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Gottfried Wilhelm Leibniz Universitt HannoverKlausur Technische Mechanik II fr Maschinenbau
Herbst 2010Seite 1/14
Musterlsungen (ohne Gewhr)
Frage 1 ( 2 Punkte)
Ein Stab mit kreisfrmiger Querschnittsflche wirdmit der Druckspannung 0 belastet. Der Radiusdes Stabes ist vernderlich und wird durch r(x)beschrieben.
a) Wie gro ist die durch die Druckspannung 0hervorgerufene Normalkraft im Stab?
b) Geben Sie den Verlauf der Normalspannung(x) als Funktion von x an!
Gegeben: 0, `, r0, r(x) = r0(
1 +x2
`2
).
N = (x) =
0
x
r x( )
r0
Draufsicht:
Lsung
Normalkraft im Stab: N = A = 0r20
Spannungsverlauf: (x) =N
A(x)=
0r20
r(x)2=
0(1 + x
2
`2
)2 = 0(1 + 2x2`2
+ x4
`4
)
Herbst 2010 Klausur Technische Mechanik II fr Maschinenbau 10.08.2010

Frage 2 ( 2 Punkte)
Geben Sie die Flchentrgheitsmomente fr dasdargestellte Blech bezglich der y- und z-Achse an!Das Koordinatensystem liegt im Schwerpunkt desBlechs.
Gegeben: a.
Iyy = Izz =
xy
z
a a a
a
a
a
Lsung
Flchentrgheitsmoment bezglich der y-Achse:
Iyy =3a a3
12+ 2
(a4
12+ a2 a2
)=
29
12a4.
Flchentrgheitsmoment bezglich der z-Achse:
Izz =a (3a)3
12+ 2
(a4
12+ a2 a2
)=
53
12a4.

Frage 3 ( 3 Punkte)
Zwei Rundstbe1 und2 , mit den Querschnit-ten A1 und A2 = 2A1 aus verschiedenen Mate-rialien (E1, E2), sind miteinander verbunden undan den Enden zunchst spannungsfrei eingespannt.An der Fgestelle der Stbe greift nun die KraftF an.
a) Geben Sie die Krfte N1 und N2 in der linkenund rechten Einspannung an!
b) Wie gro muss das Verhltnis der E-Moduli ge-whlt werden, damit in beiden Stben die Span-nung betragsgleich ist?
Gegeben: F , E1, E2, `, A1, A2 = 2A1.
N1 = N2 = E1/E2 =
F
12
Lsung
FN
2N
1
a) N1 + N2 + F = 0l1 + l2 = 0 l1 =
N1 l
E1 A1; l2 =
N2 l
E2 2A1
N2 =F
E12E2
+ 1
N1 =F
2E2E1
+ 1
b) |1| = |2| N1A
= N22A
E1
E2= 1

Frage 4 ( 2 Punkte)
Der dargestellte Kragbalken (Biegesteifigkeit EI,Lnge `) ist an der Stelle x = `/2 mit dem MomentM0 belastet.
a) Bestimmen Sie die Absenkung w des Balkensam freien Ende!
b) Bestimmen Sie den Verdrehwinkel am freienEnde des Balkens!
Gegeben: M0, `, E, I.
w = =
M0
/2w
Lsung
Prinzip der virtuellen Krfte:
Momentenverlauf reales System M(x) =
{M0, fr 0 x `/20, fr `/2 x `
a) Virtuelle Kraft F am rechten Ende M(x) = F (x `)
Absenkung w: Fw =`
0
MM
EIdx =
`/20
M0F (x `)EI
dx =M0F
EI
(`2
2 `
2
8
) w = 3M0`
2
8EI
b) Virtuelles Moment M am rechten Ende M(x) = M
Verdrehwinkel : M =`
0
MM
EIdx =
`/20
M0M
EIdx =
M0M`
EI2 = M0`
2EI
Alternative Lsung:Biegefall 2:tan() = =
M0 `
2EI
w
(`
2
)=
(`
2
)2M02EI
w (`) = w
(`
2
)+ tan()
`
2=
3M0`2
8EI

