Flexion simple

• M ≠ 0 et T ≠ 0

• la relation reste valable car

– l’effort tranchant perturbe peu les contraintes normales

– la courbure est également peu sensible à l’effort tranchant

• l’effort tranchant est la résultante des contraintes de

cisaillement∫=A xyy dAT τ

zx I

My=σ

Calcul des contraintes de cisaillement

• théorie de Jourawski

• calcul de l’effort rasant car réciprocité descontraintes tangentielles τxy = τyx

Effort rasant

comparons les assemblages de sections carrées a x a

Ê Ë Ì

sections Ê et Ë

6a

2yI

12a

2I

3

max

z

4

z

=

=

section Ì

( )

( )6a2a

yI

12a2a

I

2

max

z

3

z

=

= Ì est 4x plus rigide

Ì est 2x plus résistant

Calcul de l’effort rasant

0dSTdSTdSTdSTlatS

)n(xcoupe

)n(x'

)x(x

)x(x =+++ ∫∫∫∫ ∑∑

−

0dSTS

)n(x =∫Équation d’équilibre de translation horizontal

(en l’absence de forces de volume fx=0)

Formule de Jourawski

• dans le cas où AB est parallèle à Oz

( )b

SI

T

z

yxy

∑=τ

moment statique (m3)

moyenne le long du plan de coupe

Théorie de Jourawski

• récapitulation des hypothèses simplificatrices

– fx = 0

– pas de force de surface tangentielle

– poutre prismatique

– Bernoulli

– calcul de la contrainte moyenne

Centre géométrique et moment statique

• coordonnées du centre géométrique

où apparaissent les

moments statiques

∫∫=

A

Ac

dA

xdAx

∫∫=

A

Ac

dA

ydAy

∫=Ax ydAS ∫=

Ay xdAS

Moment statique

• coordonnées du centre géométrique deviennent

• conséquences– le moment statique par rapport à un axe passant par le

centre géométrique est nul

– le moment statique d’une surface d’aire Σ est égal auproduit de l’aire Σ par la distance de son centregéométrique à l’axe

A

Sx y

c =AS

y xc =

Sections massives

• moment statique

• calcul des contraintes

( )

( ) G

22

2h

y

yy2h

21

y2h

bS

y4h

2b

bydyS

∑=

+

−=∑

−==∑ ∫

A

T

23

y4h

I2

T

ymaxxy

22

z

yxy

=

−=

τ

τ

Structures à parois minces

• La formule de Jourawski

donne une bonne précision

pour les parois minces

• flux de cisaillement

( )t

SI

T

z

yxnxn

∑−=≈ ττ

( )∫−=

∑−==

s

0z

y

z

yxn dsty

I

T

tS

I

Ttf τ

effort rasant (N/m)

Σ

n

Section en U

s

A

b

τ

ττy

tw

h

t

b

y tw

t

h/2F

F

τ

ττb

τb

Fwd e

ab

τmax

w

yxy A

T=τdans l’âme

Section en I

• contraintes tangentielles dans l’âme

τmax

τwm

w

ywm A

T≈τ

Facteurs de concentration de contraintes

Facteurs de concentration de contraintes

2nom

nom

maxt

dP4

K

πσ

σσ

=

=

sous effort normal

Facteurs de concentration de contraintes

3nom

nom

maxt

dM32

K

πσ

σσ

=

=

sous moment fléchissant

Section à parois minces fermée

• poutres tubulaires ou caissons

• la théorie de Jourawski ne s’applique pas

aisément car on ne dispose plus d’un endroit

où le flux de cisaillement a une valeur connue

a priori

Déformation due à l’effort tranchant

• l’hypothèse de Bernoulli pas rigoureusement satisfaite

( )υτγ

+==

12E

GavecG1

xyxy

τxy pas uniforme

les sections gauchissent

hypothèse de Bernoulligénéralisé

Assemblages

• définition : jonction de 2 (ou +) pièces

• moyens d’assemblage :– boulons – anneaux

– clous – goujons

– cordons de soudure – clavettes

– colles – rivets

– chevilles – axes

– ...

Assemblages

• assemblages longitudinaux– section droite monolithique

• assemblages transversaux (joints)– prolongement d’une poutre suivant son axe

• nœuds– solidarisent 2 (ou +) pièces dont les axes n’ont pas la

même direction

Joints

Articulations

Assemblages

• objectifs– réaliser la transmission

• des forces (actions, réactions d’appui)• des efforts intérieurs (N, T, M)• des contraintes

– être• techniquement simple• peu encombrant• facile à réaliser et à entretenir• durable dans le temps

Calcul des assemblages

• analyse théoriquement très complexe

• essais en laboratoires E.L.U.

• assemblages standardisés

• cisaillement direct et rupture des assemblages

Cisaillement direct

– ne peut être modélisé par une poutre

– la notion d ’effort intérieur n ’a pas de sens (Saint-Venant)

– pas état de cisaillement pur

N = F

FdAA m =∫ τ

Cisaillement direct : calculs pratiques

– τadm est déterminé par des essais

N = F

admm AF

ττ ≤=

exemples