1

Νόμος Hooke

H ειαζηηθή παξακόξθσζε ησλ κεηάιισλ

2

Μητανική σταθερότητα των στερεών (1)

Εζησ νκάδα ηζναθηηληθώλ ζθαηξηθώλ αηόκσλ. Γηα θάζε δεύγνο πιεζηέζηεξσλ γεηηόλσλ από απηά, ελεξγνπνηνύληαη δπλάκεηο κηθξήο εκβέιεηαο.

Απηέο δξνπλ θαηά κήθνο ηεο γξακκήο, ε νπνία ζπλδέεη ηα θέληξα ησλ αηόκσλ, θαη κεηαβάιινληαη κόλνλ ζπλαξηήζεη ηεο απόζηαζεο α ηωλ θέληξωλ.

Eζησ όηη ε ζεξκνθξαζία είλαη 0 νΙ.

Εάλ νη δπλάκεηο είλαη πνιύ κηθξήο εκβέιεηαο, ώζηε ζηελ έλσζε δύν άκεζσλ γεηηόλσλ λα κε παξεκβάιινληαη επηδξάζεηο άιισλ αηόκσλ, ε ελέξγεηα δεζκνύ ΦΖ ελόο αηόκνπ δίδεηαη από ηε ζρέζε:

ΦΖ = ½ z Φ0

Ιάζε άηνκν κνηξάδεηαη ηε κηζή ζθαίξα , ½ Φ0, γηα θάζε έλαλ από ηνπο z δεζκνύο πνπ αλαπηύζζεη κε ηνπο z πιεζηέζηεξνπο γείηνλέο ηνπ (Φ0 ε ελέξγεηα δεζκνύ ζηελ απόζηαζε ηζνξξνπίαο αν).

3

Μητανική σταθερότητα σλικών (2)

4

Μητανική σταθερότητα των στερεών (3)

Εζησ όηη γίλεηαη αλαθνξά ζηηο δνκέο fcc θαη hcp όπνπ ππάξρνπλ κεγάια z, άξα κεγάια ΦΖ

Ιάζε άηνκν (ζθαίξα, ζσκαηίδην) βξίζθεηαη ζε κεραληθή ηζνξξνπία, επεηδή βξίζθεηαη ζε θέληξν ζπκκεηξίαο θαη αζθεί θαη δέρεηαη ίζεο θαη αληίζεηεο δπλάκεηο από γείηνλέο ηνπ από αληίζεηεο θαηεπζύλζεηο

Οινη νη δεζκνί κε ηνπο πιεζηέζηεξνπο γείηνλεο έρνπλ ηελ ίδηα ηζρύ (άξα κήθνο) θαη ν θξύζηαιινο ζπλνιηθά είλαη ειεύζεξνο λα πξνζαξκόζεη ηελ ηηκή απηή ζην αν.

5

Μητανική σταθερότητα των στερεών (4)

Επηρεηξείηαη ηώξα πξνζέγγηζε ηεο κεραληθήο ζηαζεξόηεηαο ηνπ ζηεξενύ, όηαλ επάλσ ηνπ εθαξκνζζνύλ δπλάκεηο

Εζησ ζην ζηεξεό επηδξνύλ ηζνξξνπεκέλεο δπλάκεηο f, δειαδή δπλάκεηο, νη νπνίεο δελ έρνπλ ζπληζηακέλε ή δελ δεκηνπξγνύλ δεύγνο ώζηε λα ηείλνπλ λα ζέζνπλ ην πιηθό ζε θίλεζε

Όηαλ f = 0 ε απόζηαζε ηζνξξνπίαο είλαη α = αν. Όηαλ ε f είλαη κηθξή, ηα άηνκα κπνξνύλ λα βξνύλ κία λέα απόζηαζε ηζνξξνπίαο α ζηελ νπνία εμηζνξξνπνύλ ε εθαξκνδόκελε δύλακε θαη νη δηααηνκηθέο δπλάκεηο

Η κεηαηόπηζε u νξίδεηαη από ηε ζρέζε u = α – αν. H ζπλζήθε ηζνξξνπίαο ηόηε είλαη f = dΦ(u)/du, όπνπ Φ(u) είλαη ε ελέξγεηα δεζκνύ γηα κεηαηόπηζε u

Oηαλ ε f είλαη εθειθπζηηθή ηόηε α>αν, όηαλ είλαη ζιηπηηθή α<αν

6

Μητανική σταθερότητα των στερεών (5)

Η ζπλζήθε απηή κπνξεί λα εθθξαζζεί ζε όξνπο ηεο αξρήο ηνππξαγκαηηθνύ έξγνπ (virtual work)

