1.0 INTRODUCCIÓN

3º 1.0.1 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS 3º

π⇒

⇒

−⇒

⇒

..... periódicos no malesDeci; ; 5 ; 3- ; 2 RACIONALES NO

.....17,3 :mixtos periódicos Decimales

;....31,7;3

4 :puros periódicos Decimales

;......4

3 ; 0,31 :exactos Decimales

. IOSFRACCIONAR

....8 ; 4

24- ; 11- NEGATIVOS ENTEROS

......81;6

24 ; 4 ; 0 (N) NATURALES

(Z) ENTEROS

(Q) RACIONALES ????????

3

enteros) no s(Racionale

3

)

3º 1.0.2 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL 3º Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador

entre el denominador. 3º Ejemplos:

• 4

8= 2 ⇒ Natural

• 25,24

9 = ⇒ Decimal exacto

• 3,1....333333,13

4 )== ⇒ Decimal periódico puro

• 61,1....166666,16

7 )== ⇒ Decimal periódico mixto

3º 1.0.3 PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN 3º Decimales exactos:

N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero. 100N = 238 Despejar N

N = 100

238 Simplificar la fracción, si es posible ⇒ N =

50

119

3º Decimales per iódicos puros:

N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener otro número con el mismo periodo.

100N = 238,38 Restarlos (Se van los periodos) 99N = 236 Despejar N

N = 99

236 Simplificar la fracción, si es posible ⇒ N =

99

236

3º Decimales per iódicos mixto:

N = 2,38)

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico puro

10N = 23,8 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener otro número con el mismo periodo.

100N = 238,8 Restarlos (Se van los periodos) 90N = 215 Despejar N

N = 90

215 Simplificar la fracción, si es posible ⇒ N =

18

43

1.1 NÚMEROS IRRACIONALES 3º INTRODUCCIÓN 3º Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números

enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica. 3º Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como

cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica. 3º Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente

interesantes. Veamos alguno:

- La diagonal del cuadrado de lado 1: 2

- Si p no es cuadrado perfecto, p es irracional.

- En general, si p es un número entero y n p no es un número entero (es

decir, p no es una potencia n-ésima), entonces n p es irracional.

- La diagonal de un pentágono de lado unidad: 2

15 +=φ (“ fi” : Número áureo)

- La relación entre la longitud de una circunferencia y su radio: Π (“pi” )

1.2 LOS NÚMEROS REALES 4º 1.2.1 DEFINICIÓN 4º El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto

de números reales y se designa por R.

π⇒

⇒

−⇒

⇒

..... periódicos no malesDeci; ; 5 ; 3- ; 2 (I) ESIRRACIONAL

.....17,3 :mixtos periódicos Decimales

;....31,7;3

4 :puros periódicos Decimales

;......4

3 ; 0,31 :exactos Decimales

. IOSFRACCIONAR

....8 ; 4

24- ; 11- NATURALES NO ENTEROS

......81;6

24 ; 4 ; 0 (N) NATURALES

(Z) ENTEROS

(Q) RACIONALES (R) REALES

3

enteros) no s(Racionale

3

negativos) (Enteros

)

4º Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los

números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades. También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales.

4º 1.2.2 LA RECTA REAL 4º Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada

punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.

4º 1.2.3 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS SOBRE LA RECTA REAL 4º Todo número real puede situarse sobre la recta real, dependiendo de cómo sea el

número:

3º Representación de naturales, enteros o decimales exactos 3º Ejemplo: 2; 3,47

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,5

3º Decimal per iódico: Pueden expresarse en forma de fracción y representar la fracción (Se divide cada

unidad en tantas partes como tenga en denominador y se toman tantas como tenga el numerador.) Ejemplo : 0,8333333….. = 5/6

3º Ejemplo : 11/6 = 1 + 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el 1 y el 2)

Ejemplo : -11/6 = -1 – 5/6 (Se divide igual pero la unidad entre el –1 y 1l –2) 4º Representación de ir racionales cuadráticos 4º Si un número irracional es radical cuadrático o una combinación de ellos, se puede

representar construyendo triángulos rectángulos (Se utiliza el teorema de Pitágoras donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar.)

( ) 2221310 +=

0 1

4º Representación de números ir racionales 4º Si un número irracional viene dado por su expresión decimal, podemos representarlo,

de forma aproximada: Ejemplo: 3,470470047..... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 3,4 3,41 3,42 3,43 3,44 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,5

Podemos afinar tanto como queramos.

Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de

forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos.

1.3 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS 4º Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura especial:

NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN

Intervalo abierto (a,b) { x / a < x < b } Nº comprendidos entre a y b, sin

incluir a ni b

Intervalo cerrado [a,b] { x / a ≤ x ≤ b } Nº comprendidos entre a y b,

ambos incluidos.

