100015997-ΦΥΛΛΑΔΙΟ-ΑΛΓΕΒΡΑΣ-2012-2013

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www.georgefrang-math-trip.blogspot.com

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2

2

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0

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2

4

2

(2)

:

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(2), (1), :

.


46

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2

2

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2

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2

2

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2

2

0 2

1,2-

2

=0 1 1,2

-

2

0 .

0

) 1 , =0

.

) ,


47

1. 24 +8=0 4(+2)=0 4=0 +2=0

=0 =-2

2.

32-9=0 32=9 2=3 = 3

3.

2 2

2 2

1,2

1 2

2-1=(-6)(+6) 2-1= -36 -2-35=0

= -4 =(-2) -4 1 (-35)=4+140=144

- 2 144 212 =

2 2 1 214 -10

= =7 = =-52 2

4

2

2 2 2

, :

+(+1)++4=0

.

=0

(+1) 4 1 (+4)=0 +2+1-4-16=0 -2-12

1,2

5=0

=(-2) -4 1 (-15)=64

2 64 2 8 5 -3

2 1 2

A

2++-0 0 -+

=1 2

-- =2 2

,:

S=

+ =-1 2

=

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48

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S= 1+ 2 = 1 2

,

1 2,:

) (, ..)

) :

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. 2+3-5=0.

) 1,2 .

) :

) 1+ 2 ) 1 2 ) 12+2

2 ) 13+2

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) 2 1+ 1 2

) =32-4 1 (-5)=9+20=29>0 .

) ) 3

+ =- =- =-31 2 1 )

-5= = = =-51 2 1

) 12+2

2=(1+2)2-212=(-3)

2-2 (-5)=19

) 13+2

3=(1+2)(12-12+2

2)=(-3)[19-(-5)]=-72

) +1 1 -3 31 2+ = = =

-5 5 1 2 1 2

)

2 2 + 19 192 1 1 2+ = = =-

-5 5 1 2 1 2


49

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1. 0 S=0

2. 0 =1

. 32+(+2)+-1=0.

:

) )

)=(+2)2-4 3(-1)=2+4+4-12+12=2-8+16=(-4)20

S= +2

- =0 - =0 +2=0 =-2 3

.

) =(+2)2-4 3(-1)=2+4+4-12+12=2-8+16=(-4)20

= -1

=1 =1 -1=3 =4 3

[()]2 +()+=0 0

()=y y2+y+=0 ,

, ()=y .

(2+1)2-7(2+1)+10=0

2+1=y y2-7y+10=0 2

1,2

=(-7) 4 1 10 49 40 9

7 9 73y = = = 5 2

2 1 2

T 2 2

2 2

+1=5 1 2

4 1

= 2 = 1


50

2+||+=0

||2=2

,

||2+||+=0 y=||. y

y=|| .

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1,2

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2 2y

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2++=0 0

=

2++=0. =

.

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=2 2-2-8=0

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1,2

2 36 2 6 4 -2

2 2

2 =4 2 =-2

= 2

:

.

.. (

.. ).


51

.. .

.

.

2

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+2 -4 -2

-10 2 -10 2

- = - = : +2 0 -2 02+2 -2 +2 (-2)(+2) -2 -4

-10 2(-2)(+2) -(-2)(+2) =(-2)(+2)

+2 (-2)(+2) -2

2(-2)-(-10)=2(+2) -2-+10=2+4

2 -5+6= 20 =(-5) 4 1 6 1

5 1 51 = = = 3 21,2 2 2

=2 .


52

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2. : ) )2

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2 3 3 2

)2

1 1

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2

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1 2 3 2

)2 2 2

1 1 1

3 2 2 4

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x x

)4 2 4 10

52 9

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3 6 2 38

2 3 6

x x x

)10 5 5 20 4 4 6 6x x x ) 2 1 4x x

) 3 7x x )2 3 4 5 0x x )1 3 2

04 6

x x

4.N :

) 3 1x ) |||-2|=5 ) |5-|2-1||=4 ) ||-1|+4|=7

) |1-|3-2||=6 ) ||+3| -2|=|-5| ) 7 2 3 6 4x

) ) 2 24 4 4 0x x x ) 3 2 0x x x x

) 23 0x x x

5.N :

)|2-8|=2-8 )|2|-4|-+3=0 ) -2|+4|=1

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12 3 5

2 _3 2 3

10 2 5

2

2

4 3 3 8

2 2 4

2 3 6 18 0x

2 23 9 0x x x


53

6.N :

) ) 2( 6) 9( 1 )

) 2(2 1) 2(1 2 ) ( 1) ) 22( 2 ) (4 ) 0

) 2( 2) ( 1) 0 ) 2 2 22 ( 1) 2 ( 1)

) 23( ) 2 ( ) ( 1) ) 2 2( 8)( 1) 2 (3 ) 2

7. : ) ) 4 81x ) 6 21x

) 5 32x ) 7 48 0x x ) 5 325 16x x ) 5 22 16 0x x

) 4 28 0x x .

