ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ∆ΟΚΙΜΕΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ • Φόρτιση: Είναι η άσκηση φορτίων σε ένα σώµα. • Καταπόνηση: Χαρακτηρίζει την κατάσταση στην οποία βρίσκεται ένα σώµα λόγω φόρτισης. • Είδη καταπόνησης (Σχ. 1)

Σχήµα 1: Είδη καταπονήσεων

1

Σχήµα 2: Είδη τάσεων Ο ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ • Σε καρτεσιανές συντεταγµένες (Σχ. 3)

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ijσσσσσσσσσ

=σ ή

zzyzx

yzyyx

xzxyx

στττστττσ

Σχήµα 3: Συνιστώσες τάσεις σε καρτεσιανό σύστηµα

2

• Σε κυλινδρικές συντεταγµένες (Σχ. 4)

zzzzr

zr

rzrrr

ijσσσσσσσσσ

=σ

θ

θθθθ

θ

Σχήµα 4: Συνιστώσες τάσεις σε σύστηµα κυλινδρικών συντεταγµένων

• Σε όρους κυρίων τάσεων

33

22

11

ij00

0000

σσ

σ=σ ή

3

2

1

000000

σσ

σ

• Αναλλοίωτες των τάσεων

321zyx1I σ+σ+σ=σ+σ+σ=

)( 133221xzzyyx2zx

2yz

2xy2 σσ+σσ+σσ−=σσ−σσ−σσ−τ+τ+τ=Ι

3212xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx3 2I σσσ=τσ−τσ−τσ−τττ+σσσ=

• Εξισώσεις ισορροπίας

0zyx

0zyx

0zyx

xyxxz

zyyxy

zxyxx

=∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

=∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

=∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

3

• Υδροστατική ή µέση πίεση

p ή 333

I 321zyx1m

σ+σ+σ=

σ+σ+σ==σ

Ιδιότητες ∆εν επηρεάζει τη διαρροή. Επιδρά στην ολκιµότητα. Θετικά αν είναι θλιπτική, αρνητικά αν είναι εφελκυστική.

• Ο τανυστής αποκλινουσών τάσεων Η πειραµατική έρευνα έδειξε ότι η διαρροή κάθε όλκιµου υλικού παραµένει ανεπηρέαστη από την επιβολή υδροστατικής πίεσης, οδηγώντας έτσι στο άµεσο συµπέρασµα ότι η διαρροή εξαρτάται µόνο από τις αποκλίνουσες συνιστώσες των τάσεων, που ορίζονται από τη σχέση

ijs σ ή pijijij δ−σ=′

όπου: δij το δέλτα Kronecker (=1 αν i=j ή =0 αν i≠j) και p η υδροστατική συνιστώσα. Συνεπώς, ο αντίστοιχος τανυστής γράφεται: (i) Σε καρτεσιανές συντεταγµένες

ijs ήp

pp

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij−σττ

τ−στττ−σ

=′σ

(ii) Σε όρους κυρίων τάσεων

ijs ήp00

0p000p

3

2

1

ij−σ

−σ−σ

=′σ

Με αντίστοιχες αναλλοίωτες:

0J1 =

)(J 1332212 σ′σ′+σ′σ′+σ′σ′−=

3213J σ′σ′σ′= • Μέγιστη διατµητική τάση Αν, χωρίς βλάβη της γενικότητας, µπορεί να υποτεθεί ότι σ1 > σ2 > σ3, τότε ισχύει

231

maxσ−σ

=τ

Τα επίπεδα µέγιστης διατµητικής τάσης παρουσιάζονται στο Σχ. 5.

4

Σχήµα 5: Επίπεδα µέγιστης διατµητικής τάσης • Οκταεδρικές τάσεις (Σχ. 6) Ορθή οκταεδρική τάση: moct σ=σ

∆ιατµητική οκταεδρική τάση: 213

232

221oct )()()(

31

σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ

Σχήµα 6:Επίπεδο που δρουν οι οκταεδρικές τάσεις

5

Σχήµα 7: Είδη παραµορφώσεων

Ο ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ • Σε καρτεσιανές συντεταγµένες

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ijεεεεεεεεε

=ε ή

zzyzx

yzyyx

xzxyx

εεεεεεεεε

ή

zzy21

zx21

yz21

yyx21

xz21

xy21

x

εγγ

γεγ

γγε

όπου:

xu

x ∂∂

=ε xy

u2 xyxy ∂υ∂

+∂∂

=ε=γ

yy ∂υ∂

=ε yw

z2 yzyz ∂

∂+

∂υ∂

=ε=γ

zw

z ∂∂

=ε zu

xw2 zxzx ∂

∂+

∂∂

=ε=γ

όπου: u, υ και w οι µετατοπίσεις κατά τον άξονα x, y και z, αντίστοιχα.

