1

Φυσική ΚατεύθυνσηςΓ’ Λυκείου

Κεφάλαιο 2ο

κύματαΕνότητα 1η

μηχανικάκύματα

2

Τι είναι κύμα;Κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής σεένα ελαστικό μέσο με ορισμένη ταχύτητα που

λέγεται ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Κατά τηδιάδοση του κύματος μεταφέρεται ενέργεια και

ορμή, αλλά όχι ύλη.

ΤρέχονταΤρέχοντα(διαδίδονταιμετακινούμεναστο χώρο)

ΣτάσιμαΣτάσιμα(εγκλωβίζονταιανάμεσα σε δύο

σημεία)

3

Είδη κυμάτων

σύμφωνα με το μηχανισμόπαραγωγής και διάδοσης

Μηχανικά(απαιτούν την ύπαρξηελαστικού μέσου γιατη διάδοσή τους)

Ηλεκτρομαγνητικά(δεν απαιτούν την ύπαρξηελαστικού μέσου για τη

διάδοσή τους)

Μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικούκαι μαγνητικού πεδίου.

Μεταφέρουν μηχανική ενέργεια.

4

Τι απαιτείται για τη δημιουργία ενόςμηχανικού κύματος;

• μια πηγή του κύματος (αιτία)

• ένα μέσο διάδοσης (ελαστικό μέσο)

Αν η πηγή εκτελεί ΑΑΤ η διαταραχή που παράγει τοκύμα είναι ΑΑΤ, τότε τα σωματίδια του μέσου κινούνταιπεριοδικά και το κύματα ονομάζεται αρμονικό.

Αρμονικό κύμα

5

• Ταχύτητα διάδοσης του κύματος (υ)

υ = tx

όπου

x είναι η απόσταση στην οποία διαδόθηκε ηδιαταραχή σε χρόνο t.

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος (σ’ ένα ομογενές καιισότροπο μέσο) είναι σταθερή και εξαρτάται μόνο από τιςιδιότητες του μέσου και όχι από το πόσο ασθενής ή ισχυρήείναι η διαταραχή.

6

∆ιάκριση∆ιάκριση κυμάτωνκυμάτων(σύμφωνα με τις διαστάσεις

του ελαστικού μέσου)

ΓραμμικάΓραμμικάκύματακύματα

ΕπιφανειακάΕπιφανειακάκύματακύματα

ΚύματαΚύματαχώρουχώρου

Τεντωμένηελαστική χορδή,

τεντωμένοσχοινί

Στην επιφάνειατου νερού

Ηχητικά κύματαστον αέρα

7

∆ιάκριση∆ιάκριση κυμάτωνκυμάτων(σύμφωνα με τον τρόπο κίνησης των

σημείων του ελαστικού μέσου)

ΕγκάρσιαΕγκάρσια ∆ιαμήκη∆ιαμήκη

∆ιαδίδονται στα στερεά καιστην επιφάνεια υγρών

(σώματα με ελαστικότητασχήματος)

∆ιαδίδονται στα στερεά, σταυγρά και στα αέρια (σώματαμε ελαστικότητα όγκου)

8

Εγκάρσια κύματα λέγονται εκείναστα οποία η διεύθυνση διάδοσηςτου κύματος είναι κάθετη προς τηδιεύθυνση ταλάντωσης τωνσωματιδίων του ελαστικού μέσου.

Χαρακτηριστικό τους είναι τα«όρη» και οι «κοιλάδες».

Εγκάρσια κύματα

9

∆ιαμήκη κύματα λέγονται εκείνα σταοποία η διεύθυνση διάδοσης τουκύματος είναι παράλληλη προς τηδιεύθυνση ταλάντωσης των σωματιδίωντου ελαστικού μέσου.

Χαρακτηριστικό τους είναι τα«πυκνώματα» και τα

«αραιώματα».

∆ιαμήκη κύματα

10

Μηχανικά κύματα (Τρόπος δημιουργίας)

11

Χαρακτηριστικά της πηγής

Η πηγή εκτελεί περιοδική κίνηση πουείναι Απλή Αρμονική Ταλάντωση.

Η απομάκρυνσή της περιγράφεται από τηνεξίσωση

y = Aημωt (χωρίς αρχική φάση)

ή την εξίσωση

y = Aημ(ωt+φ0) (με αρχική φάση)

12

Χαρακτηριστικά του κύματος

• Περίοδος του κύματος (Τ )ο χρόνος μέσα στον οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνειτην κίνησή του ήτο χρονικό διάστημα μέσα στο οποίοη κυματική εικόνα σε μια περιοχή τουμέσου επαναλαμβάνεται(Συμπίπτει με την περίοδο της πηγής)• Συχνότητα του κύματος (f )η συχνότητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου(Συμπίπτει με την συχνότητα της πηγής)• Γωνιακή συχνότητα του κύματος (ω)(Συμπίπτει με την γωνιακή συχνότητα της πηγής)

13

Μήκος κύματος λέγεται- η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου.

ή- η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων του μέσου πουαπέχουν το ίδιο από τη ΘΙ τους και κινούνται κατά την ίδιαφορά.

• Μήκος κύματος (λ)

14

Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής

ΠΡΟΣΟΧΗ !

Όταν το κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης μεταβάλλονται ηταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος, αλλά δεν

αλλάζει η συχνότητα (που αποτελεί χαρακτηριστικό τηςπηγής).

tx

=υ xTt ⎯⎯⎯ →⎯ =→= υλ

Τ=→λυ ff ⋅=⎯⎯→⎯

=Τ

λυ1

Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτάται μόνο απότις ιδιότητες του μέσου αλλάζει αν το κύμα αλλάξειμέσο διάδοσης ή αν αλλάξουν οι ιδιότητες του μέσου

διάδοσης!

15

t=T

t=T+4T

t=T+ 2T

t=T+ 4T3

t=2T

16

Μαθηματική περιγραφή αρμονικού κύματοςΘεωρούμε γραμμικό, ελαστικό μέσο, το ένα άκρο του οποίου είναιακλόνητα στερεωμένο, ενώ το άλλο άκρο του Ο ξεκινά την t=0 να εκτελείΑΑΤ της μορφής y = A·ημωt

OM

x

Το κύμα φτάνει στο σημείο Μ σε χρόνουxt =1

άρα τη χρονική στιγμή t, το σημείο Μ ταλαντώνεται για χρόνο

υxttttM −=−= 1

οπότε η εξίσωση κίνησης του σημείου Μ θα είναι

)(υ

ημωημω xtAytAy MMM −=⇒=

17

Μαθηματική περιγραφή αρμονικού κύματος

)(υ

ημωημω xtAytAy MMM −=⇒= Τ=

πω 2

)(2υ

πημ xtAyM −Τ

= )(2T

xTtAyM ⋅−=⇒υ

πημ λυ =Τ⋅

)(2λ

πημ xTtAyM −=⇒ Εξίσωση αρμονικού

κύματος

δείχνει κάθε στιγμή την απομάκρυνσηόλων των σημείων της χορδής από τηθέση ισορροπίας τους σε συνάρτησημε:• τον χρόνο t• την απόσταση χ του σημείου απότην πηγή.

Το τόξο

ονομάζεται φάση του κύματος.

εξαρτάται από την απόσταση απότην πηγή την ίδια χρονική στιγμήτα διάφορα σημεία του μέσου έχουνδιαφορετικές φάσεις

)(2λ

πφ xTt−=

18

Μαθηματική περιγραφή αρμονικού κύματος

)(2λ

πημ xTtAyM −=

Εξίσωση αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά

)(2λ

πημ xTtAyM +=

Εξίσωση αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά (προς τηναρνητική κατεύθυνση)

τα σημεία του μέσου καθυστερούνσε σχέση με την πηγή

ΠΡΟΣΟΧΗ ! • x είναι η απόσταση ενός σημείου τουμέσου από την πηγή του κύματος• y είναι η απομάκρυνση κάθε σημείουαπό τη ΘΙ του

Κy

x

19

Γραφική παράσταση αρμονικού κύματος

)(2)(2 1

λσταθπημ

λπημ xAyx

TtAy −=⇒−=

Α. Στιγμιότυπο κύματος

Για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t = t1

δίνει τη θέση των σημείων του μέσουσε μια ορισμένη χρονική στιγμή

ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ

x1=υ·t

ΜΝ

χΜχΝ

Για δύο σημεία Μ και Ν που απέχουναντίστοιχα από την πηγή αποστάσειςχΜ και χΝ (με χΜ < χΝ)

)(2

)(2

λπφ

λπφ

NN

MM

xTt

xTt

−=

−=φΜ > φΝ

Την ίδια στιγμή, μεγαλύτερη φάση έχειτο σημείο που βρίσκεται πιο κοντά

στην πηγή.

20

Στιγμιότυπο εγκάρσιου κύματος

Το στιγμιότυπο ενός κύματος παριστάνει την εικόνα τηςταλάντωσης (απομάκρυνση από ΘΙ) των μορίων τουελαστικού μέσου (άξονας y) σε συνάρτηση με τηναπόστασή τους από την πηγή (άξονας x).