8. : ) )2 4 4 0

) 2 2 8 0 ) 2 3 4 0 ) 2 5 6 0

) 2 6 5 0 ) 2 5 7 0 ) 22 8 10 0

) 29 6 1 0 ) 23 5 2 0 ) 24 12 9 0

) 22 7 6 0 ) 22 6 11 0

9.: ) 2 16 0 ) 22 18 0 ) 23 12 0

) 236 16 0 ) 2 3 0 ) 22 8 0 ) 25 30 0

) 27 35 0 ) 22 8 0 ) 23 27 0

10. : ) 2( 2)( 5 4) 0 ) 2 2( 4 )( 7 6) 0

) 2 2(3 48)( 4 32) 0 ) 2 2( 9 8)( 5 7) 0

11.: ) (3 10) 3( 2) ) 1 (3 5 ) ( 2)

) 4( 2) 4 ( 3)( 3) ) 2( 1) 4 5(2 1)

) 2 2( 2) ( 1)( 1) ( 3) 6 )2 3 ( 1)( 1) 3

6 3 2

) 2

24(1 7 ) 3 (7 1) 2 1025 5

) 2(3 2) (2 1) 2 6

13 6 2

2( 1) ( 1 )

3 64x

2 2 3 0


54

12. :

) 2 (2 ) 6 0x ) 22 (3 2) ( 2) 0

) 2 (2 ) ( ) 0 ) 22 ( 3) 1 0

13.

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) 2 2 22 2 1 0 ) 2 2 2( ) 0 , 0

) 21

( ) 1 0 0.

14. 4. )

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15. 2 12 0 (1) 2 2(2 9) 6 0

(2). (1) (2). : ) )

(2).

16. 2 18 21 0 6. :

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17. 2 16 20 0 10. :

) ) .

18. 1 2, 2 3 1 0 ,

: ) 1 2 ) 1 2 )2 2

1 2 )3 3

1 2 )

1 2

1 1 ) 2 1

1 2

.

19. 1 2, 2 5 4 0 ,

: ) 1 2 ) 1 2 )2 2

1 2 )3 3

1 2 2 1 )

2

1 2( ) ) 2 21 2

1 1.

2 ( 1) 1 0


55

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22 3 4 0 ,

: )1 2

)1 2

) 2 21 2

) 2 21 2

)

1 2( 1)( 1) ) 1 2(2 3)(2 3) .

21. 1 2,

22 3 4 0 ,

: )1 2

)1 2

) 2 21 2

) 1 2

2 1

)

1 2 ) 1 2 .

22. : )2

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2 -2 )

2

3 6.

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24. 1 2,

2 3 1 0 ,

:

) 12 22 )

2

1 2

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2

1 ) 1

2 2

2.

25. 1 2,

2 5 2 0 ,

:

) 13 23 ) 1 2 ) 1

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2

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26. 1 2, 2 4 2 0 ,

:

) 2

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1

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2

2

1

) 21 1 2 2

2 1 2

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3 1

3 2

2

3 1

3.

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).


56

28. : 22 ( 5) 3 0x .

.

29. : 2 ( 1) 0x .

.

30. : 2 4( 1) 8 1 0x . ) 1 2,

) =(1-2)(

2-2)

.) 2 21 2 1 1 2 2 64 .

31. :

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) 23 | | 2 3(| | 1) ) 2 | 6 | 40 0

32. :

) 4 25 4 0 ) 4 28 9 0 ) 4 24 17 4 0

) 4 27 10 0 ) 4 25 6 0

33. :

) 6 37 8 0 ) 6 38 7 1 0 ) 8 417 16 0

) 8 416 15 1 0

34. :

) 6 8 0 ) 4 3 0 ) 5 4 0

35. :

) 2( 5) 2( 5) 3 0 ) 2(2 1) 2(2 1) 15 0

) 2 2 2( 1) 7( 1) 10 0 ) 2( 1) 3 | 1| 4 0

) 2( 5) 3 | 5 | 10 0 ) 25 (2 1) 4 |1 2 |

2 2 | | 3 0x


57

36.:

) 2

3 61

2 2 )

2

4 1 1

1 1 1

) 2

10 2

4 2 2 )

2 2

4 4

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) 2 2

4 4

1 1 )

2 2

5 20 14

2 4 2

37.:

) 1

21

1

) 1 4

1 1 41

)2

2

1 1 11 1

)

2 41 1

7

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.


58

4

1

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1 :

(

, )

(

,

).

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x x

2x-4 x+5 10+x 2x-4 x+5 10+x-


59

,

.

:

7- 4-5(x-2) 13-3(x+1) 1-

4 2

:

4-5(x-2) 13-3(x+1) 4-5+10 13-3-3 -5+3 13-3-4-10

-2 -4 2

:

7- 7- 1- > 4 1-4 >4 4-(7-)>2 4-7+>2

4 2 4 2-2>7-4 ->3 10 >2.

2(-1)-3(4-)


60

2-2-12+3


61

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.