6

• Σε κυλινδρικές συντεταγµένες

zz21

zr21

z21

r21

rz21

r21

r

zzzzr

zr

rzrrr

ij

εγγ

γεγ

γγε

=εεεεεεεεε

=ε

θ

θθθ

θ

θ

θθθθ

θ

όπου:

rur

r ∂∂

=ε r

ur

ur

θθθ −

∂∂

=γ

rur=εθ

zu

z ∂∂

=γ θθ

zuz

z ∂∂

=ε r

uz

u zrrz ∂

∂+

∂∂

=γ

όπου: ur, uθ και uz η ακτινική, εφαπτοµενική και αξονική µετατόπιση, αντίστοιχα.

• Σε όρους κυρίων παραµορφώσεων

33

22

11

ij00

0000

εε

ε=ε ή

3

2

1

000000

εε

ε

• Μέση παραµόρφωση

3321

mε+ε+ε

=ε

• Τανυστής αποκλινουσών παραµορφώσεων

mzzy21

zx21

yz21

myyx21

xz21

xy21

mx

ij

ε−εγγ

γε−εγ

γγε−ε

=ε′

• Εξισώσεις συµβιβαστού των παραµορφώσεων

xzzx

zyyz

yxxy

zx2

2x

2

2z

2

yz2

2z

2

2y

2

xy2

2y

2

2x

2

∂∂γ∂

=∂

ε∂+

∂

ε∂

∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂

ε∂

∂

γ∂+

∂

γ∂+

∂γ∂

−∂∂

=∂∂ε∂

∂

γ∂+

∂

γ∂+

∂γ∂

−∂∂

=∂∂

ε∂

∂

γ∂+

∂γ∂

+∂

γ∂−

∂∂

=∂∂ε∂

xzyxyx2

xzyxxz2

zyxzzy2

yzyxzxz2

yzyxzxy2

xyxzyzx2

7

ΤΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ σ-ε • H δοκιµή εφελκυσµού (tension test) (Σχ. 8)

Σχήµα 8: Η δοκιµή εφελκυσµού Σηµείωση Συµβατική τάση: Συµβατική παραµόρφωση: οο Α=σ /F ol/le ∆=Πραγµατική τάση: A/F=σ Πραγµατική παραµόρφωση: )l/lln( o=εΌπου: F το φορτίο, Αο η αρχική διατοµή δοκιµίου, Α η τρέχουσα διατοµή δοκιµίου, lo το αρχικό µήκος δοκιµίου, ∆l η επιµήκυνση του µήκους lo, l =lo+∆l. Ισχύουν επίσης οι σχέσεις: και )e1( +σ=σ ο )e1ln( +=ε .

8

ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΟΥ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ σ-ε

Σχήµα 9: Χαρακτηριστικά της ελαστικής συµπεριφοράς

Σχήµα 10: Χαρακτηριστικά της πλαστικής συµπεριφοράς

ΕΛΑΣΤΟΠΛΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ Είναι µια στενή µη γραµµική περιοχή µεταξύ της ελαστικής και της πλαστικής περιοχής.

9

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ σ-ε

Σχήµα 11: Ορισµός του ορίου διαρροής

Σχήµα 12: Ορισµός της κράτυνσης στην πλαστική περιοχή

10

Σχήµα 13: Ορισµός της αντοχής

Σχήµα 14: Ορισµός της ολκιµότητας (ή πλαστικότητας)

11

Σχήµα 15: Ορισµός της δυσθραυστότητας

Σχήµα 16: Είδη υλικών ανάλογα µε το διάγραµµα σ-ε: (α) ιδεωδώς ελαστικό, (β) στερεό-ιδεωδώς πλαστικό, (γ) στερεό-γραµµικά κρατυνόµενο, (δ) ελαστικό-ιδεωδώς πλαστικό, (ε) ελαστικό-γραµµικά κρατυνόµενο

12

Σχήµα 17: Οι ελαστικές σταθερές

13

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ

Καρτεσιανές συνιστώσες Κύριες συνιστώσες

mmx

zyxx21

G2)]([

E1

σ⋅Ε

ν−+

σ−σ=σ+σν−σ=ε

mmy

xzyy21

G2)]([

E1

σ⋅Ε

ν−+

σ−σ=σ+σν−σ=ε

mmz

yxzz21

G2)]([

E1

σ⋅Ε

ν−+

σ−σ=σ+σν−σ=ε

G2xy

xyτ

=γ G2

yzyz

τ=γ

G2zx

zxτ

=γ

τανυστική γραφή: mijij

ij21

G2σ⋅δ⋅

Εν−

+σ′

=ε

όπου: i, j = x, y, z

mm1

321121

G2)]([1

σ⋅Ε

ν−+

σ−σ=σ+σν−σ

Ε=ε

mm2

132221

G2)]([1

σ⋅Ε

ν−+

σ−σ=σ+σν−σ

Ε=ε

mm3

213321

G2)]([1

σ⋅Ε

ν−+

σ−σ=σ+σν−σ

Ε=ε

τανυστική γραφή: mijij

ij21

G2σ⋅δ⋅

Εν−

+σ′

=ε

όπου: i, j = 1, 2, 3

2

)1(E ν+=G το µέτρο διάτµησης

ijσ′ οι αποκλίνουσες κύριες τάσεις

ijδ το δέλτα Kronecker

-----------------------------------------------

14