(a,b] { x / a < x ≤ b } Nº comprendidos entre a y b,

incluido b pero no a

Intervalo semiabierto

[a,b) { x / a ≤ x < b } Nº comprendidos entre a y b,

incluido a pero no b

(-∞,a) { x / x < a } Números menores que a

(-∞,a] { x / x ≤ a } Nº menores que a y el propio a

(a,+∞) { x / a < x } Números mayores que a

4º

Semirrecta

[a,+∞) { x / a ≤ x } Nº mayores que a y el propio a

La propia recta real se representa en forma de intervalo, así: R = (-∞,+∞)

POTENCIAS

3º PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS 3º

[1] a0 = 1 [3] am.an = am+n [6] (a.b)n = an.bn [8] a-n = na

1

[2] a1 = a [4] am : an = am-n [7](a:b)n = an : bn [9] n

nnn

a

b

a

b

b

a =

=

−

[5] (am)n = am.n

1.5 RAÍCES Y RADICALES 4º 1.5.1 DEFINICIÓN 4º Se llama raíz n-ésima de un número a y se escribe n a , a un número b que cumple la

siguiente condición: n a = b si bn = a

n a se llama radical, a radicando, y n, índice de la raíz. 4º 1.5.2 ALGUNAS PECULIARIDADES DE LAS RAÍCES 4º Si a ≥ 0, n a existe cualquiera que sea n

Si a < 0, sólo existe su raíz de índice impar.

Aunque en general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas: a y - a ,

con 4 nos referimos a su raíces positiva, es decir, a 2. 4º 1.5.3 FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES 4º Forma exponencial de radicales : n

1n aa =

nmn m aa =

4º 1.5.4 POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA 3º Raíces cuadradas: “ ”

180 ⇒ “ ” “180” “=” ⇒ 13,41640786

4º Potencias: “ xy”

264 ⇒ “2” “xy” “64” “=” ⇒ 1,84467440719 ⇒ 1,844674407. 1019

4º Raíces con la tecla “ xy” 5

25 2 )483(483 = ⇒⇒⇒⇒ “483” “ (“ “2” “ :” “5” “ )” “=” ⇒ 11,84619432

101

10 100000100000 = ⇒ “100000” “xy” “10” “1/x” “=” ⇒ 3,16227766 4º

Tecla “ y1

x ” (En otras calculadoras “ x ” )

515 350350 = ⇒ “350” “ y1

x ” “5” “=” ⇒ 3,227108809

1.6 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 4º Los radicales tienen una serie de propiedades que se deducen de las propiedades de

las potencias: 4º 1. nnp p aa =

2. nnn abb.a =

3. nn

n

b

a

b

a =

4. ( ) n ppn aa =

5. mnm n aa = 4º 6. Suma o diferencia de radicales : Dos radicales distintos no pueden sumarse si no

es obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Sólo puede sumarse radicales idénticos.

32 + =

53225322 +=−+

2102523225.23.222500188 4 42234 =++=++=++ 4º 7. Para multiplicar o dividir radicales: Primero hay de reducirlos a índice común

63.23.2 ==

66 233 2005.25.2 == 4º 8. Racionalización de denominadores : A veces conviene suprimir las raíces del

denominador. Para ello hay que multiplicarlo por la expresión adecuada. Naturalmente, el numerador también se multiplicará por esa misma expresión.

5

5

5

5.

5

1

5

1

25

1 3

3

3

3 23 23===

( ) 22

35

325

35

35

35

35

35.

35

1

35

122

+=−

+=−

+=++

−=

−

1.7 NÚMEROS APROXIMADOS. NOTACIÓN CIENTÍFICA 3º 17.1 EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS

SIGNIFICATIVAS. 3º Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas, se

deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas. 3º Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número

aproximado. Sólo de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste. 3º Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas

recurriremos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos como está. Ejemplos: Redondear con tres cifras significativas: 123.421 ≅ 123.000 123.521 ≅ 124.000 123.721 ≅ 124.000 Al redondear números decimales, normalmente, nos quedamos con dos decimales.

1.7.2 CONTROL DEL ERROR COMETIDO 3º Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error. 3º El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor Aproximado, en

valor absoluto (en positivo) Error Absoluto = | Valor Real – Valor Aproximado |

El valor exacto, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desconoce el error absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del error absoluto se obtiene a partir de la última cifra utilizada: (0,5 unidad de la última cifra utilizada)

3º Pero no es lo mismo cometer un error de un centímetro al medir una tiza que una

pizarra, por tanto definimos: El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor real

Error Relativo = Real Valor

Absoluto Error

Es tanto menor cuántas más cifras significativas se usan.

3º Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con

menor o igual número de cifras significativas.

1.8 NOTACIÓN CIENTÍFICA 3º 1.8.1 INTRODUCCIÓN 3º Los números siguientes están puestos en notación científica:

2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000 (14 cifras a partir de la coma) 7,561. 10-14 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7)

3º La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos dan

contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños.

3º 1.8.2 DEFINICIÓN 3º Un número puesto en notación científica consta de :

- Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las unidades) - El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal. - Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.

N = a , bcd...... x 10n

a = Parte entera (sólo una cifra) bcd..... = Parte decimal 10n = Potencia entera de base 10

3º Si n es positivo, el número N es “grande”

Si n es negativo, el número N es “pequeño” 3º 1.8.3 OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA 3º En sumas y en restas hay que preparar los sumandos de modo que tengan todos la

misma potencia de base 10 y así poder sacar factor común. 5,83 . 109 + 6,932 . 1012 – 7,5 . 1010 = 5,83 . 109 + 6932 . 109 – 75. 109 = = (5,83 + 6932 – 75) . 109 = = 6862,83 . 109 = 6,86283 . 1012 ≅ 6,86 . 1012

3º El producto, el cociente y la potencia son inmediatos, teniendo en cuenta:

