Depto. de Álgebra, curso 2017-2018

3. Determinantes

Propiedades

Ejercicio 3.1. Use la definición para calcular el valor del determinante de cada una de las siguientes matrices:

A1 =

3 −2 1−5 4 0

2 1 6

, A2 =

2 1 16 2 1

−2 2 1

, A3 =

0 0 α

0 β 0γ 0 0

.

Ejercicio 3.2. Calcule los siguientes determinantes:

(a)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 10 1 −11 −2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 10 −1 1

−1 2 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 10 −1 1

−1 1 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

(d)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −1 1 −12 1 0 1

−2 −1 1 −23 1 −1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (e)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −1 1 −10 1 0 −10 −1 −1 22 1 1 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

( f )

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 −1 13 0 2 −2 30 −1 1 −1 11 1 0 1 −11 −1 1 −2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (g )

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 1 −1 1−2 0 0 0 −2

0 −1 1 −1 11 1 0 −1 1

−3 −1 −1 2 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 3.3. Calcule el determinante |A1|. Calcule los siguientes determinantes, a partir de |A1|, usando las propiedades delos determinantes y explicando cuáles se han usado. Se resaltan las filas o columnas implicadas en la transformación.

|A1| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −1 1 −12 1 0 1

−3 −1 1 −34 1 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, |A2| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6 1 −1 5

2 1 0 1−3 −1 1 −3

4 1 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

|A3| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −1 1 −12 1 −4 1

−3 −1 7 −34 1 −9 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, |A4| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 −1 1 −3

0 −1 1 −12 1 0 14 1 −1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

|A5| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 −1 1 −12 1 0 14 1 −1 43 1 −1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, |A6| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 1 −1 01 0 1 2

−3 1 −1 −34 −1 1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

|A7| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 −2 −12 0 2 1

−3 1 −2 −34 −1 2 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 3.4. Demuestre las siguientes identidades:∣

∣

∣

∣

∣

∣

x − y − z 2x 2x

2y −x + y − z 2y

2z 2z −x − y + z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (x + y + z)3,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1x y z

y + z z + x x + y

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 · · · 1−1 x 1 · · · 1−1 −1 x · · · 1

......

... · · ·...

−1 −1 −1 · · · x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (x +1)n−1,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1− k3 −

k3 −

k3

−k3 1− k

3 −k3

−k3 −

k3 1− k

3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1−k.

Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 22

Depto. de Álgebra, curso 2017-2018

Ejercicio 3.5. Use la eliminación Gaussiana para reducir la matriz dada a una triangular superior y calcular el valor deldeterminante.

1 2 32 4 11 4 4

,

1 3 5−1 4 2

3 −2 4

,

1 2 −3 44 8 12 −82 3 2 1

−3 −1 1 −4

,

1 1 1 . . . 11 2 1 . . . 11 1 3 . . . 1...

......

. . ....

1 1 1 . . . n

.

Ejercicio 3.6. Pruebe las siguientes propiedades:

1. Si A es no singular, entonces det(A−1) = 1det(A) .

2. Si P es una matriz no singular, entonces det(P−1 AP ) = det(A).

3. det(A∗) = det(A).

4. Si A es de orden n, entonces det(αA) =αn det(A).

Ejercicio 3.7. Use el desarrollo por alguna fila para calcular los siguientes determinantes:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 16 2 1

−2 2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 −2 31 0 1 2

−1 1 2 10 2 −3 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 3.8. 1. Mediante un ejemplo, compruebe que, en general, det(A+B) 6= det(A)+det(B).

2. Con matrices cuadradas, construya un ejemplo donde

det

(

A B

C D

)

6= det(A)det(D)−det(B)det(C ).

Ejercicio 3.9. Para la siguiente matriz tridiagonal An , sea Dn = det(An). Pruebe la fórmula Dn = 2Dn−1 −Dn−2, y concluyaque Dn = n+1.

An =

2 −1 0 . . . 0−1 2 −1 . . . 0

. . .. . .

. . .0 . . . −1 2 −10 . . . 0 −1 2

n×n

.

Ejercicio 3.10. 1. Sea An×n una matriz no singular y c,d vectores columna de orden n. Pruebe que

det(I +cdt ) = 1+d

tc,det(A+cd

t ) = det(A)det(1+dt A−1

c).

2. Verifique las siguientes fórmulas tras convertir las matrices a expresiones como la anterior.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1+α1α1

1 . . . 1

1 1+α2α2

. . . 1...

.... . .

...1 1 . . . 1+αn

αn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=1+

∑

αi∏

αi.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

α β β . . . β

β α β . . . β...

......

. . ....

β β β . . . α

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

{

(α−β)n(

1+ nβα−β

)

, si α 6=β,

0 si α=β.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1+α1 α2 . . . αn

α1 1+α2 . . . αn

......

. . ....

α1 α2 . . . 1+αn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1+∑

αi .

Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 23

Depto. de Álgebra, curso 2017-2018

Ejercicio 3.11. Calcule det(λI − Ai ) para las siguientes matrices:

A1 =

3 2 −21 0 42 0 −3

, A2 =

1 −2 −27 3 −30 0 0

, A3 =

0 0 2 2−2 3 1 0

0 −1 3 2−2 2 0 0

.

Ejercicio 3.12. Calcule el determinante de la matriz

A =

1 a a2 a3

a3 1 a a2

B a3 1 a

C D a3 1

.

Ejercicio 3.13. 1. Dado que

det

a b c

d e f

g h i

=−6,

calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices:

d e f

g h i

a b c

,

3a 3b 3c

−d −e − f

4g 4h 4i

,

a + g b +h c + i

d e f

g h i

,

−3a d g −4d

−3b e h−4e

−3c f i −4 f

.

2. Calcule los siguientes determinantes mediante una combinación de reducciones de filas/colummnas y expansión porcofactores.

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −2 3 15 −9 6 3

−1 2 −6 −22 8 6 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 3 11 0 1 10 2 1 00 1 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 112

12 1 1

2

23

13

13 0

− 13

23 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Ejercicio 3.14. Sea B una matriz cuadrada de orden 3, cuyo determinante es igual a −2. Calcule, con justificación de larespuesta, los siguientes valores:

1. det(B−1).

2. det((B t )4).

3. det(2B).

4. El determinante de una matriz cuadrada C de orden 3 cuyas columnas verifican C∗1 = 5B∗1−B∗3,C∗2 = 3B∗3,C∗3 = B∗2.

Ejercicio 3.15. Sea n > 1 y B la matriz cuadrada de orden n cuyas entradas son todas iguales a 1. Pruebe que existe unamatriz An×n con coeficientes racionales tal que A+cB es no singular para todo número racional c.

Ejercicio 3.16. Sean p(x) = a0+a1x+a2x2, q(x) = b0+b1x+b2x2, a0,b0 6= 0 polinomios en C[x]. Pruebe que existe un númerocomplejo c tal que p(c) = q(c) = 0 si y solamente si

det

a0 a1 a2 00 a0 a1 a2

b0 b1 b2 00 b0 b1 b2

= 0.

Ejercicio 3.17. Sabemos que los enteros 23028,31882,86469, 6327 y 61902 son divisibles por 19. Pruebe que

det

2 3 0 2 83 1 8 8 28 6 4 6 90 6 3 2 76 1 9 0 2

.

también es múltiplo de 19.

Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 24

Depto. de Álgebra, curso 2017-2018

Ejercicio 3.18. Sea q ∈Q. Pruebe que existen infinitas matrices con entradas racionales de la forma

2 2 33q +2 4q +2 5q +3

a b c

donde a < b < c y cuyo determinante es igual a q .

Ejercicio 3.19. Sea A = (ai j ) ∈M (4×4,Q) una matriz cuyas entradas son iguales a −2 o a 3. Pruebe que det(A) es un enteromúltiplo de 125.

Ejercicio 3.20. Marque como verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones. Si es verdadera, dé una prueba, y sies falsa, proporcione un contraejemplo. Sea An×n una matriz con coeficientes complejos.

1. Si det(A)= 0, entonces A no se puede expresar como producto de matrices elementales.

2. Si det(A)= 0, entonces el sistema Ax= 0 tiene infinitas soluciones.

3. Si la forma escalonada reducida por filas de A tiene una fila de ceros, entonces det(A)= 0.

4. El determinante de una matriz no se altera si las columnas se escriben en orden inverso.

5. det(A At ) ≥ 0.

Regla de Cramer

Ejercicio 3.21. Use la regla de Cramer para resolver el sistema

x1 + x2 + x3 = 1,x1 + x2 = α,

x2 + x3 = β.