Υπό ηηο ζπλζήθεο ηζνξξνπίαο έλα άηνκν θηλείηαη θαηά κηθξή απόζηαζε δu θαηά ηε δηεύζπλζε εθαξκνγήο ηεο δύλακεο f

Τν παξαγόκελν έξγν από ηε δύλακε f θαηά ηελ πξαγκαηηθή απηή κεηαηόπηζε είλαη f δu. Η αληηζηνηρνύζα αύμεζε ζηελ ελέξγεηα δεζκνύ είλαη Φ(u+δu) – Φ(u)

Με βάζε ηε ζρέζε ηεο ζπλζήθεο ηζνξξνπίαο, ηζνύηαη επίζεο κε fδu, όηαλ ην ζύζηεκα είλαη ζε ηζνξξνπία

Μητανική σταθερότητα των στερεών (6)

Η δύλακε ινηπόλ ζην δεζκό είλαη ζπλάξηεζε ηεο κεηαηόπηζεο

Σε θάζε κεηαηόπηζε u αληηζηνηρεί κία ραξαθηεξηζηηθή ηηκή ηεο f(u)

Η παξακόξθωζε ηνπ δεζκνύ είλαη αληηζηξεπηή θαηά ηελ έλλνηα όηη, όηαλ επηζηξέςεη ζε θάπνηα αξρηθή ηηκή u, απηόκαηα θαη ε δύλακε επαλέξρεηαη ζηελ αληηζηνηρνύζα ηηκή f(u)

Πξόθεηηαη γηα ηελ ηέιεηα ειαζηηθή παξακόξθωζε(ζπζζσξεπκέλν απνηέιεζκα ησλ επί κέξνπο παξακνξθώζεσλ ησλ δεζκώλ ησλ δνκηθώλ κνλάδσλ ηνπ πιηθνύ)

8

Ο νόμος Hooke (1)

Όηαλ νη εθαξκνδόκελεο δπλάκεηο είλαη ζρεηηθά κηθξέο, ε ειαζηηθή παξακόξθωζε είλαη πάληνηε αλάινγε ηεο δύλακεο

Απηόο είλαη ν λόκνο Hooke. Πξνθύπηεη από ηξία δεδνκέλα:

1. Τε ζπλερή κεηαβνιή ηεο Φ(u) ζπλαξηήζεη ηεο u

2. Tελ παξνπζία ειάρηζηνπ dΦ/du όηαλ u = 0

3. Tελ πνιύ κηθξή ηηκή ηεο κεηαηόπηζεο u<<<αν

9

Ο νόμος Hooke (2)

Το πρώτο δεδομένο επιηρέπει ηην έκθραζη ηης ενέργειας δεζμού από μία ζειρά Taylor, όπως:

Φ(u) = Φ(0) + [dΦ/du]o u + ½ [d2Φ/du2]o u2 + ανώτεροι όροι

όποσ Φ(0) είναι η ενέργεια δεζμού ζηο u = 0. Όλοι οι ζσνηελεζηές ηων διαθορικών μεηρώνηαι για u = 0

To δεύτερο δεδομένο επιηρέπει ηην απάλειψη ηοσ δεύηεροσ όροσ ηης ζειράς

Tο τρίτο δεδομένο, ηην απάλειψη όλων ηων όρων μεηά ηον ηρίηο, διόηι περιέτοσν μεγάλες δσνάμεις μίας πολύ μικρής ποζόηηηας u:

Φ(u) = Φ(0) + ½ [d2Φ/du2]o u2 και f = dΦ(u)/du = [d2Φ/du2]o u

10

Ο νόμος Hooke (3)

Επεηδή [d2Φ/du2]o είλαη ε θακππιόηεηα ηεο γξακκήο Φ, u ζην ειάρηζην ζεκείν, είλαη αλεμάξηεηε από ην u, ζπλεπώο είλαη κία ζηαζεξά

Αξα f u, θαη απηόο είλαη ν λόκνο Hooke

Oηαλ εθθξάδεηαη σο ζρέζε ηάζεο – παξακόξθωζεο ηόηε ε θακππιόηεηα θαζίζηαηαη ε ειαζηηθή ζηαζεξά ηεο νπζίαο

Ερεη ηελ ίδηα ηηκή γηα εθειθπζκό ή ζιίςε, δηόηη είλαη αλεμάξηεηε από ην πξόζεκν ηνπ u (κέηξν ειαζηηθόηεηαο Ε)

Η ειαζηηθή ζηαζεξά ινηπόλ είλαη έλα κέηξν ηεο «νμύηεηαο» ηνπ ειάρηζηνπ ηεο θακπύιεο ηεο ελέξγεηαο. Ερεη κόλνλ έκκεζε ζρέζε κε ηελ ελέξγεηα δεζκνύ (Εηθόλα αξηζηεξά)

Όηαλ ε απσζηηθή αιιειεπίδξαζε είλαη πνιύ κηθξήο εκβέιεηαο, ε ελέξγεηα δεζκνύ Φ0 είλαη ζρεδόλ ίζε πξνο ηελ ελέξγεηα απωζηηθήο αιιειεπίδξαζεο Φ1

11

Ο νόμος Hooke (4)

12

Ο νόμος Hooke (5)

Οη παξακνξθώζεηο, νη νπνίεο αθνινπζνύλ ην λόκν Hooke, νλνκάδνληαη γξακκηθέο παξακνξθώζεηο.

