ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΑ

Φυλλάδιο Σημειώσεων Νο. 2

ΜΗΤΡΩΟ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΤΥΠΟΥ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ

Μ. Γ. Σφακιανάκης Επίκ. Καθηγητής

Πάτρα, Μάϊος 2015

ΜΗΤΡΩΟ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΤΥΠΟΥ ΔΟΚΟΥ ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1.1 Γενικά

Στο παρόν φυλλάδιο σημειώσεων παρουσιάζεται η διαδικασία κατάστρωσης του μητρώου

δυσκαμψίας K στοιχείου τύπου δοκού στο χώρο στο οποίο συμπεριλαμβάνονται και οι δια-

τμητικές παραμορφώσεις. Αρχικά, το μητρώο καταστρώνεται στο τοπικό σύστημα συντετα-

γμένων x y z και στη συνέχεια παρατίθεται ο πίνακας μετασηματισμού Τ των διανυσματικών

μεγεθών P και U προκειμένου να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για την κατάστρωση του Κ

στο απόλυτο σύστημα ΧΥΖ.

1.2 Σχέσεις διαγραμμάτων εντατικών μεγεθών

Οι σχέσεις (5) του φυλλαδίου Νο. 1 των σημειώσεων ισχύουν ως έχουν για τα τοπικά

επίπεδα x y και x z του στοιχείου. Στην παρούσα παράγραφο προστίθεται η σχέση από την

οποία υπολογίζεται το διάγραμμα των στρεπτικών ροπών T(x). Η σχέση αυτή προφανώς θα

είναι ανάλογη αυτής για τις αξονικές δυνάμεις. Ετσι, και αναφορικά με το σχήμα 1, το πλήρες

σέτ των σχέσεων διαμορφώνεται ως ακολούθως.

Σχ. 1. Aξονικά, διατμητικά, καμπτικά και στρεπτικά φορτία (συγκεντρωμένα και

κατανεμημένα) σε γραμμικό στοιχείο. Οι φορές των φορτίων είναι τυχαίες.

Mma

,2Mka

,1Nkq

,1Mka

Qma

,2Qka

,1Qka

,,1

N Tka

x

ή y z

i

x

Nkq

,1Nkq Nm

Qm

,1Mkq

Mkq

,2Mkq

Qkq

,1Qkq ,2

Qkq

Mm

,,2

N Tka

,N Tma

Tkq

Τm ,1

Tkq

,2Tkq

1

( )

,2

,1

,2

,1

,2

,1

,2

,1

1 1

1 1

1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Nk

Nk

Qk

Qk

Mk

Mk

Qk

Qk

m k x a Ni m ka

m k x a Qi m ka

m k mx a M Qi m k i m ma

x aQ Qk ka

N x N N q x dx

Q x Q Q q x dx

M x M M q x dx Q x Q x a

x q x dx q x xdx

≤

≤

≤

≤

= − − −

= − − −

= − − − + ⋅ + − +

⋅ −

∑ ∑ ∫

∑ ∑ ∫

∑ ∑ ∑∫

∫,2

,1

,2

,1

1

1 1( ) ( )

Qk

Qk

Tk

Tk

k x a

a

m k x a Ti m ka

T x T T q x dx

≤

≤

= − − −

∑ ∫

∑ ∑ ∫

(1)

Στις σχέσεις (1) οι τιμές των φορτίων τίθενται προσημασμένες αναφορικά με το σύστημα

x y z . Οι σχέσεις των Q(x) και M(x) εφαρμόζονται στα επίπεδα κάμψης x y και x z .

1.3 Mητρώο δυσκαμψίας στοιχείου δοκού στο χώρο σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων

κυρίων αξόνων με συνυπολογισμό των διατμητικών παραμορφώσεων

Στο σχήμα 2 παρουσιάζεται το στοιχείο δοκού στο χώρο, περιγραφόμενο σε τοπικό σύστημα

συντεταγμένων x y z με έξι βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο. Ο άξονας x συμπίπτει με τον

κεντροβαρικό άξονα του στοιχείου.

Σχ. 2. Τρισδιάστατο στοιχείο τύπου δοκού. Βαθμοί ελευθερίας και τοπικά συστήματα

Συντεταγμένων, κυρίων και κεντροβαρικών αξόνων.

2

Οι άξονες y και z είναι κύριοι άξονες της διατομής με γωνία κυρίων αξόνων θ ως προς τους

κεντροβαρικούς κβy και κβz .

Αρχικά, οι έξι βαθμοί ελευθερίας ανά κόμβο αναφέρονται στο τοπικό σύστημα των κυρίων

αξόνων x y z ως προς το οποίο πρόκειται να συνταχθεί το μητρώο K του στοιχείου. Ο λόγος

όπου επιλέγεται το σύστημα αυτό, αντί του κεντροβαρικού τοπικού συστήματος κβ κβx y z το

οποίο είθισται να χρησιμοποιείται στις κατασκευές, είναι ότι στο σύστημα αυτό οι εντατικές

καταστάσεις κάμψης και διάτμησης των επιπέδων x y και x z (κύρια επίπεδα) είναι ανεξάρ-

τητες μεταξύ τους. Π.χ. μεταθέσεις των κόμβων του στοιχείου κατά την y διεύθυνση και

στροφές τους περί τον z άξονα δεν δημιουργούν διατμητικές δυνάμεις κατά τη διεύθυνση z

ή καμπτικές ροπές περί τον y άξονα. Επίσης, οι αξονικές εντάσεις (αξονική δύναμη και

στρέψη) θεωρούνται ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά και με τις διατμητικές και καμπτικές

εντάσεις των κυρίων επιπέδων x y και x z .

Οι έξι βαθμοί ελευθερίας του κάθε κόμβου συνίστανται σε: έναν μεταθετικό κατά την αξονι-

κή διεύθυνση x , δύο μεταθετικούς κατά τις διευθύνσεις των αξόνων y και z , έναν στροφι-

κό για τη στρέψη της διατομής περί την αξονική διεύθυνση x και δύο στροφικούς για την

κάμψη της διατομής περί τους άξονες y και z .

Για τα αδρανειακά μεγέθη που υπεισέρχονται στις σχέσεις που θα ακολουθήσουν, ισχύουν οι

συμβολισμοί:

, , , , , x x sy sy sz sz x x y y z zA A A A A A A J I I I I I I= = = = = = = =

Λόγω της ανεξαρτησίας των εντάσεων, όπως περιγράφηκε παραπάνω, το μητρώο K θα

συνταχθεί τμηματικά (κατά στήλες) για τις ακόλουθες 6 ομάδες εντατικών μεγεθών.

• Αξονικές δυνάμεις 1P και 7P

• Στρεπτικές ροπές 4P και 10P

• Τέμνουσες δυνάμεις 2P και 8P (κύριο επίπεδο x y )

• Καμπτικές ροπές 6P και 12P (κύριο επίπεδο x y )

• Τέμνουσες δυνάμεις 3P και 9P (κύριο επίπεδο x z )

• Καμπτικές ροπές 5P και 11P (κύριο επίπεδο x z )

Αξονικές δυνάμεις ( 1P , 7P )

Στο σχήμα 3 φαίνονται οι δύο περιπτώσεις επιβολής μοναδιαίων μεταθέσεων των άκρων της

δοκού, θεωρουμένης ως αμφίπακτης. Με αναφορά το σχήμα 3(α), η σχέση που συνδέει την

3

αξονική δύναμη με την αντίστοιχη παραμόρφωση u είναι:

1duP EAdx

= − (2)

Σχ. 3. Μοναδιαίες αξονικές μεταθέσεις άκρων αμφίπακτης δοκού.

