1

2. Ηλεκηποζηαηικά πεδία (Electrostatic Fields)

Έλα ειεθηξνζηαηηθό πεδίν παξάγεηαη από κηα ζηαηηθή δηαλνκή θνξηίνπ.

Έλα ηππηθό παξάδεηγκα ελόο ηέηνηνπ πεδίνπ ην βξίζθνπκε ζε έλα ζσιήλα

θαζνδηθώλ αθηηλώλ (cathode ray tube) π.ρ. κέζα ζηηο ηειενξάζεηο.

Η ειεθηξνζηαηηθή είλαη έλα ζπλαξπαζηηθό ζέκα όπνπ έρεη αλαπηπρζεί ζε

δηάθνξνπο ηνκείο. Η ειεθηξηθή κεηαθνξά ελέξγεηαο θαη νη κεραλέο αθηηλώλ

Υ (X-ray machines) απαηηνύλ γηα παξάδεηγκα ηε γλώζε ειεθηξνζηαηηθήο

γηα ηελ θαηαλόεζε θαη ζρεδηαζκό ηνπ θαηάιιεινπ εμνπιηζκνύ. Οη

ζπζθεπέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζε ειεθηξνληθά ζπζηήκαηα επίζεο

βαζίδνληαη ζηελ ειεθηξνζηαηηθή.

Τπάξρνπλ δύν ζεκειηώδεηο λόκνη ζηελ ειεθηξνζηαηηθή θαη απηνύο ζα

κειεηήζνπκε πξώηα:

1. Νόκνο ηνπ Coulomb (Coulomb’s law)

2. Νόκνο ηνπ Gauss (Gauss’s Law).

2

Νόμορ ηος Coulomb (Coulomb’s law)

Ο λόκνο ηνπ Coulomb ιέεη όηη ε δύλακε κεηαμύ δύν ζεκεηαθώλ θνξηίσλ

(point charges) δίλεηαη από ηελ ζρέζε

2

21

R

QkQF

όπνπ R είλαη νη απόζηαζε (κνλάδα κέηξεζεο ηα κέηξα (m)) κεηαμύ ησλ δύν

ζημειακών θοπηίων (Point charges) Q1, Q2.

ημειακά θοπηία (point charges): θνξηία πνπ βξίζθνληαη ζε έλα ζώκα

πνπ νη δηαζηάζεηο ηνπ είλαη πνιύ κηθξόηεξεο από άιιεο δηαζηάζεηο –

Μνλάδα κέηξεζεο θνξηίνπ: Coulomb (C))

1 ειεθηξνληθό θνξηίν e =-1.6019 x 10-19

C,

k=1/4πεν είλαη ε ζηαζεξά αλαινγίαο,

F είλαη ε δύλακε (κνλάδα κέηξεζεο Newton (N)),

εν είλαη ε δηειεθηξηθή ζηαζεξά (permittivity) θαη ηζνύηαη κε 8.854x10-12

(Farads/m).

2

0

21

4 R

QQF

ημείωζη: 1. Όκνηα θνξηία απσζνύληαη ελώ αληίζεηα έιθνληαη.

2. Η απόζηαζε R κεηαμύ ησλ δύν θνξηίσλ πξέπεη λα είλαη κεγάιε ζε

ζρέζε κε ηηο δηαζηάζεηο ησλ θνξηίσλ.

3. Q1 θαη Q2 πξέπεη λα είλαη ζε ζηάζε.

4. Αλ ππάξρνπλ πην πνιιά από δύν θνξηία (point charges) κπνξνύκε λα

ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ αξρή ηεο επαιιειίαο (superposition) γηα λα

ππνινγίζνπκε ηελ δύλακε ζε έλα ζπγθεθξηκέλν ζώκα.

3

Ένηαζη πεδίος (field intensity)

Έζησ όηη έλα ζεκεηαθό θνξηίν Q1 δεκηνπξγεί έλα ειεθηξηθό πεδίν (ιόγσ

ηνπ όηη ην θνξηίν απηό δεκηνπξγεί ην ειεθηξηθό πεδίν ην θνξηίν απηό

νλνκάδεηαη θνξηίν πξνέιεπζεο (source charge)). Η έληαζε ηνπ πεδίνπ πνπ

πξνθαιεί ην θνξηίν πξνέιεπζεο κπνξεί λα κεηξεζεί αλ ηνπνζεηήζνπκε

αθόκα έλα θνξηίν κέζα ζην πεδίν. Σν θνξηίν απηό νλνκάδεηαη θνξηίν

δνθηκαζίαο (test charge) Q2. Όηαλ απηό ην θνξηίν ηνπνζεηεζεί κέζα ζην

πεδίν ζα εμαζθεζεί κηα δύλακε F πάλσ ζε απηό.

Έληαζε πεδίνπ νξίδεηαη ε δύλακε γηα θάζε κνλάδα θνξηίνπ όηαλ απηό ην

θνξηίν ηνπνζεηεζεί ζε ειεθηξηθό πεδίν

Q

FE

Η έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ Ε (ην νπνίν είλαη δηαλπζκαηηθό κέγεζνο)

είλαη ζηελ ίδηα θαηεύζπλζε κε ηελ δύλακε F θαη κεηξηέηαη ζε

Newtons/coulombs ή Volts/metres.

Αλ αληηθαηαζηήζνπκε ζηελ πην πάλσ εμίζσζε ηε δύλακε κε ην λόκν ηνπ

Coulomb ηόηε έρνπκε:

2

0

21

22 4

1

R

QQ

QQ

FE

2

0

1

4 R

QE

Test Charge (Q2) Source Charge

Q1 Q

2 R

F

4

Παπάδειγμα 2.1

Γύν θνξηία (point charges) 1 mC θαη -2 mC βξίζθνληαη ζηα ζεκεία (3,2,-1)

θαη (-1,-1,4) αληίζηνηρα. Τπνινγίζηε ηελ ειεθηξηθή δύλακε (electric force)

ζε έλα θνξηίν 10 nC πνπ βξίζθεηαη ζην ζεκείν (0,3,1) θαη ηελ έληαζε ηνπ

ειεθηξηθνύ πεδίνπ (electric field intensity) ζε απηό ην ζεκείν.

(sd 4.1 p118)

5

Ηλεκηπικό πεδίο λόγω ζςνεσούρ διανομήρ θοπηίος

(Electric field due to continuous charge distributions)

Μέρξη ηώξα είρακε κόλν αλαθέξεη ηηο δπλάκεηο πνπ δεκηνπξγνύληαη ιόγσ

ζεκεηαθώλ θνξηίσλ (point charges). Δίλαη επίζεο πηζαλόλ λα ππάξρεη

ζπλερήο δηαλνκή θνξηίνπ (continuous charge distribution) πάλσ ζε κία

γξακκή, ζε κία επηθάλεηα, ή όγθν.