Ερνπλ κία ηδηόηεηα ηδηαίηεξα ζεκαληηθή ζηε καζεκαηηθή αλάιπζε ησλ πξνβιεκάησλ ειαζηηθόηεηαο. Όηαλ έλα ειαζηηθό ζώκα ππόθεηηαη ζε κεηαηόπηζε u1 ππό ηελ επίδξαζε ηεο δύλακεο f1, θαη κεηαηόπηζε u2 ππό ηελ επίδξαζε ηεο δύλακεο f2, ν ζπλδπαζκόο ησλ δπλάκεσλ f1+f2 ζα πξνθαιέζεη κεηαηόπηζε u1+u2 (αξρή ηεο ππέξζεζεο)

Όηαλ νη παξακνξθώζεηο ηωλ δεζκώλ θαζίζηαληαη πνιύ κεγάιεο, νη κεγάινη όξνη ηεο ζεηξάο Taylor δελ είλαη πιένλ ακειεηένη. Ο λόκνο Hooke δελ ηζρύεη πιένλ

Η κε γξακκηθόηεηα ησλ κεγάισλ ειαζηηθώλ παξακνξθώζεσλ κπνξεί λα δηαπηζησζεί κε δηάθνξνπο ηξόπνπο, κεξηθνί από ηνπο νπνίνπο εκπιέθνπλ κέηξεζε θπζηθώλ ηδηνηήησλ, όπσο ε ζεξκηθή δηόγθσζε θαη ε αγσγηκόηεηα.

13

Αστοτία τοσ νόμοσ Hooke (1)

Σε θπιηλδξηθή ξάβδν εθηειείηαη ε δνθηκαζία εθειθπζκνύ. Γηα θάπνην κηθξό δηάζηεκα από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ηζρύεη ε γξακκηθή ζρέζε ηάζεο – παξακόξθωζεο.

Απηό ην νπνίν αζηνρεί ζηα πεηξάκαηα απηά δελ είλαη ε γξακκηθόηεηα ηεο ειαζηηθήο παξακόξθσζεο, αιιά ε αληίζηαζε ηνπ πιηθνύ ζε θάπνηα άιιε, ηειείσο δηαθνξεηηθή, κε-ειαζηηθή δηεξγαζία παξακόξθσζεο

Μεηά από θάπνηα ηηκή ηεο ηάζεο (όξην δηαξξξνήο) ην πιηθό παξακνξθώλεηαη πιαζηηθά. Τα άηνκα νιηζζαίλνπλ νκαδηθάπάλσ από γεηηνληθά ηνπο άηνκα πξνο λέεο ζέζεηο ηζνξξνπίαο

Οη ειαζηηθέο παξακνξθώζεηο ζηνπο αηνκηθνύο δεζκνύο είλαη αθόκε κηθξέο θαη ππαθνύνπλ ζην λόκν Hooke, αιιά επηζθηάδνληαη από ηηο πνιύ κεγαιύηεξεο πιαζηηθέο παξακνξθώζεηο

14

Αστοτία τοσ νόμοσ Hooke (2)

15

Αστοτία τοσ νόμοσ Hooke (3)

Η ζπλνιηθή παξακόξθωζε δελ αληηζηνηρεί έλα πξνο έλα ζηελ ηάζε. Ελώ ε ειαζηηθή παξακόξθσζε εμαθαλίδεηαη θαηά ηελ απνθόξηηζε ηνπ δνθηκίνπ αθνινπζώληαο ην λόκν Hooke κε ηελ ίδηα ειαζηηθή ζηαζεξά, ε πιαζηηθή παξακόξθσζε παξακέλεη ωο κόληκε θαηάζηαζε

Μεξηθέο θνξέο εμαθαλίδεηαη θαη έλα κηθξό ηκήκα ηεο πιαζηηθήο παξακόξθσζεο, θαη δεκηνπξγείηαη έηζη έλαο βξόρνο πζηέξεζεοθαηά ηελ απνθόξηηζε

