2. Fazni portret dvodimenzionalnog linearnogDS sa konstanim koeficijentima

Homogen linearan sistema DJ sa konstantnim koeficijentima:

(1)dy1dt

= a11y1 + a12y2,dy2dt

= a21y1 + a22y2

(2) Y ′(t) = AY (t), A =

(a11 a12a21 a22

)Ako su λ1,2 sopstvene vrednosti matrice A, a v1,2 odgovarajuci sopstveni vektori,

za novu bazu prostora R2 uzimamo {v1, v2}. Matrica tranformacije T je matricacije su kolone vektori v1 = (v11, v12), v2 = (v21, v22), odnosno

T =

(v11 v21v12 v22

).

Matrica J = T−1AT sistema u kanonskom obliku

(3) X ′(t) = JX(t)

moze biti jednog od oblika

J1 =

(λ1 00 λ2

)J2 =

(α β

−β α

)

J3 =

(λ1 00 λ1

)J4 =

(λ1 10 λ1

)gde su λ1,2, α, β, µ realne konstante. Matrica J1 ima dva realne razlicite sopstvenevrednosti, J2 ima kompleksne sopstvene vrednosti, dok matrice J3 i J4 imajudvostruku realnu sopstvenu vrednost.

Odredicemo najpre fazni portret sistema (3) u svakom od slucajeva:

? J = J1, odnosno kada matrica A ima dva realne razlicite sopstvene vrednosti;

? J = J2, odnosno kada matrica A ima par konjugovano kompleksnih sop-stvenih vrednosti;

? J = J3 ili J = J4, odnosno kada matrica A ima dvostruku realnu sopstvenuvrednost.

1

1 Sopstvene vrednosti matrice A su realne i razlicite: λ1,2 ∈ R, λ1 6= λ2

Kanonski oblik sistema (2) je X ′(t) = J1X(t), odnosno

(4) x′1 = λ1x1, x′2 = λ2x2 ,

cije je opste resenje

X(t) = c1eλ1t

(10

)+ c2e

λ2t

(01

),

odnosnox1(t) = c1e

λ1t, x2(t) = c2eλ2t,

sto su parametarske jednacine faznih trajektorija. Fazne trajektorije su integralnekrive DJ

dx2dx1

=x′2(t)

x′1(t)=λ2x2λ1x1

odnosno |x2|λ1 = k|x1|λ2.Dovoljno je razmatrati samo ponasanje trajektorija u prvom kvadrantu (za

c1 ≥ 0, c2 ≥ 0), jer se trajektorije simetricno preslikavaju na ostala tri kvadranta.

1A Neka je λ1 < λ2 < 0. Za c1 > 0, c2 > 0 vazi

x1(t)→ 0, x2(t)→ 0 kad t→∞,x1(t)→∞, x2(t)→∞ kad t→ −∞.

Kada su obe sopstvene vrednosti negativne, x1(t) i x2(t) eksponencijalno opadajukada t → ∞, ali kako je λ1 < λ2, x2(t) opada mnogo sporije nego x1(t) - kadat→∞, c2e

λ2t(0, 1) je dominantan sabirak u opstem resenju kada t→∞. S drugestrane, kada t → −∞, x1(t) i x2(t) eksponencijalno rastu pri cemu x1(t) rastemnogo brze nego x2(t) - c1e

λ1t(1, 0) je dominantan sabirak u opstem resenju kadat→ −∞. Trajektorije se priblizavaju koordinatnom pocetku, a da bi dali odgovorna pitanje kako, odredimo koeficijent pravca tangente fazne trajektorije:

dx2dx1

=c2c1· λ2λ1e(λ2−λ1)t →∞ kad t→∞ .

dx2dx1

=c2c1· λ2λ1e(λ2−λ1)t → 0 kad t→ −∞ .

Dakle, sve trajektorije se priblizavaju koordinatnom pocetku tangentno na x2−osukad t→∞ i ulivaju se u koordinatni pocetak (slika 1-(a)), a udaljavaju se od njegakad t→ −∞ paralelno x1−osi.

2

Polozaj ravnoteze (0, 0) naziva se stabilan cvor ∼ stable node = sink .

Za c1 = c2 = 0 trajektorija je tacka (0, 0).Za c1 > 0, c2 = 0 trajektorija je pozitivna poluosa x1, a za c1 = 0, c2 > 0

pozitivna poluosa x2.

⊗ Pravolinijske trajektorije: Poluose x1 = 0, x2 ≶ 0 i x2 = 0, x1 ≶ 0 poredtoga sto su trajektorije sadrze tkz. pravolinijske trajektorije: trajektorijekoje polaze sa neke od koordinatnih osa ostaju zauvek na toj pravoj, pri cemu duznje eksponencijalno rastu ili opadaju. Pravolinijske trajektorije c1e

λ1t(1, 0) leze nax1−osi i teze ka (0, 0) kada t→∞, dok pravolinijske trajektorije c2e

λ2t(0, 1) lezena x2−osi i teze ka (0, 0) kada t→∞.

⊗ Stabilni (nestabilni) pravci: U ovom slucaju, obe koordinatne ose su sta-bilni pravci, jer pravolinijske trajektorije duz njih eskponencijalno opadaju ka(0, 0) - to su stabilne mnogostrukosti DS (4).

⊗ Spori (brzi) pravci: Osu x1 nazivamo brzi pravac, jer x1(t) koordinata resenjaX(t) tezi 0 kada t→∞ mnogo brze nego x2(t) koordinata. Analogno, osu x2 nazi-vamo spori pravac. Tacnije pod sporim pravcem podrazumevamo pravac odredensopstvenim vektorom koji je odgovarajuci sopstvenoj vrednosti sa manjom apso-lutnom vrednoscu.

Slika 1: Stabilan i nestabilan cvor

1B Neka je 0 < λ2 < λ1. Tada za c1 > 0, c2 > 0 vazi

x1(t)→∞, x2(t)→∞ kad t→∞x1(t)→ 0, x2(t)→ 0 kad t→ −∞.

Raspored trajektorija ostaje isti, samo se menja njihov pravac sa rastompromenljive t. Kako se trajektorije udaljavaju od tacke (0, 0) kad t → ∞, oneizviru iz koordinatnog pocetka, polozaj ravnoteze se naziva nestabilan cvor

3

∼ unstable node = source (slika 1-(b)). U ovom slucaju, obe koordinatne osesu nestabilni pravci, odnosno nestabilne mnogostrukosti DS (4), jer se pravolini-jske trajektorije duz njih udaljavaju od koordinatnog pocetka. Kako je λ2 < λ1,x1(t) tezi∞, odnosno udaljava se od (0, 0), mnogo brze nego x2(t). Trajektorije seudaljavaju od koordinatnog pocetka tangentno na spori pravac (x2−osu), odnosnopravac odreden sopstvenim vektorom e2 = (0, 1) koji je odgovarajuci manjoj poz-itivnoj sopstvenoj vrednosti.

Generalno, ako su sopstvene vrednosti istog znaka trajektorije se uvek pri-blizavaju koordinatnom pocetku, ili se udaljavaju od njega, tangentno na sporipravac (spori sopstveni vektor) - odgovarajuci sopstvenoj vrednosti sa manjomapsolutnom vrednoscu.