10b. 10c = 10b+c 10b : 10c = 10b-c ( ) c.bcb 1010 = (5,24 . 106) . (6,3 . 108) = (5,24 . 6,3) . 106+8 = 33,012 . 1014 = 3,3012 . 1015 ≅ 3,3. 1015

(5,24 . 106) : (6,3 . 108) = (5,24 : 6,3) . 106-8 = 0,8317 . 10-2 = 8,317 . 10-3 ≅ 8,32. 10-3

(5,24 . 106)2 = (5,24)2 . 106.2 = 27,4576 . 1012 = 2,74576 . 1013 ≅ 2,75. 1013

CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO 1 : Clasifica los siguientes números como

4 10; ; 2,333...; 7; 36; ; 5; 7,45 5 2

Solución:

54 = 0,8 Decimal exacto, Fraccionario, Racional, Real

510 = 2 Natural, Entero, Racional, Real

-2,3333…= 3,2 Decimal periódico puro, Fraccionario, Racional, Real

7 Decimal no periódico, Irracional, Real

36 = 6 Natural, Entero, Racional, Real

2 Decimal no periódico, Irracional, Real

-5 Entero negativo, Entero, Racional, Real

7,45 Decimal periódico mixto, Fraccionario, Racional, Real

EJERCICIO 2 : Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

5 33,42; ; ; 81; 5; 1; ; 1,4555...6 4 4

Solución:

EJERCICIO 3 : Representa sobre la recta los siguientes números: 72,3; ; 34

Solución:

2

EJERCICIO 4 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:

a) 50 b) 82 Solución:

22 1750)a La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 7 y 1 es la longitud pedida. Con el compás podemos trasladar esta medida a donde deseemos.

22 1982)b

EJERCICIO 5 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras: a) 18 b) 46 Solución:

EJERCICIO 6 : Representa en la recta real: a) 3,47 b) 3,4777777…. Solución: a) b)

3

INTERVALOS Y SEMIRECTAS EJERCICIO 7 : Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas: a x / 2 x 3 b , 2 c Números mayores que -1 d Solución: a 2, 3 Intervalo semiabierto Números comprendidos entre -2 y 3, incluido -2

b x / x 2 Semirrecta Números menores o iguales que -2

c 1, Semirrecta x / x 1

d [5, 7] Intervalo cerrado x / 5 x 7 Números comprendidos entre 5 y 7, ambos incluidos

FRACCIONES, POTENCIAS Y DECIMALES EJERCICIO 8

a Opera y simplifica el resultado: 1 21 3 3 1 31,16

2 4 5 2 4

b Simplifica: 5 2

12 4

2

Solución: a Expresamos 1,16 en forma de fracción:N

100 116,666...10 11,666...

105 790 10590 6

NN

N N

Operamos y simplificamos:

1 21 3 3 7 1 3 1 3 5 7 1 3 1 5 7 12 4 5 6 2 4 2 4 3 6 4 4 2 4 6

6 15 14 12 1112 12 12 12 12

5 2 5 4 1

1 1 1

2 4 2 2 2b 12 2 2

EJERCICIO 9

a Calcula y simplifica el resultado:

12 1 3 2 1 10,833 2 2 3 2 3

b Simplifica, usando las propiedades de las potencias:

46 -5 13 3

3

Solución: a Expresamos 0,83 en forma de fracción:N

100 83,333...10 8,333...

75 590 7590 6

NN

N N

Operamos y simplificamos:

4

12 1 3 5 2 1 1 2 1 2 5 2 1 2 2 5 2 13 2 2 6 3 2 3 3 2 3 6 3 6 3 6 6 3 6

4 2 5 4 1 06 6 6 6 6

46 5 6 5 4 51b 3 3 3 3 3 3 243

3

EJERCICIO 10

a) Efectúa y simplifica:

11 3 2 1 1 21,164 2 3 2 3 5

b) Reduce a una sola potencia: 5 4

6 03 93 3

Solución: a) Expresamos 1,16 en forma de fracción:N

100 116,666...10 11,666...

105 790 10590 6

NN

N N

Operamos y simplificamos:

11 3 2 7 1 1 2 1 3 3 7 1 5 1 9 7 1 5:4 2 3 6 2 3 5 4 2 2 6 2 6 4 4 6 2 6

3 27 14 6 10 6 112 12 12 12 12 12 2

b)

5 4 5 89

6 0 6

3 9 3 3 33 3 3 1

EJERCICIO 11

a Opera y simplifica: 21 3 1 32,16

4 2 2 8

b Reduce a una sola potencia y calcula: 13 25 3:

3 5

Solución: a Expresamos 2,16 en forma de fracción:N

100 216,666...10 21,666...