η ολοκλήρωση της οποίας δίνει:

1P x EA u C⋅ = − ⋅ + (3)

όπου C είναι ολοκληρωτική σταθερά, για τον υπολογισμό της οποίας εφαρμόζεται στην (3) η

συνοριακή συνθήκη 7 0u u= = για x L= οπότε προκύπτει 1C PL= . Με την τιμή αυτή η (3)

παίρνει τη μορφή:

1 1P x EA u PL⋅ = − ⋅ + (4)

Ακολούθως, εφαρμόζεται στην (4) η συνοριακή συνθήκη 1 1u u= = για 0x = οπότε προκύπ-

τει:

1 11 1 11

1 1P PEA EAP u k

L u L= ⋅ ⇒ = = = (5)

Υπενθυμίζεται ότι ο όρος kij του μητρώου δυσκαμψίας Κ ενός στοιχείου αντιπροσωπεύει την

ένταση Pi (δύναμη ή ροπή) που αναπτύσσεται στο βαθμό ελευθερίας i για μοναδιαία

μετακίνηση του βαθμού ελευθερίας j (μετάθεση ή στροφή του) όταν οι λοιποί βαθμοί ελευθε-

ρίας είναι μηδενικοί (πακτωμένοι).

4

Η αντίδραση 7P προσδιορίζεται από ισορροπία δυνάμεων κατά x .

7 71 7 7 1 1 71

1

01x

P PEA EAF P P P P u kL u L

= + = ⇒ = − = − ⇒ = = = −∑ (6)

Ομοίως, με αναφορά στο σχήμα 3(β) η επανάληψη της προηγηθείσης υπολογιστικής διαδικα-

σίας ή η συμμετρία της φόρτισης με αυτήν του σχήματος 3(α) θα οδηγήσει στις τιμές των 77k

και 17k ως:

77 17 , EA EAk kL L

= = − (7)

Οι λοιποί όροι των στηλών 1 και 7 του μητρώου K θα είναι μηδενικοί λόγω της ανεξαρτη-

σίας των λοιπών εντατικών μεγεθών από τις συγκεκριμένες επιβαλλόμενες αξονικές μετακι-

νήσεις 1u και 7u .

Στρεπτικές ροπές ( 4P , 10P )

Στο σχήμα 4 φαίνονται οι δύο περιπτώσεις επιβολής μοναδιαίων στροφών των άκρων της δο-

κού περί τον x άξονα, θεωρουμένης ως αμφίπακτης.

Σχ. 4. Μοναδιαίες αξονικές στροφές άκρων αμφίπακτης δοκού. Με αναφορά το σχήμα 4(α), η σχέση που συνδέει τη στρεπτική ροπή με την αντίστοιχη στρο-

φή θ είναι:

4dP GJdxθ

= − (8)

5

όπου G είναι το μέτρο διάτμησης του υλικού και J η πολική ροπή αδράνειας της διατομής του

στοιχείου. Η ολοκλήρωση της (8) δίνει:

4P x GJ Cθ⋅ = − ⋅ + (9)

όπου C είναι ολοκληρωτική σταθερά, για τον υπολογισμό της οποίας εφαρμόζεται στην (9) η

συνοριακή συνθήκη 10 0uθ = = για x L= οπότε προκύπτει 4C P L= . Με την τιμή αυτή η (9)

παίρνει τη μορφή:

4 4P x GJ P Lθ⋅ = − ⋅ + (10)

Εν συνεχεία εφαρμόζεται στη (10) η συνοριακή συνθήκη 4 1uθ = = για 0x = οπότε προκύπ-

τει:

4 44 4 44

4 1P PGJ GJP u k

L u L= ⋅ ⇒ = = = (11)

Η αντίδραση 10P προσδιορίζεται από την ισορροπία των στρεπτικών ροπών του στοιχείου.

10 104 10 10 4 4 10,4

4

01x

P PGJ GJT P P P P u kL u L

= + = ⇒ = − = − ⇒ = = = −∑ (12)

Ομοίως, με αναφορά στο σχήμα 4(β) η επανάληψη της προηγηθείσης υπολογιστικής διαδικα-

σίας ή η συμμετρία της φόρτισης με αυτήν του σχήματος 4(α) θα οδηγήσει στις τιμές των

10,10k και 4,10k ως:

10,10 4,10 , GJ GJk kL L

= = − (13)

Οι λοιποί όροι των στηλών 4 και 10 του μητρώου K θα είναι μηδενικοί λόγω της ανεξαρτη-

σίας των λοιπών εντατικών μεγεθών από τις συγκεκριμένες επιβαλλόμενες στροφές 4u και

10u .

Τέμνουσες δυνάμεις ( 2P , 8P - κύριο επίπεδο x y )

Το σχήμα 5 αναφέρεται στο κύριο επίπεδο x y και δείχνει τις δύο περιπτώσεις επιβολής μο-

ναδιαίων μεταθέσεων κατά τη διεύθυνση του κύριου άξονα y των άκρων της δοκού, θεω-

ρουμένης ως αμφίπακτης.

6

Υπενθυμίζεται από τη Μηχανική των Υλικών ότι η εν γένει μορφή της ελαστικής γραμμής

ενός στοιχείου δοκού που υποβάλλεται σε διατμητικές δυνάμεις μετά καμπτικών ροπών οφεί-

λεται στη συνεισφορά των ορθών τάσεων που επενεργούν στη διατομή λόγω κάμψης και σε

αυτή των διατμητικών τάσεων. Συνήθως, η συνεισφορά των δεύτερων είναι σχετικά μικρή

προκειμένου για λυγηρά στοιχεία.

Σχ. 5. Μοναδιαίες μεταθέσεις άκρων αμφίπακτης δοκού στο κύριο επίπεδο x y .

Ετσι, η εξίσωση της ελαστικής γραμμής θα δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )y yb ysu x u x u x= + (14)

όπου ο όρος ( )ybu x αναφέρεται στην κάμψη και ο ( )ysu x στη διάτμηση. Αναφορικά με το σχήμα

5(α), σε μία τυχαία θέση x οι όροι ( )ybu x και ( )ysu x μπορούν να προκύψουν από τις ακόλουθες σχέ-

σεις. 2

6 22

2

( )( )

( )

ybz

ys

sy

d u xM x EI P P x

dxdu x P

dx GA

= = − + ⋅

= −(15)

Στη δεύτερη των (15) Asy είναι η ενεργός επιφάνεια διάτμησης της διατομής για διάτμηση στη

διεύθυνση y . Η ολοκλήρωση των (15) δίνει:

2 3

6 2 1 2

23

1( )2 6

( )

ybz

yssy

x xu x P P C x CEI

P xu x CGA

= − + + +

= − +(16)

7

Κατόπιν αντικατάστασης των (16) στη (14) και πολλαπλασιασμού των δύο μελών με EIz,

λαμβάνεται η εξίσωση της ελαστικής γραμμής λόγω κάμψης και διάτμησης ως:

( )1 2

3 262 21 2 3

νέο νέο

( )6 2

zz y z z

syC C

PP P EIEI u x x x C EI x C C EIGA

⋅ = − + − + + ⇒

3 262 21 2( )

6 2z

z ysy

PP P EIEI u x x x C x CGA

⇒ ⋅ = − + − +

(17)

Η παραγώγιση της (17) ως προς x δίνει την ακόλουθη εξίσωση για την κλίση της ελαστικής

γραμμής.

