Penduga Selang / Interval Estimator(Bagian 1)(Bagian 1)

Dr. Kusman Sadik, M.SiDepartemen Statistika IPB, 2016

1

2

3

1. Pembalikan Statistik Uji (Inverting a Test Statistic)2. Metode Pivot (Pivotal Quantities)

4

Tujuan:Mendapatkan selang terpendek, yaitu (U(x) - L(x)) mencapaiminimum, dan selang tersebut dapat mencakup parameter θdengan peluang (1 – α) atau P(L(x) < θ < U(x)) = 1 – α.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Selang Kepercayaan untuk Seliasih Dua Nilai Tengah melalui Metode Pivot

Misalkan peubah acak X dan Y bersifat bebas, X menyebar Normal(µ1, 12) dan Y menyebar Normal(µ2, 22). Tentukan

14

Normal(µ1, 1 ) dan Y menyebar Normal(µ2, 2 ). Tentukan selang kepercayaan bagi (µ1 - µ2) dengan koefisien kepercayaan 1 - apabila diasumsikan bahwa 12 = 22 = 2 tidak diketahui.

Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut diperlukan untuk mengetahui penduga titik bagi (µ1 - µ2) beserta sebarannya.

Melalui metode pendugaan kemungkinan maksimum dapat diperoleh bahwa penduga titik bagi (µ1 - µ2) adalah ( ).

15

Selanjutnya diperlukan mengetahui sebaran bagi ( ). Karena peubah acak X dan Y bersifat bebas, X menyebar Normal(µ1, 12) dan Y menyebar Normal(µ2, 22), maka sebaran bagi ( ) adalah Normal((µ1 - µ2), (12/n1 + 22/n2)) atau Normal((µ1 - µ2), 2(1/n1 + 1/n2))

Karena 12 = 22 = 2 tidak diketahui maka dipilih 1 122

dan 2 222 yang masing-masing memiliki fungsi

kepekatan peluang 1 dan 2 , sedangkan S12 = {(x- )2}/(n1-1) dan S22 = {(y- )2}/(n2-1).

1 12 2 22

16

Berdasarkan hasil tersebut, maka 1 122 + 2 22

2 = 1 12 2 22

2 memiliki fungsi kepekatan peluang 1 2 atau 1 2 .

Perhatikan, bahwa jika Z N(0, 1) dan V 2(n-1) maka /( −1) t(n-1), sehingga:

1 2 1 2

1 12 2 222 1 2

( 1+ 2−2)

1 2 ( + −2)

17

1 2

1 2

1 12 2 221 2 1 2

( 1+ 2−2)

1 22

1 2( 1+ 2−2)

1 2

1 2( 1+ 2−2)

Sedangkan 2 ( 1−1) 12+( 2−1) 22n1+n2−2

Berikutnya ditentukan persamaan dalam bentuk peluang yang mengaitkan antara parameter, penduga parameternya,

18

yang mengaitkan antara parameter, penduga parameternya, dan koefisien kepercayaannya yaitu:

1 2

1 2

Karena 1 21n1

1n2

menyebar menyebar t-student dengan

19

Karena 1 21n1

1n2

menyebar menyebar t-student dengan derajat bebas (n1 + n2 - 2), maka batas atas dan batas bawah SK dapat ditentukan, yaitu a = 1 2 2

dan b = 1 2 2

, dimana P(T < a) = /2 dan P(T > b) = /2.

Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

1 2 1 2

20

Sehingga selang kepercayaan bagi (µ1 - µ2) dengan koefisien

kepercayaan 1 - adalah: 1 2

1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,2nd Edition. Duxbury.

2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction toMathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.

21

Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.3. Pustaka lain yang relevan.

Bisa di-download di

22

Bisa di-download dihttp://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik