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Analisis Exploratorio de Datos Grado en Estadıstica y Empresa - 2012/2013

1. MANEJODE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.

El sumatorio (o sumatoria) es un operador matematico, representado por la letra griega sigmamayuscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con unnumero indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos.Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .)cuyos valores dependen de un ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ındiceempieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en

una unidad hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. Ası por ejemplo,

3∑

i=1

xi = x1 + x2 + x3

representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general,

n∑

i=1

xi = x1 + x2 + . . .+ xn−1 + xn

representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresion anterior se lee: “sumatoriode x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.

El ındice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de numeros enteros, es decir, no tiene por-que empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuacion casi siempre sea ası parasimplificar la notacion). La unica condicion que se tiene que cumplir es que el primer valor del ındice,el que aparece abajo, sea menor o igual que el ultimo valor del ındice, el que aparece arriba. Es decir,en la suma

∑ni=k xi k tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera

mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estarıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a3, es decir, no estarıamos sumando nada, y la suma serıa igual a cero. Si queremos sumar los valoresde x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer

∑5i=3 xi.

1.1. Propiedades.

El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumpletodas las propiedades de esta:

Propiedad conmutativa:

n∑

i=1

(xi + yi) = x1 + y1 + x2 + y2 + . . .+ xn + yn

= y1 + x1 + y2 + x2 + . . .+ yn + xn =

n∑

i=1

(yi + xi)

Propiedad asociativa:

n∑

i=1

(xi + yi) +n∑

i=1

zi = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . + xn + yn + z1 + z2 + . . .+ zn

= x1 + x2 + . . .+ xn + y1 + z1 + y2 + z2 + . . .+ yn + zn =

n∑

i=1

xi +

n∑

i=1

(yi + zi) =

n∑

i=1

(xi + yi + zi)

1


Propiedad distributiva:

a ·n∑

i=1

xi = a · (x1 + x2 + . . .+ xn)

= ax1 + ax2 + . . .+ axn =

n∑

i=1

(axi), a ∈ R

Otras propiedades:

1. El sumatorio de una constante (no depende de ningun ındice) es igual a la constante mul-tiplicada por el numero de sumandos:

n∑

i=1

b =n veces

b+ b+ . . .+ b= nb, b ∈ R

2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):

n∑

i=1

(axi + b) =n∑

i=1

axi +n∑

i=1

b = a

n∑

i=1

xi + nb, a, b ∈ R

Nota: ¡¡¡a ·∑ni=1 xi + nb 6= a ·∑n

i=1(xi + nb)!!! En un sumatorio, los sumandos vienenindicados por el primer sımbolo despues de Σ. Si cada sumando involucra mas de un termino,tendremos que escribir la expresion del sumando entre parentesis. Por ejemplo:

3∑

i=1

i2 + 5 = 12 + 22 + 32 + 5 = 1 + 4 + 9 + 5 = 19,

mientras que

3∑

i=1

(i2 + 5) = 12 + 5 + 22 + 5 + 32 + 5 = 1 + 5 + 4 + 5 + 9 + 5 = 29.

3. Los valores recorridos por el ındice se pueden separar en varios sumatorios:

n∑

i=1

xi =

n0∑

i=1

xi +

n∑

i=n0+1

xi, n0 ≤ n

En efecto:x1 + x2 + ...+ xn = (x1 + x2 + ...+ xn0

) + (xn0+1 + . . . xn)

Por ejemplo:

4∑

i=1

log(i) = log(1) + log(2) + log(3) + log(4) = (log(1) + log(2)) + (log(3) + log(4))

=

2∑

i=1

log(i) +

4∑

i=3

log(i) (aquı n = 4 y n0 = 2).

Nota: Todas las propiedades descritas son validas independientemente del conjunto de valores quetome el ındice del sumatorio. Es decir, sin en vez de

∑ni=1 tenemos

∑ni=k, para cualquier valor de

k ≤ n, las propiedades anteriores se aplican exactamente igual.

2


1.1.1. Igualdades que NO cumplen los sumatorios.

A continuacion se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatorios(y que constituyen errores muy habituales):

1.

n∑

i=1

xiyi 6=(

n∑

i=1

xi

)(

n∑

i=1

yi

)

ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando

los valores de x multiplicados por su correspondiente valor de y:

x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn,

y en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x multiplicadospor todos los valores de y:

(x1+x2+. . .+xn)·(y1+y2+. . .+yn) = x1y1+x1y2+. . .+x1yn+x2y1+x2y2+. . .+x2yn+xny1+xny2+. . .+xnyn.