22 26 1( )

2z

z ysy

P P EIEI u x x P x CGA

′⋅ = − + − (18)

Οι συνοριακές συνθήκες του στοιχείου αναφορικά με το σχήμα 5(α) είναι οι ακόλουθες.

2

0 (0) ( ) 0 (μηδενική κλίση λόγω καθαρής κάμψης)

0 (0) ( ) (λόγω διάτμησης - σταθερή στα δύο άκρα)

yb yb

ys yssy

x x u u L

Px x u u LGA

′ ′= ∧ = ⇒ = = ⇒′ ′= ∧ = ⇒ = = −

2( ) (0) ( )y yb ys y ysy

Pu u u u u LGA

′ ′ ′ ′ ′⇒ = + ⇒ = = − (19)

και 20 (0) 1 και ( ) 0y yx u u x L u L= ⇒ = = = ⇒ = (20) Εφαρμογή της (19) για x = 0 στην (18) δίνει C1 = 0. Ακολούθως, με C1 = 0 και εφαρμογή της

(20) για x = L στην (17) προκύπτει η σταθερά C2 ίση με:

2 3

62 22 2 6

z

sy

P LP EI L P LCGA

= + − (21)

Ομως, η φόρτιση του σχήματος 5(α) δίνει σταθερό διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων και

γραμμικό καμπτικών ροπών με σημείο μηδενισμού του στο μέσον x = L/2. Επομένως, η

καμπτική ροπή 6P και η τέμουσα δύναμη 2P θα συνδέονται με την ακόλουθη σχέση (βλ.

σχετ. και Πίνακα 1ου φυλλαδίου σημειώσεων).

26 2

P LP = (22)

8

Λόγω της (22) η (21) διαμορφώνεται ως:

( )3 3 3

2 2 2 22 22

121 112 12 12

z zy

s sy

P EI L P L P L EI P LC CGA GA L

= + = + ⇒ = +Φ

(23)

όπου ως Φy έχει τεθεί ο όρος:

2

12 zy

sy

EIGA L

Φ = (24)

Τέλος, η αντικατάσταση των τιμών C1 = 0 και C2 από την (23) στην (17) θα δώσει την εξίσω-

ση της ελαστικής γραμμής στη μορφή:

( )2 3

23 262 2( ) 16 2 12 12

yz y y

P LPP P LEI u x x x xΦ

⋅ = − − + +Φ (25)

Εφαρμογή της συνοριακής συνθήκης της (20) για x = 0 στην (25) δίνει:

( )3

2 2 22 22 3

2

12(1 )12 1 1

zy

z y

P L P P EIu kEI u L

= +Φ ⇒ = = =+Φ

(26)

Οι λοιποί όροι που αφορούν την περίπτωση φόρτισης 5(α) μπορούν να υπολογισθούν με βά-

ση τον ορισμό των στοιχείων kij, οπότε προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές.

( )

6 262 22 62 2

λόγω (22)2 2

62 2 1

z

y

P P L EILk k ku u L

= = = ⇒ =+Φ

(27)

Η τέμνουσα δύναμη 8P και η καμπτική ροπή 12P προσδιορίζονται από ισορροπία ως (βλ.

σχετ. και Πίνακα 1ου φυλλαδίου σημειώσεων):

2 8 8 2

2 26 2 12 12 6 2 2 12

λόγω (22)

0

02 2

y

z

F P P P P

P L P LM P P L P P P P L P L P

= + = ⇒ = −

= − + = ⇒ = − + = − + ⇒ =

∑

∑ (28)

Λόγω των (28) και βάσει του ορισμού των στοιχείων kij, προκύπτουν:

( )8 2

82 22 82 32 2

12 1

z

y

P P EIk k ku u L

= = − = − ⇒ = −+Φ

(29)

( )12 2

12,2 22 12,2 22 2

62 2 1

z

y

P P L EILk k ku u L

= = = ⇒ =+Φ

(30)

9

Ομοίως, με αναφορά στο σχήμα 5(β) η επανάληψη της προηγηθείσης υπολογιστικής διαδικα-

σίας ή η συμμετρία της φόρτισης με αυτήν του σχήματος 5(α) θα οδηγήσει στις τιμές των 28k ,

68k , 88k και 12,8k ως:

( )28 82 28 3

121

z

y

EIk k kL

= ⇒ = −+Φ

(31)

( )68 62 68 2

61

z

y

EIk k kL

= − ⇒ = −+Φ

(32)

( )88 22 88 3

121

z

y

EIk k kL

= ⇒ =+Φ

(33)

( )12,8 62 12,8 2

61

z

y

EIk k kL

= − ⇒ = −+Φ

(34)

Οι λοιποί όροι των στηλών 2 και 8 του μητρώου K θα είναι μηδενικοί λόγω της ανεξαρτη-

σίας των λοιπών εντατικών μεγεθών από τις συγκεκριμένες επιβαλλόμενες μετακινήσεις 2u

και 8u (κύριο επίπεδο x y ).

Καμπτικές ροπές ( 6P , 12P - κύριο επίπεδο x y )

Το σχήμα 6 αναφέρεται στο κύριο επίπεδο x y και δείχνει τις δύο περιπτώσεις επιβολής μο-

ναδιαίων στροφών περί τον κύριο άξονα z .

Σχ. 6. Μοναδιαίες στροφές άκρων αμφίπακτης δοκού στο κύριο επίπεδο x y .

Για τον υπολογισμό των στοιχείων kij της 6ης και 12ης στήλης του μητρώου K θα ισχύουν και

πάλι οι σχέσεις (17) και (18) για την ελαστική γραμμή και την κλίσης της, αντίστοιχα.

10

3 262 21 2( )

6 2z

z ysy

PP P EIEI u x x x C x CGA

⋅ = − + − +

(17)

22 26 1( )

2z

z ysy

P P EIEI u x x P x CGA

′⋅ = − + − (18)

Ο προσδιορισμός των ολοκληρωτικών σταθερών C1 και C2 γίνεται με τις ακόλουθες συνορια-

κές συνθήκες που αναφέρονται στην περίπτωση φόρτισης του σχήματος 6(α).

2

0 (0) ( ) 0

( )

y y

ysy

x x L u u LPx L u L

G A

= ∧ = ⇒ = =

′= ⇒ = −(35)

Η εφαρμογή της πρώτης των (35) στη (17) οδηγεί στις ακόλουθες τιμές των C1 και C2.

2 62 22 10 ,

6 2z

sy

PP EI PC C L LGA

= = − + (36)

Με τις τιμές των C1 και C2 από τις (36) οι (17) και (18) παίρνουν τις ακόλουθες μορφές.

