12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND12. LINEARNI TREND

•• pojave promatrane u vremenu najpojave promatrane u vremenu najččeeššćće pokazuju određeno e pokazuju određeno kretanje ili dinamikukretanje ili dinamiku

•• opopćća razvojna tendencija kretanja pojave naziva se a razvojna tendencija kretanja pojave naziva se trendtrendtrendtrendtrendtrendtrendtrend

•• trend motrend možže biti po:e biti po:

–– obliku: linearan ili obliku: linearan ili krivolinijskikrivolinijski–– smjeru: pozitivan ili negativansmjeru: pozitivan ili negativan

–– intenzitetu: razliintenzitetu: različčitih stupnjeva itih stupnjeva

•• analizom neke pojave pomoanalizom neke pojave pomoćću trenda u trenda žželi se otkriti zakonitost eli se otkriti zakonitost razvoja pojave te na temelju uorazvoja pojave te na temelju uoččene zakonitosti predvidjeti ene zakonitosti predvidjeti daljnja kretanja i opdaljnja kretanja i općći razvoj pojavei razvoj pojave

PRIKAZI SERIJA S RAZLIPRIKAZI SERIJA S RAZLIČČITIM TRENDOVIMAITIM TRENDOVIMA

LINEARNI TRENDLINEARNI TREND

•• kretanje pojave je priblikretanje pojave je približžno linearno kada pokazuje priblino linearno kada pokazuje približžno no istu apsolutnu promjenu (rast ili pad) u istim vremenskim istu apsolutnu promjenu (rast ili pad) u istim vremenskim razdobljimarazdobljima

•• linearni trend se molinearni trend se možže izraziti linearnom funkcijom:e izraziti linearnom funkcijom:

y = a + y = a + y = a + y = a + y = a + y = a + y = a + y = a + bxbxbxbxbxbxbxbx,,gdje nezavisna varijabla x predstavlja vrijeme, a zavisna varijagdje nezavisna varijabla x predstavlja vrijeme, a zavisna varijabla bla y pojavuy pojavu

ishodiishodiishodiishodiššššte trenda na sredini te trenda na sredini te trenda na sredini te trenda na sredini vremenskog nizavremenskog nizavremenskog nizavremenskog niza

ishodiishodiishodiishodiššššte trenda na pote trenda na pote trenda na pote trenda na početku etku etku etku vremenskog nizavremenskog nizavremenskog nizavremenskog niza

2

1

2

1

xnx

yxnyx

bn

t

t

n

t

tt

⋅−

⋅⋅−

=

∑

∑

=

= bxya ⋅−=

∑

∑

=

==n

t

t

n

t

tt

x

yx

b

1

2

1 ya =

• pretvaranje godišnje jednadžbe trenda u mjesečnu jednadžbu trenda:

– intervalnog vremenskog niza:

– trenutačnog vremenskog niza:

• stupanj reprezentativnosti linearnog trenda mjeri se apsolutnim i relativnim mjerama disperzije:

– varijanca i standardna devijacija:

– koeficijent varijacije:

xba

y14412

ˆ +=

xb

ay12

ˆ +=

( )2

ˆˆ1

2

2

ˆ ,

ˆ

yy

n

t

tt

yn

yy

σσσ =

−

=

∑=

100ˆ

ˆ ⋅=y

Vy

y

σ

PRIMJER 1.PRIMJER 1.PRIMJER 1.PRIMJER 1.PRIMJER 1.PRIMJER 1.PRIMJER 1.PRIMJER 1.

Broj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzećću X (stanje potkraj godine)u X (stanje potkraj godine)

197197231231269269302302330330365365407407440440470470500500ZaposleniZaposleniZaposleniZaposleniZaposleniZaposleniZaposleniZaposleni

20072007200620062005200520042004200320032002200220012001200020001999199919981998GodinaGodinaGodinaGodinaGodinaGodinaGodinaGodina

Izvor: evidencija poduzeća

(a) Prikaz navedenog niza linijskim grafikonom

Broj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzeću Xu Xu Xu X

150150150150

200200200200

250250250250

300300300300

350350350350

400400400400

450450450450

500500500500

550550550550

1998199819981998 1999199919991999 2000200020002000 2001200120012001 2002200220022002 2003200320032003 2004200420042004 2005200520052005 2006200620062006 2007200720072007

zapo

slen

iza

posl

eni

zapo

slen

iza

posl

eni

(b) jednad(b) jednadžžba linearnog trenda s procijenjenim parametrima:ba linearnog trenda s procijenjenim parametrima:

3853853853853853853853851650816508165081650816508165081650816508555555555555555535113511351135113511351135113511ΣΣ

10010019701970101019719720072007

8181207920799923123120062006

6464215221528826926920052005

4949211421147730230220042004

3636198019806633033020032003

2525182518255536536520022002

1616162816284440740720012001

99132013203344044020002000

449409402247047019991999

115005001150050019981998

xxxxxxxxtttttttt22222222xxxxxxxxttttttttyyyyyyyyttttttttxxxxxxxxttttttttyyyyyyyytttttttt

varijabla varijabla varijabla varijabla varijabla varijabla varijabla varijabla vrijemevrijemevrijemevrijemevrijemevrijemevrijemevrijemezaposlenizaposlenizaposlenizaposlenizaposlenizaposlenizaposlenizaposlenigodinagodinagodinagodinagodinagodinagodinagodina

970.332

1

2

1 −=

⋅−

⋅⋅−

=

∑

∑

=

=

xnx

yxnyx

bn

t

t

n

t

tt

933.537=⋅−= bxya

xbxay 970.33933.537ˆ −=+=

model linearnog trenda:model linearnog trenda:model linearnog trenda:model linearnog trenda:

ishodište je 31.12.1998.

jedinica za x je 1 godina

jedinica za y je 1 osoba

Parametar bParametar bParametar bParametar b pokazuje da se broj zaposlenih smanjivao u prosjeku linearno (zaokruženo) za 34 godišnje, a parametar aparametar aparametar aparametar a vrijednost trenda zaposlenika za razdoblje koje prethodi prvom u nizu

(c) trend prikazan na grafikonu (a)(c) trend prikazan na grafikonu (a)

Broj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzeBroj zaposlenih u poduzeću Xu Xu Xu X

150150150150

200200200200

250250250250

300300300300

350350350350

400400400400

450450450450

500500500500

550550550550

1998199819981998 1999199919991999 2000200020002000 2001200120012001 2002200220022002 2003200320032003 2004200420042004 2005200520052005 2006200620062006 2007200720072007

zapo

slen

iza

posl

eni

zapo

slen

iza

posl

eni

96,8296,8296,8296,820,020,020,020,02555555553511351135113511Σ

1,52-1,23198,23101972007

1,45-1,20232,292312006

7,992,83266,1782692005

3,451,86300,1473022004

16,92-4,11334,1163302003

9,50-3,08368,0853652002

24,474,95402,0544072001

15,823,98436,0234402000

0,000,01469,9924701999

15,71-3,96503,9615001998

xxxxttttyyyytttt

rezidualna rezidualna rezidualna rezidualna odstupanjaodstupanjaodstupanjaodstupanja

trend trend trend trend vrijednostvrijednostvrijednostvrijednost

varijabla varijabla varijabla varijabla vrijemevrijemevrijemevrijeme

zaposlenizaposlenizaposlenizaposlenigodinagodinagodinagodina

ttttyyyy tttttttt yyyy----yyyy ˆ ( )2ˆ tttttttt yyyy----yyyy

(d) ocjena reprezentativnostitrenda:

apsolutna mjera: standardna devijacija

relativna mjera: koeficijent varijacije

( )11.3

ˆ1

2

ˆ =

−

=

∑=

n

yyn

t

tt

yσ

%89.0100ˆ

ˆ =⋅=y

Vy

y

σ

standardna devijacija i koeficijent

varijacije upućuju na veliku

reprezentativnost trenda

(e) o(e) oččekivani broj zaposlenih (prema trendu) potkraj 2010.ekivani broj zaposlenih (prema trendu) potkraj 2010.

(f) broj zaposlenih (prema trendu) potkraj 1996.(f) broj zaposlenih (prema trendu) potkraj 1996.

(g) o(g) oččekivani broj zaposlenih (prema trendu) potkraj travnja ekivani broj zaposlenih (prema trendu) potkraj travnja 2010.2010.

–– potrebno je prvo godipotrebno je prvo godiššnju jednadnju jednadžžbu linearnog trenda bu linearnog trenda transformirati u mjesetransformirati u mjeseččnu:nu:

9613970.33933.537)13(ˆ ≈⋅−=y

60613970.33933.537)2(ˆ ≈⋅−=−y

xxba

y 236.0828.4414412

ˆ −=+=

ishodište je 31.12.1998.jedinica za x je 1 mjesecjedinica za y je 1 osoba

99148236.0828.44)148(ˆ ≈⋅−=y

PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA:

1.1. ŠŠto je trend? Kakav trend moto je trend? Kakav trend možže biti?e biti?

2.2. Linearni trend.Linearni trend.

3.3. Reprezentativnost linearnog trenda.Reprezentativnost linearnog trenda.