195 1390 19590 6

NN

N N

Operamos y simplificamos:

213 1 3 1 3 13 3 1 3 13 3 1 36 4 2 2 8 6 8 4 8 6 8 4 8

52 9 6 9 28 724 24 24 24 24 6

1 1 13 2 3 2 1 15 3 5 5 5 5 3b : :3 5 3 3 3 3 5

RAÍCES EJERCICIO 12 : Averigua el valor de k en cada caso:

4

5

a) 7b) 125 5c) 32

k

k

k

Solución:

5

44

55

a) 7 7 2401

b) 125 5 5 125 3

c) 32 32 2

kk

k k k

k

k k k

EJERCICIO 13 : Expresa como potencia de x y simplifica. Da el resultado final en forma de raíz:

3 2

23

324

a) x

1b)

c)

x x

xx

x

Solución:

2 13 2 32 1 1 6 67 6 7 6 63 2

1 2a) x x x x x x x x x x xxx

3 2 1 22 23

1b) x x x x xx

3 4 6 4 3 22 6 34c) x x x x x x x

EJERCICIO 14 : Extrae del radical todos los factores que sea posible:

5 4

4 5

3

3 4 6 7

a) 864

b)

c)

a b

x yz

a b c

Solución:

5 4 5 3 5 4 2 2 2 2 2a) 864 2 3 2 3 2 3 12 6a b a b a b a a b a

4 5 2 2

3b) x y x y yz zz

3 4 6 7 2 2 3c) a b c ab c ac

EJERCICIO 15 : Simplifica y extrae los factores que puedas fuera del radical:

7 10

26 4

103

a)

b)

c)

a

a

a

Solución:

7 710 3a) a a a 2

8 6 4 36 6 34 8 4 3b) a a a a a a a 10

10 6 5 36 3 310 5 23c) a a a a a a a

EJERCICIO 16 : Expresa como potencia de exponente fraccionario y simplifica. Da el resultado final en forma de raíz:

4 10

3

6615

3

a)

1b)

1c) 927

aa

aa

Solución:

10 4 5 24 10

3 2 3 23a) a a a a

a aa

5 2 1 26 15 / 6 6 / 2 3615

1b) a a a a a a aa

3 2 2 3 5 63 23 63 5

1 1 1c) 9 3 3 3 327 3 3

EJERCICIO 17

1 1a) Opera y simplifica: 300 12 35 2

3 2b) Racionaliza y simplifica: 3 2

Solución:

2 2 21 1 1 1 1 1a) 300 12 3 2 3 5 2 3 3 2 5 3 2 3 35 2 5 2 5 2

2 3 3 3 2 3

3 2 3 23 2 9 2 6 2 11 6 2b)

9 2 73 2 3 2 3 2

EJERCICIO 18

1a) Calcula y simplifica: 28 63 2 73

1 3b) Racionaliza y simplifica: 1 3

Solución:

2 21 1 1a) 28 63 2 7 2 7 3 7 2 7 2 7 3 7 2 73 3 3

2 7 7 2 7 3 7

1 3 1 31 3 1 3 2 3 4 2 3b) 2 3

1 3 21 3 1 3 1 3

EJERCICIO 19 a) Efectúa y simplifica: 405 45 8 5

6 2b) Racionaliza y simplifica: 6 2

Solución: 4 2a) 405 45 8 5 3 5 3 5 8 5 9 5 3 5 8 5 14 5

26 2 6 26 2 6 2 2 12 8 2 12 8 2 2 3b) 6 2 4 46 2 6 2 6 2

8 4 3 2 34

EJERCICIO 20 a) Opera y simplifica: 2 48 300 5 3

3 2b) Racionaliza y simplifica: 2 3

4 2 2a) 2 48 300 5 3 2 2 3 2 3 5 5 3 8 3 10 3 5 3 3 3

3 2 3 2 2 3 6 6 3 6 2 6 5 6b) 2 3 6 6 62 3 2 2 3 3

EJERCICIO 21

3a) Efectúa y simplifica: 2 32 5 2 8b) Racionaliza y simplifica:

7 3

Solución:

3 4a) 2 32 5 2 2 2 2 2 5 2 2 2 4 2 5 2 3 2

8 7 3 8 7 3 8 7 38b) 2 7 3 2 7 2 3

7 3 47 3 7 3 7 3

EJERCICIO 22

2 1a Calcula y simplifica : 80 180 53 4

1 2b Racionaliza y simplifica :5 3

Solución:

4 2 22 1 2 1 8 6a 80 180 5 2 5 2 3 5 5 5 5 53 4 3 4 3 4

8 6 131 5 53 4 6

1 2 5 31 2 5 3 10 6 5 3 10 6b5 3 25 3 5 3 5 3

EJERCICIO 23

1 1a Opera y simplifica : 75 3 2435 2

5 3b Racionaliza y simplifica :5 3

Solución:

2 51 1 1 1 9 5a 75 3 243 3 5 3 3 3 3 3 35 2 5 2 2 2

5 3 5 35 3 5 2 15 3 8 2 15b 4 155 3 25 3 5 3 5 3

EJERCICIO 24 1a Opera y simplifica: 24 54 6002

3b Racionaliza y simplifica:2 3 2

Solución:

3 3 3 21 1 3 13a 24 54 600 2 3 2 3 2 3 5 2 6 6 10 6 62 2 2 6

3 2 3 23 6 6 6 6b12 2 102 3 2 2 3 2 2 3 2

EJERCICIO 25 : Calcula y simplifica:

3 4 3

6

1a) 2 8 18 323

b)

x xx

Solución:

3 2 51 1a) 2 8 18 32 2 2 2 3 2 4 2 2 4 2 7 23 3

3 4 3 8 96 3 316 8 2 26

6b) x x x x x x x x

xx

EJERCICIO 26 : Opera y simplifica:

4 3

3 2

1a) 27 12 2 752

b)

a aa

Solución:

3 2 21 1a) 27 12 2 75 3 2 3 2 3 5 3 3 3 10 3 6 32 2

4 3 9 612 712

83 2b) a a a a a

aa

EJERCICIO 27 : Calcula y simplifica el resultado:

3

a) 27 3 192 2 129 3b)

27

Solución:

3 6 2a) 27 3 192 2 12 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 8 3 4 3 6 3

3 2 4 33

6 369 23

9 3 3 3 3 3 1 1b)33 327 3

EJERCICIO 28 : Opera y simplifica:

3

a) 48 3 75 81 10875 25b)

15

Solución:

4 2 4 2 3a) 48 3 75 81 108 2 3 3 3 5 3 2 3 4 3 15 3 9 6 3 25 3 9

32 2 3 6 436 7 66

3 3

75 25 3 5 5 3 5 5b) 5 5 53 515 3 5

EJERCICIO 29 : Calcula y simplifica:

3

6

1a) 3 32 72 1283

9 27b)3

Solución:

5 3 2 71 1a) 3 32 72 128 3 2 2 3 2 12 2 2 2 8 2 18 23 3

3 2 3 4 936 12 26

6 6

9 27 3 3 3 3b) 3 3 933 3

EJERCICIO 30

a Simplifica y extrae los factores que puedas fuera del radical:

31I 279

104II a 5 6III 162a b

3b Racionaliza y simplifica :5 2

Solución:

3 32

1 1a) I 3 3 133

10 410 8 5 58 4II a a a a a a 4 5 6 2 3III 2 3 9 2a b a b a

3 5 2 3 5 2 3 5 23b 5 25 2 35 2 5 2 5 2

EJERCICIO 31 : Expresa como un solo radical: 3a) 2 5

4 23b) 2 2 3 5c) 7 7

Solución:

3 3 6a) 2 5 10 10 64 12 122 4 6 10 53b) 2 2 2 2 2 2

30 305 6 113 5 6 5c) 7 7 7 7 7 7 7 EJERCICIO 32 : Racionaliza y simplifica:

4

2a)31b)

3 5c)5 3

a

Solución:

2 2 3 2 3a)33 3 3

4 43 3

4 4 34

1b) a aaa a a

3 5 5 33 5 3 5 2 15 8 2 15c) 4 155 3 25 3 5 3 5 3

EJERCICIO 33 : Racionaliza y simplifica:

3

3a)2

2b)

2c)5 2

a

Solución:

3 3 2 3 2a)22 2 2

3 32 2

3 3 23

2 2 2b) a aaa a a

2 5 22 5 2 2 2 5 2c)25 2 235 2 5 2 5 2

EJERCICIO 34 : Racionaliza y simplifica:

5

1a)53b)

3 2c)3 2

2a

Solución:

1 1 5 5a)55 5 5

5 53 3

5 5 52 2 3

3 3 3b) a aaa a a

3 2 3 23 2 3 2 2 6 5 2 6c) 5 2 63 2 13 2 3 2 3 2

EJERCICIO 35 : Racionaliza y simplifica:

7 4

2a)3 2

1b)

5c)2 2 5

a

Solución:

2 2 2 2 2 2a)3 2 33 5 3 2 2

7 73 3

7 7 74 4 3

1 1b) a aaa a a

5 2 2 55 2 10 5 2 10 5c)8 5 32 2 5 2 2 5 2 2 5

APROXIMACIONES Y ERRORES EJERCICIO 36 : Halla con ayuda de la calculadora, aproximando, cuando sea necesario, hasta las

centésimas: a) 347 5b) 7776 4 3c) 7

125d)3

Solución:

5

a) 347 18,63

b) 7776 6

4 3c) 7 4,30

125d) 3,733

EJERCICIO 37 : a Aproxima cada una de las siguientes cantidades, dando dos cifras significativas:

I Hay 1 527 estudiantes en un instituto. II Victoria pesa 58,23 kg.

b Halla el error absoluto y el error relativo cometidos al hacer las aproximaciones. Solución: I 1 527 estudiantes 1 5 cientos de estudiantes

Error absoluto Valor real – Valor aproximado = 1 527 – 1 500 27 estudiantes 210.77,1...01768,0

152727relativo_Error

II 58,23 kg 58 kg Error absoluto 58,23 – 58 0,23 kg

33 10.95,310...9498,323,5823,0relativo_Error

EJERCICIO 38 a Aproxima hasta las décimas cada uno de los siguientes números:

A 1,84 B 39,174 b Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al tomar esas aproximaciones. Solución: A 1,84 1,8

Error absoluto Valor real – Valor aproximado = 1,84 1,8 0,04 210.18,2...021739,0

84,104,0relativo_Error

B 39,174 39,2 Error absoluto 39,174 39,2 0,026

410.64,6...0006637,0174,39026,0relativo_Error

EJERCICIO 39 : Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones: a La altura de un edificio es de 35 metros. b En una biblioteca hay 56 miles de libros. Solución: El error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra significativa:Error absoluto

Una cota para el error relativo es:

Error relativoValor aproximado

Por tanto:

a) Error absoluto 0,5 metros 210.43,1...01428,035

5,0relativo_Error

b) Error absoluto 500 libros 33 10.93,810...9285,856000

500relativo_Error

EJERCICIO 40 a Expresa con un número razonable de cifras significativas cada una de las siguientes cantidades:

I 3 842 ejemplares vendidos de un libro. II Hemos gastado 1 212,82 € en nuestras vacaciones. b ¿Qué error absoluto estamos cometiendo al considerar 29 miles de habitantes como aproximación de