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|()| 0 .


62

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2

2222222

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4

4

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2

22

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2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

22

2

22

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.

= 0 . (1) : 2

2

2

, = 0,

.


63

2

2 ++ =2-

4 :

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- 1 2 + 2++

>0, , , : x2 + x + = (x - x1)(x - x2) , x1, x2

x1 0. , (1), .

x1 < x < x2 (), x - x1 > 0 x - x2 < 0, (x - x1)(x - x2) < 0.

, (1),

x1 < x2 < x (), x - x1 > 0 x - x2 > 0, (x - x1)(x - x2) > 0.

, (1),

=0 , 1,2

- 1,2 + 2++


64

= 0, : 2

2

2

,

2

,

2

0 , =32-4 1 (-10)=49

1,2

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65

- -5 2 + 2+3-10 + - +

. (- ,-5) (2,+ )x

) -2+2-1


66

2++>0 ( )

:

0 ( )

2++


67

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68

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, () 0

A(x)


69

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2x 3 10x 3 10) 0

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-3=0 =3 2-3-10=0 =5 =-2

- -2 3 5 + 2-3-10 + 0 - - 0 +

-3 - - 0 + +

- + - +

(- ,-2) (3,5).

)

2+2-3 0 1 -3 .

2 2

2 9)(x+2)(x0

2x 2 3(x+2)(x 9)(x 2 3) 0

xx

- -3 -2 1 3 + +2 - - 0 + + +

2-9 + 0 - - - 0 +

2+2-3 + 0 - - 0 + +

- - + - +

(- ,-3) (-3,-2] (1,3].

-3 1

.

A(x)

B(x)

...

:

( ).

.

A(x)

B(x) ,


70

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12x 4

) 4 10

2x+1 1x 1

xx

) 2-4 0 2

-1 0 022x-1 2x-1 2x-1 x 4

12 2 2 2x 4 x -4 x 4 x 4

2 22x-1-x +4 -x 2 3 2 20 0 (-x 2 3)(x 4) 02 2x -4 x 4

xx

- -2 -1 2 3 + -2+2+3 - - 0 + + 0 -

2-4 + 0 - - 0 + +

- + - + -

(-2,-1] (2,3]

-2 2

.

) 2-1 0 1

4 10 4 102x+1 1 x+1 1(x+1)(-1)x 1

x xx x

(+1)

(-1)

4(-1) 10(x+1)(-1) (x-1)(+1)

(+1)- + 0

(-1)

4(-1) 10(x+1)(-1) (x-1)(+1)

04(-1)-10+(+1)

(x+1)(-1)

20

4-4-10+ +(x+1)(-1)

20

+5-14(x+1)(-1)

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2+5-14=0 =-7 =2


71

-7 -1 1 2

2+5-14 + o - - - o +

-1 - - - o + +

+1 - - o + + +

+ - + - +

(- ,-7] (-1,1) [2,+ ]

-1 1

.

- +


72

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)4 3 2

23 6 4

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3 53 2

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14 2 4

2.

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12

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4 8

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32 2

20 3 306

7 7

)4 3 6

5 15

5

4 2 4

3. :

)3 5 1 7 5 )2( 1) 3 3( 1)

) 5 4( 2) 2( 3) 5(2 ) 4

)4 2 3 2

2( 1)3 2

)5 5( 3)

13 6

4. :

) 1

3 13

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2 4 44 5

3

xx

)

15 2 98 2 7

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xx

) 1 2 2 5 5 6x x x )6 3 4 8 3

2 1 28 5

x xx


73

5.:

) 1 5 3x ) 3 2 1 5x )5 3 1 8x )4 6 2 10x

6.:

) 4 1 0x x ) 4 2 3x x )3

3 22

xx

7. :

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x

)

5 2( )

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) ( ) 6f x x )3

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3

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x

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1 6( )

2 9

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x x x

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x

8. :

) 2 2 3 0x x ) 2 3 4 0x x ) 2 4 12 0x x

) 23 4 4 0x x ) 2 4 4 0x x ) 22 4 2 0x x

) 2 8 16 0x x ) 2 2 3 0x x ) 23 3 1 0x x

) 23 6 3 0x x .

9.:

) 2 5 0 ) 2 3 0 ) 22 5 0 ) 2 6 0 ) 2 9 0

) 2 7 ) 22 4 ) 2 .

10.:

) 2 ) 4( 5) ( 4)( 4) 0 ) 22( 3)( 3) ( 1) 4

11. :

) 2 2 3 0 2 2 0 ) 2 2 0 2 2 8 0

) 2 4 5 0 2 4 0 ) 2 6 0 2 2 1 0

) 2 5 4 0 2 2 8 0 .


74

12. :

) 23 2 8 )4( 1) ( 7) 2(2 5)

13. 2 14 50

5 26.

14.a :

) 2( ) 4 5f x ) 2( ) 9f x )2

2( )

7

xf x

x x

) 2

2

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x xf x

x x .