Za fazni portet sistema (2), ako su λ2 < λ1 < 0 sopstvene vrednosti matriceA, a v1 = (v11, v12), v2 = (v21, v22) odgovarajuci sopstveni vektori, opste resenjesistema je

Y (t) = c1eλ1t

(v11v12

)+ c2e

λ2t

(v21v22

).

Saglasno sporom i brzom pravcu DS (4), sopstveni vektor v1 (v2) naziva se spori(brzi) sopstveni vektor DS (2), odnosno pravac odreden sporim (brzim( sopstvenimvektorom naziva se spori (brzi) sopstveni pravac DS. Oba pravca odredena sop-stvenim vektorima v2 i v1 su stabilni i sadrze redom pravolinijske trajektorije

c2eλ2t

(v21v22

), c1e

λ1t

(v11v12

)koje se priblizavaju stacionarnoj tacki (0, 0) kada t → ∞. Koeficijent pravcatrajektorije je onda

dy2dy1

=λ1c1e

λ1tv12 + λ2c2eλ2tv22

λ1c1eλ1tv11 + λ2c2eλ2tv21

=λ1c1v12 + λ2c2e

(λ2−λ1)tv22λ1c1v11 + λ2c2e(λ2−λ1)tv21

→ v12v11

kad t→∞ ,

ako je c1 6= 0. Kako je v12/v11 pravac sopstvenog vektora v1 odgovarajuceg sop-stvenoj vrednosti λ1, sve trajektorije (izuzev pravolinijskih trajektorija na brzompravcu - za c1 = 0) priblizavaju se koordinatnom pocetku kada t→∞ tangentnona pravac sporog vektora v1. Sa druge strane,

dy2dy1

=λ1c1e

(λ1−λ2)tv12 + λ2c2v22λ1c1e(λ1−λ2)tv11 + λ2c2v21

→ v22v21

kad t→ −∞

4

ako je c2 6= 0, tako da se sve trajektorije (izuzev pravolinijskih trajektorija nasporom pravcu - za c2 = 0) udaljavaju od koordinatnog pocetka kada t → −∞paralelno brzom vektoru v2.

Slika 2: Stabilan cvor DS (2) : y1 je spori stabilan pravac, y2 je brzi stabilan pravac

Na Slici 2 prikazan je tipican fazni portret sistema (2) u slucaju kada su obesopstvene vrednosti negativne i λ2 < λ1 < 0.

Slika 3: Stabilan i nestabilan cvor DS: v1 je spori pravac, v2 je brzi pravac

Na Slici 3 prikazan je tipican fazni portret DS (2) u slucaju kada su:(a) obe sopstvene vrednosti negativne i λ2 < λ1 < 0;(b) obe sopstvene vrednosti pozitivne i 0 < λ1 < λ2.

Slika 4: Topoloski konjugovani fazni portret DS X ′ = JX i Y ′ = AY kada je λ2 < λ1 < 0,

5

Primetimo da fazni portreti sistema (2) i (3) nisu identicni, ali se tip polozajaravnoteze ne menja i ocuvana je orjentacija trajektorija. Fazni portreti sistema(2) i (3) su topoloski konjugovani (videti Definiciju 1 i Teoremu 1).

Primer 2.1. Neka je

A =

(−1 01 −2

).

Za sistem Y ′ = AY , sopstvene vrednosti matrice A su λ1 = −1 i λ2 = −2, aodgovarajuci sopstveni vektori su v1 = (1, 1) i v2 = (0, 1). Opste resenje sistemaje (

y1(t)y2(t)

)= c1

(11

)e−t + c2

(01

)e−2t

Matrica transformacije je

T =

(1 01 1

)=⇒ J = T−1AT =

(−1 00 −2

)

Slika 5: Fazni portret DS X ′ = JX i Y ′ = AY u Primeru 2.1.- (0, 0) je stabilan cvor

Definisimo preslikavanje h : R2 → R2, h(x) = T−1x. Ako je y(t) = eAty0 resenjeDS Y ′ = AY kroz tacku x0, onda je

x(t) = h(y(t)) = T−1y(t) = T−1eAty0 = eJtT−1y0

resenje DS X ′ = JX kroz tacku T−1x0. Preslikavanje h je ocigledno homeomor-fizam i preslikava trajektorije DS Y ′ = AY u trajektorije DS X ′ = JX, pri cemuje ocuvana vremenska parametrizacija, jer je h◦eAt = eJt◦h. Dakle, fazni portretisistema Y ′ = AY i X ′ = JX su topoloski konjugovani i dati su na Slici 5.

Tacka (0, 0) je stabilan cvor, a kako je λ2 < λ1 < 0 osa x1 je spori pravac. Svetrajektorije sistema X ′ = JX se priblizavaju koordinatnom pocetku tangentnona x1−osu. Sa druge strane, sopstveni vektor v1 = (1, 1) je spori sopstveni vektor

6

DS Y ′ = AY , a sve fazne trajektorije tog sistema se priblizavaju koordinatnompocetku tangentno na pravu y2 = y1.

Slika 6: Vektorsko polje i tok DS u Primeru 2.1.

1C Neka je λ1 < 0 < λ2. Za c1 > 0, c2 > 0 je

x1(t)→ 0, x2(t)→∞ kad t→∞,x1(t)→∞, x2(t)→ 0 kad t→ −∞. (t)

Dakle, x1(t) eksponencijalno opada, dok x2(t) eksponencijalno raste. Kako jeλ1 < 0, pravolinijske trajektorije c1e

λ1t(1, 0) leze na x1−osi i teze ka (0, 0) kadat → ∞, pa je osa x1 stabilan pravac - stabilna mnogostrukost DS (4). S drugestrane, λ2 > 0, tako da se pravolinijske trajektorije c2e

λ2t(0, 1) udaljavaju od (0, 0)kada t→∞, pa je osa x2 nestabilan pravac - nestabilna mnogostrukost DS (4).

Slika 7: Sedlo

U tom slucaju tacka (0, 0) se naziva sedlo ∼ saddle (slika 7-(a)). Za svakipolozaj ravnoteze koji je sedlo, trajektorije se priblizavaju nestabilnom pravcukada t → ∞, odnosno stabilnom pravcu kada t → −∞, izuzev pravolinijskihtrajektorija na stabilnom i nestabilnom pravcu.