2.

n∑

i=1

x2i 6=(

n∑

i=1

xi

)2

ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los valores

de x elevados al cuadrado:x21 + x22 + . . .+ x2n,

mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y

luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:

(x1+x2+. . .+xn)2 = x21+x22+. . .+x2n+2x1x2+2x1x3+. . .+2x1xn+2x2x3+. . .+2x2xn+. . .+2xn−1xn.

3. En general, si f : R −→ R es una funcion no lineal (es decir, no es una recta, involucra operacionesdistintas de la suma y el producto por escalares), entonces

n∑

i=1

f(xi) 6= f

(

n∑

i=1

xi

)

.

Por ejemplo:5∑

i=1

i3 6=(

5∑

i=1

i

)3

10∑

n=1

ln(n) 6= ln

(

10∑

n=1

n

)

7∑

k=1

√zk 6=

√

√

√

√

7∑

k=1

zk.

1.2. Sumatorios dobles (o triples, cuadruples, etc.).

Si la variable cuyos valores queremos sumar depende de dos (o tres, cuatro, etc.) ındices utilizaremosun sumatorio doble (o triple, cuadruple, etc.). Por ejemplo, dada una matriz cuadrada n× n

A = (aij)i,j=1,...,n =

a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1na21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2na31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n...

......

. . ....

......

a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n


an1 an2 an,3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann

3


los elementos de A dependen de dos ındices: el ındice i que denota las filas y el ındice j que representalas columnas. Ası, si queremos sumar todos los elementos de A, tendremos que sumar primero loselementos de cada fila, y luego sumar los n valores resultantes. Es decir, la suma de todos los elementosse puede escribir como:

∑ni=1

∑nj=1 aij . En efecto, si desarrollamos primero el sumatorio en j y luego

el sumatorio en i se obtiene lo siguiente:

n∑

i=1

n∑

j=1

aij =n∑

i=1

(ai1 + ai2 + . . . ain)

= (a11 + ai2 + . . . a1n) + (a21 + a22 + . . . a2n) + . . . + (an1 + an2 + . . . ann).

Nota: los ındices de los dos (o mas) sumatorios no tienen porque tomar los mismos valores. Porejemplo, si solo quiero sumar los elementos de la matriz A que estan por encima de la diagonal (ennegrita)

A = (aij)i,j=1,...,n =

a11 a12 a13 . . . a1,(n−2) a1,(n−1) a1na21 a22 a23 . . . a2,(n−2) a2,(n−1) a2na31 a32 a33 . . . a3,(n−2) a3,(n−1) a3n...

.... . .

......

...a(n−2),1 a(n−2),2 a(n−2),3 . . . a(n−2),(n−2) a(n−2),(n−1) a(n−2),n


an1 an2 an3 . . . an,(n−2) an,(n−1) ann

,

en cada fila i tengo que considerar solo los elementos aij con j > i (o j ≥ i+1). Por lo tanto escribire:

n∑

i=1

n∑

j=i+1

aij =

n∑

i=1

(ai,i+1 + ai,i+2 + . . . ain)

= (a12 + ai3 + . . . a1n) + (a23 + a24 + . . . a2n) + . . . ++(a(n−2),(n−1) + a(n−2),n) + a(n−1),n.

OJO: Cuando i es igual a n, la suma∑n

j=i+1 aij no contiene ningun sumando puesto que el ındice j

tendrıa que ir desde n+ 1 hasta n, lo cual no es posible. Esto solo quiere decir, que en la ultima fila,i = n, no tenemos ningun elemento por encima de la diagonal.

Analogamente, la suma de los elementos por debajo de la diagonal se escribe:∑n

i=1

∑i−1j=1 aij. En este

caso, para i = 1 la suma∑i−1

j=1 aij no contiene ningun sumando puesto que el ındice j tendrıa que irdesde 1 hasta 0, lo cual no tiene sentido. Es decir, en la primera fila, i = 1, no hay elementos pordebajo de la diagonal.

La traza de A, o lo que es lo mismo, la suma de los elementos de la diagonal de A, se podrıa escribircomo:

∑ni=1

∑

j=i aij, es decir, sumamos aquellos elementos para los cuales el numero de su fila y sucolumna coinciden. En este sumatorio doble, para cada valor de i el segundo ındice, j, toma un unicovalor: j = i. En este caso, podemos prescindir de j y escribir la suma con un sumatorio simple de lasiguiente manera:

∑ni=1 aii.

Nota: Si los ındices de los dos sumatorios i y j toman los mismos valores, se escribir los dos ındicesen un unico sımbolo de sumatorio de la siguiente forma,

∑ni,j=1, indicando que tanto i como j van

desde 1 hasta n. Ası, podemos escribir el doble sumatorio en forma compacta:

n∑

i=1

n∑

j=1

aij =n∑

i,j=1

aij .

4


1.2.1. Propiedades de los sumatorios dobles

Propiedad conmutativa:n∑

i=1

n∑

j=1

(xij + yij) =n∑

i=1

n∑

j=1

(yij + xij)

=

n∑

j=1

n∑

i=1

(yij + xij) =

n∑

j=1

n∑

i=1

(xij + yij)

Propiedad asociativa:

n∑

i=1

n∑

j=1

xij +

n∑

j=1

yij

=

n∑

i=1

n∑

j=1

(xij + yij)

Propiedad distributiva:

a ·n∑

i=1

n∑

j=1

xij = a ·n∑

i=1

(xi1 + xi2 + . . .+ xin)

= a · [(x11 + x12 + . . .+ x1n) + . . . + (xn1 + xn2 + . . .+ xnn)]

= (ax11 + ax12 + . . .+ ax1n) + . . .+ (axn1 + axn2 + . . .+ axnn)

=n∑

i=1

n∑

j=1

axij , a ∈ R

Otras propiedades:

1. El sumatorio doble de una constante (no depende de ningun ındice) es igual a la constantemultiplicada por el numero de sumandos al cuadrado:

n∑

i=1

n∑

j=1

b =n∑

i=1

(n veces

b+ b+ . . .+ b) =n∑

i=1

nb

= (n veces

nb+ nb+ . . .+ nb) = n · nb = n2b, b ∈ R

2. Propiedad asociativa + propiedad distributiva + (1):

n∑

i=1

n∑

j=1

(axij + b) =

n∑

i=1

n∑

j=1

axij +

n∑

i=1

n∑

j=1

b

= a

n∑

i=1

n∑

j=1

xij + n2b, a, b ∈ R

3. Se verifica que

n∑

i=1

n∑

j=1

xiyj =

(

n∑

i=1

xi

)

n∑

j=1

yj

, ya que

n∑

i=1

n∑

j=1

xiyj =

n∑

i=1

(xiy1 + xiy2 + . . .+ xiyn)

5


= (x1y1 + x1y2 + . . .+ x1yn)+ (x2y1 +x2y2 + . . .+x2yn) + . . .+ (xny1 + xny2 + . . .+xnyn)

= (x1 + x2 + . . .+ xn) · (y1 + y2 + . . .+ yn).

OJO: Esto se cumple porque x solo depende de i e y solo depende de j. Si ambas variablesdependieran de ambos ındices, esto no serıa cierto (ver desigualdad 1 mas abajo).

Nota: Todas las propiedades descritas son validas independientemente de los conjuntos de valoresque tomen los dos ındices del sumatorio. Es decir, sin en vez de

∑ni=1

∑nj=1 tenemos

∑ni=k

∑mj=ℓ,

para cualquier valor de k ≤ n, y cualquier valor de m y ℓ ≤ m, las propiedades anteriores se aplicanexactamente igual.

1.2.2. Igualdades que NO cumplen los sumatorios dobles.

A continuacion se enumeran algunas de las igualdades que NO son ciertas al operar con sumatoriosdobles (y que constituyen errores muy habituales):

1.

n∑

i=1

n∑

j=1

xijyij 6=

n∑

i=1

n∑

j=1

xij

n∑

i=1

n∑

j=1

yij

ya que en el lado izquierdo de la desigualdad esta-

mos sumando los valores de x multiplicados por sus correspondientes valores de y:

x11y11+x12y12+ . . .+x1ny1n+x21y21+x21y22+ . . .+x2ny2n+ . . .+xn1yn1+xn2yn2+ . . .+xnnynn,

pero en el lado derecho estamos sumando todos los valores de x multiplicados por todos losvalores de y:

(x11+x12+. . .+x1n+x21+x22+. . .+x2n+. . .+xn1+xn2+. . .+xnn)·(y11+y12+. . .+y1n+y21+y22+. . .+y2n+. . .+

2.n∑

i=1

n∑

j=1

x2ij 6=

n∑

i=1

n∑

j=1

xij

2

ya que en el lado izquierdo de la desigualdad estamos sumando los

valores de x elevados al cuadrado:

x211 + x212 + . . .+ x21n + . . .+ x2n1 + x2n2 + . . .+ x2nn,

mientras que en el lado derecho de la desigualdad estamos sumando todos los valores de x y

luego estamos elevando toda la suma al cuadrado:

(x11 + x12 + . . .+ x1n + . . . + xn1 + xn2 + . . .+ xnn)2,

que involucra todos los terminos de la suma anterior y muchos mas.