Επικαμπύλιο Φοπηίο (Line charge)

Αο ππνζέζνπκε όηη ππάξρεη νκνηόκνξθε πςκνόηηηα θοπηίος πL (uniform

charge density) πνπ επεθηείλεηαη από ην Α ζην Β πάλσ ζην άμνλα Z όπσο

θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Αο πάξνπκε ηελ πεξίπησζε όπνπ ην ζεκείν Β

είλαη (0,0, ) θαη ην ζεκείν Α (0,0, ) έηζη ώζηε α1=π/2 , α2=-π/2,

ηόηε ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ Ε γίλεηαη:

ρaE

2

L

6

Φοπηίο επιθάνειαρ (surface charge)

Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε έλα άπεηξν θνκκάηη ραξηί κε θνξηίν ζην επίπεδν

ΥY κε νκνηόκνξθε πςκνόηηηα θοπηίος πS (uniform charge density). Αθνύ

ην θνξηίν είλαη ζην πεδίν XY ηόηε ην Ε έρεη κόλν ζπληεηαγκέλε z. Γεληθά

γηα κηα άπεηξε επηθάλεηα κε θνξηίν ε έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ Ε

είλαη:

naE

2

S

όπνπ ην an είλαη έλα κνλαδηαίν δηάλπζκα θάζεην ζην ραξηί θνξηίνπ.

Φοπηίο όγκος (Volume charge)

Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε θνξηίν κε δηαλνκή όγθνπ (volume charge

distribution) κε νκνηόκνξθε πςκνόηηηα θοπηίος πν όπσο θαίλεηαη ζην πην

θάησ ζρήκα. Η έληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ είλαη:

zaE24 z

Q

όπνπ

3

4 3Q

7

Παπάδειγμα 2.2

Έλα θπθιηθόο δαθηύιηνο (circular ring) έρεη αθηίλα a, έρεη νκνηόκνξθν

θνξηίν ξL θαη είλαη ηνπνζεηεκέλνο ζην επίπεδν XY.

(α) Να δείμεηε όηη zaE2/322 ][2

00ah

ah,h),( L

(β) Πνηεο ηηκέο ηνπ h δίλνπλ ηε κέγηζηε ηηκή ηνπ Ε ?

(γ) Αλ ην νιηθό θνξηίν ζην δαθηύιην είλαη Q, λα ππνινγίζεηε ην Ε όηαλ

0a . (sd4.4 p129)

(α) addl θαη zρ )( aaR ha

22 ha R θαη R

Ra R ή

23

22

zρ

22

R

ha

ha

aa

R

R

R

a

adha

ha

o

L

2

02

322

zρ

4

aaE

Λόγσ ζπκκεηξίαο ε ζπλεηζθνξά ηεο ζπληζηώζαο ρa είλαη 0 αθνύ γηα θάζε

δηαθνξηθό ζεκείν dl ππάξρεη ην αληίζηνηρν ζηελ απέλαληη πιεπξά πνπ

dEz

dEξ

dE

R

α

h

y

x

z

8

αιιεινεμνπδεηεξώλνπλ (έρνπλ ηελ ίδηα ηηκή αιιά αληίζεην πξόζεκν). Έηζη

έρνπκε ζπληζηώζα κόλν ζηελ θαηεύζπλζε z.

23

22

z

2

02

322

z

24 ha

ahd

ha

ah

o

L

o

L

aaE

(β) 0dh

d Eγηα κέγηζην E

322

21

2223

22

z

22

31

2 ha

hahhhaah

dh

d

o

L

aE

0203 2222221

22 hahhaha ή 2

ah

(γ) Δπεηδή ην θνξηίν έρεη νκνηόκνξθε θαηαλνκή ε ππθλόηεηα θνξηίνπ είλαη

z

23

2242aE

ha

Qh

a

Q

o

L

Όηαλ α→0 z24aE

h

Q

o ή πην γεληθά R

or

QaE

24 πνπ είλαη ην ίδην όπσο ην

ζεκεηαθό θνξηίν όπσο ζα αλακέλακε.

9

Πςκνόηηηα ηλεκηπικήρ ποήρ (electric flux density)

Η ππθλόηεηα ειεθηξηθήο ξνήο είλαη έλα δηαλπζκαηηθό πεδίν ην νπνίν είλαη

αλεμάξηεην από ην πιηθό θαη νξίδεηαη σο:

ΕD 0

Δπίζεο νξίδνπκε ηελ ειεθηξηθή ξνή (electric flux) Φ:

SD d

Νόμορ ηος Gauss (Gauss’s Law)

Ο λόκνο ηνπ Gauss είλαη από ηνπο πην ζεκαληηθνύο λόκνπο ηεο

ειεθηξνκαγλεηηθήο. Οξίδεη όηη ε νιηθή ειεθηξηθή ξνή (electric flux) Φ κέζα

ζε κία θιεηζηή επηθάλεηα S είλαη ίζε κε ην νιηθό θνξηίν πνπ βξίζθεηαη κέζα

ζε απηή ηελ επηθάλεηα (κε όγθν V):

όQ

ή θαιύηεξα

V

v

S

dvdQ SD

Από ηνλ πην πάλσ ηύπν θαηαιήγνπκε ζηελ ππώηη εξίζωζη ηος Maxwell

πνπ είλαη:

D.v

10

Εθαπμογέρ ηος νόμος ηος Gauss

(Applications of Gauss’s Law)

Όηαλ ππάξρεη ζπκκεηξία ζηε δηαλνκή ηνπ θνξηίνπ κπνξνύκε λα

θαηαζθεπάζνπκε κία καζεκαηηθή θιεηζηή επηθάλεηα, πνπ νλνκάδεηαη

Γθανπζηαλή επηθάλεηα (Gaussian surface). H επηθάλεηα πνπ δηαιέγνπκε

πξέπεη λα είλαη είηε θάζεηε ζην D, όπνπ D.dS = DdS, είηε εθαπηόκελε, όπνπ

D.dS = 0. Απηέο ηηο βαζηθέο ηδέεο ζα ηηο ρξεζηκνπνηήζνπκε ζηηο πην θάησ

πεξηπηώζεηο.