( ) ( )3 2 262( )6 2z y

PPEI u x x L x Lx x⋅ = − + − (37)

( ) ( )2 2 62( ) 3 26 2z y

PPEI u x x L L x′⋅ = − + − (38)

Η σχέση που συνδέει την τέμνουσα δύναμη 2P με την καμπτική ροπή 6P προσδιορίζεται από

την εφαρμογή της 2ης των (35), λαμβάνοντας υπ’ όψη και τη σχέση (24). Ετσι, προκύπτει:

( )6

264 y

PPL

=+Φ

(39)

Αντικαθιστώντας αυτή την τιμή της 2P στην (38), η εξίσωση της κλίσης της ελαστικής

γραμμής παίρνει την ακόλουθη μορφή:

( ) ( )2 26 6( ) 3 2(4 ) 2z y

y

P PEI u x x L L xL

′⋅ = − + −+Φ

(40)

Για την καθαρά καμπτικού τύπου στροφή στο άκρο i (που είναι η επιβαλλόμενη 6 1u = ), θα

ισχύει ότι (λαμβάνοντας υπ’ όψη και τη (14)):

11

60 (0) (0) (0)yb y ysx u u u u′ ′ ′= ⇒ = = − (41)

Ομως, η κλίση ysu′ που οφείλεται στη διάτμηση είναι σταθερή για όλο το μέλος (βλ. και σχή-

μα 5(α)) και δίνεται από τη σχέση (15). Αρα στο άκρο i είναι:

( )22

62 22 2

λόγω (39)

120 (0)12 12 2 4

y

yzys y

sy sy z z y z

P LP EI P LLx u PGA GA L EI EI EI

Φ

Φ′= ⇒ = − = − ⋅ ⋅ = − Φ = −

+Φ

(42)

Στο ίδιο άκρο, η τιμή της συνολικής κλίσης yu′ προκύπτει από τη (40) για x = 0 ως:

( )6 60 (0)

24yzy z

P L P Lx uEIEI

′= ⇒ = − ++Φ

(43)

Από την αντικατάσταση των τιμών των (0)yu′ και (0)ysu′ από τις (43) και (42) στην (41)

προκύπτει η ακόλουθη σχέση.

( )( )

( )( )

6 6 66 66

6

1 414 1

y y z

z y y

P L EIP Pu kuEI L

+Φ +Φ= ⇒ = = =

+Φ +Φ(44)

Οι λοιποί όροι της 6ης στήλης του μητρώου K προκύπτουν βάσει του ορισμού των στοιχείων

kij ως ακολούθως.

( ) ( ) ( )62

26 66 26 2λόγω (39)6 6

6 664 4 1

z

y y y

PP EIk k ku u L L L

= = = ⇒ =+Φ +Φ +Φ

(45)

Η τέμνουσα δύναμη 8P και η καμπτική ροπή 12P προσδιορίζονται από ισορροπία ως:

( )( )( )

2 8 8 2

66 2 12 12 6 2 6

λόγω (39)

12 6

0

604

2

4

y

zy

y

y

F P P P P

PM P P L P P P P L P

P P

= + = ⇒ = −

= − + = ⇒ = − + = − + ⇒+Φ

Φ −⇒ = −

+Φ

∑

∑ (46)

Βάσει λοιπόν των (46) για τους εναπομείναντες όρους 86k και 12,6k της 6ης στήλης του K θα

είναι:

12

( ) ( ) ( )8 62

86 66 86 2λόγω (39)6 6 6

6 66 4 4 1

z

y y y

P PP EIk k ku u u L L L

= = − = − = − ⇒ = −+Φ +Φ +Φ

(47)

( )( )

( )( )

( )( )

61212,6 66 12,6

6 6

2 2 2

4 4 4y y y z

y y y

EIPPk k ku u L

Φ − Φ − −Φ= = − = − ⇒ =

+Φ +Φ +Φ (48)

Με αναφορά στο σχήμα 6(β), η επανάληψη της προηγηθείσης υπολογιστικής διαδικασίας ή

λαμβάνοντας υπ’ όψη τη συμμετρία της φόρτισης με αυτήν του σχήματος 6(α), αλλά και η

ιδιότητα της συμμετρίας του μητρώου K οδηγούν στις ακόλουθες τιμές των στοιχείων 2,12k ,

6,12k , 8,12k και 12,12k της 12ης στήλης.

( )2,12 12,2 2,12 2

61

z

y

EIk k kL

= ⇒ =+Φ

(49)

( )

( )6,12 12,6 6,12

2

4y z

y

EIk k k

L

−Φ= − ⇒ =

+Φ (50)

( )8,12 12,8 8,12 2

61

z

y

EIk k kL

= ⇒ = −+Φ

(51)

( )

( )12,12 6,6 12,12

4

1y z

y

EIk k k

L

+Φ= ⇒ =

+Φ (52)

Οι λοιποί όροι των στηλών 6 και 12 του μητρώου K θα είναι μηδενικοί λόγω της ανεξαρτη-

σίας των λοιπών εντατικών μεγεθών από τις συγκεκριμένες επιβαλλόμενες μετακινήσεις 6u

και 12u (κύριο επίπεδο x y ).

Τέμνουσες δυνάμεις ( 3P , 9P - κύριο επίπεδο x z )

Τα στοιχεία kij των στηλών 3 και 9 που αφορούν τα εντατικά μεγέθη που σχετίζονται με τις

μετακινήσεις 3u και 9u μπορούν να προκύψουν απ’ ευθείας από τα αντίστοιχα του κυρίου ε-

πιπέδου x y κατόπιν κατάλληλης αντιστοίχισης. Οπως φαίνεται στο σχήμα 7, οι θετικές φο-

ρές των στροφών των κυρίων επιπέδων x y και x z είναι διαφορετικές (αντίθετες) εφ’ όσον

συσχετισθούν ομόφορα οι τοπικοί κύριοι άξονες y και z . Επί πλέον, διευκρινίζεται ότι η

δευτεροβάθμια ροπή αδράνειας Ιz θα αντιστοιχισθεί σε Iy καθώς και η ενεργός επιφάνεια διά-

τμησης Asy θα αντιστοιχισθεί σε Asz. Κατά συνέπεια, και ο όρος Φy θα αντιστοιχισθεί σε Φz με

τιμή:

13

2

12 yz

sz

EIGA L

Φ = (53)

Κατόπιν αυτών, και αναφορικά με το κάτω αριστερό ήμισι του μητρώου K , η αντιστοιχία

Σχ. 7. Διατμητικοί και καμπτικοί βαθμοί ελευθερίας κυρίων επιπέδων x y και x z . των όρων kij των στηλών 3 και 9 του κυρίου επιπέδου x z με τις 2 και 8 του κυρίου επιπέδου

x y έχει ως ακολούθως.

33 22

53 62

93 82

11,3 12,2

99 88

11,9 12,8

k kk kk kk kk kk k

↔↔ −↔↔ −↔↔ −

(54)

Καμπτικές ροπές ( 5P , 11P - κύριο επίπεδο x z )

Χρησιμοποιώντας την αντιστοίχιση που αναφέρθηκε στην προηγούμενη υποπαράγραφο, τα

στοιχεία kij της 5ης στήλης του μητρώου K αντιστοιχίζονται με αυτά της 6ης ως ακολούθως.

55 66

95 86

11,5 12,6

k kk kk k

↔↔ −↔

(55)

Κατόπιν όλων των ανωτέρω, η τελική μορφή του μητρώου δυσκαμψίας K σε τοπικό σύστη-

μα κυρίων αξόνων συμπεριλαμβάνοντας και τις διατμητικές παραμορφώσεις θα είναι αυτή

της σχέσης (56) που ακολουθεί.

