) x 2κ

Τπνινγίζηε ηηο παξακέηξνπο λ, μ έηζη ώζηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο Cf θαη Cg λα

δηέξρνληαη από ην Α (4, 0).

Γ4. Aλ κ=2 λα βξείηε ηηο ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηεο Cg πνπ βξίζθνληαη θάησ από ηνλ άμνλα xꞌx. (Εάλεην Πεηξαηά)

ΘΔΜΑ 200.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: f(x) = x2 − ιx − 1 κε λ ℝ.

Γ1. Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε f(x) = 0 έρεη δύν ξίδεο άληζεο γηα θάζε αξηζκό λ.

Γ2. Να βξείηε ηηο ηηκέο f(1), f(−1) θαη f(−2) ζπλαξηήζεη ηνπ λ.

Γ3. Αλ μέξεηε όηη νη αξηζκνί f(1), f(−1) θαη f(−2) είλαη δηαδνρηθνί όξνη αξηζκεηηθήο

πξνόδνπ λα δείμεηε όηη λ = 3.

Γ4. Γηα λ = 3 νη αξηζκνί f(1), f(−1) θαη f(−2) είλαη ν 4νο

, 5νο

θαη 6νο

ηεο αξηζκεηηθήο

πξνόδνπ, λα βξείηε ηνλ 1ν (α1) θαη ηελ δηαθνξά ηεο πξνόδνπ. (1

ν ΓΔΛ Γηαλληηζώλ)

ΘΔΜΑ 220.

Γίλεηαη ε παξάζηαζε: Π=3 26α 3α 3α

2α 1

Γ1. Να βξείηε γηα πνηεο πξαγκαηηθέο ηηκέο ηνπ Α νξίδεηαη ε παξάζηαζε Π.

Γ2. Να παξαγνληνπνηήζεηε ην ηξηώλπκν 2α2 − α − 1 θαη λα απνδείμεηε όηη: Π = 3α(α − 1).

Γ3. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ α γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη Π ≤ 0. Γ4. Αλ 2 < α < 3 λα απνδείμεηε όηη 6 < Π < 18. (1

ν ΓΔΛ Κνκνηελήο)

ΘΔΜΑ 230.

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: f(x) = x2 + θx + 4 θαη g(x) = 3x + 10 κε θ R

Γ1. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ θ, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη: f(x) > 0 γηα θάζε x R.

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

Γ2. Αλ ην ζεκείν Μ (1, 7) αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηα-ζε ηεο ζπλάξηεζεο f, λα βξείηε

ηελ ηηκή ηνπ θ

Γ3. Γηα θ= 2.

i. λα βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g.

ii. λα βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο: f(x) 7

h(x)g(x)

(3ν ΓΔΛ Κνδάλεο)

ΘΔΜΑ 240.

Γίλεηαη ην ηξηώλπκν: f(x) = 4x2 − (ι + 7) + 4 + ι , ι R

Γ1. Να απνδείμεηε όηη ε δηαθξίλνπζα ηνπ ηξησλύκνπ είλαη: Γ = λ2 − 2λ − 15.

Γ2. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ λ γηα ηηο νπνίεο ην ηξηώλπκν έρεη δηπιή

ξίδα.

Γηα λ = 5:

Γ3. λα παξαγνληνπνηήζεηε ην ηξηώλπκν f(x).

Γ4. λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε: f(x) 2x 3 ( ΓΔΛ Θήξαο)

ΘΔΜΑ 250.

Γίλνληαη νη: f(x) = x2 + |k

2 − 1| θαη g(x) = 2x + 10 κε k R θαζώο θαη ν αξηζκόο

2 1ι 2 2

2 1

.

Γ1. Να απνδείμεηε όηη ι = 3.

Γ2. Αλ ην ζεκείν Α (1, ι) αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f, λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ

πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ k.

Γ3. Αλ k 3 , λα βξείηε ηα ζεκεία ηνκήο ησλ γξαθηθώλ παξαζηάζεσλ ησλ f, g.

Γ4. Αλ k 3 , λα βξείηε ηηο ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f

πνπ βξίζθνληαη πάλσ από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g. (7ν ΓΔΛ Πεξηζηεξίνπ)

ΘΔΜΑ 260.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x) = −x2 − ιx − 1 όπνπ ι R.

Γ1. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ι ώζηε ε εμίζσζε f(x) = 0 λα έρεη δύν άληζεο πξαγκαηηθέο

ξίδεο.

Γ2. Αλ x1, x2 είλαη δύν δηαθνξεηηθέο πξαγκαηηθέο ξίδεο ηεο εμίζσζεο f(x) = 0, λα εμεηάζεηε

αλ ππάξρνπλ ι ηέηνηα ώζηε: 1 2

1 1 1

x x ι

Γ3. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ι ώζηε ε ζπλάξηεζε f λα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν γηα θάζε

x R. Γ4. Αλ ι = 1, λα ιύζεηε ηελ εμίζσζε:| f(x)| + |x

2 + 3| = x

2 + 3x + 12 (7

ν ΓΔΛ Πεξηζηεξίνπ)

ΘΔΜΑ 270.

Γίλεηαη ε εμίζσζε: x2 − ιx − (ι

2 + 5) = 0 , κε ι R.

Γ1. Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ ι, ε παξαπάλσ εμίζσζε έρεη

δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο.

Γ2. Να ππνινγίζεηε ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν ησλ ξηδώλ ηεο παξαπάλσ εμίζσζεο,

ζπλαξηήζεη ηνπ ι.

Γ3. Αλ x1, x2 είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο, λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ ι

ώζηε λα ηζρύεη: (x1 − 1)∙(x2 − 1) = −4 ( ΓΔΛ Αηδεςνύ)

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΘΔΜΑ 280.

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: 2f(x) x 6x 9 4 θαη 2x 4

g(x)x 2

Γ1. Να ππνινγίζεηε ηα πεδία νξηζκνύ ησλ f, g.

Γ2. Να απνδείμεηε όηη: f(x) = |x − 3| − 4 θαη g(x) = |x| + 2

Γ3. Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: f(x) = g(x) − 6

Γ4. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε: f(x) < 4 ( ΓΔΛ Εεπγνιαηηνύ)

ΘΔΜΑ 290.

Θεσξνύκε ηνλ δεηγκαηηθό ρώξν Ω={5,4,3, … ,9,10} κε ηζνπίζαλα απιά ελδερόκελα. Γηα ηα

ελδερόκελα Α, Β, Γ ηνπ Ω είλαη:

Α={xΩ / |x4|<3 }

Β={xΩ / x24x ≥3}

Γ={ιΩ / ε εμίζσζε x2+(1ι)x+1=0, έρεη δηπιή ξίδα }

1) Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο ηα Α,Β,Γ

2) Να βξεζνύλ ηα ελδερόκελα λα πξαγκαηνπνηείηαη ηνπιάρηζηνλ έλα από ηα Α,Β

ΘΔΜΑ 300.

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f(x)=x2+θx2 θαη g(x)=(ι

2

32)x+4 κε θ,ιR

1) Να δείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f

ηέκλεη ηνλ άμνλα ρρ΄ζε δύν δηαθνξεηηθά ζεκεία

γηα θάζε ηηκή ηνπ θ

2) Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι ώζηε ε γξαθηθή

παξάζηαζε ηεο g(x) λα είλαη παξάιιειε ζηνλ

ρρ΄

3) ην δηπιαλό ζρήκα δίλνληαη νη γξαθηθέο

παξαζηάζεηο ησλ f,g γηα θ=1 θαη ι=2

Η) Να βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο

1 1

f (3) g(1) f (3) g(1)

ΗΗ) Σα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ε γξαθηθή παξάζηαζε

ηεο f(x) βξίζθεηαη πάλσ από ηνλ ρρ΄ (Αιγεβξηθά)

ΘΔΜΑ 310.

Έζησ Ρ(Α) θαη Ρ(Β) νη πηζαλόηεηεο ησλ ελδερνκέλσλ Α θαη Β ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω. Γηα ηνλ

αξηζκό Ρ(Α) ηζρύεη: |3–2P(A)| +|P(A) +1| =3, ελώ ν αξηζκόο Ρ(Β) είλαη ξίδα ηεο εμίζσζεο:

6x2-x-1=0.

Α. Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο Ρ(Α) θαη Ρ(Β)

Β. Αλ Ρ(Α)=1/3 θαη Ρ(Β)=1/2 θαη ε πηζαλόηεηα λα ζπκβνύλ ηαπηόρξνλα ηα ελδερόκελα Α

θαη Β είλαη 1/6, λα ππνινγίζεηε:

Η) Σελ πηζαλόηεηα λα ζπκβεί ηνπιάρηζηνλ έλα από ηα ελδερόκελα Α θαη Β

ΗΗ) Σελ πηζαλόηεηα λα ζπκβεί ην πνιύ έλα από ηα Α θαη Β

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΘΔΜΑ 32ο

Γίλεηαη ην ηξηώλπκν f(x)=x2-(ι-1)x-ι+1.