ημειακό Φοπηίο (point charge)

Όηαλ έρνπκε έλα ζεκεηαθό θνξηίν (point charge) ηνπνζεηεκέλν ζην ζεκείν

αλαθνξάο γηα λα βξνύκε ην D ζε έλα ζεκείν Ρ, είλαη εύθνιν λα

ρξεζηκνπνηήζνπκε κία ζθαηξηθή επηθάλεηα πνπ λα πεξηέρεη ην Ρ θαη από

εθεί κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην D πνπ ζα είλαη:

S

rDdSDQ 24. dSD

raD24 r

Q

Άπειπο επικαμπύλιο θοπηίο (infinite line charge)

Αο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε κία άπεηξε γξακκή από νκνηόκνξθν θνξηίν ξL

C/m πάλσ ζηνλ άμνλα z. Γηα λα βξνύκε ην D ζε έλα ζεκείν Ρ ζα δηαιέμνπκε

κηα θπιηλδξηθή επηθάλεηα λα πεξηέρεη ην Ρ. Από εθεί κπνξνύκε λα

ππνινγίζνπκε ην D πνπ ζα είλαη

lDdSDQlL 2.dSD

ραD

2

L

11

Φοπηίο επιθάνειαρ ζε άπειπο επίπεδο (infinite sheet of charge)

Aο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε έλα άπεηξν θνκκάηη κε νκνηόκνξθν θνξηίν ξs

C/m2 πάλσ ζην πεδίν z=0. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην D ζην ζεκείν Ρ ζα

δηαιέμνπκε έλα ηεηξάγσλν θνπηί λα πεξηέρεη ην Ρ. Από εθεί κπνξνύκε λα

ππνινγίζνπκε ην D πνπ ζα είλαη

zaD2

s

θαίπα ομοιόμοπθα θοπηιζμένη (uniformly charged sphere)

Aο ππνζέζνπκε όηη έρνπκε κία ζθαίξα κε αθηίλα α, κε νκνηόκνξθν θνξηίν

ξλ C/m3. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην D, θαηαζθεπάδνπκε γθανπζηαλέο

επηθάλεηεο γηα ηηο δύν πεξηπηώζεηο ar θαη ar . Αθνύ έρνπκε

ζθαίξα είλαη εκθαλέο όηη ε γθανπζηαλή επηθάλεηα ζα είλαη ζθαίξα.

Γηα ηε πξώηε πεξίπησζε raD 3

r ar 0 ,

Γηα ηε δεύηεξε πεξίπησζε raD 2

3

3r

a ar

12

Παπάδειγμα 2.3

Γίλεηαη ην D = zξcos2θaz C/m

2, λα ππνινγίζεηε ηελ ππθλόηεηα θνξηίνπ

(charge density) ξλ ζην ζεκείν (1, π/4, 3) θαη ην νιηθό θνξηίν πνπ βξίζθεηαη

θιεηζκέλν ζε έλα θύιηλδξν αθηίλαο 1 m κε 22 z m.

(sd 4.9 p145)

Μέζνδνο 1:

322

mC 5.0

4cos.1 3,

4,1 στοcos

v

zv

z

DD

VV

v dzddzdvQ 2cos

C 3

4

3

1.4cos

1

0

2

2

0

2

2

2

dddz

Μέζνδνο 2:

Υξεζηκνπνηώληαο ην ζεώξεκα ηνπ Gauss

sbt

t b s

Q dSDdSDdSDdSD

Αθού ηο D δεν έχει ζυνιζηώζα ζηο ρa 0 s

Για t , )( zadS dd 2z

3

2

3

12

32cos2cos

1

0

31

0

2

0

22

1

0

2

0

2

ddddzt

Για b , )( zadS dd 2z

3

2

3

12

32cos2cos

1

0

31

0

2

0

22

1

0

2

0

2

ddddzb

CQ3

4

3

2

3

20

13

Ηλεκηπικό δςναμικό (Electric potential)

Αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε λα κεηαθηλήζνπκε έλα ζεκεηαθό θνξηίν (point

charge) από ην ζεκείν Α ζην ζεκείν Β ζε έλα ειεθηξηθό πεδίν Ε. Σν έξγν

πνπ γίλεηαη (ή ε δπλακηθή ελέξγεηα πνπ ρξεηάδεηαη) ζηε κεηαθνξά ηνπ

θνξηίνπ ζε κηα απόζηαζε dl είλαη

B

A

dQw lE.

Σν αξλεηηθό πξόζεκν θαηαδεηθλύεη όηη ην έξγν γίλεηαη από θάπνηα

εμσηεξηθή πεγή.

Γηαηξώληαο ηώξα ην έξγν δηα ην θνξηίν Q καο δίλεη ηελ δπλακηθή ελέξγεηα

(potential energy) γηα θάζε κνλάδα θνξηίνπ. Απηή ε πνζόηεηα, πνπ

γξάθεηαη VAB, ιέγεηαη δηαθνξά δπλακηθνύ (potential difference).

B

A

AB dQ

wV lE.

εκείσζε:

1. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην VAB, ην Α είλαη ην αξρηθό ζεκείν θαη Β ην

ηειηθό.

2. Αλ ην VAB είλαη αξλεηηθό ζεκαίλεη όηη ράλεηαη δπλακηθή ελέξγεηα ζηε

κεηαθνξά ηνπ Q από ην Α ζην Β. Αλ ην VAB είλαη ζεηηθό ηόηε ππάξρεη

θέξδνο ελέξγεηαο.

3. Σν VAB είλαη αλεμάξηεην ηεο πνξείαο πνπ ζα θάλεη ην θνξηίν.

4. Σν VAB κεηξηέηαη ζε Joules/Coulomb ή αιιηώο volts (V).

14

Παπάδειγμα 2.4

Γύν ζεκεηαθά θνξηία (point charges) -4 κC θαη 5 κC βξίζθνληαη ζηα

ζεκεία (2, -1, 3) θαη (0, 4, -2) αληίζηνηρα. Να ππνινγίζεηε ην δπλακηθό ζην

ζεκείν (1, 0, 1) ζεσξώληαο κεδέλ δπλακηθό (potential) ζην άπεηξν.

(sd 4.11 p151)

15

σέζη μεηαξύ Ε και V – Εξίζωζη ηος Maxwell

(Relationship between E and V – Maxwell’s equation)

Ξέξνπκε όηη ην επηθακπύιην νινθιήξσκα (line integral) ηνπ Ε ζε θιεηζηή

πνξεία είλαη πάληα ίζν κε κεδέλ. Απηό ζεκαίλεη όηη δελ γίλεηαη θαλέλα έξγν

γηα ηε κεηαθνξά ηνπ θνξηίνπ ζε κηα θιεηζηή πνξεία ζε έλα ειεθηξνζηαηηθό

πεδίν.

0. lE d

0).(. sElE dd

Εξίζωζη ηος Maxwell (Maxwell’s equation)

0 E

Δπίζεο από ηα πην πάλσ κπνξεί λα απνδεηρζεί όηη

VE

16

Παπάδειγμα 2.5

Γίλεηαη V = cossin10

2r

(α) Να βξείηε ην D ζην ζεκείν (2, π/2, 0)

(β) Τπνινγίζηε ην έξγν πνπ έγηλε (work done) γηα ηε κεηαθνξά ελόο

θνξηίνπ 10 κC από ην ζεκείν Α(1, 30ν, 120

ν) ζην ζεκείν Β(4, 90

ν, 60

ν)

(sd 4.14 p157)

17

Ηλεκηπικό δίπολο (electric dipole)

Σν ειεθηξηθό δίπνιν δεκηνπξγείηαη όηαλ δύν ζεκεηαθά θνξηία (point

charges) ηνπ ίδηνπ κέηξνπ αιιά αληίζεηνπ πξόζεκνπ ρσξίδνληαη από πνιύ

κηθξή απόζηαζε. Αλ ιάβνπκε ππόςε ην ειεθηξηθό δίπνιν ζην πην θάησ

ζρήκα, ην δπλακηθό ζην ζεκείν Ρ (r, ζ, θ) είλαη

21

11

4 rr

QV

όπνπ r1 θαη r2 είλαη νη απνζηάζεηο από Ρ ζην Q+ θαη από Ρ ζην Q-

αληίζηνηρα.