14

1 2 3 4 5 6

( )

7 8 9 10 11 12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 60 0 0 03 21

AE AEL L

EI EIz zL Ly

−

+Φ

=K

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

12 60 0 0 03 21 1 1

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 03 2 3 21 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 02 21 11 1

4 26 60 0 0 0 0 0 0 02 211 1

EI EIz zL Ly y y

EI EI EI EIy y y yL L L Lz z z z

GJ GJL L

EI EI EI EIz zy y y yL LL Lz zz z

EI EIzy yEI EIz zLL Lyy y

−+Φ +Φ +Φ

− − −+Φ +Φ +Φ +Φ

−

+Φ −Φ−

+Φ +Φ+Φ +Φ

+Φ −Φ−

+Φ+Φ +Φ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 03 2 3 21 1 1 1

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 03 2 3 21 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 02 21 11 1

60

zL y

AE AEL L

EI EI EI EIz z z zL L L Ly y y y

EI EI EI EIy y y yL L L Lz z z z

GJ GJL L

EI EI EI EIz zy y y yL LL Lz zz z

E

+Φ

−

− − −+Φ +Φ +Φ +Φ

−+Φ +Φ +Φ +Φ

−

−Φ +Φ−

+Φ +Φ+Φ +Φ

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

122 460 0 0 0 0 0 02 21 11 1

EI EIz zy yI EIz zL LL Ly y

y

y

y y

−Φ +Φ − +Φ +Φ+Φ +Φ

(56)

15

1.3.1 Mητρώο δυσκαμψίας στοιχείου δοκού στο επίπεδο ως υποπερίπτωση του χώρου

Το μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού της σχέσης (58) για επίπεδα προβλήματα (βλ.

φυλλάδιο σημειώσεων Νο. 1) μπορεί να προκύψει κατόπιν απαλοιφής των βαθμών ελευθε-

ρίας 3, 4, 5 και 9, 10, 11, δηλαδή αυτών που αντοιστοιχούν στην τέμνουσα δύναμη κατά z ,

τη στρεπτική ροπή περί τον άξονα x και την καμπτική ροπή περί τον άξονα y των άκρων

του στοιχείου. Ετσι, λαμβάνεται υπ’ όψη μόνο η εναπομείνουσα ένταση του επιπέδου x y . Η

εν λόγω απαλοιφή υλοποιείται με διαγραφή των γραμμών και στηλών 3, 4, 5, 9, 10 και 11.

Ετσι, προκύπτει η ακόλουθη μορφή του μητρώου K για προβλήματα του επιπέδου, στην

οποία συμπεριλαμβάνονται και οι διατμητικές παραμορφώσεις.

1 2 6 7 8 12

1

( ) ( )

2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 120 03 2 31 1

AE AEL L

EI EI EIz z zL L Ly y

−

−+Φ +Φ

=K

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

621 1

4 26 60 02 21 11 1

0 0 0 0

12 6 12 60 03 2 3 21 1 1 1

2 46 60 02 21 11 1

EIzLy y

EI EIz zy yEI EIz zL LL Ly yy y

AE AEL L

EI EI EI EIz z z zL L L Ly y y y

EI EIz zy yEI EIz zL LL Ly yy y

+Φ +Φ

+Φ −Φ−

+Φ +Φ+Φ +Φ− − − − +Φ +Φ +Φ +Φ −Φ +Φ − +Φ +Φ+Φ +Φ

( )( )

1

1

2

3

2

6

7

8

1

4

5

6 2

y

y

(57)

Στη σχέση (57) σημειώνεται η αντιστοίχιση της αρίθμησης των βαθμών ελευθερίας στο χώρο

με αυτήν του επιπέδου (βλ. και σχήμα 17 του 1ου φυλλαδίου σημειώσεων).

Εφ’ όσον δεν απαιτείται να ληφθούν υπ’ όψη οι διατμητικές παραμορφώσεις, οι όροι Φy της

σχέσης (57) μπορούν να παραληφθούν, οπότε προκύπτει η παρακάτω μορφή του μητρώου K

που είναι αυτό της σχέσης (58) του 1ου φυλλαδίου σημειώσεων.

Σημειώνεται ότι καθ’ όσον πρόκειται για επίπεδο πρόβλημα, τα αδρανειακά μεγέθη Iz και Asy

(το τελευταίο εντός του όρου Φy) θα αναφέρονται πλέον στους κεντροβαρικούς άξονες κβy

και κβz και όχι στους κύριους y και z . Ο λόγος είναι ότι καθ’ όσον δεν υφίσταται ένταση

κάθετη στο επίπεδο κβ κβ-y z , αυτό μπορεί να χαρακτηρισθεί ότι ενέχει θέση «κυρίου»

επιπέδου, αντίστοιχου με το -y z των πραγματικών κυρίων αξόνων x y z .

16

1 2 6 7

1 2

8

3

12

4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 03 2 3 2

6 60 02 2

0 0 0 0

12 6 12 60 03 2 3 2

6 60 02 2

AE AEL L

EI EI EI EIz z z zL L L LEI EI EI EIz z z z

L LL LAE AEL L

EI EI EI EIz z z zL L L L

EI EI EI EIz z z zL LL L

− −

−=−

− − −

−

K

11

2 2

6

7

3

4

5

6

8

12

II

(58)

1.4 Mητρώο δυσκαμψίας στοιχείου δοκού στο χώρο σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων

κεντροβαρικών αξόνων με συνυπολογισμό των διατμητικών παραμορφώσεων

Η σύνταξη του μητρώου δυσκαμψίας K του στοιχείου στο τοπικό-κεντροβαρικό σύστημα

συντεταγμένων κβ κβx y z θα προκύψει κατόπιν έκφρασης των διανυσματικών μεγεθών P και

U της σχέσης = ⋅P K U από το τοπικό σύστημα συντεταγμένων των κυρίων αξόνων x y z

στο σύστημα αυτό. Σε ότι αφορά τα εντατικά μεγέθη αξονικών δυνάμεων και στρεπτικών ρο-

πών 1P , 7P , 4P , 10P , αλλά και τα αντίστοιχα παραμορφωσιακά 1u , 7u , 4u , 10u , αυτά ταυτίζο-

νται στα δύο τοπικά συστήματα x y z και κβ κβx y z καθ’ όσον ό άξονας x είναι κοινός και δι-

έρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής. Επομένως, μόνο για τις τέμνουσες δυνάμεις και

τις καμπτικές ροπές της διατομής, αλλά και των αντίστοιχων μεταθέσεων και στροφών, απαι-

τείται μετατροπή από το ένα σύστημα στο άλλο. Στο σχήμα 8 φαίνεται η γεωμετρική διαδικα-

σία για την εν λόγω μετατροπή, αναφορικά με τους βαθμούς ελευθερίας Y = 2, 8, 5, 11 και

Z = 3, 9, 6, 12 των κόμβων i και j του στοιχείου (βλ. σχ. 2).

Σχ. 8. Διανυσματικές προβολές στο κεντροβαρικό τοπικό σύστημα κβ κβy z της διατομής.

17

Από τις διανυσματικές προβολές του σχήματος 8 προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τη μετα-

τροπή των διανυσμάτων Y και Z στο τοπικό κεντροβαρικό σύστημα κβ κβx y z .