15. , f

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) 2( ) 3 10f x x x ) 2( ) 3 4 4f x x x .

16. , f

:

) 2( ) 3 4f x x x ) 2( ) 2 3 5f x x x .

17. , f

g:

) 2( ) 4 6f x x x ( ) 2 3g x x

) 2( ) 4 8f x x x 2( ) 3 4g x x x .

18. 2 ( 3) 6 0x 2

.

19 . 2 ( 5) 3 7 0x

.

20. 2( 1) 4 2 0, 1x

.

21. 2 ( 3) 0, 0x

.


75

22 . 24 4(2 1) 4 3 0

.

23. : 2( 2) 2 2 3 0 .

24. :

) 2( 2)( 2 3) 0 ) 2( 3)( 4 3) 0

) 2 2( 4)( 3 10) 0 ) 2 2( 3 4)( 3 2) 0

25.:

) 2 2( 6)( 2) 0 ) 2 2(9 )(2 ) 0

) 2 2(16 )(4 2 )( 2 1) 0

26. :

)2

04

)5

01

) 1

04

)2

30

4 5 )

2250

2

)2 2 3

02

.

27.:

) 2

2

( 2)(9 )

2 30 )

2 2

2

( 1)( 6)

2 80 )

2

2

( 3)( 1)0

4

28.:

)2 5

42

) 8

2 1 )

2

2

2 4 51

2 )

2

3 13

3 3

) 1 2

11 1

.


76

5

A

: *

R.

a: * R

H

:

+1,.-1,

.

(.)

: ,

.

.

+1=+ +1-=

- . : =1+(-1)

:

=1+(-1)


77

. : ,, .

:

, ,

, :

, , ,

, , .

: ,,

:

1. ,

+

2.

2. O 1,2,3,........., + +......+1 2

2.

. :

- ,

:

= ( + ) 12S

,

, :

= [2 +(-1)] 12S .

.

i) - , +1

+1- .

+2=+ =

2


78

S :

ii)

-1S

1 2 -1 -1 -1S = + +....+ + S =S + S -S

.

. : ) =3-5 .

) ()

2S =2 - , ..

) +1 +1=3(-1)-5=3-2.

+1- =3-2-(3-5)=3-2-3+5=3

. =3 =1: 1 =-2

) 22=2 -1 -(-1)=2 -5+3-1S

2 -5-3) =4-3= -1

2 S -S =2 --(2

+1=4(+1)-3=4+1 +1-=4+1-(4-3)=4

. =4 1 =1

.

.

=1+(-1) 1,.

.

. 7 9, 4

9 16. .

1

3

+3 +8 +11 1 1

= +6 +6=9 +6=9 7 1 1 1 1 + =16 + =16 2 =16 =294

,

,, .:

i. , 1=, +2=

ii. =1+(-1)

.

iii.

.


79

.

7 2 50

..

2,1, 2, 3,........, 7,50 1=2 9=1+8 50=2+8 8=48

=6.

2,8,14,20,26,32,38,44,50.

.

i. 1, 3,5,...... .

=2

ii. 2, 4,6,...... .

=2 .

.,

i.

. :

.....,-3,-2,-,,+,+2,+3,......

ii. .

-, +

:

.....,-5,-3,-,+,+3,+5,......

.

) .

20 -560.

) .

4 105.

) : -2,-,,+,+2

-2+-+++++2=20 5=20 =4.

(-2)(-)(+)(+2)=-560 (4-2)(4-)4(4+)(4+2)=-560

4(16-2)(16-42)=-560 16(16-2)(4-2)=-560 (16-2)(4-2)=-35

4-202+99=0.

2= 2-20+99=0


80

=11 =9 2

11 = 11

. 2

9 = 3 . =3 =4 -2,1,4,7,10

=-3 =4 10,7,4,1,-2

-2,1,4,7,10

) -3,-,+,+3

-3+-++++3=4 4=4 =1

(-3)(-)(+)(+3)=105 (2-92)(2-2)=105 94-102-104=0

2=26

9 2=4 = 2

=2 =1 -5,-1,3,7

=-2 =1 7,3,-1,-5

-5,-1,3,7

: ,

. .

+1

=

= +1

- . : =1-1

:

, =1-1


81

. 1 0( 0)

0 0( 0)

. : ,, .

:

2=

, , ,

, , , 0 2 = ,

, ,

. .

: , ,

, 2 =

,.

.

.

4 . ,,, 2= 2=

=.

. :

-1S = 1 1 -1

. 1 , :

- -1 - -+1 1 11 1S = = = = 1 -1 -1-1 -1

(1)

(1)

(2)


82

(2) (1) :

, 1, :

: -1,

Sv = 1 1.

.

- , +1

+1

.

S :

-1S

1 2 -1 -1 -1S = + +....+ + S =S + S -S

.

. ) - +1

3 = -1

2.

. 1,.

) S=2(3-1).

. 1,.

) +1 +2

3 = +1 2

.