Η αζηνρία ηνπ λόκνπ Hooke αλνίγεη ην δξόκν εμέηαζεο ηεο πιαζηηθήο παξακόξθωζεο ησλ πιηθώλ. Θδηαίηεξα γηα ηα κέηαιια, ε ζπκπεξηθνξά ηνπο όηαλ θαηαπνλνύληαη πέξα από ηελ ειαζηηθή πεξηνρή, έρεη κεγάιε ηερλνινγηθή ζεκαζία

Οιν ην θαηλόκελν βαζίδεηαη θαη εμεγείηαη κε ηελ θαηαλόεζε ηωλ κεραληζκώλ γέλεζεο θαη παξνπζίαο ηωλ ζθαικάηωλ ηεο θξπζηαιιηθήο δνκήο

16

Πλαστική παραμόρυωση των μετάλλων (1)

Επεηδή ε πιαζηηθή παξακόξθσζε είλαη δηεξγαζία θεθαιαηώδνπο ζεκαζίαο γηα ηε ζπκπεξηθνξά ησλ πιηθώλ, ζηελ επόκελε Εηθόλαδίδεηαη κία απιή πξνζέγγηζε ζε αηνκηθή θιίκαθα ηεο δηεξγαζίαο απηήο

Απνηειεί κεηάβαζε από ηελ πεξηγξαθή ηεο ειαζηηθήο ζπκπεξηθνξάο ζηελ πιαζηηθή παξακόξθσζε. Τν θπζηθό ραξαθηεξηζηηθό ηεο δηεξγαζίαο είλαη ην όηη ζην πιαζηηθά παξακνξθωκέλν πιηθό, δελ κεηαβάιινληαη νη δηαηνκηθέο απνζηάζεηο νύηε νη δεζκνί κεηαμύ ηωλ αηόκωλ

Η δηαηκεηηθή ηάζε, ε νπνία απαηηείηαη γηα λα μεπεξαζζνύλ νη ειθηηθέο δπλάκεηο ησλ αηόκσλ κεηαμύ ησλ επηπέδσλ νιίζζεζεο θαη λα ζπκβεί ε πιαζηηθή παξακόξθσζε ππνινγίζζεθε ζεωξεηηθά όηη είλαη ηεο ηάμεο ηωλ 106 psi (14,7 psi = 1 atm)

Πεηξακαηηθέο κεηξήζεηο όκσο ζε κέηαιια ηνπ fcc, απέδωζαλ δηαηκεηηθή ηάζε ηεο ηάμεωο ηωλ 10 – 1000 psi

17

Πλαστική παραμόρυωση των μετάλλων (2)

18

Πλαστική παραμόρυωση των μετάλλων (3)

Γηα λα εμεγεζεί ε κεγάιε δηαθνξά κεηαμύ ησλ δύν απηώλ ηηκώλ έγηλε αξρηθά αμηωκαηηθά δεθηή ε ύπαξμε γξακκναηαμηώλ ζηα πιηθά

Γξήγνξα δηαπηζηώζεθε ε παξνπζία ηνπο θαη πεηξακαηηθά

Εζησ δηαηκεηηθή ηάζε (η) ζε θξπζηαιινγξαθηθό επίπεδν πξνθαιεί κεηαηόπηζε δ ησλ αηόκσλ. Όηαλ είλαη κηθξή ε παξακόξθσζε είλαη ειαζηηθή θαη ηα άηνκα επαλέξρνληαη ζηηο αξρηθέο ηνπο ζέζεηο κεηά ηελ απνκάθξπλζε ηεο ηάζεο

Όηαλ είλαη κεγάιε ηόηε κπνξεί ην άηνκν (1) λα βξεζεί ζε ζέζε κεηαμύ ηωλ αηόκωλ (2) θαη (4)

Πλαστική παραμόρυωση των μετάλλων (4)

Τόηε ε δπλακηθή ηνπ ελέξγεηα είλαη κέγηζηε, ην άηνκν βξίζθεηαη ζε κεηαζηαζή θαηάζηαζε (ζεξκνδπλακηθά αζηαζή) θαη θίλεζή ηνπ πξνο νπνηαδήπνηε από ηηο δύν δηεπζύλζεηο (πξνο ην άηνκν 2 ή ην άηνκν 4) ζα κεηώζεη ηελ νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο.

Εάλ ηειηθά βξεζεί πάλσ από ην άηνκν (4), ε ζπκκεηξία ηνπ πιέγκαηνο ζα απνθαηαζηαζεί, αιιά θάζε άηνκν εθαηέξσζελ ηνπ επηπέδνπ δηάηκεζεο ζα έρεη δηαθνξεηηθνύο γείηνλεο από απηνύο πνπ είρε πξηλ ζπκβεί ε κεηαηόπηζε

Ο θξύζηαιινο ππέζηε πιαζηηθή παξακόξθωζε (ή νιίζζεζε)