29 238? ¿Y error relativo? Solución: a I 3 842 ejemplares 3 8 cientos de ejemplares

II 1 212,82 € 1 2 cientos de € b Error absoluto Valor real Valor aproximado 29 238 29 000 238 habitantes

33 10.15,810...14009,8238.29

238relativo_Error

EJERCICIO 41 : En una librería se han vendido 5 271 ejemplares de un determinado libro, a 32,45 € cada uno. a) ¿Cuánto dinero se ha recaudado en la venta? Aproxima la cantidad obtenida dando dos cifras

significativas. b) Di cuál es el error absoluto y cuál el error relativo cometidos al hacer la aproximación. Solución: a) 5 271 32,45 171 043,95 € 17 decenas de miles de € b) Error absoluto Valor real Valor aproximado 171 043,95 170 000 1 043,95 €

33 10.11,610...1034,695,171043

95,1043relativo_Error

NOTACIÓN CIENTÍFICA EJERCICIO 42 a Escribe en forma decimal estos números: A 3,42 · 1012 B 1,43 · 108

b Expresa en notación científica las siguientes cantidades: C 3 410 000 000 000 D 0,00000002 E 82 300 · 1018

Solución: a A 3 420 000 000 000 B 0,0000000143 b C 3,41 · 1012 D 2 · 108 E 8,23 · 1022

EJERCICIO 43 a Al realizar con la calculadora la operación 330 hemos obtenido en la pantalla lo siguiente:

.2.05891132114. Expresa en notación científica el número anterior. ¿De cuántas cifras es dicho número?

b Aproxima el resultado anterior dando tres cifras significativas. Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer la aproximación. Solución:

a 2,058911321 · 1014 Tiene 15 cifras

b Aproximación 2,06 · 1014

Error absoluto 5 · 1011

11

14

5 10| Error relativo | 0,002Valor aproximado 2,06 10

427…10-3 < 2,43.10-3

EJERCICIO 44

a Si calculamos 220 con la calculadora, obtenemos en pantalla: .9.53674316407.

Expresa el número anterior en notación científica y en forma decimal.

b Aproxima el resultado anterior dando dos cifras significativas. Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer la aproximación. Solución:

a 9,536743164 · 107 Notación científica

0,0000009536743164 Notación decimal

b Aproximación 9,5 · 107

Error absoluto 5 · 109

9

7

5 10| Error relativo | 0,005Valor aproximado 9,5 10

2631…. < 5,27.10-3

EJERCICIO 45 : Calcula, expresando el resultado en notación científica con tres cifras significativas:

a) 8 9

3

4,58 10 3,21 10I)

2 10

7 5 8II) 4,53 10 5,84 10 3,4 10

b) 5 6

4

3,42 10 2,81 10I)

2 10

II) 3,45 · 109 4,3 · 108 3,25 · 1010

c) 10 2

4

2,53 10 3,41 10I)

2 10

II) 5,23 · 108 3,03 · 109 2,51 · 107

Solución:

8 9 17 1720 20

3 3 3

4,58 10 3,21 10 4,58 3,21 10 14,7018 10a) I) 7,3509 10 7,35 102 10 2 10 2 10

II) 4,53 · 107 5,84 105 3,4 108 453 105 5,84 105 3 400 105

453 5,84 3. 400 105 2 941,16 105 2,94116 108 2,94 108

5 6 11 117 7

4 4 4

3,42 10 2,81 10 3,42 2,81 10 9,6102 10a) I) 4,8051 10 4,8 102 10 2 10 2 10

II) 3,45 109 4,3 108 3,25 1010 34,5 108 4,3 108 325 108

34,5 4,3 325 108 286,2 108 2,862 1010 2,9 1010

10 2 8 84 4

4 4 4

2,53 10 3,41 10 2,53 3,41 10 8,6273 10a) I) 4,31365 10 4,31 102 10 2 10 2 10

II) 5,23 · 108 3,03 · 109 2,51 · 107 52,3 · 107 303 · 107 2,51 · 107 52,3 303 2,51 107 352,79 · 107 3,5279 · 109 3,53 · 109

EJERCICIO 46 : Dados los números: A 5,23 · 108 B 3,02 · 107 C 2 109

Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado en notación científica con dos cifras significativas: A BI)

C II) A B C

Solución:

8 7 15 156 6

9 9 9

5,23 10 3,02 10 5,23 3,02 10 15,7946 10a) I) 7,8973 10 7,9 10

2 10 2 10 2 10

II) 5,23 · 108 3,02 · 107 2 109 52,3 · 107 3,02 · 107 200 · 107

52,3 3,02 200 · 10 7 144,68 · 107 1,4468 · 10 9 1,4 · 10 9

EJERCICIO 47 a) Halla, con ayuda de la calculadora, el resultado de estas operaciones en notación científica con tres

cifras significativas: 8 5

4 3

5,47 10 3,42 103,5 10 2,53 10

b) Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al dar el resultado aproximado. Solución: a) ( 5.47 EXP 8 3.42 EXP 5 ) ( 3.5 EXP 4 2.53 EXP 3 ) .

.16856.85248. Por tanto:

8 54

4 3

5,47 10 3,42 10 1,69 103,5 10 2,53 10

b) Error absoluto 5 · 101

Error relativoValor real Valor aproximado

Error relativo 0,003

EJERCICIO 48 a) Halla, con ayuda de la calculadora, dando el resultado en notación científica con tres cifras

significativas: 9 8

2 3

2,428 10 3,54 104,25 10 3,4 10

b) Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al dar el resultado aproximado. Solución: a) ( 2.428 EXP 9 3.54 EXP 8 ) ( 4.25 EXP 2 / 3.4 EXP 3 / ).