3. En general, si f : R −→ R es una funcion no lineal (es decir, no es una recta, involucra operacionesdistintas de la suma y el producto por escalares), entonces

n∑

i=1

n∑

j=1

f(xij) 6= f

n∑

i=1

n∑

j=1

xij

.

Por ejemplo:

3∑

i=1

6∑

j=2

(i+ j)3 6=

3∑

i=1

6∑

j=2

(i+ j)

3

6


10∑

n=1

3∑

k=1

ln(nk) 6= ln

(

10∑

n=1

3∑

k=1

nk

)

10∑

ℓ=1

ℓ∑

h=i

1

zℓh6= 1∑10

ℓ=1

∑ℓh=i zℓh

.

2. Ejemplos.

Ejemplo 2.1 La suma de todos los numeros pares desde 1 hasta 100 se escribe:

50∑

i=1

2i.

Ejemplo 2.2 La suma de todos los numeros impares desde 1 hasta 100 se escribe:

50∑

i=1

(2i − 1).

Ejemplo 2.3 La suma de los 1000 primeros numeros se escribe:

1000∑

n=1

n,

ademas, podemos calcular cuanto vale esta suma:

1000∑

n=1

n =1001 · 1000

2= 500500.

En general, para cualquier numero natural n ∈ N se cumple:

n∑

i=1

i =(n+ 1) · n

2.

Por ejemplo, para n = 1,∑1

i=1 i = 1 y (n+1)·n2 = 2·1

2 = 1.

Para n = 2,∑2

i=1 i = 1 + 2 = 3 y (n+1)·n2 = 3·2

2 = 3.Comprueba la formula para el resto de numeros naturales menores o iguales que 10.

3. Ejercicios.

Ejercicio 3.1 Calcula las siguientes sumas:

a)

5∑

i=1

i(i + 1)

b)

3∑

n=0

2n

c)

100∑

r=1

4r

7


d)10∑

h=−3

(6h− 1)

e)4∑

z=2

log(z4)

Ejercicio 3.2 Expresa con una frase el significado de las siguientes sumas:

Ejemplo:5∑

p=1

3p es la suma de todos los multiplos de 3 desde el 3 hasta el 15.

a)10∑

s=1

s2

b)

n∑

q=1

xq

n

c)

49∑

n=0

(2n+ 1)

Ejercicio 3.3 Expresa con un sumatorio las siguientes frases:

a) La suma de los 10 primeros numeros pares.

b) La suma de todos los multiplos de 4 desde 36 hasta 80.

c) La suma de la raız cuadrada de los 20 primeros numeros impares.

d) La suma de los cuadrados de todos los numeros naturales del 1 al 30.

e) El producto escalar de los vectores (t1, t2, . . . , tm) y (w1, w2, . . . , wm).

Ejercicio 3.4 La siguiente tabla recoge los valores de una variable f , indexada por dos ındices e y d:

e \ d 1 2 3

1 -4 4 -82 1 9 123 6 -3 54 0 6 25 -2 7 0

Calcula:

a)

5∑

e=1

3∑

d=1

fed

b)

5∑

e=1

∑

d<e

fed

c)

5∑

e=1

3∑

d=e

fed

8


d)5∑

e=1

3∑

d=1

f2ed

e)3∑

e=1

3∑

d=1

(3f2ed − 28)

f)3∑

e=1

3∑

d=1

(2fed − 1)2

Ejercicio 3.5 La siguiente tabla recoge los valores de dos variables u y v medidas sobre 6 individuos:

Individuo u v

1 -4 22 -1 63 5 34 0 15 -2 -46 1 1

Calcula:

a)

6∑

a=1

6∑

b=1

uavb

b)

6∑

a=1

3∑

b=1

(ua + vb)

c)

3∑

a=1

6∑

b=a

(ua + vb)

d)6∑

a=1

6∑

b=1

uava

e)6∑

a=1

6∑

b=1

(2u2a + vb)

f)6∑

a=1

a∑

b=1

(ua − vb)

9

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