3-(-1) -13 2

2

+23

+2 -1 3 2 +2-(+1)+1 2= 3 2+1 +1 3 3 2-1

2

. = 3

2 1=9

) -1 S-1=2(3-1-1)


83

=S-S-1=2(3-1)- 2(3-1-1)=

3 4

2 3 2 33 3

.

4 +13+1 3 3

4 33

. . =3 1=4.

,

, ,

.,:

1,2,...., .

. , 1,2,....,,.

1= +2= +2=1+1 =+1

=

+1 ,

+1 ,

=1-1

.

. 2

9 162 5 ,

.

1,2,3,4,5 2

9, 1,2,3,4,5,162

. 1=2

9 7=162 , :

7=162 16=162

2

9 6=162 6=729 = 3 .

=3 : 2

9,2

3,2,6,18,54,162

=-3 : 2

9,-

2

3,2,-6,18,-54,162


84

.

() . ,:

1,3,5,....., .

=2.

2,4,6,....., .

=2.

1,2

,3,..... . =

.,

., .

: 2

....., , , ,,, ,....3 2

.,

2 ., 3

....., , , ,, ,....5 3

.

) 3 .

8, 21/8.

) 4 .

64, .

)

,,

3 =8 8 =2

:

12 2+4+4=21 -17+4=0 =4 =

4

1 1 21 1 1 21+ + = + + = 4 4

8 2 2 2 8

=2 =4: 1

2,2,8

=2 = 1

4 : 8,2,

1

2.

1

2,2,8


85

1. 15 : 7, 15, 23, 31, ..

2. () : 8 = 22 14 = 40.

.

3. 2 92.

20 .

4. 1 = 23, = - 2 = 5.

S.

5. : 1 = 3, = 4 S = 136.

.

6. : 1 = 1, = 25 S = 91. .

7. () :

1 42 + 43 5 = 0

8. . : 4+12=0 7+19=-30.

:

) ,

) =.

9. . 3+4+12=10 13 8.

:

) ,

) 23

) =2.


86

10. R + 1 2 + 3

1 .

11.

16. .

12. , :3+, 2(-), -5,

.

13. ,, .

(+)2-2 , (+)2-2, (+)2-2.

14. ,, :

+ +, + ,

+ + + +

.. :

2 , 2 , 2

.

15. :

)1+4+7+....+94 )-5-1+3+7+....+135 )-6-9-12-.....-114

16. :

) 50 3.

) 40 5.

) 21 153.

) 5 31 206.

17. . 16 50, 6 11

40. 31 .


87

18. . 1=45 6+11=0. .

19. . =4 21=316.

.

20. . 6=8 11=23. :

) ,

) 14,

) S=15+16+...+25

21. - : =5-8,

., .

22. N*, () :

S = 22 5, () 1 .

23. N* S = 32 ( ),

() .

24. 6 50 10 ,

.. .

25. . 55,

695.

26. 4 ., 20,

25

24.

27. :

) (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + .. + (x + 60) = 1050

) 1 + 7 + 13 + .. + x = 280, x >0


88

28. 20 .

. 1

16 , 7 28 .

) 10 ;

) 4 10 ;

) 6 , 9

, 12 ,

;

) ;

29. 12

1200/m2 100/m2

.

) m2 ;

) 82 m2 ;

) 200 m2,

;

30. . 1=48 5=3. 5 .

31. . 6=-108 3=4. :

)

) 5

32. : 1 = 6, = 2 = 3072. .

33. x R : 1x , 4 1x5 , 3x

.


89

34. , , 23-2 , ., ,, 0,

, , , ..

35. 7 :

192,96,48,......

36. :

)5+10+20+....+640

)4-8+16-.....-8192

37. x, , z 147, x, , z

, x, z,

.

38. :

) 3 + 32 + 33 + .. + 3x = 120, x N*

) 1 + x + x2 + x3 + .. + x39 = 0

39. 21

27.

40. - =3 2.

) .

.

) 6 .

41. - = 24-, R .

) .

) 7 127, .


90

42. 2 486 4 ,

.

43.

42 512.

44. 4

4096 .

45. .

) 10 ,

6 .

)

33 . 10 .

i. 20 .

ii.

;

46.

.

20 .

) 7 ;

) 5 ;

) 7

1000 ,

.


91

47.

.:

)4,2,1,... )9,-3,1.... )18,12,8,...

48. . 1=18 , ||


92

6

:

()

.

,:

.

y f(x) f .

, y .

=f(A) .

:

f:

f(x)

f:

, :

A

A .

( ),

f(x) ( ).


93

:f()=+-1

-1+......+1+0

, = .

: P(x)

f(x)=Q(x)

() Q(x) ,

,

: ={ /Q(x) 0 }

: f(x)= A(x) ,

A= x /A(x) 0

: 1

f(x)=A(x)

,

: A= x /A(x)>0

:

,

,

.

: :

) x-5

f(x)=2

x +2x-3 ) f(x)= 2x-6+x-1 )

3-x-2f(x)=

2x+8 )

1f(x)= x+2-

x-3

) 2+2-3 0 1 -3.