4.518518519 10. Por tanto:

9 810

3

2,428 10 3,54 10 4,52 104,25 10 3,4 10

b) Error absoluto 5 · 107

Error relativoValor real Valor aproximado

Error relativo 0,0011061…. < 1,11 10-3

EJERCICIO 49 : La velocidad de la luz, en el vacío, es 300.000 km/s. ¿Cuántos metros recorre la luz en un día?. Expresa el resultado en notación científica. Solución:

8 4 131 día =24 60 60=86.400 s e 3 10 8,64 10 =2,592 10 m.

EJERCICIO 50 :Una determinada bacteria mide 2.10-6 m. ¿Cuántas bacterias colocadas en línea recta serían necesarias para cubrir 1 metro de longitud? Solución:

16 6x 2 10 =0,5 10 500.000 bacterias.

EJERCICIO 51 : El diámetro de la luna es de 3500 Km., aproximadamente, ¿cuánto tiempo tardaría en dar una vuelta completa un satélite cuya órbita se encuentra a 200 Km. de la superficie lunar, si su velocidad media es de 800.000 m./h? Solución: LLUNA= r··2 = 1950··2 = 1,2252 · 104 Km = 1,2252 · 107 m.

t = horas10·15315,010·8

10·2252,1ve 2

5

7

= 15 horas , 18 minutos y 3 segundos aproximadamente.

EJERCICIO 52 : Un virus se duplica cada 2 minutos. ¿Podrías decir cuántos virus habrá al cabo de una hora?, ¿y de un día? Solución: Inicio: 1 virus A los 2 min. : 21 = 2 virus A los 4 min.: 22 = 4 virus ................. A los 60 min. 230 = 1,074· 109 virus

EJERCICIO 53 : Sabemos que un año luz equivale a 9,4.1012 Km. Si la distancia de la Tierra a Andrómeda son 2,11.106 años luz. ¿Cuántos kilómetros son la distancia que nos separa de Andrómeda? Solución:

.Km10·98,110·11,2·10·4,9 19612 CALCULADORA EJERCICIO 54 : Halla, con ayuda de la calculadora:

8 7

2

3,5 10 2,34 10a4,5 10

4 3b 7

Solución:

a ( 3,5 EXP 8 2,34 EXP 7 ) 4,5 EXP 2 / . 7257777778.

Por tanto:

8 79

2

3,5 10 2,34 10 7,26 104,5 10

b 7 .xy ( 3 4 ) 4.303517071. Por tanto: 4 37 4,30

EJERCICIO 55 : Utiliza la calculadora para hallar el resultado de estas operaciones:

a 2,54 · 103 3,45 · 104 · 3,5 · 1020 3 2b3

Solución:

a ( 2,54 EXP 3 / 3,45 EXP 4 / ) x 3,5 EXP .

20 1.0097518. Por tanto: 2,54 · 103 3,45 · 104 · 3,5 1020 1,01 · 1018

b ( 3 2 ) 3 2.548547389. Por tanto: 3 2 2,553

EJERCICIO 56 : Halla, con ayuda de la calculadora: 9 10

5

2,96 10 3,5 10a2,3 10

5b 425

Solución:

a ( 2,96 EXP 9 3,5 EXP 10 ) 2,3 EXP 5 / . 1.65043478315

Por tanto:

9 1015

5

2,96 10 3,5 10 1,65 102,3 10

b 425 .x1/y 5 3.354886144.. Por tanto: 5 425 3,35

EJERCICIO 57 : Utiliza la calculadora para obtener el resultado de estas operaciones: 5 7

84,06 10 3,2 10a

2 10

2 3 1b)

5

Solución:

a ( 4,06 EXP 5 / 3,2 EXP 7 / ) 2 EXP 8 2.014-13 .

Por tanto:

5 713

8

4,06 10 3,2 10 2,014 102 10

b ( 2 X 3 1 ) 5 1.996406934.

Por tanto:

2 3 1 1,9965

EJERCICIO 58 : Halla con ayuda de la calculadora: 14 16

5

5,8 10 3,5 10a2,5 10

5 2b 3

Solución:

a ( 5,8 EXP 14 3,5 EXP 16 ) 2,5 EXP 5 / . 1.423221.

Por tanto:

14 1621

5

5,8 10 3,5 10 1,4232 102,5 10

b 3 xy .( 2 5 . 1.551845574. Por tanto: 5 23 1,55

CUESTIONES EJERCICIO 59 : Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

2 3 5a)a a a 3 3b)a a 1

2 2 2c)a a 2a 2 2d)a : a 0

Solución:

2 3a) Falso, la expresión a a no puede ser reducida a un único sumando. 3 3 0b) Verdadero, a a =a =1.

c) Verdadero. 2 2 2-(-2) 4d) Falso, a : a =a =a .

EJERCICIO 60 : Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

a b a ba)2 2 2 b) a b a b 22 2c)a b a b a b 2a bd) 4 2 2

Solución:

a b a+ba) Falso, 2 2 =2 . b) Falso. c) Verdadero.

aa b 2 b 2a bd) Verdadero, 4 2 = 2 2 2 .