Α. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ ι ώζηε ε εμίζσζε f(x)=0, λα έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο.

Β. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ην ηξηώλπκν έρεη δηπιή ξίδα;

Γ. Να γξάςεηε ην άζξνηζκα S θαη ην γηλόκελν Ρ ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο.

Γ. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε:3 S

P 42

(Να ππνινγηζζεί ην ι)

ΘΔΜΑ 330.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε: 2

3x 9f (x)

x 4x 3

Α. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο, λα απινπνηήζεηε ηνλ ηύπν ηεο θαη λα απνδείμεηε

όηη: 3

f (x)x 1

.

Β. Να ιύζεηε ηελ αλίζσζε: 2

1 1

f (x) f (x) 0

Γ. Να δείμεηε όηη:

i) f(2)=3

ii) 3 f (2) f (2) f (2) 3

Γ. Να κεηαηξέςεηε ζε ηζνδύλακε κε ξεηό παξνλνκαζηή ηελ παξάζηαζε:f (2)1

f (2) 1 f (2) 1

.

ΘΔΜΑ 340.

Έζησ ε ζπλάξηεζε 2f (x) (ι 2)x 2 ι x ι 2 κε ιR – {2}.

Γ1. Να βξείηε ηελ ηηκή ηνπ ι, ώζηε ε ζπλάξηεζε λα έρεη ειάρηζην ζην 0x 2

Γ2. Γηα ι = 4:

i. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f(x) θαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f κε

ηνπο άμνλεο x΄x θαη y΄y.

ii. Να ιπζεί ε εμίζσζε |f(x)|=2x–2

iii. Nα δεηρηεί όηη ν αξηζκόο 4 f (5) 2

Αf (4) 1 f (0) 1

είλαη ξεηόο.

iv. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x,κε x∈ 𝑅, ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f είλαη πάλσ από ηε δηρνηόκν ηεο 2εο

θαη 4εο γσλίαο ησλ αμόλσλ.

ΘΔΜΑ 350.

Θεσξνύκε ην δεηγκαηηθό ρώξν Ω={-5,-4,-3,…,10},πνπ απνηειείηαη από απιά ηζνπίζαλα

ελδερόκελα , θαη ηα ελδερόκελα ηνπ:

Α x Ω / x 4 2

2Β x Ω / x 4 x 3 0

2Γ ι Ω / ε εμίζσζε x 1 ι x 1 0, έρεη δηπιή ξίδα .

1. Να γξάςεηε κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο ηα ζύλνια Α , Β θαη Γ.

2. Γείμηε όηη ην ελδερόκελν λα πξαγκαηνπνηείηαη έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα Α θαη Β είλαη ην

βέβαην ελδερόκελν.

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

3. Να απνδείμεηε όηη: Ρ(Γ–Β)=0.

ΘΔΜΑ 360.

Έζησ ε ζπλάξηεζε 2(2x 7x 15)(4x 4)

f (x)8x 12

1. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο f θαη λα απνδεηρζεί όηη 2f (x) x 4x 5 .

2. Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ x ε Cf βξίζθεηαη θάησ από ηνλ άμνλα x’x;

3. Να απνδείμεηε όηη 3f (3) 8f (4)

5( 7 3)f (2) 3

.

ΘΔΜΑ 370.

Γίλνληαη νη παξαζηάζεηο: 2 2x x 6x 9

x x 3

θαη 3 328 1 28 1 .

B1.Να απινπνηήζεηε ηελ παξάζηαζε 2 2x x 6x 9

x x 3

αλ 0 3x .

Β2.Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 3 328 1 28 1 .

Β3.Αλ Α=2 θαη Β=3 λα ιύζεηε ηελ αλίζσζε: 3 4 35

.

ΘΔΜΑ 380.

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: f(x)=αx2 –3 θαη g(x)=5x+β κε α,βR θαη α≠0

Α. Να βξεζνύλ ηα α,βR ώζηε ε Cf λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν Μ(–1,2) θαη ε επζεία λα

ηέκλεη ηνλ άμνλα yy΄ ζην ζεκείν Ν(0,–9) .

Β. Αλ α=1 θαη β=–9 ηόηε, λα βξεζνύλ:

Β1. Οη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνηλώλ ζεκείσλ ηεο Cf θαη ηεο επζείαο.

Β2. Να βξεζνύλ νη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηεο Cf πνπ βξίζθνληαη θάησ από ηελ επζεία.

ΘΔΜΑ 390.

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο f(x)= –x2+βx+γ θαη g(x)=2x–1 κε β,γR Αλ νη γξαθηθέο νη γξαθηθέο

παξαζηάζεηο ησλ Cf θαη Cg ηέκλνληαη ζηα ζεκεία Α(2,3) θαη Β(–2,5) ηόηε:

Γ1. Να απνδείμεηε όηη β = 2 θαη γ = 3.

Γ2. Να ιπζεί ε αλίζσζε f (x) 0

Γ3. Να πξνζδηνξίζεηε ηηο ηηκέο ηνπ x γηα ηηο νπνίεο ε Cf βξίζθεηαη πάλσ από ηελ Cg.

Γ4. Να βξείηε ην πιήζνο ησλ ιύζεσλ ηεο εμίζσζεο f (x)=–3

ΘΔΜΑ 400.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x) = 2x2 – 2(θ – 5)x – (θ – 5), όπνπ θR.

Γ1. Να απνδείμεηε όηη ε δηαθξίλνπζα ηεο εμίζσζεο f(x) = 0 είλαη ίζε κε Γ = 4(θ – 3)(θ – 5).

Γ2. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ θR ε εμίζσζε f(x) = 0 έρεη δύν πξαγκαηηθέο θαη άληζεο ξίδεο.

Γ3. Αλ x1, x2 είλαη νη άληζεο ξίδεο ηεο εμίζσζεο f(x) = 0, λα ιύζεηε σο πξνο θ ηελ εμίζσζε:

16(x1x2)4 – 5(x1 + x2)

2 + 4 = 0.

Γ4. Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ θR ηζρύεη: |f(x)| – f(x) = 0, γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό x.

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΘΔΜΑ 41Ο

Γίλεηαη ε εμίζσζε x2+(ι–4)x–ι

2 +1=0

Η) Να βξείηε ηελ δηαθξίλνπζα ηεο εμίζσζεο

ΗΗ) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ιR ε εμίζσζε έρεη δύν ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο

ΗΗΗ) Αλ x1,x2 νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο κε x1<x2 λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ ι θαη θαηόπηλ ηα x1,x2 αλ ην 1

είλαη ν αξηζκεηηθόο κέζνο ησλ x1,x2

IV)Αλ x1=–1 είλαη ν δεύηεξνο όξνο θαη x2 =3 είλαη ν ηέηαξηνο όξνο κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ λα

βξεζεί ην άζξνηζκα ησλ είθνζη πξώησλ όξσλ ηεο πξνόδνπ S20.

ΘΔΜΑ 42Ο

Η) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο α) |3x–14|<7 θαη β) 3x2–11x–40

ΗΗ) Να γξαθνύλ ηα ζύλνια Α={xΕ/|3ρ–14|<7} θαη Β=={xΕ/3x2–11x–40} κε αλαγξαθή ησλ

ζηνηρείσλ ηνπο θαη λα βξεζεί ην ΑΒ

ΗΗΗ) Αλ Ω={0,1,2,3,…,9} έλαο δεηγκαηηθόο θαη ηα παξαπάλσ ζύλνια Α, Β δύν ελδερόκελα ηνπ λα

βξεζνύλ νη πηζαλόηεηεο

α) λα πξαγκαηνπνηείηαη έλα ηνπιάρηζην εθ ησλ Α,Β θαη

β) κόλν έλα εθ ησλ Α,Β

ΘΔΜΑ 43

Γίλεηαη ε εμίζσζε: 023x)2(x2

α) Να βξείηε ηελ δηαθξίλνπζα ηεο εμίζσζεο (Μνλάδεο 5)

β) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο . (Μνλάδεο 10)

γ) Αλ 1 2x , x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο

Η) Να βξεζεί ην x1+x2 θαη x1x2

ΗΗ) Να απνδεηρζεί όηη ε παξάζηαζε Π=(x1-3) (x2-3) είλαη ίζε κε 1

(Μνλάδεο 5+5)

ΘΔΜΑ 44Ο

Γίλνληαη νη επζείεο (ε1): y=|2ι-3|x+3 θαη (ε2): y= x+2κ+1

α) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι ώζηε ε1 // ε2 (Μνλάδεο 7)

β) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ κ ώζηε ε επζεία ε2 λα δηέξρεηαη από ην Α(3,-1) (Μνλάδεο 6)

γ) Να βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο Β ηεο (ε1) κε ηνλ yy΄ (Μνλάδεο 6)

δ) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο (ΑΒ) (Μνλάδεο 6)

ΘΔΜΑ 45Ο

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 22 xx342x3x)x(f

α) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο x2-3x+2≥0 θαη 4+3x-x

2≥0 (Μνλάδεο 10)

β) Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f (Μνλάδεο 5 )