Za DS (2), neka su λ2 < 0 < λ1 sopstvene vrednosti matrice A, a v1 = (v11, v12),v2 = (v21, v22) odgovarajuci sopstveni vektori. Nestabilan pravac je odreden sop-stvenim vektorom v1 i sadrzi pravolinijske trajektorije Y1(t) = c1e

λ1tv1 koje se

7

udaljavaju od polozaja ravnoteze (0, 0) kada t → ∞. Stabilan pravac je odredensopstvenim vektorom v2 i sadrzi pravolinijske trajektorije Y2(t) = c2e

λ2tv2 kojese priblizavaju polozaju ravnoteze (0, 0) kada t → ∞. Na Slici 7-(b) prikazan jetipican fazni portret sistema (2) u slucaju kada su sopstvene vrednosti razlicitogznaka λ2 < 0 < λ1. Primetimo da za c2 6= 0

dy2dy1

=λ1c1e

(λ1−λ2)tv12 + λ2c2v22λ1c1e(λ1−λ2)tv11 + λ2c2v21

→ v22v21

kad t→ −∞

odnosno Y (t) ∼ c2eλ2tv2 = Y2(t), t→ −∞, a za c1 6= 0

dy2dy1

=λ1c1v12 + λ2c2e

(λ2−λ1)tv22λ1c1v11 + λ2c2e(λ2−λ1)tv21

→ v12v11

kad t→∞ ,

odnosno Y (t) ∼ c1eλ1tv1 = Y1(t), t → ∞. Dakle, sve ostale fazne trajektorije

(sem pravolinijskih trajektorija na stabilnom i nestabilnom pravcu) priblizavajuse nestabilnom pravcu kada t→∞ i stabilnom pravcu kada t→ −∞.

Primer 2.2. Za sistem Y ′ = AY , gde je A =

(1 14 −2

), sopstvene vrednost

matrice A su λ1 = 2 i λ2 = −3, a odgovarajuci sopstveni vektori su v1 = (1, 1) iv2 = (−1, 4). Matrica transformacije je

T =

(1 −11 4

)=⇒ J = T−1AT =

(2 00 −3

)

Slika 8: Fazni portret DS X ′ = JX i Y ′ = AY u Primeru 2.2. - (0, 0) je sedlo

Koordinatna osa x1 je nestabilan pravac, jer je x1(t) = c1e2t rastuce resenje

sistema kada t→∞, dok je koordinatna osa x2 stabilan pravac sistema X ′ = JX,jer je x2(t) = c2e

−3t opadajuce resenje sistema kada t→∞ (slika 8-(a).) Stabilanpravac sistema Y ′ = AY je odreden vektorom v2, a pravac odreden vektorom v1

8

nestabilan pravac. Trajektorije se priblizavaju nestabilnom pravcu kada t→∞ istabilnom pravcu kada t→ −∞ (slika 8-(b)).

Na Slici 9 prikazani su tokovi DS (a) x′1 = 2x2, x′2 = −3x2 i (b) x′1 = −3x1, x

′2 =

2x2.

Slika 9: Tokovi DS (a) x′1 = 2x1, x′2 = −3x2 i (b) x′1 = −3x1, x

′2 = 2x2

Slika 10: Fazni portret linearnog DS u ravni kada su sopstvene vrednosti matrice realne i razlicite

1D Jedna od sopstvenih vrednosti je jednaka nuli: λ2 6= 0, λ1 = 0. Ovimsopstvenim vrednostima odgovaraju linearno nezavisni sopstveni vektori v1 i v2matrice A, a opste resenje sistema (2) je Y (t) = c1v1 + c2e

λ2tv2. Koordinate(y1(t), y2(t)) vektora Y (t) u bazi vektora v1 i v2 su y1(t) = c1, y2(t) = c2e

λ2t.

9

Slika 11: Neizolovani cvorovi

U tom slucaju trajektorije su poluprave paralelne pravcu koji je odreden sop-stvenim vektorom v2, koje se za λ2 < 0 zavrsavaju na toj pravoj, a za λ2 > 0 po-laze sa te prave. Sve tacke prave odredjene sopstvenim vektorom v1 su neizolovanipolozaji ravnoteze sistema (2) koji se nazivaju neizolovani cvorovi, stabilni zaλ2 < 0 i nestabilni za λ2 > 0 (slika 11) - stabilni neizolovani cvor = stable saddle-node = nodal sink-saddle, nestabilni neizolovani cvor = unstable saddle-node =nodal source-saddle.

Primer 2.3. Za svaki od sledecih sistema Y ′ = A · Y :

(1)y′1 = 5y1 + 3y2y′2 = −4y1 − 3y2

(2)y′1 = y1 − 2y2y′2 = 3y1 − 4y2

(3)y′1 = −y1 − 2y2y′2 = 3y1 + 4y2

(i) Naci sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice A.(ii) Naci matricu T koja transformise matricu A u kanonski oblik i odrediti

matricu J kanonskog oblik sistema;(iii) Skicirati fazni portret za oba sistema Y ′ = A · Y i X ′ = JX.

Resenje: (1) Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice A su: λ1 = 3, λ2 =−1, a v1 = (−3, 2)T i v2 = (−1, 2)T . Matrica transformacije T cije su kolonesopstveni vektori i matrica kanonskog oblika sistema su:

T =

(−3 −12 2

); J = T−1AT =

(3 00 −1

)

10

-2 -1 1 2

-2

-1

1

(a) X ′ = JX

T−→

-2 -1 1 2

-2

-1

1

(b) Y ′ = AY

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(c) X ′ = JX

T−→ -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(d) Y ′ = AY

Slika 12: Primer 2.3-(1) : sedlo

(2) Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice A su λ1 = −2, λ1 = −1i v1 = (2, 3)T , v2 = (1, 1)T . Matrica T cije su kolone sopstveni vektori i matricasistema u kanonskom obliku su

T =

(2 13 1

)⇒ J = T−1AT =

(−2 00 −1

)(3) Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice A su λ1 = 2, λ1 = 1 i

v1 = (−2, 3)T , v2 = (−1, 1)T . Matrica T cije su kolone sopstveni vektori je

T =

(−2 −13 1

)⇒ J = T−1AT =

(2 00 1

)

11

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(a) X ′ = JX

T−→

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(b) Y ′ = AY

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(c) X ′ = JX

T−→ -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(d) Y ′ = AY

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(e) X ′ = JX

T−→

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(f) Y ′ = AY

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(g) X ′ = JX

T−→ -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(h) Y ′ = AY

Slika 13: (a)-(d) :Primer 2.3-(2) - stabilan cvor; (e)-(h) : Primer 2.3-(3) - nestabilan cvor12

2 Sopstvene vrednosti matrice A su kompleksne: λ1 = λ2 = α + iβ

Neka su v1,2 = a ± ib sopstveni vektori odgovarajuci sopstvenim vrednostimaλ1,2 = α± iβ matrice A. Matrica kanonskog oblik sistema je matrica J2, odnosnosistem u kanonskom obliku je

x′1 = αx1 + βx2, x′2 = −βx1 + αx2 .

Sopstvene vrednosti matrice J2 su λ1,2 = α ± iβ, dok su odgovarajuci sopstvenivektori h1,2 = (1,±i). Dobijamo kompleksno resenje

X(t) = e(α+iβ)t(

1i

)= eαt

(cos βt− sin βt

)+ ieαt

(sin βtcos βt

)= XRe(t) + iXIm(t) ,

pa su XRe(t) i XIm(t) linearno nezavisna resenja, a opste resenje je

X(t) = c1eαt

(cos βt− sin βt

)+ c2e

αt

(sin βtcos βt

)=

(eαt(c1 cos βt+ c2 sin βt

)eαt(−c1 sin βt+ c2 cos βt

) )Dakle, parametarske jednacine faznih trajektorija sistema X ′ = J2X su

x1(t) = eαt(c1 cos βt+ c2 sin βt

), x2(t) = eαt

(−c1 sin βt+ c2 cos βt

)odnosno

x21(t) + x22(t) = C2e2αt .