Αλ ην dr , r2 - r1 =d cosζ, r2 r1=r2 θαη ε εμίζσζε γίλεηαη

2

cos

4 r

dQV

Αθνύ

dcosζ= d.ar όπνπ d =daz

νξίδνπκε ζαλ διπολική ποπή (dipole moment) ην

Ρ= Qd

18

Ηλεκηπικέρ γπαμμέρ ποήρ και ιζοδςναμικέρ επιθάνειερ

(Electric flux lines and Equipotential surfaces)

Η ειεθηξηθή γξακκή είλαη κία θαληαζηηθή γξακκή ηεο νπνίαο θαηεύζπλζε

ζε θάζε ζεκείν είλαη ε θαηεύζπλζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζε εθείλν ην

ζεκείν.

Οη ειεθηξηθέο γξακκέο ξνήο παξνπζηάδνπλ ηηο εμήο ηδηόηεηεο:

1. Οη γξακκέο πάληα μεθηλνύλ από ηα ζεηηθά θνξηία θαη θαηαιήγνπλ ζηα

αξλεηηθά

2. Γελ κπνξνύλ λα ηέκλνληαη δύν ειεθηξηθέο γξακκέο ξνήο

3. Η ππθλόηεηα ηεο ειεθηξηθήο ξνήο (electric flux density) D είλαη

εθαπηόκελε ζηηο ειεθηξηθέο γξακκέο ξνήο ζε θάζε ζεκείν.

Κάζε επηθάλεηα όπνπ ην δπλακηθό είλαη παληνύ ην ίδην νλνκάδεηαη

ηζνδπλακηθή επηθάλεηα (equipotential surface). H δηαζηαύξσζε κηαο

ηζνδπλακηθήο επηθάλεηαο θαη ελόο επηπέδνπ έρεη σο απνηέιεζκα κηα γξακκή

πνπ νλνκάδεηαη ηζνδπλακηθή γξακκή (equipotential line).

ημείωζη: Γελ γίλεηαη θαλέλα έξγν όηαλ κεηαθέξνπκε έλα θνξηίν από έλα

ζεκείν ζηελ ηζνδπλακηθή γξακκή ζε έλα άιιν ζεκείν ζηελ ίδηα γξακκή.

Μπνξνύκε επίζεο λα πνύκε όηη νη γξακκέο ξνήο είλαη πάληνηε θάζεηεο ζηηο

ηζνδπλακηθέο επηθάλεηεο.

19

20

Πςκνόηηηα ενέπγειαρ ζε ηλεκηποζηαηικά πεδία

(Energy density in electrostatic fields)

Αλ ππάξρνπλ n ζεκεηαθά θνξηία (point charges) ηόηε ε ελέξγεηα πνπ

ππάξρεη ζε απηά ηα θνξηία (ή ε ελέξγεηα πνπ ρξεηάδεηαη γηα λα ηα βάινπκε

ζηε ζέζε ηνπο) είλαη

n

k

kkE VQW12

1 ζε Joules

όπνπ Qθ ηα θνξηία θαη Vk ην δπλακηθό γηα θάζε θνξηίν.

Δπίζεο

VV

E dvEdvW 2

2

1.

2

1ED

ζε Joules

Οξίδνπκε σο πςκνόηηηα ενέπγειαρ we

0

22

022

1

2

1

D

dv

dWw e

e ED

θαη

dvwWV

ee

21

Ηλεκηπικά πεδία ζε ςλικά

(Εlectric fields in material space)

ε απηό ην κέξνο ζα κειεηήζνπκε ηε ζεσξία ησλ ειεθηξηθώλ θαηλνκέλσλ

ζε πιηθά. Θα δνύκε όηη νη ηύπνη πνπ έρνπκε από ηα πξνεγνύκελα κέξε

κπνξνύλ αθόκα λα ρξεζηκνπνηεζνύλ, όκσο κεξηθνί από απηνύο κπνξεί λα

ζέινπλ θάπνηεο αιιαγέο.

Όπσο αθξηβώο ηα ειεθηξηθά πεδία κπνξνύλ λα ππάξρνπλ ζηνλ ειεύζεξν

ρώξν (free space), κπνξνύλ επίζεο λα ππάξρνπλ ζε πιηθά κέζα (material

media). Σα πιηθά είλαη επξέσο ηαμηλνκεκέλα κε βάζε ηηο ειεθηξηθέο

ηδηόηεηέο ηνπο σο αγωγοί θαη μη αγωγοί. Οη κε αγσγνί ζπλήζσο

νλνκάδνληαη μονωηέρ ή διηλεκηπικά πιηθά.

Ιδιόηηηερ ηων ςλικών

Σα πιηθά κπνξνύλ λα ηαμηλνκεζνύλ κε βάζε ηελ αγσγηκόηεηά ηνπο

(conductivity) ζ (Μνλάδα Siemens/metre), σο αγωγοί και μονωηέρ ή σο

μέηαλλα και διηλεκηπικά ςλικά. Έλα πιηθό πνπ ε αγσγηκόηεηά ηνπ είλαη

θάπνπ κεηαμύ ησλ κεηάιισλ θαη ησλ κνλσηώλ, νλνκάδεηαη ημιαγωγόρ

(semiconductor). Οη ηηκέο ηεο αγσγηκόηεηαο ησλ πην θνηλώλ πιηθώλ είλαη

ζην πην θάησ πίλαθα:

Τιηθό Αγσγηκόηεηα

(siemens/m)

Δίδνο πιηθνύ

Υαιθόο 5.8x107 Αγσγόο

Αινπκίλην 3.5x107 Aγσγόο

Ππξίηην 4.4x10-4

Ηκηαγσγόο

Γεξκάλην 2.2 Ηκηαγσγόο

Γπαιί 10-12

Μνλσηήο

Η αγσγηκόηεηα ησλ κεηάιισλ απμάλεηαη γεληθά κε ηε κείσζε ζηε

ζεξκνθξαζία. ηηο ζεξκνθξαζίεο θνληά ζε απόιπην κεδέλ (T=0oΚ) θάπνηνη

αγσγνί απνθηνύλ άπεηξε αγσγηκόηεηα θαη νλνκάδνληαη ςπεπαγωγοί. Ο

κόιπβδνο θαη ην αινπκίλην είλαη κεξηθά παξαδείγκαηα από απηά ηα πιηθά.

ε απηό ην κέξνο ζα αζρνιεζνύκε κόλν κε κέηαιια θαη κνλσηέο.