γ) Να απνδεηρζεί όηη 22)4(f

1

2)1(f

1

(Μνλάδεο 10)

ΘΔΜΑ 46

Γίλεηαη ε εμίζσζε: 023x)2(x2

α) Να βξείηε ηελ δηαθξίλνπζα ηεο εμίζσζεο (Μνλάδεο 5)

β) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο . (Μνλάδεο 8)

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

γ) Αλ 1 2x , x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο

Η) Να βξεζεί ην x1+x2 θαη x1x2 (Μνλάδεο 4)

ΗΗ) Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι ώζηε γηα ηηο ε εμίζσζε λα έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο θαη άληζεο νπνίεο ηζρύεη |x1+x2 |=| x1x2| (Μνλάδεο 8)

ΘΔΜΑ 470.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= 5 2x 3

η) Να βξεζεί ην Πεδίν Οξηζκνύ ηεο f

ηη) Να βξεζνύλ ηα 1

f (0), f ( )2

ηηη) Να δεηρζεί όηη 1 1

21 1

f (0) f ( ) f (0) f ( )2 2

ΘΔΜΑ 480.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f(x)= 2x 3x 3 7 2x 3

α) Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο η) 2x 2x 3 ≥0 θαη ηη) 2x 3 7

β) Να βξεζεί ην Π.Ο. ηεο f ( ή λα απνδεηρζεί όηη ην Π.Ο. ηεο f είλαη Α=[–2,5] )

γ) Να απνδεηρζεί όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f δηέξρεηαη από ηα Α(0,2+ 3 ) θαη Β(3,2+ 3 )

δ)Να απνδεηρζεί όηη 1 1

1f (0) 5 f (3) 1

ΘΔΜΑ 490.

Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε

2

2

x 4x θ, x -1f (x)

x 3, x<-1

η) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ θ ώζηε ε Cf λα δηέξρεηαη από ην Α(–1,4)

ηη) Να βξεζεί επζεία (ε) κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ι=1 ε νπνία δηέξρεηαη από ην Α

ηηη) Γηα x>–1 λα βξεζεί ην ζεκείν ηνκήο ηεο Cf κε ηελ επζεία (ε)

ΘΔΜΑ 500.

Γίλεηαη ε εμίζσζε x2–5x+ι–1=0

η) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε εμίζσζε έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο;

ηη) Να βξεζνύλ ηα x1+ x2, x1∙x2 ζπλαξηήζεη ηνπ ι

ηηη) Γηα πνηα ηηκή ηνπ ι νη πξαγκαηηθέο ξίδεο ηεο εμίζσζεο ηθαλνπνηνύλ ηελ |2x1∙x2–1|=3x1+3x2,

ΘΔΜΑ 510.

Γίλεηαη ε εμίζσζε x2–(3ι+2)x+3ι+1=0

Η) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ιR ε εμίζσζε έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο

ΗΗ)Να βξεζεί ην x1+x2 θαη x1x2

ΗΗΗ) Αλ x1,x2 νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο κε x1<x2 λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ ι θαη θαηόπηλ ηα x1,x2 αλ ην 2

είλαη γεσκεηξηθόο κέζνο ησλ x1,x2

IV)Αλ x1=1 είλαη ν δεύηεξνο όξνο θαη x2 =4 είλαη ν ηέηαξηνο όξνο κηαο αξηζκεηηθήο πξνόδνπ λα

βξεζεί ην άζξνηζκα ησλ είθνζη πξώησλ όξσλ ηεο πξνόδνπ S20.

ΦΡΔΚΟ ΔΤΣΑΘΗΟ 3Ο ΓΔΛ ΖΛΗΟΤΠΟΛΖ

ΘΔΜΑ 520

Γίλεηαη ε εμίζσζε x2–(ι+1)x+ι–2=0

Η) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ιR ε εμίζσζε έρεη ξίδεο πξαγκαηηθέο

ΗΗ)Να βξεζεί ην x1+x2 θαη x1x2

ΗΗΗ) Αλ x1,x2 νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο κε x1<x2 λα βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ ι αλ ην x1+x2 +1 είλαη

γεσκεηξηθόο κέζνο ησλ x1+2, x2+2

(Πολλά από ηα θέμαηα έσοςν ηεθεί ζε πποαγωγικέρ εξεηάζειρ ηο 2013 και ηο2014 ζε διάθοπα

λύκεια. Γςζηςσώρ όμωρ για κάποια από αςηά δεν είσα ηο όνομα ηος ζσολείος και έηζι δεν

μποπώ να ηο αναθέπω)