= -{-3,1}

) 2-60 26 3

[3,+ )

) 3-0 3 2+8>0 2>-8 >-4

-4


94

().:

3x-2, a 1f(x)=

2-x +2x+8,


95

1. :

) 3 2

( )12 4

xf x

x

)

2

1( )

4f x

x

)

2

2

9( )

3 4

xf x

x x

) 3 6

( )1

xf x

x

)

3( )

1

xf x

x

)

2

2 3 4( )

3 4 3

xf x

x x x

) 2 2

2 3 4( )

4 9 4 3

xf x

x x x

)

3 2

5 3( )

4 4

xf x

x x x

) 4

5 3( )

27

xf x

x x

)

6 2

2( )

16

xf x

x x

2..:

)2

( )3

xf x

x

)

5 2( )

13

xf x

x

)

5 2( )

2 2 1

xf x

x x

) ( ) 4 20f x x

) ( ) 6f x x )3

( )5

xf x

x

)

3( )

3

xf x

x

) ( ) 2 6f x x x )2 2

1 6( )

2 9

xf x

x x x

)

1( ) 5

3f x x

x

3.:

)

2f(x)= x -4x-5

)

2f(x)= 9-x

)

x+2f(x)=

2x -7x )

2x-1f(x)=

2-2x +x+6

)

2f(x)= 2x -4x+3

)

5-xf(x)=

29x -6x+1

4.:

)

2-x +3x+10

f(x)=x-2 )

32 2f(x)= x -x-2+ -x +2x+15 )

2-x -3x+10

f(x)=2x +4x+3

)

3 2x +2x-3f(x)=

2x -16


96

5. :

2x-5, 0f(x)=

2-x +3, 0

x

x

) f;

) :

)f(-3) )f 5

2 )f(-1) )f(0) )f

1

2 )f( - 3 ).

6. :

3x-1, x


97

a)Na f.

) f(-2) f(13).

9. f: :

f(x+2)=3f(2)-2(x-3)

. :

) f(2)

) f() .

10. f: :

f(2-1)=42-6 -f(3)

. :

) f(3)

) f() .


98

-

: yy

y,

, .

yy .

(,) ,

.

yy xy

.

y=0,

(,0).

yy =0,

(0,y).

(x,y) ,:

y=0

yy =0.

(0,0).


99

4 ,

:

(,y) :

1 , ,y>0.

2 , 0.

3 , ,y0 y


100

1. (2+4,3-) .

.

2.

: )( 2 9a , 2 2 3a a ) )(||-2, 2 5 6a a )

)( |2-5|-3 ,|-3|-2).

3. (3,5) (-1,2) (-1,-2)

:) ) yy ) )

1 3 .

4. (2-7,3-y) (-5,1). ,y ,

: ) ) yy )

) 1 3 .

5. :

)(2,4) (5,8) )(-3,-4) (3,4) )(-5,1) (7,6) )(-7,-3) (-3,0)

6. (-1,-2) (,1) =5.

7. (1,4) ,(5,2) (-2,-2)

.

8. (-2,3) (1,5).

) .

) .

) .

9. (2,6) 10.

10. yy (-2,1)

13 .


101

: f A .

y, (,f(x)),

f.

H f Cf.

: (,) f

, : f()=

;

f

f(x). f

. (

) f .

. (

).

:

:

y=f(x) y=0 f(x)=0

( ) .

yy:

y=f(x) =0. y=f(0)

.

: 0 ,

yy.

:

Cf , yy

( ).

Cf f(x)>0 k f(x)


102

. ) f(x)=2x-4.

)

:

) )

) .

: f(x)=0 2x-4=0 2x=4

x=2.A (2,0).

yy: =0 f(0)=-4.A

yy B(0,-4).

) Cf f(x)>0 2x-4>0 2x>4 x>2.

Cf f(x)


103

1.

:

) 2( ) 3 4f x ) ( ) | 2 5 |f x x )6

( )2

xf x

x

)

3

5( )

xf x

x

) ( ) 4f x x ) ( ) | 1| | 2 |f x x x 2. :

2x-6, x 2f(x)= 2

x -3x-10, x


104

7. :

f(x)=x2-x+2 g(x)=x2+x+8

Cf 2, Cg

(-2,2). :

) .

) Cf Cg.


105

f(x)=ax+

: ,

.

=0, .

: 000) (


106

y=0 .

f(x)=ax

(0,0).

=.

y=ax+.

=1 (=45 ) y=x

.

=-1 (=135 ) y=-x

.

1:y=a1x+1 2:y=a2x+2 , :

1=2 .

1=2 1=2 .

12 =-1 .

. ) , 1:y=(22+4)-7 2:y=(

2+4)+13

.

) , 1:y=(+1)-3 2:y= -2

2+4 .

) 22+4=2+4 2-4+4=0 =2

) +1-2

2=-1 (+1)(-2)=-2 2--2=-2 2-=0 (-1)=0

=0 =1


107

1. y=(+2) +2+8 .