Fazni portret zavisi od vrednosti α:

? ako je α = 0, resenja su periodicna sa periodom 2π/β, a trajektorije seobrcu oko koordinatnog pocetka (kruznice ili elipse sa centrom u (0, 0)) - polozajravnoteze se naziva centar (slika 14-(a)). Kruznice se okrecu u smeru kazaljkina satu ako je β > 0, a suprotno kretanja kazaljki na satu za β < 0.

(a) centar (b) nestabilan fokus (c) stabilan fokus

Slika 14: Fazni portret DS (3) kada su sospstvene vrednosti matrice konjugovano kompleksneλ1 = λ2 = α + iβ: (a) α = 0; (b) α > 0; (c) α < 0

13

Clan eαt transformize kruznice u spirale koje ili idu ka koordinatnom pocetkuili se udaljavaju od njega

? ako je α > 0, trajektorije se udaljavaju od polozaja ravnoteze, a tacka (0, 0)naziva se nestabilan fokus ∼ unstable focus = spiral source (slika 14-(b).)

? ako je α < 0, trajektorije ”uviru” u koordinatni pocetak, a polozaja ravnotezese naziva stabilan fokus ∼ stable focus = spiral sink (slika 14-(c).)

(a) centar (b) nestabilan fokus (c) stabilan fokus

Slika 15: Fazni portret DS (2) kada su sospstvene vrednosti matrice konjugovano kompleksneλ1 = λ2 = α + iβ: (a) α = 0; (b) α > 0; (c) α < 0

Opste resenje DS (2) je

Y (t) = eαt[c1(a cos βt− b sin βt) + c2(a sin βt+ b cos βt)

]a fazni portret je u zavisnosti od α prikazan na Slici 15.

Primer 2.4. Za svaki od sledecih sistema Y ′ = A · Y

(a) A =

(1 3−6 5

)(b) A =

(1 −12 3

)(b) A =

(3 −52 −3

)(1) Naci sopstvene vrednosti i sopstvene vektore matrice A.(2) Naci matricu T koja transformise matricu A u kanonski oblik i odrediti

matricu J kanonskog oblik sistema;(3) Skicirati fazni portret za oba sistema Y ′ = A · Y i X ′ = JX.

Resenje: (A) Sopstvene vrednosti su λ1,2 = −2 ± 3i i sopstveni vektori su(−1

2∓ i

2, 1

).

A =

(1 3−6 −5

)T =

(−1/2 −1/2

1 0

)J =

(−2 3−3 −2

)

14

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(a) Y ′ = AY

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(b) X ′ = JX

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(c) Y ′ = AY

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(d) X ′ = JX

Slika 16: Primer 2.4-(a) : stabilan fokus α = −2 < 0

(B) Sopstvene vrednosti su λ1,2 = 2± i i sopstveni vektori su

(−1

2± i

2, 1

).

A =

(1 −12 3

)T =

(−1/2 1/2

1 0

)J =

(2 1−1 2

)

(C) Sopstvene vrednosti su λ1,2 = ±i i sopstveni vektori su

(3

2± i

2, 1

).

A =

(3 −52 −3

)T =

(3/2 1/21 0

)J =

(0 1−1 0

)

15

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

(a) Y ′ = AY

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

(b) X ′ = JX

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(c) Y ′ = AY

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(d) X ′ = JX

Slika 17: Primer 2.4-(b) : nestabilan fokus α = 2 > 0

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

(a) Y ′ = AY

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

(b) X ′ = JX

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(c) Y ′ = AY

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(d) X ′ = JX

Slika 18: Primer 2.4-(c) : centar α = 0

16

3 Dvostruka realna sopstvena vrednost matrice A: λ1 = λ2 ∈ R

(A) Pretpostavimo da sopstvenoj vrednosti λ1 odgovaraju dva linearno neza-visna sopstvena vektora v1 i v2. Tada matrica kanonskog oblika sistema mora bitioblika

J3 =

(λ1 00 λ1

),

a sistem X ′ = J3X ima opste resenje

x1(t) = c1eλ1t, x2(t) = c2e

λ1t.

Ako je λ1 = 0, trajektorije su x1 = c1, x2 = c2, odnosno tacke (c1, c2) u R2 kojesu istovremeno i polozaji ravnoteze DS. Prema tome, citava fazna ravan se sastojiiz polozaja ravnoteze DS.

Ako je λ1 6= 0, trajektorije su poluprave koje pocinju iz koordinatnog pocetkaili se zavrsavaju u koordinatnom pocetku, kao i tacka (0, 0) za c1 = c2 = 0.

(a) stabilna zvezda (b) nestabilna zvezda

Slika 19

Za λ1 < 0 sledi x1(t)→ 0, x2(t)→ 0 kad t→∞, tako da trajektorije ,,uviru”u tacku (0, 0) koja se u ovom slucaju naziva stabilna zvezda ∼ stable star(slika 19-(a)).

Za λ1 > 0 trajektorije imaju suprotan pravac, a polozaj ravnoteze (0, 0) jenestabilna zvezda ∼ unstable star (slika 19-(b)).

(B) Pretpostavimo da sopstvenoj vrednosti λ1 odgovaraja samo jedan sop-stveni vektor v1, tj. Av1 = λ1v1. Za drugi vektor baze v2, linearno nezavis-tan sa v1, uzimamo generalisani vektor, koji se dobija iz (A − λ1I)v2 = v1, tj.(A − λ1I)2v2 = 0. Ako je linearno preslikavanje definisano sa Tej = vj, j = 1, 2imamo. Onda je

(T−1AT )e1 = T−1Av1 = T−1(λ1v1) = λ1T−1vj = λ1 e1 = (λ1, 0),

17

(T−1AT )e2 = T−1Av2 = T−1(v1 + λ1v2) = e1 + λ1 e2 = (1, λ1)

tako da je matrica T−1AT oblika J4. Sistem u kanonskom obliku X ′ = J4X je

x1′ = λ1x1 + x2, x2

′ = λ1x2,

cije je opste resenje

x1(t) = (c1 + c2t) eλ1t, x2(t) = c2e

λ1t,

odnosno

X(t) = (c1 + c2t)eλ1t

(10

)+ c2e

λ1t

(01

)= c1e

λ1t

(10

)+ c2e

λ1t

(t1

).

Ako je c1 = c2 = 0, trajektorija je tacka (0, 0).Ako je λ1 < 0, za c2 = 0, c1 > 0, trajektorija je poluosa x2 = 0, x1 > 0,

odnosno za c2 = 0, c1 < 0, trajektorija je x2 = 0, x1 < 0. Pravolinijske trajektorijec1e

λ1t(1, 0) leze na x1−osi i teze ka (0, 0) kada t→∞, pa je x1−osa jedini stabilnipravac (stabilna mnogostrukost) DS X ′ = J4X. Ako je λ1 < 0, za c2 6= 0 je

x1(t)→ 0, x2(t)→ 0 kada t→∞

idx2dx1

=c2λ1

(c1 + c2t)λ1 + c2→ 0 kada t→ ±∞

Trajektorije se priblizavaju koordinatnom pocetku tangentno na x1−osu kadat→∞, a udaljavaju se od koordinatnog pocetka paralelno x1−osi kada t→ −∞.Tacka (0, 0) je stabilan degenerisani cvor ∼ degenerative nodal sink (stabledegenerative node).