21

Γραφική παράσταση αρμονικού κύματοςΒ. Ταλάντωση ενός σημείου του μέσου

)(2)(2 1 σταθπημλ

πημ −=⇒−=TtAyx

TtAy

δίνει την απομάκρυνση ενός σημείουσε συνάρτηση με τον χρόνο

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΑΤ

Για συγκεκριμένη απόσταση από την πηγή x=x1,

t1=υx

22

Γραφικές παραστάσεις φάσης

λxT

Tλt

φ

t0

x=σταθ. φ

0 x

t=σταθ.

Tπt2

)(2λ

πφ xTt−=

χ=σταθ

t=σταθσταθπ

λπ

λσταθπφ ⋅+−=−= 22)(2 xx

σταθππσταθπφ ⋅−=−= 22)(2 tTT

t

λ2 xπ

−

… γραμμικήσυνάρτηση τουχρόνου

… γραμμικήσυνάρτηση τηςαπόστασης απότην πηγή

23

∆ιαφορές φάσηςΓια δύο σημεία που απέχουν απόσταση ∆χ την ίδια χρονική στιγμή

)(2

)(2

λπφ

λπφ

NN

MM

xTt

xTt

−=

−=

λπφ

λπφ

λπ

λππ

λππ

λπ

λπφφφ

||2||)(2

)(22222

)(2)(2

xx

xxxT

txT

t

xTtx

Tt

M

NMM

Δ=Δ⇒

Δ−=Δ

⇒−

=+−−

=−−−=−=Δ

ΜΝΝ

Ν

Για το ίδιο σημείο, μεταξύ δύο χρονικών στιγμών t1 και t2

)(2

)(2

22

11

λπφ

λπφ

MM

MM

xTt

xTt

−=

−=

Tt

Tttx

Ttx

Tt

xTtx

Tt

MM

MMMM

Δ⋅=Δ

⇒−

=+−−

=−−−=−=Δ

πφ

πλππ

λππ

λπ

λπφφφ

2

)(22222

)(2)(2

1212

1212

24

Στιγμιαία φάση κύματος

∆ιαφορά φάσης δύο σημείων τουμέσου την ίδια χρονική στιγμή λ

ΔxπφΔ 2=

∆ιαφορά φάσης ενός σημείου σεδύο χρονικές στιγμές T

ΔtπφΔ 2=

)λx

Tt(πφ −= 2

Φάση - ∆ιαφορές φάσης

καθώς απομακρυνόμαστε από την πηγή (χ αυξάνει) η φάση μειώνεται, δηλαδή το κύμα διαδίδεται απόμεγαλύτερες προς μικρότερες φάσεις

25

Παρατηρήσεις

• Η ολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης για κάθε σωματίδιο του μέσουδιατηρείται σταθερή και ισχύει:

222 Dy21υm

21DA

21

+=

• Η ταχύτητα ταλάντωσης ενός σωματιδίου

)λx-

TtωΑσυν2π(υ =

• Η επιτάχυνση ταλάντωσης ενός σωματιδίου

)λx-

Tt(π2ημΑ-ωα 2=

ΠΡΟΣΟΧΗ!η ταχύτητα αυτή είναι ηταχύτητα με την οποίαταλαντώνονται τασημεία του μέσου γύρωαπό τη ΘΙ τους και όχι ηταχύτητα διάδοσης τουκύματος, δηλαδή ηταχύτητα με την οποίαδιαδίδεται η διαταραχή!

26

• Αν η πηγή έχει αρχική φάση φ0, τότε

η εξίσωση της απομάκρυνσης τηςπηγής είναι

η εξίσωση του κύματος είναι

)φtΤ2πημ(Ay 0+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= 0φ)

λx

Tt(π2ημAy

Αρμονικό κύμα με αρχική φάση πηγής

27

Εγκάρσια και διαμήκη κύματαΟΜΟΙΟΤΗΤΕΣ

1. κύματα ελαστικότητας που μεταφέρουν ενέργεια και όχι ύλη2. διαδίδονται στα στερεά3. δημιουργούν υπό συνθήκες στάσιμα κύματα4. δίνουν φαινόμενα συμβολής, περίθλασης, ανάκλασης και διάθλασης

∆ΙΑΦΟΡΕΣΕΓΚΑΡΣΙΑ ∆ΙΑΜΗΚΗ

1. διαδίδονται μόνο στα στερεά διαδίδονται σε στερεά, υγρά, αέρια2. ∆ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης3. «όρη» και «κοιλάδες» «πυκνώματα» και «αραιώματα»4. πολώνονται δεν πολώνονται5. μικρότερη ταχύτητα διάδοσης μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης

στα στερεά στα στερεά