κβ κβ

κβ κβ

κβκβ

1 0 0cos sin 0 cos sin

0 sin cossin cos

X X X XY Y Z Y Y

ZY Zθ θ θ θ

θ θθ θ

= = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ ΖΖ = ⋅ + ⋅

κβ κβ

κβ κβ

κβ κβ

1 0 0 1 0 00 cos sin 0 c s0 sin cos 0 s c

X X XY Y YZ

θ θθ θ

= ⋅ = ⋅ ⇒ − Ζ − Ζ

Λ

κβ

κβ

κβ

1 0 0sin

, 0 c s , cos

0 s c

X Xs

Y Yc

Z

θθ

= ⇒ = ⋅ = = Ζ −

Λ Λ (59)

όπου θ είναι η γωνία των κυρίων αξόνων ,y z ως πρός τους κεντροβαρικούς κβ κβ,y z . Επομέ-

νως μεταξύ των μητρώων P και U των τοπικών συστημάτων x y z και κβ κβx y z θα ισχύουν

οι σχέσεις:

κβ κβ

12 12

0 0 0 , με και 0 0 0

0 0 0×

= ⋅ = ⋅ = =

Λ 0 0 00 Λ 0 0

P T P U T U T 00 0 Λ 00 0 0 Λ

(60)

Η αντικατάσταση των (60) στη σχέση = ⋅P K U δίνει:

Tκβ

1 1 Tκβ κβ κβ κβ κβ

− −

= =

= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒I T K

P K U T P K T U T T P T K T U T K T U

Tκβ⇒ = ⋅ ⋅K T K T (61)

H αντικατάσταση των Τ και Λ από τις (59) και (60) στην (61) δίνει το μητρώο δυσκαμψίας

του στοιχείου στο κεντροβαρικό σύστημα συντεταγμένων κβ κβx y z στην ακόλουθη μορφή για

την οποία σημειώνεται ότι οι αδρανειακές σταθερές Iy, Iz και Asy, Asz (οι τελευταίες εντός των

όρων Φy και Φz) αναφέρονται στο τοπικό σύστημα των κυρίων αξόνων x y z .

κβ,11 κβ,12κβ κβ,12 κβ,21

κβ,21 κβ,22 12 12

, ×

= =

K KK K K

K K (62α)

18

όπου: 1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

κβ,11

22

3 3 23 3 2

5 6

12 12 612 12 61 1 11 1

0 0 0

0 01

0 0

y y yz z z

z zy y y

AEL

EI s EI EIEI c EI EIL L LL L

sc scsL

c sc+ − − +

+Φ +Φ +Φ+Φ +Φ +Φ

=K

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

22

22

2 22 2

3 3 2 23 3 2 2

22

2 22 2

6611

12 12 6 612 12 6 6- -1 1 1 11 1 1 1

46 66 6- -1

0 0

0 0 0 0 0

011 1

0

yz

z zy

y y y yz z z z

z z z zy y y y

yy yz z

z zy y

EI sEI cLL

EI EI c EI c EI scEI EI s EI s EI scL L L LL L L L

GJL

EEI EI cEI EI sL LL L

scsc

scsc

++Φ+Φ

− + −+Φ +Φ +Φ +Φ+Φ +Φ +Φ +Φ

+Φ− +

+Φ +Φ+Φ +Φ ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

2 2

22 22

2 22 2

44 41 11 1

4 46 6 4 46 61 1 1 11 1 1

01

0

z y zz y z y

z zy y

y z y zy y z y z yz z

z z z zy y y y

I s EI scEI c EI scL LL L

EI sc EI cEI s EI sc EI sc EI sEI c EI scL L L LL L L L

+Φ+Φ +Φ+ − +

+Φ +Φ+Φ +Φ

+Φ +Φ+Φ +Φ+ − − + +

+Φ +Φ +Φ +Φ+Φ +Φ +Φ +Φ

( )( )1

2

3

4

5

6

y

y

(62β)

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

κβ,

22

3 33 3

2

2

1

5 6

12 12 612 12 61 11 1 1

0 0 0 0 0

0 0y y yz z z

z zy y y

AEL

EI s EI EIEI c EI EIL

sc scsc sLL L

cL

−

− − − + −+Φ +Φ+Φ +Φ +Φ

=K

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2 22

2 22 2

3 3 2 23 3 2 2

22

2 22 2

661 11

12 12 6 612 12 6 61 1 1 11 1 1 1

6 66 61 1

0 0

0 0 0 0

1 1

0

0

yz

z zy

y y y yz z z z

z z z zy y y y

y yz z

zy y

EI sEI cL LL

EI EI c EI c EI scEI EI s EI s EI scL L L LL L L L

GJL

EI EI cEI EI

scsc

scsc sL LL L

− −+Φ +Φ+Φ

− + − − + − ++Φ +Φ +Φ +Φ+Φ +Φ +Φ +Φ

−

− + − −+Φ+Φ +Φ ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

2 2

22 22

2 22 2

2 22 21 11 1

2 26 6 2 26 61 1 1 11

0

0 01 1 1

y z y zz y z y

z z zy y

y z y zy y z y z yz z

z z z zy y y y

EI s EI scEI c EI scL LL L

EI sc EI cEI s EI sc EI sc EI sEI c EI scL L L LL L L L

−Φ −Φ−Φ −Φ+ − +

+Φ +Φ +Φ+Φ +Φ

−Φ −Φ−Φ −Φ+ − − + +

+Φ

+Φ +Φ +Φ+

Φ +Φ +Φ +Φ

( )( )7

8

9

10

11

12

y

y

(62γ)

7 8 9 10

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

κβ,2

22

3 33 3 2

2

2

11 12

12 12 612 12 61 1 11 1 1

0 0 0 0 0

0 0y y yz z z

z zy y y

AEL

EI s EI EIEI c EI EIL L LL L

sc scsc scL

+ − −+Φ +Φ +Φ+Φ +Φ +Φ

=K

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

22

22

2 22 2

3 3 2 23 3 2 2

22

2 22 2

6611

12 12 6 612 12 6 61 1 1 11 1 1 1

46 66 61 11 1

0 0

0 0 0 0 0

0 0

yz

z zy

y y y yz z z z

z z z zy y y y

yy yz z

z zy y

EI sEI cLL

EI EI c EI c EI scEI EI s EI s EI scL L L LL L

scsc

sc

L L

GJL

EIEI EI cEI EI sscL LL L

− −+Φ+Φ

− + + − ++Φ +Φ +Φ +Φ+Φ +Φ +Φ +Φ

+Φ− +

+Φ +Φ+Φ +Φ ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

2 2

22 22

2 22 2

44 41 11 1

4 46 6 4 46 61 1 1 11 1

01

01

z y zz y z y

z zy y

y z y zy y z y z yz z

z z z zy y y y

s EI scEI c EI scL LL L

EI sc EI cEI s EI sc EI sc EI sEI c EI scL L L LL L L L

+Φ+Φ +Φ+ − +

+Φ +Φ+Φ +Φ

+Φ +Φ+Φ +Φ− − − + − + +

+Φ +Φ +Φ +Φ

+Φ +Φ +Φ +Φ

( )( )7

8

9

10

11

12

y

y

(62δ)

1.5 Mητρώο δυσκαμψίας στοιχείου δοκού στο χώρο σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων

κεντροβαρικών αξόνων άνευ συνυπολογισμού των διατμητικών παραμορφώσεων

Το μητρώο δυσκαμψίας K του στοιχείου δοκού στο χώρο αλλά χωρίς συνυπολογισμό των

διατμητικών παραμορφώσεων προκύπτει από αυτό των σχέσεων (62) κατόπιν μηδενισμού

των όρων Φy και Φz. Στην προκύπτουσα μορφή, και κατόπιν παραγοντοποίησης, εμφανίζο-

νται στα στοιχεία kij του μητρώου οι ακόλουθοι όροι.

( )2 2 2 2 , , , sin , cosy z y z y zI s I c I c I s sc I I s cθ θ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ± − = = (63)

19

Υπενθυμίζεται ότι στους όρους αυτούς τα Ιy και Ιz είναι οι κύριες δευτεροβάθμιες ροπές α-

δράνειας των κυρίων αξόνων y z , για τους οποίους θα είναι Ιyz = 0. Από τη μηχανική των

υλικών, οι εν λόγω δευτεροβάθμιες ροπές συνδέονται με τις αντίστοιχες των κεντροβαρικών

αξόνων κβ κβy z με τις ακόλουθες γνωστές σχέσεις.

( ) ( )

( ) ( )

2,κβ ,κβ 2,κβ ,κβ ,κβ max

2,κβ ,κβ 2,κβ ,κβ ,κβ min

,κβ

,κβ ,κβ

1 42 2

1 42 2

2tan(2 )

y zy y z yz

y zz y z yz

yz

y z

I II I I I I

I II I I I I

II I

θ

+= + − + =

+= − − + =

= −−

(64)

Στις (64) θ είναι η γωνία των κυρίων αξόνων y z ως προς τους κεντροβαρικούς κβ κβy z (βλ.

σχ. 8).

Από την τελευταία των (64) προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις.

( ) ( )

,κβ ,κβ ,κβ

2 22 2,κβ ,κβ ,κβ ,κβ ,κβ ,κβ

2sin(2 ) , cos(2 )

4 4

yz y z

y z yz y z yz

I I I

I I I I I Iθ θ

−= − =

− + − + (65)

Ισχύει επίσης και η ακόλουθη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα.

2 2sin (2 ) cos (2 ) cos(2 )θ θ θ− = − (66) Με αντικατάσταση των Ιy και Ιz από τις δύο πρώτες των (64) στους όρους των (63), και κα-

τόπιν χρήσης των (65) και (66), προκύπτουν οι ακόλουθες ισότητες για τους όρους αυτούς.

( )2 2 2 2

,κβ ,κβ ,κβ , , y z z y z y y z yzI s I c I I c I s I sc I I I⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ± − = (67) Ετσι, με αντικατάσταση των ισοτήτων των (67) στο μητρώο της σχέσης (62) προκύπτει το

μητρώο K του στοιχείου δοκού στο χώρο χωρίς συνυπολογισμό των διατμητικών παραμορ-

φώσεων στην ακόλουθη μορφή, στην οποία οι αδρανειακές σταθερές Iy, Iz και Ιsy αναφέρονται

πλέον στους κεντροβαρικούς άξονες της διατομής κβ κβy z .

20

1 2 3 4 5 6 7 8

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2

2

κβ

2

_

9 10 11 12

_12 612 6

0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

12 12 6 6

6 6 4 4

6 46

0 0

0 0

0 0

_

_

yz yzz z

yz y y yz

yz y y yz

yzz

AEL

EI EIEI EIL L L LEI EI EI EIL L L L

GJL

EI EI EI EIL L L L

EI EEIL L

− − −

=

−

−

−

K

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2

2 2

3 3 2 2

12 612 6

12 12

0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0

20 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0

0

6 6

6 6 2

6 26 24

12 612 6

12

yz yzz z

yz y y yz

yz y y yz

yzz zyz z

yz y

yz

zz z

yz

AEL

EI EIEI EIL L L LEI EI EI EIL L L L

GJL

EI EI EI EIL L L L

EI EIEI EII EIL L L LL L

AEL

EI EIEI EIL L L LEIL

−

− − −

− − −

−

− − −

−

−

− − −

−

___3 3 2 2

3 3 2 2 3 3 2 2

2 2 2 2

2 2

_

_

_

12 612 6

12 6 6 12 12

0 0 0 0 0

0 0

0 06 6

6 6 2 6 6 4 4

6 26

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0

0 2

0

0

yz yzz z

y y yz yz y y yz

yz y y yz yz y y

yz

yz

yzz z

AEL

EI EIEI EIL L L L

EI EI EI EI EI EI EIL L L L L L L

GJ GJL L

EI EI EI EI EI EI EI EIL L L L L L L L

EI EIEI EIL L L L

−

− − −

−

− − − −

−2 2

1

2

31

4

5

6

7

8

9

10

11

1204

066 4yz yz z

y

zEI EIEI EIL L L L

II

− − −

(68)

1.6 Mητρώο δυσκαμψίας στοιχείου δοκού στο χώρο στο απόλυτο σύστημα

συντεταγμένων

Η έκφραση του μητρώου δυσκαμψίας K του στοιχείου τύπου δοκού από το τοπικό σύστημα

συντεταγμένων του (κυρίων αξόνων x y z ή κεντροβαρικών κβ κβx y z ) στο απόλυτο σύστημα

ΧΥΖ της κατασκευής (βλ. σχ. 2) γίνεται κατά πανομοιότυπο τρόπο με αυτόν που ακολουθεί-

ται στην περίπτωση του επιπέδου. Δηλαδή θα ισχύει η ακόλουθη σχέση.

T= ⋅ ⋅K T K T (69) όπου

1 1 1

2 2 2

3 3 312 12

cos cos cos , cos cos cos

cos cos cos

0 0 0

και 0 0 00 0 0

X x Y x Z x

X y Y y Z y

X z Y z Z z

l m nl m nl m n

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

×

= = =

=

Λ 0 0 00 Λ 0 0

T Λ0 0 Λ 00 0 0 Λ

0

(70)

Στη σχέση (70), l, m και n είναι τα συνημίτονα κατευθύνσεως του κάθε τοπικού άξονα ( x ή

21

y ή z - αντίστ. δείκτες 1, 2 και 3) με τους απόλυτους Χ, Υ και Ζ, αντίστοιχα. Οι γωνίες φ και

οι θετικές φορές τους ορίζονται στο σχήμα 9.

Σχ. 9. Γεωμετρικά στοιχεία συσχετισμού τοπικού και απόλυτου συστήματος συντεταγμένων.

Καθ’ όσον οι συντεταγμένες των κόμβων i και j του στοιχείου, (xi, yi, zi) και (xj, yj, zj), ως

προς το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥΖ είναι γνωστές από τη γεωμετρία της κατα-

σκευής, μπορεί να υπολογισθεί το μήκος L του στοιχείου και τα συνημίτονα κατευθύνσεως

του άξονα x ως ακολούθως, δηλαδή η 1η γραμμή του μητρώου Λ.

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ]

2 2 2

1 1 1

T1 1 1

j i j i j i

j i j i j i

x

L x x y y z z

x x y y z zl m n

L L L

V l m n

= − + − + −

− − −=

=

(71)

Ετσι, έχει προσδιορισθεί το διάνυσμα xV , με συνιστώσες (l1, m1, n1) αναφορικά με τα μονα-

διαία διανύσματα 1 1 1, και i j k

.

Ακολούθως επιλέγεται ένας τυχαίος κόμβος k του τοπικού επιπέδου x y με γνωστές συντε-

ταγμένες (xk, yk, zk) ως προς στο απόλυτο σύστημα ΧΥΖ. Ο κόμβος αυτός είναι βοηθητικός.