Ako je λ1 > 0, analogno se zakljucuje da su trajektorije iste kao u prethodnomslucaju, samo su suprotne orijentacije. Tacka (0, 0) je nestabilan degeneri-

sani cvor ∼ degenerative nodal sink (unstable degenerative node).Ako je λ1 = 0, tada je x1(t) = c1 + c2t, x2(t) = c2. Za c2 6= 0 trajektorije su

prave paralelne osi x1. Za c2 = 0 sve tacke x1−ose su polozaji ravnoteze.

Za fazni portet sistema (2), opste resenje sistema je

Y (t) = c1eλ1t

(v11v12

)+ c2e

λ1t

[t

(v11v12

)+

(v21v22

)],

Ako je λ1 < 0, pravac odreden sopstvenim vektorom v1 je stabilan pravac (stabilnamnogostrukost DS) i sadrzi pravolinijske trajektorije c1e

λ1tv1 koje eksponencijalno

18

opadaju ka PR (0, 0) kada t→∞. Kako su (y1(t), y2(t)) koordinate vektora Y (t)u bazi {v1, v2}:

y1(t) = (c1 + c2t)eλ1t, y2(t) = c2e

λ1t,

dobijamoy1(t)→ 0, y2(t)→ 0 kad t→∞

idy2dy1

=λ1c1v12 + c2(λ1t+ 1)v12 + c2λ1v22λ1c1v11 + c2(λ1t+ 1)v11 + c2λ1v21

→ v12v11

kad t→ ±∞ .

Dakle, trajektorije se priblizavaju koordinatnom pocetku tangentno na stabilanpravac odreden sopstvenim vektorom v1 = (v11, v12) kad t → ∞, a udaljavajuse od koordinatnog pocetka paralelno sa stabilnim pravcem kad t → −∞ (slika20-(a)).

(a) stabilan degenerisani cvor (b) nestabilan degenerisani cvor

Slika 20

Ako je λ1 > 0, pravac odreden sopstvenim vektorom v1 = (v11, v12) je nestabilanpravac (nestabilna mnogostrukost DS) i sadrzi pravolinijske trajektorije koje seudaljavaju od (0, 0) kada t → ∞, dok se sve ostale fazne trajektorije ”izlaze”iz koordinatnog pocetka tangentno na pravac odreden sopstvenim vektorom v1i udaljavaju se od njega paralelno sa nestabilnim pravcem kad t → +∞ (slika20-(b)).

Ako je λ1 = 0, tada je y1(t) = c1 + c2t, y2(t) = c2. Za c2 6= 0 trajektorije suprave paralelne pravoj koja je odredena sopstvenim vektorom v1. Za c2 = 0 svetacke te prave su neizolovani PR.

Primer 2.5. Za svaki od sledecih sistema X ′ = A ·X skicirati fazni portret:

(a) A =

(−2 00 −2

)(b) A =

(2 00 2

)19

(c) A =

(−6 −55 4

)(d) A =

(3 1−4 −1

)Resenje: (A i B): Fazni potreti su prikazani na slici 21-(a) i slici 21-(b), a tok

ova dva DS prikazani su na slici 22-(a) i slici 22-(b).

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(a) stabilna zvezda

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(b) nestabilna zvezda

Slika 21: Fazni portret DS u Primeru 2.5. (a) i (b)

(a) stabilna zvezda (b) nestabilna zvezda

Slika 22: Tok DS u Primeru 2.5. (a) i (b)

(C): Sopstvene vrednosti su λ1 = λ2 = −1, a sopstveni vektor je v1 = (−1, 1)T .Drugi vektor baze v2 linearno nezavisan sa sopstvenim vektorom v1 dobijamo iz(A+ I)v2 = v1, odakle je v2 = (1/5, 0)T . Matrica tranformacije je

T =

(−1 1

5

1 0

)=⇒ JC = T−1AT =

(−1 10 −1

)Fazni potret DS X ′ = JCX prikazan je na slici 23-(a). Fazni potret DS Y ′ = ACYprikazan je na slici 24-(a).

20

(a) stabilan degenerisani cvor (b) nestabilan degenerisanicvor

Slika 23: Fazni portret kanonskog oblika sistema u Primeru 2.5 (c) i (d)

(a) stabilan degenerisani cvor (b) nestabilan degenerisanicvor

Slika 24: Fazni portret DS u Primeru 2.5. (c) i (d)

21

(D): Sopstvene vrednosti su λ1 = λ2 = 1, a sopstveni vektor je v1 = (−1, 2)T .Drugi vektor baze v2 linearno nezavisan sa sopstvenim vektorom v1 dobijamo iz(A− I)v2 = v1, odakle je v2 = (−1/2, 0)T . Matrica tranformacije je

T =

(−1 −1

2

2 0

)=⇒ JD = T−1AT =

(1 10 1

)Fazni potret DS X ′ = JDX prikazan je na slici 23-(b). Fazni potret DS Y ′ = ADYprikazan je na slici 24-(b).

(a) Y ′ = ACY (b) X ′ = JCX

Slika 25: Tok DS Y ′ = ACY i njegovog kanonskog oblika X ′ = JCX u Primeru 2.5-(c)

(a) Y ′ = ADY (b) X ′ = JDX

Slika 26: Tok DS Y ′ = ADY i njegovog kanonskog oblika X ′ = JDX u Primeru 2.5-(d)

22

Klasifikacija polozaja ravnoteze

Za matricu

A =

(a bc d

)karakteristicna jednacina je

(KJ) λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc) = 0 ⇐⇒ λ2 − pλ+ q = 0 ,

gde je p = trA = a+ d − trag matrice A, a q = detA = ad− bc − determinantnamatrice A. Diskriminanta kvadratne jednacine (KJ) je

∆ = p2 − 4 q ,

a resenja KJ su

λ± =1

2

(p±√

∆)

Primetimo da je

(1) λ+ + λ− = trA = p, λ+ · λ− = detA = q .

Klasifikaciju singularnih tacaka mozemo prikazati graficki u pq−koordinatnom sis-temu. Matrici A sa tragom p i determinantom q odgovara tacka sa koordinatama(p, q). Polozaj tacke u pq−ravni odreduje tip faznog portreta.

Pre svega, znak ∆ = p2 − 4 q odreduje tip sopstvenih vrednosti:

(1) Realne i razlicite sopstvene vrednosti: ∆ = p2 − 4 q > 0. Tip polozajaravnoteze zavisi od znaka sopstvenih vrednosti.

Ako je q > 0 sopstvene vrednosti su istog znaka. Obe soptvene vrednosti sunegativne ako je p < 0, dok su obe pozitivne ako je p > 0. Geometrijsko mestoovih je ograniceno parabolom p2 = 4 q i pravom q = 0.