Ejercicio 3.22. Sobre el cuerpo Q de los números racionales se consideran las matrices

A =

α2 αβ αβ β2

αβ α2 β2 αβ

αβ β2 α2 αβ

β2 αβ αβ α2

y b=

α+1α+1β+1β+1

.

1. Pruebe que |A| = (α+β)4(α−β)4 = (α2 −β2)4.

2. Estudie la compatibilidad del sistema lineal de matriz (A|b) según los valores de α y β.

3. Resuelva el sistema lineal de matriz (A|b) para α= 1 y β= 2.

Ejercicio 3.23. Sobre el cuerpo Q de los números racionales se consideran las matrices

A =

α+1 −1 −2 11 α−1 −2 11 −1 α−2 11 −1 −2 α+1

y b=

α+1α+1

24

.

Se pide:

1. Probar que |A| =α3(α−1).

2. Estudiar la compatibilidad del sistema lineal de matriz (A|b) según los valores de α.

3. Resolver el sistema lineal de matriz (A|b) para α=−1.

Ejercicio 3.24. Use determinantes para calcular el valor de α que hace que el siguiente sistema tenga solución única:

1 α 00 1 −1α 0 1

x1

x2

x3

=

−347

.

Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 25

Depto. de Álgebra, curso 2017-2018

Ejercicio 3.25. Calcule para qué valores de λ tiene solución no trivial el sistema lineal{

x1 +2x2 = λx1,2x1 + x2 = λx2.

Para cada uno de esos valores, calcule generadores del espacio de soluciones.

Ejercicio 3.26. Resuelva el sistema

x1 + t x2 + t 2x3 = t 4,t 2x1 + x2 + t x3 = t 3,t x1 + t 2x2 + x3 = 0,

mediante la regla de Cramer. Calcule lımt→∞ x2(t).

Ejercicio 3.27. En un triángulo de lados a,b,c, y ángulos opuestos α,β,γ se verifican las relaciones

b cosγ+c cosβ = a,c cosα+a cosγ = b,a cosβ+b cosα = c.

Aplique la regla de Cramer para probar que

cosα=b2 +c2 −a2

2bc.

Ejercicio 3.28. Calcule los coeficientes a y b de una curva de la forma y = axb que pasa por los puntos (2,5) y (3,3).

Cofactores y matriz inversa

Ejercicio 3.29. Marque cada enunciado como verdadero o falso, y justifique cada respuesta. Suponemos que todas las ma-trices que aparecen son cuadradas y reales.

1. Si A es una matriz de orden 2×2 con determinante nulo, entonces una columna de A es múltiplo de la otra.

2. Si dos filas de una matriz A de orden 3×3 son iguales, entonces det(A)= 0.

3. Si A es una matriz de orden 3×3, entonces det(5A) = 5det(A).

4. Si A y B son matrices de orden n×n, y det(A)= 2,det(B) = 3, entonces det(A+B) = 5.

5. Si A es una matriz n×n y det(A) = 2, entonces det(A3) = 6.

6. Si B se obtiene de una matriz A mediante el intercambio de filas, entonces det(B) = det(A).

7. Si B se obtiene de una matriz A multiplicando la fila 3 por 5, entonces det(B) = 5det(A).

8. Si B se obtiene de una matriz A añadiendo a una fila una combinación lineal de las restantes, entonces det(B) = det(A).

9. det(At ) =−det(A).

10. det(−A)=−det(A).

11. det(At A) ≥ 0.

12. Cualquier sistema de n ecuaciones y n incógnitas se puede resolver por la regla de Cramer.

13. Si A3 = 0 entonces det(A) = 0.

14. Si A es no singular, entonces det(A−1) = det(A).

15. Si A es no singular, entonces det(A)det(A−1) = 1.

Ejercicio 3.30. Sea n un entero positivo,K un cuerpo y A una matriz cuadrada de orden n con coeficientes enK y no singular.Escribamos

A =

(

A11 A12

A21 A22

)

, donde A11 ∈M (k ×k,K)

para algún k < n. Si la inversa de A tiene la forma

A−1=

(

B11 B12

B21 B22

)

, donde B11 ∈M (k ×k,K),

pruebe que det(A11) = det(A)det(B22).

Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 26