) ) .

2. y=(2-6)+-1 .

) ) .

3. y=(3-)++1 045 .

) ) .

4. :

)f(x)= 5

2 1

2

2

x

x

)

2 2 3( )

2 8 3

xf x

x x

)f()=||-2 )f()=|+2| -|-1|

5. :

) :y=(3-5)+2 :y=4-1 ): y=(-3)-1 :y=(5-)+4

): y=( 2 4 ) -7 : y=(+10)+21 ): y=(-3)+2 : y=(43)

) : y=|+2|-1 : y=-5 ) : y=|-3|-2 : y=|3+7|

6. :

) :y=(+1) : y=(+3)-2 ) :y=(+8) : y=(+8) -4

): y=(-1) -2 : 2

62

y

): y=(-2)-1 : y=

3

3

) : y= 22 4 : y= 43 5 .

7. : y=(+3)+5 : y=(+8)+2+1.

: ) ).

8. :

)(-4,0) (0,2) )(0,-2) (3,1) )(0,3) (2,1) )(0,-1) (4,-1)


108

9. :

) :y=-3+2 (2,-1)

) :y=2+5 (2,-13).

10. :y=2+7

(-4,-1).


109

-

f,:

f(x)=(x)+c, c>0,

c .( 1)

f(x)=(x)-c, c>0,

c .( 2)

( 1)

( 2)

f,:

f(x)=(x-c), c>0,

c .( 3)

f(x)=(x+c), c>0,

c .( 4)


110

( 3)

( 4)

:

f, :

f(x)=(x+c)+d, c,d>0

c

d .

f(x)=(x+c)-d, c,d>0

c

d .

f(x)=(x-c)+d, c,d>0

c

d .

f(x)=(x-c)-d, c,d>0

c

d .

:


111

1. f

, 1,2 :

1


112

f(1)-f(2)0, f .

5- - 5-


113

) 1,2( - ,2) 1 2

.

f(x )-f(x )1 2=

x -x1 2=

3x +1 3x +11 2 (3x +1)(x -2)-(3x +1)(x -2)- 1 2 2 1x -2 x -2 (x -2)(x -2)1 2 1 2= =

x -x1 2x -x1 2

3x x -6x +x -2-3x x +6x -x +21 2 1 2 1 2 2 1 =

(x -2)(x -2)(x -x )1 2 1 2

7x -7x -7(x -x )2 1 1 2= =(x -2)(x -2)(x -x ) (x -2)(x -2)(x -x )1 2 1 2 1 2 1 2

-7

(x -2)(x -2)1 2. 1


114

A

:

1. f 0,

f(x)f(x0) 0

f(x0) f.

2. f 0,

f(x)f(x0) 0

f(x0) f.

, :

f(x)M f(x) .

f(x)=M f(x)= ,

.

. 2x

f(x)=2

x +1 -1

1.

H f =

:


115

2 22x 2x 2x+x +1 (x+1)

f(x) -1 -1 +1 0 0 02 2 2 2

x +1 x +1 x +1 x +1

.

E -

1 0 0

2 22x 2x 2x-x 1 -(x-1)

( ) 1 1 02 2 2 2

x +1 x +1 x +1 x +1f x

.

:

= = =0 =0 x=-1

2 22x 2x 2x+x +1 (x+1) 2

f(x)=-1 -1 +1=0 0 (x+1)2 2 2 2

x +1 x +1 x +1 x +1

-=1 =0 =0 =0 x=1

2 22x 2x 2x-x 1 -(x-1) 2

( )=1 1=0 -(x-1)2 2 2 2

x +1 x +1 x +1 x +1f x

f =-1 -1 =1

1.

:

1) f ,:

f(-x)=f(x) .

2) f ,:

f(-x)=f(x) .

,

0. :

(-,)

[-,]

(- ,-) (,+ )

(- ,-] [,+ )


116

(-,-) (,)

[-,-] [,]

,a a

*

,

yy.

,

.

;

,

:

0,

.

f(-x),

:

f(-x)=f(x), f ,

f(-x)=-f(x), f .

f(-x) f(x) f(-x) -f(x) .

: ,

) - ) f(-x) f(x)

f(-x) -f(x).

, .


117

1.

:

f(x)=|x| , g(x)=|x|+2 , h(x)=|x|-2

2.

:

f(x)=|x| , g(x)=|x-2| , h(x)=|x+2|

3.

:

a)f(x)=|x| g(x)=|x+2|+1

)f(x)=|x| g(x)=|x-1|-2.

4. :

) 3( ) 5f x x x ) ( ) 2f x x x ) ( ) 12 3 4f x x x ) ( ) 4 3f x x

5. f

i)f(x-4) f(3x) ii)f(|x|) f(2).

6. f

)f(|-2|) f(4) )f(|2-3|) f(5).

