11. TIPOVI KONVERGENCIJE

DEF.130 • Niz (fn) konvergira uniformno (jednoliko) prema f ako

∀ε > 0 ∃N = N(ε) ∈ N t (n ≥ N, x ∈ X) ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε.

• Niz (fn) konvergira po tockama prema f ako

∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃N = N(ε, x) ∈ N t (n ≥ N) ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε.

• Niz (fn) konvergira µ-skoro svuda (µ-s.s.) prema f ako ∃M ∈F , µ(M) = 0 t. d.

∀ε > 0, ∀x ∈ X\M, ∃N = N(ε, x) ∈ N t (n ≥ N) ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε.

Oznaka: fns.s.−→ f .

• Niz (fn) konvergira prema f u Lp ako limn→+∞ ‖fn − f‖p = 0.

Oznaka: fnLp

−→ f .

• Niz (fn) konvergira prema f po mjeri ako

limn→+∞

µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε}) = 0, ∀ε > 0.

Oznaka: fnµ−→ f .

Nap.131 Vrijede implikacije:

• uniformna kvg. ⇒ kvg. po tockama ⇒ kvg. µ-s.s.

• µ(X) < +∞ i konvergencija µ-s.s. ⇒ konvergencija po mjeri.

• konvergencija po mjeri ⇒ ∃ podniz koji konvergira µ-s.s.

1

2

• konvergencija u Lp ⇒ konvergencija po mjeri.

Zad.132 Provjeriti konvergenciju po tockama, jednoliku, λ-s.s., u L1, i po (Lebesgueovoj)mjeri za nizove funkcija:

a) fn = 1n 1〈0,n〉

b) fn = 1〈n,n+1〉

c) fn = n1〈0, 1n ]

Zad.133 Neka je (E, E , µ) prostor konacne mjere te neka je (fn) niz omedenihizmjerivih realnih funkcija na E. Neka fn → f po mjeri (tj. fn

µ−→ f).Dokazite da je

∫fdµ = limn→+∞

∫fndµ.

Zad.134 Dokazite da ako Fn → F po mjeri, da je tada F odredena do na skupmjere 0, tj. (FN

µ−→ F, Fnµ−→ G) ⇒ F = G µ-s.s.

Zad.135 Pokazati da fnL1

−→ f ⇒ konvergencija po mjeri. Pokazati kontraprim-jerom da obrat ne vrijedi.

Zad.136 Neka je En niz izmjerivih skupova, µ(En) < +∞, n ∈ N, te neka

1En

L1

−→ f . Tada je f µ-s.s. jednaka karakteristicnoj funkciji nekogizmjerivog skupa.

Zad.137 Neka fnµ−→ f, gn

µ−→ g. Tada:

a) fn + gnµ−→ f + g.

b) µ(X) < +∞ ⇒ fngnµ−→ fg.