Μπορεί ως κόμβος k να χρησιμοποιηθεί και ένας υφιστάμενος κόμβος της κατασκευής ο ο-

ποίος όμως να πληρεί τις παραπάνω δεσμεύσεις. Υπολογίζεται το διάνυσμα ikV ως:

22

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2ik k i k i k i

k i k i k iik

ik ik ik

L x x y y z z

x x y y z zV

L L L

= − + − + −

− − − =

(72)

Από το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων xV και ikV μπορεί να προκύψει το διάνυσμα

zV , δηλαδή η 3η γραμμή του μητρώου Λ, ως ακολούθως:

[ ]T3 3 3x ik

zx ik

V VV l m nV V

×= =

× (73)

όπου ο παρονομαστής της (73) αφορά το μέτρο του διανύσματος x ikV V× . Κατόπιν αυτού, το

διάνυσμα yV , δηλ. η 2η γραμμή του μητρώου Λ, μπορεί να προκύψει ως εξωτερικό γινόμενο

των zV και xV .

[ ]T2 2 2y z xV l m n V V= = × (74) Η παραπάνω γεωμετρική μεθοδολογία υπολογισμού των συνημιτόνων κατευθύνσεως είναι

γνωστή ως μέθοδος του k-κόμβου. Είναι προφανής ο βοηθητικός ρόλος του κόμβου αυτού.

Υπενθυμίζεται ο τύπος υπολογισμού του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων: Για δύο διανύ-

σματα U και V με κοινή αρχή αυτή των αξόνων ΧΥΖ και συντεταγμένες πέρατος (ux, uy, uz)

και (vx, vy, vz) αντίστοιχα, οι συντεταγμένες του προκύπτοντος καθέτου διανύσματος στο

επίπεδο που ορίζουν τα U και V και το μέτρο του δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις.

1 1 1

2 2 2 , y z y z x

x y z z x z x y x y z

x y z x y x y z

i j k u v v u aU V u u u u v v u a U V a a a

v v v u v v u a

− = × = = − = × = + + − =

(75)

1.7 Αδρανειακές σταθερές διατομών

Παρατίθενται σχέσεις υπολογισμού των αδρανειακών μεγεθών Α, Asy, Asz, J, Iy, Iz και Iyz για

τις συνηθέστερες διατομές γραμμικών μελών που απαντώνται σε κατασκευές από οπλισμένο

σκυρόδεμα. Προκειμένου για τυποποιημένες διατομές μεταλλικών στοιχείων, αυτές συνήθως

παρέχονται σε πίνακες των κατασκευαστριών εταιρειών.

Ο υπολογισμός των αδρανειακών σταθερών των διατομών, Α, Asy, Asz, J, Iy, Iz και Iyz, μπορεί

να γίνεται όπως περιγράφεται παρακάτω, αναλόγως του μητρώου δυσκαμψίας K που πρό-

κειται να χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (σχέσεις (56), (62) και (68)), όταν το υλικό είναι

23

οπλισμένο σκυρόδεμα. Υπολογισμός των Α, Iy, Iz και Iyz – κεντροβαρικοί άξονες

Ο υπολογισμός γίνεται κατά τα γνωστά από τη μηχανική των υλικών. Υπολογισμός των Α, Iy, Iz και Iyz – κύριοι άξονες

Το εμβαδόν Α είναι σταθερό και ανεξάρτητο του είδους του τοπικού συστήματος. Οι δευτε-

ροβάθμιες ροπές αδράνειας Iy, Iz και Iyz σε σύστημα κυρίων αξόνων μπορούν να προκύπτουν

από τις αντίστοιχες κεντροβαρικές με χρήση των σχέσεων (64). Υπενθυμίζεται ότι σε κύρι-

ους άξονες είναι εξ’ ορισμού Iyz = 0. Ροπή αδράνειας J σε στρέψη – κεντροβαρικοί ή κύριοι άξονες

• Ορθογωνική διατομή διαστάσεων b×h με b ≤ h:

4

3 1 10.21 13 12

b bJ hbh h

= ⋅ − −

Eάν είναι b > h, οι όροι b και h εναλλάσονται αμοιβαία στην παραπάνω σχέση.

• Κυκλική διατομή ακτίνας R:

41 2 22 x yJ R I Iπ= = =

• Διατομές σχήματος Γ και Τ:

4

31

1 2 43

2

1 10.210 13 12 εάν για την

, εάν 2 για την 1 10.105 1

3 192

b bJ aba a b d

J J Jd bd dJ cd

c c

= ⋅ − − ≥ + < = ⋅ − −

Γ

T

Για τη διατομή Γ ως περιοχή 1 διαστάσεων a×b ορίζεται αυτή με το μεγαλύτερο πάχος

σκέλους, δηλ. b ≥ h.

24

Οι εν λόγω τύποι καλύπτουν την πλειοψηφία των διατομών Τ που απαντώνται στην κατα-

σκευαστική πράξη.

Σημειώνεται ότι μόνο για την κυκλική διατομή ισχύει o γενικός τύπος της μηχανικής των

υλικών J = Iy + Iz. Ενεργές επιφάνειες διάτμησης Asy, Asz – κεντροβαρικοί ή κύριοι άξονες

• Ορθογωνική διατομή:

56 1.20sy sz

AA A A= = =

• Κυκλική διατομή:

9 0.9010sy szA A A A= = =

Ενεργές επιφάνειες διάτμησης Asy, Asz – κεντροβαρικοί άξονες

• Διατομή Γ:

• Διατομή T:

Ενεργές επιφάνειες διάτμησης Asy, Asz – κύριοι άξονες

Ο υπολογισμός των ενεργών επιφανειών διάτμησης ως προς κύριους άξονες είναι σχετικά πε-

Για τέμνουσα κατά κβy : syA a b⋅

Για τέμνουσα κατά κβz : szA c d⋅

Για τέμνουσα κατά κβy : syA c d⋅

Για τέμνουσα κατά κβz : 56 1.20sz

a bA a b ⋅⋅ =

25

ρίπλοκος. Συνηθέστερα ακολουθείται η κατά Timoshenko ακριβέστερη μεθοδολογία υπολο-

γισμού, η οποία έχει ως ακολούθως με αναφορά στο σχήμα που ακολουθεί. Οι άξονες y και

z είναι κύριοι άξονες και θ είναι η γωνία τους ως προς τους κεντροβαρικούς.

Για τέμνουσα κατά τον κύριο άξονα y υπολογίζεται η συνάρτηση

( ) ( )ty

yQ y n b n dn= ⋅ ⋅∫

η οποία αφορά την πρωτοβάθμια ροπή της σκιασμένης επιφάνειας του σχήματος. Ακολού-

θως, η ενεργός επιφάνεια Asy υπολογίζεται από τη σχέση:

2

2 ( )( )

t

b

zsy y

y

IAQ y dyb y

=⋅∫

Το ολοκλήρωμα στον παρονομαστή μπορεί να διασπάται σε περιοχές στο διάστημα ολοκλή-

ρωσης (yb, yt). Είναι προφανές ότι σε κάθε περιοχή θα αντιστοιχεί διαφορετική συνάρτηση

Q(y).

Aντίστοιχα υπολογίζεται και η ενεργός επιφάνεια Asz.

26