Frage 5 ( 2 Punkte)
Ein Biegebalken ist wie skizziert gelagert und nichtverspannt. An den Enden wird der Balken jeweilsmit einem Moment M0 belastet.
a) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Biege-linie des dargestellten belasteten Balkens!
b) Wie gro ist die Kraft FB, die im Auflager Bwirkt?
Gegeben: M0, `.
M0 M0
A B C
Biegelinie:FB =
M0
M0
A B C
Lsung
M0 M0
A B C
Biegelinie:FB =
Biegelinie:FB = 6
M0
Statisch unbestimmt!
Teilsystem 1 ohne Lager B: Biegefall 6 - Durchsenkung in der Mitte: f1 =M0`
2
8EI
Teilsystem 2 ohne Momente: Biegefall 4 - Durchsenkung in der Mitte: f2 =FB`
3
48EI
Durchsenkung muss verschwinden: f1 + f2 = 0 M0`
2
8EI= FB`
3
48EI FB = 6
M0`

Frage 6 ( 2 Punkte)
Ein als starr anzunehmender masseloser Trger(Lnge 2a) wird durch zwei masselose schlankeBalken (Biegesteifigkeit EI, Lnge jeweils a) ge-sttzt und durch die Kraft F belastet.
a) Bestimmen Sie den Abstand b so, dass einemglichst hohe Knickfestigkeit erreicht wird!
b) Welchen Wert F = Fmax darf die Kraft F beieiner Knicksicherheit von Sk maximal anneh-men?
Gegeben: a, F , E, I, Sk = 3.
b = Fmax =
A B
2a
Fb
a a
Lsung
Balken links: Knickfall 2
Kraft aus Belastung: Flinks = F (1b
2a) Kritische Kraft: Fkrit,links =
EI2
a2
Balken rechts: Knickfall 1
Kraft aus Belastung: Frechts = F (b
2a) Kritische Kraft: Fkrit,rechts =
1
4
EI2
a2
Balken links vierfach belastbarer als Balken rechts b so whlen, dass Krfte aus Belastung imVerhltnis
1
4wirken!
Fkrit,linksFkrit,rechts
=FlinksFrechts
b = 25a
Maximale Kraft fhrt zu FlinksSk = Fkrit,links Fmax(1b
2a) =
EI2
Ska2 Fmax =
5EI2
12a2

Frage 7 ( 2 Punkte)
Ordnen Sie die gegebenen Spannungszustnde den Mohrschen Kreisen zu! Tragen Sie die zugehrigeNummer in das dafr vorgesehenene Kstchen ein!
Gegeben: 0, = 0.
1. 2. 3.
1. 2. 3.
Lsung
2. 1. 3.

Aufgabe 8 ( 7 Punkte)
Das dargestellte dnnwandige Profil (SchubmodulG) wird sowohl durch die Kraft F , als auch durchdas Torsionsmoment MT belastet.
a) Bestimmen Sie die auftretende Normalspan-nung xx!
b) Bestimmen Sie die auftretende Schubspannungxy aufgrund Torsion!
c) Skizzieren Sie den Spannungszustand, der sichin der Rohrwandung einstellt!
d) Berechnen Sie die Hauptspannungsrichtung !
e) Berechnen Sie den Verdrehwinkel , der sichzwischen den Rohrenden einstellt!
Gegeben: F , MT , G, `, t, r, t r.
Lsung

a) Normalspannung: xx =F
Amit A = 2rt +
1
22rt = rt(2 + ) xx =
F
rt(2 + )
b) Torsionsspannung: xy =MTWT
mit WT = 2Amt = 21
2r2t = r2t xy =
MTr2t
c) Spannungszustand:
d) Winkel zu Hauptspannungen: tan 2 =2xy
xx yy=
2 MTr2tF
rt(2+)
mit yy = 0
= 12
arctan
(2MT (2 + )
Fr
)
e) Verdrehwinkel an Rohrenden: =`
0
dx mit =MTGIT
IT =4A2m2
i=1
sibi
=2r3t
(2 + )
= MT (2 + )G2r3t
=MTGIT
`
= MT (2 + )G2r3t
`

Aufgabe 9 ( 8 Punkte)
Der dargestellte Balken (Elastizittsmodul E) isteinseitig fest eingespannt und wird am freien Endemit einer Kraft F belastet.
a) Ermitteln Sie die Verschiebung des freien Endesin y und zRichtung!
b) Wie gro ist die Normalspannung im PunktA ?
Gegeben: F , E, `, b, h = 2b, .
F
x
Querschnitt:
z
y
b
h
F
A
Querschnitt:
b
h
F
yx
z
Lsung
F
x
Querschnitt:
z
y
b
h
F
A
Querschnitt:
b
h
F
yx
z
Hauptachsen: Symmetrieachsen des Querschnitts, um x-Achse gedreht
Kraft zerlegen: F = F sin ; F = F cos
Biegung in -Richtung - B

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