Ako je q < 0 sopstvene vrednosti su razlicitog znaka, a polozaj ravnoteze jesedlo bez obzira na znak traga p. Geometrijsko mesto ovih polozaja ravnoteze jeograniceno pravom q = 0 i obuhvata celu poluravan odredenu sa q < 0.

Ako je q = 0 imamo sledece sopstvene vrednosti: λ1 = 0, λ2 = p . One odgo-varaju neizolovanim cvorovima koji su stabilni kada je p < 0, odnosno nestabilnikada je p > 0. Dakle:

(1a) stabilan cvor, ako je p2 − 4 q > 0, q > 0 i p < 0;

(1b) nestabilan cvor, ako je p2 − 4 q > 0, q > 0 i p > 0;

(1c) sedlo, ako je p2 − 4 q > 0 i q < 0;

23

(1d) stabilni neizolovani cvor, ako je q = 0, p < 0 (p2 − 4 q > 0);

(1e) nestabilni neizolovani cvor, ako je q = 0, p > 0, (p2 − 4 q > 0);

Geometrijsko mesto prve dve grupe polozaja ravnoteze je ograniceno parabolomp2 = 4 q i p−osom, stabilni sa negativnim delom ose i nestabilni sa pozotovnimdelom ose. Geometrijsko mesto sedla je poluravan ispod p−ose, a geometrijskomesto neizolovanih cvorova je p−osa, pozitivan deo ose za stabilne i negativni deoose za nestabilne neizolovane cvorove.

Slika 27: Klasifikacija polozaja ravnoteze u pq−ravni, gde je p trag i q determinanta matrice A

(2) Konjugovano kompleksne sopstvene vrednosti: ∆ < 0 ⇒ p2 < 4 q ⇒q > 0. Bice u zavisnosti od znaka traga p:

(2a) stabilan fokus, ako je p < 0;

(2b) nestabilan fokus, ako je p > 0;

(2c) centar, ako je p = 0.

Geometrijsko mesto prve dve grupe polozaja ravnoteze je ograniceno parabolomp2 = 4 q i pozitivnim delom q−ose, dok je geometrijsko mesto centara polupravap = 0, q > 0, odnosno pozitivna q− osa.

(3) Realne dvostruke sopstvene vrednosti: Ako je ∆ = p2 − 4 q = 0,matrica A ima dvostruku realnu sopstvenu vrednost λ, tj. λ− = λ+. Tip polozajaravnoteze zavisi od znaka λ, odnosno od znaka traga p = 2λ+. Bice:

24

Slika 28: Klasifikacija polozaja ravnoteze u pq−ravni, gde je p trag i q determinanta matrice A

♦ ako postoje dva linearno nezavisna sopstvena vektora:

(3a-1) stabilna zvezda, ako je p < 0;

(3a-2) nestabilna zvezda, ako je p > 0;

(3a-3) sve tacke fazne ravni su neizolovani PR, ako je p = 0;

♦ postoji jedinstven sopstveni vektor;

(3b-1) stabilan degenerisani cvor, ako je p < 0;

(3b-2) nestabilan degenerisani cvor, ako je p > 0;

(3b-3) sve tacke prave odredene sopstvenim vektorom su neizolovaniPR, ako je p = 0;

Geometrijsko mesto ovih polozaja ravnoteze je parabola p2 = 4 q.

Slika 27 pokazuju da su osnovne vrste polozaja ravnoteze: sedlo, cvor i fokus.Centar, zvezda, degenerisani i neizolovani cvor su tkz. granicni slucajevi koji sepojavljuju duz krivih u pq− ravni. Degenerisani cvor i zvezda su granicni slucajeviizmedu fokusa (spiralnih trajektorija) i cvora, a neizolovani cvor je granicni slucajizmedu cvora i sedla.

25

Slika 29: Svaka slicnost ove slike sa licem citaoca je sasvim slucajna !!

Klasifikaciju PR mozemo izvrsiti i posmatrajuci znak determinante matriceq = ad− bc.

(1) q < 0: PR je sedlo

(2) q = 0: neizolovani PR

(i) ako je p < 0 → prava cije su sve tacke PR = stabilni neizolovani cvorovi

(ii) ako je p = 0

� ako postoji jedinstven sopstveni vektor, sve tacke prave odredene tim sop-stvenim vektorom su neizolovani cvorovi

� ako postoji dva linearno nezavisna sopstvena vektora, sve tacke fazne ravnisu neizolovani cvorovi

(iii) ako je p > 0 → prava cije su sve tacke PR = nestabilni neizolovani cvorovi

(3) q > 0: izolovani PR

(i) ako je p < −2√q → PR je stabilan cvor

(ii) ako je p = −2√q

� ako postoje dva linearno nezavisna sopstvena vektora PR je stabilna zvezda

26

� ako postoji jedinstven sopstveni vektor PR je stabilana degenerisani cvor

(iii) ako je −2√q < p < 0 → PR je stabilan fokus

(iv) ako je p = 0 → PR je centar

(v) ako je 0 < p < 2√q → PR je nestabilan fokus

(vi) ako je p = 2√q

� ako postoje dva linearno nezavisna sopstvena vektora PR je nestabilnazvezda

� ako postoji jedinstven sopstveni vektor PR je nestabilan degenerisani cvor

(vii) ako je p > 2√q → PR je nestabilan cvor

Topoloska ekvivalentnost linearnih DS u ravni

Posmatrajmo linearne DS sa konstantnim koeficijentima

x′ = Ax, A = [aij]n×n(5)

x′ = Bx, B = [bij]n×n(6)

Definicija 1 Neka su ϕt : X→ X i ψt : Y→ Y tokovi DS

(7)x′ = f(x), f : X→ Rn,y′ = g(y), g : Y→ Rn,

X,Y ⊂ Rn.

Za DS (7) kazemo da su topoloski ekvivalentni ako postoji homeomorfizamh : X → Y (neprekidno, bijektivno preslikavanje, ciji je inverz neprekidan) ineprekidno preslikavanje τ : R × X → R, za koje je t 7→ τ(t, x) strogo rastucabijekcija, tako da za svako t ∈ R i svako x ∈ X vazi

(8) h(ϕt(x)) = ψτ(t,x)(h(x)) .

Ako homeomorfizam h preslikava fazne trajektorije jednog sistema u fazne trajek-torije drugog sistema, pri cemu se cuva orjentacija trajektorija (ako je tok ϕt(x)usmeren od x1 do x2 iz X, tada je tok ψt(y) usmeren od h(x1) do h(x2) iz Y), zaDS kazemo da su topoloski ekvivalentni.

Za DS (7) kazemo da su topoloski Ck−ekvivalentni, k ≥ 1 ako postoji Ck-difeomorfizam (k−puta neprekidno-diferencijabilno, bijektivno preslikavanje, cijije inverz k−puta neprekidno-diferencijabilan) h : X→ Y za koji vazi (8).

27

Ako je specijalno τ(t, x) = t za svako t ∈ R i svako x ∈ X, DS (7) sutopoloski konjugovani. Dakle, DS (7) su topoloski konjugovani akopostoji homeomorfizam h : X→ Y tako da vazi

(9) h(ϕt(x0)) = ψt(h(x0)), x0 ∈ X .