7. :

) 2( ) 3 2f x x ) 2( ) 1f x x ) 4( ) 2 6f x x ) 2( ) 3( 5) 11f x x )2( ) 5 2( 1)f x x

8. 2

4x -4x+5f(x)=

24x +3

. f 2

3

2.

9. :

) 4 2( ) 2f x x x ) 3( ) 3f x x x ) 2( ) 5 4f x x x ) ( )f x x x


118

)2

( )4

xf x

x

)

2

3( )

9

x xf x

x x

) ( ) 3 3f x x x

)2 4 1

( )3 3

x xf x

x x

) 2 2( ) 4 2 4 4f x x x x x

10. :f ( ) ( ) ( )f y x f y f x ,x y .

) f(0) ) .

11. :f ( ) ( ) 2 ( ) ( )f y x f y x f x f y

,x y . ) f(0) ) .

12. f: . :

g(x)=xf(x)-|f(x)|

.

13. f: . :

g(x)=f(f(x))-x4f(x)

.


119

7

f(x)=ax2

: =

: ,

yy.

: (- ,0] [0,+ ).

: =0 f(0)=0. :

, + f(x) + .

A , - f(x) + .

: f(x)=ax2,

(0.0) .

f(x)=-ax2

: =

: ,

yy.

: (- ,0] [0,+ ).

: =0 f(0)=0. :

, + f(x) - .

A , - f(x) - .

: f(x)=ax2,

(0.0) .


120

:

f(x)=ax2 g(x)=-ax2 0

.

|| yy (

)

a

f(x)= >0x

: =(- ,0) (0,+ )

: ,

(0,0). : y=x y=-x

: (- ,0) (0,+ ).

: . :

, + f(x) 0

A , -

f(x) 0.


121

( ,

).

0 ,

0 , f(x) .

0 ,

0 , f(x) .

( ,

).

: af(x)= >0x

, , 1

3 .

a

f(x)=- >0x

: =(- ,0) (0,+ )

: ,

(0,0). : y=x y=-x

: (- ,0) (0,+ ).

: . :

, + f(x) 0

A , -

f(x) 0.


122

( ,

).

0 ,

0 , f(x) .

0 ,

0 , f(x) - .

( ,

).

: a

f(x)=- >0x

,

, 2 4 .


123

1.Na , :

)f(x)=(8-2)2 .

)f(x)=(||-3)2 .

2. , :

)f(x)=(3-)x2 (- ,0].

)f(x)=(||-1)2 [0,+ ).

)f(x)=(2+3+2)2 ( -,0]

)f(x)=(62+7+1)2 [0,+ )

3. , :

a) 3+6

f(x)=

(0,+ ).

) 2 5-14

f(x)=

(- ,0).

) 24 4+1

f(x)=

(0,+ )

) 2 4+10

f(x)=

(- ,0).

4. , :

) 1-|+3|

f(x)=

1 3 .

) 2 +4+3

f(x)=

2 4 .

5. :

a)f(x)=x2 g(x)=x2+1 h(x)=(x-1)2

)f(x)=-x2 g(x)=-x2-2 h(x)=-(x+1)2


124

6. :

a) 4 4 4

f(x)= g(x)= -3 h(x)=x x x+1

7. :

|a-1|-1f(x)=

x

(-2,-1) g(x)=ax2 .

) .

) f g.

8. :

2x -2 x


125

f(x)=ax2+x+ >0

: =

: =-

2.

: (- ,-

2]

[-

2,+ ).

: =-

2 f(-

2)=

-

4.

To K(-

2,

-

4) .

- :

: ,

f(x)=ax2+x+ >0

:

yy: (0,)

. f(x)=x2-4x+3.

: =

: =-

2=

-4- =2

21

: (- ,2]

[2,+ ).

: =2 f(2)=-1

To K(2,-1)

:

: y=0 f(x)=0

x2-4x+3=0 x=1 =3

(1,0) (3,0).

yy: =0 f(0)=3.

(0,3).


126

:

f(x)=ax2+x+ 0

:


127

. f(x)=-x2-2x+3

: =

: =-

2=-1

: (- ,-1]

[-1,+ ).

: =-

2 f(-1)=4.

To K(-1,4) .

:

: y=0

f(x)=0 -x2-2x+3=0 x=1 =-3

(1,0) (-3,0).

yy: =0 f(0)=3.

(0,3).

:


128

.

1. :

)f(x)=x2+4x-2

) f(x)=-x2+6x-4

) f(x)=-4x2+4x-1

2.Na

:

) f(x)=x2-2x-3

) f(x)=2x2+4x+3

) f(x)=-3x2-4

3. f(x)=x2-6x+5.

a)Na .

) .

) .

) .

4. f(x)=-2x2+8x-6.

a)Na .

) .

) .

) .

5. f(x)=x2++ (3,-5).

.

6. f(x)=2+(+2)-2(2-1) =-1.

) ,

) .

7. f(x)=-2+(+2)-2 . :

) ,

) .

8. , :

f(x)=x2+(-2)x-+1

:

)

)yy.


129

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