22

Ρεύμα Μεηαθοπάρ (Convection current)

Σν ειεθηξηθό ξεύκα ζπλήζσο είλαη απνηέιεζκα ηεο θίλεζεο ειεθηξηθώλ

θνξηίσλ. Σν ξεύκα κεηαθνξάο (convection current) ην βιέπνπκε όηαλ ην

ξεύκα πεξλά κέζα από έλα κνλσηηθό πιηθό όπσο πγξό ή αέξην θαη δελ

ρξεηάδεηαη αγσγόο γηα ηελ κεηαθνξά ηνπ γηαπηό θαη δελ ηθαλνπνηεί ην λόκν

ηνπ Ohm. Έλα παξάδεηγκα είλαη κία αθηίλα από ειεθηξόληα ζε ζσιήλα

θελνύ (vacuum tube).

Σν ξεύκα κεηαθνξάο κέζα από έλα ζπγθεθξηκέλν εκβαδόλ νξίδεηαη σο ην

ειεθηξηθό θνξηίν πνπ πεξλά κέζα από απηό ην εκβαδόλ αλά κνλάδα ρξόλνπ

dt

dQI

Μνλάδα κέηξεζεο ηνπ ξεύκαηνο είλαη ην Ampere (A).

Η ππθλόηεηα ηνπ ξεύκαηνο κεηαθνξάο νξίδεηαη σο

uJ

θαη κεηξηέηαη ζε (A/m2), όπνπ ξλ είλαη ε ππθλόηεηα ηνπ θνξηίνπ θαη u ε

ηαρύηεηα πνπ θηλείηαη ην θνξηίν.

Σν ξεύκα κεηαθνξάο I δίλεηαη από ηελ ζρέζε

23

S

dI SJ

Ρεύμα Αγωγιμόηηηαρ (Conduction current)

Όηαλ έλα ειεθηξηθό πεδίν εθαξκόδεηαη ζε έλαλ αγσγό, ην ξεύκα

αγσγηκόηεηαο εκθαλίδεηαη ιόγσ ηεο θίλεζεο ησλ ειεθηξνλίσλ. Καζώο

θηλνύληαη ηα ειεθηξόληα, κία αληίζεηε δύλακε αληηηίζεηαη ζηελ θίλεζε ηνπο.

Απηή ε δύλακε νλνκάδεηαη αληίζηαζε (Resistance). Γηα έλαλ αγσγό

EJ

όπνπ ζ είλαη ε αγσγηκόηεηα ηνπ πιηθνύ θαη J είλαη ε ππθλόηεηα ηνπ

ξεύκαηνο αγσγηκόηεηαο.

Δπίζεο ε αληίζηαζε έρεη ηελ πην θάησ κνξθή:

S

l

I

VR

c

όπνπ V είλαη ε ηάζε, Ι ην ξεύκα, ξc =1/ζ θαη νλνκάδεηαη εηδηθή αληίζηαζε

(resistivity), l είλαη ην κήθνο ηνπ αγσγνύ θαη S ην εκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο

απ’ όπνπ πεξλά ην ξεύκα..

Η ηζρύο ζε Watt νξίδεηαη σο

24

dvP JE

Παπάδειγμα 2.6

Έλα ζύξκα κε δηάκεηξν 1 mm θαη αγσγηκόηεηα 5x107 S/m έρεη 10

29

ειεύζεξα ειεθηξόληα/m3 όηαλ ππάξρεη ειεθηξηθό πεδίν έληαζεο 10 mV/m.

Να ππνινγίζεηε:

(α) Σελ ππθλόηεηα θνξηίνπ ησλ ειεύζεξσλ ειεθηξνλίσλ

(β) Σελ ππθλόηεηα ξεύκαηνο

(γ) Σν ξεύκα κέζα ζην ζύξκα

(δ) Σελ ηαρύηεηα ησλ ειεθηξνλίσλ. Σν ειεθηξηθό θνξηίν είλαη

e =-1.6x10-19

C. (sd 5.3 p191)

25

Διηλεκηπική ζηαθεπά και δύναμη

(Dielectric constant and strength)

Ξέξνπκε όηη

D = ε E όπνπ ε=ενεr .

Σν ε νλνκάδεηαη επιηπεπηόηηηα (permittivity) ησλ δηειεθηξηθώλ θαη ην εν

είλαη ε επιηπεπηόηηηα (permittivity) ζηον αέπα (free space), ελώ εr

νξίδεηαη σο η ζσεηική επιηπεπηόηηηα (relative permittivity). Οη θαηά

πξνζέγγηζε ηηκέο γηα ηηο δηειεθηξηθέο ζηαζεξέο δίλνληαη πην θάησ (γηα ηε

ζηαηηθή ή ρακειή ζπρλόηεηα Hz1000 - γηα ηηο πςειόηεξεο ζπρλόηεηεο νη

ηηκέο αιιάδνπλ). Σν εr είλαη πάληα πην κεγάιν από 1 ή ίζν κε 1. Γηα ηνλ

αέξα (free space) θαη κε δηειεθηξηθά πιηθά, όπσο κέηαιια, ην εr =1.

Υλικό σεηική Διηλεκηπική ηαθεπά (εr)

Νεξό (Θάιαζζαο) 80

Νάηινλ 8

Υαξηί 7

Γπαιί 5-10

Πνξζειάλε 6

Λάζηηρν 3.1

Ξύιν 2.5-8.0

Αέξαο 1

Οπιακέρ ζςνθήκερ (Boundary conditions)

Δάλ ην πεδίν ππάξρεη ζε κηα πεξηνρή πνπ απνηειείηαη από δύν δηαθνξεηηθά

κέζα, νη ζπλζήθεο πνπ πξέπεη λα ηθαλνπνηεί ζηε δηεπαθή (interface) πνπ

δηαρσξίδνπλ ηα δύν κέζα νλνκάδνληαη νξηαθέο ζπλζήθεο (boundary

conditions). Απηέο νη ζπλζήθεο βνεζνύλ ζην λα κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε

ην πεδίν ζηε κηα πιεπξά αλ γλσξίδνπκε ην πεδίν ζηελ άιιε.

Θα κειεηήζνπκε ηξεηο πεξηπηώζεηο:

(α) δηειεθηξηθό εr1 κε δηειεθηξηθό εr2

(β) αγσγό θαη δηειεθηξηθό

(γ) αγσγό θαη ειεύζεξνο ρώξνο.

26

Οπιακέρ ζςνθήκερ ζε Διηλεκηπικό-Διηλεκηπικό

(Dielectric- dielectric boundary conditions)

Aο ζεσξήζνπκε όηη ππάξρεη ην ειεθηξηθό πεδίν Ε ζε κηα πεξηνρή πνπ έρεη

δύν δηαθνξεηηθά δηειεθηξηθά πιηθά πνπ ραξαθηεξίδνληαη από ε1=ενεr1 θαη

ε2=ενεr2 όπσο θαίλνληαη ζην πην θάησ ζρήκα. Γηα ηε πην πάλσ πεξίπησζε

ηζρύνπλ ηα εμήο:

tt EE 21 θαη snn DD 21

όπνπ ξs είλαη ε ππθλόηεηα θνξηίνπ ζηελ δηεπαθή.