Ako homeomorfizam h preslikava fazne trajektorije jednog DS u fazne trajektorijedrugog DS, pri cemu se cuva orjentacija trajektorija, ali i vremenska parametrizacijaduz trajektorija, za DS kazemo da su topoloski konjugovani.

Za DS (7) kazemo da su topoloski Ck-konjugovani, k ≥ 1 ako postoji Ck-difeomorfizam h : X→ Y koji preslikava fazne trajektorije jednog sistema u faznetrajektorije drugog sistema, pri cemu se cuva orjentacija trajektorija, odnosno zakoji vazi (9).

Slika 30: Topoloski konjugovani DS h(ϕt(x)) = ψt(h(x))

Teorema 1 Neka su matrice A = [aij]n×n i B = [bij]n×n i k ≥ 1. Linearni DS(5) i (6) su topoloski Ck−konjugovani ako i samo ako su matrice A i B slicne tj.postoji nesingularna matrica T = [tij]n×n tako da je A = T−1BT .

Dokaz. Neka su ϕt = eAt, ψt = eBt tokovi linearnih DS (5) i (6).(⇐:) Neka su matrice A = [aij]n×n i B = [bij]n×n slicne tj. postoji nesingularna

matrica T tako da je B = TAT−1. Preslikavanje h(x) = Tx je Ck−difeomorfizami vazi

h(ϕt(x)) = TeAtx = TeT−1BTtx = TT−1eBtTx = eBtTx = eBth(x) = ψt(h(x)) ,

odakle sledi da su tokovi ϕt, ψt linearnih DS (5) i (6) topoloski Ck−konjugovani.(⇒:) Neka postoji Ck−difeomorfizam g tako da je g(ϕt(x)) = ψt(g(x)). Neka

je g(0) = Y , tada je

ψt(Y ) = ψt(g(0)) = g(ϕt(0)) = g(eAt0) = g(0) = Y

28

pa je Y PR toka ψt DS (6). Definisimo h(x) = g(x)− Y . Tada je

(10) h(ϕt(x)) = g(ϕt(x))− Y = ψt(g(x))− Y = ψt(h(x) + Y )− Y = ψt(h(x)) .

Dakle, h je Ck−difeomorfizam tokova ϕt, ψt koji preslikava PR 0 DS (5) u PR 0DS (6). Definisimo matricu

T = Dh(0) =

∂h1∂x1

(0) . . .∂h1∂xn

(0)

∂h2∂x1

(0) . . .∂h2∂xn

(0)

...∂hn∂x1

(0) . . .∂hn∂xn

(0)

n×n

Matrica T je invertibilna jer je h difeomorfizam. Diferenciranjem (10) po x imamo

Dh(eAtx)eAt = eBtDh(x)

i zamenom x = 0 se dobija TeAt = eBtT . Diferenciranjem po t dobijene jednakosti,imamo TAeAt = eBtBT i zamenom t = 0 dobija se TA = BT , tj. matrice A i Bsu slicne. �

Slicno se moze pokazati i sledeca teorema o topoloskoj Ck−ekvivalentnosti lin-earnih DS.

Teorema 2 Neka su matrice A = [aij]n×n i B = [bij]n×n i k ≥ 1. Linearni DS(5) i (6) su topoloski Ck−ekvivalentni ako i samo ako postoji α > 0 i nesingularnamatrica T = [tij]n×n tako da je A = αT−1BT .

Dokaz. Neka su ϕt = eAt, ψt = eBt tokovi linearnih DS (5) i (6).(⇐:) Postoji α > 0 i nesingularna matrica T = [tij]n×n tako da je A =

αT−1BT . Preslikavanje h(x) = Tx je Ck−difeomorfizam i vazi

h(ϕt(x)) = TeAtx = TeαT−1BTtx = TT−1eαBtTx

= eBαtTx = eBτ(t,x)h(x) = ψτ(t,x)(h(x)) ,

odakle sledi da su linearni DS (5) i (6) topoloski Ck−ekvivalentni.(⇒:) Neka postoji Ck−difeomorfizam h i neprekidno preslikavanje τ : R×X→

R, za koje je t 7→ τ(t, x) strogo rastuca bijekcija, tako da je

(11) h(ϕ(t, x)) = ψ(τ(t, x), h(x)) ⇒ h(eAtx) = eBτ(t,x)h(x).

29

Bez gubitka opstosti pretpostavimo da je h(0) = 0.Diferenciranjem (11) po x imamo i zamenom x = 0 se dobija Dh(0)eAt =

eBτ(t,0)Dh(0). Diferenciranjem po t dobijene jednakosti i zamenom t = 0 dobija seDh(0)A = τ ′t(0,0)BDh(0). Definisimo matricu T = Dh(0) koja je invertibilna,jer je h difeomorfizam i neka je α = τ ′t(0,0). Tada je A = αT−1BT . �

Matrice

A =

(-1 00 -1

), B =

(-1 00 -2

)nisu ni topoloski Ck−konjugovane ni topoloski Ck−ekvivelentne za k ≥ 1. Medju-tim, obe matrice odredjuju stabilan cvor - matrica A stabilnu zvezdu i matrica Bstabilan cvor. Sa stanovista faznog portreta odgovarajucih dinamickih sistema,kako je ponasanje trajektorije u okolini stabilnog cvora i stabilne zvezve kvalita-tivno slicno, zapravo bi bilo prirodno da one pripadaju istoj klasi ekvivalencije.Zato se uobicajeno posmatra topoloska konjugovanosti i topoloska ekvivalentnostDS.

Primer 2.6. (Topoloska konjugovanost zvezde i nedegenerisanog cvora):Posmatrajmo DS (5) i (6) gde je

A =

(-2 00 -2

), B =

(-2 10 -2

)Marice A i B nisu slicne, pa prema Teoremi 1. odgovarajuci DS nisu topoloskiCk−konjugovani, k ≥ 1. Ali oni jesu topoloski konjugovani. Da bi odredili pres-likavanje y = h(x) = (h1(x1, x2), h2(x1, x2)) za koje vazi (9), odredimo najpretokove posmatranih DS

ϕt(x1, x2) =(e−2tx1, e

−2tx2), ψt(y1, y2) =

(e−2t(y1 + ty2), e

−2ty2)

Iz h(ϕt(x1, x2)) = ψt(y1, y2) imamo da je

h2(e−2tx1, e

−2tx2)

= e−2ty2 = e−2th2(x1, x2) .

Resenje ove funkcionalne jednacine je h2(x1, x2) = x2. Takodje iz

h1(e−2tx1, e

−2tx2)

= e−2t(y1 + ty2) = e−2t(h1(x1, x2) + tx2

)Da bi resili ovu funkcionalnu jednacinu, uvedimo smenu h1(x1, x2) = x1 + f(x2) idobijamo

f(e−2tx2) = h1(e−2tx1, e

−2tx2)− e−2tx1 = e−2t

(h1(x1, x2) + tx2 − x1

)= e−2t(f(x2) + tx2),

30

cije je resenje f(x) = −x2 ln |x|. Ako dodefinisemo f(0) = 0, f je neprekidno u 0.