Clasificación y representación gráfica de números reales EJERCICIO 1 : Representa sobre la recta real los siguientes números y clasifícalos a) –2 b) 5 c) 0 d) –19/6 e) 1/2 f) 8/3 g) –2/3 EJERCICIO 2 : Ordena de mayor a menor los siguientes números, asócialos a los conjuntos de números que corresponda (N, Z, Q, R) y represéntalos: ; 10; -1; 0,2; -0,3; 4 ; 6; -11/6; 3 27 ; -2,3; 1,010010001....; 5,3131.... ; 9 ; 7 Operaciones con números decimales. Paso a fracción generatriz EJERCICIO 3 : Obtén el siguiente valor en términos de fracción: a) 3.(1 – 2,321 – 1,22.... + 0,5 x 3) – 0,1333.... = EJERCICIO 4 : Calcula:

a) 52,0

25,0.25,0 b) 0,1 3̂ – 0,16 + 3,2

Intervalos y semirrectas EJERCICIO 5 : Describe, en todas las formas posibles: a) Intervalo abierto de extremos 3 y 5 b) [-2,0) c) {x R / -3 < x 1}

d) Números mayores que 2 e) (-, 4] f) Potencias y raíces EJERCICIO 6 : Escribe en forma de una sola potencia: a) [( 3 )7 : ( 3 )3]0.( 3 )2 b) [(-5)3]2.[(-5)2]3 c) [(x-2)-3]2 : [(x-2)-1]6 d) (5.4)2 : (4.7) e) (a9.a7.a3) : (a5.a2.a6) f) [(3+)5 : (3+)-2]4

EJERCICIO 7 : Expresa, en términos de raíces, las siguientes expresiones: a) 43/5 b) 7-2/3 c) (3/4)3/7 d) (2/3)-1/3

EJERCICIO 8 : Agrupa bajo un radical único: a) 43 7.5 b) 4:123 c) 11.33 d) 13:3 e) 3 3/2.3/2 f) 3 a/x.x/a EJERCICIO 9 : Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

a) 32. 423 b.a.5 b) 65 b.a.7 c) –12. 77.a2 d) 225.

516

EJERCICIO 10 : Introducir en los radicales los factores que están fuera de ellos:

a) a.3

16 b) 33 b.3.b.

41 c) –7.113. a2 d) a2.b. 3 b3

EJERCICIO 11 : Calcula: a) 5. 5 - 3. 3 - 5. 27 + 11. 11 - 5. 33 b) 8 + 18 - 98 c) 45 + 180 - 20 d) 3. 81 + 3. 375 e) 175 - 5. 63 + 2. 112 f) 3 250 - 3 16 - 6 3 2 EJERCICIO 12 : Calcula:

a) 3. 2 + 21 . 2 -

43 . 2 b) 3. 8 + 4. 50 - 6. 18 c) 2. 27 - 2. 12 + 9. 75

2

d) 52 . 50 - 8 +3. 18 e) 5. 12/1 +2. 3/1 + 27/1 f) 64 125.38025

EJERCICIO 13 : Simplifica: a) 4 23.3 b) 4 3/4.4/3 c) 4 33 2 a.a d) 4 a/x.a

e) 2.8

44

3 f) 43 2/3.3/2.3/2 g)

a.a

a4 3

3 2

EJERCICIO 14 : Racionaliza:

a) 3.5

6 b) 232

1

c) 117 d)

231

e) 7

7 f) 3.5

3 g) 113455

h)

3.22.33.22.3

i) 3 3

53 j) 4 5.25 k)

336

l) yx

1

Errores y cotas EJERCICIO 15 : Halla las cotas del error absoluto y del error relativo al sustituir 5 por 2,236 EJERCICIO 16 : Se aproxima el número 20,1236 mediante redondeo, en las milésimas. Calcula el error relativo de esta aproximación. EJERCICIO 17 : Si el resultado de una medida es 23,1 con un error de 0,01, ¿entre qué valores se encuentra la medida exacta? EJERCICIO 18 : El presupuesto de una reparación es de 500 euros con error posible del 15 %. ¿Entre qué valores puede oscilar esta reparación? EJERCICIO 19 : Al indicar el número de alumnos de un instituto se comete un error de 115 alumnos. Si realmente hay 650 alumnos. ¿Qué número se dio? ¿Cuál es el error relativo cometido?. Notación científica EJERCICIO 20 : Escribe en notación científica los siguientes números: a) 300.000.000 b) 18.400.000.000 c) 456 d) 0,00000001 e) –78986,34 f) 0,00000000000065 g) 0,5 h) 0,00000000000000000093 EJERCICIO 21 : Opera:

a) (7,25.10-7).(6,02.1023) b) 5

6

10.02,310.01,1

c) (6,02.1010).(12.109)

d) 6.102 + 4.103 e) 0,00532 + 25,1.10-3 f) 3,24.10-5 + 3,78.10-6 + 8,04.10-4 EJERCICIO 22 : Efectúa en notación científica las siguientes operaciones, dando el resultado en notación científica con tres cifras significativas:

a) 11

645

10.843,5)10.4,3.(10.84,310.16,4

b) 6

761314

10.38,910.5,710.2.10.6,37510.4,42

c) 53

233

10.45610.5,810.2,2310.3,410.433,5

d) 32

644

10.2,610.510.40010.654,310.63,4