Δάλ ην ξs είλαη 0 ηόηε

nn DD 21

όπσο θαίλνληαη ζην πην θάησ ζρήκα. Αθόκα αθνύ ε1=ενεr1 θαη ε2=ενεr2 ηόηε

2

11

2tan

tan

r

r

27

Απόδειξη

28

Οπιακέρ ζςνθήκερ ζε αγωγόρ-διηλεκηπικό

(Conductor-Dielectric Boundary conditions)

Απηή είλαη ε πεξίπησζε πνπ θαίλεηαη ζην πην θάησ ζρήκα. Ο αγσγόο

ζεσξείηαη όηη είλαη ηέιεηνο. Γηα απηή ηελ πεξίπησζε ηζρύνπλ ηα εμήο:

0 , 0Ε

αθνύ δελ κπνξεί λα ππάξμεη ειεθηξηθό πεδίν κέζα ζηνλ αγσγό. Δπίζεο

0 trt ED θαη snrn ED

Μηα πνιύ ζεκαληηθή εθαξκνγή ηνπ όηη Ε=0 κέζα ζηνλ αγσγό είλαη ε

ειεθηξνζηαηηθή θάιπςε (electrostatic shielding).

ημείωζη:

29

Οπιακέρ ςνθήκερ Αγωγόρ-Ελεύθεπορ σώπορ

(Conductor-Free space)

Απηή είλαη κηα ηδηαίηεξε πεξίπησζε ηνπ αγσγνύ-δηειεθηξηθνύ όπνπ ην εr=1

όπσο θαίλεηαη θαη ζην πην θάησ ζρήκα. Γηα απηή ηε πεξίπησζε ηζρύνπλ ηα

εμήο:

0 tt ED , snn ED

30

Παπάδειγμα 2.7 Γύν εθηελή νκνγελή ηζνηξνπηθά δηειεθηξηθά πιηθά ζπλαληηνύληαη ζην

επίπεδν z=0. Γηα z > 0, εr1=4 θαη γηα 0z , εr2 =3. Τπάξρεη έλα νκνγελέο

ειεθηξηθό πεδίν Ε=5ax – 2ay + 3az KV/m γηα z > 0. Να ππνινγίζεηε

(α) Ε2 γηα 0z

(β) Σηο γσλίεο πνπ ηα Ε1 θαη Ε2 θάλνπλ κε ηελ δηεπαθή (interface).

(γ) Σελ ππθλόηεηα ελέξγεηαο (ζε J/m3) θαη ζηα δύν δηειεθηξηθά πιηθά

(δ) Σελ ελέξγεηα κέζα ζε έλα θύβν πιεπξάο 2 m κε θέληξν ην ζεκείν

(3, 4, -5). (sd 5.9 p211)

(α) Θεσξνύκε όηη ην za είλαη θάζεην ζηελ επηθάλεηα ηνπ επηπέδνπ.

3z1n11n aEaEE z1n 3aE

z2n22n aEaEE zz22n aaEE

tn EEE yx1n11t 25 aaEEE yx1t2t 25 aaEE θαη

1nr2nr1n2n 12EEDD zz1n

r

r

2n 433

4

2

1 aaEE

mkV 425 zyx2n2t2 aaaEEE

31

(β) Δάλ ην α1 θαη α2 είλαη νη γσλίεο πνπ θάλνπλ ην Ε1 θαη Ε2 κε ηελ δηεπαθή

θαη ζ1 θαη ζ2 νη γσλίεο πνπ θάλνπλ κε ηελ θάζεηε ζηε δηεπαθή ηόηε

11 90 a , 22 90 a

Αθνύ 31n E θαη 294251t E

1.299.60795.13

29tan 11

1n

1t

1 aE

E

42n E θαη 291t2t EE

6.364.53346.14

29tan 22

2n

2t

2 aE

E

(γ) Οη ππθλόηεηεο ελέξγεηαο δίδνληαη από

36

92

11E mμJ

67210x942536

104

2

1

2

11

Ew

36

92

22E mμJ

59710x1642536

104

2

1

2

12

Ew

(δ) ην θέληξν ηνπ θύβνπ (3, 4, -5) 05z πνπ ζεκαίλεη νηη ν θύβνο είλαη

ζην πιηθό ηεο πεξηνρήο 2 46 ,53 ,42 zyx

4

2

5

3

4

6

EEE mJ 4776μJ 8597222222

x y z

EwdxdydzwdvwW

32

Ηλεκηποζηαηικά πποβλήμαηα οπιακών ζςνθηκών

(Electrostatic Boundary – Value problems)

ε απηό ην θεθάιαην ζα αζρνιεζνύκε κε πξαθηηθά ειεθηξνζηαηηθά

πξνβιήκαηα όπνπ νη ειεθηξνζηαηηθνί όξνη (θνξηίν, δπλακηθό) είλαη

γλσζηνί κόλν ζε θάπνηα όξηα (boundaries) θαη εκείο επηζπκνύκε λα βξνύκε

ην Ε θαη ην V ζε όιε ηε πεξηνρή. Έηζη είδνπο πξνβιήκαηα ζπλήζσο

ιύλνληαη ρξεζηκνπνηώληαο ηηο εμηζώζεηο ηνπ Πνπαζόλ (Poisson’s Equation)

θαη ηνπ Λαπιάο (Laplace’s Equation) ή κε ηε κέζνδν ησλ εηδώισλ (method

of images) θαη ζπλήζσο αλαθέξνληαη σο πξνβιήκαηα νξηαθώλ ζπλζεθώλ

(boundary –value problems)

Εξιζώζειρ ηος Ποςαζόν και ηος Λαπλάρ

(Poisson’s and Laplace’s Equations)

Οη εμηζώζεηο ηνπ Πνπαζόλ θαη ηνπ Λαπιάο εύθνια κπνξνύλ λα εμαρζνύλ

(derived) από ην λόκν ηνπ Γθάνπο (Gauss’s law)

v ED ..

θαη

VE

Υξεζηκνπνηώληαο ηηο πην πάλσ εμηζώζεηο

vV ).(

όπνπ ηζρύεη γηα έλα κε νκνγελέο κέζν. Γηα έλα νκνγελέο κέζν

vV 2

όπνπ νλνκάδεηαη εμίζσζε ηνπ Πνπαζόλ (Poisson’s equation).

Μία εηδηθή πεξίπησζε ηεο πξνεγνύκελεο εμίζσζεο είλαη όηαλ ξλ =0

(πεξηνρή ρσξίο θνξηίν). Η πξνεγνύκελε εμίζσζε ηόηε γίλεηαη

33

02 V

όπνπ νλνκάδεηαη εμίζσζε ηνπ Λαπιάο (Laplace’s equation).

Η εμίζσζε ηνπ Λαπιάο (Laplace’s equation) ζε θαξηεζηαλέο, θπιηλδξηθέο

θαη ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο είλαη ε αθόινπζε:

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο

011

2

2

2

2

2

z

VVV

θπιηλδξηθέο ζπληεηαγκέλεο

0sin

1sin

sin

112

2

222

2

2

V

r

V

rr

Vr

rr

ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο.

Γηα ηελ εμίζσζε ηνπ Πνπαζόλ (Poisson’s equation) απιά αληηθαζηζηνύκε ην

0 ζηε δεμηά κεξηά ηεο θάζε εμίζσζεο κε ξλ/ε.

Η εμίζσζε ηνπ Λαπιάο είλαη πνιύ ζεκαληηθή ζηε ιύζε πξνβιεκάησλ κε

αγσγνύο πνπ έρνπλ δηαθνξά δπλακηθνύ (different potential). Παξαδείγκαηα

απηώλ ησλ πξνβιεκάησλ είλαη νη ππθλσηέο.

ημείωζη: Αλ ε ιύζε ηεο εμίζσζεο ηνπ Λαπιάο ηθαλνπνηεί δεδνκέλν

ζύλνιν νξηαθώλ ζπλζεθώλ (boundary conditions), ηόηε απηή είλαη ε

κνλαδηθή δπλαηή ιύζε (Θεώξεκα ηεο κνλαδηθόηεηαο).

Σα ηξία ζεκεία πην θάησ πεξηγξάθνπλ κνλαδηθά έλα πξόβιεκα νξηαθώλ

ζπλζεθώλ (boundary- value problem) είλαη:

1. Η θαηάιιειε δηαθνξηθή εμίζσζε

2. Η ζσζηή πεξηνρή ιύζεο

3. Οη θαζνξηζκέλεο ζπλζήθεο νξίσλ (boundary conditions).

34

Γενική διαδικαζία για λύζη εξίζωζηρ Ποςαζόν ή Λαπλάρ

(General procedure for solving Poisson’s/Laplace’s equations)

1. Λύλνπκε ηελ εμίζσζε ηνπ Λαπιάο ή ηνπ Πνπαζόλ

ρξεζηκνπνηώληαο νινθιήξσκα απεπζείαο αλ ην V είλαη

ζπλάξηεζε κίαο κεηαβιεηήο, είηε νινθιήξσκα κε δηαρσξηζκό

κεηαβιεηώλ αλ ην V είλαη ζπλάξηεζε κε πην πνιιέο από κία

κεηαβιεηέο.

2. Υξεζηκνπνηνύκε ηηο ζπλζήθεο ησλ νξίσλ (boundary conditions)

γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ κνλαδηθή ιύζε ηνπ V.

3. Έρνληαο ππνινγίζεη ην V βξίζθνπκε ην Ε ρξεζηκνπνηώληαο

VE θαη ην D από ην D=εE.

4. Αλ ζέινπκε κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην θνξηίν Q

ρξεζηκνπνηώληαο ην dSQ s όπνπ ην ξs =Dn θαη Dn είλαη ε

θάζεηε ζπληζηώζα ηνπ D ζηνλ αγσγό. Αλ ρξεηαζηεί ε

ρσξεηηθόηεηα (capacitance) κεηαμύ δύν αγσγώλ κπνξεί λα βξεζεί

κε ηελ εμίζσζε C=Q/V.

35

Παπάδειγμα 2.8

ε πιηθά κεηαθνξάο ξεύκαηνο πςειήο ηάζεο ελεξγεηαθνύ εμνπιηζκνύ

πξέπεη λα ρακειώζνπκε ηελ ζεξκνθξαζία γηα λα απνβάινπκε ηελ

ζεξκόηεηα πνπ εκθαλίδεηαη ιόγσ ησλ Χκηθώλ απσιεηώλ (Ohmic losses). Σα

κέζα άληιεζεο ηεο ζεξκόηεηαο είλαη βαζηζκέλα ζηε δύλακε ε νπνία

κεηαδίδεηαη ζην πγξό (γηα ςύμε) κέζσ θνξηίσλ ζε ειεθηξηθά πεδία. Η

ειεθηξνϋδξνδπλακηθή αληιία (electrohydrodynamic pump) θαίλεηαη ζην πην

θάησ ζρήκα. Η πεξηνρή κεηαμύ ησλ ειεθηξνδίσλ πεξηέρεη νκνγελέο θνξηίν

ξν όπνπ δεκηνπξγείηαη ζην αξηζηεξό ειεθηξόδην θαη θαηαιήγεη ζην δεμί

ειεθηξόδην. Να ππνινγίζεηε ηελ πίεζε ηεο αληιίαο αλ ξν =25 mC/m3 Vo

=22 kV. (sd 6.1 p227)

36

37

Παπάδειγμα 2.9

Να βξείηε ηηο δηαρσξηζκέλεο δηαθνξηθέο εμηζώζεηο (separated differential

equations) γηα ηε δηαλνκή ηνπ δπλακηθνύ (potential distribution) V(ξ,θ,z) ζε

κηα πεξηνρή ρσξίο θνξηίν. (sd 6.7 p247)

Υσξίο θνξηίν 011

2

2

2

2

2

2

z

VVVV

Α

Αο νξίζνπκε )()()(,, zZRzV Β

Όπνπ ,R θαη Z είλαη ζπλαξηήζεηο ηνπ , θαη z αληίζηνηρα.

Αληηθαζηζηνύκε ηελ Β ζηελ Α θαη παίξλνπκε

02

2

2

2

2

z

ZR

RZRZ

Γηαηξνύκε δηα ZR 2

2

2

2

2

111

z

Z

Z

R

R

Σν δεμί κέξνο είλαη ζπλάξηεζε κόλν ηνπ z θαη ην αξηζηεξό κόλν ηνπ θαη

. Γηα λα ηζνύληαη ηα δπν κέξε πξέπεη λα ηζνύληαη κε κηα ζηαζεξά

2

2

2

2

2

2

111

z

Z

Z

R

R

2

2

21

z

Z

Z ή 02 ZZ θαη

01

2

222

R

R ή 2

2

222

2

22 1

R

R

R

R

02 θαη 02222 RRR

Απηέο είλαη νη δηαρσξηζκέλεο εμηζώζεηο:

Λύζεηο ηεο κνξθήο:

zczczZ sinhcosh)( 21

sincos)( 43 ccz

Η ιύζε ηεο R είλαη πην δύζθνιεο κνξθήο (Bessel’s Equation)

38

Ανηίζηαζη και σωπηηικόηηηα (Resistance and capacitance)

ε πξνεγνύκελν κέξνο νξίζακε ηελ αληίζηαζε ελόο αγσγνύ κε νκνηόκνξθε

δηαηνκή (cross section). Αλ ε δηαηνκή (cross section) δελ είλαη νκνηόκνξθε

ηόηε κπνξνύκε λα βξνύκε ηελ αληίζηαζε από ηελ πην θάησ εμίζσζε:

SE

lE

d

d

I

VR

.

.

Σν πξόβιεκα ηνπ λα βξνύκε ηελ αληίζηαζε ελόο αγσγνύ κε κε

νκνηόκνξθε δηαηνκή (cross section) κπνξνύκε λα ην αληηκεησπίζνπκε σο

πξόβιεκα νξηαθώλ ζπλζεθώλ (boundary-value problem). Υξεζηκνπνηώληαο

ηε πην πάλσ εμίζσζε, ε αληίζηαζε ελόο αγσγνύ κπνξεί λα βξεζεί κε ηα πην

θάησ βήκαηα:

1. Γηαιέμηε ην απαξαίηεην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

2. Τπνζέζεηε όηη ην Vo είλαη ε δηαθνξά δπλακηθνύ κεηαμύ ησλ

ηεξκαηηθώλ αγσγώλ (conductor terminals)

3. Λύζεηε ηελ εμίζσζε ηνπ Λαπιάο 02 V γηα λα βξείηε ην V. Μεηά

ππνινγίζηε ην Ε από VE θαη ην Ι από SE dI .

4. Σέινο ππνινγίζηε ην R από R=Vo/I

39

Γηα λα έρνπκε έλα ππθλσηή πξέπεη λα έρνπκε δύν ή πεξηζζόηεξνπο αγσγνύο

κε ίζν αιιά αληίζεην θνξηίν. Απηό πξνϋπνζέηεη όηη όιεο νη γξακκέο ξνήο

(flux lines) πνπ θεύγνπλ από ηνλ έλα αγσγό θαηαιήγνπλ ζηελ επηθάλεηα ηνπ

άιινπ. Οη αγσγνί ζπλήζσο νλνκάδνληαη κεηαιιηθέο πιάθεο ηνπ ππθλσηή

(metal plates).

Αλ δνύκε ην πην θάησ ζρήκα θαη μέξνπκε όηη νη δύν αγσγνί έρνπλ δηαθνξά

δπλακηθνύ V όπνπ V= V1-V2= 1

2

. lE d ηόηε νξίδνπκε ηε ρσξεηηθόηεηα C

σο

dlE

dSE

.

.

V

QC

Υξεζηκνπνηώληαο ηε πην πάλσ εμίζσζε, ην C νπνηνλδήπνηε δύν αγσγώλ

κπνξεί λα βξεζεί κε έλα από ηνπο πην θάησ ηξόπνπο:

1. Θεσξώληαο όηη μέξνπκε ην Q θαη ππνινγίδνληαο ην V ζε ζπλάξηεζε

ηνπ Q (ρξεζηκνπνηώληαο ην λόκν ηνπ Gauss)

2. Θεσξώληαο όηη μέξνπκε ην V θαη ππνινγίδνληαο ην Q ζε ζπλάξηεζε

ηνπ V (ιύλνληαο ηελ εμίζσζε ηνπ Λαπιάο).

40

Δκείο ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε πξώηε κέζνδν ε νπνία πεξηιακβάλεη ηα

αθόινπζα βήκαηα:

1. Γηαιέγνπκε ην θαηάιιειν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ

2. Οη δπν κεηαιιηθέο πιάθεο ζα έρνπλ θνξηία +Q θαη –Q

3. Τπνινγίδνπκε ην Ε ρξεζηκνπνηώληαο ην λόκν ηνπ Κνπιόκπ ή ην

λόκν ηνπ Γθάνπο θαη κεηά βξίζθνπκε ην V από V=- lE d.

4. Σέινο ππνινγίδνπκε ην C από C=Q/V

Πςκνωηήρ με παπάλληλερ μεηαλλικέρ πλάκερ

(Parallel plate capacitor)

Αο ζεσξήζνπκε όηη έρνπκε ην ππθλσηή ηνπ πην πάλσ ζρήκαηνο. Κάζε

πιάθα έρεη εκβαδόλ S θαη ρσξίδνληαη από απόζηαζε d. Θεσξνύκε όηη νη

πιάθεο έρνπλ θνξηία +Q θαη –Q. Σόηε ε ρσξεηηθόηεηα C είλαη

d

S

V

QC

41

Δπίζεο ε ελέξγεηα πνπ απνζεθεύεηαη ζε έλα ππθλσηή είλαη

C

QQVCVWE 22

1

2

1 2

2

Ομοαξονικόρ πςκνωηήρ (coaxial capacitor)

Όπσο θαίλεηαη ζην πην πάλσ ζρήκα ππάξρεη έλαο νκναμνληθόο ππθλσηήο κε

ηνπο δύν νκναμνληθνύο αγσγνύο λα έρνπλ κήθνο L, κε εζσηεξηθή αθηίλα α

θαη εμσηεξηθή b. Η πεξηνρή κεηαμύ ησλ δύν αγσγώλ είλαη γεκάηε κε έλα

δηειεθηξηθό (dielectric) πιηθό κε επηηξεπηόηεηα (permittivity) ε. Αλ

ππνζέζνπκε όηη νη δύν αγσγνί έρνπλ θνξηία +Q θαη –Q, κε ηελ εθαξκνγή

ηνπ λόκνπ ηνπ Γθάνπο κπνξνύκε λα πνύκε όηη

LEdQ 2. SΕ

ρaEL

Q

2 .

Δπίζεο

1

2

.dlEVa

b

L

Qln

2

42

Υξεζηκνπνηώληαο ηηο πην πάλσ εμηζώζεηο θαη ην όηη C=Q/V έρνπκε

a

b

L

V

QC

ln

2

θαιπικόρ πςκνωηήρ (spherical capacitor)

Αύηε είλαη κηα πεξίπησζε δπν νκόθεληξσλ αγσγώλ όπσο θαίλεηαη ζην πην

θάησ ζρήκα. Η εζσηεξηθή ζθαίξα έρεη αθηίλα α θαη ε εμσηεξηθή b

δηαρσξηζκέλεο από δηειεθηξηθό πιηθό επηηξεπηόηεηαο ε. Τπνζέηνπκε όηη

ππάξρνπλ θνξηία +Q θαη –Q.

Mε ηελ εθαξκνγή ηνπ λόκνπ ηνπ Γθάνπο κπνξνύκε λα πνύκε όηη

raE24 r

Q

θαη

ba

QV

11

4

Από ηηο πην πάλσ εμηζώζεηο θαη ην όηη C=Q/V κπνξνύκε λα πνύκε όηη

ba

V

QC

11

4

43

Παπάδειγμα 2.10

Έλα νκναμνληθό θαιώδην πεξηέρεη έλα κνλσηηθό πιηθό αγσγηκόηεηαο ζ. Αλ

ε αθηίλα ηνπ θεληξηθνύ ζύξκαηνο είλαη α θαη ηνπ επηθαιππηηθνύ b, λα

απνδείμεηε όηη ε αγσγηκόηεηα G (G=1/R) (conductance G) ηνπ θαισδίνπ

αλά κνλάδα κήθνπο (per unit length) είλαη

a

bG

ln

2

(sd 6.9 p260)