Dakle, preslikavanje

(y1, y2) = h(x1, h2) =(x1 −

x22

ln |x2|, x2)

je homeomorfizam posmatranih DS za koji vazi (9), tako da su oni topoloski kon-jugovani. Ali kako h nije diferencijabilno u 0, DS nisu topoloski C1−konjugovaniu okolini 0.

Definicija 2 Matrica A = [aij]n×n je hiperbolicka ako je realni deo svake njenesopstvene vrednosti razlicit od nule. Ako je realni deo neke sopstvene vrednostimatrice A jednak nuli, matrica se naziva nehiperbolicka.

Polozaj ravnoteze (0, 0) DS (2) je hiperbolicni (nehiperbolicni), ako je matricaA tog DS hiperbolicna (nehiperbolicna).

Naredna teorema daje klasifikaciju topoloski konjugovanih hiperbolickih lin-earnih DS u ravni.

Teorema 3 Neka su matrice A = [aij]2×2 i B = [bij]2×2 hiperbolicne. Tada su lin-earni DS (5) i (6) topoloski konjugovani i istovremeno i topoloski ekvivalentni akoi samo ako matrice A i B imaju jednak broj sopstvenih vrednosti sa negativnimrealnim delom (dakle i jednak broj sopstvenih vrednosti sa pozitivnim realnim de-lom).

Posledica 1 Neka je matrica A = [aij]2×2 hiperbolicna. Tada je linearni DS (5)topoloski konjugovan tacno jednom od sledecih linearnih DS :(

−1 00 −1

)dve negativne sopstvene vrednosti = hyperbolic sink;

stabilan cvor ili stabilan fokus;(1 00 1

)dve pozitivne sopstvene vrednosti = hyperbolic source;

nestabilan cvor ili nestabilan fokus;(1 00 −1

)dve sopstvene vrednosti razlicitog znaka = hyperbolic saddle.

31

Slika 31: Topoloski konjugovane klase hiperbolickih PR DS u ravni, gde je n+, n− broj sopstvenihvrednosti sa pozitivnim, negativnim realnim delom

Primer 2.6. (Topoloska ekvivalentnost zvezde i fokusa): Posmatrajmo DS

(1)

{x′ = −xy′ = −y (2)

{x′ = −x− yy′ = x− y

PR (0, 0) je stabilna zvezda DS (1), odnosno stabilan fokus DS (2). TrajektorijeDS (1) su pravolinijske, dok su trajektorije DS (2) spiralne. Sopstvene vrednostiDS (1) su λ1 = λ2 = −1, a DS (2) su λ1,2 = −1± i.

Prelaskom na polarne koordinate

x = r cos θ, y = r sin θ, r = r(t), θ = θ(t) ,

32

kako je x2 + y2 = r2 i θ = arctgy

x, imamo

(12) xx′ + yy′ = rr′, θ′ =x2

x2 + y2· xy

′ − yx′

x2=xy′ − yx′

r2,

odakle se dobija da su posmatrani DS oblika

(1?)

{ρ′ = −ρθ′ = 0

(2?)

{ρ′ = −ρθ′ = 1

cija su resenja {ρ(t) = ρ0e

−t

θ = θ0

{ρ(t) = ρ0e

−t

θ = t+ θ0

DS (1) i (2) nisu topoloski glatko ekvivalentni, ali jesu topoloski ekvivalentnanpr. unutar jedinicne kruznice za centrom u koordinatnom pocetku

U = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} = {(ρ, θ) : ρ ≤ 1} .

Dokazimo ovo tako sto cemo konstruisati na odgovarajuci nacin homeomorfizamh : U → U .

Slika 32: Konstrukcija homeomorfizma za topolosku ekvivalentnost zvezde i fokusa

Posmatrajmo tacku X 6= 0, X ∈ U sa polarnim koordinatama (ρ0, θ0). Nekaje τ vreme koje je potrebno tacki (1, θ0) sa ruba oblasti U da stigne do tackeX krecuci se duz trajektorije DS (1). To vreme zavisi samo od ρ0 i jednako jeθ(ρ0) = − ln ρ0. Posmatrajmo dalje trajektoriju DS (2) koja polazi iz tacke (1, θ0)i neka je Y = (ρ1, θ1) tacka te trajektorije u koju nakon vremena τ(ρ0) stignetacka (1, θ0). Dakle, preslikavanje h(X) = Y , X = (ρ0, θ0) 7→ Y = (ρ1, θ1) jedefinisano sa

h :

{ρ1 = ρ0θ1 = θ0 − ln ρ0

33

Za X = (0, 0) je h(X) = (0, 0). Konstruisano preslikavanje predstavlja transfor-maciju kruga U u samog sebe koja ma koju kruznicu ρ0 = R rotira za ugao kojizavisi od ρ0. Taj ugao je nula za ρ0 = 1. Preslikavanje je ocigledno neprekidno,i invertibilno i preslikava trajektorije DS (1) u trajektorije DS (2), cuvajuci vre-mensku orjentaciju. Dakle, dva DS su topoloski ekvivalentna.

S druge strane, homeomorfizam h nije diferencijabilan na U . Naime, h ∈C1(U \ {0}), ali h nije diferencijabilno za X = 0. Da bi ovo pokazali odredimo

∂y

∂x(0, 0) =

∂y1∂x1

(0, 0)∂y1∂x2

(0, 0)

∂y2∂x1

(0, 0)∂y2∂x2

(0, 0)

Kako je x1 = ρ0 cos θ0 i x2 = ρ0 sin θ0 imamo

y1 = ρ1 cos θ1 = ρ0 cos(θ0 − ln ρ0) =√x21 + x22 cos

(arctg

x2x1− ln

√x21 + x22

),

y1 = ρ1 cos θ1 = ρ0 cos(θ0 − ln ρ0) =√x21 + x22 cos

(arctg

x2x1− ln

√x21 + x22

).

Prema tome,

∂y1∂x1

(0, 0) = limx1→0

y1(x1, 0)− y1(0, 0)

x1 − 0= lim

x1→0

|x1| cos(ln |x1|)− 0

x1Kako poslednja granicna vrednost ne postoji, zakljucujemo da preslikavanje h nijediferencijabilno u (0, 0), odnosno da DS (1) i (2) nisu topoloski glatko ekvivalentni.

U narednoj teoremi dajemo topolosku klasifikaciju nehiperbolickih linearnihDS u ravni.

Teorema 4 Neka matrica A = [aij]2×2 ima bar jednu sopstvenu vrednost ciji jerealni deo 0. Tada je linearni DS (5) topoloski ekvivalentan tacno jednom odsledecih linearnih DS :(

0 00 0

)nula matrica;(

1 00 0

)jedna sopstvena vrednost nula i druga pozitivna;(

−1 00 0

)jedna sopstvena vrednost nula i druga negativna;(

0 10 0

)dve sopstvene vrednosti jednake nuli i jedan sopstveni vektor;(

0 1−1 0

)dve cisto imaginarne sopstvene vrednosti.

34

Slika 33: Topoloski ekvivalentne klase nehiperbolickih PR DS u ravni

35